1

ALGUNS CONCEITOS DE TERMODINÂMICA

A) Durante sua evolução, ESTRELA sofre contrações e expansões,em pelo menos parte de suas camadas internas. Se forem suficientemente lentas, ≡ ≡ ≡ ≡ sistema em equilíbrio a qualquer momento ► ► processo quase-estático, ou reversível (i.é, pode ocorrer no sentido inverso) Processos ocorrendo corriqueiramente no interior estelar podem , assim, ser tratados como adiabáticos

B) 1ª lei da termodinâmica (1LT), ,

sendo o calor absorvido pelo sistema, a variação da energia interna e o trabalho realizado pelo .

2

2ª lei da termodinâmica (2LT),

sendo a variação de entropia do sistema, ►

► ;

C) Calores Específicos (gases perfeitos):

▲ Algumas relações termodinâmicas p/ os gases

perfeitos:

»» de , com E = E(T) ►

onde agora ≡ "volume específico".

»» Introduzamos agora oscalores específicos a volume constante e a pressão constante:

3

» Pode-se mostrar que a razão dos calores específicos,

chamada de "Índice Gama", é:

como, para um gás perfeito monoatômico,

► ► = 5/3, que é um valor clássico da termodinâmica.

É possível mostrar que depende de f ≡ ,

f ≡ número de graus de liberdade da partícula, sendo

= 1 + 2 ⁄ f , e para f = 3, = 5 ⁄ 3

4

☺☻ Sobre a Expansão Adiabática de um Gás:

»» Da 1a. Lei da Termodinâmica (p/ massa),

e como com se obtém

Como, para um gás ideal cP e cV são ctes.,

Integrando T V -1 = constante (4.16)

►► outras formas dessa equação:

PV = cte. , P 1- T = cte. , T = cte. -1 (4.17)

Reif

5

V: ESTRELAS POLITRÓPICAS (de polis + tropos = maneiras)

»» Estuda-se a estrutura estelar determinar

P(r,t), T(r,t), n(r,t) em função da MASSA e XYZ das

Isto é, procura-se sistema de equações que descrevam isso. »» Existem modelos muito simplificados que o fazem modelos que soluções analíticas ou numéricas muito simples: Esses modelos são as chamadas estrelas politrópicas, ou politropos.

6

5.1: Variacões Politrópicas

»» P/ gás perfeito completamente ionizado, c/ efeitos da Pr numa variação adiabática,

(5.1) , sendo

NOTA:

» Se dp/d = constante, pode-se definir:

"Variação Politrópica de índice n" como:

(5.2), sendo n = constante

AAd

dP

Pd

Pd

ln

ln

7

» n é o Índice Politrópico, e as variações

de P c/ (ou outro parâmetro) ≡

"Variações Politrópicas" (copyright by R. Emdem)

»» das eqs. anteriores,

(5.3) , e para n=cte,

numa variação adiabática politrópica, = cte.

Casos limite: Pg>>Pr ≡ ;

Pg<<Pr ≡

» Da mesma forma, com relações anteriores,

(5.4) , e (5.5)

8

»» Ou seja, um Politropo é caracterizado pelas relações

(n = cte.) ,

e ,

sendo p. ex.,

»» Utiliza-se essas relações +

+ as equações básicas da estrutura estelar

soluções para o objeto

AAd

dP

Pd

Pd

ln

ln

9

das três relações entre , T e P

casos especiais de variações politrópicas:

a) ≡ ≡ ≡

caso (adiabático) convectivo,

serve também p/ gás DG não

relativístico, onde .

b) ≡ ≡ ≡

serve também p/ gás DG relativístico,

onde .

≡ "modelo padrão" para o Sol

10

c) ≡ politropo de P = constante

{ já que, das eqs. 5.2 ou 5.5, dlnP / dln = 0

e P = K 0 }

d) ≡ politropo de = constante

{ já que, da eq. 5.4, dln / dlnT = 0 e = K'P 0}

e) ≡ politropo de T ≃ constante

{ já que, da eq. 5.4, com , dlnT / dln ≃0,

ou, T = cte. }

5.2 5.5 5.4

11

Comentários:

1) n = 3 corresponde a estrelas em equilíbrio radiativo, como o Sol em sua > parte.

2) n = 3/2 corresponde a estrelas em equilíbrio convectivo adiabático, convectivo, com movimentos rápidos, sem troca

de calor entre duas regiões da ;

Ex.: estrelas anãs vermelhas (dMe)

≡ interior completamente

12

»» A equação de Lane-Emdem:

seja a eq. do politropo:

fazendo e ;

y é uma medida de T ;

as condições de contorno no centro e na

superfície das s

e (5.6)

é a eq. de Lane-Emdem

como P T ,

13

5.2: Exs. de soluções da eq. de Lane-Emdem:

1) n = 0

a solução da equação de Lane-Emden é

e (fig. 6.1 de Maciel)

y'0» seja uma com e ;

e

e

do Sol , e

= constante

(densidade constante) { P, T não definidos}

14

2) n = 1:

a solução da equação de Lane-Emden é

(fig. 6.2, Maciel's) e

e

com

e ;

p/ essa solução, ou,

15

3) n = 3:

(Eddington, 1925

a solução da equação de Lane-Emden está

(fig. 6.3)

na fig. 6.3 e na Tab. 6.2 (Maciel's).

Com

(modelo preciso do Sol: ≃ 150 g/cm3,

Pc ≃ 3 x 1017 din/cm2 , Tc ≃ 1,6 x 107 nc > 3 )

"MODELO PADRÃO" ( , )

s em equilíbrio radiativo)

16

»» Modelo Padrão: variação de :

( ≡ )

Tab. 6.3 + figs.

17

mod. solar padrão de Lang (92)

18

5.3: A Massa Limite de Chandrasekhar (Anãs Brancas)

É a massa limite que pode suportar a pressão

de elétrons degenerados relativísticos;

Pode ser obtida a partir da fronteira entre:

um gás de ee-- relativísticos relativísticos no centrono centro da AB (n=3, P 4/3)

e um gás de e- não-relativísticos nas partes externas

(n= 3/2, P 5/3):

7 x 106 g/cm3

(AB de He : )

19

»» Ex. de comportamento bizarro da matéria DG:

M R-n :

(DG Ñ relativístico) ;

≡

; do eq. hidrostático,

20

Exercício:

a) aplique a solução de um politropo de n=3 a uma estrela com a massa designada para cada um, deduzindo o raio da relação massa-raio para a SP. Obtenha os valores centrais de densidade, pressão e temperatura, e as variações dessas quantidades com a posição na estrela;

b) Um modelo para o interior de uma estrela com núcleo convectivo e envelope radiativo mostra que P = 7x1016 din/cm2 para r =4x1010 cm, e P = 1x1015 din/cm2 para r =6x1010 cm. Compare esse modelo com seus resultados.

Compare e comente seus resultados com aqueles de massas proximas da sua.

21

4.2: Expansão Adiabática de um Gás:

»» Da 1LT (p/ unidade de massa) ►

e como com se obtém

Como, para um gás ideal cP e cV são ctes.,

Integrando T V -1 = constante (4.16)

►► outras formas dessa equação:

PV = cte. , P 1- T = cte. , T = cte. -1 (4.17)

Reif

22

»» em termos das variações adiabáticas dos parâmetros, podemos escrever:

(4.18) e (4.19)

variações adiabáticas num gás perfeito não degenerado.

»» O Gradiente Adiabático é uma grandeza que aparece

amiúde no interior das s :

(4.20) .

Para um gás perfeito (eq. 4.18), (4.21) .

»» Ex.: gás perfeito monotômico ►

► = 5/3 e = 2/5

Entropia constante

23

4.4: Efeito da Pressão de Radiação

»» s + massivas : Pr pode ser importante → Pg .

Examinemos a expansão adiabática de um gás ideal, não DG e monoatômico, levando em conta Pr :

(4.21)

A energia interna ≡ energia cinética do gás:

e,

Ptotal

24

» Por outro lado, da 1ªLT,

e das eqs. anteriores,

Como a expansão é adiabática,

(4.22) , onde , e

Analogamente,

(4.23) .

25

»» Por analogia com o gás de partículas,

► define-se os

Expoentes Adiabáticos de Chandrasekhar,

de modo a conservar a forma das eqs.:

(4.24) , (4.25) e

(4.25) ; das relações acima obtém-se:

(4.26) .

»» E quanto vale para um gás com patclas. + radiação?

26

da definição do gradiente, e de

(4.27)

»» Outras relações que podem ser obtidas para os :

27

»» Exs. Práticos de valores dos e : ( )

≡ ≡ gás de partículas, sem radiação;

≡ ≡ gás só de fótons

= 5/3

= 5/3

»» Finalmente, Gradientes de T, P e podem ser deduzidos

das eqs. dT/T... e dP/P...: exs.,

Euler Lagr.