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J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 1
Controlo por Computador
2016/2017
Problemas – Parte B (Controlo)
J. Miranda Lemos
1 – Controlo por realimentação de variáveis de estado
P1. Considere o sistema de 2ª ordem descrito pelo modelo de estado
𝑥(𝑘 + 1) = [1,0 0,10,5 0,1
] 𝑥(𝑘) + [10] 𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘) = [1 1]𝑥(𝑘)
a) Suponha que tem acesso ao estado. Projecte um controlador de
retroacção linear de variáveis de estado, da forma 𝑢(𝑘) = −𝐿𝑥(𝑘), tal que
os pólos da cadeia fechada estejam em 0,1 e 0,25.
b) Suponha agora que não tem acesso ao estado. Projecte um observador
de estado de tipo preditivo, tal que os pólos da dinâmica do erro de
observação estejam ambos em zero.
P2. Considere o sistema de 2ª ordem descrito pelo modelo de estado
𝑥(𝑘 + 1) = [0,55 0,120 0,67
] 𝑥(𝑘) + [0,010,16
] 𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘) = [1 1]𝑥(𝑘)
a) Suponha que tem acesso ao estado. Projecte um controlador de
retroacção linear de variáveis de estado, da forma 𝑢(𝑘) = −𝐿𝑥(𝑘), tal que
o polinómio característico da cadeia fechada seja
𝑧2 − 0,63𝑧 + 0,21
b) Suponha agora que não tem acesso ao estado. Projecte um observador
de estado de tipo preditivo, tal que os pólos da dinâmica do erro de
observação sejam as raízes do polinómio
𝑧2 + 0,3𝑧 + 0,02
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 2
P3. Considere o sistema de 2ª ordem descrito pelo modelo de estado
𝑥(𝑘 + 1) = [0,9 + 𝛿 0
1 0.7] 𝑥(𝑘) + [
10] 𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘) = [0 1]𝑥(𝑘)
a) Suponha que tem acesso ao estado. Nesta alínea considere que o
parâmetro 𝛿 = 0. Seja 𝑟 um sinal de referência constante. Calcule os
ganhos 𝑁 (escalar) e 𝐿 um controlador da forma 𝑢(𝑘) = 𝑁𝑟 − 𝐿𝑥(𝑘), tal
que o sistema em cadeia fechada tenha os p´los na origem e ganho
estático unitário.
b) Para o controlador que projectou na alínea a), determine a gama de
valores de 𝛿 tal que o sistema em cadeia fechada é estável.
c) Para o controlador que projectou na alínea a), determine o erro de
seguimento em função de 𝛿.
P4. O integrador duplo modela muitos sistemas de interesse prático, sendo
representado em tempo contínuo pela equação diferencial
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2= 𝑢
a) Mostre que, quando se tomam variáveis de estado dadas por 𝑥1 = 𝑦 e
𝑥2 = �̇� , a amostragem com um retentor de amostras de ordem zero, e
com um intervalo de amostragem ℎ, permite obter o modelo de estadio
em tempo discreto dado por
𝑥(𝑘ℎ + ℎ) = [1 ℎ0 1
] 𝑥(𝑘ℎ) + [ℎ2
2⁄
ℎ
] 𝑢(𝑘ℎ)
𝑦(𝑘ℎ) = [1 0]𝑥(𝑘ℎ)
b) Suponha que tem acesso à medida directa do vector de estado. Calcule
os ganhos de um controlador de realimentação de variáveis de estado de
modo a que os pólos do sistema em cadeia fechada estejam todos na
origem. Represente os ganhos em função do intervalo de amostragem ℎ.
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 3
2 – Controlo de Colocação de Pólos com Técnicas Polinomiais
P1. Considere o sistema de controlo por computador da figura seguinte:
Os sinais y, u e uc representam, respectivamente, a saída do sistema a
controlar, a variável manipulada e a referência a seguir pela saída do sisytema.
O símbolo q representa o operador avanço e k o tempo discreto. Sabe-se que a
dinâmica do sistema a controlar é dada pela função de transferência discreta:
B q
A q
q
q q
( )
( )
.
. .
0 6
15 0 62
Dimensione os polinómios R, S, T na lei de controlo digital
R q u k S q y k T q u kc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
por forma a serem cumpridas as seguintes especificações:
Ganho estático unitário do sistema em cadeia fechada;
Grau mínimo do polinómio observador, com todas as raízes na origem;
Cancelamento do zero do processo;
Atraso mínimo do sistema em cadeia fechada;
Sem inclusão de integrador no controlador;
Polinómio característico desejado para o sistema em cadeia fechada
A z zm( ) ( . ) . 05 0012
Para ajudar a recordar:
B B B
uc +
-
T 1/R B/A
S
u y
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 4
B B B
A A A B
T B A
z AR B S A A
S A
R A A A
R B R z
m m
o m
m o
o m
o m
'
'
'
'
'
( )
( )
2 1
1
1
P2.Considere o sistema de controlo por computador da figura seguinte:
Os sinais y, u e uc representam, respectivamente, a saída do sistema a
controlar, a variável manipulada e a referência a seguir pela saída do sisytema.
O símbolo q representa o operador avanço e k o tempo discreto. Sabe-se que a
dinâmica do sistema a controlar é dada pela função de transferência discreta:
B q
A q
q
q q
( )
( )
.
. .
0 6
14 0 642
Dimensione os polinómios R, S, T na lei de controlo digital
R q u k S q y k T q u kc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
por forma a serem cumpridas as seguintes especificações:
Ganho estático unitário do sistema em cadeia fechada;
Grau mínimo do polinómio observador, com todas as raízes na origem;
Atraso mínimo do sistema em cadeia fechada;
Sem inclusão de integrador no controlador;
Polinómio característico desejado para o sistema em cadeia fechada
A z zm( ) ( . ) . 05 0012
uc +
-
T 1/R B/A
S
u y
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 5
P3.Considere o sistema de controlo por computador da figura seguinte:
Os sinais y, u e uc representam, respectivamente, a saída do sistema a
controlar, a variável manipulada e a referência a seguir pela saída do sisytema.
O símbolo q representa o operador avanço e k o tempo discreto. Sabe-se que a
dinâmica do sistema a controlar é dada pela função de transferência discreta:
B q
A q q
( )
( )
12
Dimensione os polinómios R, S, T na lei de controlo digital
R q u k S q y k T q u kc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
por forma a serem cumpridas as seguintes especificações:
Ganho estático unitário do sistema em cadeia fechada;
Grau mínimo do polinómio observador, com todas as raízes na origem;
Atraso mínimo do sistema em cadeia fechada;
Sem inclusão de integrador no controlador;
Polinómio característico desejado para o sistema em cadeia fechada
( . )( . )q q 07 06
P4. Pretende-se projectar um controlador digital para o sistema de controlo de
posição de um braço flexível da fig. P4-1.
Este sistema é constituído por uma junta de um braço robot flexível actuada pelo
veio de um motor eléctrico. Os sinais y , u e uc representam, respectivamente,
a saída do sistema a controlar (deflexão da ponta da junta), a variável
manipulada (variável discreta que, depois da conversão D/A e da amplificação
de potência constitui a tensão a aplicar ao motor) e a referência a seguir pela
saída do sistema (o ângulo de deflexão desejado para a ponta do braço).
uc +
-
T 1/R B/A
S
u y
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 6
Fig. P4-1. Controlo Digital de um braço flexível.
O símbolo q representa o operador avanço e k o tempo discreto. Sabe-se que a
dinâmica do sistema a controlar é dada pela função de transferência discreta:
81.041.26.2
25.0
)(
)(23
2
qqq
qA
qB
a) Dimensione os polinómios R , S e T na lei de controlo digital
R q u k S q y k T q u kc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
por forma a serem cumpridas as seguintes especificações:
Ganho estático unitário do sistema em cadeia fechada;
Grau mínimo do polinómio observador, com todas as raízes na origem;
Cancelamento dos zeros do processo;
Atraso mínimo do sistema em cadeia fechada;
Sem inclusão de integrador no controlador;
Polinómio característico desejado para o sistema em cadeia fechada
14.07.1)( 23 zzzzAm
b) O braço é operado mudando a referência bruscamente entre posições fixas
que se mantêm durante bastante tempo (isto é, aponta para uma direcção e
espera bastante tempo e só depois aponta para outra). Discuta a necessidade
de se incluir um integrador na cadeia fechada. Considere as duas hipóteses: i) O
amplificador de potência não tem off-set; ii) O integrador de potência tem off-set
constante (isto é, a saída do amplificador é proporcional à entrada adicionada de
uMotor
Braçoflexível
y
Veiodo motor
D/A
Amplificadorde potência
Sensor A/D
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 7
uma constante). Neste último caso dê a sua resposta com base num diagrama
de blocos. Sugestão: Calcule )1(A .
Ajuda:
)1(
)1(
12
''
'
'
'
zRBRAAAR
ASAASBARz
ABTBAAA
BBBBBB
mo
mo
ommo
mm
P5. Considere o sistema de controlo por computador da figura seguinte:
Os sinais y, u e uc representam, respectivamente, a saída do sistema a
controlar, a variável manipulada e a referência a seguir pela saída do sistema. O
símbolo q representa o operador avanço e k o tempo discreto. Sabe-se que a
dinâmica do sistema a controlar é dada pela função de transferência discreta:
qqA
qB 1
)(
)(
a) Dimensione os polinómios R, S, T na lei de controlo digital
R q u k S q y k T q u kc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
por forma a serem cumpridas as seguintes especificações:
Ganho estático unitário do sistema em cadeia fechada;
Grau mínimo do polinómio observador, com todas as raízes na origem;
Cancelamento do zero do processo;
Atraso mínimo do sistema em cadeia fechada;
Inclusão de 1 integrador no controlador;
Polinómio característico desejado para o sistema em cadeia fechada
uc +
-
T 1/R B/A
S
u y
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 8
mm zzA )(
b) Diga qual o intervalo de valores admissíveis para o valor especificado m por
forma a que, na resposta do sistema controlado a um escalão, não haja
saturação na variável de controlo. Designe por M o valor a que a variável de
controlo satura.
Ajuda:
)1(
)1(
12
''
'
'
'
zRBRAAAR
ASAASBARz
ABTBAAA
BBBBBB
mo
mo
ommo
mm
3– Predição Linear
P1. Considere o processo
)(4.02.1
5.04.12)(
2
2
teqq
qqty
em que e é ruído branco de média nula e variância unitária. Determine o preditor
óptimo m passos à frente e a variância do erro de predição quando 1m , 2 e 3.
P2. Determine o preditor m passos à frente do processo
)1()()1()( tcetetayty
Calcule também a variância do erro de predição como função de m .
P3. Considere o sistema modelado pelo modelo ARMAX
)2(2.0)1(5.0)()1()2(3.0)1(8.0)( kekekekukykyky
em que y é a saída, u é a entrada e e é um sinal aleatório branco, gaussiano,
de média nula e variância unitária.
a) Supondo que o sinal u é identicamente nulo, determine os filtros preditores 1
passo à frente e dois passos à frente do sinal y e as variâncias dos
respectivos erros de predicção.
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 9
b) Determine o controlo de variância mínima e a variância da saída que com ele
obtém em regime estacionário.
P4. Em meados do século passado, o famoso prof. Pardal, ao desenvolver
esforços para estar presente no Salão Mundial dos Inventores, concebeu uma
prodigiosa máquina de apanhar pirilampos, cujo funcionamento se pode ver
demonstrado na fig. 4-1, com o auxílio do ajudante Sr. Lampadinha.
Fig. 4-1. Uma demonstração do prodigioso invento do
Prof. Pardal para apanhar pirilampos (fotografia da época).
Como se pode ver na figura 4-1, a máquina (à esquerda), a partir de
observações do voo do pirilampo, prevê onde este insecto vai estar nos
próximos 2 segundos. O audaz sr. Lampadinha pode assim lançar-se na
direcção, não de onde o pirilampo está, mas de onde vai estar, apanhando-o.
Sabe-se hoje que o prof. Pardal conhecia pessoalmente Wiener e trocou uma
importante correspondência com o russo Kolmogorov, hoje infelizmente perdida.
Se bem que, quer Wiener, quer Kolmogorov, sejam muito menos conhecidos do
que o prof. Pardal, foram eles que lhe proporcionaram as ferramentas teóricas
que Pardal tão bem soube implementar com a tecnologia electromecânica então
disponível. Meio século depois, dispomos de poderosos recursos
computacionais e electrónicos, que eram então impensáveis. Assentes sobre os
ombros dos gigantes Wiener, Kolmogorov e Pardal, podemos, na nossa
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 10
pequenez vislumbrar sem dificuldade o emprego de teorias então complexas,
para resolver problemas do dia a dia (tais como apanhar pirilampos). Neste
problema pretendemos desenvolver um algoritmo que permita prever a posição
de pirilampos, recriando o trabalho de Wiener, Kolmogorov (e Pardal!).
Por simplicidade, assume-se que o pirilampo se desloca apenas numa direcção,
sendo o seu movimento descrito pelo modelo ARMA de ordem 1:
)()1()()1( kbekekayky
em que y é a distância em centímeros do pirilampo à origem de um referencial
e e é um sinal de ruído branco, de média nula e variância unitária, que não se
pode observar directamente, e a e b são parâmetros.
a) Suponha que 0b . Determine um estimador de mínimos quadrados do
parâmetro a dado um conjunto de N observações sequenciais da posição do
pirilampo, 0y , 1y , ..., Ny .
b) Suponha que 9.0a e 6.0b . Escreva as equações de um filtro linear que
permita, em regime estocástico estacionário, prever a posição 2 amostras à
frente, dadas as últimas observações da posição do pirilampo.
d) Sabe-se que a dinâmica do Lampadinha é tal que a sua posição L daqui a
duas amostras depende do impulso u dado agora às pernas, de acordo com a
seguinte equação:
)()1(5.0)2( kukLkL
Escreva uma lei de controlo que permita calcular )(ku por forma a que o
Lampadinha apanhe o pirilampo ao fim de dois intervalos de amostragem,
supondondo que ele conhece a posição do pirilampo até ao instante k . Suponha
ainda que 0)1( ku .
P5. Um alvo desloca-se ao longo de uma linha recta, sendo a sua abcissa y
modelada por
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 11
)(9.0
5.0)( te
q
qty
em que e é uma sucessão de ruído branco de média nula e variância unitária.
Determine o preditor óptimo 3 passos à frente para y e a variância do erro de
predição respectivo.
4 – Controlo de Variância Mínima
P1. Considere o sistema cujo modelo é:
y t y t y t u t u t e t e t e t( ) . ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) . ( ) 2 08 1 04 1 05 2 0 7 1 01
em que {e} é um sinal branco, gaussiano, de média nula e variância unitária.
a)Determine o controlador de variância mínima
b)Determine a potência da saída, em regime estacionário, quando é utilizado o
controlador de variância mínima.
P2. Considere o sistema cujo modelo é:
y t u t e t( ) ( ) ( ) 2 2
em que {e} é um sinal branco, gaussiano, de média nula e variância unitária.
a) Determine o controlador que minimiza
J E y t w t I t ( ) ( )2 22
em que a referência w satisfaz
w t w t t( ) . ( ) . ( ) 08 1 0 2
sendo {} um sinal branco, de variância unitária e independente de {e}.
Admita que w(t) é apenas conhecida no instante t, não sendop conhecida com
antecipação.
b) Determine a potência do erro de seguimento, em regime estacionário, quando
é utilizado o controlador de variância mínima que dimensionou.
P3. Considere o sistema descrito pela equação
)()2(5.0)1()2(5.0)1(5.1)( tetututytyty
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 12
em que u é a variável manipulada, y a saída medida e e um sinal de ruído
branco com variância unitária. Responda às seguintes perguntas:
a) Determine a lei de controlo, dita de de variância mínima, que minimiza o custo
tVM ItyEJ |)1(2
em que ),2(),1(,),1(),( tututytyI t é o conjunto das observações
dos dados entrada/saída conhecidas até à amostra t .
b) Mostre que, com a lei de controlo da alínea a), em regime estacionário se tem
)()( tety
c) Calcule agora a lei de controlo que minimiza o custo quadrático com um peso
4 na acção de controlo:
tVM ItutyEJ |)()1( 22
c) As figuras P3-1 a P3-6 representam registos de entradas, saídas e auto-
covariância da saída do sistema controlado com a lei de controlo da alínea
anterior. Estas figuras foram obtidas com dois valores diferentes do peso .
Três figuras (uma auto-covariância, um registo da entrada e um registo da
saída) foram obtidas com 0 e as outras três com 4 (os valores
considerados nas alíneas a) e c) acima). Diga quais as figuras que
correspondem a 0 . Justifique a sua resposta.
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 13
Fig. P3-1 Entrada Fig. P3-2 Entrada
Fig. P3-3 Saída Fig. P3-4 Saída
Fig. P3-5 Covariância da saída Fig- P3-6 Covariância da saída
P4. Controlo de variância Mínima de um processo com perturbações acessíveis.
Há muitos exemplos em que algumas das perturbações que agem sobre o
0 20 40 60 80 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
u
Tempo [número de amostras]
0 20 40 60 80 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
u
Tempo [número de amostras]
0 20 40 60 80 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
0 20 40 60 80 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
0 5 10 15 20-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Lag
Sam
ple
Auto
corr
ela
tio
n
Sample Autocorrelation Function (ACF)
0 5 10 15 20-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Lag
Sam
ple
Auto
corr
ela
tio
n
Sample Autocorrelation Function (ACF)
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 14
sistema a controlar podem ser medidas, facto de que se pode tirar partido para
melhorar o desempenho do controlo, tornando-o mais rápido1.
Um exemplo de muitos possíveis é fornecido pelo controlo do nível do barrilete
num grupo gerador de vapor de uma central termoeléctrica. O barrilete (fig. P4-
1) ´+e um cilindro de aço parcialmente preenchido por água e parcialmente por
vapor, do qual é extraído vapor para utilização nas turbinas. A fig. P4-2 mostra
um esquema do circuito de água/vapor em torno do barrilete. Por forma a
manter o nível da água em aproximadamente 50%, é injectada água.
Fig. P4 – 1. Aspecto do revestimento exterior de um dos topos do barrilete num
grupo gerador de vapor de dimensão média (150 MW).
1 A utilização do controlo antecipativo (em Inglês: feedforward control) é muito comum em
processos industriais, permitindo melhorar o desempenho, com reflexos directos no desempenho
financeiro. Historicamente, esta ideia remonta a Poncelet, engenheiro francês do séc. XIX mais
conhecido pela invenção de uma balança que tem o seu nome. Nesta altura, Watt tinha
patenteado o regulador de realimentação de máquinas a vapor que tem o seu nome e que
constituiu um grande sucesso comercial. Foi na tentativa de ter uma patente alternativa que
Poncelet sugeriu regulart o fluxo de vapor (variável manipulada) medidno não a velocidade
(saída), mas sim o binário resistente a vencer (perturbação). A inexistência de sensores
adequados, o facto de haver incerteza e perturbações não acessíveis (que o controlo antec
ipativo não pode rejeitar) e a inexistência de um corpo teórico adequado impediram a ideia de
funcionar na altura.
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 15
Fig. P4-2. Esquema do circuito de água/vapor junto ao barrilete.
A quantidade de água que é injectada é calculada por um controlador que
comanda uma válvula. Por forma a tornar a actuação mais rápida, o controlador
tem actuação antecvipativa (feedforward): Ainda antes que o nível desça, o
controlador abre a válvula por forma a deixar passar a quantidade de água de
alimentação (fig. P4-2) correspondente à massa de vapor (por unidade de
tempo) que saiu para a turbina.
Fig. P4-3. Diagrama de blocos do controlo de nível do barrilete
Incluindo uma acção antecipativa do cauidal de vapor.
u
Água dealimentação
Vapor para a turbina
Vapor
ChamaÁgua
Tubagemdescendente
Painéis de água
h Água
Vapor
uBarrilete/Evaporador
ControladorRealiment.
Contr.Antecip.
Nível
Outras perturbações(não acessíveis)
Caudal de vaporpara a turbina(perturbação acessível)
+
+
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 16
Como, devido a erros de modelação e a outras perturbações não medidas este
equilíbrio não é perfeito, existe uma acção de controlo por retroacção que se
adiciona a esta, o que resulta no esquema da fig. P4-3. O controlo de
antecipação destina-se assim a aumentar a rapidez de resposta na rejeição das
perturbações no nível causadas por variações do caudal de vapor pedido pela
turbina, e o controlo por retroação destina-se a estabilizar o sistema e eliminar
os erros residuais.
Este exemplo motiva o problema seguinte: Considere o sistema modelado por
)()()()( 1* dtvtudtyqA (1)
em que 1d é o atraso do sistema (conhecido) e )( 1* qA é um polinómio no
operador atraso 1q dado por
n
nqaqaqA 1
1
1* 1)(
em que os coeficientes naa ,,1 são conhecidos.
A saída do sistema é y , a entrada u e v é uma perturbação. No instante t , )(tv
é conhecida, mas )( dtv não. Sabe-se no entanto que v pode ser modelada
como ruído branco de variância unitária filtrado apenas com com pólos, ou
seja:
)()()( 1* ttvqH
em que
p
pqhqhqH 1
1
1* 1)(
Determine a lei de controlo que permite calcular )(tu por forma a minimizar o
funcional de variância mínima
t
VM IdtyEtuJ )())(( 2
As observações disponíveis no instante t , tI , são y até t , u até 1t e v até t .
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 17
Sugestão: Escreva a perturbação )( dtv como a soma de um preditor d
passos à frente e um erro de predição, e use esta soma no modelo (1).
P5. Considere o sistema descrito pelo modelo ARMAX
)()1()()()1( tcetetutayty
a) Usando a técnica baseada em polinómios obtenha o controlo de variância
mínima.
b) Suponha que o controlo aplicado ao sistema é definido por uma retroacção da
saída da forma
)()( tKytu
Obtenha a variância da saída em regime estacionário em função do ganho K e
dos parâmetros a e c .
Sugestão: Comece por escrever uma equação de diferenças para )1(2 tyE e
depois calcule o regime estacionário.
Solução:
2
22
)(1
)(21)(lim
aK
caKctyE
t
c) Obtenha uma equação para o ganho que minima a variância derivando em
ordem ao ganho a expressão que obteve em b). Mostre que o controlador que
obteve na alínea a) é uma das soluções desta equação.
d) Tome agora 6.0a e 4.0c . Usando o MATLAB, represente graficamente a
variância da saíuda em função do ganho K , usando a expressão deduzida na
alínea b) para este caso particular. Observe que a expressão fornece valores da
variância inferiores ao correspondente ao ganho de variância mínima calculado
em a). Explique o paradoxo.
P6. Considere o sistema descrito pela equação
)()1()2(5.0)1(5.1)( tetutytyty
em que u é a variável manipulada, y é a saída medida e e é um sinal de ruído
branco com variância unitária. Responda às seguintes perguntas:
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 18
a) Determine a lei de controlo, dita de de variância mínima, que minimiza o custo
tVM ItyEJ |)1(2
em que ),2(),1(,),1(),( tututytyI t é o conjunto das observações
dos dados entrada/saída conhecidas até à amostra t .
b) Calcule a variância da saída com o controlo de variância mínima.
c) Calcule a variância da entrada 𝑢 com o controlo de variância mínima.
d) Calcule agora a lei de controlo que minimiza o custo quadrático com um peso
5,0 na acção de controlo:
t
VM ItutyEJ |)()1( 22
P7. Considere o sistema descrito pela equação
)()2(5.0)1()2(5.0)1(5.1)( tetututytyty
em que u é a variável manipulada, y a saída medida e e um sinal de ruído
branco com variância unitária. Responda às seguintes perguntas:
a) Determine a lei de controlo, dita de de variância mínima, que minimiza o custo
tVM ItyEJ |)1(2
em que ),2(),1(,),1(),( tututytyI t é o conjunto das observações
dos dados entrada/saída conhecidas até à amostra t .
b) Calcule a variância da saída com o controlo de variância mínima.
c) Mostre que, com a lei de controlo da alínea a), em regime estacionário se tem
)()( tety
d) Calcule agora a lei de controlo que minimiza o custo quadrático com um peso
4 na acção de controlo:
tVM ItutyEJ |)()1( 22
P8. Considere o sistema descrito pelo modelo ARMAX
)()1()()()1( tcetetutayty ,
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 19
em que 𝑢 é a variável manipulada, 𝑦 a saída, 𝑎 e 𝑐 parâmetros positivos e
estritamente menores do que 1, 𝑡 o tempo discreto e 𝑒 uma sequência branca,
de média nula e variância unitária.
a) Suponha nesta alínea que a variável manipulada 𝑢 é nula. Calcule uma
expressão, em função do parâmetro 𝑎, o preditor 2 passos à frente e a
respectiva variância do erro de predição.
b) Usando a técnica baseada em polinómios obtenha o controlo de variância
mínima e a variância mínima atingível para a saída.
c) Suponha que o controlo aplicado ao sistema é definido por uma retroacção da
saída da forma
)()( tKytu
Obtenha a variância da saída em regime estacionário em função do ganho K e
dos parâmetros a e c .
P9. O incremento y em relação ao valor de equilíbrio da altitude de uma
aeronave está sujeita a uma perturbação estocástica devida a turbulência
atmosférica e é modelado por
)1()()(8.0)1( tetutyty
em que e é um sinal branco, gaussiano, de média nula e variância unitária e u é
a variável manipulada que permite actuar sobre a altitude.
a)Determine o controlador de variância mínima
b)Determine a potência da saída, em regime estacionário, quando é utilizado o
controlador de variância mínima.
c)Determine a potência, em regime estacionário, quando a variável manipulada
é 0)( tu , correspondendo à situação em que não há controlo. Diga se há ou
não vantagem em usar o controlo de variância mínima.
P10. Mata-moscas robótico. A coordenada da posição (num mundo uni-
dimensional) do centro de um mata-moscas robotizado satisfaz o modelo
)2()()1(5.0)2( tetutyty
J. Miranda Lemos - IST Problemas Controlo por Computador 20
em que {e} é um sinal branco, gaussiano, de média nula e variância unitária e u
é a variável manipulada do mata-moscas
a) Determine o controlador que minimiza
J E y t w t I t ( ) ( )2 22
em que a posição da mosca w satisfaz
)()1(9.0)( ttwtw
sendo {} um sinal branco, de variância 2
e independente de {e}.
Admita que no instante t apenas se conhece )(tw e o seu passado, não sendo
este sinal conhecido com antecipação, quer dizer, )2( tw e )1( tw não são
conhecidos no instante t .
b) Determine a potência do erro de seguimento, em regime estacionário, quando
é utilizado o controlador de variância mínima que dimensionou.