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MA91A – Cálculo Diferencial e Integral I

Regra da cadeia: derivação de composições de funções

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Utilizando a regra do produto, podemos encontrar a derivada de

232 xy 3232 xxy

232232' xxy

2322' xy

324' xy

vuy ''' vuuvy

3

E se fosse

332 xy 3232 2 xxy

2)32()32(432' 2 xxxy

22 )32(2324' xxy 2326' xy

vuy ''' vuuvy

4

Percebe algum padrão?

332 xy

2326' xy

232 xy

324' xy

E se fosse

1732 xy 1632217' xy

5

E se fosse?

nxy 32

1322' nxny

Calcule então a derivada de 52 32 xy

4242 32203254' xxxxy

6

E se fosse?

nxuy )(

1)()('' nxunxuy

Calcule então a derivada de 5senxy

44 cos44cos' senxxsenxxy

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Note que nxuy )(

))(( xufy

ondenxxf )(

é uma composição do tipo

Então

)(

)(

1

)(

)()(''

xuem

aplicadaxfde

Derivada

n

xude

Derivada

xunxuy ))((')('' xufxuy

Regra da cadeia

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Aplique a regra da cadeia nos casos a seguir

xxseny 73 )7cos(73' 32 xxxy

22 tgxxtgy

xtgxtgxxy 212 sec22sec'

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A função a seguir descreve a corrente elétrica, em ampères, em função do tempo, em segundos

tsenty 434cos

Determine para quais valores de tempo a corrente assume valor máximo e valor mínimo.

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Encontre, se existirem, os pontos críticos da função

xsenxeyx

cos2

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Como xxf )(

xxf 2)(

Derivando ambos os lados, em relação a x, obtemos 1)(2)(' xfxf

é equivalente a

Então

xxf

21)('

)(21)('xf

xf

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Utilizaremos a regra da cadeia para derivar identidades e encontrar algumas fórmulas importantes

Derivando ambos os lados, em relação a x, obtemos 1)(' )( xfexf

Então

xxf 1)(' )(

1)(' xfexf

Seja xxxf elogln)( Então xe xf )(

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No caso de funções trigonométricas inversas:

Derivando ambos os lados, em relação a x, obtemos 1))(cos()(' xfxf

))(cos(1)('

xarcsenxf

Seja )()( xarcsenxf Então xxfsen ))((

21

1)('x

xf

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De modo similar obtemos:

21

1'arccosx

x

21

1'x

arctgx

Qual é então a derivada de )2()( 3 xarctgxf

232

)2(113)('

x

xxf

543)(' 36

2

xxxxf