1 Matemática para todos

7/28/2019 1 Matemática para todos

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® Fundación Polarwww.fpolar.org.ve

HECHO EL DEPÓSITO DE LEYDepósito legallf2592004510252ISBN980-379-082-X

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003Fundación POLAR • M a t e m á tic a p a r a t o d

Desde la creación de Fundación Polar, hace casi 27 años, hemos mantenido uninterés creciente por la educación en nuestro país y aportamos nuestra contribuciónen búsqueda de su desarrollo y mejoramiento, particularmente de la educaciónbásica, donde se abre para todos la senda del verdadero progreso y bienestarduradero.

Hoy día los educadores piensan que las matemáticas son uno de los ejesfundamentales sobre los que se sustenta la formación de los niños y jóvenes, nosólo porque es el lenguaje de la ciencia y la técnica, imprescindible para comunicaideas a través de números y formas y para resolver problemas, también porque handemostrado que su aprendizaje contribuye significativamente al desarrollo delpensamiento lógico, ordenado y metódico.

Diversos diagnósticos realizados por especialistas nacionales y foráneos handetectado en nuestras escuelas un bajo rendimiento de los estudiantes en dichadisciplina, lo cual preocupa y llama a la reflexión de muchos sobre la efectividad dnuestro sistema educativo. Estas razones nos estimularon a participar en el propósitocomún de mejorar su enseñanza en la escuela.

Así, junto a un grupo de especialistas y docentes, de larga experiencia en las aulas,nos dimos a la tarea de elaborar esta colección de fascículos que presentan lamatemática en sus múltiples facetas, con un lenguaje sencillo y directo, apoyadoen cientos de imágenes y gráficos de impactante colorido que ilustran los diversosconceptos desarrollados y muestran que la matemática está presente en la naturaleza,

en la casa, en el mercado, en los juegos de los niños, en el deporte, en la geografía,en fin, en nuestra vida cotidiana.

Estamos seguros de que estos fascículos despertarán la curiosidad y el interés denuestros niños y jóvenes, que también serán acompañantes ideales de los docentesen su labor de enseñanza y lectura fácil para todos aquellos que los tengan entresus manos, amén de que en los hogares serán de gran ayuda para los padrespreocupados por la educación de sus hijos.

El Diario Últ im as No t ic ias es nuestro aliado en la tarea de difundir esta colecciónde 13 fascículos, en 22 entregas, que hoy se inicia a todo lo largo y ancho del país,confiados como estamos en que llegará a todas las escuelas del territorio nacionaly así comenzar a ver más cercana la meta, y nuestro sueño, de ayudar a construirun país de niños y jóvenes, hombres y mujeres capaces de labrarse una vida digna,útil y placentera.

P r e s e n t a c i ó n





005Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o

¿ M a te m á t ic a p a ra to d o s ?Matemática para Todos es una colección de fascículos concebida como una muestra de temas de cuatro áreas dela matemática, presentados de tal forma que sean motivantes para estudiantes de la Educación Básica, docentesde matemática y público en general, que encontrarán en éstas una serie de vinculaciones con situaciones de la viddiaria.

INTERESANTEEl precursor Francisco de Miranda y las matemáticasFrancisco de Miranda (1750-1816) tuvo bastante interés en las matemáticas, estudiando matemáticae idiomas en Madrid en el año 1771. Además, en su casa de Londres, en 1800, formó una sociedadde jóvenes americanos a quienes dictó clases de matemáticas como parte de su preparación parala difícil y compleja tarea que vendría con el fin de independizar la América del dominio español.Miranda les enseñó álgebra aplicada a las armas, levantamiento de planos y fortificaciones.

El nombre de matemática se debe a Pitágoras.Los pitagóricos tenían como divisa “todo esnúmero” y establecieron la división de lamatemática en cuatro componentes, elquadrivium (atribuido a Arquitas): aritmética,música, geometría y astronomía.

Esa clasificación delsaber se completó conel trivium : la gramática,la retórica y la dialéctica,y perduró en la ense-ñanza durante unos dosmil años. El quadriviumy el trivium constituíanlas siete artes liberalesy durante muchos siglosse consideró que unapersona culta era aque-lla que dominaba esassiete artes liberales.

Pitágoras de SamosFilósofo y matemático griego(siglo VI a.C.)

Se presentan: Reseñas históricas; Situaciones interesantes; Vinculación con otras áreas: geometría y arte, geometríay geografía, geometría y tecnología, medidas y geografía, números y códigos, matemática y petróleo, matemáticay mapas.

Esto es con el fin de mostrar la necesidad de conocer y apreciar cómo la matemática está presente en la vidacotidiana, en nuestro mundo actual, lo cual tiende a incrementarse, exigiendo cada día más experticia que contribua abrir puertas hacia el trabajo productivo.

Se espera que el enfoque y los contenidos matemáticos aquí tratados sean un medio para estimular la creatividad

en los niños y jóvenes, en los docentes, en los padres y representantes y, en general, en todos aquellos que cadadía aspiran incorporarse a esta era del conocimiento. Este es el propósito de MATEMÁTICA PARA TODOS.

Áreas que componen los fascículos:

Geometría Medidas Números Gráficos,probabilidady estadística

Esa división responde a cierta organización, propia de la matemática,en áreas como: la geometría, la medición, la aritmética, los gráficos, laprobabilidad y la estadística, correspondiendo en parte a una formulaciónclásica de la matemática que, posterior a Newton y Leibniz (s. XVII),señala a ésta como “el estudio de la forma, del número, del movimiento,del cambio y del espacio”.*

La presentación de los temas se realiza en forma sencilla, sin formalismosy prestando especial atención al uso de imágenes y gráficas que ilustranlos diversos conceptos y aplicaciones desarrolladas.

Los diferentes temas que componen los fascículos contienen ideasfocalizadas en aspectos importantes de la matemática escolar, variasde ellas contempladas en los programas instruccionales de la EducaciónBásica, que constituyen parte del conocimiento y herramientas esenciales

para la comprensión de la matemática y su uso en la vida diaria, asícomo para entender un mundo de extraordinario y acelerado cambio.



La obra se ha dividido en doce fascículos además de éste, el fascículo 1, donde se hace la presentación general,la descripción de cada uno de los fascículos y los créditos de los participantes en su elaboración.GeometríaEn el tiempo de los griegos, la matemática desarrollada por esta civilización fue principalmente en el área de lageometría, además de la aritmética, el método axiomático y el razonamiento deductivo de lo que son sus creadorePor lo tanto, la matemática era el estudio de los números y de las formas, correspondiendo esta última a la geometríla cual alcanzó su punto culminante conLos elemento s de Euclides (300 a.C.), una de las obras de mayor divulgaciónmundial.Tradicionalmente la geometría se ha incluido en el currículo escolar, además de su utilidad práctica, como un medpara que los estudiantes aprendan a razonar y entiendan el método axiomático de la matemática. Su estudio esesencial para la comprensión del espacio real por medio de la intuición geométrica o percepción espacial.

En los fascículos 2 y 3 examinaremos, a grandes rasgos, aspectos fundamentales de la geometría: figuras planasy del espacio como los polígonos, los ángulos, las circunferencias y círculos, los poliedros, los prismas y las pirámidlos sólidos de revolución (esfera, cono, cilindro). Culminaremos en el fascículo 4 con el estudio de los movimienrígidos o isometrías que son aquellas transformaciones geométricas que no cambian el tamaño ni la forma de lasfiguras sino únicamente su posición: traslaciones, rotaciones y simetrías axiales. En estos fascículos se ha vinculadla geometría con el arte, la decoración, la tecnología y la geografía.

Fasc ículo 2 . El mundo de las formasDescubriendo el mundo de las formas18Formas completamente redondas19Formas con partes planas y superficies curvas20Formas con todas sus caras planas 23

Descubriendo las formas con todas sus caras planas24Tengo que pensarlo27Geometría y tecnología28Geometría y ciencia28Geometría y arte29Ventana didáctica30Información actualizada31Miguel Méndez32

Fasc ículo 3 . El mundo de las líneasDescubriendo el mundo de las líneas34Líneas curvas35Segmentos, semirrectas y rectas36Ángulos y polígonos37Polígonos regulares38Descubriendo el mundo de los triángulos39Descubriendo la clasificación y las propiedades de los triángulos40Geometría y geografía42Geometría y arte43¡A jugar!44Tengo que pensarlo45Ventana didáctica46Información actualizada47Luis Herrera Cometta48

006 Fundación POLAR • M a t e m á tic a p a r a t o d o s

C o n te n id o d e lo s fa s c íc u lo s



007Fundación POLAR • M a t e m á tic a p a r a t o

Fas c ículo 4 . El mundo de los movimientos y de las simetríasDescubriendo el mundo de los movimientos50Simetría axial o reflexión respecto de una recta (bilateral)51Simetría de traslación, rotación y axial53Simetría y decoración54

Geometría y arte55Descubriendo el mundo de los movimientos56Geometría y ciencia-tecnología61Tengo que pensarlo62Ventana didáctica63Ana María Font64

MedidasDesde inicios de la Educación Básica los niños se enfrentan con el mundo de las medidas, puesto que comienzan midiendlongitudes con sus manos, pies, brazos, pabilo y cintas métricas, determinando largos y anchos, alturas y profundidadesPosteriormente calcularán áreas, volúmenes y capacidades de recipientes, de figuras como cuadrados, triángulos, rectángulocircunferencias y círculos, esferas, conos y cilindros, entre otros. Así, el estudio de las medición es importante en el currícescolar desde el Primer Grado hasta el Ciclo Diversificado puesto que esto es una práctica constante en la vida cotidiany es vinculante con otras partes de la Matemática, ya que para ello se necesita utilizar números, proporcionalidad, geometrtablas, conceptos estadísticos, funciones y gráficos.En los fascículos 5 y 6 de medidas introduciremos a los lectores en el mundo de las medidas mediante el "descubrir quées medir”, “¿qué medimos?” y “¿cómo se mide?”. El medir conlleva implícito varios procesos y acciones, como son: comp juntar o agregar, separar, clasificar, ordenar.Un comentario especial merece el tercer fascículo de medidas "Estimando medidas" porque este tema no está contempladen los programas instruccionales de la Educación Básica ni en el Ciclo Diversificado, sin embargo, es de tal importancique pensamos que en alguna futura reforma de los programas debería incluirse. Efectivamente, es frecuente el análisisde situaciones donde no se dispone de fórmulas para hacer mediciones ni las técnicas presentadas en los dos fascículosanteriores son aplicables y, por lo tanto, se acude a efectuar aproximaciones, a estimar las medidas, en donde se debecalcular la precisión y los errores cometidos. Este proceso adquiere gran relevancia con el uso de la tecnología de lascalculadoras y computadoras que permiten efectuar numerosos cálculos, utilizando números con muchas cifras, y con grrapidez. En estos fascículos se ha vinculado la medición con la tecnología, la ciencia y la geografía.

Fas c ículo 5 . El mundo de las medidasDescubriendo las medidas66¿Cómo se mide? 72Fórmulas y propiedades que permiten determinar medidas74Medida, ciencia y tecnología76Tengo que pensarlo77Ventana didáctica78¡A jugar!79Carlos A. Di Prisco80



008 Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d o s

Fasc ículo 6 . El mundo de las medidas¿Qué medimos? 82Unidades de longitud83Algunos instrumentos utilizados para medir longitudes84Calculando áreas85¿Cómo calculamos el área de una figura plana?86¿Cómo calculamos el área de algunas figuras que no son planas?88Calculando volúmenes89Interesante 90Medidas y tecnología91Medidas y geografía92Medidas y ciencia93Ventana didáctica94Tengo que pensarlo95Luis Báez Duarte96

Fasc ículo 7 . Estimando medidasEstimando medidas98Estimando la longitud de una circunferencia99Error en la estimación100Estimando áreas 101Estimando volúmenes103Cálculo de volúmenes de sólidos mediante aproximaciones104

Ventana didáctica108

Tengo que pensarlo109¡A jugar!110Gustavo Ponce 112

Fasc ículo 8 . El mundo de los númerosDescubriendo el mundo de los números114Números en el tiempo115Descubriendo los números116Descubriendo operaciones: la adición117Descubriendo operaciones: la sustracción118Descubriendo operaciones: la multiplicación119Descubriendo operaciones: la división120Algoritmo de la división121Números y códigos122Números y deportes123Ventana didáctica124Tengo que pensarlo125¡A jugar!126Información actualizada127Ernesto Medina Dagger128

NúmerosEn el tiempo de los egipcios y babilonios, la matemática desarrollada por estas civilizaciones fue principalmente en el camdel álgebra y la aritmética, esto es, con los números, específicamente con los números racionales positivos (enteros positivy fracciones positivas). Históricamente el estudio de los números ha sido la piedra angular del currículo matemático de laEducación Básica, puesto que además de su propio desarrollo y la utilización de los números naturales para contar, encontramo

que todas las otras partes de la matemática escolar utilizan los números: en geometría y en medidas, en los gráficos yfunciones, en el álgebra, en la estadística, así como la ciencia y la tecnología se comunican y expresan cuantitativamenteen forma numérica. De allí que esta área no podía faltar en los fascículos deMatemática para todos , a la cual dedicamostres fascículos.En los fascículos 8 y 9 descubrimos el mundo de los números utilizados por los niños y jóvenes hasta el octavo grado: losnaturales, los enteros y los racionales, asi como sus operaciones. El fascículo 10, “El mundo de las proporciones", nos condua la proporcionalidad y los porcentajes. Un comentario especial merece el fascículo 11 ubicado en el área de números perono relacionado únicamente con lo numérico. Hay algunas secciones relativas a los números como culminación de esta árey otras secciones de tipo conceptual referidas a aspectos esenciales para la comprensión y utilización de la matemática, locual se ejemplifica con dos títulos: matemática y petróleo, matemática y mapas, a fin de mostrar que el quehacer matemátno se lleva a cabo en forma parcelada sino de manera integral utilizando contenidos de diversas áreas de la matemática.



Fasc ículo 10 . El mundo de las proporcionesEl mundo de las proporciones146Proporcionalidad147Porcentaje (%)149

¿Cómo calculo el n% de una cantidad C?150Figuras semejantes 151Dibujos e identificación de figuras semejantes152Proporciones y recetas de cocina153Proporcionalidad y belleza154La divina proporción155Tengo que pensarlo156¡A jugar!157Ventana didáctica158Jesús Alberto León160

009Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d

Fasc ículo 9 . El mundo de las fraccionesEl mundo de las fracciones130Interpretaciones de fracciones131Fracciones 132Fracciones equivalentes133Suma y resta de fracciones134Multiplicación y división de fracciones135Fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador136Fracciones y cocina137Mantenernos en forma y...138Tengo que pensarlo139Ventana didáctica140Información actualizada143Hugo Leiva144

Fasc ículo 11 . El mundo y los númerosImportancia de la matemática162La matemática163Los números164Números y operaciones165Números naturales especiales166Matemática y petróleo167Matemática y mapas171Ventana didáctica174Tengo que pensarlo175José Rafael León176

El matemático Stevin publicó, en 1585, la primera obra europea conocida, consagrada a la teoríageneral de fracciones decimales.

Simón StevinMatemático belga

(1548-1620)




El récord de jonrones en una carrera deportiva está en manos de Henry Louis “Hank” Aaron con755, consiguió 733 con los Bravos de Milwakee (1954-1965) y los Bravos de Atlanta (1966-1974)en la Liga Nacional, y 22 con los Cerveceros de Milwakee en la Liga Americana.Fuente: Guinness. Libro de records. www.guinnessrecords.com.

Fundación Luis Roche 1956Sentados de izquierda a derecha: Jorge Vera, Mario Calcinay, Miguel Layrisse, Marcel Roche, Luis Roche,

Francisco de Venanzi, Gabriel Chuchani, Lu is Carbonell. De pie: Abraham Levy, Andrés Gerardi, JoséForero, Leocadia Escalona, María Enriqueta Tejera, Gloria Villegas, Slavka Hitrovo y Francisco Peña.

Fasc ículo 12 . El mundo del procesamiento de datosDescubriendo el mundo de la probabilidad178Descubriendo el mundo de la estadística180Estadística en el tiempo181Estadística descriptiva182Estadística y la vida cotidiana183Ventana didáctica184

Tengo que pensarlo185Un juego probabilístico186Probabilidades en nuestro juego de béisbol187Vladimiro Mujica188

Fasc ículo 13 . El mundo de los gráficosEl mundo de los gráficos190Descubriendo el mundo de los gráficos191Otro tipo de relaciones (correspondencias)192Crecimiento193

Decrecimiento194Gráficos y cuerpo humano195Confiabilidad196¡A jugar!197Ventana didáctica198Tengo que pensarlo199Leonardo Mora200

Probabilidad y estadística

En esta sociedad tecnológica en la que tanto el volumen como el flujo de información crecen día a den nuestra vida cotidiana, se hace necesario que todo ciudadano cuente con conocimientos que lepermitan el estudio de los fenómenos regidos por el azar y métodos que le ayuden a comprender lavariabilidad, hacer inferencias, interpretar o construir gráficos y en definitiva, generar conocimientoque lo orienten en la toma de decisiones. Esto lo hace la estadística y la probabilidad.



INTERESANTEEl Padre Andújar y los estudios de matemáticas en VenezuelaEl capuchino aragonés Fray Francisco de Andújar propuso en 1785, al gobernador ManuelGonzález, que le permitiesen regentar una cátedra de matemáticas.Fue en junio de 1798 cuando se inició el proyecto del padre Andújar que apenas duró unosmeses, como se dice en el acta del Consulado de mayo de 1800, el "Padre Andújar tuvo quevalerse de casa particular para establecer la clase de Matemáticas que tuvo por algún tiempo"Fue el joven Simón Bolívar, con apenas quince años de edad en ese entonces, quien cedió unade las habitaciones de su casa para la clase del padre Andújar, de quien fue su alumno, comoasí lo reconoce el Libertador en su carta al general Santander de fecha 20 de mayo de 1825,firmada en Arequipa: "Robinson, que Vd. conoce, fue mi maestro de primeras letras y gramáticde bellas letras y geografia, nuestro famoso Bello; se puso una academia de matemáticas sólopara mí por el padre Andújar, que estimó mucho el barón de Humboldt. Después me mandaroa Europa a continuar mis matemáticas en la academia de San Fernando".


¿ P o r q u é m a te m á tic a ?La matemática es una parte de nuestra herencia cultural. Es uno de los grandes logros intelectuales de lahumanidad, con un pasado que data, aproximadamente, desde cuatro milenios antes de la era cristiana.Ella se encuentra presente en todas las culturas y desde los albores de la humanidad el ser humano laempleó para contar sus rebaños o para medir el tiempo a través de calendarios a los fines de determinarlas épocas de siembra y cosecha de los frutos de la tierra.

La mayoría de las profesiones y los trabajos técnicos que hoy en día se ejecutan requieren de conocimientosmatemáticos. Las actividades industriales, la medicina, la química, la sociología, la economía, la ingenieríay la arquitectura, la robótica, las artes y la música la utilizan, entre otras cosas, para expresar y desarrollarmuchas ideas en forma gráfica, numérica y analítica (mediante fórmulas). La matemática es consideradaun medio universal para comunicarnos y un lenguaje de la ciencia y la técnica. Ella permite explicar ypredecir situaciones presentes en el mundo de la naturaleza, en lo económico y en lo social.

A esto se suma que la matemática contribuye a desarrollar lo metódico, el pensamiento ordenado y el

razonamiento lógico. Su estudio favorece que la mente humana distinga el todo de las partes, lo analíticoy lo sintético, lo ordenado de lo no ordenado, lo que está clasificado de lo que está “revuelto”, entre otrosprocesos fundamentales del pensamiento.






¿ P o r q u é m a te m á tic a e n la e d uEn la Educación Básica del mundo entero se inicia el aprendizaje de la matemática con la adquisición de un lenguauniversal de palabras y símbolos que es usado para comunicar ideas de número, espacio, formas, patrones y problema

de la vida cotidiana. Así, encontramos palabras como cuadrado, círculo, cono, porcentaje, decimal, ... ; relaciones dtipo mayor que, dentro de, paralelo a, tangente a, más grande que... Asimismo, se utilizan símbolos como =, >, <, x≈ , los cuales estimulan ideas acerca de lo que ellos representan. La utilización de esa nomenclatura no se limitaúnicamente a la educación formal, sino que cada día se hace necesario este conocimiento para desenvolversediariamente pues está presente en el quehacer cotidiano, en los medios de comunicación, en la ciencia y en latecnología.

Por otra parte, la contribución del aprendizaje de la matemática en la formación del razonamiento no ofrece discusióDe allí que a lo largo de los programas instruccionales de la Educación Básica se consideran algunos tipos derazonamiento como se expresa en el siguiente diagrama:

Para alcanzar un buen nivel de razonamiento es necesario que los docentes faciliten a los alumnos variadas experienciaconectadas con el mundo real y con otras ciencias, que estimulen la habilidad pararesolver problemas en forma oral yescrita y se apoyen en los diferentes tipos de razonamiento.

Estos fascículos deMatemática para todos fueron concebidos con una visión global de la matemática y con ellos se aspiradesmitificar la percepción de que la matemática es sólo para algunos privilegiados. Se espera una actitud positiva en lodocentes que estimule la natural curiosidad de sus alumnos para que aprendan a valorar la frondosidad del árbol matemáticque atraerá a los niños y jóvenes, de acuerdo con sus intereses y talentos.

Razonamiento inductivo comoconsecuencia de situaciones en lasque a partir de la observación deejemplos se obtienen conclusionesque deben demostrarse.

Por ejemplo: el producto de un

número impar por un número par esun número par y siempre será parcualesquiera que sean esos dosnúmeros considerados. Estaconclusión puede inferirse a partirde la observación de varios ejemplos.

Razonamiento deductivosignifica demostrar una

suposición mediante reglas dela lógica y enunciadosverdaderos ya demostrados.

Razonamiento proporcionales el utilizado cuando seestablecen relaciones entrevariables en los que seobtiene una constante deproporcionalidad.

Razonamiento espacial seaplica para obtenerconclusiones a partir de

observaciones en el espacio.

Algunos tipos derazonamiento




E q u ip o d e t ra b a jo

Especialistas del área

Walter Beyer.Licenciado en Matemática (UCV)Magíster en Educación mención Enseñanza dela Matemática (UPEL)Profesor Asociado (J) (UNA)

Simón BongProfesor de Física y Matemática (InstitutoPedagógico de Caracas)Magíster en Procesos de Aprendizaje (UCAB)Profesor Instructor (UPEL)

Nora Ghetea de JaegermanLicenciada en Educación Matemática (UCAB)Magíster en Educación Matemática (Universidadde Pittsburgh, EE.UU.)

Gisela Marcano CoelloMaestra NormalistaProfesora de Física y Matemática (InstitutoPedagógico de Caracas)Profesora (J) CENAMEC

Miriam Meza HidalgoLicenciada en Educación Matemática (UCV)Magíster en Didáctica de la Matemática(Universidad Laval, Canadá).Profesor Asociado (CENAMEC)

Mauricio J. Orellana ChacínLicenciado en Matemática (UCV)Doctor en Matemática (Universidad de Grenoble-Francia).Profesor Titular (J) (UCV)

Rafael J. Orellana ChacínLicenciado en Estadística (UCV)Doctor en Matemática (Universidad de París VFrancia)Profesor Titular (J) (UCV)

Jorge SalazarProfesor de Física y Matemática (InstitutoPedagógico de Caracas)Ph.D. en Matemática (Universidad del Estado deOklahoma-EE.UU.)Profesor Titular (J) (UPEL)

José Francisco SalinasLicenciado en Estadística (UCV)Magíster en Estadística (UCV)Profesor Asociado (J) (UCV)

Víctor VásquezLicenciado en Matemática (USB)Ph.D. en Educación Matemática (Universidad deBerkeley-EE.UU.)Asesor internacional de proyectos educativos delBanco Mundial

Colaboradores

Sandra Leal (UPEL)Amanda Pérez Gómez (CENAMEC)Teresa Tesoro (USB)Ligia de Bianchi

Validadores

Henry Martínez (UCAB)Saulo Rada (UPEL)Ricardo Ríos (UCV)Sergio Rivas (UNA)Rafael Sánchez (UCV)Ennodio Torres (UCLA)Wilfredo Urbina (UCV)

Coordinador de la colección

Renato Valdivieso (Fundación Polar)

Coordinadora académica

Inés Carrera de OrellanaProfesora de Física y Matemática (InstitutoPedagógico de Caracas)Postgrado en Didáctica de la Matemática DEA(Universidad de París VII, Francia)Profesora Titular (J) CENAMEC



015Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d

I n t e r e s a n t e

Los pitagóricos (siglo VI-V a.C.) pensaban que los planetas se movían en superficies esféricas cuyo centro era lTierra. Dichos movimientos producían sonidos armónicos a los que llamaron “la música de las esferas”. Así explicabel universo con esta teoría de “Armonía celeste”. Muchos siglos después, en 1595, el astrónomo y matemáticoJohannes Kepler (1571-1630), en sus consideraciones acerca de la armonía matemática del Universo, formuló unteoría en relación con las distancias entre los planetas para lo cual se valió de los cinco poliedros regulares metidodentro de esferas: seis esferas que correspondían a los seis planetas conocidos en su tiempo (Saturno, Júpiter,Marte, Tierra, Venus y Mercurio) separados (en ese orden) por el cubo, el tetraedro, el dodecaedro, el octaedro yel icosaedro. Kepler intentó encontrar las razones de por qué solamente existían seis planetas y cinco poliedrosregulares. Su teoría fue posteriormente desechada con el descubrimiento de Urano en 1781.

La Armonía de las esfe ras según Kepler



O l i m p í a d a s M a t eActualmente existen muchas competencias de matemáticas, unas de carácterpresencial, otras en las cuales se participa por correspondencia. Todas con unpropósito común, “motivar a jóvenes estudiantes hacia el estudio de lamatemática ”, además de generar por parte de los de docentes, la produccióne intercambio de problemas interesantes, novedosos y retadores.El desarrollo de las Olimpíadas Matemáticas, ha sido tan rápido y vigoroso quhoy en día participan anualmente en la Olimpíada Internacional de Matemáticasmás de 80 países y alrededor de 500 estudiantes, cuando hace sólo 20 añosparticipaban una veintena de países, principalmente de Europa y Norteamérica,lo que dice mucho del desarrollo de estos juegos olímpicos.En Venezuela las Olimpíadas de Matemática se realizan desde 1975, como unproyecto del Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Cienci(CENAMEC), liderado inicialmente por el profesor Saulo Rada. Hoy en día sellevan a cabo competencias de matemáticas en diferentes niveles del sistemaeducativo, tanto de carácter nacional como internacional. Entre ellos cabedestacar el concurso Canguro Matemático, la competencia juvenil de matemática

más grande del mundo.En los tres últimos años Venezuela ha tenido una destacada actuación en variasolimpíadas de matemáticas en el mundo, cabe destacar la obtención de dosmedallas de plata, dos de bronce y dos menciones honoríficas en las OlimpíadasInternacionales de Matemáticas en los años 2001 y 2002, así como tres medallasde plata y una de bronce en la Olimpíada Iberoamericana de Matemáticas enUruguay, en el año 2001. Estos premios vinieron acompañados de la obtenciónde la copa Puerto Rico, en la misma olimpíada iberoamericana señalada. Estacopa la gana el país que muestra el mayor desarrollo en dos años consecutivos.En la actualidad la Asociación Venezolana de Competencias Matemáticas (ACMtiene como objetivo la promoción de las matemáticas y la organización de unprograma de captación de jóvenes con talento para la matemática con la finalidad

de llevarlos a competir en diversas Olimpíadas de Matemática alrededor delmundo.

Rafael Sánchez LamonedaEscuela de Matemáticas- Facultad de Ciencias- UCV

Las competencias de matemáticas hanexistido desde hace cientos de años, basta

recordar la historia que envuelve eldescubrimiento de la solución general deuna ecuación de tercer grado, evento quese desarrolló en la Italia del siglo XVI. Enépocas más recientes, a finales del sigloXIX en Hungría, se organizaban concursosde matemáticas elementales dirigidos a

estudiantes en su último año de educaciónsecundaria. Estos concursos se conocenbajo el nombre de Competencias Eötvösy se pueden considerar como el origen de

las Olimpíadas de Matemáticas, OM.



Todos los objetos tienen una forma y ocupan un lugaren el espacio que podemos medir por medio de laGeometría. Así, Geo (tierra) y Metron (medida),vocablos griegos, originan la palabra Geometría,considerada la rama de la Matemática que estudia lasformas y sus relaciones.

Galileo Galilei (1564-1642)Matemático, físico y astrónomo italiano

Óvalo Polar, obra cinética de Jesús Soto, uno delos máximos exponentes del arte cinético universal.Nació en el estado Bolívar (1923- ), donde hayun Museo que lleva su nombre. Ha realizadoexposiciones en Venezuela, Francia, EstadosUnidos, Italia y muchos otros países. La obraengalana la sala de entrada del edificio FundaciónPolar en Caracas.Fotografía: Sabina Caula

El Universo está escrito en ellenguaje de la matemática y suscaracteres son triángulos, círculosy otras figuras geométricas, sin lascuales es humanamente imposibleentender una palabra de él



018Fundación POLAR• M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 2 - El mundo de las formas -GEOMETRÍA 1

J ohannes Kepler (1571-1630)Astrónomo y matemático alemán

E n

l a

n a

t u r a

l

e z a s e e n c u

e n t r

a n m u c h a s fo r m a s y o t r a s

s o

n h e c h a s p

o r

l

a s

p e r s o

n a

s

Estas son redondas por todas partes, esdecir, tienen forma esférica.

Observa que todas lascaras de estos tresobjetos son planas.

Otras formas tienen partescurvas y partes planas .Las latas de atún y los dosvasos son ejemplos de esto.

Estas partes son planas

Estas partes son curvas

Completa el patrón

D e s c u b r ie n d o e l m u n d o d e

F o

t o g r a

f í a s :

R .

C h o v e

t




Circunferencia y círculo

INTERESANTESi consideramos una varilla de longitudR,fijada en un extremoC y la movemoslibremente en el espacio, el otro extremodescribe un esfera de radioR. Esto significaque la distancia de cualquier puntoP de laesfera a su centro no varía y esta distanciaes igual al radioR.

RC

P1

P

P2Loscuerpos que

observas son redondospor todas partes pero de

ellos sólo visualizamos susuperficie, que es de forma

esférica y la denominamosesfera(superficie esférica). La esferaconjuntamente con la regióndel espacio encerrada por

ella la llamamos esferasólida (˝bola˝).

El corte o intersección de un plano con unaesfera es una circunferencia.Esta es una propiedad característica de laesfera.Si el plano pasa por el centro de la esfera,

resulta unacircunferencia máxima (su radioes igual al radio R de la esfera). Al considerarla esfera sólida y el corte con un plano seobtiene el círculo. Si el plano pasa por elcentro C, resulta uncírculo máximo.

Al hacer un corte a una esfera con un plano, por ejemplo un limóno una cebolla de forma esférica cortada con un cuchillo, resultauna circunferencia sobre la esfera, en la concha del limón. Elcírculo es la circunferencia junto con la región del plano encerradapor ella.

Del espacio al plano

C

PR

Plano

C i r c u n f e r e

n c i a

Circunferenciamáxima

INTERESANTEPara construir una circunferencia tomamos unatachuela o un clavo que fijamos a una hoja depapel. Amarramos una cuerda en la tachuela oclavo y en el otro extremo un lápiz que movemospara trazar la circunferencia sobre el papel. Ladistancia de un puntoP de la circunferencia asu centroC no varía y esta distancia es igual alradioR.

R

C

PD i á m e t r

o

Lápiz

Tachuela R

a d i o

F o r m a s c o m p le ta m e n te re d o n




Base

E j e

Base

S u p e r f i c

i e c

i l í n d r i c a

( e s

l a s u p e r f i c

i e l a t e r a

l )

S e g m e n

t o s v e r t i c a

l e s

Circunferencia C

F o r m a s c o n p a r te s p la n a s y s uCilindro

INTERESANTEPara construir un cilindro, primero debes recortardos bases circulares del mismo radio hechascon cartón, luego pasas hilos de la mismalongitud por agujeros en el borde de éstas, entreuna base y la otra. Colocas una varilla resistentecomo eje (en el centro de las bases) de modoque los hilos estén paralelos y permanezcantensos.

Todos estos cuerpos tienen partes planas y superficiescurvas, a este tipo de formas se les llama cilindro.Si levantamos segmentos verticales en los puntos deuna circunferencia C (son segmentos perpendicularesal plano que la contiene) y que tengan una mismalongitud, obtenemos una superficie cilíndrica.El círculo limitado por la circunferencia C es una base.El cilindro es el sólido definido por la superficie cilíndrica,las dos bases de ésta y la región del espacio encerradapor ellas.

OBSERVADos tipos de cilindros, según que su ejesea o no perpendicular a las bases.

90°

E j e

Base

Base

Cilindro recto es aquél quetiene su eje perpendicular alas bases.

Cilindro oblicuo esaquél que no tiene sueje perpendicular a lasbases.

Al hacer un corte en un cilindro rectocon un plano paralelo a las bases(esto es, perpendicular al eje) resultaun círculo.Si el corte se hace con un plano

paralelo al eje, entonces resulta unrectángulo.

Repite el patrón


Base

Base

Hilos

Varilla

E j e

Base

Base

Jo hn s on an d S onCompany

Wisconsin, Estados Unidos





ConoEl cono es otro cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. Siunimos con segmentos los puntos de una circunferencia C con otropunto V situado fuera del plano de esa circunferencia, obtendremos unasuperficie cónica .El cono esta formado por la superficie cónica, la base circular de éstay la región del espacio encerrada por ellas.

INTERESANTEPara construir uncono , primero debesrecortar una base circular en cartón,luego pasas hilos de la misma longitudpor agujeros en el borde y los unes enel otro extremo. Colocas una varillaresistente como eje (desde la base hastael nudo de los hilos) de modo que los

hilos permanezcan tensos.

Círculo

Superficie cónica(es la superficie lateral)

CircunferenciaC

E j e

Cono oblicuo es aquélque no tiene su ejeperpendicular a su base.

Base circular

E j e

Base circular= 90°

Al cortar un cono recto con un plano paraleloa la base (esto es, perpendicular al eje),

resulta un círculo.El sólido obtenido al quitar la parte que

contiene al vértice es un cono truncado o tronco de cono .

Cono recto es aquél quetiene su eje perpendiculara su base.

Hilos

Base

Nudo

Varilla

Las ruedas más antiguas se construyeron en Sumeria, entre los años ¿3500 y 3000 a.C.? La formaoriginal de esas ruedas era la de un disco de madera fijado a un eje mediante espigas de madera.Los egipcios utilizaron troncos de árboles para transportar grandes piedras. Se supone que laprimera rueda fue un trozo de tronco de árbol cortado en forma parecida a la de un cilindro.Los incas, la cultura más desarrollada en América del Sur antes de la llegada de los españoles,no conocieron la rueda y como hacían grandes construcciones en piedra utilizaban rodillos demadera para transportar esas piedras, parecido a lo que hacían los egipcios.

Vértice V Vértice V

Corte de Ju sticiaLondres, Inglaterra

F o

t o g r a

f í a s :

R .

C h o v e

t



F o r m a s c o n p a r te s p la n a s y s u


Los griegos fueron los primeros en considerar la esfera como unobjeto matemático y la definieron como la superficie obtenida algirar una circunferencia alrededor de uno de sus diámetros.

Del plano al espacio(los cuerpos o sólidos de revolución)

Temp lo de DelfosUno de los raros edificios circularesde la arquitectura griega.

Elcilindro y elcono también se obtienen por rotación.• Toma una tira de papel de 5 cm de ancho por 20

cm de largo y pégala a una varilla de cualquierlongitud. Al rotar la varilla visualizarás un cilindro.

• Toma un triángulo rectánguloABVde hipotenusaAV y ángulo recto en el vérticeB. Al girar lahipotenusa alrededor del catetoVBvisualizarás el

cono.

E j e d e r o t a c i ó n

A

B

V

9 0

°


5 c m

2 0 c m

Completa la sucesión

¿Qué se obtiene al girar una semicircunferenciaalrededor de su diámetro?

¿Qué se obtiene al girar un círculo alrededor de unode sus diámetros?

¿Qué se obtiene si giras un rectángulo alrededor deuno de sus lados?

¿Qué se obtiene si en la construcción que hiciste deun cilindro con hilos, tuerces (giras) media vueltalos discos, uno hacia la derecha y otro hacia laizquierda?

¿Qué se obtiene al hacer un corte en un cono rectocon un plano que contiene al eje?



V Número

de vértices

6

F o rm a s c o n to d a s s u s c a r a s p l

023Fundación POLAR• M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 2 - El mundo de las formas -GEOMETRÍA 1

Leonhard Euler(matemático suizo 1707-1783) fue uno de los más prolíficos matemáticos. Publicómás de 850 obras en vida y dejó muchísimos trabajos sin publicar. Desde 1771, cuando quedótotalmente ciego, dictaba a sus asistentes o escribía en un largo pizarrón las fórmulas para ellos.En geometría es conocido por laRecta de Euler y por la Fórmula d e Euler.

La «Recta de Euler» es la recta determinada por el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de untriángulo. La «Fórmula de Euler» relaciona el número de caras, vértices y aristas en un poliedro.

Poliedros

VERIFICACiÓN

Observa algunos poliedros y sus nombres de acuerdo al número de caras.

Poliedros

C Númerode caras

Octaedro 8

Sus caras son polígonos: triángulos, rectángulos,paralelogramos que no son rectángulos, trapecios,pentágonos, etc. Un poliedro esconvexo si al

colocar dos dedos sobre el mismo, los cualesdeterminan los puntos A y B, todo el segmento ABasí determinado está dentro del poliedro. Tambiénse dice que un poliedro es convexo si está situadoen un mismo lado de uno cualquiera de sus planosde apoyo (plano que contiene una cara). Todoslos poliedros arriba representados son convexos.

Si contamos las caras, los vértices y las aristas del octaedro convexose cumple con laFórmula de Euler V-A+C = 2.

Construye una tabla como la de al lado y verifica laFórmula d e Euler.

Muchas de las edificaciones construidas por loshumanos y algunos cuerpos de la naturaleza, tienenforma de poliedros . Los poliedros son cuerposlimitados por un número finito de superficies planas.Las superficies planas sonpolígonos que reciben

el nombre de caras delpoliedro. La intersecciónde dos caras es una arista y el punto de intersecciónde más de dos caras es un vértice.

Poliedro de CaracasUna edificación donde su cobertura es una suma depoliedros colocados de tal manera que asemeja una

superficie curva.

Octaedro8 caras

Pentaedro5 caras

No nae dro9 caras

Dode cae dro12 caras

He xa e dro6 caras

He xa e dro6 caras

He p tae dro7 caras

VérticeA r i s t

a

Ca ra

ANúmero

de aristas

12

A ti, mar de los sueños angulares, flor de cincoformas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro

Rafael Alberti (Poeta español, 1902-1999;Premio Cervantes 1983)

A

B

Convexo



Observa loscinco poliedros

regulares, las carasidénticas que se

encuentran en cadavértice y el elemento

que representan.

Tetraedro(fuego)

I c o s a e d r o

( a g u a )

D o d e c a e d r o

( u n i v e r s o )

O c t a e d r o

( a i r e )

C u b o

( t i e r r a )


Poliedros regulares son aquellos poliedros convexos en los que todas sus caras son polígonosregulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras. Los poliedrosregulares han intrigado a los matemáticos por miles de años. La existencia de sólo cinco tipos

de poliedros regulares figuran en la explicación que dio Platón a ciertos fenómenos en sufamoso diálogoTimeo . Estos poliedros se asocian a los cuatros elementos (Fuego, Tierra,Aire, Agua) y al Universo. Los cinco poliedros regulares son llamados Poliedros Platónicos.

Los pitagóricos (siglo VI a.C.) pensaban que los planetas se movían en superficies esféricas cuyo centro era la Tierra.Dichos movimientos producían sonidos armónicos a los que llamaron “la música de las esferas”. Así explicaban el univecon esta teoría de “Armonía celeste”. Muchos siglos después, en 1595, el astrónomo y matemático Johannes Kepler (1571630), en sus consideraciones acerca de la armonía matemática del Universo, formuló una teoría en relación con lasdistancias entre los planetas para lo cual se valió de los cinco poliedros regulares metidos dentro de esferas: seis esferaque correspondían a los seis planetas conocidos en su tiempo (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) separado(en ese orden) por el cubo, el tetraedro, el dodecaedro, el octaedro y el icosaedro. Kepler intentó encontrar las razonesde por qué solamente existían seis planetas y cinco poliedros regulares. Su teoría fue posteriormente desechada con eldescubrimiento de Urano en 1781.

PlatónFilósofo griego (428-347 a.C.)

Poliedros platónicos

La Armonía de las esferas según Kepler

D e s c u b r ie n d o la s fo rm a s c o n t

CompendiumJulio Pacheco RivasPintor venezolano (1953- )Galería de Arte Nacional



La palabra pirámide evoca uno de los monumentos construidos por los antiguosegipcios. Los más grandes sólidos geométricos hechos por el hombre se construyeroncerca de 2600 años a.C. Uno de estos sólidos es laGran Pirámide de Egipto, en lafoto, la única de las siete maravillas del mundo todavía en existencia. Esta pirámidse realizó colocando más de dos millones de bloques de piedra, pesando entre 2 y150 toneladas cada una. La Gran Pirámide pertenece a los poliedros llamadospirámides.

Otros poliedros: Pirámides


Entre las culturas antiguas de México destacan lateotihuacana, la maya y la azteca. En Teotihuacán estabanlas pirámides del Sol y la Luna. La civilización Maya (s. III-XVI) tuvo su desarrollo en México y Centroamérica. Hicierongrandes construcciones utilizando la piedra. Entre éstasdestacan los templos elevados a una gran altura como lascinco pirámides de Tikal. También los aztecas (en México),en la gran ciudad de Tenochtitlán, una de las mayores delmundo para la época de la llegada de los españoles, hicierongrandes construcciones, algunas de ellas de forma piramidal.

Pirámide cuadrada Pirámide triangular Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal

Aunque los egipcios y los mayas escogieron la forma cuadrada para la base de sus pirámides, otrospolígonos también pueden ser utilizados como base. Observa:

Las caras laterales de una pirámideson triángulos que tienen un puntocomún. Este punto común recibe elnombre de vértice de la pirámide.

VérticeV

Caras lateralestriángulos

Del espacio al planoToma una esfera, un cubo, una pirámide o un cono y haz incidiruna luz sobre ellos para que genere una sombra sobre la pared.¿Cómo es la sombra de cada uno de ellos?



Uno de los tipos más comunes de poliedros lo constituyen los prismas ocajas. Observa algunos prismas:

Prismas

Lice o d e l Fut uroPoitiers, Francia



La Casa de Piedra en los valles de Aragua, de la etapa precolombina, fue construida con grandes piedras o lajas que se

sostenían entre sí. Su entrada era de forma “prismática”, con dos piedras de 3,5 m de largo cuyos lados constituían laparedes del estrecho zaguán, apoyándose en el suelo y con separación de 1,5 m. Sobre esas dos lajas se situaba otrade 4 m de largo con un saliente de 1,5 m a manera de porche. No se localizó, pero se tiene referencia de ella por unmemoria de la Dirección General de Estadísticas de Venezuela de 1873.Fuente: E. Arcila Farías,Hist oria d e la Ing eniería en Venezue la , 1961.

Repite la secuencia

Prisma rectangular o caja Prisma triangular Prisma hexagonal

Bases rectangulares Bases triangularesBaseshexagonales

Prisma

Paralelogramos

Paralelo-gramos

Un prisma es un poliedro en el que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes, llamadasbases del prisma. Los prismas se nombran por la forma de sus bases.

En un prisma, las caras que no son bases se denominan caras laterales.Los prismas cuyas caras laterales son rectángulos, se llaman prismasrectos; de otra forma son llamados prismas oblicuos. Los prismas rec-tangulares rectos o “cajas” también son llamadosparalelepípedos .Uno de los paralelepípedos más utilizado es el cubo.

RETOCon 36 cubos formamos el prisma de la

derecha (3 x 3 x 4).¿Cuántos prismas diferentes podemos

formar con los treinta y seis cubos?



Relaciones espacialesUn cubo se puededividir exactamenteen tres pirámides.Una de ellas es lapirámide cuadrada devértices E, F, G, H yC. Nombra los cincovértices de las otrasdos pirámides quedividen el cubo.

La pirámide FHACdivide al cubo en 5pirámidestriangulares. Señalalos otros cuatrovértices de las otrascuatro pirámidestriangulares.


Te n g o q u e p e n s aDibuja en los

cuadros vacíoslas figuras que

faltan

¿Puedes construir un cubocon tres bandas iguales depapel de diferentes colores,de forma tal que las carasopuestas sean del mismocolor?

Es cu e la d e At e na s (Detalle)Principal sitio de reunión de pensadores griegosRealizada por Rafael Sanzio (1483-1520)

El dibujocorresponde a unaestructura metálica.Una persona quiereir del punto A al B,sin retroceder nisubir.¿Cuántas rutaspuede elegir?

¿Cuántas esferasnecesitarás para construir

esta pirámide de basecuadrada?

¿Y si su base es untriángulo equilátero?

Con110 esferas se

construyen 3 pirámi-des de base cuadrada

¿Cuáles serán susbases y el número

de pisos?

A

B

B

A

C

D

E

F

G

H

B

A

D

E

F

G

H

C




G e o m e tr ía y te c n Ma qu e ta de l tra ns bo rda do r NASA, Cabo Kennedy, EE.UU.

En el lanzamiento de untransbordador espacial se

utiliza un cohete a los finesde colocarlo en órbita. La

ilustración muestra laconfiguración de los tanquesde combustible de oxígenolíquido, de hidrógeno líquidoy el intertanque que es unconector mecánico entre los

otros tanques.

Utilizando las dimensiones de las partes de loscomponentes del transbordador se puede calcular

aproximadamente el volumen total de los tres tanques.Para ello hay que considerar que:

la forma del tanque de hidrógeno es cilíndrica con tapas,el tanque de oxígeno es la combinación de un cono, un

cilindroy una media esfera.

G e o m e tr ía y¿Has visto un panal de abejas? Visto de frente se parece a un piso cubierto demosaicos hexagonales. Pero su forma tridimensional es la de prismas rectoshexagonales. Entre el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular,este último tiene el menor perímetro para un área establecida. Esto significaque en los panales de abejas en forma de prisma hexagonal se usa menos cerapara su construcción.

Las abejas y la geometría

El prisma y la luzEl prisma es utilizado para producir el espectro de colores desde el rojohasta el violeta. La luz blanca que incide en una de las caras laterales deun prisma triangular cambia de curso cuando pasa a través del prisma yda origen al espectro de colores, según muestra la figura.

L u z b

l a n c a

F o

t o g r a

f í a s :

R .

C h o v e

t




G e o m e tr ía y a r te Mu s e o d e l Lou vre

París, Francia

La presencia de la matemática en el arte se manifiesta desde tiemposremotos. Los griegos utilizaron la geometría en la construcción desus monumentos. Los artistas del Renacimiento (s. XV), entre los

cuales mencionaremos a Rafael Sanzio y Leonardo Da Vinci, crearonla perspectiva para representar la profundidad.La Últim a Cena ,obra cumbre del equilibrio y de estudio de caracteres, donde semanifiesta un uso acentuado de la perspectiva, marcó una nuevaetapa en la pintura. Además, los árabes (s. XII-XV) en la región deAndalucía, decoraron sus palacios mediante un espléndido artegeométrico. En el siglo XX muchos artistas han utilizado figurasgeométricas en sus obras: Jesús Soto, Cruz Diez, Maurits Escher,Pablo Picasso, Vasili Kandinsky, Salvador Dalí, Piet Mondrian, RenéMagritte, para mencionar algunos.

Algunas obras artísticas com-binan las formas geométricas,como la mostrada a continuación,

R e p t ile s (1943) del pintor y gra-bador holandés Maurits Escher(1898-1972). Sus obras tienenun gran componente geométrico.

A partir del mundo plano(bidimensional) se creaun mundo espacial(tridimensional).

Los reptiles salen delpapel donde están dibujados, saltan al libro debiología, pasan por laescuadra para llegar aldodecaedro, caen en untronco de cono y por úl-timo regresan al planode donde salieron.

Vibración,Cuadrado 2

Jesús Soto

Construcción 2Carlos Cruz Diez

En elPaseo de Euclide s(1953), de René Magritte

(belga, 1898-1967)observamos un techo enforma de cono montado

sobre una torre cilíndrica yuna calle en perspectiva

extendida al infinito con unefecto visual de “parecerse”

a otro cono.



Ve n ta n a d id á c tic aEstrategias sugeridas al docente


Poliedro c on floresMaurits Escher

Hoy se considera una necesidad desde un punto de vista didáctico, científico, histórico

y cultural, recuperar el contenido espacial e intuitivo de la Geometría, el cual se puedelograr desde los primeros años de edad mediante un cierto componente lúdico, posponiendolas formalizaciones para cursos posteriores. Así, debe comenzarse por incentivar a losniños a descubrir propiedades de los objetos que los rodean mediante observaciones,manipulaciones, establecimiento de relaciones. Inducirlos a reconocer el espacio medianterecorridos, trayectorias, distancias... Entrenarlos a visualizar formas para luegorepresentarlas, analizar las diferencias entre realidad y representación, espacio y plano.De esta manera puede darse cuenta de que en el espacio un objeto se puede manipularpero la representación del mismo objeto en un plano, por ejemplo, no se puede manipular.Pensemos en una fotografía, a pesar de "ver" que es idéntica a la realidad no deja deser más que una representación de la realidad. A continuación se presenta una experienciaen la cual se pueden seguir los diferentes pasos que conducen a una aproximación a laforma de trabajar la Geometría en Educación Básica.

Construir un tetraedro

Fase exploratoriaSe presenta un conjunto de sólidos (cubo, cono, cilindro, tetraedro,paralelepípedo). Los alumnos señalarán sus diferencias y semejanzas.

Una vez determinadas sus semejanzas y diferencias, el docente realizarápreguntas como las siguientes: ¿cuáles poseen cuatro caras? ¿Quéformas tienen las caras? ¿Cuáles de estos sólidos tienen todas suscaras con formas de triángulo isósceles? Con lo que identificarán altetraedro no regular.

Fase de construcciónEl docente ha preparado figuras triangulares cuyas caras son triángulosisósceles de 6 cm de base y 6 cm de altura. Ha dividido al grupo dealumnos en equipos y entrega un modelo a cada uno de los equiposdiciendo que deben representar cuatro figuras con las mismas medidasque las entregadas por el docente, usando para ello el compás y laregla.

Fase de planeamiento del problemaEl docente pedirá a los alumnos que ensamblen las cuatro figuras cuyascaras son triángulos isósceles (que han sido construidas por ellos) paraobtener un modelo de tetraedro. Por ensayo y error los alumnos llegarána comprender que puedenobtener la solución por varias vías.

Se darán cuenta de que con un patrón como el indicado enrojo no podrán alcanzar la solución:

Se realizará una discusión colectiva con todos los equipos y se revisarán los conceptos de cara, aristas, vértices, triánguloisósceles, etc....La sesión finalizará con una actividad creativa por parte de los alumnos construyendo una nueva figura con todos ltetraedros de los diferentes equipos.

Construir un tetraedro (no regular)

Es tre llas (xilografía), 1948M.C. Escher



In fo rm a c ió n a c tu a liz a d a


Páginas webTIMSS. Ejemplos: Geometríawww.ince.mec.es/timss/geom.htmThe Geometry Center: www.geom.umn.eduMega Mathemathics: www.c3.lanl.gov/mega-math

Riverdeep: www.riverdeep.netMath resources inc : www.mathresources.comQuiz Lab: www.funbrain.comTeacher created materials: www.teachercreated.comMeridian Creative Group: www.meridiancg.comMiguel de Guzmán Ozámiz:www.mat.ucm.es/depots/am/guzman

VideosEspace en fête . Centre National de DivulgationPedagogique (CNDP), París, Francia.

Cordes a jouer : CNDP, París, Francia.Geometría en la Educación Básica: Centro Nacionalpara el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia-CENAMEC-, Venezuela.La armonía de los mundos : Serie Cosmos de CarlSagan, Vol. III. Turner Home Entertainment (1994).M.C. Escher. Geometría y mundos imposibles .Audiovisuales Mare Nostrum. Madrid, España.

BibliografíaBaena Ruiz, Julián y otros (1998),La esfera , Edit.Síntesis, Madrid, España.De Guzmán, Miguel(1994)Para pensar mejo r , PirámideS.A., Madrid, España.Memorias (1998) III Congreso Iberoamericano d e Edu cac ión M atem átic a , Caracas, Venezuela.National Principles and Standard for SchoolMathematics (NCTM-2000).ICMI Study Perspectives on the teaching of geometry for the 21st cent ury. Editado por C. Mammana y VinicioVillani (1998). Kluwer Academics Publishers, Holanda.

RevistasCurriculum Administrator. EE.UU.

Education Enfantine Nathan . Francia.Emma, Investigación e Innovación en EducaciónMatemática, Bogotá. Colombia.

Grand N IREM, Grenoble. Francia.

Enseñanza de la Matemática , Sociedad Venezolana deEducación Matemática. Venezuela.

Mathemathics Teachers . EE.UU.

Recherches en Didactique des Mathématiques . Francia.

The Elementary School Journal . EE.UU.

R e s u l t a d o s

Con

110 esferas seconstruyen una

piramide de base 6,una de base 3 y otra

de base 2

Necesitamos 30 esferas para generaresta piramide con base cuadrada y

sólo se requieren 20 esferas para lade base triángulo equilátero.

Esta es una de las soluciones



Miguel MéndezL a m a te m á tic a y e l P re m

Nació en Altagracia de Orituco, estadoGuárico, en 1955. Realizó sus estudiosde matemáticas en la Universidad Central

de Venezuela, donde obtuvo lalicenciatura en 1978. Posteriormente, en

la misma universidad, completó suformación obteniendo el título de Doctoren Ciencias, mención matemáticas, en1989, y realizó estudios postdoctorales

en el Instituto Tecnológico deMassachusetts (MIT), en el período 1991-92. El doctor Méndez es un reconocido

especialista en Análisis Combinatorio,área en la que ha realizado contribuciones

muy destacadas. Han sidoparticularmente significativos sus trabajos

sobre especies de Moebius, especiestensoriales y funciones simétricas. Con

el primero de ellos obtuvo en 1991 elpremio al Mejor Trabajo en Matemáticasotorgado por el CONICIT. Con su trabajo

sobre funciones simétricas obtuvonuevamente, en 1996, el referido premio.Ha sido profesor visitante de prestigiosasinstituciones académicas en el exterior yha publicado más de veinte trabajos en

algunas de las mejores revistas dematemáticas. Es actualmente investigadorasociado titular del IVIC, profesor titular

de la UCV, es miembro del Sistema dePromoción al Investigador y colabora conla Asociación Venezolana de

Competencias Matemáticas en lapreparación de jóvenes que participan

en olimpíadas internacionales dematemáticas. Obtuvo el Premio “LorenzoMendoza Fleury” de Fundación Polar en

el año 1993.Fotografía: F. Fernández

Muchos problemas de conteo de arreglos de objetos han sido estudiados desde laantigüedad hasta nuestros días. Por ejemplo: número de combinaciones den cosastomandok de ellas cada vez. Este tipo de problemas se puede considerar con repeticiónde los objetos que aparecen en los arreglos o sin ella, por ejemplo, contar la cantidadde banderas diferentes, con tres franjas de distintos colores, que se pueden hacer conlos colores amarillo, azul y rojo, es un ejemplo muy sencillo de conteo sin repeticione

pero si lo que queremos es contar el número de placas de automóvil que se puedenhacer con la nomenclatura que actualmente tenemos en Venezuela, tres letras y tresnúmeros, entonces hay que contar las posibles repeticiones, pues por ejemplo XDK 332es una placa y aquí el 3 aparece dos veces. Por cierto, ¿cuántas placas se puedenhacer? Otros problemas interesantes son los siguientes: contar el número de palabrasde una cierta longitud que pueden formarse usando un cierto número de letras. Decuántas formas se pueden distribuir los números del 1 al 9 en un cuadrado con nuevecasillas, cuyas filas, columnas y diagonales tienen la misma suma (cuadrados mágicos)¿Con 16 o 25 casillas? Un ejemplo muy importante que relaciona la Combinatoria conla Geometría se menciona en este fascículo: si tomamos un poliedro convexo (la definicióaparece en la página 023 de este fascículo) e indicamos con V el número de vértices,A el número de aristas o lados y C el número de caras y calculamos V-A+C, siempre

obtendremos 2, teniendo así la famosa fórmula de Euler V-A+C=2, la cual forma partde un grupo de resultados muy interesantes que hoy en día se estudian en diversasramas de la matemática, como son la Geometría, la Topología y el Álgebra.

La resolución de problemas como los mencionados en el párrafo anterior ha cobradogran importancia en los últimos años debido a sus aplicaciones en muchas áreas,particularmente en las ciencias de la computación. Las técnicas creadas para resolverdichos problemas han sido sistematizadas en lo que hoy se conoce como combinatoriaenumerativa, un área de la matemática que está en pleno desarrollo.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad yproductividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores yen el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús Gonzálezel biólogo José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.



ción POLAR• Matemá t i ca pa ra todos• Fascículo 2 - El mundo de las formas -GEOMETRÍA 1 Fundación POLAR• Matem á t i ca pa ra todos• Fascículo 2 - El mundo de las formas -GEOME

terialcartón o papel como el situado aquí abajo, donde se colocaránubo, un prisma de base hexagonal, un cono, una pirámidease triangular, una esfera, una pirámide de base cuadrada,ilindro, un prisma de base triangular y un prisma de baseangular.

uál es el sólido?

¿Cómo jugar?Uno de los jugadores, seleccionado para conducirel juego, escribe en un papel el nombre de unode los sólidos, a escondidas de los otros jugadores.Cada uno de los otros jugadores tiene derechoen su turno, a hacer una pregunta cuya respuestale dé pistas para llegar a saber ¿Cuál es elsólido?

Las preguntas deben ser hechas de tal maneraque las respuestas sean SÍ o NO, por ejemplo:¿Su base es cuadrada? ¿Todas las caras seencuentran en un punto?

El jugador que haga una pregunta clave parasaber ¿Cuál es el sólido? luego de recibir larespuesta, puede descubrirlo y debe explicarcómo llegó a esa conclusión.

En cada ronda habrá un ganador, al final del juego gana quien haya descubierto la mayorcantidad de sólidos.

ntillas para construir algunos sólidosa estas dos páginas en papel de cartulina para que puedas recortarlasmarlas luego.

uál es el sólido?es de armar la figura trata de adivinar ¿cuál es?

¡ A j u g a r !

La esfera deberá serrepresentada conuna metra grande uotro objeto esférico.



El Maestro José Rafael Acevedo (Caracas, 1800-1864) dictó la primeracátedra de matemáticas en la Universidad Central de Venezuela (UCV), en1827, la que había sido creada en los Estatutos Republicanos de la UCV,promulgados por el Libertador en ese mismo año. Fue el segundo maestrode la cátedra de matemáticas en 1830.“Todos los hombres notables del país que estudiaron Filosofía y Matemáticasantes de 1840, fueron sus discípulos, y muchos de ellos se formaron en supropia casa, donde fueron tratados con fraternal afecto” (Willy Ossott, 1956).

Carlos Raúl Villanueva (1900-1975)Arquitecto venezolano, diseñador de la UCV

Plaza Cubierta de la UniversidadCentral de Venezuela dondeobservamos alPastor de nubes(1953) de Jean Arp, escultor, pintory poeta francés (1887-1966) y alfondoMural(1954) de MateoManaure, pintor, diseñador y artistagráfico venezolano (1926- ).Fotografía:Obras de arte de la Ciudad Universitaria de Caracas . 1991. CONAC

En el año 2000 laUNESCO declaró a laUCV comoPatrimonio Culturalde la Humanidad.

E l m u n d o d e l a s l í n e a sM a t e m á t i c a p a r a t o d o s

Fascículo

Geometría II

El ambiente natural de losanimales es la selva. El ambientenatural de las obras artísticas sonlas plazas, los jardines, losedificios públicos, las fábricas,los aeropuertos.



Observemos figuras geométricas presentes en lanaturaleza o construidas por las personas. Fijemosnuestra atención en las líneas rectas o curvas

que se encuentran, tanto en objetos del espaciocomo en figuras planas.

034Fundación POLAR• M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 3 - El mundo de las líneas -GEOMETRÍA 2

Completa el mosaico

Pitágoras (siglo VI a.C.)Filósofo y matemático griego

El pentágono estrellado o estrella de cinco

puntas fue utilizado por los pitagóricos,

seguidores de la escuela de Pitágoras,

para identificarse entre sí.

Hay segmentos, rectas paralelas, triángulos,cuadrados, rectángulos, hexágonos y

muchas otras figuras, que tienen ladosrectos.

L ín ea s rec tas

D escu br iend o e l m un do



¡Oh, qué maravilla!En este gusano hay unalínea que se enrolla en símisma, es una espiral.

Los cables sostenidosentre dos postes no sonrectilíneos sinoCURVOS.


Líne as cu rvas

Aún hay más, existen figuras cuyos contornostienen partes rectas y partes curvas.

Arco de medio punto Arco mixtilíneo

Alexander Calder(1898-1976)Escultor norteamericano.Construyó estos móvilesen el Aula Magna de la UCV,atendiendo una invitaciónde Carlos Raúl Villanueva.

A tu alrededor hay muchos objetos con combinaciones de contornosrectilíneos, como segmentos y líneas poligonales, y contornoscurvos como arcos de circunferencia, semicircunferencias, espirales

y otras líneas curvas.

El célebre Yin-Yang osímbolo Taichi de la

filosofía taoísta (China,s. IV-III a.C.): el Yin,

principio femenino y elYang, principio masculino.

Estas líneas en forma de hélicerepresentan la molécula del ADN(Ácido Desoxirribonucleico) muy

importante en Medicina y Biología. T

a m b i é n

h a y

o b

j

e t o s

q u

e t i

e n

e n

c o n t o r n o c i r c u la r p o r t o d a s

p a r t

e s

y

e n

o t r

o s

s o n

c u r

v i l í n

e o s .

La parte metálicade una cesta debaloncesto es

unacircunferencia

Luna

Pedro Barreto, escultor venezolano

(1935- )



Todas esas figuras de un plano (segmentos, rectas, ángulos,circunferencias, polígonos) fueron estudiadas en la obraLos elementos de Euclides, matemático griego (300 a.C.), cuyo modelo de geometríaha permanecido hasta el presente. Una historia referida a Euclides,es la de un rey quien le preguntó si no había un camino más fácil paraaprender geometría que no fuera estudiandoLos elemento s . Euclidesrespondió: “No existe un camino real hacia la geometría”.

Fue solamente en el siglo XIX cuando se crearon geometrías distintasa la euclidiana, denominadas geometrías no euclidianas, puesto queen éstas no se verifica el 5º postulado de Euclides: por un puntoexterior a una recta pasa una única recta paralela a la misma.En la creación de las geometrías no euclidianas intervinieron B.Riemann (alemán, 1826-1886), J. Bolyai (húngaro, 1802-1860) y N

Lobachevsky (ruso, 1793-1856). N

. L o

b a c

h e v s

k y

B .

R i e m a n n

E u c

l i d e s e n

l a E s c u e

l a

d e

A t e n a s


S eg m en tos , s em irrec ta s y

A

B

El contorno de todasestas figuras son

segmentos (partes derectas).

Un triángulo Un cuadrado Una líneapoligonal

Un diseñoornamental

Semirrecta de origen Aque pasa por B

RectaSegmento AB de una recta Si tomas un pedazo de pabilo y lo estirascompletamente sin romperlo, resulta larepresentación de un segmento deextremos A y B.Si pudieras prolongar indefinidamenteese segmento por un extremo, obtienesuna semirrecta . En cambio, si loprolongas por ambos extremos resultauna recta.

A

B

A

B

INTERESANTEEn el espacio, cuando se dan dos rectasdistintas, tenemos tres posiciones relativas delas mismas:Rectas en un mismo plano como se dijoanteriormente: Paralelas como las rectasa yb ; Secantes , en el puntoP, como las rectasb y c .Rectas en planos distintos : a y c que no secortan. Se dice que sonrectas que se cruzan.

a b

c

P

Posicionesrelativas de dosrectas distintas

en un plano.Son parelelas sino se cortan.

Son secantes si secortan en un punto“O”.

O

Para dibujar segmentos,semirrectas,circunferencias, polígonos,se utilizan distintosinstrumentos de dibujo.También se utilizanpapeles cuadriculados ymilimetrados pararepresentar figuras.

J . B

o l y a

i




Á n g u lo s y p o líg o n o s

a b

O

AB

Consideremos dos semirrectasa y b de origencomún O, como se observa en la armazón delatril o en los techos inclinados y en otrasestructuras similares. En tal caso decimos quese tiene un ángulo formado por esassemirrectas. Las semirrectasa y b se llaman

lados del ángulo y éste se denota mediante elsímbolo AOB dondeA y B son puntoscualesquiera respectivamente, dea y b.

Ángulos

Con dos rectas que se cortan en un punto O se forman los ángulosAOB, BOC, COD y DOA. Los ángulos AOB y CODse

llaman opuestos por el vértice . Asimismo son los ángulos BOCy DOA. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Los ángulos AOD y COB son ángulos agudos ya que son menoresque 90° y los ángulos COD y AOB son ángulos obtusos porqueson mayores que 90° .

Si esos cuatro ángulosson iguales, se dice que

son ángulos rectos(90° ) y las dos rectas

son perpendiculares . A BOC

D

a

b

c

d

AB

O

C

D

a

b

c

d

A

BC

D

E

Colocando segmentos uno a continuación delotro, obtienes líneas poligonales.Los segmentos que forman la línea poligonalson sus lados.A y E son los extremos de la línea poligonal.Una línea poligonal es cerrada si sus extremoscoinciden.El polígono está formado por la línea poligonalcerrada y la región del plano encerrada porella.Un polígono es convexo si está situadototalmente en un mismo lado de una cualquierade sus rectas de apoyo Ej: ABCDE. En casocontrario es unpolígono no convexo ocóncavo. Ej: FGHI

Polígonos

Con el transportadormides los ángulos ytambién determinas

si un ángulo esrecto, obtuso

o agudo.

a

b

Polígonoconvexo

Polígonosno convexos

Lospolígonos

se clasificansegún el número

de lados

Número de Nombre del Prefijolados polígono griego

3 Triángulo Tri4 Cuadrilátero Cuadri5 Pentágono Penta6 Hexágono Hexa7 Heptágono Hepta8 Octógono Octo

A

B

a

bO



Cuadrado inscrito ycircunscrito en una

circunferencia

Triángulo equiláteroinscrito ycircunscrito en

una circunferencia

P o lígo no s reg u la re


Los polígonos tienen vértices, lados y ángulos. Los polígonos regulares sonaquellos cuyos lados tienen la misma longitud (lados congruentes) y sus ángulostienen la misma medida. En el espacio existen solamente cinco tipos de poliedrosregulares (cuerpos platónicos). En un plano se pueden construir infinitos polígonoregulares de cualquier número de lados mayor o igual que 3.

Víctor Vasarely(1908-1997) Artista cinéticofrancés de origen húngaro.Homenaje a Malevich . 1954. UCVFotografía: Paolo Gasparini

Este es un polígono con cuatrolados iguales (lados congruentes):el rombo

Este es un polígono con cuatrolados iguales y cuatro ángulosiguales: el cuadrado

Este es un polígono con cuatroángulos iguales (ánguloscongruentes): el rectángulo

Los incas, la civilización precolombina más desarrolladade América del Sur, fueron grandes constructores.Construyeron palacios, templos, una vasta red decaminos y dispusieron de un sistema eficaz de correos.En las tierras altas utilizaban la piedra. Templos y palacioseran generalmente construidos en un solo nivel sobreuna base rectangular. A veces los muros estaban hechosde bloques poligonales irregulares, y a veces de bloques

rectangulares. Una de las principales características dela arquitectura inca fue la forma trapezoidal para losdinteles. La puerta y ventanas trapezoidales con las jambas inclinadas la una hacia la otra de tal manera queel dintel resultaba más estrecho que el umbral.

Ponle el nombre a cada figura

INTERESANTECualquier polígono regularse puede inscribir ocircunscribir en unacircunferencia. Esto essimilar al caso de lospoliedros regulares ocuerpos platónicos que sepueden inscribir en una

esfera, como las esferasde Kepler.

Pentágono regularinscrito ycircunscrito en

una circunferencia

9876

2 3 4 51

Hexágono regularinscritoy circunscrito en una

circunferencia




El triángulo es un polígono de treslados. El triánguloABC se refiere al

triángulo determinado por los puntosA, B y C. En este caso sus lados son

los segmentos AB, BC y AC. Losángulos del triángulo son los ángulosde vértices A, B y C, es decir CAB,

ABC y BCAEl símbolo representa la palabra

triángulo. Así ABC significa eltriánguloABC.

Construyendo triángulosRecorta tiras de un centímetro de anchode cartulinas de tres colores diferentes(azul, verde y roja). En un color, recorta

tres tiras de 3 cm de largo. En otro color,tres tiras de 5 cm y del otro, tres tirasde 10 cm de largo.Con las tiras, primero construyetriángulos que tengan sus tres ladosiguales, es decir, sus tres lados de igualcolor. Luego, elige dos tiras de un colory otra de un color diferente. Y por último,tiras de diferentes colores. ¿Puedesconstruir triángulos con dos tiras rojasy una azul? ¿Y con dos azules y una

verde? ¿Y con tres de diferentescolores? ¿Qué relación de tamañodeben cumplir las tiras para que sepueda construir un triángulo? ¿Querelación deben tener las tiras paraconseguir un ángulo recto?Al final comprobarás que para construirtriángulos es necesario que la suma delos largos de dos tiras debe ser mayorque el tamaño de la tercera.

¿Qué es un triángulo?Todas estas figuras son triángulos.

Ninguna de estas figuras es untriángulo.

¿Cuál de estas figuras es untriángulo?

El triángulo tiene una característica especial, que en general otra forma no la tiene ypor ello es vital en la industria: es estable. En efecto, si a una estructura en forma detriángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices, la forma del triángulo permaneceObserva las estructuras de una torre utilizada en la extracción de petróleo, en una quesostiene una antena parabólica, y también en muchos edificios.

D escu br iend o e l m un

BC

A



Medianas: Segmentodesde cada vértice alpunto medio del lado

opuesto

Baricentro o Centrode gravedad

tambiéntienen

3

Ortocentro

Alturas: Segmentodesde cada vértice

perpendicular al ladoopuesto

L o s t r iá n g u l

o s


D e s c u b rie n d o la c la s ific a c ió n Escue la de Atenas (Detalle)Principal sitio de reunión de pensadores griegos. Óleopintado por Rafael Sanzio De Urbino. (1483-1520)

Por sus ángulos se clasifican

Acutángulo: Tienen tres ángulosagudos (menores que 90° )

Obtusángulo : Tienen un ánguloobtuso (mayor que 90° )

Rectángulo : Tienen unángulo recto (90° )

H i p o t e n u s a

Cateto

C a

t e t o

Equilátero: Tienen treslados iguales

Isósceles: Tienen doslados iguales

Por sus lados se clasifican

Escaleno : Sus treslados son desiguales

Incentro: Centro del círculoinscrito en el triángulo

Bisectrices: Semirrectaque divide cada ánguloen dos ángulos iguales

Mediatrices: Rectaperpendicular a cada lado

en su punto medio

Circuncentro : Centro del círculocircunscrito al triángulo



E l m u n d o d e l a s l í n e a s

041Fundación POLAR• M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 3 - El mundo de las líneas -GEOMETRÍA 2

En un campo se necesitaba construir un pozo de agua equidistante delas tres casas del dibujo. El maestro del pueblo conociendo la propiedadde las mediatrices del triángulo formado resolvió el problema: trazósegmentos que unieran a las casas y luego trazó las mediatrices deltriángulo. El punto donde se cortan las mediatrices, llamado circuncentro,equidista de los vértices del triángulo o de las casas. En ese punto seconstruyó el pozo de agua.

En una Escuela Industrial se construye una lámina de hierro homogénea enforma de triángulo escaleno para ser colgada del techo con un solo soporte.¿Dónde colocar el soporte para que la lámina estuviera horizontal?El soportedebe colocarse en el baricentro, punto de intersección de las medianas.Dibuja en un papel el resultado.

La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180 °

Observa la secuencia de las figuras

1

2 3

La suma de las medidas de losángulos 1, 2 y 3 del triángulo es 180°

31

2

2 3

1

Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, el área del cuadrado

construido sobre la hipotenusa es igual a la sumade las áreas de los cuadrados construidos sobrelos catetos.Observa cómo los cuadrados construidos sobrelos catetos cubren el cuadrado construido sobrela hipotenusa.El cuadrado superior derecho se descomponeubicando primero el punto de corte de lasdiagonales. Luego se trazan, por ese punto, unsegmento paralelo a la hipotenusa y un segmentoperpendicular a ella.En la figura se presenta una “versión visual” dela comprobación de este teorema.

C a t e t o

Hipotenusa

C a t e t o

La mediana y la hipotenusaEn un triángulo rectángulo ABC determinamos el punto medio M de lahipotenusa. Si colocamos la punta de un compás en el punto M, con aberturaMB, la circunferencia pasa por los tres vértices, por lo tanto M es elcircuncentro. Y además esto comprueba que la mediana AM mide la mitadde la hipotenusa BC.

A

B CM

FascículoM a t e m á t i c a p a r a t o d o s




G eo m etría y Para estudiar los planetas, entre ellos la Tierra, separte de la premisa de que tienen forma esférica. Estono es exacto pero es una forma adecuada derepresentar nuestro planeta a los fines de estudio. Así,consideramos la Tierra como una bola (esfera sólida)donde la superficie corresponde a la esfera (superficieesférica).En la Tierra distinguimos el Ecuador, los paralelos(cortando la esfera con planos paralelos al planoecuatorial) y los meridianos (cortando la esfera conplanos que pasan por los Polos Norte y Sur).

Venezuela está situada entre los paralelos 0°43’ Nortey 12°11’ Norte y los meridianos 59°48’ Oeste y 73°11’Oeste. Luego, el Ecuador (0° de latitud) pasa muy cercaal extremo Sur de Venezuela. El meridiano de Greenwichcorresponde a la longitud 0° y con este meridiano sedetermina la hora legal u hora universal en un país:cuando en Greenwich son las 12 m, en Venezuela son

las 8:00 a.m. hora legal. (4 horas antes correspondientesa 4 x 15°= 60° . El meridiano 59°48’ Oeste,aproximadamente 60°0’, pasa por Punta de Playa enel extremo este del estado Delta Amacuro y cada 15°

= 360° /24 equivalen a 1 hora. Caracas está situada a66°55’ Oeste.)

Paralelo

Ecuador

Paralelo

Meridiano

Hemisferio Norte

Hemisferio Sur S

N



Vasily KandinskyPintor ruso (1866-1944)Resonancia Multicolor

Kasimir MalevichPintor ruso (1878-1935)

Leñad or


G eo m etría y a rt

Piet Mondrian(1872-1944)

Broadway Boogie Woogie

El arte abstracto, comoopuesto al arte figurativo, surgeinicialmente como unaoposición contra todo aquelloque represente, imite oreproduzca la realidad. En elarte las proposicionesabstractas se presentan en dosdirecciones: el abstraccionismolírico y el abstraccionismogeométrico. El primero, concarácter intuitivo y expresivosin seguir reglas compositivas,se inicia a partir de Kandinskyy se apoya en el paradigma dela música. El geométrico sepromueve con Malevich y seconsolida con Mondrian segúnuna clara inspiración de laarquitectura.

Se considera a Vasily Kandinsky, uno de los iniciadores delarte abstracto. Pintó su primera obra abstracta en 1910. Estecuadro, La m ont aña azu l (1908), data de un período detransición en su carrera, donde la figuración va perdiendofuerza en aras de lo abstracto.

Vasily KandinskyAmarillo, Rojo y Azul

G u e r n

i c a

P a

b l o P i c a s s o

( 1 9 3 7 )

Las señor itas d e Av ig no n (1907), dePablo Picasso (pintorespañol, 1881-1973), considerada por algunos críticos dearte como la primera manifestación del cubismo(representación de volúmenes sobre superficies planasmediante líneas, curvas y rectas). Picasso desarrolló, juntocon Georges Braque (francés, 1882-1963), el cubismo analíticoy el cubismo sintético. Observemos, junto a los colores vivoslas líneas trazadas en la configuración de los personajes querevelan una concepción novedosa de la representación delespacio.




¡A ju g ar !con el TANGRAM

Para poder jugar con el TANGRAM vamos enprimer lugar a construir un octógono regular dela siguiente manera:

Traza unacircunferencia y dosdiámetrosperpendiculares.

1

Traza dos de lascuerdas que pasenpor los extremos dedos de los diámetrostrazados.

2

Una vez construido tuoctógono regular, ahora

construirás tu TANGRAMoctogonal de 8 piezas.

Necesitas un pedazo decartón o plástico, de

preferencia negro, traza tuoctógono regular y divídelo

como indica la figura, yluego trata de armar

algunas figuras que semuestran. ¡Inténtalo!

Inventa las tuyas también.

3 Determina el punto mediode esas cuerdas y traza unsegmento que pase por elcentro y ese punto medio.

Sobre la circunferencia se handeterminado 8 puntos que sonlos vértices de tu octógonoregular.

4

1 3

4

56

7

8

2

1 3

4

5

6

7

8

2



En la siguiente figura eltriánguloABCes rectángulo enA. AHes la altura yAB < AC.AE es la bisectriz del BAH.¿Es cierto que CA=CE? ¿Porqué?


Teng o q ue p ens a rlo

Esta gráfica recibe elnombre de Nefroide.

Observa y trázala usandouna regla y compás.Cuatro hermanos quieren dividir el

terreno en cuatro partes iguales yde igual forma. Ayúdalos a resolvereste problema dejando una casay un árbol en cada parcela.

2a

a

a

Traza cuatrolíneas rectas que

pasen por esos puntos sinvolver sobre ellos y sin levantar

el lápiz.

Cambia de posición tresfósforos y convierte lafigura en cuatro triángulos.

? ? ?

?

?

A

BC H E



Ve n tan a d id ác ticaEstrategias sugeridas al docente


A continuación se desarrolla en la clase una actividad en la que está presente unafaseexploratoria, otrade construcción y lade conclusiones , relacionadas con las diagonalesde los cuadriláteros. Para observar las características de las diagonales de los cuadriláteros,nos podemos auxiliar con piezas de papel, cartulina, cartón o plástico cortadas en formatriangular (sus bases tienen forma de triángulos).Cortando piezas iguales cuyas bases sean triángulos rectángulos y escalenos podemos“ver” formadas por sus bases figuras de cuatro lados, CUADRILÁTEROS, rectángulos,rombos, trapecios. Una vez construidos los triángulos cada alumno realizará las siguientesactividades.

Las diagonales de los cuadriláteros

M e t a m o r f o s i s Jesús Soto

Artista plástico venezolano (1923- )

AColocando dos piezas de manera que las hipotenusas de sus triángulos coincidan,como se muestra en el dibujo, queda representado unrectángulo y se puedever una diagonal (segmento cuyos extremos son dos de los vértices opuestos),que divide al rectángulo en dos triángulos iguales. Pregunte a los alumnos ¿cómoverificarlo?

Pídales que tracen las dos diagonales de un triángulo rectángulo.¿Qué observan?

Las respuestas serán variadas pero se enfatiza en que las diagonales se cortanen su punto medio y al hacerlo dividen la figura en cuatro triángulos.

También al medir, se puedecomprobar que las diagonales tienen igual longitudy que se cortan en un punto medio.

Si un rectángulo tiene sus cuatro lados de igual longitud, entonces es uncuadrado .

BColocando cuatro piezas en la forma que indica la figura, se puede “ver”otro cuadrilátero, en este caso el rombo que es equilátero por tener todossus lados de igual medida. ¿Cómo comprobarlo? ¿Qué observan en elrombo?Sus diagonales se cortan en su punto medio, formando ángulos rectos .Las dos diagonales dividen al rombo en cuatro triángulos iguales. Planteara los alumnos situaciones como las siguientes: ¿Se podría trazar un rombocomenzando por sus diagonales? ¿Cómo?Si un rombo tiene sus cuatro ángulos rectos, entonces es uncuadrado.

El cuadrado es unrectángulo yun rombo

CPara observar las características de las diagonales de un cuadrado nos podemos ayudar de piezas triangulares queson isósceles. De igual forma puede trabajarse con trapecios, paralelogramos y otros polígonos.

¿Qué concluyen?Rectángulos

Cuatro ángulos rectosRombosCuatro lados deigual longitud

Con estas dos piezas se puederepresentar un cuadrado y observar

una de sus diagonales.

Con cuatro de estas piezas sepuede representar un cuadrado yobservar sus dos diagonales.




In fo rm ac ió n ac tu a lizad aPáginas webTIMSS. Ejemplos: Geometríawww.ince.mec.es/timss/geom.htm

VideosCordes a jouer . CNDP, París, Francia.Espace en fête . Centre National de DivulgationPedagogique (CNDP), París, Francia.Geometría en la educación básica . Centro Nacional parael Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia CENAMEC,Venezuela.

BibliografíaICME Study(1998).Perspectives on the teaching of geom etry for the last century . Editado por CarmeloMammana y Vinicio Villani. Kluwer Academic PublisherHolanda.MUNARI, Bruno(1999).El t riáng ulo . Ediciones G.Gili.S.A. de CV, México.National Council Teachers of Mathematics -NCTM-(2000).Principles and Standards for School Math ematics .PAPPAS, Theoni (1999).The magic of mathematics . WideWorld Publishing / Tetra.

RevistasBoletines de la Enseñanza de la Matemática .ASOVEMAT.

Curriculum Administrator. 992 High Ridge Road, StanfordCT 06905, EE.UU.Education Enfantine Nathan. 9 rue Méchain 75014, París,Francia.Grand N IREM. BP 41 38402. S. Martin D’Heres(Francia).Mathemathics Teaching . Fing Chambers, Queen street,derby DE 1 3DA (Gran Bretaña).Recherches en Didactique des Mathématiques . 38002Grenoble Cedex, Francia.Revista EMA. http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogotá,Colombia

The Elementary School Journal .http://www.journals.uchicago.edu/ESJ,EE.UU.

Software (programas informáticos)Logo, Sketchpad y Cabri. Programas que permiten dibujarfiguras geométricas y estudiar sus propiedades. Los dosprimeros se diseñaron en Estados Unidos y el último enFrancia.

Resultados

ß = CAE = CAB - EAB = 90º - EAB∂ = 90º - HAE∂ + 90º + HAE = 180ºcomo HAE = EABentonces ∂ = ßLuego el triángulo CAE es isóscelesde donde CE=CA

A

BC H E∂

ß

Acto I I Asdrúbal Colmenárez




Luis Herrera Cometta

L a m a te m á tic a y e l P re mNació en 1946. Obtuvo un master en

Ciencias Físicas (summa cum laude ) enla Universidad de la Amistad, Moscú, en

1968, y recibió su doctorado en el InstitutoHenri Poincare, Facultad de Ciencias deParís, en 1971. Su trabajo en el campode la Física Teórica, particularmente en

las áreas de relatividad general, astrofísicarelativista y teoría clásica de campos, leha permitido capitalizar el reconocimientointernacional de sus pares. Es profesortitular de la Facultad de Ciencias de la

Universidad Central de Venezuela y hasido profesor invitado en varias

universidades de EE.UU., España yFrancia. Es miembro del Sistema de

Promoción al Investigador (Nivel IV) y en1997 el CONICIT le otorgó el Premio

Nacional de Ciencias, mención CienciasNaturales y Exactas. Obtuvo el Premio

“Lorenzo Mendoza Fleury” de FundaciónPolar en el año 1985.

Fotografía: Jorge Vall

Según el Dr. Herrera, la aparición de la Relatividad General en la segunda década delsiglo XX, representó una verdadera revolución en la Física Teórica, entre otras cosas ysobre todo, por el papel protagónico que juega en ella la Geometría.Hasta el advenimiento de la Relatividad General, en todas las teorías físicas conocidas(la mecánica, el electromagnetismo, la termodinámica, la óptica, la hidrodinámica, etclos fenómenos físicos que se describen, tienen lugar en un espacio físico y un tiempo,cuyas propiedades están predeterminadas. Así por ejemplo, en estas teorías laspropiedades del espacio físico están descritas por lo que se conoce como Geometríade Euclides, la misma que aprendemos en la escuela.La gran novedad que aporta la Relatividad General, consiste en que no sólo no usa laGeometría Euclídea para describir los procesos gravitacionales, sino que, y esto esposiblemente lo más revolucionario de su propuesta, el espacio y el tiempo dejan de sesimples escenarios donde se desarrollan los acontecimientos y pasan a ser variablesfísicas que cambian dependiendo de la distribución de la materia. Por primera vez enla historia de la Física, un fenómeno natural (la gravitación), se adscribe totalmente alas propiedades geométricas del espacio y el tiempo, y se describe formalmente entérminos geométricos.La geometría que se utiliza en la relatividad general se debe sobre todo al matemáticoalemán Bernhard Riemann, quien formuló sus bases en el siglo XIX. Sin embargo, losdesarrollos que le permitieron a Einstein proponer su teoría de la gravitación fueronintroducidos por Ricci a principios del siglo XX.Al establecer una relación entre la materia y las características geométricas del espacioy el tiempo, la Relatividad General permite crear modelos del Universo (modeloscosmológicos), algunas de cuyas propiedades han sido verificadas en recientesobservaciones. Estas teorías permiten una mayor y mejor comprensión del Universo.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros másdestacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedoy Yosslen Aray, el físico Jesús González, el biólogo José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.



Todos los objetos tienen una forma y ocupan un lugaren el espacio que podemos medir por medio de laGeometría. Así, Geo (tierra) y Metron (medida),vocablos griegos, originan la palabra Geometría,considerada la rama de la Matemática que estudia lasformas y sus relaciones.

Galileo Galilei (1564-1642)Matemático, físico y astrónomo italiano

Óvalo Polar, obra cinética de Jesús Soto, uno delos máximos exponentes del arte cinético universal.Nació en el estado Bolívar (1923- ), donde hayun Museo que lleva su nombre. Ha realizadoexposiciones en Venezuela, Francia, EstadosUnidos, Italia y muchos otros países. La obraengalana la sala de entrada del edificio FundaciónPolar en Caracas.Fotografía: Sabina Caula

El Universo está escrito en ellenguaje de la matemática y suscaracteres son triángulos, círculosy otras figuras geométricas, sin lascuales es humanamente imposibleentender una palabra de él




J ohannes Kepler (1571-1630)Astrónomo y matemático alemán

E n

l a

n a

t u r a

l

e z a s e e n c u

e n t r

a n m u c h a s fo r m a s y o t r a s

s o

n h e c h a s p

o r

l

a s

p e r s o

n a

s

Estas son redondas por todas partes, esdecir, tienen forma esférica.

Observa que todas lascaras de estos tresobjetos son planas.

Otras formas tienen partescurvas y partes planas .Las latas de atún y los dosvasos son ejemplos de esto.

Estas partes son planas

Estas partes son curvas

Completa el patrón

D e s c u b r ie n d o e l m u n d o d e

F o

t o g r a

f í a s :

R .

C h o v e

t




Circunferencia y círculo

INTERESANTESi consideramos una varilla de longitudR,fijada en un extremoC y la movemoslibremente en el espacio, el otro extremodescribe un esfera de radioR. Esto significaque la distancia de cualquier puntoP de laesfera a su centro no varía y esta distanciaes igual al radioR.

RC

P1

P

P2Loscuerpos que

observas son redondospor todas partes pero de

ellos sólo visualizamos susuperficie, que es de forma

esférica y la denominamosesfera(superficie esférica). La esferaconjuntamente con la regióndel espacio encerrada por

ella la llamamos esferasólida (˝bola˝).

El corte o intersección de un plano con unaesfera es una circunferencia.Esta es una propiedad característica de laesfera.Si el plano pasa por el centro de la esfera,

resulta unacircunferencia máxima (su radioes igual al radio R de la esfera). Al considerarla esfera sólida y el corte con un plano seobtiene el círculo. Si el plano pasa por elcentro C, resulta uncírculo máximo.

Al hacer un corte a una esfera con un plano, por ejemplo un limóno una cebolla de forma esférica cortada con un cuchillo, resultauna circunferencia sobre la esfera, en la concha del limón. Elcírculo es la circunferencia junto con la región del plano encerradapor ella.


C

PR

Plano

C i r c u n f e r e

n c i a

Circunferenciamáxima

INTERESANTEPara construir una circunferencia tomamos unatachuela o un clavo que fijamos a una hoja depapel. Amarramos una cuerda en la tachuela oclavo y en el otro extremo un lápiz que movemospara trazar la circunferencia sobre el papel. Ladistancia de un puntoP de la circunferencia asu centroC no varía y esta distancia es igual alradioR.

R

C

PD i á m e t r

o

Lápiz

Tachuela R

a d i o

F o r m a s c o m p le ta m e n te re d o n




Base

E j e

Base

S u p e r f i c

i e c

i l í n d r i c a

( e s

l a s u p e r f i c

i e l a t e r a

l )

S e g m e n

t o s v e r t i c a

l e s

Circunferencia C

F o r m a s c o n p a r te s p la n a s y s uCilindro

INTERESANTEPara construir un cilindro, primero debes recortardos bases circulares del mismo radio hechascon cartón, luego pasas hilos de la mismalongitud por agujeros en el borde de éstas, entreuna base y la otra. Colocas una varilla resistentecomo eje (en el centro de las bases) de modoque los hilos estén paralelos y permanezcantensos.

Todos estos cuerpos tienen partes planas y superficiescurvas, a este tipo de formas se les llama cilindro.Si levantamos segmentos verticales en los puntos deuna circunferencia C (son segmentos perpendicularesal plano que la contiene) y que tengan una mismalongitud, obtenemos una superficie cilíndrica.El círculo limitado por la circunferencia C es una base.El cilindro es el sólido definido por la superficie cilíndrica,las dos bases de ésta y la región del espacio encerradapor ellas.

OBSERVADos tipos de cilindros, según que su ejesea o no perpendicular a las bases.

90°

E j e

Base

Base

Cilindro recto es aquél quetiene su eje perpendicular alas bases.

Cilindro oblicuo esaquél que no tiene sueje perpendicular a lasbases.

Al hacer un corte en un cilindro rectocon un plano paralelo a las bases(esto es, perpendicular al eje) resultaun círculo.Si el corte se hace con un plano

paralelo al eje, entonces resulta unrectángulo.

Repite el patrón


Base

Base

Hilos

Varilla

E j e

Base

Base

Johnson and Son C o m p a n y

Wisconsin, Estados Unidos





ConoEl cono es otro cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. Siunimos con segmentos los puntos de una circunferencia C con otropunto V situado fuera del plano de esa circunferencia, obtendremos unasuperficie cónica .El cono esta formado por la superficie cónica, la base circular de éstay la región del espacio encerrada por ellas.

INTERESANTEPara construir uncono , primero debesrecortar una base circular en cartón,luego pasas hilos de la misma longitudpor agujeros en el borde y los unes enel otro extremo. Colocas una varillaresistente como eje (desde la base hastael nudo de los hilos) de modo que los

hilos permanezcan tensos.

Círculo

Superficie cónica(es la superficie lateral)

CircunferenciaC

E j e

Cono oblicuo es aquélque no tiene su ejeperpendicular a su base.

Base circular

E j e

Base circular= 90°

Al cortar un cono recto con un plano paraleloa la base (esto es, perpendicular al eje),

resulta un círculo.El sólido obtenido al quitar la parte que

contiene al vértice es un cono truncado o tronco de cono .

Cono recto es aquél quetiene su eje perpendiculara su base.

Hilos

Base

Nudo

Varilla

Las ruedas más antiguas se construyeron en Sumeria, entre los años ¿3500 y 3000 a.C.? La formaoriginal de esas ruedas era la de un disco de madera fijado a un eje mediante espigas de madera.Los egipcios utilizaron troncos de árboles para transportar grandes piedras. Se supone que laprimera rueda fue un trozo de tronco de árbol cortado en forma parecida a la de un cilindro.Los incas, la cultura más desarrollada en América del Sur antes de la llegada de los españoles,no conocieron la rueda y como hacían grandes construcciones en piedra utilizaban rodillos demadera para transportar esas piedras, parecido a lo que hacían los egipcios.

Vértice V Vértice V

Corte de Jus t ic ia Londres, Inglaterra

F o

t o g r a

f í a s :

R .

C h o v e

t



F o r m a s c o n p a r te s p la n a s y s u


Los griegos fueron los primeros en considerar la esfera como unobjeto matemático y la definieron como la superficie obtenida algirar una circunferencia alrededor de uno de sus diámetros.

Del plano a l espa cio(los cuerpos o sólidos de revolución)

Templo de Del fos Uno de los raros edificios circularesde la arquitectura griega.

Elcilindro y elcono también se obtienen por rotación.• Toma una tira de papel de 5 cm de ancho por 20

cm de largo y pégala a una varilla de cualquierlongitud. Al rotar la varilla visualizarás un cilindro.

• Toma un triángulo rectánguloABVde hipotenusaAV y ángulo recto en el vérticeB. Al girar lahipotenusa alrededor del catetoVBvisualizarás el

cono.


A

B

V

9 0

°


5 c m

2 0 c m

Completa la sucesión

¿Qué se obtiene al girar una semicircunferenciaalrededor de su diámetro?

¿Qué se obtiene al girar un círculo alrededor de unode sus diámetros?

¿Qué se obtiene si giras un rectángulo alrededor deuno de sus lados?

¿Qué se obtiene si en la construcción que hiciste deun cilindro con hilos, tuerces (giras) media vueltalos discos, uno hacia la derecha y otro hacia laizquierda?

¿Qué se obtiene al hacer un corte en un cono rectocon un plano que contiene al eje?



V Número

de vértices

6

F o rm a s c o n to d a s s u s c a r a s p l

023Fundación POLAR• M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 2 - El mundo de las formas -GEOMETRÍA 1

Leonhard Euler(matemático suizo 1707-1783) fue uno de los más prolíficos matemáticos. Publicómás de 850 obras en vida y dejó muchísimos trabajos sin publicar. Desde 1771, cuando quedótotalmente ciego, dictaba a sus asistentes o escribía en un largo pizarrón las fórmulas para ellos.En geometría es conocido por laRecta de Euler y por la Fórmula d e Euler.

La «Recta de Euler» es la recta determinada por el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de untriángulo. La «Fórmula de Euler» relaciona el número de caras, vértices y aristas en un poliedro.

Poliedros

VERIFICACiÓN

Observa algunos poliedros y sus nombres de acuerdo al número de caras.

Poliedros

C Númerode caras

Octaedro 8

Sus caras son polígonos: triángulos, rectángulos,paralelogramos que no son rectángulos, trapecios,pentágonos, etc. Un poliedro esconvexo si al

colocar dos dedos sobre el mismo, los cualesdeterminan los puntos A y B, todo el segmento ABasí determinado está dentro del poliedro. Tambiénse dice que un poliedro es convexo si está situadoen un mismo lado de uno cualquiera de sus planosde apoyo (plano que contiene una cara). Todoslos poliedros arriba representados son convexos.

Si contamos las caras, los vértices y las aristas del octaedro convexose cumple con laFórmula de Euler V-A+C = 2.

Construye una tabla como la de al lado y verifica laFórmula d e Euler.

Muchas de las edificaciones construidas por loshumanos y algunos cuerpos de la naturaleza, tienenforma de poliedros . Los poliedros son cuerposlimitados por un número finito de superficies planas.Las superficies planas sonpolígonos que reciben

el nombre de caras delpoliedro. La intersecciónde dos caras es una arista y el punto de intersecciónde más de dos caras es un vértice.

Pol iedro d e Caracas Una edificación donde su cobertura es una suma depoliedros colocados de tal manera que asemeja una

superficie curva.

Octaedro 8 caras

Pentaedro 5 caras

Nonaedro 9 caras

Dodecaedro 12 caras

Hexaedro 6 caras

Hexaedro 6 caras

Heptaedro 7 caras

VérticeA r i s t

a

Ca ra

ANúmero

de aristas

12

A ti, mar de los sueños angulares, flor de cincoformas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro

Rafael Alberti (Poeta español, 1902-1999;Premio Cervantes 1983)

A

B

Convexo



Observa loscinco poliedros

regulares, las carasidénticas que se

encuentran en cadavértice y el elemento

que representan.

Tetraedro(fuego)

I c o s a e d r o

( a g u a )

D o d e c a e d r o

( u n i v e r s o )

O c t a e d r o

( a i r e )

C u b o

( t i e r r a )


Poliedros regulares son aquellos poliedros convexos en los que todas sus caras son polígonosregulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras. Los poliedrosregulares han intrigado a los matemáticos por miles de años. La existencia de sólo cinco tipos

de poliedros regulares figuran en la explicación que dio Platón a ciertos fenómenos en sufamoso diálogoTimeo . Estos poliedros se asocian a los cuatros elementos (Fuego, Tierra,Aire, Agua) y al Universo. Los cinco poliedros regulares son llamados Poliedros Platónicos.

Los pitagóricos (siglo VI a.C.) pensaban que los planetas se movían en superficies esféricas cuyo centro era la Tierra.Dichos movimientos producían sonidos armónicos a los que llamaron “la música de las esferas”. Así explicaban el univecon esta teoría de “Armonía celeste”. Muchos siglos después, en 1595, el astrónomo y matemático Johannes Kepler (1571630), en sus consideraciones acerca de la armonía matemática del Universo, formuló una teoría en relación con lasdistancias entre los planetas para lo cual se valió de los cinco poliedros regulares metidos dentro de esferas: seis esferaque correspondían a los seis planetas conocidos en su tiempo (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) separado(en ese orden) por el cubo, el tetraedro, el dodecaedro, el octaedro y el icosaedro. Kepler intentó encontrar las razonesde por qué solamente existían seis planetas y cinco poliedros regulares. Su teoría fue posteriormente desechada con eldescubrimiento de Urano en 1781.

Platón Filósofo griego (428-347 a.C.)

Poliedros platónicos

La Armonía de las esferas según Kepler


Compendium Julio Pacheco RivasPintor venezolano (1953- )Galería de Arte Nacional



La palabra pirámide evoca uno de los monumentos construidos por los antiguosegipcios. Los más grandes sólidos geométricos hechos por el hombre se construyeroncerca de 2600 años a.C. Uno de estos sólidos es laGran Pirámide de Egipto, en lafoto, la única de las siete maravillas del mundo todavía en existencia. Esta pirámidse realizó colocando más de dos millones de bloques de piedra, pesando entre 2 y150 toneladas cada una. La Gran Pirámide pertenece a los poliedros llamadospirámides.

Otros poliedros: Pirámides


Entre las culturas antiguas de México destacan lateotihuacana, la maya y la azteca. En Teotihuacán estabanlas pirámides del Sol y la Luna. La civilización Maya (s. III-XVI) tuvo su desarrollo en México y Centroamérica. Hicierongrandes construcciones utilizando la piedra. Entre éstasdestacan los templos elevados a una gran altura como lascinco pirámides de Tikal. También los aztecas (en México),en la gran ciudad de Tenochtitlán, una de las mayores delmundo para la época de la llegada de los españoles, hicierongrandes construcciones, algunas de ellas de forma piramidal.

Pirámide cuadrada Pirámide triangular Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal

Aunque los egipcios y los mayas escogieron la forma cuadrada para la base de sus pirámides, otrospolígonos también pueden ser utilizados como base. Observa:

Las caras laterales de una pirámideson triángulos que tienen un puntocomún. Este punto común recibe elnombre de vértice de la pirámide.

VérticeV

Caras lateralestriángulos

Del espacio al planoToma una esfera, un cubo, una pirámide o un cono y haz incidiruna luz sobre ellos para que genere una sombra sobre la pared.¿Cómo es la sombra de cada uno de ellos?



Uno de los tipos más comunes de poliedros lo constituyen los prismas ocajas. Observa algunos prismas:

Prismas

Liceo de l Futuro Poitiers, Francia



La Casa de Piedra en los valles de Aragua, de la etapa precolombina, fue construida con grandes piedras o lajas que se

sostenían entre sí. Su entrada era de forma “prismática”, con dos piedras de 3,5 m de largo cuyos lados constituían laparedes del estrecho zaguán, apoyándose en el suelo y con separación de 1,5 m. Sobre esas dos lajas se situaba otrade 4 m de largo con un saliente de 1,5 m a manera de porche. No se localizó, pero se tiene referencia de ella por unmemoria de la Dirección General de Estadísticas de Venezuela de 1873.Fuente: E. Arcila Farías,Hist oria d e la Ing eniería en Venezue la , 1961.

Repite la secuencia

Prisma rectangular o caja Prisma triangular Prisma hexagonal

Bases rectangulares Bases triangularesBaseshexagonales

Prisma

Paralelogramos

Paralelo-gramos

Un prisma es un poliedro en el que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes, llamadasbases del prisma. Los prismas se nombran por la forma de sus bases.

En un prisma, las caras que no son bases se denominan caras laterales.Los prismas cuyas caras laterales son rectángulos, se llaman prismasrectos; de otra forma son llamados prismas oblicuos. Los prismas rec-tangulares rectos o “cajas” también son llamadosparalelepípedos .Uno de los paralelepípedos más utilizado es el cubo.

RETOCon 36 cubos formamos el prisma de la

derecha (3 x 3 x 4).¿Cuántos prismas diferentes podemos

formar con los treinta y seis cubos?



Relaciones espacialesUn cubo se puededividir exactamenteen tres pirámides.Una de ellas es lapirámide cuadrada devértices E, F, G, H yC. Nombra los cincovértices de las otrasdos pirámides quedividen el cubo.

La pirámide FHACdivide al cubo en 5pirámidestriangulares. Señalalos otros cuatrovértices de las otrascuatro pirámidestriangulares.


Te n g o q u e p e n s aDibuja en los

cuadros vacíoslas figuras que

faltan

¿Puedes construir un cubocon tres bandas iguales depapel de diferentes colores,de forma tal que las carasopuestas sean del mismocolor?

Escuela de Atenas (Detalle)Principal sitio de reunión de pensadores griegosRealizada por Rafael Sanzio (1483-1520)

El dibujocorresponde a unaestructura metálica.Una persona quiereir del punto A al B,sin retroceder nisubir.¿Cuántas rutaspuede elegir?

¿Cuántas esferasnecesitarás para construir

esta pirámide de basecuadrada?

¿Y si su base es untriángulo equilátero?

Con110 esferas se

construyen 3 pirámi-des de base cuadrada

¿Cuáles serán susbases y el número

de pisos?

A

B

B

A

C

D

E

F

G

H

B

A

D

E

F

G

H

C




G e o m e tr ía y te c nMaqueta de l t ransbordador NASA, Cabo Kennedy, EE.UU.

En el lanzamiento de untransbordador espacial se

utiliza un cohete a los finesde colocarlo en órbita. La

ilustración muestra laconfiguración de los tanquesde combustible de oxígenolíquido, de hidrógeno líquidoy el intertanque que es unconector mecánico entre los

otros tanques.

Utilizando las dimensiones de las partes de loscomponentes del transbordador se puede calcular

aproximadamente el volumen total de los tres tanques.Para ello hay que considerar que:

la forma del tanque de hidrógeno es cilíndrica con tapas,el tanque de oxígeno es la combinación de un cono, un

cilindroy una media esfera.

G e o m e tr ía y¿Has visto un panal de abejas? Visto de frente se parece a un piso cubierto demosaicos hexagonales. Pero su forma tridimensional es la de prismas rectoshexagonales. Entre el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular,este último tiene el menor perímetro para un área establecida. Esto significaque en los panales de abejas en forma de prisma hexagonal se usa menos cerapara su construcción.

Las abejas y la geometría

El prisma y la luzEl prisma es utilizado para producir el espectro de colores desde el rojohasta el violeta. La luz blanca que incide en una de las caras laterales deun prisma triangular cambia de curso cuando pasa a través del prisma yda origen al espectro de colores, según muestra la figura.

L u z b

l a n c a

F o

t o g r a

f í a s :

R .

C h o v e

t




G e o m e tr ía y a r teMuseo de l Louvre

París, Francia

La presencia de la matemática en el arte se manifiesta desde tiemposremotos. Los griegos utilizaron la geometría en la construcción desus monumentos. Los artistas del Renacimiento (s. XV), entre los

cuales mencionaremos a Rafael Sanzio y Leonardo Da Vinci, crearonla perspectiva para representar la profundidad.La Últim a Cena ,obra cumbre del equilibrio y de estudio de caracteres, donde semanifiesta un uso acentuado de la perspectiva, marcó una nuevaetapa en la pintura. Además, los árabes (s. XII-XV) en la región deAndalucía, decoraron sus palacios mediante un espléndido artegeométrico. En el siglo XX muchos artistas han utilizado figurasgeométricas en sus obras: Jesús Soto, Cruz Diez, Maurits Escher,Pablo Picasso, Vasili Kandinsky, Salvador Dalí, Piet Mondrian, RenéMagritte, para mencionar algunos.

Algunas obras artísticas com-binan las formas geométricas,como la mostrada a continuación,Rep t i l e s (1943) del pintor y gra-bador holandés Maurits Escher(1898-1972). Sus obras tienenun gran componente geométrico.

A partir del mundo plano(bidimensional) se creaun mundo espacial(tridimensional).

Los reptiles salen delpapel donde están dibujados, saltan al libro debiología, pasan por laescuadra para llegar aldodecaedro, caen en untronco de cono y por úl-timo regresan al planode donde salieron.

Vibración,Cuadrado 2

Jesús Soto

Const rucc ión 2 Carlos Cruz Diez

En elPaseo de Euclides (1953), de René Magritte

(belga, 1898-1967)observamos un techo enforma de cono montado

sobre una torre cilíndrica yuna calle en perspectiva

extendida al infinito con unefecto visual de “parecerse”

a otro cono.





Pol iedro con f lores Maurits Escher

Hoy se considera una necesidad desde un punto de vista didáctico, científico, histórico

y cultural, recuperar el contenido espacial e intuitivo de la Geometría, el cual se puedelograr desde los primeros años de edad mediante un cierto componente lúdico, posponiendolas formalizaciones para cursos posteriores. Así, debe comenzarse por incentivar a losniños a descubrir propiedades de los objetos que los rodean mediante observaciones,manipulaciones, establecimiento de relaciones. Inducirlos a reconocer el espacio medianterecorridos, trayectorias, distancias... Entrenarlos a visualizar formas para luegorepresentarlas, analizar las diferencias entre realidad y representación, espacio y plano.De esta manera puede darse cuenta de que en el espacio un objeto se puede manipularpero la representación del mismo objeto en un plano, por ejemplo, no se puede manipular.Pensemos en una fotografía, a pesar de "ver" que es idéntica a la realidad no deja deser más que una representación de la realidad. A continuación se presenta una experienciaen la cual se pueden seguir los diferentes pasos que conducen a una aproximación a laforma de trabajar la Geometría en Educación Básica.

Construir un tetraedro

Fase exploratoriaSe presenta un conjunto de sólidos (cubo, cono, cilindro, tetraedro,paralelepípedo). Los alumnos señalarán sus diferencias y semejanzas.

Una vez determinadas sus semejanzas y diferencias, el docente realizarápreguntas como las siguientes: ¿cuáles poseen cuatro caras? ¿Quéformas tienen las caras? ¿Cuáles de estos sólidos tienen todas suscaras con formas de triángulo isósceles? Con lo que identificarán altetraedro no regular.

Fase de construcciónEl docente ha preparado figuras triangulares cuyas caras son triángulosisósceles de 6 cm de base y 6 cm de altura. Ha dividido al grupo dealumnos en equipos y entrega un modelo a cada uno de los equiposdiciendo que deben representar cuatro figuras con las mismas medidasque las entregadas por el docente, usando para ello el compás y laregla.

Fase de planeamiento del problemaEl docente pedirá a los alumnos que ensamblen las cuatro figuras cuyascaras son triángulos isósceles (que han sido construidas por ellos) paraobtener un modelo de tetraedro. Por ensayo y error los alumnos llegarána comprender que puedenobtener la solución por varias vías.

Se darán cuenta de que con un patrón como el indicado enrojo no podrán alcanzar la solución:

Se realizará una discusión colectiva con todos los equipos y se revisarán los conceptos de cara, aristas, vértices, triánguloisósceles, etc....La sesión finalizará con una actividad creativa por parte de los alumnos construyendo una nueva figura con todos ltetraedros de los diferentes equipos.

Construir un tetraedro (no regular)

Estrellas (xilografía), 1948M.C. Escher





Páginas webTIMSS. Ejemplos: Geometríawww.ince.mec.es/timss/geom.htmThe Geometry Center: www.geom.umn.eduMega Mathemathics: www.c3.lanl.gov/mega-math

Riverdeep: www.riverdeep.netMath resources inc : www.mathresources.comQuiz Lab: www.funbrain.comTeacher created materials: www.teachercreated.comMeridian Creative Group: www.meridiancg.comMiguel de Guzmán Ozámiz:www.mat.ucm.es/depots/am/guzman

VideosEspace en fête . Centre National de DivulgationPedagogique (CNDP), París, Francia.

Cordes a jouer : CNDP, París, Francia.Geometría en la Educación Básica: Centro Nacionalpara el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia-CENAMEC-, Venezuela.La armonía de los mundos : Serie Cosmos de CarlSagan, Vol. III. Turner Home Entertainment (1994).M.C. Escher. Geometría y mundos imposibles .Audiovisuales Mare Nostrum. Madrid, España.

BibliografíaBaena Ruiz, Julián y otros (1998),La esfera , Edit.Síntesis, Madrid, España.De Guzmán, Miguel(1994)Para pensar mejo r , PirámideS.A., Madrid, España.Memorias (1998) III Congreso Iberoamericano d e Edu cac ión M atem átic a , Caracas, Venezuela.National Principles and Standard for SchoolMathematics (NCTM-2000).ICMI Study Perspectives on the teaching of geometry for the 21st cent ury. Editado por C. Mammana y VinicioVillani (1998). Kluwer Academics Publishers, Holanda.

RevistasCurriculum Administrator. EE.UU.

Education Enfantine Nathan . Francia.Emma, Investigación e Innovación en EducaciónMatemática, Bogotá. Colombia.

Grand N IREM, Grenoble. Francia.

Enseñanza de la Matemática , Sociedad Venezolana deEducación Matemática. Venezuela.

Mathemathics Teachers . EE.UU.

Recherches en Didactique des Mathématiques . Francia.

The Elementary School Journal . EE.UU.

R e s u l t a d o s

Con

110 esferas seconstruyen una

piramide de base 6,una de base 3 y otra

de base 2

Necesitamos 30 esferas para generaresta piramide con base cuadrada y

sólo se requieren 20 esferas para lade base triángulo equilátero.

Esta es una de las soluciones



Miguel MéndezL a m a te m á tic a y e l P re m

Nació en Altagracia de Orituco, estadoGuárico, en 1955. Realizó sus estudiosde matemáticas en la Universidad Central

de Venezuela, donde obtuvo lalicenciatura en 1978. Posteriormente, en

la misma universidad, completó suformación obteniendo el título de Doctoren Ciencias, mención matemáticas, en1989, y realizó estudios postdoctorales

en el Instituto Tecnológico deMassachusetts (MIT), en el período 1991-92. El doctor Méndez es un reconocido

especialista en Análisis Combinatorio,área en la que ha realizado contribuciones

muy destacadas. Han sidoparticularmente significativos sus trabajos

sobre especies de Moebius, especiestensoriales y funciones simétricas. Con

el primero de ellos obtuvo en 1991 elpremio al Mejor Trabajo en Matemáticasotorgado por el CONICIT. Con su trabajo

sobre funciones simétricas obtuvonuevamente, en 1996, el referido premio.Ha sido profesor visitante de prestigiosasinstituciones académicas en el exterior yha publicado más de veinte trabajos en

algunas de las mejores revistas dematemáticas. Es actualmente investigadorasociado titular del IVIC, profesor titular

de la UCV, es miembro del Sistema dePromoción al Investigador y colabora conla Asociación Venezolana de

Competencias Matemáticas en lapreparación de jóvenes que participan

en olimpíadas internacionales dematemáticas. Obtuvo el Premio “LorenzoMendoza Fleury” de Fundación Polar en

el año 1993.Fotografía: F. Fernández

Muchos problemas de conteo de arreglos de objetos han sido estudiados desde laantigüedad hasta nuestros días. Por ejemplo: número de combinaciones den cosastomandok de ellas cada vez. Este tipo de problemas se puede considerar con repeticiónde los objetos que aparecen en los arreglos o sin ella, por ejemplo, contar la cantidadde banderas diferentes, con tres franjas de distintos colores, que se pueden hacer conlos colores amarillo, azul y rojo, es un ejemplo muy sencillo de conteo sin repeticione

pero si lo que queremos es contar el número de placas de automóvil que se puedenhacer con la nomenclatura que actualmente tenemos en Venezuela, tres letras y tresnúmeros, entonces hay que contar las posibles repeticiones, pues por ejemplo XDK 332es una placa y aquí el 3 aparece dos veces. Por cierto, ¿cuántas placas se puedenhacer? Otros problemas interesantes son los siguientes: contar el número de palabrasde una cierta longitud que pueden formarse usando un cierto número de letras. Decuántas formas se pueden distribuir los números del 1 al 9 en un cuadrado con nuevecasillas, cuyas filas, columnas y diagonales tienen la misma suma (cuadrados mágicos)¿Con 16 o 25 casillas? Un ejemplo muy importante que relaciona la Combinatoria conla Geometría se menciona en este fascículo: si tomamos un poliedro convexo (la definicióaparece en la página 023 de este fascículo) e indicamos con V el número de vértices,A el número de aristas o lados y C el número de caras y calculamos V-A+C, siempre

obtendremos 2, teniendo así la famosa fórmula de Euler V-A+C=2, la cual forma partde un grupo de resultados muy interesantes que hoy en día se estudian en diversasramas de la matemática, como son la Geometría, la Topología y el Álgebra.

La resolución de problemas como los mencionados en el párrafo anterior ha cobradogran importancia en los últimos años debido a sus aplicaciones en muchas áreas,particularmente en las ciencias de la computación. Las técnicas creadas para resolverdichos problemas han sido sistematizadas en lo que hoy se conoce como combinatoriaenumerativa, un área de la matemática que está en pleno desarrollo.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad yproductividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores yen el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús Gonzálezel biólogo José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.



ción POLAR• Matemá t i ca pa ra todos• Fascículo 2 - El mundo de las formas -GEOMETRÍA 1 Fundación POLAR• Matem á t i ca pa ra todos• Fascículo 2 - El mundo de las formas -GEOME

terialcartón o papel como el situado aquí abajo, donde se colocaránubo, un prisma de base hexagonal, un cono, una pirámidease triangular, una esfera, una pirámide de base cuadrada,ilindro, un prisma de base triangular y un prisma de baseangular.

uál es el sólido?

¿Cómo jugar?Uno de los jugadores, seleccionado para conducirel juego, escribe en un papel el nombre de unode los sólidos, a escondidas de los otros jugadores.Cada uno de los otros jugadores tiene derechoen su turno, a hacer una pregunta cuya respuestale dé pistas para llegar a saber ¿Cuál es elsólido?

Las preguntas deben ser hechas de tal maneraque las respuestas sean SÍ o NO, por ejemplo:¿Su base es cuadrada? ¿Todas las caras seencuentran en un punto?

El jugador que haga una pregunta clave parasaber ¿Cuál es el sólido? luego de recibir larespuesta, puede descubrirlo y debe explicarcómo llegó a esa conclusión.

En cada ronda habrá un ganador, al final del juego gana quien haya descubierto la mayorcantidad de sólidos.

ntillas para construir algunos sólidosa estas dos páginas en papel de cartulina para que puedas recortarlasmarlas luego.

uál es el sólido?es de armar la figura trata de adivinar ¿cuál es?

¡ A j u g a r !

La esfera deberá serrepresentada conuna metra grande uotro objeto esférico.



El Maestro José Rafael Acevedo (Caracas, 1800-1864) dictó la primeracátedra de matemáticas en la Universidad Central de Venezuela (UCV), en1827, la que había sido creada en los Estatutos Republicanos de la UCV,promulgados por el Libertador en ese mismo año. Fue el segundo maestrode la cátedra de matemáticas en 1830.“Todos los hombres notables del país que estudiaron Filosofía y Matemáticasantes de 1840, fueron sus discípulos, y muchos de ellos se formaron en supropia casa, donde fueron tratados con fraternal afecto” (Willy Ossott, 1956).

Carlos Raúl Villanueva (1900-1975)Arquitecto venezolano, diseñador de la UCV

Plaza Cubierta de la UniversidadCentral de Venezuela dondeobservamos alPastor de nubes(1953) de Jean Arp, escultor, pintory poeta francés (1887-1966) y alfondoMural(1954) de MateoManaure, pintor, diseñador y artistagráfico venezolano (1926- ).Fotografía:Obras de arte de la Ciudad Universitaria de Caracas . 1991. CONAC

En el año 2000 laUNESCO declaró a laUCV comoPatrimonio Culturalde la Humanidad.

E l m u n d o d e l a s l í n e a sM a t e m á t i c a p a r a t o d o s

Fascículo

Geometría II

El ambiente natural de losanimales es la selva. El ambientenatural de las obras artísticas sonlas plazas, los jardines, losedificios públicos, las fábricas,los aeropuertos.



Observemos figuras geométricas presentes en lanaturaleza o construidas por las personas. Fijemosnuestra atención en las líneas rectas o curvas

que se encuentran, tanto en objetos del espaciocomo en figuras planas.


Completa el mosaico

Pitágoras (siglo VI a.C.)Filósofo y matemático griego

El pentágono estrellado o estrella de cinco

puntas fue utilizado por los pitagóricos,

seguidores de la escuela de Pitágoras,

para identificarse entre sí.

Hay segmentos, rectas paralelas, triángulos,cuadrados, rectángulos, hexágonos y

muchas otras figuras, que tienen ladosrectos.

L ín ea s rec tas

D escu br iend o e l m un do



¡Oh, qué maravilla!En este gusano hay unalínea que se enrolla en símisma, es una espiral.

Los cables sostenidosentre dos postes no sonrectilíneos sinoCURVOS.


Líne as cu rvas

Aún hay más, existen figuras cuyos contornostienen partes rectas y partes curvas.

Arco de medio punto Arco mixtilíneo

Alexander Calder(1898-1976)Escultor norteamericano.Construyó estos móvilesen el Aula Magna de la UCV,atendiendo una invitaciónde Carlos Raúl Villanueva.

A tu alrededor hay muchos objetos con combinaciones de contornosrectilíneos, como segmentos y líneas poligonales, y contornoscurvos como arcos de circunferencia, semicircunferencias, espirales

y otras líneas curvas.

El célebre Yin-Yang osímbolo Taichi de la

filosofía taoísta (China,s. IV-III a.C.): el Yin,

principio femenino y elYang, principio masculino.

Estas líneas en forma de hélicerepresentan la molécula del ADN(Ácido Desoxirribonucleico) muy

importante en Medicina y Biología. T

a m b i é n

h a y

o b

j

e t o s

q u

e t i

e n

e n

c o n t o r n o c i r c u la r p o r t o d a s

p a r t

e s

y

e n

o t r

o s

s o n

c u r

v i l í n

e o s .

La parte metálicade una cesta debaloncesto es

unacircunferencia

Luna

Pedro Barreto, escultor venezolano

(1935- )



Todas esas figuras de un plano (segmentos, rectas, ángulos,circunferencias, polígonos) fueron estudiadas en la obraLos elementos de Euclides, matemático griego (300 a.C.), cuyo modelo de geometríaha permanecido hasta el presente. Una historia referida a Euclides,es la de un rey quien le preguntó si no había un camino más fácil paraaprender geometría que no fuera estudiandoLos elemento s . Euclidesrespondió: “No existe un camino real hacia la geometría”.

Fue solamente en el siglo XIX cuando se crearon geometrías distintasa la euclidiana, denominadas geometrías no euclidianas, puesto queen éstas no se verifica el 5º postulado de Euclides: por un puntoexterior a una recta pasa una única recta paralela a la misma.En la creación de las geometrías no euclidianas intervinieron B.Riemann (alemán, 1826-1886), J. Bolyai (húngaro, 1802-1860) y N

Lobachevsky (ruso, 1793-1856). N

. L o

b a c

h e v s

k y

B .

R i e m a n n

E u c

l i d e s e n

l a E s c u e

l a

d e

A t e n a s


S eg m en tos , s em irrec ta s y

A

B

El contorno de todasestas figuras son

segmentos (partes derectas).

Un triángulo Un cuadrado Una líneapoligonal

Un diseñoornamental

Semirrecta de origen Aque pasa por B

RectaSegmento AB de una recta Si tomas un pedazo de pabilo y lo estirascompletamente sin romperlo, resulta larepresentación de un segmento deextremos A y B.Si pudieras prolongar indefinidamenteese segmento por un extremo, obtienesuna semirrecta . En cambio, si loprolongas por ambos extremos resultauna recta.

A

B

A

B

INTERESANTEEn el espacio, cuando se dan dos rectasdistintas, tenemos tres posiciones relativas delas mismas:Rectas en un mismo plano como se dijoanteriormente: Paralelas como las rectasa yb ; Secantes , en el puntoP, como las rectasb y c .Rectas en planos distintos : a y c que no secortan. Se dice que sonrectas que se cruzan.

a b

c

P

Posicionesrelativas de dosrectas distintas

en un plano.Son parelelas sino se cortan.

Son secantes si secortan en un punto“O”.

O

Para dibujar segmentos,semirrectas,circunferencias, polígonos,se utilizan distintosinstrumentos de dibujo.También se utilizanpapeles cuadriculados ymilimetrados pararepresentar figuras.

J . B

o l y a

i




Á n g u lo s y p o líg o n o s

a b

O

AB

Consideremos dos semirrectasa y b de origencomún O, como se observa en la armazón delatril o en los techos inclinados y en otrasestructuras similares. En tal caso decimos quese tiene un ángulo formado por esassemirrectas. Las semirrectasa y b se llaman

lados del ángulo y éste se denota mediante elsímbolo AOB dondeA y B son puntoscualesquiera respectivamente, dea y b.

Ángulos

Con dos rectas que se cortan en un punto O se forman los ángulosAOB, BOC, COD y DOA. Los ángulos AOB y CODse

llaman opuestos por el vértice . Asimismo son los ángulos BOCy DOA. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Los ángulos AOD y COB son ángulos agudos ya que son menoresque 90° y los ángulos COD y AOB son ángulos obtusos porqueson mayores que 90° .

Si esos cuatro ángulosson iguales, se dice que

son ángulos rectos(90° ) y las dos rectas

son perpendiculares . A BOC

D

a

b

c

d

AB

O

C

D

a

b

c

d

A

BC

D

E

Colocando segmentos uno a continuación delotro, obtienes líneas poligonales.Los segmentos que forman la línea poligonalson sus lados.A y E son los extremos de la línea poligonal.Una línea poligonal es cerrada si sus extremoscoinciden.El polígono está formado por la línea poligonalcerrada y la región del plano encerrada porella.Un polígono es convexo si está situadototalmente en un mismo lado de una cualquierade sus rectas de apoyo Ej: ABCDE. En casocontrario es unpolígono no convexo ocóncavo. Ej: FGHI

Polígonos

Con el transportadormides los ángulos ytambién determinas

si un ángulo esrecto, obtuso

o agudo.

a

b

Polígonoconvexo

Polígonosno convexos

Lospolígonos

se clasificansegún el número

de lados

Número de Nombre del Prefijolados polígono griego

3 Triángulo Tri4 Cuadrilátero Cuadri5 Pentágono Penta6 Hexágono Hexa7 Heptágono Hepta8 Octógono Octo

A

B

a

bO



Cuadrado inscrito ycircunscrito en una

circunferencia

Triángulo equiláteroinscrito ycircunscrito en

una circunferencia

P o lígo no s reg u la re


Los polígonos tienen vértices, lados y ángulos. Los polígonos regulares sonaquellos cuyos lados tienen la misma longitud (lados congruentes) y sus ángulostienen la misma medida. En el espacio existen solamente cinco tipos de poliedrosregulares (cuerpos platónicos). En un plano se pueden construir infinitos polígonoregulares de cualquier número de lados mayor o igual que 3.

Víctor Vasarely(1908-1997) Artista cinéticofrancés de origen húngaro.Homenaje a Malevich . 1954. UCVFotografía: Paolo Gasparini

Este es un polígono con cuatrolados iguales (lados congruentes):el rombo

Este es un polígono con cuatrolados iguales y cuatro ángulosiguales: el cuadrado

Este es un polígono con cuatroángulos iguales (ánguloscongruentes): el rectángulo

Los incas, la civilización precolombina más desarrolladade América del Sur, fueron grandes constructores.Construyeron palacios, templos, una vasta red decaminos y dispusieron de un sistema eficaz de correos.En las tierras altas utilizaban la piedra. Templos y palacioseran generalmente construidos en un solo nivel sobreuna base rectangular. A veces los muros estaban hechosde bloques poligonales irregulares, y a veces de bloques

rectangulares. Una de las principales características dela arquitectura inca fue la forma trapezoidal para losdinteles. La puerta y ventanas trapezoidales con las jambas inclinadas la una hacia la otra de tal manera queel dintel resultaba más estrecho que el umbral.

Ponle el nombre a cada figura

INTERESANTECualquier polígono regularse puede inscribir ocircunscribir en unacircunferencia. Esto essimilar al caso de lospoliedros regulares ocuerpos platónicos que sepueden inscribir en una

esfera, como las esferasde Kepler.

Pentágono regularinscrito ycircunscrito en

una circunferencia

9876

2 3 4 51

Hexágono regularinscritoy circunscrito en una

circunferencia




El triángulo es un polígono de treslados. El triánguloABC se refiere al

triángulo determinado por los puntosA, B y C. En este caso sus lados son

los segmentos AB, BC y AC. Losángulos del triángulo son los ángulosde vértices A, B y C, es decir CAB,

ABC y BCAEl símbolo representa la palabra

triángulo. Así ABC significa eltriánguloABC.

Construyendo triángulosRecorta tiras de un centímetro de anchode cartulinas de tres colores diferentes(azul, verde y roja). En un color, recorta

tres tiras de 3 cm de largo. En otro color,tres tiras de 5 cm y del otro, tres tirasde 10 cm de largo.Con las tiras, primero construyetriángulos que tengan sus tres ladosiguales, es decir, sus tres lados de igualcolor. Luego, elige dos tiras de un colory otra de un color diferente. Y por último,tiras de diferentes colores. ¿Puedesconstruir triángulos con dos tiras rojasy una azul? ¿Y con dos azules y una

verde? ¿Y con tres de diferentescolores? ¿Qué relación de tamañodeben cumplir las tiras para que sepueda construir un triángulo? ¿Querelación deben tener las tiras paraconseguir un ángulo recto?Al final comprobarás que para construirtriángulos es necesario que la suma delos largos de dos tiras debe ser mayorque el tamaño de la tercera.

¿Qué es un triángulo?Todas estas figuras son triángulos.

Ninguna de estas figuras es untriángulo.

¿Cuál de estas figuras es untriángulo?

El triángulo tiene una característica especial, que en general otra forma no la tiene ypor ello es vital en la industria: es estable. En efecto, si a una estructura en forma detriángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices, la forma del triángulo permaneceObserva las estructuras de una torre utilizada en la extracción de petróleo, en una quesostiene una antena parabólica, y también en muchos edificios.

D escu br iend o e l m un

BC

A



Medianas: Segmentodesde cada vértice alpunto medio del lado

opuesto

Baricentro o Centrode gravedad

tambiéntienen

3

Ortocentro

Alturas: Segmentodesde cada vértice

perpendicular al ladoopuesto

L o s t r iá n g u l

o s


D e s c u b rie n d o la c la s ific a c ió n Escue la de Atenas (Detalle)Principal sitio de reunión de pensadores griegos. Óleopintado por Rafael Sanzio De Urbino. (1483-1520)

Por sus ángulos se clasifican

Acutángulo: Tienen tres ángulosagudos (menores que 90° )

Obtusángulo : Tienen un ánguloobtuso (mayor que 90° )

Rectángulo : Tienen unángulo recto (90° )

H i p o t e n u s a

Cateto

C a

t e t o

Equilátero: Tienen treslados iguales

Isósceles: Tienen doslados iguales

Por sus lados se clasifican

Escaleno : Sus treslados son desiguales

Incentro: Centro del círculoinscrito en el triángulo

Bisectrices: Semirrectaque divide cada ánguloen dos ángulos iguales

Mediatrices: Rectaperpendicular a cada lado

en su punto medio

Circuncentro : Centro del círculocircunscrito al triángulo



E l m u n d o d e l a s l í n e a s

041Fundación POLAR• M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 3 - El mundo de las líneas -GEOMETRÍA 2

En un campo se necesitaba construir un pozo de agua equidistante delas tres casas del dibujo. El maestro del pueblo conociendo la propiedadde las mediatrices del triángulo formado resolvió el problema: trazósegmentos que unieran a las casas y luego trazó las mediatrices deltriángulo. El punto donde se cortan las mediatrices, llamado circuncentro,equidista de los vértices del triángulo o de las casas. En ese punto seconstruyó el pozo de agua.

En una Escuela Industrial se construye una lámina de hierro homogénea enforma de triángulo escaleno para ser colgada del techo con un solo soporte.¿Dónde colocar el soporte para que la lámina estuviera horizontal?El soportedebe colocarse en el baricentro, punto de intersección de las medianas.Dibuja en un papel el resultado.

La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180 °

Observa la secuencia de las figuras

1

2 3

La suma de las medidas de losángulos 1, 2 y 3 del triángulo es 180°

31

2

2 3

1

Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, el área del cuadrado

construido sobre la hipotenusa es igual a la sumade las áreas de los cuadrados construidos sobrelos catetos.Observa cómo los cuadrados construidos sobrelos catetos cubren el cuadrado construido sobrela hipotenusa.El cuadrado superior derecho se descomponeubicando primero el punto de corte de lasdiagonales. Luego se trazan, por ese punto, unsegmento paralelo a la hipotenusa y un segmentoperpendicular a ella.En la figura se presenta una “versión visual” dela comprobación de este teorema.

C a t e t o

Hipotenusa

C a t e t o

La mediana y la hipotenusaEn un triángulo rectángulo ABC determinamos el punto medio M de lahipotenusa. Si colocamos la punta de un compás en el punto M, con aberturaMB, la circunferencia pasa por los tres vértices, por lo tanto M es elcircuncentro. Y además esto comprueba que la mediana AM mide la mitadde la hipotenusa BC.

A

B CM





G eo m etría y Para estudiar los planetas, entre ellos la Tierra, separte de la premisa de que tienen forma esférica. Estono es exacto pero es una forma adecuada derepresentar nuestro planeta a los fines de estudio. Así,consideramos la Tierra como una bola (esfera sólida)donde la superficie corresponde a la esfera (superficieesférica).En la Tierra distinguimos el Ecuador, los paralelos(cortando la esfera con planos paralelos al planoecuatorial) y los meridianos (cortando la esfera conplanos que pasan por los Polos Norte y Sur).

Venezuela está situada entre los paralelos 0°43’ Nortey 12°11’ Norte y los meridianos 59°48’ Oeste y 73°11’Oeste. Luego, el Ecuador (0° de latitud) pasa muy cercaal extremo Sur de Venezuela. El meridiano de Greenwichcorresponde a la longitud 0° y con este meridiano sedetermina la hora legal u hora universal en un país:cuando en Greenwich son las 12 m, en Venezuela son

las 8:00 a.m. hora legal. (4 horas antes correspondientesa 4 x 15°= 60° . El meridiano 59°48’ Oeste,aproximadamente 60°0’, pasa por Punta de Playa enel extremo este del estado Delta Amacuro y cada 15°

= 360° /24 equivalen a 1 hora. Caracas está situada a66°55’ Oeste.)

Paralelo

Ecuador

Paralelo

Meridiano

Hemisferio Norte

Hemisferio Sur S

N



Vasily KandinskyPintor ruso (1866-1944)Resonancia Multicolor

Kasimir MalevichPintor ruso (1878-1935)

Leñad or


G eo m etría y a rt

Piet Mondrian(1872-1944)

Broadway Boogie Woogie

El arte abstracto, comoopuesto al arte figurativo, surgeinicialmente como unaoposición contra todo aquelloque represente, imite oreproduzca la realidad. En elarte las proposicionesabstractas se presentan en dosdirecciones: el abstraccionismolírico y el abstraccionismogeométrico. El primero, concarácter intuitivo y expresivosin seguir reglas compositivas,se inicia a partir de Kandinskyy se apoya en el paradigma dela música. El geométrico sepromueve con Malevich y seconsolida con Mondrian segúnuna clara inspiración de laarquitectura.

Se considera a Vasily Kandinsky, uno de los iniciadores delarte abstracto. Pintó su primera obra abstracta en 1910. Estecuadro, La m ont aña azu l (1908), data de un período detransición en su carrera, donde la figuración va perdiendofuerza en aras de lo abstracto.

Vasily KandinskyAmarillo, Rojo y Azul

G u e r n

i c a

P a

b l o P i c a s s o

( 1 9 3 7 )

Las señor itas d e Av ig no n (1907), dePablo Picasso (pintorespañol, 1881-1973), considerada por algunos críticos dearte como la primera manifestación del cubismo(representación de volúmenes sobre superficies planasmediante líneas, curvas y rectas). Picasso desarrolló, juntocon Georges Braque (francés, 1882-1963), el cubismo analíticoy el cubismo sintético. Observemos, junto a los colores vivoslas líneas trazadas en la configuración de los personajes querevelan una concepción novedosa de la representación delespacio.




¡A ju g ar !con el TANGRAM

Para poder jugar con el TANGRAM vamos enprimer lugar a construir un octógono regular dela siguiente manera:

Traza unacircunferencia y dosdiámetrosperpendiculares.

1

Traza dos de lascuerdas que pasenpor los extremos dedos de los diámetrostrazados.

2

Una vez construido tuoctógono regular, ahora

construirás tu TANGRAMoctogonal de 8 piezas.

Necesitas un pedazo decartón o plástico, de

preferencia negro, traza tuoctógono regular y divídelo

como indica la figura, yluego trata de armar

algunas figuras que semuestran. ¡Inténtalo!

Inventa las tuyas también.

3 Determina el punto mediode esas cuerdas y traza unsegmento que pase por elcentro y ese punto medio.

Sobre la circunferencia se handeterminado 8 puntos que sonlos vértices de tu octógonoregular.

4

1 3

4

56

7

8

2

1 3

4

5

6

7

8

2



En la siguiente figura eltriánguloABCes rectángulo enA. AHes la altura yAB < AC.AE es la bisectriz del BAH.¿Es cierto que CA=CE? ¿Porqué?


Teng o q ue p ens a rlo

Esta gráfica recibe elnombre de Nefroide.

Observa y trázala usandouna regla y compás.Cuatro hermanos quieren dividir el

terreno en cuatro partes iguales yde igual forma. Ayúdalos a resolvereste problema dejando una casay un árbol en cada parcela.

2a

a

a

Traza cuatrolíneas rectas que

pasen por esos puntos sinvolver sobre ellos y sin levantar

el lápiz.

Cambia de posición tresfósforos y convierte lafigura en cuatro triángulos.

? ? ?

?

?

A

BC H E



Ve n tan a d id ác ticaEstrategias sugeridas al docente


A continuación se desarrolla en la clase una actividad en la que está presente unafaseexploratoria, otrade construcción y lade conclusiones , relacionadas con las diagonalesde los cuadriláteros. Para observar las características de las diagonales de los cuadriláteros,nos podemos auxiliar con piezas de papel, cartulina, cartón o plástico cortadas en formatriangular (sus bases tienen forma de triángulos).Cortando piezas iguales cuyas bases sean triángulos rectángulos y escalenos podemos“ver” formadas por sus bases figuras de cuatro lados, CUADRILÁTEROS, rectángulos,rombos, trapecios. Una vez construidos los triángulos cada alumno realizará las siguientesactividades.

Las diagonales de los cuadriláteros

M e t a m o r f o s i s Jesús Soto


AColocando dos piezas de manera que las hipotenusas de sus triángulos coincidan,como se muestra en el dibujo, queda representado unrectángulo y se puedever una diagonal (segmento cuyos extremos son dos de los vértices opuestos),que divide al rectángulo en dos triángulos iguales. Pregunte a los alumnos ¿cómoverificarlo?

Pídales que tracen las dos diagonales de un triángulo rectángulo.¿Qué observan?

Las respuestas serán variadas pero se enfatiza en que las diagonales se cortanen su punto medio y al hacerlo dividen la figura en cuatro triángulos.

También al medir, se puedecomprobar que las diagonales tienen igual longitudy que se cortan en un punto medio.

Si un rectángulo tiene sus cuatro lados de igual longitud, entonces es uncuadrado .

BColocando cuatro piezas en la forma que indica la figura, se puede “ver”otro cuadrilátero, en este caso el rombo que es equilátero por tener todossus lados de igual medida. ¿Cómo comprobarlo? ¿Qué observan en elrombo?Sus diagonales se cortan en su punto medio, formando ángulos rectos .Las dos diagonales dividen al rombo en cuatro triángulos iguales. Planteara los alumnos situaciones como las siguientes: ¿Se podría trazar un rombocomenzando por sus diagonales? ¿Cómo?Si un rombo tiene sus cuatro ángulos rectos, entonces es uncuadrado.

El cuadrado es unrectángulo yun rombo

CPara observar las características de las diagonales de un cuadrado nos podemos ayudar de piezas triangulares queson isósceles. De igual forma puede trabajarse con trapecios, paralelogramos y otros polígonos.

¿Qué concluyen?Rectángulos

Cuatro ángulos rectosRombosCuatro lados deigual longitud

Con estas dos piezas se puederepresentar un cuadrado y observar

una de sus diagonales.

Con cuatro de estas piezas sepuede representar un cuadrado yobservar sus dos diagonales.




In fo rm ac ió n ac tu a lizad aPáginas webTIMSS. Ejemplos: Geometríawww.ince.mec.es/timss/geom.htm

VideosCordes a jouer . CNDP, París, Francia.Espace en fête . Centre National de DivulgationPedagogique (CNDP), París, Francia.Geometría en la educación básica . Centro Nacional parael Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia CENAMEC,Venezuela.

BibliografíaICME Study(1998).Perspectives on the teaching of geom etry for the last century . Editado por CarmeloMammana y Vinicio Villani. Kluwer Academic PublisherHolanda.MUNARI, Bruno(1999).El t riáng ulo . Ediciones G.Gili.S.A. de CV, México.National Council Teachers of Mathematics -NCTM-(2000).Principles and Standards for School Math ematics .PAPPAS, Theoni (1999).The magic of mathematics . WideWorld Publishing / Tetra.

RevistasBoletines de la Enseñanza de la Matemática .ASOVEMAT.

Curriculum Administrator. 992 High Ridge Road, StanfordCT 06905, EE.UU.Education Enfantine Nathan. 9 rue Méchain 75014, París,Francia.Grand N IREM. BP 41 38402. S. Martin D’Heres(Francia).Mathemathics Teaching . Fing Chambers, Queen street,derby DE 1 3DA (Gran Bretaña).Recherches en Didactique des Mathématiques . 38002Grenoble Cedex, Francia.Revista EMA. http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogotá,Colombia

The Elementary School Journal .http://www.journals.uchicago.edu/ESJ,EE.UU.

Software (programas informáticos)Logo, Sketchpad y Cabri. Programas que permiten dibujarfiguras geométricas y estudiar sus propiedades. Los dosprimeros se diseñaron en Estados Unidos y el último enFrancia.

Resultados

ß = CAE = CAB - EAB = 90º - EAB∂ = 90º - HAE∂ + 90º + HAE = 180ºcomo HAE = EABentonces ∂ = ßLuego el triángulo CAE es isóscelesde donde CE=CA

A

BC H E∂

ß

Acto I I Asdrúbal Colmenárez




Luis Herrera Cometta

L a m a te m á tic a y e l P re mNació en 1946. Obtuvo un master en

Ciencias Físicas (summa cum laude ) enla Universidad de la Amistad, Moscú, en

1968, y recibió su doctorado en el InstitutoHenri Poincare, Facultad de Ciencias deParís, en 1971. Su trabajo en el campode la Física Teórica, particularmente en

las áreas de relatividad general, astrofísicarelativista y teoría clásica de campos, leha permitido capitalizar el reconocimientointernacional de sus pares. Es profesortitular de la Facultad de Ciencias de la

Universidad Central de Venezuela y hasido profesor invitado en varias

universidades de EE.UU., España yFrancia. Es miembro del Sistema de

Promoción al Investigador (Nivel IV) y en1997 el CONICIT le otorgó el Premio

Nacional de Ciencias, mención CienciasNaturales y Exactas. Obtuvo el Premio

“Lorenzo Mendoza Fleury” de FundaciónPolar en el año 1985.

Fotografía: Jorge Vall

Según el Dr. Herrera, la aparición de la Relatividad General en la segunda década delsiglo XX, representó una verdadera revolución en la Física Teórica, entre otras cosas ysobre todo, por el papel protagónico que juega en ella la Geometría.Hasta el advenimiento de la Relatividad General, en todas las teorías físicas conocidas(la mecánica, el electromagnetismo, la termodinámica, la óptica, la hidrodinámica, etclos fenómenos físicos que se describen, tienen lugar en un espacio físico y un tiempo,cuyas propiedades están predeterminadas. Así por ejemplo, en estas teorías laspropiedades del espacio físico están descritas por lo que se conoce como Geometríade Euclides, la misma que aprendemos en la escuela.La gran novedad que aporta la Relatividad General, consiste en que no sólo no usa laGeometría Euclídea para describir los procesos gravitacionales, sino que, y esto esposiblemente lo más revolucionario de su propuesta, el espacio y el tiempo dejan de sesimples escenarios donde se desarrollan los acontecimientos y pasan a ser variablesfísicas que cambian dependiendo de la distribución de la materia. Por primera vez enla historia de la Física, un fenómeno natural (la gravitación), se adscribe totalmente alas propiedades geométricas del espacio y el tiempo, y se describe formalmente entérminos geométricos.La geometría que se utiliza en la relatividad general se debe sobre todo al matemáticoalemán Bernhard Riemann, quien formuló sus bases en el siglo XIX. Sin embargo, losdesarrollos que le permitieron a Einstein proponer su teoría de la gravitación fueronintroducidos por Ricci a principios del siglo XX.Al establecer una relación entre la materia y las características geométricas del espacioy el tiempo, la Relatividad General permite crear modelos del Universo (modeloscosmológicos), algunas de cuyas propiedades han sido verificadas en recientesobservaciones. Estas teorías permiten una mayor y mejor comprensión del Universo.




M a t e m á t i c a p a r a t o d o sFascículo

Geometría III

“Los que conocen a este señor deploraban y deploran que no se haya hecho uso de lasventajas que ofrece un joven venezolano que a una vasta ilustración en las matemáticasque ha estudiado por más de catorce años en España y Francia, une la noble ambición

de consagrarse al bien de su país sin más recompensa, además de una módica subsistencia,que el honor de tributarle sus servicios y merecer de este modo la estimación pública”.José María Vargas, refiriéndose a Juan Manuel Cajigal (en el tope), en su informe del 3 de octubre de 1830 en

relación con la creación de la Academia de Matemática, de la que Cajigal fue su primer maestro y primer director.

Juan Manuel Cajigal yOdoardo (1803-1856)Ingeniero, militar, matemáticoy periodista venezolano

Wapa de la etnia panaredonde se observansimetrías.Fotografía: Cristina Paván, Casa AlejoZuloaga. San Joaquín, estadoCarabobo.

El mundo de los movimientosy de las simetrías



La geometría no es sólo el estudio de las figuras y sus propiedades, sinotambién los movimientos de esas figuras. El deslizarse en una patineta o enuna pista de hielo, trasladarse en una escalera mecánica, girar en un autoo en la rueda o verse en un espejo son movimientos físicos. Algo interesanteen estos movimientos es que la persona o el objeto que se desliza, gira o sevoltea no cambia de forma ni tamaño. Esos movimientos inducen en lageometría el estudio de las transformaciones de figuras.Traslación, rotación,reflexión de figuras son movimientos estudiados por la geometría. La geometríadescribe los movimientos al estudiar la correspondencia entre los puntos dela figura original y los puntos de la nueva figura o imagen.

s o m e t r í a sICada imagen es la transformada de una figura. Observa en las imágenes deabajo cómo a cada punto de la figura original (A) le corresponde un solo puntode la imagen (A’) y a cada punto de la imagen le corresponde un solo puntode la figura original. Estas transformaciones tienen algo adicional: no cambiael tamaño ni la forma de la figura, sólo cambian su posición. Estas transformaciones se llaman isometrías. La palabra isometría (iso: igual, metría: medida)describe muy bien estos movimientos. Las traslaciones, rotaciones y reflexioneson isometrías. Veremos como estos movimientos son utilizados en los diseñosde papel tapiz, diseños de cerámicas y en el arte en general.

sI

Original

Imagen

TRASLACIÓN

Original

ROTACIÓN

REFLEXIÓN

I m a g e nOriginal

050Fundación POLAR• M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 4 - El mundo de los movimientos y de las simetrías -GEOMETRÍA 3

A

A’

A

A ’

A A ’

I m a g e n

D e s c u b r ie n d o e l m u n d o d e lo s




S im etría ax ia l o re flex ió n resp eEn la naturaleza, en el arte, en lascerámicas, papeles de decoraciónde las paredes (ornamentacióngeométrica) y otros, se encuentran

simetrías bilaterales (reflexionesrespecto de rectas o ejes).

E j e d e s

i m e

t r í a

Estrella de seis puntas(la estrella de David)simétrica según diversosejes. Dibuja los otrosejes de simetría.

p p p p p p p pp p p p p p p p La secuencia de letras b essimétrica de la secuencia deletras p respecto al eje t.

Eje t

Completa la figurasegún el eje de simetría

Eje

Torre EiffelParís, Francia.



Iglesia de Santa TeresaCaracas, 27 de octubre de 1876

El hexágono regular y la flor conseis pétalos son simétricos res-pecto al eje r. Dibuja los otrosejes de simetría.

En diseños geométricos hay gran variedad de simetrías bilaterales.

Una reflexión o simetría axial es una isometría delplano que deja fijos los puntos de una recta r (el

eje de reflexión o de simetría).Si P es un punto que no pertenece al eje r, entoncessu imagen P’, mediante la reflexión del eje r, es talque PP’ es perpendicular a r y las distancias delos puntos P y P’ a r son iguales (el eje r es mediatrizdel segmento PP’).

Una forma práctica de realizar simetrías axiales esla siguiente: Se dibuja una figura en un papel

transparente, se dobla en alguna parte(preferiblemente la recta del pliegue que no atraviesela figura) y se calca la figura. Al desplegar el papelresultan dos figuras simétricas respecto de la rectade pliegue. Esto también se puede realizar con dos

acetatos superpuestos.

Las siguientes letras tienen ejes de simetría.Dibuja otras que también lo tengan.


E j e r

S

M

N

Eje de reflexión r

P’ S’

M’

N’

P

S im etría ax ia l o re flex ió n resp e



S im e tr ía s d e t ra s la c ió n

Las que no tienen puntos fijosson las traslaciones (simetríade traslación ).

Las que tienen un único punto fijoO, son las rotaciones de centroO(simetría rotacional ). Lasrotaciones de ángulo 180º son lassimetrías centrales.

Las que tienen más de un punto fijo,por lo tanto tienen fijos todos lospuntos de una recta, son lasreflexiones cuyo eje es esa recta(simetría axial o bilateral).

Hay las combinaciones (composiciones) de esos tipos deisometrías, entre las que mencionamos las reflexiones condeslizamiento: es una reflexión seguida de una traslaciónparalela al eje de reflexión (o en el orden contrario). Esetipo de isometría se manifiesta en las huellas que dejan lospies al caminar sobre la arena de playa y en la disposiciónde hojas de helechos, entre otros.


INTERESANTELas isometrías (movimientos rígidos o congruencias) de un plano, diferentes de la identidad, seclasifican según la cantidad de puntos fijos que tienen.

A’

A B’

B O

A

B

A’B’

B

A

A’

B’

Las simetrías han sido utilizadas desde laantigüedad por diversas civilizaciones. Lossumerios fueron particularmente aficionados ala simetría bilateral, de esto hay gran variedadde ejemplos.Para H. Weyl “La simetría, independientementede la amplitud con que se defina su significado,es una idea por medio de la cual el hombre, através de los tiempos, ha intentado comprendery crear orden, belleza y perfección”.También nuestras poblaciones indígenas se valende la simetría para la decoración de diversosobjetos como las cestas. La fotografía nos da unexcelente ejemplo de ello.




S im e tr ía y d e c o ra c ió n

Palacio SaarbrückenAlemania

Utilizando un motivo (una figura) y por repetición del mismo, mediante simetríasde diversos tipos, se obtienen diseños geométricos con los cuales se puedenrealizar ornamentaciones (decoraciones). Cuando el motivo generador se repitea lo largo de una faja, se obtienen los frisos (bandas o cenefas) y si se recubreuna parte del plano, sin dejar “huecos” ni superponerse (bien acoplados), seobtienen mosaicos o teselaciones. También hay diseños denominados grupos

puntuales de Leonardo (en honor a Leonardo da Vinci) que son figuras concentro (un punto fijo: rotaciones con un centro en ese punto y reflexionesrespecto de ejes que pasan por ese punto).

Un friso con motivo generador

Partiendo de un (Motivo inicial o motivo generador) al que aplicamos sucesivasisometrías bilaterales y rotacionales (un grupo puntual o deLeonardo).

Motivo generador Simetría axial Rotación de 180º(180º = 360º/2)

Rotación de 120º(120º = 360º/3)




Crea tu propiofriso




El polihueso Primero se construye el hueso a partir de un cuadrado y luego se acoplan éstos para construirel embaldosado.

G e o m e tr ía y a r te

Capilla de VillaviciosaCórdoba, España.

El arte islámico es muy rico en diseños geométricos. Entre estos, los árabesdecoraron sus palacios con una gran variedad de ornamentos construidos apartir de figuras geométricas mediante su repetición y acoplamiento. Este arteislámico tiene su mayor exponente en laAlhambra de Granada . Dos ejemplosde estos mosaicos son el polihueso y la pajarita.

La pajarita Se construye el motivo generador y luego se acoplan.

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A

BC

A

BC

C’

A’

B’

Triánguloequilátero

Cuadrado




El artista holandés M. C. Escher, inspirado en elembaldosado de La Alhambra en España, aprendióa usar traslaciones, rotaciones y reflexiones para

cambiar la forma de los triángulos equiláteros,paralelogramos y hexágonos regulares en figurascomo pájaros, peces y reptiles que tambiénsirvieran para embaldosar. A la izquierda está unailustración donde utilizó rotaciones sobre el cambiode forma de un polígono. Observa, abajo, lacreación de la figura de un pato a partir del polígonoABCD.

D e s c u b r ie n d o e l m u n d o d e lo s Mauritz Cornelis Escher

(1898-1972)

Rotaciones y embaldosar

Observa, abajo, la creación de un “pezvolador” (M.C. Escher) a partir de untriángulo equilátero.

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

bserva las modificaciones y rotaciones de uniángulo equilátero. Recorta el modelo y tesela ellano como se ve a la derecha. Nombra todas lasotaciones con centro en el punto P que aplicasta tesela sobre sí misma.

Observa cómo con pequeñas variaciones en las curvas aparecerá la figurade un pájaro en vez de pez volador. Recorta el modelo y tesela el plano.

A

BC

A

BC

A

BC

A

BC

A

BC

A

BC

RetoP



P ’


RotacionesGirar, como deslizar, es un movimiento físico que hemos experimentado desdetemprana edad, abrir la puerta de un cuarto, ver girar las agujas de un reloj,en un engranaje, las ruedas de una bicicleta o de un automóvil, en un tiovivo,en muchas obras de arte.

Símbolo Shinto: representa larevolución del Universo

Movimiento perpetuo deLeonardo da Vinci

Dibuja un punto P y un punto O en elcuaderno y copia el punto P en una hojade papel transparente. Fija en el punto Oel papel transparente, con un alfiler, y girael papel hacia la derecha. Marca con P’ lanueva posición de P. P’ es la imagen rotadadel punto P.En una rotación, los puntos de cualquierfigura original giran una cantidad constantede grados alrededor de un punto fijo. Así:un punto fijo, el punto O (centro de rotación)y el punto rotado definen una rotación.

O

P

O

P P ’

O

P

á n g u

l o

OBSERVA ROTACIONES CON EL GEOPLANO

G i r a r u ncuar to devuelta o 90ºa l r e d e d o rdel puntocentro.

Girar mediavuelta o 180ºalrededor delpunto centro.

El mundo de los movimientosy de las simetrías




Embaldosar o teselar un plano consiste en cubrir elplano con figuras de tal forma que no queden huecosentre las figuras ni que las figuras se solapen.

Observa cómo la traslación de un octógono y de uncuadrado constituye el embaldosado de la derecha(mosaico semirregular)

D e s c u b r ie n d o e l m u n d o d e lo sTrasladar y embaldosar

B

A

Observa un embaldosado especial:El salto d el sapo , creación de Robert Canete,un estudiante de geometría. Observa la creación de la figura que se traslada porcambio de los lados opuestos de un cuadrado.

A B

CD

A B

CD

A B

CD


Corta el rectángulo según elmodelo y tesela el plano.Observa que lo que quitasen un lado lo agregas en ellado opuesto.

Reto




TraslacionesObserva modelos físicos de traslaciones: montarseen un ascensor o en una escalera mecánica y pasarde un piso a otro de un edificio, el deslizarse porun tobogán recto, el caminar de un punto a otro enuna calle.

Original

Dibuja un triángulo o una media luna en tu cuadernoy cópialos en una hoja de papel transparente. Deslizala hoja una cierta distancia, en cualquier dirección,sin que gire y copia las figuras en el cuaderno: lanueva figura es laimagen trasladada de la original.

A

B

C

A’

B’

C’

Imagen

Los puntos de la figura original se movieron la mismadistancia a lo largo de trayectorias paralelas (lamisma dirección) dando origen a la imagen. Así,

una distancia y una dirección definen una traslación.Se utiliza una flecha, llamadavector traslación .La longitud de la flecha define la distancia, y su

dirección, la dirección de traslación.

Original

Imagen

En papel cuadriculado o en papelpunteado, el vector traslaciónpuede definirse usando un parordenado: el primer númeroexpresa la distancia en la queun punto de la figura se muevehorizontalmente y el segundonúmero cuánto se mueveverticalmente. La primera figurase movió ocho unidades a laderecha y tres unidades haciaarriba: vector traslación (8,3).Segunda figura, vector traslación

(4,1).

Existen muchas máquinas que combinan movimientos derotación y traslación. Una de ellas es el motor de losautomóviles: los pistones se trasladan y con el árbol delevas generan un movimiento de rotación que al final haceque el automóvil se traslade. Averigua qué otras cosasutilizan estos dos movimientos simultáneamente ydiscútelas con tus amigos y profesor o maestro.

C

B

A

C’

B’

A’



D escubriendo e l m un do INTERESANTELas isometrías (movimientos rígidos o congruencias) del espacio, diferentes de la identidadse clasifican según los puntos fijos que tienen:

Las que no tienen puntos fijosson las traslaciones .

Las que tienen una recta depuntos fijos (un eje) son lasrotaciones en torno de esarecta.

En un cilindro se pueden observar estos tres tipos de isometrías:

Las que tienen un plano de puntos fijos,son las simetrías especulares (simetríarespecto a un espejo ).

E j e

E j e

Plano o espejo

E j e

También hay las combinaciones (composiciones) de esos tipos de isometrías.

SemejanzasAdemás de las isometrías, bien sea de un plano o del espacio, hay otras transformaciones geométricas como las semejanzasÉstas conservan las formas de las figuras pero alteran su tamaño, tal como se hace al reducir o ampliar en fotocopiasalguna figura o texto.

A

B

C

A’

B’

C’

Una homotecia de centro O y razón igual a2. Los lados del triángulo A’B’C’, imagendel triánguloABC, aumentaron el doble enlongitud.El área del triángulo A’B’C’es cuatroveces el área del triánguloABC. ¿Por qué?

O

Con las isometrías se definen lasfigurascongruentes .

Con las semejanzas se definen lasfigurassemejantes .

Ampliación en 150%

Tamaño real

Reducción al 50%





G e o m e tr ía y c ie n c ia -

Entrada de airey combustible

Al inicio, el pistón baja y elárbol de levas abre la válvu-la de admisión. El combus-tible (gasolina) y el aire sonaspirados dentro delcilindro.

Subida del pistóny compresión de la mezclaEl pistón sube. El aire y elcombustible son comprimi-dos y se recalientan. Seenciende la bujía.

Entrada deaire

Entrada decarburante

Válvula deadmisión

Árbol de levas

Válvula deescape

Salida degases

Pistón

Biela

Contrapeso

Aceite

Cigüeñal

Bujía de encendido

La mezcla se enciende y elpistón es empujado hacia abajo

Se enciende el combus-tible y el pistón es empujado hacia abajo.

Expulsión de gasesLa válvula de escape seabre por la rotación delárbol de levas, y los gases

residuales son expulsadosal exterior.

Uno de los primeros automóviles propulsadospor un motor de combustión interna fueconstruido por Karl Benz en 1885. En diez años,su fábrica creó y comercializó numerososautomóviles. El modelo Benz Velo (Fotografía,1898) fue el primer vehículo vendido en grandescantidades.

Modelo de vehículo utilizado en las carreras Fór-mula 1. Estos automóviles alcanzan velocidadeshasta de 320 km/h, pero sus motores deben serreconstruidos al final de cada carrera.

Motor de combustión internaEl motor de combustión interna es un mecanismo inventado para la facilidad de

transporte. Creado por el escocés Dugald Clerk, en 1878 y modificado por JosephDay, en 1891, ha sido el motor por excelencia de vehículos y motocicletas. Emotor tiene cilindro, pistón, cigüeñal y bujía. Sus fases de funcionamiento soadmisión, compresión, combustión y escape de gases, y se cumple en unmovimiento completo del pistón hacia arriba y hacia abajo: un movimiento dtraslación del pistón y se generan así movimientos de rotación del cigüeñal queal final hace que las ruedas giren. El ciclo de trabajo se inicia cuando el pistóse traslada del punto muerto inferior al punto muerto superior. Este movimientde traslación del pistón en el cilindro genera el movimiento de rotación decigüeñal. Observa esto en el diagrama aquí ilustrado.




A

Un astrónomo está construyendo un mapa deestrellas para demostrar la posición de laconstelación Casiopea. El mapa muestra suposición respecto al Polo Norte a las 9:00 p.m.¿Cuál es la posición de la constelación a las3:00 de la mañana?

Te n g o q u e p e n s a¿Cuál de estas figuras será la mismadespués de una rotación de 1/4 devuelta? ¿Y de 1/2 vuelta?

Polo Norte

Casiopea

Esta figura recibe el nombre de Polimino.Construye un rectángulo con cuatro deéstas.

¿Cuáles de estas figuras son rotaciones, simetrías o traslacionesde la figura A?

B

E

C

D

Coloca un espejo plano en posiciónvertical sobre la línea AB del siguientedibujo. ¿Qué ves?

1380803A B

Completa un cuadrado con cada una de las figuras deabajo, utilizando para ello un espejo plano.

0 0

00

R e s u l t a d o s1. A, B y C son las mismas rotándolas o vuelta. D varía al rotarla de vuelta, yqueda igual rotándola vuelta.

A B

C D

14

121

2

14

Polo Norte

Casiopea

2. 3.

1 2

3 4

5 6

De 9:00 p.m. a 3:00 a.m. transcurren6 horas. La Tierra da una vuelta enteraen 24 horas, por lo que 6 horas = devuelta, es decir, una rotación con centrode rotación en el Polo Norte y un ángulode 90º.

14

4. B es resultado de traslación y rotación de 90º. C y D son traslaciones de A. E esresultado de traslación y simetría según el eje vertical.




La Simetría se propone en los Programas Oficiales de Matemática a partir del 1er Gradode la Educación Básica en Venezuela. Se trabaja en los tres primeros Grados de la 1ªEtapa de una manera intuitiva, mediante trazados, dobleces, recorte y completación defiguras para obtener unas imágenes simétricas. Por medio de variados procedimientosse va desarrollando el concepto, y en la 2ª Etapa se sistematizan algunas de sus nocioneshasta llegar al 6º Grado, donde se considera logrado el concepto de simetría bilateral oaxial.Las experiencias previas que los niños han logrado en su entorno (cuando, por ejemplo,construyen el "barquito de papel" y hacen numerosos dobleces, que son simétricos;superponen las alas de la mariposa al capturarla; observan las hojas de las plantas consu nervadura central y sus dos partes iguales de ambos lados, que pueden juntarsequedando del mismo tamaño) y una oportuna y efectiva motivación del docente que loslleve al recuento y a la reflexión, los enfrenta a una situación –problema– que les interesaresolver.Por ejemplo, en el 4º Grado:Determinar y dibujar los ejes de simetría en el hexágono regular que construyeron parahacer una Picúa (papagayo de forma hexagonal amarrado sobre los tres supuestos ejesde simetría).Los estudiantes se preguntan ¿cómo lo vamos a lograr? La búsqueda de la resoluciónlos conduce a la acción y a la creación de variadas formas de hacer. Se organizan enequipos e intercambian ideas. La maestra incentiva la actividad con algunas preguntasy les facilita el material: espejos, compás, tijeras, reglas y lápices de color.Observan el hexágono regular que construyeron y está dibujado en hojas de trabajo paracada equipo.

Poliedro con floresMaurits Escher

Hexágono regular

Determinan las propiedades del hexágono: ¿cuántos lados? ¿cuántos vértices? ¿cuántosejes de simetría le podemos trazar?La maestra pregunta: ¿Cómo saben que el segmento trazado es un eje de simetría?Pruébenlo usando el espejo. Colóquenlo verticalmente de vértice a vértice pasando siemprepor el centro. ¿Qué observan? ¿Cuántos ejes de simetría encontraron en el hexágono?¿Sólo tiene esos? Averígüenlo con el espejo, dibújenlos y digan el resultado. ¿Cuántosejes de simetría deben trazar ahora en el hexágono para hacer la Picúa? Los estudiantespiensan, usan los espejos que aplican verticalmente sobre la línea punteada en rojo, y venreflejada la otra mitad de la figura.Cada vez que lo rotan hacia el próximo vértice y van trazando un eje de simetría, ¿cuántoejes trazaron?La maestra les dice: ¿Están seguros de que esos segmentos son ejes de simetría? Losniños intervienen, hacen preguntas.Proceden a armar una "PICÚA" en cada equipo, colocando un pedazo de verada sobrecada uno de los ejes de simetría dibujados.Comparan su papagayo con otros que enseña la maestra. Se dan cuenta de que todosson simétricos.Finalmente proyectan hacer la colección completa de papagayos. La maestra se propone

aprovechar esa oportunidad para que los niños determinen los ejes de simetría de otrospolígonos regulares usando “libros de espejos" (dos espejos que se unen con cinta adhesiva).PICÚA

BibliografíaBaena Ruiz, Julián y otros (1998),La esfera , Edit. Síntesis,Madrid, España.Memorias (1998) III Congreso Iberoamericano de EducaciónMatemática, Caracas, Venezuela.National Council of Teachers of Mathematics (NCTM-2000).Christine Kinsey y Teresa Moore (2002),Symm etry, shapes and space. Key College Publishing & Springer, EE.UU.

RevistasResources in Education (RIE)Superintendent of Documents. U.S. GovernmentPrinting Office. Washington DC 20402-9371

Software (programas informáticos)Logo, Sketchpad (EE.UU.) y Cabri (Francia).Programas que permiten dibujar figuras geométricasy estudiar sus propiedades.




Ana María Font

L a m a te m á tic a y e l P re mNació en Anaco, estado Anzoátegui, en

1959. Cursó estudios superiores en laUniversidad Simón Bolívar, donde obtuvosu licenciatura en Física (cum laude ), en1980. Realizó estudios doctorales en laUniversidad de Texas en Austin, EE.UU.,

la cual le confirió el título de PhD en1987. Es especialista en teorías

unificadoras de la Física, particularmenteen teorías de supercuerdas. Ha hechocontribuciones significativas en

compactificación y fenomenología decuerdas, así como en el estudio de

simetrías de dualidad y simetrías espejoen cuerdas. La doctora Font es profesora

visitante frecuente de universidades ycentros científicos del exterior. Obtuvo

el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” dela Fundación Polar en 1991. Actualmente

es profesora titular de la Escuela deFísica, de la Facultad de Ciencias, de la

Universidad Central de Venezuela ymiembro del Sistema de Promoción al

Investigador (Nivel III).Fotografía: Carlos Rivodó

Según nos cuenta con entusiasmo la doctora Font, "... en la búsqueda de una teoría delas interacciones de las partículas fundamentales, los físicos se guían por el principio dsimetría. Se entiende por simetría la invariancia al realizar ciertas transformaciones. Poejemplo, sabemos que la dinámica de un sistema de partículas debe ser independientede cómo se definen las direcciones en el espacio. La teoría debe ser entonces invarianteal realizar una rotación. Existe un teorema maravilloso, demostrado por la matemáticaalemana Emmy Noether, el cual establece que a cada simetría o invariancia le correspondeuna cantidad conservada".En este fascículo trataremos entre otros temas del concepto de simetría, su relación conel arte, la naturaleza y diversas manifestaciones del intelecto humano. Lo expresado pola doctora Font está estrechamente relacionado con estas ideas. La noción de simetríaen Matemáticas y Física es importante por las propiedades que preservan las figurasque son simétricas, es como cuando uno se mira en el espejo a diario, ahí está uno, laimagen nos muestra cómo lucimos. Nuestra imagen es una figura simétrica a nosotrosy nos vemos iguales a como somos, es decir, aparecemos del otro lado del espejo demanera invariante, no hay variación en nuestra imagen. Esto sucede en los espejosplanos como los que tenemos en casa, no así en espejos curvos, alabeados, como losque podemos encontrar en circos o ferias; al mirarnos en ellos nos hemos deformado,

nuestra imagen no es invariante con respecto a nosotros.Estas consideraciones sobre la noción de simetría y lo expresado por la doctora Fontnos motivaron para comenzar este fascículo con una pequeña reseña de ella, ganadoradel Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” en su edición del año 1991, por sus trabajos enFísica Teórica. Trabajos que muestran la estrecha y profunda relación entre la Matemáticay la Física y en los cuales los conceptos de simetría e invariancia bajo transformacione juegan un papel determinante. Finalizamos citando al gran sabio Galileo Galilei:El gran libro de la Natu raleza está escrit o en lengu aje mat emático . (Galileo: Saggiatore, OpereVI, p. 232).




El esquema geométrico, realizado por Leonardo da Vinci, de un hombre inscrito en un cuadrado y en el que escribió“Si abres las piernas hasta reducir tu altura en una decimocuarta parte, y si extiendes y levantas los brazos hastaque los dedos corazón lleguen al nivel de la cima de la cabeza, verás que el centro de los miembros extendidosse halla en el ombligo, y que el espacio entre las piernas formará un triángulo equilátero”. La concepción de Leonardose inspira en el canon de Vitruvio (arquitecto romano, s. I a.C., quien hizo uso práctico de la matemática) en susDiez libros de Arquitectura . En elLibro III analizó las dimensiones humanas y escribió las proporciones ideales quedebería tener un hombre “La cabeza es de la estatura, la cara es y el pie es . La mano es igual a unacara y el codo (antebrazo más mano) es igual a dos cabezas, o sea de la estatura. En fin, la brazada representa

la altura del hombre”.Leonardo da Vinci

Italia 1452-1519

Sir William Thomson-Lord Kelvin- (1824-1907)Físico británico. Su nombre está asociadocon la unidad de temperatura absoluta.

“Si uno logra medir lo que está diciendoy lo puede expresar en números, esque sabe lo que dice; pero si no lopuede expresar con números es queel conocimiento que tiene de ello esescaso e insatisfactorio.”

Medir viene demensura (metiri ). Protágoras deAbdera, filósofo griego (s. V a.C.) escribió un

tratado, Sobre el ser , en que afirma que “elhombre es la medida de todas las

cosas” (elhomo mensura ).

Medir como proceso esdeterminar el valor demagnitudes mediante la

comparación con unamagnitud de la

misma especie,tomada como

patrón ounidad.

18

110

161

4

M a t e m á t i c a p a r a t o d o s

El mundo de las medidasFascículo

Medidas I



D e s c u b r ie n d o la s m e d id a s

Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 5 - El mundo de lasMEDIDAS 1

Las respuestas a estas preguntas involucran un proceso de medición

¡A ver! ... ¡A ver!

¿Qué es medir?

Medir es determinar unamagnitud comparándola con una

unidad prefijada llamada unidad patrón ofundamental.

El número de calzado que usas, tu estatura,tu peso, tu edad. Todos estos

números son medidas.



Fundación POLAR • M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 5 - El mundo de lasMEDIDAS 1

¿Quécosas podemos

medir?

Muchas cosas podemos medir, porejemplo, el área de un piso.

Por medición entendemos el procesomediante el cual asignamos un númeroa una magnitud.

También podemos medir el aguaque sale por un grifo abierto, el

peso que levanta unamáquina, la longitud de

una carretera.

¡CUIDADO!No todas las cosas son

susceptibles de ser medidas.

Por ejemplo, ¿qué número podemos asignarle a la belleza deuna flor? Tampoco todo número proviene de la medida de algunamagnitud, por ejemplo: el número de un jugador de béisbol no

refleja ningún rasgo particular de su persona.Igual ocurre con los números de las cédulas

de identidad o con la placa de un carro.



RETOConociendo la longitud de un paso tuyo ¿podrías

estimar la longitud que recorrerías si das unmillón de pasos? ¿Será tan grande como la

distancia que hay de Barcelona a Barquisimeto?

El primer intento de unificación de las medidas lo constituyó el uso de medidabasadas en el cuerpo humano. Por ejemplo, el “codo” era la distancia desdeel codo humano hasta el extremo del dedo medio.Estas medidas distaban de ser exactas, porque no todos los seres humanostenemos las mismas dimensiones.En la Biblia se dice respecto de las proporciones que debía tener el Arca deNoé: “La fabricarás de esta manera: trescientos codos será la longitud delarca, cincuenta codos su anchura, y treinta codos su altura”. (Génesis: 6,15)

D e s c u b r ie n d o la s m e d id a s


¿Pero, cómomedimos?

Ayer me midieron en la escuela y mi estaturaes 1,60 m. ¿Pero, cómo mediremos la

distancia de la Tierra a la Luna?

¿Cuál será mi peso?

A lo largo de la historia el hombre havenido empleando diversos tipos desistemas de unidades. Éstos estáníntimamente relacionados con lacondición histórica de los pueblosque las crearon, las adoptaron o lasimpusieron a otras culturas.



Layarda fue establecida para toda Inglaterra como la distancia existente desdela nariz hasta el pulgar del rey Enrique I.

En Inglaterra, el parlamento fijó ciertas medidas de peso y longitud en términosde granos de trigo y de cebada. Así, 35 granos de trigo formaban un “escrúpulo ”

y 3 granos de cebada puestos en fila, constituían una “pulgada ”.


Los romanos terminaron por adoptar un sistema deunidades para todo el imperio. Hicieron un peso quellamaron “libra ” y una barra de bronce que llamaron“pie ”, para medir pesos y longitudes respectivamente.Por primera vez, el mundo tenía una sola manera depesar y medir.A la caída del Imperio Romano (476 d.C.) volvió ladesorganización en las medidas que se usaban endiversos países. Así, en un lugar una libra podía serunas 13 onzas, mientras que en otro eran 20 onzas;o un pie podía representar en un país una medida yen otro ser el doble de esa medida.

La “milla ” era una medida romana cuyo nombre significaba mil pasos,mille

passuum , aunque se trataba en realidad de dos mil pasos, porque cada unode ellos era un avance que consistía en el movimiento que se realiza desde

una posición hasta que se vuelve a colocar el mismo pie en el suelo.

P a s s u u m

C o d o

Mano

PiePaso



D e s c u b r ie n d o la s m


En 1790, la Academia Francesa de Ciencias fue la encargada por la AsambleaNacional Francesa, a propuesta de Talleyrand y Prieur, de establecer unsistema unificado de medidas, de aplicación sencilla, lo que culminó el 1de marzo de 1791 con la definición delSistema Métrico Decimal a partirde las propuestas de dos comisiones.La unidad de longitud, elmetro , se definió igual a ladiezmillonésima partedel cuadrante de meridiano terrestre .Delambre y Méchain fueron los encargados de medir el arco del meridianoterrestre que pasa por París, comprendido entre Dunkerque y el castillo deMonjuich en Barcelona.A partir de la unidad fundamental, el metro, se definieron todas las otrasunidades: las de superficie, las de volumen, las de peso y las de capacidad.Por ejemplo, elgramo se definió, para la época, como el peso de la masade un centímetro cúbico de agua destilada, pesada en el vacío, a latemperatura de 4° C.

Academia Francesa de Ciencias

Charles Maurice de TalleyrandPolítico francés, 1754-1838

En Venezuela, por ley del Congreso de fecha 13 de febrero de 1857, se adoptó elSistema Métrico Decimal , poniéndole el ejecútese el entonces Presidente de laRepública, general José Tadeo Monagas. Nuestro país figura en el quinto lugar entrelos primeros que adoptaron este sistema. Antes lo habían adoptado Holanda yBélgica en 1821; Grecia en 1836 e Italia en 1853. La obligatoriedad de uso quedóestablecida el 18 de mayo de 1912, por decreto firmado por el general Juan VicenteGómez.

¿Qué es el metro?

José Tadeo Monagas (1784-1868)Presidente de la República de Venezueladesde 1847 hasta el año 1851 y luego desde1855 hasta 1858.

El Sistema Internacional (SI) es un sistema de unidades demedidas que utiliza siete magnitudes fundamentales:longitud ,masa , tiempo , intensidad de corriente eléctrica , temperatura

absoluta , intensidad luminosa y cantidad de sustancia ,cuyas unidades fundamentales son: elmetro , el kilogramo ,

el segundo , elamperio , elkelvin , lacandela y elmol . A partirde esas siete unidades, se definen las derivadas (coulomb,

joule, newton, pascal, volt, ohm, etc.), y otras suplementarias

de las últimas.

RETOConociendo que el diámetro máximo de la Tierra es12 756,76 kilómetros. ¿Podrías estimar cuántas personas

se necesitan para que, con los brazos extendidos, abracenla Tierra por el Ecuador?




Es un sistema porque es un conjunto de medidasrelacionadas; es métrico porque su unidadfundamental es el metro; y esdecimal porque susmedidas aumentan y disminuyen en potencias de 10.

Sistema métrico decimal101

23

4

5 6

78

9

ElSistema Internacional de Medidas fue establecido en laXI ConferenciaGeneral de Pesas y Medidas celebrada en 1960 y fue adoptado porVenezuela en la Gaceta Oficial Nº 27.919 del 25 de diciembre de 1964,durante el gobierno de Raúl Leoni. Las unidades de medida de este sistemafueron publicadas en la Gaceta Oficial Nº 2.823 Extraordinario del 14 de julide 1981.

Raúl Leoni (1905-1972)Presidente de la República de Venezueladesde 1964 hasta el año 1969

A continuación se muestra una tabla que indica algunosmúltiplos y submúltiplos para medir longitudes, así comoalgunas equivalencias entre ellos.Para los submúltiplos se asignaron prefijos latinos:decipara diez;centi para cien;mili para mil y así sucesivamente.Mientras, que para los múltiplos se estableció el uso deprefijos griegos:deca para diez,hecto para cien,kilo paramil, etc.

Símbolo Algunas equivalenciaskilómetro km 1 km =1 000 m = 100 dam = 10 hm

hectómetro hm 1hm = 0,1 km = 10 dam = 100 mdecámetro dam 1 dam = 10 m = 100 dm = 0,1 hmmetro mdecímetro dm 1 dm = 0,1 m =centímetro cm 1 cm =milímetro mm 1 mm =

Trata de completar los espacios vacíos de la tablaUna manera de ver la relación entre el metro, sus múltiplos y sus submúltlipos, es la siguiente:

km hm dam m dm cm mm

1 0 2 6 1 0 7

1,026107 km = 10,26107 hm = 1 026,107 m = 10 261,07 dmImagínate que vas desplazando la coma en el cuadro superior. Así se obtienen las medidasexpresadas en la línea que está debajo del cuadro.

, , , , , , ,,

¿Qué justifica la presencia de los múltiplos y submúltiplos del metro? Si deseamoreparar una mesa a la cual se le ha roto una pata y deseamos sustituirla, para medirla longitud de la pata nos basta que esta longitud esté expresada en centímetros,no son adecuados, por ejemplo, los kilómetros. Mientras que si deseamos viajar deCaracas a Valencia lo conveniente es expresar en kilómetros la distancia que separa

ambas ciudades.

OficinaInternacionalde Pesos yMedidas . Donde seconservan lospatrones del metroy el kilogramo delsistema métricodecimal.Sèvres, Francia.



P a

r a

h a c e r

m e d i c

i o n e s

d e u n a d e t e r m i n a d a m

a g

n i t u d s e

n e c e

s i t

a

Si disponemos de fórmulas quepermiten calcular medidas, ¿cómose obtienen y cómo se utilizan?

Por ejemplo :área =Longitud de una circunferencia= 2π RVolumen de una esfera =(donde R es el radio yπ ≈ 3,14)

3

2


¿ C ó m o s e m id e ?

Ecuador

A B

C D

¿Cómocalculamos el

volumen de esta pelota?¿Cómo calculamos el radio de

la circunferencia ecuatorial si nopodemos medirlo directamente?

¿Cómo calculamos la longitud de estarama?¿Cómo calculamos el área de la

estrella?¿Cuál de estas tres líneas tiene

mayor longitud?; y de lossegmentos AB y CD, ¿cuál

es el más largo?

Disponer de un sistema demedida para esa magnitud

Utilizar instrumentos demedida o fórmulas

Si no disponemos defórmulas o no lasconocemos, ¿quépodemos hacer paracalcular los volúmeneso las capacidades detodos estos recipientes?

(base x altura)

4π R3



INTERESANTE¿Cómo medir el diámetro de unaesfera ? Una forma práctica de construirun instrumento de tipo casero con el que realizamos tal medida consisteen tomar dos partes planas de cartón grueso o de madera, de la misma

forma (por ejemplo cuadrada o rectangular), con cuatro tornillos largode igual longitud y tuercas móviles (tipo mariposa), pasando por agujerohechos previamente en las esquinas. Se coloca la esfera entre esasdos partes planas y luego con una regla graduada u otro instrumentose mide la distancia interior entre los dos cartones. Esta medida da unaaproximación del diámetro de la esfera.El instrumento de medida así construido se denomina esferómetro. Loshay construidos industrialmente. Con él puedes realizar otras mediciones


Kepler estudió el problema de determinar el volumende diversos toneles de vino, buscando calcular las

dimensiones más adecuadas, con el fin de emplearun mínimo de material para obtener igual capacidad.Ese estudio lo llevó a cabo en una de sus obrasfamosas titulada No va stereo m etría do lioru m vinariorum , un año que hubo una cosecha abundantede uva (1615). Sin embargo, Kepler es más conocidopor sus tres célebres leyes acerca del movimientode los planetas. Las dos primeras de estas leyeslas anunció en 1609 en su obraAstronomia nova (publicada después de seis años de investigaciones);la segunda, ley de las áreas, reza así: el segmentode recta que une el centro del Sol con el centro deun planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

Planeta

Sol

A

B

C D

Las partes sombreadastienen la misma área siel planeta tarda el mismotiempo para ir desde Ahasta B y desde C hastaD.

Johannes KeplerAstrónomo y matemático alemán

(1571-1630)

Regla graduada paramedir longitudes.

Vernier (calibrador o piede rey) para medir

longitudes apreciandomilímetros y décimas de

milímetro.

Reloj para medir eltiempo.

Termómetro paramedir temperaturas.

Peso para medirmasa.

En el proceso de medir magnitudes intervienen losinstrumentos (aparatos) de medida. Algunos de estosinstrumentos son los mostrados a continuación:

Vasos graduados paramedir capacidades.

Para ciertas mediciones existen hoy en día

instrumentos de precisión utilizados en la

industria y laboratorios para estudios científicos.

Por ejemplo: balanza electrónica, osciloscopio,

cronómetro, contador de vueltas, entre otros.Osciloscopio Cronómetro

El mundo de las medidas




1


F ó rm u la s y p r o p ie d a d e s q u e pPara calcular el área de regiones planas como la de un rectángulo, un triángulo, uncírculo, etc. y el volumen de ciertos sólidos del espacio como un cubo, un cilindro,una esfera, un cono, etc., se utilizan fórmulas. Esas áreas y volúmenes no se calculandirectamente puesto que previamente se deben medir ciertas magnitudes de esasregiones planas o de esos sólidos.

a

b

Rectángulo Área= a x bbase

a l t u r a

Triángulo Área =base x altura2

R

Circunferencia

Longitud= 2π

RCírculoÁrea = π R2

R

H

Cilindro

Volumen=π R2H

Esfera sólida

Volumen = 4π

R3

3

2En una poligonal ABCDE, su longitud es la suma de las longitudes de lossegmentos AB, BC, CD y DE. En este caso estamos aplicando una propiedad(un teorema) matemática. En el dibujo esas longitudes son respectivamente, 2cm; 1,5 cm; 2,4 cm y 3 cm, por lo que la poligonal mide: 2 cm + 1,5 cm + 2,4 cm+ 3 cm = 8,9 cm D

E

A B

C

3Tales, el primero de los Siete Sabios de Grecia, calculó la alturade la gran pirámide de Keops sin medirla directamente y paraello se valió de un teorema que lleva su nombre. En la historiade la matemática se indica que Tales procedió como sigue: seaH la altura de la pirámide que se quiere calcular; se coloca unbastón verticalmente en la extremidad de la sombra arrojada porla pirámide. Las distancias S y d son respectivamente laslongitudes de las sombras de la pirámide y de la estaca. Medianteel teorema de Tales se puede demostrar la siguiente igualdadH= , siendo D = + S. Esa igualdad permite calcular Hconociendo la base de la pirámide cuadrangular, la sombra S dela pirámide, la altura h del bastón y la sombra del bastón. En sutiempo, la gran pirámide medía 227 m de lado y 146,5 m dealtura.

Tales (s. VI a.C.)Matemático y filósofo, nacido en Mileto, Grecia

R

hd

S

H

base

D x h

dbase

2

Torre inclinada de PisaItalia




En la medición de características o atributos de los objetos pueden ejecutarse unoo más procesos básicos y acciones como los especificados a continuación, entreotros:

CompararCuando establecemos unamedida lo que hacemos escomparar con un patrónelegido como unidad.

Unidad de

área

15 unidades de áreaUnidad devolumen 16 unidades de volumen

Juntar o agregarCalculamos medidas de objetos juntando (reuniendo) otros objetosque se solapen. y

=100 cm3 100 cm3 200 cm3

SepararCalculamos medidas de objetos quesólo se solapen, separándolos enotros objetos.

AA1 A2

A3

ClasificarSe agrupan objetos con igualmedida en clases y subclases,para lo que se utilizan frases:“tan largo como”, “tan pesadocomo”, “con volúmenesiguales”, etc.

4 m 4 m10 m 10 m

5 m

2 m

1 0 m

5 m

2 m

4 m

iguales de largo la misma estatura Volúmenes o capacidades iguales

Galileo GalileiFísico, matemático y astrónomo italiano(1564-1642)

Para la misma época de Kepler, 1609, Galileo Galilei indagabaacerca del universo e inventó el anteojo astronómico querevolucionó la observación de los cuerpos celestes.

Área A = área A1 + área A2 + área A3

+

H

3H

R R



Explorar el Universo, lo “infinitamente grande” (distancia de la Tierra a Marte) y lo“infinitamente pequeño” (masa del electrón), ocupa a muchos científicos en el mundoque trabajan de manera mancomunada. Estas exploraciones se hacen en laboratorios,

entre los que se destaca el Centro Mundial de Investigación en Física de Partículas CERN(Ginebra, Suiza).Si nos preguntamos por qué se estudian las partículas, la respuesta es: porque estamosconstituidos por ellas al igual que todo el Universo. Algunas de estas partículas, loselectrones, los protones, los quarks, tienen masa, energía, ejercen fuerzas entre ellas,etc. Así que su estudio permite descifrar los secretos de la materia. Para tener idea delo extraordinariamente pequeñas que son estas partículasmencionaremos que el electrón tiene una masadel orden de 10 -31 kg (30 ceros después dela coma decimal:0,0000000000000000000000000000001

kg) y aún más pequeños son losquarks.En este esfuerzo conjunto deinvestigación se creó el CERN(1954), en el que actualmentetrabajan más de 1.000 físicos,ingenieros y científicos, y susinstalaciones son utilizadas porcerca de 6.500 científicos de unas500 universidades.Los trabajos científicos que allí se

realizan son útiles en la industria,la medicina, la investigación y paraello se valen del mayor aceleradorde partículas que existe, construidoen la frontera Franco-Suiza, el cualmide 27 km de circunferencia,enterrado en un túnel profundo,algunas de cuyas instalacionesestán a casi 100 m de profundidad.Allí se colisionan y detectanpartículas, y se miden diversasmagnitudes con instrumentos de granprecisión, por ejemplo, calorímetrosque miden la energía.Sus investigadores buscan responderpreguntas fundamentales de lanaturaleza: ¿Qué es la materia? ¿Cuáles su origen? ¿Cómo permanece unidaformando objetos tan complicados comolas estrellas, los planetas o los seres humanos? Esos investigadores intentan comprenderla evolución del Universo desde hace 15 000 millones de años hasta nuestros días.

M e d id a , c ie n c ia y te c n o


Centro Mundial de Investigación en Física de Partículas CERN.El mayor acelerador de partículas está enterrado en un gran anillo profundo en lafrontera franco-suiza.

¿Por qué losaceleradores departículas son tangrandes y circulares?

Magnetos fuerzan alas partículas a darun movimiento circular

T ú n e l d e a c e l e r a c i ó n

1 . 0 0 0 . 0 0 0 V

Poniendo varios magnetosen un círculo, las partículasvuelven al inicio, donde seles da un nuevo impulso,por lo que tomanvelocidadesimpresionantes.

u d

ud

u du d

u d

ud

u d

u d

u d

u d

u d

Los átomos están constituidos de electrones

girando alrededor de un núcleo

que está formado por protones

y neutrones

los cuales a su vez están formados de quarks, quarks haciaarriba y quarks hacia abajo, que son el límite de nuestroconocimiento actual.

u d

u d

ud

u du d

u d

ud

u d

ud

ud

El campo magnéticocambia la dirección departículas cargadas.




Te n g o q u e p e n sEl hombre más alto en los anales de lamedicina fue Robert Wadlow (EE.UU.).Cuando se comprobó su estatura en juniode 1940, poco antes de su muerte, medía2,72 m. El mayor peso que llegó a registrarfue de 222,71 kg al cumplir los 21 añosy cuando murió pesaba 199 kg. Susmanos medían 47 cm desde la muñecaa la punta del dedo medio y del extremode un brazo al del otro medía 2,88 m.

¿Cuántos hombres de la estatura del Sr. Wadlow se necesitarían para alcanzar la altura del saltode agua más alto del mundo, el Salto Ángel ubicado en Venezuela, que tiene 979 m?

Es posible pesar cualquier objeto que pese entre 1 y255 unidades (sólo valen cantidades enteras) usandopesas que valen 1, 2, 4, 8, 16, ....., 128 ¿Cómo loharías?

Se tienen 9 monedas de idéntico aspecto, y sabemos que una de ellases falsa, y que por ello pesa menos que cualquiera de las auténticas.Para identificar cuál de ellas es falsa bastan dos pesadas. ¿Cómo loharías? ¿Qué ocurre si en lugar de 9 monedas, tenemos originalmente

13 monedas?

Con muchas pesas

La moneda falsa

El timbre más pequeño que se conoce mide 8 mm x 9,5 mm. Estetimbre fue editado en Colombia en el año 1963 y lleva impreso el rostrde Simón Bolívar. Podrías estimar ¿cuántos timbres harían falta paracubrir la cuarta parte de la superficie de un sobre de tamaño 20 cm x10 cm?

El timbre postal

Se dispone de tres botellas de agua, que contienen 8, 5 y 3 litros, respectivamente.La de 8 litros está llena y las otras están vacías. ¿Cómo se pueden compartirlos 8 litros de agua en dos partes iguales utilizando solamente estas tres botellas?

Los botellones

5 3




La enseñanza y el aprendizaje de la medición no pueden reducirse a la mera asignaciónnumérica de una magnitud con instrumentos sofisticados. El desarrollo de contenidosrelacionados con sistemas de medidas debe ser orientado para favorecer en los niñosla comprensión y el desarrollo de procesos y conceptos presentes en la medición.La construcción del concepto de magnitud se refiere, entre otros aspectos, a abstraer en el objeto o en un fenómeno lmagnitud concreta susceptible de medir. Por ejemplo, es recomendable desarrollar actividades que conduzcan al niño pasar del reconocimiento en un objeto de atributos como el largo, ancho, alto, profundidad, espesor, etc., al reconocimiende la magnitud abstracta que la envuelve y relaciona a todas ellas, que en este caso corresponde a la longitud.El proceso de medir magnitudes está presente en muchas situaciones de la vida cotidiana. El niño mide desde muy tempranedad y de manera muy intuitiva. Posteriormente, en el ámbito formal de la escuela, es necesario propiciar la comprenside la medición y explorar las implicaciones de ésta en la actividad científica, tecnológica y manufacturera. Es importaademás, concientizar a los estudiantes acerca de los procedimientos implicados en la construcción del concepto de medidtales como: observación, estimación, comparación, clasificación, comunicación, entre otros.En este sentido, es recomendable que los maestros comiencen por explorar las ideas que tienen los estudiantes acercade medir. Así resultaría interesante presentar situaciones concretas, por ejemplo, que los alumnos estimen y determinela longitud del ancho y largo de una mesa, en las cuales tengan que medir sin utilizar instrumentos convencionales medida (una regla o una cinta métrica) y que registren los resultados de sus mediciones en una tabla que esté a la vistde todos. Es probable que en esta experiencia se utilicen algunos patrones como: "una cuarta", "un pie", "una brazadaLuego, el docente propiciará una discusión en la cual los estudiantes, además de confrontar sus resultados, expresen susconcepciones acerca de los conceptos involucrados en el estudio del tema. Esta discusión puede ser orientada mediantpreguntas como las siguientes: ¿En qué se parecen y en qué se diferencian estos resultados? ¿Por qué?Con el fin de evidenciar la necesidad de unificar los resultados de las mediciones realizadas y desarrollar la noción dproceso de medición a continuación conviene desarrollar actividades en las cuales los estudiantes inventen patrones dmedida. Para ello, se puede construir una cinta de papel que mida aproximadamente 3 cm de ancho y 90 cm de largoSolicite a los estudiantes que doblen la cinta, justamente por la mitad y luego la vuelvan a doblar sobre ella misma en pariguales.Con un lápiz se marcan las tres líneas que dividen la cinta en cuatro partes iguales y ésta se vuelve a doblar dos vecemás para que quede dividida en dieciséis partes iguales; se marcan además las doce líneas que dividen nuevamente lacinta.A continuación se indica a los estudiantes que consideren y den nombre a tres patrones: la cinta, de cinta y de cintAlgunos nombres pueden ser: 1 cinta = 1 tac, cinta = 1 tec y cinta = 1 tic.

Seguidamente, el docente los invita a medir nuevamente la longitud del ancho y largo de la mesa en la actividad antericon el instrumento construido y finalmente con uno convencional (cinta métrica, por ejemplo).Para cerrar, se puede, a partir de las actividades anteriores, plantear una discusión que permita analizar los resultadoobtenidos. En la discusión debe quedar clara la necesidad que ha tenido el ser humano de medir y unificar patrones dmedida y la importancia que tiene el error en el proceso de medición.Finalmente, se pueden resolver algunos problemas de medición relacionados con la vida cotidiana, lo cual permitiráaplicación de los contenidos involucrados con el tema estudiado. Por ejemplo, medir la distancia que separa las puertdel salón de clase y la salida. También resultaría interesante pasar por la experiencia de medir la cantidad de agua quutilizan para bañarse.

14

116

141

16

1 tec 2 tec 3 tec1 tic 2 tic 3 tic

Aprender a medir





MaterialSobre una cartulina, dibuje y recorte tantas tarjetas comopersonas van a jugar.En cada tarjeta (salvo la primera y la última) se escribe unapregunta y la respuesta a la pregunta de la tarjeta anterior.En la primera tarjeta se escribe “Yo comienzo” y una pregunta.En la última tarjeta sólo se escribe la respuesta a la preguntade la tarjeta anterior.

Ponte Pilas

¡A ju g a r !

¿Cómo se juega?1. Se reparten las tarjetas entre los participantes.2. Comienza el que tenga la tarjeta que dice “Yo comienzo” y realiza la pregunta que aparece en su tarjeta.3. Alguien tiene la tarjeta con la respuesta a esa pregunta y debe estar atento, pues es el segundo en jugar. Continúa as

el juego hasta llegar a la última tarjeta.4. Si alguien está descuidado o se equivoca al responder, se le grita “PONTE PILAS”.

YO COMIENZOEn los juegos de lotería por

televisión oigo que las bolitascon cifras que se usan han sido

certificadas por el ServicioNacional de Metrología.

¿Qué es el Servicio Nacionalde Metrología?

Es una dependencia delMinisterio de Producción y

Comercio que se encarga detodo lo relacionado con pesasy medidas.

¿Qué se mide?

Volumen, capacidad, etc... Semiden magnitudes como

longitud, peso, área...

Cuando nos referimos a unadistancia, al largo, al ancho,

a la profundidad ¿nosreferimos a la misma

magnitud?

En todos esos casos lamagnitud es longitud.

¿Cómo se determinacuantitativamente una

longitud?

Para determinarcuantitativamente una

longitud se mide.¿Qué es medir?

Medir es comparar con unaunidad patrón.

¿Qué es una unidadpatrón?

Unidad patrón es una ciertacantidad que se toma como

medida común de todas las desu misma especie. Por ejemploen el SI, la unidad patrón de

longitud es el metro.

¿Qué es el SI?

El SI es el SistemaInternacional de Medidas.

Pero, ¿existió otro sistemade unidades de medidas?

Antes se utilizó el SistemaMétrico Decimal.

¿Cuáles fueron lasmagnitudes básicas en elSistema Métrico Decimal?

Longitud, masa y tiempo.

¿Cuáles son susunidades patrón?

Para la longitud: el metro;para la masa: el kilogramo;y para el tiempo: el segundo.¿Cómo se simbolizan estas

unidades?

Se simbolizan:Metro -mKilogramo -kgSegundo - sPor ser símbolos y noabreviaturas no llevanpunto.

R e s u l t a d o sSe necesitarían 360 personas del alto deRobert Wadlow para alcanzar la cima del Salto Ángel y sobrepasarlapor 20 cm.En la primera pesada colocamos 3 monedas en cada lado de la balanza, si tienen el mismo peso entoncestenemos definido que la falsa moneda está en el último lote. En caso de que un lado pese más que el otrotenemos determinado que la moneda se encuentra en este trío. Del trío más pesado colocamos una monedaen cada lado de la balanza, si una pesa más que la otra tenemos definida la falsa, si pesan igual, estodetermina que la tercera (no usada) es la falsa. Con 13 monedas necesitamos una pesada más.

Se necesitan 66 estampillas para cubrir un cuarto del sobre.

Llamaremos la botella de 8 litros A, la de 5 litros B y la de 3 litros C; Llenamos la botella B (5 litros) y césta llenamos la C, por lo que las tres botellas quedan con la siguiente cantidad de litros: A=3, B=2 y C=El contenido de la C (3 litros) lo devolvemos a la A y el resto de la B (2 litros) lo echamos en la C. Nos queahora A=6, B=0 y C=2. Con A llenamos la B (5 litros) y nos queda A=1, B=5 y C=2.Con B completamos C y nos queda A=1, B=4 y C=3. Nos queda solamente echar el contenido del C en Ay obtener las cantidades deseadas en las botellas A y B.



Carlos A. Di PriscoL a m a te m á tic a y e l P re m i

Nació en Caracas en 1949. Cursóestudios de Matemáticas en la

Universidad Central de Venezuela, de1966 a 1970 y obtuvo su título de PhD

en el Instituto de Tecnología deMassachusetts (MIT), en 1976. El doctorDi Prisco es un reconocido especialista

en lógica matemática y teoría deconjuntos. Es miembro de la Academia

de Ciencias Físicas, Matemáticas yNaturales. Ha sido director asociado dela revistaInterciencia . Es investigador

titular del IVIC, donde ha sido decano deestudios de postgrado y jefe del Centro

de Matemáticas; es además profesortitular de la Universidad Central de

Venezuela y miembro del Sistema dePromoción al Investigador, Nivel IV. En laactualidad su tema de interés es el estudiode ciertas propiedades de los números,en particular el estudio del Teorema de

Ramsey y sus consecuencias. Obtuvo elPremio “Lorenzo Mendoza Fleury” de

Fundación Polar en el año 1983.Fotografía: Archivo Fundación Polar

Según sus propias palabras: "La colección de los números naturales, siendo aún una delas estructuras más básicas de las matemáticas, es de una complejidad asombrosa.Algunas de las preguntas que los matemáticos se han planteado sobre estos númeroshan resultado sumamente difíciles de responder, a tal punto que una cierta cantidad deellas han resistido el ataque de los matemáticos durante los siglos y siguen aún sinrespuesta; otras, han dado lugar al desarrollo de teorías matemáticas de gran complejidad”

En 1930, F. P. Ramsey (matemático y economista inglés perteneciente al círculo deKeynes), publicó un teorema que ha servido de punto de partida para la creación de unateoría matemática muy rica, cuyas ramificaciones trascienden el ámbito de los númeronaturales. Una versión de este resultado está estrechamente relacionada con el siguiente juego: se juega con dos personas y se necesita una hoja de papel en la cual se hanmarcado seis puntos y dos lápices de colores diferentes, uno rojo y el otro azul, porejemplo. En la hoja de papel se marcan seis puntos de tal manera que no hay tres deellos en una misma línea recta. Cada jugador, en su turno, une dos puntos de los seis,dibujando un segmento entre ellos. Cada dos puntos se unen una sola vez. El primer jugador que complete un triángulo que tenga el mismo color de su lápiz, pierde. El teoremde Ramsey permite demostrar que siempre habrá un ganador en este juego, no importacómo se proceda. Por ello algunas veces se enuncia este teorema diciendo que: esimposible obtener un completo desorden.

La versión del teorema de Ramsey para conjuntos con infinitos elementos la podemosexplicar como sigue: supongamos que tenemos todos los pares de números naturales,por ejemplo, (1,2), (7,2003), (5,3), etc. Dividamos esta colección en dos clases, no importcómo, lo significativo es que cada par de números naturales en el que usted piense, estéen una de las dos clases. El teorema de Ramsey afirma que siempre es posible encontrarun conjunto infinito de números naturales tal que todos los pares de elementos de eseconjunto estén en la misma clase.

Este importante Teorema tiene extensiones que se relacionan con ideas matemáticassorprendentes para alguien que no sea matemático, pues están relacionadas con laexistencia de diferentes magnitudes infinitas, algo que los especialistas llaman númerotransfinitos. El estudio del infinito en matemáticas ha servido de base para el desarrollde algoritmos que han permitido a su vez avances extraordinarios en las ciencias de lacomputación.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros másdestacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedoy Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.



H.G. WellsEscritor británico, 1866-1946

“De una manera indescriptible, mientras(Davidson) iba de un lado a otro en Londres, sumirada iba de un lado a otro de maneracorrespondiente por aquella isla lejana... Cuandoyo le señalé que no se podía alterar el hecho deque ese lugar (la isla Antípoda) estaba a ocho milmillas de distancia, me respondió que aunquedos puntos estuvieran separados por una yardaen una hoja de papel, se les podía poner uno junto al otro al dar vuelta al papel sobre sí mismo.”


El mundo de las medidasFascículo

Medidas II

La matemática y la astronomía tuvieron un gran avancecon los científicos del Islam, quienes hicieron grandesaportes en álgebra, geometría y trigonometría. Esta es unailustración persa del s. XVI y en ella se observa a variosastrónomos utilizando diversos instrumentos de medida y

de observación como son: compás, astrolabio, plomada,reloj de arena, escuadra y un globo terrestre, entre otros.



¿ Q u é m e d im o s ?Las líneas : segmentos, poligonales y curvas (objetos unidimensionales),a las que calculamos sus longitudes.

Joan MiróPintor español (1893-1983)

El hermo so p ájaro que revela lo deconocido a una pareja de enamorados

Delsegmento De lapoligonal De lacurva y deobjetos enrollados

Las regiones de un plano limitadas por líneas (objetos bidimensionales),a las que calculamos sus áreas.

Deltriángulo Delpolígono Delcírculo de una región

Loscuerpos en el espacio (objetos tridimensionales), a los que calculamossu volumen.

Deltetraedro Delparalelepípedo Delcilindro

De laesfera Delbarril Capacidaddel recipiente

También se calculan: las áreas de las superficies (planas o curvas) que loslimitan, las longitudes de sus aristas y los contornos rectos o curvos.

¿Longituddel ecuador?

¿Distanciaentre la Tierra y laLuna?

Calculando las longitudesCuando medimos el largo, ancho o altura de un objeto estamosmidiendo la longitud de las dimensiones de ese objeto. Al medircada una de estas longitudes lo que hacemos es medir la distanciaentre los extremos de un segmento. Por ejemplo, en el dibujo elancho, el largo y la altura del paralelepípedo, son respectivamentela distancia entre los puntos A y B, B y C, C y D.Asimismo, cuando medimos la distancia entre Barcelona y Maturín,bien sea en línea recta en un mapa o por carretera, la profundidadde un pozo, el perímetro de un polígono o la circunferencia deun círculo, medimos longitudes.

A

B

C

D

L a r g oA n c h o

A l t u r a

Fundación POLAR• M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 6 - El mundo de lasMEDIDAS 2

¿Superficiede la Tierra?



A B

C

D

EF

Perímetro delpolígono=AB + BC + CD + DE +EF+ FA

A

B

C

D

E

FG

Longitud de lapoligonal=AB + BC + CD + DE +EF+ FG

C

R

Longitud de laCircunferencia C = 2π R

U n id a d e s d e lo n g ituLa unidad patrón de la longitud es elmetro.Se considera la unidad base delSistema Internacional de Medidas (SI)porque las unidades de superficie, volumen y peso derivan de esta unidadde longitud.Cuando necesitamos medir longitudes muy grandes, por ejemplo, la distanciaentre dos ciudades, utilizamos el kilómetro que es un múltiplo del metro, ecual es equivalente a 1 000 m. Si, por el contrario, queremos medir longitudepequeñas utilizamos submúltiplos del metro como el centímetro o el milímetrequivalentes a 0,01 m y a 0,001 m, respectivamente.Para medidas microscópicas se utiliza la micra o micrón equivalente a unamillonésima parte del metro (0,000 001 m) o sea una milésima de milímetr(0,001 mm). Análogamente, para grandes distancias se usa el megámetroequivalente a 1 000 000 m = 1 000 km. Para expresar distancias enormesen astronomía se utiliza el Año Luz, el cual representa la distancia que laluz recorre en un año.

Otras medidas de longitudDebido a tecnologías importadas y a la influencia del comercio internacionaen nuestro país coexisten junto a las medidas del SI otras medidas comola pulgada , medida inglesa equivalente a 2,54 centímetros que es utilizadapara medir, por ejemplo, herramientas como tornillos, llaves, tubos y otros

La milla náutica internacional, también conocida como milla marina, es unamedida utilizada para medir distancias en navegación marítima. Su valorestá fijado por convención en 1 852 m, valor que se obtiene al dividir lacircunferencia aproximada de la Tierra (40 000 km) entre 360 grados y dividese resultado entre 60 que es la cantidad de minutos de arco en un grado.

1 3 5 k m

210 km

Escala gráfica

0 50 km 100 km

1 9 p u

l g a d a

s

Al referirnos al tamaño de un monitorde computadora o un televisor, loexpresamos en pulgadas (ejemplo: 15”,19”, 27”), refiriéndonos a la longitud dela diagonal de la pantalla.




Micrómetro o tornillo micrométrico: Instrumentoque permite medir con gran precisión longitudes oángulos muy pequeños.

Odómetro: Instrumento que permite contar la distancia.Ejemplo: El cuentakilómetros de un automóvil.

RETO:En la figura se tienen dos circunferenciasconcéntricas en O, siendo OB = 9 cm yOA = 3 cm. Determina el perímetro de

la zona roja.

Medida de una circunferenciaSi queremos conocer la longitud de una circunferencia, un método muy fácil consiste etomar un pabilo o cinta (inextensible), fijar uno de sus extremos en un punto A de lcircunferencia y bordear ésta con el pabilo hasta completar la curva. El punto en el cuael pabilo completa la curva lo marcamos y lo llamamos B. Así obtenemos un segmento Adel pabilo cuya longitud es la longitud de la circunferencia que llamaremos L. Si efectuam

esta operación con diferentes objetos circulares como monedas, discos compactos, ruedas, etc.y observamos los resultados, notaremos que siempre el segmento AB resultante contiene tresveces el diámetro d y sobra un pequeño trozo CB el cual podemos comprobar que esaproximadamente del diámetro. Es decir que la medida de cualquier circunferencia, corespecto a su diámetro d como unidad es la misma; esta constante es el número que conocemoscomo π (pi). Entoncesπ es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.Es decir π = L/d aproximadamente igual a 3 + = .Entonces la longitud de una circunferencia de radio R viene dada por la fórmula L=2π R.

R

d

A

A C Bd d d


O A B

17

17

227

A lg u n o s in s tru m e n to s u t iliz a d



C a lc u la n d o á re a s

Fundación POLAR• M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 6 - El mundo de lasMEDIDAS 2

El área de una superficie (plana o curva) es una magnitud quemide su extensión superficial con una unidad de medida prefijadaEn el Sistema Internacional (SI) la unidad es el metro cuadrado(m2). Igual que para otras magnitudes, en el SI hay múltiplos ysubmúltiplos del metro cuadrado, y éstos van de 100 en 100.

Un múltiplo muy utilizado es el hectómetro cuadrado (hm2) elcual es empleado para la medición de parcelas de terreno yrecibe el nombre de hectárea (ha), y es equivalente a 10 000m2. Cuando se trata de mediciones referidas a la construcciónde una casa recurrimos al metro cuadrado.

Si se trata de medir la extensión territorial de un país se empleael kilómetro cuadrado (km2). Por ejemplo, Venezuela tiene una

extensión territorial de 916 445 km2.(Fuente: Imagen d e Venezuela ,1992, PDVSA)

Pietro LorenzettiPintor italiano (c. 1280-1348)Historia de la Beata Humildad La escena representa el acarreo de ladrillos paraconstruir el convento y el hospicio. Para edificar esnecesario conocer correctamente las medidas desuperficies planas.

La Tierra no es de forma exactamente esférica, pero suponiendo que lofuese su superficie tiene un área aproximada de A= 4 x (3,14) x (6 367,59)2=509 260 302,25 km2. De éstos, aproximadamente, 381 945 226,68 km2,(sus partes) están cubiertas de agua.Hemos tomado como aproximación deπ el valor 3,14 y como radio de laTierra, el promedio entre su radio polar (6 356,8 km) y su radio ecuatoria(6 378,38 km).

34



¿ C ó m o c a lc u la m o s e l á re a d e


Herón de Alejandría (s. I d.C.) presenta en el libro I de su tratadoLas m ét ri c as ,la fórmula A= s(s-a)(s-b)(s-c) para calcular el área de un triángulo de lados a, b yc, donde s es el semiperímetro, [s= ]. Esta fórmula se conoce comofórmulade Herón aunque algunos la atribuyen a Arquímedes.

Armando BarriosPintor caraqueño (1920-1999)

Composición

Existen varias formas para calcular el área de una figura plana. Para algunasfiguras tenemos fórmulas; por ejemplo, el área delcírculo de radio R viene dadapor A=π R2. También existen instrumentos como elplanímetro (o integrómetro)mediante los cuales podemos hacer mediciones de áreas. A veces es necesariohacer estimaciones para determinar el área. Esto último ocurre si queremosconocer el área de una finca, de un país o de una región.

Asimismo, existen teoremas, como el de Pitágoras, los cuales estableceninteresantes relaciones entre áreas.

Sin embargo, también se calcula el área de figuras que no son planas. Por ejemplo,el área de la superficie de una esfera de radio R es 4 π R2.

Actualmente existen modernos instrumentos digitales para la medición de áreascomo los planímetros que se muestran a continuación.

El círculo tiene la mayor área entre todas las áreas de regiones limitadas por curvas con una longitud dada. Porejemplo, si tenemos una cuerda de longitud L =10 m y construimos un triángulo, un cuadrado y un pentágono regucuyos perímetros sean iguales a 10 m, y también construimos una circunferencia de longitud 10 m, entonces dichcírculo tiene mayor área que los otros tres polígonos.

Esta propiedad del círculo fue demostrada por Pappus de Alejandría(s. IV d.C.), quien lo hizo para los polígonos regulares. “De todas lasfiguras planas de igual perímetro, el círculo es el de mayor área”.Hay una leyenda curiosa en torno de esta propiedad, denominada elproblema o la leyenda de Dido relacionada con la fundación de Cartagola ciudad rival de Roma durante varios siglos: la princesa fenicia Diddesembarcó en las costas del Norte de África y realizó un conveniocon el rey del lugar que consistía en canjear sus joyas por un pedazode terreno, todo aquél que se podía limitar con una piel de toro. Unavez que se aceptó ese convenio, ella cortó la piel del toro en trozosmuy delgados uniéndolos entre sí y luego formó una curva cerrada degran longitud, precisamente en forma de una circunferencia, dentro dela cual construyó la ciudad de Cartago.

(a+b+c)2



INTERESANTEUtilizando una trenza delongitudLrepresentamos

diversos polígonos. Deellos, el cuadrado es el

que encierra mayor área.


Vamos a mostrar algunas figuras planas y la respectiva fórmula que permite calcular sus áreas.

b

h

b

h

b

h

Un caso partícular de paralelogramo es elrectángulo , donde a la base y a la altura se les llama comúnmente largoancho.

A su vez, un caso particular es el cuadrado.En esta figura la base y la altura miden lomismo y se les llama simplemente lado.Si denotamos ellado por m, el área del cua-drado viene expresada porA= m2.

h

b m

l m

Otra figura muy conocida es eltriángulo.

El área de un triángulo viene dada porA= bhLos triángulosABC y ABDtienen la misma áreapuesto que tienen la misma base AB, y la misma

altura ya que CD es paralelo a AB.

h

bA B

C D

Veamos algunas otras figuras planas.

El área de un rombo vienedada por A = dd’, dondedy d’ son sus respectivasdiagonales.

d

d’ A

BC

Para calcular elárea de un po-lígono, lo subdividiremos entriángulos, calculamos sus res-pectivas áreas y las sumamos.

D

E

F

Hay figuras planas cuyo contorno no está formado por líneas poligonales y para las cuales existen también fórmulque permiten calcular su área.

El área de un círculo vienedada por A = π R2, donde Res su radio.

Si quieres calcular el área deuna regiónW con forma irregu-lar apelamos a laestimación delárea, ya que no conocemos nin-guna fórmula para hacerlo.

R

W

1

2

Todos estos paralelogramostienen la mismabase b , y la mismaaltura h . Su área viene dada porla fórmulaA = bh.




¿ C ó m o c a lc u la m o s e l á re a d e a lVeamos ahora las áreas de algunas figuras que no son planas.Dado cualquier cuerpo en el espacio podemos preguntarnoscuál es el área de la superficie que conforma el borde o fronteradel cuerpo.

Frank Lloyd Wrightarquitecto norteamericano (1867-1959)Charles Ennis House , Los Ángeles, EE.UU.

CuboTetraedroParelelepípedo

Estas figuras tienen el borde formado por caras. Cada cara es unpolígono y ya sabemos calcular áreas de polígonos. Luego bastacalcular el área de cada cara y sumarlas.

RETOEl área del hexágono regular es S. ¿Cuánto es el

área del triángulo de vértices ABC?

A

B

C

Pitágoras de Samos, nació en la primera mitad del siglo VI a.C. en Samos, isla del mar EgeoSe dice que fue alumno de Tales de Mileto (uno de los Siete Sabios de la Antigüedad). Viajópor Egipto y Babilonia. Su filosofía se basaba en el precepto “todo es número ”. Descubriólas progresiones armónicas de la escala musical y a él se debe la tabla de multiplicar.

ElTeorema de Pitágoras, el cualsólo se cumple en triángulos

rectángulos, algebraicamente seescribe así:c2 = a2 + b2

Ordinariamente la interpretacióngeométrica es como se presenta en

la figura, en términos de área decuadrados.

A

B C

c2

a2

b2

Existen diversas extensiones del Teoremade Pitágoras en las cuales está involucradala noción de áreas.

a bc

A

B

C

Una forma más general es ésta. Elárea de S3 se obtiene como la sumade las respectivas áreas de S1 y deS2, suponiendo que las figuras son

semejantes.

S2

S3

S1

C = A + B donde A, B

y C son las respectivasáreas de lossemicírculos.



E l m u n d o d e l a s m e d i d a s

Fascículo



C a lc u la n d o v

David TeniersPintor flamenco (1610-1690)El alquimist a

RETOS:1) Toma una cajita de fósforos de las queutilizan en tu casa, que tenga forma deparalelepípedo, y calcula su volumen (encm3). Calcula el volumen de un paquetecon 9 cajitas de fósforos.2) Calcula el volumen de la caja dibujadatomando como unidad un pequeño cubo de2 cm de arista.

Si tenemos un paquete que a su vez contiene 9 cajitas de fósforos, esenúmero mide el volumen del paquete considerando la cajita de fósforoscomo la unidad de medida.

En el sistema Internacional deMedidas (SI), la unidad patrónde longitud es el metro (m), dela que se deriva la unidad devolumen, el metro cúbico (m3).Otras unidades usuales que seutilizan (submúltiplos del m3)son el cm3 y el dm3. 1

c m

1 cm 1 c m

Un cm3 es elvolumen de uncubo cuyas aristasmiden 1 cm.

1 dm

1 d m

1 d m

1 dm3 = 1 000 cm3.

El dm3 es el volumen deun cubo cuyas aristasmiden 1 dm.

1 dm3 es equivalente a un litrode agua pura a la temperaturade 4 ºC. Litro, centilitro, mililitroson medidas de capacidad quetienen sus equivalentes envolumen:1 m3 =1 000 dm3 = 1 000 l1 dm3 =1 000 cm3 = 1l100 cl = 1 000 ml1 cm3 = 1 ml

INTERESANTEEn varios productos es frecuente expresar sus cantidades en cm3 (abreviado cc) o en mililitros(ml). También es usual en muchos productos importados: perfumes, cosméticos, medicinas, etcexpresar las cantidades del producto (capacidades netas de los recipientes que los contienen)en una unidad inglesa expresada como fl oz (onza de fluido).Por ejemplo: 16,9 fl oz (500 mI); 4,2 fl oz (125 mI) como se lee en las etiquetas de algunos deesos productos. ¿Cuántos mI equivalen a 1 fl oz?

6 c m

24 cm

2 0 c m

2 2

2




El matemático griego Zenodoro (siglo II a.C.) escribió un libro en el que uno de sus enunciados se refiere alas esferas. “Entre todos los sólidos con la misma superficie, la esfera es la que encierra mayor volumen”.

In t e r e san te Sandro Botticellipintor florentino (1455-1510)

San A gu st ín , fresco donde apareceeste santo en su estudio, rodeado

de instrumentos astrológicos y libros

Figuras de un plano con áreasiguales y perímetros distintos.

1 cm 1 c m

4 cuadrados formando

un cuadradoÁrea = 4 cm2

Perímetro = 8 cm

4 cuadrados formando

un rectánguloÁrea = 4 cm2

Perímetro = 10 cm

1 cm 1 c m

Sólidos del espacio con volúmenesiguales y suma de áreas de las

superficies que los limitan, distinta.

1 cm 1 c m

4 cubos formando un

paralelepípedoVolumen = 4 cm3

Área = 18 cm2

1 cm 1 c m

1 c m

4 cubos formando un

paralelepípedoVolumen = 4 cm3

Área = 16 cm2

Figuras de un plano con áreas distintas

y perímetros iguales.

Sólidos del espacio con volúmenesdistintos e suma de áreas de las

superficies que los limitan iguales.

Un cuadrado de lado 12 cm

Área = 144 cm2

Perímetro = 48 cm

12 cm

1 2 c m

10 cm

1 4 c m

Un rectángulo delados 10 cm y 14 cm

Área = 140 cm2Perímetro = 48 cm

1 cm 1 c m

5 cubos formando unparalelepípedo

Volumen = 5 cm3Área de

las caras = 22 cm 2

1 cm 1 c m

1 c m

6 cubos formando unparalelepípedo

Volumen = 6 cm3Área de

las caras = 22 cm 2

Hay varios sólidos para loscuales se conocen fórmulas

que determinan sus volúmenes.a

a

a

CuboV = a3

a

hl

ParalelepípedoV = lah

PirámideVolumen =

área de la base.h3

h

h

R

CilindroV = π R2h

h

R

ConoV =

EsferaV = (4π R2)

3R

(π R2h)3

1 c m

1 c m



Cámara de combustión

A mayor cilindrada hay mayorconsumo de combustible y porende más combustión. Lo queimplica más energía generada.

TransmisiónPistón

Carrera


M e d id a s y te c n o lo g íaMotor 4 cilindros

La energía generada por el motor de un vehículo hace que las ruedas giren y por elloéste se mueve. Los motores usuales son los de combustión interna en donde elcombustible (la gasolina) se quema dentro de los cilindros (en la cámara de combustión)Esa combustión, la "explosión" de la mezcla de combustible con aire (motor deexplosión), produce una energía que hace girar un eje, el eje-cigüeñal, y dichomovimiento de rotación se transmite a las ruedas que hacen desplazar el vehículo yéste se mueve.Es frecuente leer en las partes traseras de los vehículos números y siglas como lassiguientes: 1.3, 1.6, 2.0 L, 4.0 L, 16V, entre otros.¿Qué significan esos números?Ellos se refieren a la cilindrada del vehículo, esto es, al volumen útil de los cilindroPor ejemplo, un vehículo tiene las siguientes especificaciones técnicas en su manualMotor 1.6 LCilindros 4 en líneaVálvulas 2 por cilindroDiámetro de los cilindros 82,07 mmCarrera 75,48 mmCilindrada 1 597 cm3

Calculando el volumen de cada cilindro, resulta V=π R2h:V= 3,1416 • • 7,548 cm≈ 399,29 cm3 luego 4V≈

1 597 cm3, cilindrada especificada en el manual.En la inscripción de la parte trasera del automóvil se lee 1.6,lo que indica 1,6 litros = 1 600 cm3 con el fin práctico de noescribir tantos números.

Hay vehículos con 4válvulas por cilindro (total16 válvulas si son 4cilindros) y otros con 24válvulas y 6 cilindros.Este Ferrari de 1944 tenía24 cilindros y 48 válvulas.

Las fuentes principales para el conocimiento de la matemática egipcia de la épocade los faraones son los papiros, entre los que se encuentra el denominadopapiroRhind, escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a.C. Otro de estos importantesdocumentos es el papiro Golenischev o papiro de Moscú , así llamado porconservarse en el Museo de Artes de Moscú. Este papiro fue escrito hacia el año1850 a.C. por un escriba desconocido y contiene 25 ejemplos o problemas, la mayoríarelacionados con la vida práctica.La resolución del problema 14 del papiro de Moscú es digna de admiración cuandnos situamos en esa época tan lejana de la actual: se trata de determinar el volumende una pirámide truncada con bases cuadradas, la cual tiene por dimensiones 6unidades de altura, con dos bases cuadradas cuyos lados miden, respectivamente,4 y 2 unidades. La respuesta dada en ese papiro es 56, lo que efectivamente coincidecuando hoy en día aplicamos la fórmula:

para calcular tal volumen de manera general.En el caso del papiro de Moscú se tiene h=6, a=4, b=2.

¿Cómo obtuvieron el resultado los egipcios? ¿Era conocida esa fórmula de manerageneral? No se sabe cuál fue el método empleado por ellos aún cuando se handado diversas explicaciones.Observa que si b=0 se tiene una pirámide de base cuadrada, cuyo volumen V resultaigual a a2h, es decir, área de la base • altura.

a

h

a = 4

b = 2

h=6

V =(a2+ab+b2)h3

8,207 cm2

3 3

2



M e d id a s y g e o g ra fía


El primero que realizó el cálculo de lacircunferencia terrestre (circunferenciamáxima) bastante aproximado a loconocido hoy en día, fue el griegoEratóstenes, bibliotecario de Alejandría(Egipto). Eratóstenes determinó comomedida de la circunferencia 250 000estadios, referida a la que pasa por lasciudades de Alejandría y Siena (ahoraAsuán, en Egipto). El estadio era unamedida antigua y el que posiblementeutilizó Eratóstenes fue el estadio egipcio,cuyo valor es 157,50 m. Por lo tanto,250 000 estadios = 250 000 • 157,50 m= 39 375 000 m = 39 375 km , valorpróximo del conocido actualmente.

RETO:Construye dos triángulos distintos que tengan lamisma base e igual altura, pero con perímetrosdistintos. ¿Qué concluyes?

EratóstenesMatemático, geógrafo y

astrónomo griego(s. III - s. II a.C)

El Ecuador terrestre mide 40 056,23 km (el radio ecuatorial es 6 378,38 km). Elmeridiano de Greenwich mide 39 920,70 km (el radio polar es 6 356,80 km).Observa que esas longitudes indican que la Tierra es más achatada en los polosque en el Ecuador.El promedio de esos dos radios es 6 367,59 km. Por lo tanto, suponiendo quela Tierra sea de forma esférica con radio igual a 6 367,59 km, podemos calcularsu volumen:Volumen 4π (radio)3 4 • 3,14 • (6 367,59)3 km3 ≈ 1 080 920,27 millones dekm3.Volumen≈ 1 080,1 millardos de km3.

360º = 50 • 7,20ºDe Siena aAlejandría hay 5 000estadios.5 000 • 50 estadios= 250 000 estadios.

Para tener idea de esas medidas, comparemos con el volumen delSol que es 1 301 503 veces el volumen de la Tierra y éste a su vez

es 49 veces el de la Luna (aproximadamente).

Asuán

Alejandría

7,2º

R a y o s s

o l a r e sAlejandría

Siena (Asuán)

N

S

7,2º

3 3= ≈




M e d id a s y c ie n c iaLa Física estudia la materia, desde partículas tan diminutascomo los electrones y los quarks hasta cuerpos tangrandes como las galaxias y el universo entero, por lotanto, existe un rango enorme de medidas de las regionesque conforman el espacio conocido por la ciencia.Por ejemplo, en la figura se representan en formaesquemática diferentes longitudes (distancias o tamaños)de objetos. La escala que se utiliza no es lineal, pues seexpresa en potencias de diez y existe un factor de 104entre datos sucesivos de la escala. También se puedenotar que entre las cosas más pequeñas y las más grandesexiste un rango del orden de 1041. Las partículas máspequeñas y los cuerpos más grandes son diferentes entamaño por más de 40 órdenes de magnitud. En esterango existe una pequeña porción de distancias en laque vivimos y que nuestros sentidos pueden apreciar con

facilidad. ¿Cuál es este rango? Al responder a estainterrogante es posible afirmar que nuestro conocimientoacerca del universo se va desarrollando en la medida enque los científicos han diseñado y construido instrumentosy técnicas que permiten medir magnitudes y que amplíanel trabajo de nuestros sentidos.Estas ideas se comprenden mejor si se realiza unaexploración visual del dominio de la física en su intentopor desarrollar una visión del tamaño relativo de losobjetos del ambiente. La invitación consiste en emprenderun viaje fantástico, iniciándose desde lo familiar, es decir,

considerando la escala humana. Durante el viaje te puedesdirigir hacia lo muy grande (macrocosmos) o descenderhacia lo muy pequeño (microcosmos). Cierra tus ojos eintenta viajar comprando para ello un boleto a tuimaginación.

10-16

10-12

10-8

10-4

100

104

108

1012

1016

1020

1024

Frontera deluniversoobservable≈ 1024 m

Diámetro denuestra galaxia≈ 7,6 x 10

20 m

Distancia a laestrella máscercana≈ 4 x 1016 m

DistanciaTierra-Sol≈

1,5 x 1011

m

DistanciaTierra-Luna≈ 108 m

Radio de laTierra≈ 6 x 106 m

Altura del picoBolívar≈ 5 x 103 m

Altura de unapersona≈ 1,7 m

Diámetro decien bolívares≈ 2,5 x 10-2 m

Diámetro deun glóbulo rojode la sangre≈ 10-5 mLongitud deonda de la luz

visible≈ 5 x 10-7 m

Diámetro delátomo≈ 1 x 10-10 m

Diámetro delprotón≈ 2 x 10-15 m

u d

ud

u du d

u du

d

u d

u du d

u d

u d

ud




Para que los niños se formen una idea clara de lo que es el área, de lasfórmulas que se utilizan para calcularla y de las unidades en que se expresa,es conveniente hacerles vivir la experiencia de medir el tamaño de unasuperficie con un pedazo de cartón de base cuadrada, que podría ser de undecímetro por lado, para medir la superficie de una hoja de papel, de unamesa rectangular o del pupitre.

Al medir el tamaño de diferentes superficies rectangulares, se van dandocuenta de que el área depende de las longitudes de los lados. Luego sepuede plantear la situación de dibujar en el cuaderno diferentes rectángulosque tengan de área 24 cuadraditos.

Así representarán rectángulos de lados de 8 y 3, 4 y 6, 12 y 2, 24 y 1, parallegar a concluir que en todos estos casos el área es el producto del largopor el ancho, o también de la base por la altura.

8

3

6

4

12

2

241

Área de un triánguloExperimentalmente verificamos la fórmula del área de lostriángulos. A un cartón de base rectangular cuya área esa x b se le traza una de las diagonales, obteniéndose dostriángulos iguales. Por tanto, el área de cada uno de estostriángulos es (a x b)

En general, se puede demostrar que el área de un triánguloes (base x altura)

Verifiquemos esta fórmula en las siguientes situaciones:Represente en un papel un triángulo isósceles, unoescaleno, o uno equilátero llamados ABC. Si trazamosuna paralela a la base AC en la mitad (M) de la altura deltriángulo, se puede comprobar que los triánguloscoloreados C’MB y A’MB corresponden a los triángulosC’XA y A’YC respectivamente. Estas dos últimas figurasagregadas a la parte blanca (AC’A’C) del triángulocompletan un rectángulo, el cual tiene la misma base yla mitad de la altura de los respectivos triángulos ABC.

Área de un paralelogramoCon un pedazo de cartón de base rectangular se puede“ver” cómo calcular el área de un paralelogramo y elde un trapecio.

Del cartón de baserectangular se corta unpedazo triangular N que secoloca en otras posicionescomo las indicadas másabajo.

En este caso se observa unparalelogramo no rectánguloy su área sigue siendo basepor altura.

En este caso se tiene un

trapecio de igual área quela del rectángulo de dondeproviene y se puedecomprobar que el área deun trapecio es igual a lasemisuma de las bases porsu altura.

A partir de estas experiencias se pueden proponerproblemas de cálculo de áreas.

Áreas

2

2

N

N

Nh

a

b

(a+b) x h2

Ve n ta n a d id á c t ic aEstrategias sugeridas al docente

A

B

C

X YMC’ A’

A

B

C

MC’ A’ YX



Todos conocemos la obra de Leonardo daVinciLa Monalisa o La Gioconda . Se sabeque las dimensiones del lienzo son 77 cm dealtura y 53 cm de ancho. Si la dama de lapintura tuviera los brazos extendidoshorizontalmente (1,70 m de longitud real) yLeonardo mantuviera la proporcionalidad deldibujo, ¿qué superficie mínima debería tenerel lienzo?


Te n g o q u e p e n s a r loImagina que dispones de una cintamétrica y de una foto de un edificio degran altura. ¿Cómo harías paradeterminar su altura sin tener que subirtepiso por piso?

El cubo de la figura tiene un volumen de27 cm3. ¿Cuánto es el área del rectángulo

rojo ABCD?

Tres pelotas de tenis estánestrechamente empaquetadas enuna caja cilíndrica, como semuestra en la figura. ¿Qué fracciónde volumen de la caja está ocupadapor las pelotas de tenis?

A B

C D

¿Cuánto mide el área de coloranaranjado –comprendida entre los

dos cuadrados– sabiendo que el radiode la circunferencia es 2 cm?

1,70 m

Bib l iogra f í aChamorro, Carmen y Juan Belmonte (1994).El problem a de la med ida. Didáctic a de las magnit udes lineales .Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, Nº 17. Editorial Síntesis, Madrid, España.Gaceta Oficial de la República de Venezuela. Extraordinario Nº 2.823, 14 de julio de 1981.Rodríguez, Leonardo (2000).Pesos y med idas antigu as de Venezuela . Fondo Editorial Tropykos, Caracas, Venezuela.

Páginas webhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htmhttp://lectura.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/curso1/htmlb/sec_49.html

R e s u l t a d o sEl área del rectángulo es≈ 12,72 cm2.Las pelotas ocupan de la caja.El área de color anaranjado es 8 cm2.La superficie mínima del lienzo es de≈ 4,2 m2.

23



Luis Báez Duarte

La m a tem á tica y e l P rem iNació en Caracas en 1938. Realizó susestudios en el Instituto de Tecnología de

California (Caltech), donde obtuvo conhonores el BSc. en Matemáticas, en 1959.Luego, en esa misma institución, obtuvoel PhD en matemáticas en 1965. El doctor

Báez Duarte ha sido profesor de la

Universidad de California y del InstitutoTecnológico de Massachusetts y fuefundador del departamento de

matemáticas del IVIC, donde se mantienecomo colaborador visitante desde 1990.

Le fue conferido el Premio “LorenzoMendoza Fleury” de Fundación Polar en

1999.Fotografía: Carlos Rivodó

Luis Báez Duarte ha centrado su trabajo de investigación en la búsqueda de la solucióna uno de los problemas más famosos de la matemática en la actualidad, quizás el másfamoso. Se trata de la Hipótesis de Riemann, RH, la cual fue planteada por el matemáticoalemán Bernard Riemann durante la segunda mitad del siglo XIX y nos dice, hablandde una manera muy informal desde el punto de vista matemático, dónde se piensa que

están ubicados los valores que anulan una cierta función (los ceros de la función),definida en los números complejos. Esta función se conoce hoy en día como la funcióZeta de Riemann. La verdad de esta conjetura está conectada con el fascinante problemade la distribución de los números primos dentro del conjunto de los números enteros.Hoy en día hay muchos resultados matemáticos importantes, cuya verdad depende dela veracidad de la Hipótesis de Riemann.Varios matemáticos importantes del siglo XX han intentado resolver este problema siéxito. En el mejor de los casos han logrado encontrar reformulaciones de la Hipótesises decir, han logrado plantear otros problemas cuya solución implicaría la solución deRH y viceversa, la solución de RH implicaría la solución de estos problemas. Esta esuna técnica muy común en Matemáticas y rinde sus máximos beneficios cuando sepuede lograr una reformulación equivalente al problema original, pero más sencilla dresolver. Algo similar a esto se logró hacer con éxito recientemente con el famosoTeorema de Fermat, cuya solución requirió esfuerzos por más de trescientos años y el

hecho de haberla logrado, produjo un gran impacto en el mundo desde un punto devista noticioso, además del correspondiente impacto en la comunidad matemática.Volviendo a RH, el Dr. Báez Duarte es autor de algunas de las reformulacionesmencionadas, una de las cuales, según expertos en la materia, parece particularmenteesperanzadora. Se puede consultar en el sitiohttp://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHreformulations.htm.En el camino a la búsqueda de la solución de RH el Dr. Báez Duarte ha logradointeresantes aportes a la matemática, particularmente en el área de Teoría de Números.Esta rama de la matemática ha sido considerada históricamente como una de las máspuras, sin embargo con el desarrollo de los computadores, se están utilizando muchosde sus resultados en la codificación de mensajes, dando origen al fascinante mundo dela criptografía.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,

creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros másdestacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedoy Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.



En el papiro Rhind, un antiguodocumento egipcio de 1650 a.C.,se plantea un problema el cualdice: “un montón y un séptimodel mismo es igual a 19”.¿Cómo es la expresiónmatemática de esta igualdad?

Esta ecuación se escribe así:

x + = 19

Puente autopista Caracas-La Guaira ,Venezuela. La estructura principal deeste viaducto está definida por parábolas,gráfica de la función cuadrática.

x 7

En una competencia ciclística entre San Cristóbal yLa Fría existen diversos aspectos que van cambiandoa medida que los participantes cubren dicho trayecto.Es importante tomarlos en cuenta para llegar a ser elganador de ella.Para poder predecir el desempeño de los ciclistas,existen datos que se toman durante los entrenamientos:la distancia recorrida, los tiempos para recorrerla, laenergía que el cuerpo consume, entre otros. Tambiénhay aspectos constantes como la distancia a sercubierta y la diferencia de altura que existe entre estas

dos ciudades.

Podemos representarcomo d la distanciarecorrida, t el tiempo, E laenergía que consume; d ,t y E son variables quedescriben aspectos de lasituación planteada.



La historia del álgebra (Die Algebra der Griechen), segúnel alemán G.H. Nesselmann (Berlin 1811-1881), pasópor tres grandes fases. En la primera de ellas, llamadaálgebra retórica , prácticamente no había simbologíay tanto el enunciado como la solución de un problemaeran verbales; en la segunda, llamada álgebrasincopada , se empleaban abreviaturas para designarconceptos y representar operaciones; y por último, elálgebra simbólica , en la cual se usa una variedad desímbolos para expresar las ideas matemáticas.

El lenguaje de las matemáticasLas matemáticas, como muchas actividades humanas, requieren de unlenguaje para su transmisión, difusión y comunicación. Este lenguajeposee varios componentes.

Acto I, II, III . (1989)Asdrúbal Colmenares (Trujillo 1936- ).

Componentes

Símbolos o signos

÷ 9 +

>

Vocabulario“ecuación”

“variable”“incógnita”

“despejar”

“elevar al cuadrado”

Gráficos

Los diversos símbolos o signos presentes en este lenguaje tienen un significado preciso y cumplen diversasfunciones:

Símbolos que representannúmeros :

0, 1, 2, ..., 9

Signos que indicanrelaciones :

> “mayor que”< “menor que”= “igual a”= “diferente de”.

Signos para las operaciones :+ para la adición, - para la sustracción;x o • para la multiplicación, / o ÷ para ladivisión; para la radicación.

Símbolos que aparecen enmatemáticas superiores:

para la derivada.

Para algunas constantes seusan letras específicascomo i , e y la letra griegaπ .

Signos de agrupación :( ) paréntesis[ ] corchetes llaves.

Fundación Polar • Úl t im as No t ic ias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 64 2

Letras del alfabeto para simbolizar constantes y variables.Las primeras letras: a, b, c, d se suelen emplear para denotarconstantes. Las últimas letras: x , y , z se utilizan generalmente pararepresentar variables. También se utilizan con frecuencia las letras

griegas .

En el siglo IX Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de losnúmeros, de los métodos de cálculo y de los procedimientosalgebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo . Lapalabra álgebra deriva del título de su obra más importante,que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala .



Los símbolos se pueden combinar de diversas maneras. Estascombinaciones dan lugar a expresiones y fórmulas matemáticas. Unaexpresión es una combinación de símbolos matemáticos. Una fórmulaes una expresión en forma de igualdad o desigualdad que representauna ley, propiedad o condición.

Cruz de mayo . (1960)Régulo Pérez (estado Bolívar 1936- ).

Fundación Polar • Úl t im as N o t ic ia s • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6 4 3

No todas las combinaciones de símbolos que se nos ocurran son válidas . Sucede algo similar con nuestroidioma: cualquier combinación de letras no es necesariamente una palabra; así, “casa” es una palabra bienconstruida, mientras que “wxathz”, no lo es. En matemáticas, por ejemplo, las expresiones “ (x+y) 2 ” y “ f(x)=3e x +1 ”están bien construídas. Sin embargo, “ )3+ x) ”, “ x+-3 ” y “ 3x-log ” no lo están.

¡Para que obtengamos expresiones válidas tenemos que respetar ciertas reglas!Notemos que aunque la expresión sea válida, ésta puede no representar el resultado correcto de una situación:si queremos sumar 5 más 3 y multiplicar el resultado por 2, la expresión que representa correctamente lo planteadoes: (5+3)2. Si usáramos la expresión 5+3(2), ésta sería válida como expresión matemática pero no representaal enunciado dado.

(a+b) 2

C + V = A + 2

f(x) = ax + b

f(x)=ax 2 +bx+c

V = π R 3

h π R 2

a n = 3 + nr

b n = 5r n

c 2 = a 2 + b 2

-b ± b 2 - 4ac 2a

A= π R 2

A=

ax + b = 0

x 3 +

sen (ß)

at 2 + bt + c = 0

Fórmulasy

expresiones

32

bh 2

4 3

Una variable se representa mediante un símbolo, generalmente una letra. En una expresiónmatemática cada variable representa un elemento cualquiera de un conjunto de valoresposibles. Por ejemplo, en la expresión f(x)=2x+3 , x es una variable que puede tomar valoresen un conjunto numérico ( , , , , ); por su parte, 2 y 3 en la expresión anterior representanconstantes. En la expresión A(r)= π r 2 , r es una variable que toma valores positivos en elconjunto de los números reales; mientras que π es constante. También f(x) y A(r) son variables.La distancia cubierta d y el tiempo empleado t en un recorrido en bicicleta también sonvariables, las cuales sólo pueden tomar valores no negativos.



Dos matemáticos del siglo XX, el polaco Hugo Steinhaus y el canadiense Leo Moser, idearon

una ingeniosa notación para escribir números muy grandes. La notación funciona así:

a = a a a = a dentro de a triángulos y a = a dentro de a cuadrados

2 = 2 = 2 = 2 2 = 4 4 = 256

El último número representa 256 dentro de 256 triángulos y cada vez que quitamos un triángulo tenemosque tomar lo que está dentro de él como base y elevarlo a un exponente igual a la base. El resultadoes un número gigantesco.Hugo Steinhaus

matemático polaco (1887-1972).

Reto:Trata de calcular el valor de 3

Ayer y hoy del simbolismo de las ecuaciones algebraicas


El advenimiento y posterior evolución del simbolismo matemático fue un proceso lento.Veamos una breve reseña:

Matemático Forma de escritura para la época

S i g l o I I

1 4 9 4

1 5 2 1

1 5 7 7

s . X

V I

1 6 2 9

1 6 3 7

1 6 9 3

Forma actual de escritura

Diofanto x 3 = 5 x 2 + 8 x - 1

Luca Pacioli x + x 2 = 1 2

Ghaligai x 2 + 3 2 x = 3 2 0

Gosselin 1 2 x - x 2 + 4 8 = 1 4 4 - 2 4 x + 2 x 2 12LM1QP48 aequalia 144M24LP2Q

Viète 3 a x 2 + 5 b x - x 3 = D B 3 in A q + F 5 in A – AC aequaturD sólido

Girard x 4 + 3 5 x 2 + 2 4 = 1 0 x 3 + 5 0 x 1 4 + 35 2 + 24 = 10 3 + 50 1

Descartes x = a + a 2 + b 2 x a + aa + bb 1 2

1 4

1 2

1 4

Wallis x 4 + bx 3 + cxx + dx + e =0 x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0

Notamos que en el período 1494-1693 (casi 200años) se pasó de una escritura casi en lenguajenatural al simbolismo actual, sin embargo esteproceso no se ha detenido. Por ejemplo, en el sigloXX, el conocido grupo Bourbaki introdujo diversasnotaciones y popularizó otras. Entre éstas utilizó elsímbolo ø para denotar al conjunto vacío.

André Weilfrancés (1906-1998). Uno de losprincipales matemáticos del siglo XX,miembro fundador del grupo Bourbaki.

“El algebra se apropia de pleno derecho elnoble problema entre los problemas quees: no dejar ningún problema sin solución.”

F. Viète (s. XVI)En Inartem analytican isagoge (1591). Primertratado moderno de álgebra que lo hizo famoso.



La incógnita ha recibido diversos nombres en la historia de la matemática. Ahmes (siglo XVII a.C.)usaba la palabra “aha”, que significa montón” o “cantidad”, para designarla. El hindú Aryabhatta(siglos V a VI d.C.) usó la abreviatura “ya” para representarla. En los siglos XV y XVI se emplearonlas palabras “res” (latín), “cosa” (italiano), “coss” (alemán) y “cossike” (inglés). En el siglo XV, elmatemático Nicolás Chuquet la denominó “premier”.

Fundación Polar • Úl t im as N o t ic ia s • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6 4 5

Ecuaciones linealesConsideremos la siguiente situación (con los números que utilizamospara contar): se trata del juego o acertijo “ Piensa un número... ”

1- Piensa un número2- Multiplícalo por 23- Agrégale a lo obtenido 54- Multiplica el resultado anterior por 55- Súmale 10 a la cantidad obtenida6- Multiplica el nuevo resultado por 107- Dime el resultado y te diré el número que pensaste¿Cómo funciona el truco?

Para ver que hay detrás de este acertijo, basta transformar las frasesanteriores en su equivalente simbólico: es decir, construir las expresionesmatemáticas que las representan.Lo primero que haremos es simbolizar el número desconocido (el quepiensa nuestro adversario) con una letra. Pongamos por caso n.A continuación traducimos todas las instrucciones a expresionesmatemáticas:

1- Piensa un número n 2- Multiplícalo por 2 2n 3- Agrégale a lo obtenido 5 2n+5 4- Multiplica el resultado anterior por 5 (2n+5)5 5- Súmale 10 a la cantidad obtenida (2n+5)5+10 6- Multiplica el nuevo resultado por 10 [(2n+5)5+10]10 7- Dime el resultado y te diré el número que pensaste R=[(2n+5)5+10]10

R(n)=100n+350 Res el resultado que

nos dan. Una vez escogidon el valor R queda determinado

por las operaciones especificadasmediante la fórmula; R se denomina

variable dependiente en razónde que su valor depende del

valor n .

Esta dependencia se indica porR(n) y es lo que en matemáticase denomina una función .

Lavariable n es el número

pensado. Como la variablen es de libre escogencia, ella

se llama variable

independiente.




¿Cuál es el conjunto de valores posibles que puede tomar n?En principio, n puede tomar cualquier valor dentro del conjunto delos números naturales, denotado por I N.n N

El jugador que pensó el número n calcula el número R (n) que produce la fórmula:es decir, está evaluando la función en n. Así, si n=3 , entonces le correspondeR(3)=650 ; si n=11 , entonces R(11)=1450 , etc.

Pero, ¿qué ocurre si pensamos “al revés”?, si damos R ¿habrá algún valor de n que produzca el R dado?Esta es la situación en la cual nos encontramos cuando nuestro oponente da el valor de R y queremos“adivinarle” el número que pensó. Esta nueva situación produce una ecuación y el valor desconocido npasa a llamarse incógnita .

Ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la cual aparecen cantidades constantes yuna o varias cantidades variables desconocidas llamadas incógnitas. Ejm: x + 6 = 1; x 3 - 8 = 0 ...

Los valores de la(s) incógnita(s) que satisfagan la igualdad se denominan raíces de la ecuación.

Veamos otra situación. Si los triángulos se construyen con fósforos. ¿Será posible encontar una fórmula mediantela cual se establezca una relación entre el número de triángulos y el número de fósforos empleados?.

“El álgebra es generosa, frecuentementeda más de lo que pide”

J ean D’Alembertmatemático, físico y filósofo francés

(1717-1783).

¡Exploremos el asunto!

Para el primer triángulorequerimos tres fósforos.Para poder anexar elsegundo se necesitaadicionar dosfósforos. Para elsiguiente colocamosdos más.Denotemos con la letra n el número de fósforos ( variable independiente )y con T(n) el número de triángulos construídos con n fósforos ( variabledependiente ).Si observamos con un poco de cuidado podemos notar que los númerosde la segunda columna son los números impares ≥ 3 y en la primeraaparecen los números naturales. La pregunta original se transforma en¿cómo determinar un número de la primera columna conocido sucorrespondiente en la segunda? En otras palabras, ¿Cómo saber que al

7 le corresponde el 3, al 11 el 5...? La respuesta es que dado un númerode la segunda columna, le restamos 1 y luego lo dividimos por 2. Así, lafórmula buscada es:

Nº

1

2

3

4

5

.. .

Nº

3

5

7

9

11

.. .

n- 1 2

n 2

1 2

T(n)= =

En las dos situaciones que acabamos de presentar, la expresión del lado derecho de la igualdad resultóser de la forma an + b. En otras ocasiones, como el caso del problema propuesto en el Papiro Rhindcuando las cantidades que intervienen son números reales, se acostumbra emplear la letra x en lugarde n .

Ecuaciones lineales



4 7

Funciones afín y cuadrática

Se dice que la expresión ax+b es un polinomio de grado 1 (o lineal) ya que 1 es el exponente de lavariable y la función definida por f(x)=ax+b se denomina función afín (o lineal). La gráfica de la funciónafín es una línea recta no vertical.

Si representamos la sucesión T(n),de los fósforos, se obtienen lospuntos que marcamos en la gráficay observamos que éstos estánalineados.

Si utilizamos en vez de n una variable real x ,

la representación deesta función da una recta.

Alnúmero que

corresponde al área deun cuadrado le resto cinco

cuartos del número quecorresponde a su perimetro.

Si resulta -6, ¿podrédeterminar las

dimensiones delcuadrado?

El área del cuadrado de lado x es x 2 y superímetro es 4x.

Por lo que la ecuación queda de la siguienteforma:

x 2 - (4x) = -6 => x 2 - (4x) = -6

x 2 - 5x =-6

5 4

5 4

Ecuación de segundo grado o cuadrática

Si aplicamos la fórmula para obtener las raíces de una ecuación de segundo grado (a= 1,

b=-5 y c=6), los valores resultantes, para nuestra ecuación x 2 - 5x =-6 , son x=2 y x=3 . Hay dos cuadrados quecumplen con la premisa dada, los cuadrados de lado 2 y lado 3.

-b ± b 2 - 4ac 2a

G r á f i c a

d e

f ( x ) = x

2 - 5 x + 6

Raíces de la ecuación x 2 -5x+6=0

Como podemos observar, la parábola corta al eje x en x=2 y en x=3 . Estosvalores son las raíces que ya habíamos obtenido por métodos algebraicos. Lasraíces nos permiten localizar los puntos de corte de la parábola con el eje x.

La expresión ax 2 + bx + c= 0 se diceque es una ecuación de grado 2 (o

cuadrática) y f(x)=ax 2 +bx+c sedenomina función cuadrática . Lagráfica de la función cuadrática es una

parábola.En este caso ∆ = b 2 - 4ac > 0

y a > 0

Fundación Polar • Úl t im as N o t ic ia s • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6

x 2

1 2

f(x)=

V e a m o s o

t r a s

i t u a c

i ó n :

1

01

1

0 1

y

1

0 1x

y

n

T n

Parábola RockArmenia.




Ecuaciones cuadráticas

f(x)=-x 2 -5x-7 f(x)=(x-1)2

Raíz de la ecuación ( x-1) 2 = 0

La parábola toca un solo punto del eje x. ∆ = 0

Grafiquemos algunas funciones de grado 2 a los fines de observar si las mismas cortanel eje x en uno o más puntos, o no lo cortan. Esto da una idea de cómo son las raícescorrespondientes a la ecuación cuadrática.

Raíces de la ecuación x 2 -3x-4=0

f(x)=x 2 -3x-4

La ecuación -x 2 -5x-7=0 no tiene raíces reales. ∆ = -3 < 0

f(x)= -(2x) 2 -2x

Raíces de la ecuación -( 2x) 2 - 2x = 0

Las ecuaciones y los conjuntos numéricos.Inicialmente cuando sólo se conocían los números naturales N: 0, 1, 2, 3,...y se planteaban ecuaciones del tipo x + a = b , algunas de éstas podíanresolverse, es decir tenían solución en el conjunto N, mientras que otras no.De esta manera se crea el conjunto de los números enteros : ..., -3, -2,-2, 0, 1, 2, 3,... donde tienen soluciones las ecuaciones del tipo x + a = b.Pero ahora se plantean ecuaciones de la forma ax = b . Como no todas tienensolución en , se construye el conjunto Q de los números racionales ofracciones, ,a b y b ≠ 0 . Surgen ahora ecuaciones del tipo x 2 - a = 0 ,a > 0 que no tienen solución. De esta manera se crea el conjunto de losnúmeros reales, donde están números como 2, π y e. Pero no todas lasecuaciones del tipo x 2 + a = 0 tienen solución en . Finalmente se construyeel conjunto C de los números complejos, donde todas las ecuacionesalgebraicas a n x n +a n- 1 x n- 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0 tienen solución.

x + 3 = 5 Solución x = 2x + 5 = 2 No tiene solución en I N

3x = 18 Solución x = 62x = 1 No tiene solución en

x 2 - 2 = 0 Sin solución en Qx 2 + 1 = 0 Sin solución en

x

y

xy

y

x

xy

a b

10-1

10 1

1

0

-1

10

1

∆ = 25 > 0 ∆ = 4 > 0



Gérard DavidPintor flamenco (1450/60-1523)EnLas bodas de Caná , David logró combinar las característicasde cuadro colectivo y las convenciones decuadro religioso , endonde destacan al frente unas vasijas para guardar agua, queparecieran tener la misma capacidad de almacenaje. Esta hasido una constante de búsqueda en los matemáticos y físicos,el conseguir el recipiente que contenga más cantidad de líquido,sea resistente, manejable y de fácil apilamiento.

Mario BenedettiPoeta y escritor uruguayo (1920- )

Todo está lejos, pero es un modo de decir.En realidad no tengo patrón universal paramedir cercanos y remotos...

...En mi mejor historia ha habido lontananzasa granel y mi experiencia dice que lo remotoa veces se aproxima.

M a t e m á t i c a p a r a t o d o sE s t i m a n d o m e d i d a sFascículo

Medidas III



E s tim a n d o m e d id a s

En la vida diaria nos encontramos ante muchas situaciones en las que se hace necesario estimar, esdecir, valorar de manera cuantitativa una determinada magnitud. Por ejemplo, estimamos el tiempo parllegar de un lugar a otro, la cantidad de alimentos necesarios para alimentar a una familia en una semana,la cantidad de tela requerida para hacer un traje, la cantidad de ingredientes para preparar una comida,la cantidad de pintura que hace falta para pintar una ventana o una casa.No siempre es fácil asignar un número exacto a una magnitud, por ejemplo, conocer la cantidad deasistentes a una manifestación, la cantidad de cabellos que tenemos en la cabeza, la cantidad de aguaque utilizamos para bañarnos, la cantidad y el costo del material necesario para hacer una construccióno la extensión de alguna superficie. Así también, hay algunas magnitudes de las cuales es imposibleobtener un valor exacto, por ejemplo, la cantidad de población y la cantidad de agua caída comoconsecuencia de las lluvias. No obstante, la estimación permite asignar valores numéricos a estasmagnitudes manteniendo al mismo tiempo un control sobre la validez de esa valoración.

Interesante

Esta figura representa el cálculoque Fermat hizo con el fin dedeterminar el área entre el eje

horizontal, las verticales a izquierday derecha y la curva definida por lafunción y=x . Fermat generalizó elcálculo para curvas de ecuacióny=x .Observa que la suma de las áreasde esos rectángulos da un valoraproximado del área antes descrita.

Fundación POLAR• M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 7 - EstimandoMEDIDAS 3

Pierre de FermatMatemático francés (1601-1665)

Este personaje estudió y ejerció el Derechoy fue consejero en el Parlamento. En sutiempo libre se ocupó de la literatura y dela matemática llegando a ser uno de losprincipales matemáticos del siglo XVII ygloria universal de esta ciencia debido anumerosos aportes en sus diversas áreas.Publicó poco sus resultados, figurandoalgunos de ellos como notas y apéndicesa libros escritos por otros, en los márgenesde esos tratados. Varios de sus trabajos seperdieron.

13

pq



M1

R ≈ 2,2


E s t im a n d o la lo n g itu d d e u n a

Se han medido los lados L1 y L2 con una regla graduada y por esto resultan aproximaciones. Asimismo, consideremoun polígono regular S1 circunscrito a la circunferencia C y llamemos P1 a su perímetro. Construyamos otro polígonoregular S2, circunscrito a la misma circunferencia y con el doble de lados que S1. Llamemos P2 al perímetro de S2,entonces se cumple que P1 > P2 . En forma análoga al caso anterior, si duplicamos indefinidamente el número delados, los perímetros de los polígonos obtenidos serán cada vez menores y más cercanos a la medida de la longitude la circunferencia L: P1 > P2 > P3 > P4 > .... > Pn > .... > L.

Consideremos un polígono regular M1 inscrito en una circunferencia C y llamemos p1 a su perímetro. Construyamosotro polígono regular M2, inscrito en la misma circunferencia y con el doble número de lados que M1, y llamemosp2 a su perímetro; entonces se cumple que p1 < p2. Si continuamos construyendo polígonos inscritos a esacircunferencia, duplicando indefinidamente el número de sus lados, los perímetros de los polígonos serán cada vmayores y más cercanos a la medida de la longitud de la circunferencia L: p1 < p2 < p3 < p4 < ..... < pn < ..... < L.

M1

M2

R≈ 2,2

Cuadrado inscritoL1 ≈ 3,1 cmp1 ≈ 4 • L1 ≈ 12,4 cm

Octógono inscritoL2 ≈ 1,7 cmp2 ≈ 8 • L2 ≈ 13,6 cmL= 2π R ≈ 13,82 cm

Calculando los perímetros de los polígonos inscritos y circunscritos, notamos que se aproximan a un mismo valoL. Estos perímetros son valores aproximados de L. Los errores cometidos en estas aproximaciones se hacen máspequeños a medida que tomamos los polígonos regulares con mayor número de lados.

InteresanteLos cálculos de esos perímetros se pueden hacer, aplicando propiedades geométricas, enfunción del radio (R). Por ejemplo:

P1 = 4 • 2 R≈ 12,4 cm P2 = 8 • 2 - 2 • R≈ 13,47 cm

P1 = 8R ≈ 17,6 cm P2 = 8 • 2 • (2- 2) • R≈ 14,58 cm

S1

R

L2

R

Cuadrado circunscritoL1 ≈ 4,4 cmP1 ≈ 4 • L1 ≈ 17,6 cm

Octógono circunscritoL2 ≈ 1,8 cmP2 ≈ 8 • L2 ≈ 14,4 cmL = 2π R ≈ 13,82 cm

Lp

nP

nP

3P

1P

2p

2p

1p

3

C

R≈ 2,2

M1

C

L1

L1

L2

L

S2C C




E rro r e n la e s t im a c ió nAl estimar utilizamos expresiones como: "entre tanto y tanto","alrededor de", "aproximadamente", etc., para indicar que no es lacantidad exacta, sino que existe un margen de error, es decir, quepuede ser más o menos la cantidad exacta.Error es el términoutilizado para designar la diferencia que un valor aproximado (Va),tiene respecto del valor exacto (Ve) al que representa. Este errores conocido comoerror absoluto (Ea), es decir,Ea = |Ve - Va|, donde | | indica el valor absoluto.En casi todas las estimaciones se comete un error, más aún,podríamos decir que regularmente la medición de las magnitudesfísicas son inexactas, aun cuando éstas sean realizadas coninstrumentos de medida, ya que existen algunos imponderablescomo las imperfecciones de los objetos, los defectos de construcciónde los instrumentos de medida y los errores que cometemos en sumanipulación, que impiden la exactitud.No obstante, lo importante es saber cuándo un error es aceptable,por ejemplo, en la estimación de la cantidad de agua al preparar

una comida, un error de 1 cm3

no es significativo, no así, si esemismo error se comete en la dosis de un medicamento.Para tener una mejor idea de cuán buena es la estimación realizada,calculamos la razón entre el error cometido (Ea) y el tamaño de lamagnitud medida (Ve). Esta razón es lo que se conoce con elnombre de Error relativo (Er). Es decir,Er = .Cuando este valor relativo (Er) lo expresamos en porcentaje,multiplicando la relación referida por cien, hablamos entonces deerror porcentual .

Uno de los teoremas notables de Arquímedes se refiere a: “Lalongitud de la circunferencia de un círculo es igual al triple deldiámetro, más una parte de éste, que es menor que su séptimaparte, y mayor que diez setenta y un avos del mismo” ya que losnúmeros 3 y 3 son dos valores aproximados por defectoy por exceso, respectivamente, del conocido númeroπ .Arquímedes determinó estos números utilizando el método deinscribir y circunscribir polígonos duplicando el número de lados,partiendo del hexágono regular, para llegar al polígono regularde 96 lados y calculando aproximadamente sus perímetros.

ArquímedesMatemático griego (siglo III a.C.)

1071

17

E s c u e l a d e A t e n a s (Fragmento)Rafael Sanzio (1483-1520)

E a

V e



E s tim a n d o á re a s

Fundación POLAR• M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 7 - EstimandoMEDIDAS 3

Pancho QuiliciPintor caraqueño (1954- )Para conocer un mundo, una isla basta y sobra . 1988

Veamos el caso de una región como la dibujada y tratemos de calcular suárea. Para la regiónS no hay una fórmula que permita calcular su superficie.

Cuando no tengamos una fórmula para calcular el área hayque buscar otro procedimiento para ello.Uno de estos procedimientos es emplear instrumentos demedida, otro sería buscar alguna herramienta matemáticapara hacerlo, o una combinación de los procedimientos antesnombrados.En todo caso, esto nos conduce a unaestimación del valordel área y no a un cálculo exacto.¿Qué nos muestran las dos figuras a la derecha? En ellashemos superpuesto una cuadrícula a la región a la cualqueremos calcular el área.¿Por qué hacemos esto? Lo hacemos porque tenemos unprocedimiento, una fórmula, para calcular el área de uncuadrado.¿Cómo estimar el área de S por intermedio de la cuadrícula?Basta contar cuántos cuadrados quedan encerrados en laregión y multiplicar este número por el área de cada cuadrado.El resultado obtenido es menor que el área de S. Esto es,obtenemos unaaproximación del área por defecto . Podemostambién contar el número mínimo de cuadrados que cubrena S, esto es, los que están dentro más aquellos que tienenuna parte dentro de S y una parte fuera. En este caso tambiénhay que multiplicar el número de cuadrados por el área decada uno de ellos para obtener la estimación del área de S.El resultado obtenido es mayor que el área de S. En estecaso obtenemos una aproximación del área por exceso .

S

Aproximación por defecto

Aproximación por exceso

60 cuadrados de 0,25 cm2 = 15 cm2

103 cuadrados de 0,25 cm2 = 25,75 cm2

No siempre la última aproximación del área es mejor que las anteriores

Area de la figura = (15 + 25,75) = 20,37 cm2Otra estimación la obtenemos promediando ambos valores

2




E s tim a n d o á re a s

1 cm1 cm equivale a 104 km

Consideremos un estado venezolano. Ejemplo: el estadoBolívar. Veamos un Atlas (hemos consultado el LibroImage n de Venezuela: Una visión espac ial . PDVSA, 1990)y en él hallamos el mapa del estado que nos concierne.En este libro aparece que el área del estado es 238 000km2. Por otra parte, hemos de tener cuidado en mirar laescala de nuestro mapa.Según la escala gráfica del mapa un cm de éste esequivalente a 104 km en la realidad. Si lo transformamos,1 cm equivale a 10.400.000 cm, por lo que la escala delplano es 1:10.400.000.

Estado Bolívar

Amazonas

Guárico Anzoátegui Delta

1 cuadrado = 0,5 cm • 0,5 cm equivale a 52 km • 52 km≈ 2 704 km2

Cálculo con la misma cuadrícula utilizada en elejercicio anterior (0,5 cm x 0,5 cm)

Nº de cuadrados dentro del estado (color amarillo) = 63Nº de cuadrados dentro y fuera = 110Los valores que se obtendrán son estimados.Estimación por defecto (color amarillo) = 63 • 2.704 km2 =170.352 km2.Estimación por exceso = 110 • 2.704 km2 = 297.440 km2.El promedio de los dos valores anteriores =(170.352 + 297.440) = 233.896 km2.

1 cuadrado = 1 mm • 1 mm equivale a 10,4 km • 10,4 km≈ 108.16 km2

Para saber cuán buenas son estas aproximaciones debemos calcular el error cometido. La siguiente tabla recogelas estimaciones anteriores y el cálculo de errores tomando como valor exacto 238.000 km2

Área aproximada Error Absoluto Error relativo Error PorcentualAd= 170 352 km2 |170 352 - 238 000| = 67 648 km2 67 648 / 238 000≈ 0,2842 28,42 %Ae= 297 440 km2 |297 440 - 238 000| = 59 440 km2 59 440 / 238 000≈ 0,2497 24,97 %Ap= 233 896 km2 |233 896 - 238 000| = 4 104 km2 4 104 / 238 000≈ 0,0172 1,72 %A’d= 219 889 km2 |219 889 - 238 000| = 18 111 km2 18 111 / 238 000≈ 0,0761 7,61 %A’e= 248 227 km2 |248 227 - 238 000| = 10 227 km2 10 227 / 238 000≈ 0,0430 4,30 %A’p= 234 058 km2 |234 058 - 238 000| = 3.942 km2 3 942 / 238 000≈ 0,0166 1,66 %

Observa que el menor error porcentual (1,66%) corresponde a A’p, esta es la mejor de las aproximacionesefectuadas.

2

Cálculo con papel milimetrado

Nº de cuadrados dentro del estado (color amarillo) = 2.033Nº de cuadrados dentro y fuera = 2.295Los valores que se obtendrán son estimadosEstimación por defecto (color amarillo) = 2.033 • 108,16 km2=219.889,28 km2.Estimación por exceso = 2.295 • 108,16 km2= 248.227,20 km2.El promedio de los dos valores anteriores =(219.889,28 + 248.227,20) = 234.058,24 km2.

2



E s tim a n d o v o lú m e n e s

Fundación POLAR• M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 7 - EstimandoMEDIDAS 3

En todos estos objetos podemos calcular sus áreas y/o volúmenes (capacidades) con sólo medir ciertas longitudey luego aplicar fórmulas:

¿Y cómo calculamos las longitudes, áreas o volúmenes de estos otros objetos?

El volumen de estematero

La capacidad de estacesta de moriche

La superficie territorialabarcada por el Delta

del Orinoco

Los restosarqueológicos

encontrados enBarinas

Las curvas de losadornos en las rejas

PirámideParalelepípedo másprisma Tanque esféricoCilindroCírculo

Hay muchos otros objetos para los que no existen fórmulas, o no las conocemos, que permitan calcular suslongitudes, áreas o volúmenes.

Todo ello se hace mediante un proceso de aproximación que permite estimarlas medidas respectivas, bien sea por defecto (menores que la medida consideradacomo exacta) o por exceso (mayores que la medida considerada como exacta).

En casos como el de la cesta moriche o del matero de las fotografías, su capacidad

puede determinarse experimentalmente: se llena de agua o arena el recipiente hasta

el tope y luego se trasvasa el contenido a una jarra graduada con la que medimos

volúmenes.

RetoSi el radio de una esfera aumenta en 10%.

¿En qué porcentaje aumenta el volumen de esa

esfera?

R +10% de R

R




Consideremos el sólido de color amarillo claro, dibujado al lado, enel que se han medido las longitudes allí indicadas (diámetro de latapa superior y altura).¿Cómo calcular su volumen V?

Esto se hace mediante aproximaciones.

Primera aproximación (por defecto) Color verde:El volumen aproximado del cilindro interior al sólido es Vf=π R2 • H3,14 • ( )2 • 1,4 m =1,8573 m3 (1 857,3 l)

Segunda aproximación (por exceso) Color azulMedimos con algún instrumento el diámetro (o la circunferencia)mayor y supongamos que el resultado da igual a 1,52 m. Entonces,el volumen del cilindro exterior al sólido es 3,14 •( )2 • 1,4 m =2,5391 m3 (2 539,1 l).

Observemos que1,8573 < V <2,5391 y el promedio entre esos dos

volúmenes es 2,1982 m3:

Tercera aproximación:Si queremos mejorar la aproximación para el volumen V se divideel sólido en pequeños cilindros interiores (de color rojo), por ejemplodividiendo la altura como se muestra en el dibujo, y luego haciendola suma de los volúmenes de esos cilindros (da un valor aproximadode V por defecto).

En forma análoga se puede hacer con cilindros exteriores y obtenerun valor aproximado de V por exceso. ¿Cómo realizarías los cálculos?

C á lc u lo d e v o lú m e n e s d e s ó li1,3 m

1,52 m

1,3 m

1,4 m

Un sólido Aproximación del volumen del sólidomediante la suma de volúmenes de

cilindros

RetoUn envase cilíndrico de diámetro d, acostado, con un volumen total

de 60 litros, sólo queda lleno hasta las tres cuartas partes de d.

¿Cuántos litros más de agua hacen falta para llenar el envase?

1,3 m2

1,52 m2

1,3 m

1,52 m

1,3 m

0,35 m

0,35 m

0,35 m

0,35 m



E s t i m a n d o m e d i d a s

Fascículo


2 c m

2 c m

1 c m

2 c m

3 c m

2 c m

0 cm

2 c m

3 c m

2 c m

2 c m

2 c m

4 c m

2 c m

1 cm


Consideremos un cono con radio de la base R = 4 cm y altura H = 8

cm. ¿Cómo podemos determinar aproximadamente, el volumen V deeste cono a partir del conocimiento del volumen de un cilindro y sinutilizar la fórmula que da el volumen del cono?

Para ello dividimos la altura del cono, digamos en cuatro partes igualesde longitud 2 cm. De aquí se obtienen tres troncos de cono y unpequeño cono, todos de altura 2 cm, como se muestra a continuación:

8 c m

4 cm

2 c m

2 c m

2 c m

4 c m

2 c m

Ahora calculamos la suma de los volúmenes de los cilindros mostrados a continuación:

V < (π • 42 • 2 +π • 32 • 2 +π • 22 • 2 +π • 12 • 2) cm3 = 60 π cm3

Cilindros que contienen esos sólidos

V > (π • 32 • 2 +π • 22 • 2 +π • 12 • 2 +π • 02 • 2) cm3 = 28 π cm3

Cilindros que son contenidos por esos sólidos

Este pequeño cono nocontiene ningún cilindro,por lo que se coloca 0.

VE1 VE2 VE3 VE4

VE < VE1 + VE2 + VE3 + VE4

VD > VD1 + VD2 + VD3 + VD4

VD1 VD2 VD3 VD4

3 c m 2 c m

1 c m

V =π • R2 • H

2 c m



C á lc u lo d e v o lú m e n e s d e s ó li


8 c m

4 c m

Consideremos el mismo cono con radio de la base R = 4 cm y altura H = 8 cm.Si dividimos la altura del cono en ocho partes iguales de longitud 1 cm obtendremossiete troncos de cono y un pequeño cono, todos de altura 1 cm, como se muestraa continuación:

Al calcular de manera análoga a lorealizado antes, la suma de los volúmenesde los cilindros es la siguiente:

1 c m

4 c m

3 ,5 c m

1 c m

3 c m 1 c m

2 ,5 c m 1 c m

2 c m 1 c m

1 ,5 c m

1 c m

1 c m 1 c m

1 c m

0 ,5 c m

1 c m

4 c m

3 ,5 c m

1 c m

3 c m 1 c m

2 ,5 c m 1 c m

2 c m 1 c m

1 ,5 c m

1 c m

1 c m 1 c m

1 c m

0 ,5 c m

V < [π • 1• (4)2 + π • 1 • (3,5)2 + π • 1 • (3)2 + π • 1 • (2,5)2 + π • 1 • (2)2 + π • 1 • (1,5)2 + π • 1 • (1)2 + π • 1 • (0,5)2] cm3 = 51π cm3

V > [π • 1 • (3,5)2 + π • 1 • (3)2 + π • 1 • (2,5)2 + π • 1 • (2)2 + π • 1 • (1,5)2 + π • 1 • (1)2 + π • 1 • (0,5)2+ π • 1 • (0)2] cm3 = 35π cm3

Por lo tanto:

28π

< 35π

< V < 51π

< 60π

Si continuamos ese proceso de dividir la altura en partes de igual longitud, observamos que cada vez los valores obtenid

se aproximan al valor V.

V cono= π • R2 • H V = ( ) xπ cm3 ≈ 42,67 x π cm31283

28π 35π 42,67π 51π 60π

V

Los radios obtenidos anteriormente 3 cm, 2 cm, 1 cm, etc., se determinan utilizando el Teorema de Tales.

13



El númeroπ (pi) presenta una larga historia, comenzando con que tradicionalmentese entendía ese número como el cociente entre la longitud L de una circunferenciay su diámetro D, por lo que se denota con la letra griegaπ , inicial de la palabra

que significa perímetro. La notaciónπ la popularizó L. Euler a partir de1737, aun cuando había sido utilizada por William Jones en 1706.Todavía en nuestros días se hacen cálculos sobreπ , llegando a estimarlo con 109

cifras decimales. Este número figura en muchas fórmulas relacionadas con medidas:longitud de una circunferencia, área de un círculo, área de un óvalo, volumen deun cilindro, de un cono y de una esfera, área de la superficie de una esfera, entre

otros.En las civilizaciones más antiguas, los Babilonios y los Egipcios, si bien no se leda ese nombre ni ese símbolo, se le atribuye (los Babilonios) el valor 3 obtenidoa partir de aproximar la longitud L de una circunferencia mediante 6R que es elperímetro del hexágono regular inscrito (de la relación 6R= 2π R se obtiene π =3).También de un pasaje de la Biblia se puede deducir ese valor 3:

"Él hizo también un vaso de metal fundido, la grancuba, que tenía diez codos de diámetro y eraperfectamente redondo, y tenía cinco codos de alto,en tanto que un cordón de treinta codos medía lacircunferencia en derredor".

(Lo que equivale a tomarπ =30 codos/10 codos = 3).El primer matemático que calculóπ con muchas cifras, 707 cifras decimales, fueel inglés William Shanks en 1873, cifras que adornan la cúpula del “Palacio delDescubrimiento” (Museo de Ciencias) en París. Esta cúpula se encuentra en unasala que tiene 10 metros de diámetro yπ decámetros de perímetro.El ingeniero y matemático venezolano Francisco José Duarte (Maracaibo, 1883-Caracas, 1972) también calculó el númeroπ con muchas cifras. Él escribió, en1956, una monografía sobre los númerosπ y e.


RetoConsideremos una pirámide con base rectangular de lados4 cm y 5 cm, y altura 10 cm. ¿Cómo procedes para estimarel volumen V de esa pirámide a partir del conocimiento delvolumen de un paralelepípedo recto y sin utilizar la fórmulaque da el volumen de una pirámide? Explica con detalle y

haz los dibujos respectivos.

Esfinge y pirámide de Kefrén2.600 a.C. (Egipto)

5 cm 4 c m

1 0 c m

R

R

Reto

En el papiro Rhind (aproximadamente 1650 a.C.), uno de los principales documentopara el estudio de la matemática egipcia, se encuentra un problema relacionado conel cálculo del área de un círculo de diámetro D, aproximándola al área de un cuadradode lado ( )D. ¿Qué valor aproximado deπ , con dos cifras decimales, se obtiene apartir de esa consideración y cuál es el error porcentual cometido si tomamos comovalor exactoπ = 3,1416?

Leonardo EulerMatemático suizo (1707-1783)

89





Cálculos y estimacionesEn la enseñanza de la matemática a nivel de educación básica, es importante hacerhincapié en los contenidos que sustentan los cálculos y la estimación en diversoscontextos. Así, se pueden desarrollar en los estudiantes habilidades cognitivas queles permitan, además de emplear los cálculos y la estimación en la resolución deproblemas, utilizar la estimación para verificar lo razonable de los resultados. Laestimación se utiliza en muchas situaciones de la vida cotidiana tales como calcularel número de baldosas que se necesitan para cubrir un piso o pared de una casa.Por otra parte, hemos presentado algunos aspectos que intervienen en el proceso demedición de magnitudes. Entre ellos está la utilización de instrumentos de medida. Uninstrumento tiene escalas graduadas, como se puede notar en el gráfico.Llamaremosapreciación del instrumento a la menor división de su escala. En formade ecuación matemática la apreciación se calcula de la siguiente manera:

Apreciación =

De esta manera se puede observar la apreciación de diferentes instrumentos.Sin embargo, en algunos casos las divisiones de la escala del instrumento permitenque el experimentador pueda estimar visualmente una cantidad menor a la apreciacióndel instrumento. Esta cantidad se denominaestimación de una lectura . En las figurasse muestran algunos ejemplos de estimación.Es conveniente plantear a los estudiantes situaciones como la siguiente: suponga queal medir con una cinta métrica la longitud de una barra de metal, se obtiene una medidade 15 cm. Además, ya sea por la apreciación de la cinta o por estimación del obsevadorse Ie puede asignar un error de 0,1 cm. A partir de estos datos promueva una discusiónque le permita a los estudiantes concluir que:1.- El valor verdadero de la medida está en el rango comprendido entre 14,9 cm y

15,1 cm.2.- Por estimación, el mínimo valor que se puede distinguir es de 0,1 cm.Comente que este mínimo valor determina las cifras significativas del resultado de lalectura. Así, es necesario que al expresar la medición de la barra se consideren lasdos conclusiones y, en consecuencia, la expresión más adecuada para registrar elvalor obtenido es:Longitud = (15,0± 0,1) cm, como se presenta en el siguiente gráfico.

Para finalizar la clase, es recomendable inducir a los estudiantes para que valoren

el hecho de que los resultados obtenidos al realizar una medida no son exactos,es decir, por diversas razones presentan un error. La eficacia del resultado estádeterminada por un análisis adecuado del error, en el conocimiento que se tengade ellos y en la habilidad del experimentador para minimizar sus efectos. Loserrores más usuales que se presentan en la ciencia se caracterizan en dos tipos:Errores casuales : Su característica es el azar. Pueden proceder de Ia interacciónde un experimento con un sistema físico, o de un cambio en el ambiente.Errores sistemáticos : Aquellos que varían en una misma dirección la magnituda medir. Se deben a fallas en los equipos o a errores en los procedimientosrealizados.

1

23

4

01,1

1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,02,1

2,2

A = = 0,05

A = = 0,02

1

2 3

4

01,1

1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,02,1

2,2

Estimación: 2,975

Estimación: 1,95

14,9 cm 15 cm 15,1 cm

0,1 cm0,1 cm

Lectura mayor - Lectura menorNúmero de divisiones

20

52,2 - 2,1

4 - 3



Para determinar el área de una región planade forma irregular se puede proceder de la

siguiente manera: pesa un recorte de cartóncuya forma coincida con la de la región y luegocompara el peso del recorte con el peso de un

pedazo rectangular del mismo cartón, cuyasdimensiones son conocidas. Explica por qué

este procedimiento conduce a determinaraproximadamente el área de la región.

Piensa en otros procesos que te permitandeterminar el área de una región plana.


Te n g o q u e p e n s a r lo

Un fósforo tiene aproximadamente 3 cm de largo. Hacen falta 16 fósforospara hacer una escalera de 15 cm de largo y 3 cm de ancho como lamostrada.¿Cuántos fósforos se necesitan para hacer una escalera similar de 90cm de largo por 3 cm de ancho?

Los cohetes que impulsan los transbordadores espaciales tiene distintos tanques de combustible: tanque de oxígenolíquido, tanque de hidrógeno líquido y el intertanque conectando esos dos tanques.En los dibujos siguientes tienes esos tanques con sus dimensiones.

Calcula los volúmenes aproximados de los tanques de hidrógeno líquido y de oxígeno líquido y compáralos con valores exactos que son 1.450 m3 y 541 m3 respectivamente, determinando los errores cometidos.Fuente: Space M athematics. A resource for Second ary Scho ol Teachers . Por B. Kastner & S. Fraser, NASA (1985).

Tanque de oxígeno líquidoTanque de hidrógeno líquido Intertanque

29,6 m

8 , 4

m

8 , 4

m

4,2m 4m 8,1 m




¡A ju g a r !Magnitudes, instrumentos,fórmulas y unidades

Materiales:24 piezas de forma triangular cortadas en cartón. En12 de éstas (color marrón) se escriben nombres demagnitudes, en las otras 12 (color amarillo) se escribenintrumentos de medición, fórmulas y unidadescorrespondientes a las magnitudes seleccionadas,en forma similar a las del dibujo.

¿Cómo jugar?:1. Se colocan los 24 cartoncitos boca abajo,

se revuelven y se reparten entre losjugadores que pueden ser 2, 4 o 6.

2. Comienza el juego la persona que tiene la piezaque dice CAPACIDAD, que coloca al centro de lasuperficie de juego.

3. El jugador que está a su derecha debe colocar,en coincidencia con uno de los lados del triángulo,una pieza en la que aparezca un instrumento,fórmula o unidad referentes a capacidad. Si noposee una pieza del juego con esas característicaspasa, y juega el siguiente participante. Y asísucesivamente hasta que uno de los jugadoresse quede sin cartones y es considerado el ganador.

T e r m ó m

e t r oSegundo

K i l ó m e t r o LONGITUD D e c í m

e t r o

TIEMPO M i n u t o

Metro cuadrado

c m G r a m

o

largo x ancho x altura

R e l o j

VOLUMEN m 3

25 ° C l a r g o

x a n c h

oÁREA

m 2

TEMPERA-TURA T e r m ó m

e t r oRegla C

i l i n d r o g r a d u

a d o




B i b l i o g r a f í aDel Olmo R. y Moreno C.,et al (1993)Superficie

y volum en ¿Algo m ás que el trabajo c on f órmulas? Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, Nº19, Editorial Síntesis, Madrid.Prada V. María Dolores (1990)Cóm o e ns eñar las magnitudes, la med ida y la prop orcionalidad .Cuadernos de matemáticas, Nº 1, Editorial Ágora,Málaga.

VideoDonald en el país de las matemáticas . ProducciónWalt Disney. California, Estados Unidos.

K i l ó m e t r o ÁREA

D m 2

Grado centígrado

H o r a

C e n t í m e t r o

m3

2 6 °

C TEMPERA-TURA T e r m

ó m e t r o Hora

D e c i l i t r o

c m 3VOLUMEN TIEMPO

π R 3

Kilogramo

S e g u n d o 4

3

MASA C . C .

Dos dimensiones

B a l a n z a



Gustavo Ponce

La m a tem á tica y e l P rem iNació en Caracas en 1952. Licenciado

en Matemáticas en la Universidad Centralde Venezuela, en 1976, realizó su

posgrado en el Instituto Courant deCiencias Matemáticas de la Universidad

de Nueva York, obteniendo el PhD en1982. Desde ese año hasta 1984 estuvoen el Departamento de Matemáticas de

la Universidad de Berkeley, California, entareas de posdoctorado. En 1985 obtuvoel Premio Anual del CONICIT en el área

de Matemáticas. Fue profesor de laFacultad de Ciencias de la UCV desde

1977 hasta 1991, y profesor visitante enUniversidades en España, Francia y

Alemania. Ha tenido posicionesacadémicas en la Universidad de Chicago

y en la Universidad del Estado dePennsylvania. Actualmente es Profesor

Titular en la Universidad de SantaBárbara, California. Fue conferencistainvitado al Congreso Internacional deMatemáticos, realizado en Berlín en

agosto de 1998. Obtuvo el Premio“Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación

Polar en el año 1987.Fotografía: Vladimir Sersa

Los trabajos del doctor Ponce están relacionados con el estudio de los sistemas queaparecen en la propagación de ondas, por ejemplo, la estructura de una ola moviéndoseen una dirección dentro de un canal, la evolución en el tiempo de un hilo de torbellino la forma de la superficie de un líquido sometido a ciertas fuerzas externas. Con estopodemos predecir la evolución del movimiento de un líquido, el cual inicialmente estrepresado y que al abrir la compuerta escapa por un canal. Dicha evolución dependeráde la cantidad de líquido y de las dimensiones del canal.

En la búsqueda de una solución a este tipo de problemas se conectan varias áreas dela matemática y la física, como son el análisis armónico y la dinámica de fluidos, conaplicaciones a modelos concretos y el diseño de códigos numéricos, los cuales modelanel comportamiento de la solución en problemas donde no han sido aún establecidosresultados rigurosos.

Según nos expresa el doctor Ponce, su interés en estos problemas es básicamenteteórico, la idea es tener la mejor descripción posible que modela el problema físico. Estnos muestra una característica muy importante del trabajo de los matemáticos. Enmuchas oportunidades el interés es totalmente teórico, el fin último es la comprensión

total de un fenómeno determinado. Su posible aplicación es muchas veces algo delfuturo. Aún así, muchos de los grandes avances tecnológicos y científicos tienen baseen resultados matemáticos que en un principio sólo motivaron intelectualmente a suscreadores.




Una flor en forma de espiral.En la corola de un girasol se formandos grupos opuestos de espirales. Hay34 espirales en el sentido de las agujasdel reloj y 55 en sentido opuesto. Estosnúmeros pertenecen a la sucesión deFibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34,

55, 89...Fotografía: Rogelio Chovet

Carl Friedrich GaussMatemático alemán (1777-1855)

“La matemática es la reina de lasciencias y la aritmética es la reina delas matemáticas”

M a t e m á t i c a p a r a t o d o sEl mundo de los números

Fascículo

Números I



D e s c u b r ie n d o e l m u n d o d e lo

Fundación POLAR• M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 8 - El mundo de losNÚMEROS 1

¿Qué tienen en comúnestos objetos?Todos presentan números quellevan implícita una información.En la cédula aparece el númeroque identifica a cada ciudadanomayor de una cierta edad. Enun billete se expresa la cantidadde bolívares que representa(bolívares 500) y la serie a laque pertenece (149838217).

La etiqueta de cualquier producto en el mercadopresenta en números la capacidad del envase, lafecha de expedición y la de vencimiento, así comoun código de barras que identifica al producto.

Podríamos continuar revisando diversas situaciones de nuestra vida cotidianaen las cuales los números están presentes.

En todas estas situaciones los números utilizados responden a los principios delSISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.

En este sistema de numeración se utilizan diez símbolosdenominados dígitos o cifras que representan ideas decantidad.

Cada cifra tiene un valor diferente según su posición. Esdecir, la misma cifra colocada en diferente lugar representacantidades distintas.

El valor de una cifra depende de la posición que ocupa enel número. Cada posición a la izquierda es diez vecesmayor que la que le precede.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 3 2es diferente dey se utilizanlas mismascifras

1 0 0 1 0 1

3 3 2

Centenas Decenas Unidades

3 centenas 3 decenas 2 unidades




ca 2000 años a.C.Símbolos escritos, sistemade numeración posicionalbabilónico

PrehistoriaLas ideas se comunicanverbalmente

ca 15000 años a.C.Paleolítico superior. Lainvención de marcas paracontar: las muescas

ca 3400 años a.C.Invención de los símbolosescritos representan ideasde cantidades. Sistemaegipcio aditivo

s. V d.C.Sistema posicional. Sistemade numeración maya debase 20. Sistema de nume-ración Inca, base 10 verbaly representación en quipú

s. XII d.C.Sistema de numeracióndecimal en Europa

El actual sistema decimal de numeración o sistema hindú-arábigo, que utiliza el valor de posición, es la culminacde muchos siglos de contribuciones de varios sistemas de numeración. Los babilonios al principio de 2000 a.C., lchinos en el siglo I a.C. y los Mayas en el siglo V d.C. ya habían desarrollado sistemas de numeración posicionalPara escribir números, las cifras cumplen la misma función que las letras del alfabeto para escribir palabras. Observlos diferentes símbolos que en el transcurso de la historia se utilizaron para escribir números.

InteresanteAl tiempo que en Europa se adoptaba el sistema de numeraciónhindú-arábigo, considerado como uno de los más importantesinventos de la humanidad, los incas en Sudamérica usaban el quipú:tiras de algodón con nudos que representaban la notación posicionalcomo un sistema decimal de numeración, es decir, un sistema de

base 10. Observa la representación de cantidades en un quipú.

La introducción de un símbolo que representara la ausencia de cantidad encontró grandesobstáculos. Se decía: “si los números se inventaron para contar, es absurdo inventar unsímbolo para contar nada”.

Los waraos en Venezuela poseen un sistema fonético muy vinculado con sus manos1 Isaka, 2 Manamo . . . . . 5 Mojobasi, 6 Mojo matama isaka (uno de otra mano).

En los sistemas de numeración de los babilonios, griegos, egipcios, romanos, chinos ymayas, no se puede reconocer la magnitud de los números por la longitud de su escritura.Esta es una de las ventajas del sistema decimal de numeración posicional: con una solamirada, sin leer los números, se puede comparar con la longitud de su escritura.

215 31 102 348

Binario (base 2)1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 0 11 1 0 0 1 0 1 11 0 1111 0 0 01 0 0 1 1 0 1 0

Babilónico

GriegoMaya Hindú

Árabe

Egipcio

N ú m e r o s e n e l t i




D e s c u b r ie n d o lo s n ú m e ro s

Si quisiéramos contar el número de granos que hay sobre estamesa, buscaríamos una manera de organizarlos sin tener que

contarlos uno por uno.

Una forma de contarlos esagrupándolos de 10 en 10 ypegar cada grupo de 10 en unapaleta.

Luego se agrupan encuadros de exactamente 10

paletas.

Observa que cada cuadrotiene 10 paletas y cadapaleta 10 granos.Obtenemos finalmente:2 cuadros3 paletas

7 granos sueltos¡Tenemos en total237granos!

100 100

101010

7

Centenas

D e c e n a s Unidades

2 Cen tenas3 D e c e n a s7 Unidades

Yendo más alláEn caso de poder agrupar10 cuadros de 10 paletasen cada pila, obtenemosunidades de mil.

Agrupamos 1 724 granos así:1 724 granos172 paletas y 4 granos17 cuadros y 2 paletas y 4 granos1 pila y 7 cuadros y 2 paletas y 4 granos

Unidades de mil Centenas Decenas unidades

1 7 2 4



D e s c u b r ie n d o o p e ra c io n e s : la


Conteo de unidades sucesivas

0 1 2 3 4 5 6 7 8

4 + 3 = 7

Reúno paletas y granos

165+ 72

165+ 72237

RetoCuadrado MágicoColoca los números del 1 al 9 demanera tal que todas las columnas,filas y diagonales mayores sumen 15.Números triangulares

1 3 6 10

Representa yescribe el próximonúmero triangular

y

“Sumando” con paletas y granos

5

7

5+ 712

+




D e s c u b r ie n d o o p e r a c io n e s : la

Quitando

8 - 5 = 3

Tengo 8 caramelos yregalo 5

CompletandoTengo 5 caramelos ynecesito 8

ComparandoVíctor tiene 8 caramelosy María tiene 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

La sustracción ... o “ p ido p re s t ado ”¿Alguna vez te has preguntado qué quiere decir “pido prestado” cuando estás efectuandouna sustracción?Fíjate en el ejemplo.Usaremos monedas, las cuales nos resultan familiares. La única limitación en estasituación es que tenemos sólo monedas de 1, 10 y 100 bolívares.

Tenemos 245 bolívares así representados y necesitamos pagar 72 bolívares.¿Qué podemos hacer?• Quitamos 2 bolívares.• Ahora para pagar los 70

restantes, sólo tengo 4monedas de 10.

• Para poder tener las 7 quenecesito, cambiamos unamoneda de 100 en 10monedas de 10.

Ahora puedo sacar las 7 monedas de 10 que necesito de las 14 que tengo, y dos monedas de uno para pagar los72 bolívares, por lo que me quedan 173 Bolívares.

245-72173

Minuendo

Sustraendo

Diferencia

“Pido prestado” al2 una centena




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 9 12 15 18 21 24 27 304 16 20 24 28 32 36 40

5 25 30 35 40 45 50

6 12 36 42 48 54 60

7 49 56 63 70

8 32 64 72 80

9 81 90

10 30 100

Reto• Completa lo que falta de la tabla.• Sombrea los resultados 1x1, 2x2, 3x3,

4x4...• Sombrea en otro color los múltiplos de 5

que están entre 20 y 50.• ¿Qué observas?

D e s c u b r ie n d o o p e r a c io n e s : la

3 veces 5

3 x 5 = 15

Suma abreviada 3 filas de 5 fichasÁrea de

rectángulos3 x 5 5 + 5 + 5 3 filas de 5

fichasÁrea de

rectángulos

La propiedad distributiva ayuda a comprender el procedimiento que se usa para multiplicar números devarias cifras.

Propiedad distributiva

(3 + 5) x 48 x 4

32

= (3 x 4) + (5 x 4)= 12 + 20= 32

3

5

4

3 5

44

Usando la propiedad distributiva lo podemos explicar.325 x 42 =325 x (40 + 2) =(325 x 40) + (325 x 2) =(325 x 4 x 10) + 650 =(1 300 x 10) + 650 =13 000 + 650 =13 650

Números rectangulares

2 6 1 2 2 0

Representa yescribe el próximonúmero rectangular

y



120Fundación POLAR• M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 8 - El mundo de losNÚMEROS 1

D e s c u b r ie n d o o p e r a c io n e s : la17 32 5

Dividendo

Residuo

Divisor

Cociente17 = 3 x 5 + 2

RepartiendoSe quiere repartir 17 caramelos entre tresniños de manera que cada niño reciba lamisma cantidad. ¿Cuántos caramelos letocan a cada niño?

Agrupando¿Cuántos paquetes de tres caramelosse pueden hacer con 17 caramelos?

¡5 caramelosa cada niño!... y sobran 2caramelos.

¡5 paquetes!... y sobran 2caramelos.

Cálculo mental2 436 : 12 152 : 8

2 436 = 2 400 + 36(2 400 + 36) : 12 =

2 400 : 12 + 36 : 12 =200 + 3 =

203Compruebo

203 x 12 =2 436

152 = 160 - 8(160 - 8) : 8 =160 : 8 - 8 : 8 =20 - 1 =19Compruebo19 x 8 =152

Retos

• ¿Qué número dividido por 2, luego por 3, luego por 5 y finalmentepor 7 da como resultado 10?

• ¿Qué número dividido 5 veces por la mitad es igual a 100?

Gauss dio señales de ser un genio antes de cumplir tres años. A esa edad aprendió aleer y a hacer cálculos aritméticos con tanta habilidad que descubrió un error en loscálculos realizados por su padre para cancelar salarios. Nacido en una modesta cabañade Alemania e hijo de padres muy pobres, sus contribuciones a la matemática, la físicay otras ramas de la ciencia, como la astronomía, fueron de una importancia extraordinaria.A Gauss, en su vejez, le encantaba contar la siguiente anécdota: A los diez años deedad, su maestro le propuso en clase el cálculo de una suma complicada para su edad.Apenas el maestro había terminado de dictar el problema, Gauss puso en la mesa delmaestro su pizarra con el resultado de la suma.Observa el problema que el maestro propuso:Calcular la suma de los números enteros consecutivos desde 1 hasta 1001 + 2 + 3 + 4 + 5 +..........+ 100

Leonardo PisanoApodado Fibonacci (1180-alrededor de 1250)

Fibonacci era hijo de un mercader de Pisa, Bonaccio(de aquí se origina el sobrenombre, “figlio di Bonaccio”).Viajó al África septentrional, a Egipto, Siria y Grecia,donde aprendió los métodos algebraicos árabes y elsistema de numeración hindú-arábigo. Con su obraLiber Abaci , difundió en Europa la notación árabe delos números, la cual usa nueve cifras y el cero, ytambién la barra horizontal para escribir fracciones.Se reconocen como números de Fibonacci los númerosde la sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... en los quecada número es la suma de los dos términos que lopreceden.

Carl Friedrich Gauss(1777-1855)




A lg o r itm o d

Queremos dividir Bs. 1 353 entre 12

• Un billete de Bs. 1 000 no lo

puedo repartir entre 12.• Cambio el billete de Bs. 1 000en 10 monedas de 100.

1’353 12

• Ahora tengo 13 monedas de Bs. 100.• Reparto entre 12.• Le toca una moneda de Bs. 100 a cada

uno y sobra una moneda de Bs. 100.

13’53 12112

1

Bs. 100 acada uno

• Cambio la moneda de Bs. 100 en 10monedas de Bs. 10.• Ahora tengo 15 monedas de Bs. 10.• Las reparto entre 12.• Le toca una moneda de Bs. 10 a cada

uno y sobran 3 monedas de Bs. 10.

Bs. 10 acada uno 135’3 121112

15123

• Cambio las 3 monedas de Bs. 10 enmonedas de Bs. 1.

• Ahora tengo 33 monedas de Bs. 1• Las reparto entre 12.• Tocan 2 monedas de Bs. 1 a cada uno

y sobran 9 monedas de Bs. 1.

Bs. 2 a cada uno

1353’ 1211212

151233249

A cada uno le toca un total de Bs. 112y sobran 9 monedas de Bs. 1 1 353 =

112 x 12 + 9

-

-

-

-

-

-

E l m u n d o d e l o s n ú m e r o s

Fascículo





N ú m e ro s y c ó d ig o s

Un código es un grupo de símbolos que relacionados representan información.Los códigos existen hace miles de años, tal como se aprecia en los jeroglíficos,el alfabeto griego, números romanos, el código Morse.Actualmente hablamos del código genético (ADN), código de barras, códigobidimensional, etc.En esta sección hablaremos delcódigo de barras .El código de barras es un elemento identificador que se visualiza como unacombinación de 30 o más rayas negras de diferente grosor y de cifras que puedenser leídas por un lector óptico (scanner) que reconoce caracteres. Este códigoproporciona información individual de cada producto o servicio y facilita el manejode la información por su precisión ya que cada artículo tiene una identificaciónúnica en cualquier parte del mundo. Por ejemplo:3 representa el país de origen065890 características del fabricante000643 características del productoPara verificar si el código corresponde a ese producto la computadora realiza lassiguientes operaciones:1) Suma las cifras colocadas en los lugares pares a partir de la derecha.2) Multiplica esta suma por la primera cifra a la izquierda.3) Se suman las cifras de lugar impar comenzando por la tercera cifra de la

derecha.4) Se suman los resultados de los pasos 2 y 3, la diferencia entre este resultado

y la decena superior debe coincidir con el número clave. De no ser así hay

algún error en el código o en la lectura que amerita ser revisado.Su uso ha sido principalmente en el área comercial, pero también se está utilizandoen control de acceso de personas, en inventarios, en centros asistenciales, entreotros. Por ejemplo, cuando usted paga en la caja de un supermercado, ésta,además de cobrarle recoge la información del tipo de producto, el tamaño,ubicación, fecha de expedición, etc. Todo el código responde a normas aprobadaspor el “Código Universal de Productos” (UPC). La utilización del código de barrasen la vida cotidiana ha simplificado y automatizado el proceso de recolección dedatos en los comercios e industrias.

Número clave




N ú m e ro s y d e p o r te s

Interesante:Un jugador de fútbol puede

correr entre 11 y 13 kilómetrosdurante un partido completo.

¿Cómo sería la práctica de deportes si no tuviéramos números?¿Qué perderíamos?

• ¿Cómo podríamos determinar el ganador de un partido?• ¿Cuándo decimos que un partido se terminó?• ¿Cómo mediríamos la cancha para cada deporte?• ¿Cuántos jugadores tendría cada equipo?• ¿Qué tamaño y peso tendrían las pelotas para cada deporte?• ¿Cómo podríamos saber qué equipo gana un campeonato?• ¿Cómo podríamos determinar el mejor jugador de un campeonato?

Sin números, la práctica deportiva perdería gran parte de su interés. Eso sin contar con elhecho de que en algunos casos sería imposible de llevarse a cabo, ya que careceríamosde cosas tan elementales como medida de la cancha, de la pelota con que se juega y elnúmero de jugadores, entre otras cosas.Además, ¿qué sería de la afición al béisbol, por ejemplo, si no pudiéramos saber qué equipova ganando el campeonato, o qué jugador va punteando en número de hits conectados?A veces nos parece que un jugador de fútbol corre muchísimo durante un partido completopero, ¿podríamos saber cuánto corre realmente si no pudiéramos contar con números?A continuación te ofrecemos información numérica fundamental para la práctica de dosdeportes que gozan de una gran popularidad: el baloncesto y el fútbol.

15 m

2 8 m

1,8 m

5 , 8

m

altura del tablero: 2,75 m

1 0 0 a

1 1 0 m

7,32 m

5,05 m

64 a 75 m

11,1 m

altura del arco: 2,44 m

El balón de fútbol debe tener una circunferencia máxima entre 69 y 70 cm. Debe estar auna presión de 1,1 atmósferas.

El balón del baloncesto debe tener una circunferencia máxima de 75 a 78 cm y un pesode 600 a 650 gramos. Se infla a una presión de aire tal, que cuando se deje caer de unaaltura aproximada de 1,80 m, debe rebotar hasta una altura mínima de 1,20 m y máximade 1,40 m.




Ve n ta n a d id á c tic a

El cero en no más de cinco pasos• Se juega entre dos personas.• El jugador A introduce en la calculadora un número de tres cifras menor o igual a 900.• El jugador B debe reducir el número a cero en no más de cinco pasos.• Para reducir al cero, solamente puede usar operaciones básicas, en las cuales sólo use números de una cifra.Ejemplo:• El jugador A introduce el número 703 en la calculadora.• El jugador B puede seguir el siguiente procedimiento.

Tres juegos con la calculadoraLa calculadora, lejos de ser solamente un instrumento para sacar cuentas engorrosas,puede utilizarse, entre otras cosas, para desarrollar habilidades de estimación, parareforzar concepciones básicas en el manejo de números y para desarrollar estrategiasde resolución de problemas.Lo increíble es que esto podemos lograrlo tan sólo jugando con ella. A continuaciónproponemos tres juegos que se pueden realizar en cualquier sitio.

: 5 = - 4 =- 3 = : 7 = : 5 =

Eliminando cifras• Cada participante trabaja con su propia calculadora.• Se propone un número de siete cifras, ninguna de las cuales se repite.• Se pide eliminar un dígito del número, aplicando solamente una operación.• Se pide el relato de lo realizado y se califica según el siguiente ejemplo.Ejemplo:• Se introduce 5382749.• Se pide eliminar el 7. El participante reporta sólo la

operación sobre el dígito que debeser eliminadomenos siete.

Pierde un punto

El participante reporta sólo laoperación y los dígitos con los quela hizomenos siete, cero, cero.

Ni gana ni pierde el punto

El participante reporta la operacióny el número que restamenos setecientos.

Gana un punto

Los factores morochos• Cada participante trabaja con su propia calculadora.• Se propone un número que sea un cuadrado perfecto.• Se pide estimar qué número multiplicado por sí mismo dé el número propuesto.• Se pide que se efectúe la multiplicación.• Se califican los resultados de acuerdo al siguiente ejemplo.Ejemplo:• Se propone 3969.• Se puede seguir el siguiente procedimiento:

- El participante reporta 631, que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifrade las unidades (1) al elevarlo al cuadrado no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuest(9). Pierde dos puntos.

- El participante reporta 633, un número que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y dcuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto.Pierde un punto.

- El participante reporta 75, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuestode cuya cifra de las unidades no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto.Ni ganani pierde puntos.

- El participante reporta 67, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuestode cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto.Gana un punto.

- El participante reporta 63, la raíz cuadrada del número propuesto.Gana dos puntos.

Gana el que acumule 10 puntos

Gana el que acumule 10 puntos

Estrategias sugeridas al docente




Te n g o q u e p e n s a r loEl número de la casa de YolandaSi el número de la casa de Yolanda es múltiplo de tres,se trata de un número comprendido entre el 50 y el 59.Si el número de la casa no es múltiplo de 4, entonceses un número comprendido entre 60 y 69.Si el número no es múltiplo de 6, entonces se trata deun número comprendido entre el 70 y el 79.¿Cuál es el número de la casa de Yolanda?

Sumas igualesEn la figura cada letra representa

una cifra.

Todas las cifras (1 al 9) estánrepresentadas por una letra distinta.Se sabe que la suma de cada

columna o fila es igual a 13.¿Cuál cifra representa la letra E?

C B ADEFG

HI

13

13

13

13Dos milUtilizando la cifras del 1 al 9, coloca entre ellas lossignos + - x : de tal manera que obtengas 2 000.

1 2 3 4 5 6 7 8 9= 2 000

El cuboColoca las cifras del 1 al 8 en cadavértice del cubo de tal forma quela suma de las cifras de los vérticesde cada cara sea 18.

Edificio en Tokio, Japón

FibonacciLa sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8.... Recibe elnombre de sucesión de Fibonacci.Escribe los números que correspondenal noveno y duodécimo lugar.

112 3

5 8 _ _ _




¡A ju g a r !

Materiales• Dos juegos de cartas como los siguientes:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Versión 1 • Dos jugadores1 El jugador Nº 1 selecciona cuatro cartas verdes.2 El jugador Nº 2 selecciona una carta amarilla.

3 El jugador Nº 1 debe combinar los números desus cuatro cartas verdes con operaciones aritmé-ticas básicas (+, -, x, :) hasta obtener el númeroescrito en la carta amarilla.

4 Si resuelve el problema, gana un punto.5 Si el jugador Nº 1 no puede resolver el problema,

el jugador Nº 2 tiene la oportunidad de resolverloy gana un punto si lo logra.

6 Se inicia el juego siguiente barajando las cartasy cambiando los roles de los jugadores.

Versión 2 • Hasta 4 jugadores1 Hasta cuatro jugadores pueden jugar. En este

caso, se necesitarían dos juegos de cartas ver-des.

2 Cada jugador toma cuatro cartas verdes y unaamarilla.

3 Cada uno trata de resolver el problema plantea-do en la versión 1.

4 Cuando un jugador falla, el jugador a su derechatiene la oportunidad de resolverlo y ganar un puntoadicional. De fallar este también, le toca el turno al jugador de la derecha y así sucesivamente.

5 El juego termina cuando se agotan las posibilida-des de resolución para todos los problemas.

3 4 5 9 2 4 : [5 - (9:3)] = 2

Ejemplo:Gana quien primero complete 10 puntos




In fo rm a c ió n a c tu a liz a d aBibliografíaDe Guzmán, Miguel (1994). Para pensar mejo r. EditorialPirámide. Madrid, España.Díaz, Godino J . y otros (1999). Did áct ica de la m ate m átic a . Editorial Síntesis. Madrid España.

J iménez, Douglas (1999). La avent ura de la m atem átic a .Editorial CEC (Libros de El Nacional). Caracas, Venezuela.Marcano, Gisela (2001). La m ultiplicación (mimeografía).Fondo Editorial Cenamec, Caracas, Venezuela.Marcano, Gisela (2000). A jugar con los dedos (mimeografía). Fondo Editorial Cenamec, Caracas,Venezuela.Rico, L., Castro, E. y Castro, E. (1987). Núm eros y operaciones . Editorial Síntesis. Madrid, España.Theoni, Pappas (2000). Mo re joy of mathematics . WorldPublishing Tetra. EE.UU.

RevistasBoletines de la Enseñanza de la Matemática . ASOVEMAT.VenezuelaEducación Matemática. Grupo Editorial Iberoamérica.Serapio Rendón 125, Col. San Rafael 06470, México, DF.For the Learning of Mathematics. F.L.M. Pibl. Co. 4336Marcil Avenue. Montreal, Canadá.Petit X. IREM de Grenoble. BP 41 38402. S. MartinD’Heres (Francia).Revista EMA. http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogotá,Colombia.

VideosDonald en el país de las matemágicas . Walt Disney, EE.UU.Sistemas de numeración . Video de la Universidad NacionalAbierta. Caracas, Venezuela.

Páginas webMath resources inc : http://www.mathresources.comTeacher created materials . http://www.teachercreated.comEditorial Síntesis . http://www.sintesis.com

R e s u l t a d o s

El número de la casa de Yolanda: Es el 76.

Fibonacci: El noveno es 34 y el duodécimo es 144.

Sumas iguales: E vale 4.

Dos mil: tiene múltiples respuestas.

6 3

81

5

27

4

Un corro alrededor del mundoSi todos los muchachos del mundo quisieran darse lasmanos, podrían hacer un corro todos alrededor del mar. Sitodos los muchachos del mundo quisieran ser marineros,harían con sus barcas un hermoso puente sobre las olas.Se podría hacer un corro alrededor del mundo, si toda lagente del mundo quisiera darse la mano.Paúl Fort

Suponiendo que somos, aproximadamente, 6 millardos de habitantesy sabiendo que la circunferencia máxima de la Tierra es deaproximadamente 40 000 km y consideramos que cada uno denosotros sería un eslabón de 1 m, entonces tendríamos una cadenaque podría rodear 150 veces la Tierra. Dios quiera que algún día,todos los habitantes de la Tierra nos diéramos las manos.

El cubo:



Ernesto Medina Dagger

La m a tem á tica y e l P rem iNació en Caracas en 1961. Realizó sus

estudios de Física en la UniversidadCentral de Venezuela, graduándose conhonores (summa cum laude ) en 1985.Obtuvo el título de PhD en 1991 en el

Instituto Tecnológico de Massachusetts.Actualmente es investigador asociadodel IVIC, profesor titular de la UCV y

pertenece al Sistema de Promoción delInvestigador (Nivel IV). Obtuvo el Premio“Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación

Polar en el año 1993.Fotografía: F. Fernández

Durante los siglos XIX y XX se le dio un gran impulso a la Física cuando se empezó pensar en términos de simetrías. Una simetría se expresa matemáticamente como unainvariancia (ausencia de cambios) bajo una operación como la de traslación espacial,temporal o, por ejemplo, una rotación. Si tomamos la figura de un cuadrado y la rotamoalrededor de su centro en 90 grados no podemos distinguir la orientación final de laoriginal, el cuadrado es entonces invariante bajo una rotación de 90 grados. En la Físicalas operaciones mencionadas dan origen respectivamente a la ley de conservación deenergía (invariancia temporal), la ley de conservación demomentum (invarianciatraslacional) y la de conservación de momento angular (invariancia rotacional). Lapresencia de todas estas invariancias juntas resulta en un mundo que no cambia en eltiempo, que es igual en todos los puntos del espacio y en todas las direcciones. Sinembargo, el mundo se pone interesante cuando ocurre el rompimiento de algunas deestas simetrías, lo cual da lugar a la formación de patrones o formas que varían demúltiples maneras en el espacio y el tiempo, lo que reconocemos intuitivamente como“orden” en la naturaleza. Los rompimientos de simetría dan lugar a muchos fenómenocon que convivimos, como la formación de cristales, los populares imanes o magnetoy la misma estructura que observamos del universo hoy en día. Sin el rompimiento desimetría no existirían los electrones, protones y neutrones que componen los átomos

y por lo tanto los átomos mismos. No existiría la vida.Un fenómeno supremamente importante, asociado al rompimiento de la simetría, es esurgimiento, paradójico, de una simetría exótica, la asociada a la invariancia de escalasFormas y objetos que vemos a una escala de magnificación particular, se repiten acualquier otra magnificación por encima o por debajo de la primera dando origen apatrones que son construidos en base a sí mismos. Esto es lo que conocemos comofractales y son las estructuras más ricas y bellas al ojo humano que ofrece la naturaleza.

El estudio de simetrías y su rompimiento está hoy en el corazón de todos los camposde la física: la teoría de campos, la cosmología, la física de partículas, la física del estadosólido y fenómenos críticos.





1/11/2 1/2

1/3 1/3 1/31/4 1/4 1/4 1/4

1/5 1/5 1/5 1/5 1/51/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7

1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/81/91/91/91/91/91/91/91/91/91/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10

Planta por fraccionesObserva los tallos divididos en trozos de la mismalongitud. En la torre de franjas a la izquierda puedesver que

Observa los separadores de colores en las distintasfilas que aparecen. Vemos claramente que

12

13

14

15> > > 1

6> 17> 1

8> 19> 1

10>

12

24= 3

6= 48= 5

10= 13

26= 3

9= 14 = 2

8

En 1799, un joven ingeniero geógrafo francés llamadoEdme-François Jomard (1777-1862), descubrió quelas galerías de acceso al corazón de la Gran Pirámideeran empinadas, pequeñas y estaban prácticamentebloqueadas por excrementos de murciélago.En aquellos días de fuertes calores, los francesesdespejaron también parte de la plataforma sobre laque hoy se levanta la Gran Pirámide, calcularon susdimensiones originales y la escalaron. Jomard sequedó lívido al comprobar que los egipcios emplearonen su construcción medidas como el estadio, el codoo el pie, que eranfracciones exactas del tamaño dela Tierra.Fuente: www.la esferadeloslibros.com


El mundo de las fraccionesFascículo

Números I I

Fotografía: Rogelio Chovet



E l m u n d o d e la s f ra c c io n e s

Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 9 - El mundo de las fracciones -NÚMEROS 2

Observa algunas particionesde un rectángulo en octavos.

Haz otras particiones de losrectángulos en blanco ysombrea las fracciones

indicadas.

Me serví medio litro de leche.Ojalá no llueva, ya que para ir de Caracas a San Antonio del Táchira necesitamosmedio día.Mi casa está en la mitad de la cuadra.Puse el cuarto de kilo de queso en un envase.Queda un poco menos que tres cuartos de litro de aceite.

Ese señor pidió un quinto de veinte mangos. Tranquilo, que sólo son cuatro mangos.

Así como contar impulsó la invención de los números naturales, la necesidad de medirgeneró la invención de las fracciones o “números quebrados”. Una fracción indica que unúmero se ha dividido en partes iguales más pequeñas. La palabra árabe para fracciónes al-kasar que es la raíz del verbo que significaromper o quebrar , lo que dio origen aque se hablara de números quebrados. Los enteros y las fracciones forman el conjuntode los números racionales. Parece ser que una de las complejidades del concepto fracciónes su símbolo , con b diferente de cero. En efecto, ese mismo símbolo se utiliza comopartes de un todo, división, operador, comparación de magnitudes o razón.

Las fracciones fueron utilizadas por los babilonios cerca de 2000 a.C. Ellas fueron escritas enforma de valor de posición, esencialmente en la misma forma de escribir actualmente lasfracciones decimales, pero con denominadores potencias de sesenta. En elPapiro Rhind delos egipcios se encuentra el primer tratado sistemático de fracciones propias, con la unidadcomo numerador (unitarias). En el mismo se observa la escritura de varias fracciones. Lasfracciones unitarias eran escritas utilizando un símbolo en forma de boca y el denominadordebajo de este símbolo. Excepto para la fracción que tenía un símbolo especial, todas lasotras fracciones con numerador diferente a 1 las escribían como suma de fracciones unitariasPor ejemplo, en vez de escribían + o para escribían + + + .

ab

18

58

38

68

48

28

RETO

23

35

12

110

67

12

14

114

128




In te r p r e ta c io n e s dFracción como parte de un “todo”

El “todo” o unidad en la forma de un objeto continuo (una torta, un rectángulo) o de uconjunto discreto (número de animales, número de formas geométricas) es dividido epartes iguales.

Observa algunos ejemplos de fracciones y su representación en un todo continuoo discreto.

0 1

En cada figura está representadaen rojo la fracción “tres octavos”

Fracción como cocienteLa interpretación como cociente, donde un número deobjetos necesita ser compartido o repartidoequitativamente, es muy frecuente.Ejemplos: Dividir una docena de galletas entre cinco, odividir tres pizzas entre ocho.

es la representación derepartir 12 galletas entre cincopersonas. A cada uno lecorresponden dos galletas y dosquintos de galletas.

= 2 +

es la representaciónde dividir 3 pizzas entre8. A cada uno lecorresponden tresoctavos de pizza.

Fracción como razónSe utiliza la fracción para indicar una comparación entredos magnitudes.

La razón de bolasrojas a bolasamarillas es

En una caja hay 3medias negras y5 blancas. Laprobabilidad desacar una mediablanca al azar es

La razón del área delrectángulo ABCD alárea del triángulo ABDes

A B

CD

La razón delárea delrectánguloABCD alárea deltriánguloABE es

Fracción comooperadorEn esta interpretación, lafracción actúa como unaoperación matemática doble:divide y multiplica. Eldenominador divide y elnumerador multiplica.

20

12

60

4

x 3

: 5 : 5

x 3

35 de 20

35 de 20

63

35

315

7

x 5

: 9 : 9

x 5

59 de 63

59 de 63

1 2

34

5

1 2 3 4 5

125

38

38

58

A B

CD

E

41

35

21

12 es de 20 y 35 es de 6335

59

12

5

2

5



Un tercio de 12es igual a 4

Los hindúes escribían fracciones como hoy lo hacemos, pero sin la barra horizontal.Fueron los árabes los que introdujeron la barra horizontal.

¿SABíAS QUE...?


F r a c c i o n e s

Unidad 12

Un medio Un medio de 12es igual a 6

Dos tercios

Dos tercios de 12es igual a 8

Un sexto de 12es igual a 2Cinco sextos

Un cuarto

Un cuarto de 12es igual a 3

Un sexto de 12es igual a 2

Cinco sextos de 12es igual a 10

Tres cuartos de 12es igual a 9

1

2

23

56

14



16

161

3

F ra c c io n e s e q u


Un tercio = dos sextos

=

Dos tercios = cuatro sextos=ocho doceavos

Interesante

Observa las equivalenciasentre un segmento de la rectanumérica y las barras demedios, tercios, cuartos yquintos.¿Qué observas?

13

1 x 23 x 2 = 2

6

Un medio = dos cuartos

=12

1 x 22 x 2

= 24 1

412

14

23

16

16

16

16

=23

2 x 23 x 2 = 4

6 =23

2 x 43 x 4 = 8

12

Medios

Tercios

Cuartos

Quintos

0

0

1224

3264

52104

72144

2244

4284

62124

82164



El matemático Stevin publicó, en 1585, la primera obra europea conocida, consagrada a la teoríageneral de fracciones decimales.


S u m a y re s ta d e f ra c c io n e s

Simón StevinMatemático holandés

(1548-1620)

+24

34

54

+

14

12

+

14

24

34

+

23

12

+

46

36

16-

12

13

-

36

26

76



Fundación POLAR • M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 9 - El mundo de las fracciones -NÚMEROS 2

M u ltip lic a c ió n y d iv

El doble de 1/3

2 x

La mitad de 1/6

: 2 =

¿Cuántas veces cabe un cuarto en un medio?

¿Cuántas veces cabe un medio en un cuarto?

13 = 2

3

4x

13 = 1

612

Interesante

Multiplicar por un medio es igual que dividir entre dos.

12 = = 24

212 = 1

4x12

12 = 2

10x25

x

112

16

: = 212

14

: =12

14

12

x =41

42 = 2

: =14

12

12

: =14

12

14

x =21

24 = 1

2




F ra c c io n e s c u y o n u m e ra d o r e sA una pastelería llegan 18 personas después de un juego.

Cada uno quiere comer una ración de unas tortas que tienen enla pastelería.

Cada ración corresponde a de torta

Eso quiere decir que en total se comen:

dieciocho octavos ( ) de torta¿Cuántas tortas se comieron?

Observando la figura nos podemos dar cuenta de que se comieron 2 tortas y 2 octavos de torta. Es decir

Quiere decir que se comieron 2 tortas y 2 octavos, o sea, 2 tortas y 1 cuarto de torta

Otra manera de verlo es efectuando la divisiónsugerida por la fracción

Vemos que las 18 personas se comieron 2,25tortas.

2, 25 =

2 01 8 8

4 00

2 , 2 5

Llamamos fracciones impropias a todas aquellas cuyonumerador es mayor que el denominador. En caso contrario sellaman fracciones propias .

Las fracciones impropias se pueden escribir en forma denúmero

mixto , es decir, con un número entero y una fracción propia asu lado; en nuestro ejemplo 2 , o como un número decimalmayor que uno; 2,25 en nuestro caso.

188

1

8

142

142

14

188

188

28

= 2 +




F r a c c io n e s y

Si revisas las recetas de un libro de cocina, encontrarás tanto en

las instrucciones como en los ingredientes variadas expresionesde medidas como las siguientes:

" kilo de maíz" ..."1 pollo de 1kilo y "..." pimentónrojo"..."calentar el horno de hora previamente"... "cocinar durant

de hora"...

A lo largo del libroMi cocina de Armando Scannone (1984) sehizo una revisión de las fracciones que aparecen con mayorfrecuencia y éstas son , , , , 1 , 2 , 2 , 1 .

Leamos un ejemplo:

Preparación:

1) Se pelan las piñas, se rallan o trituran y se cuelan a través de una tela. Se deja reposar hasta que desaparezcala espuma.

2) Se precalienta el horno a 400° F.3) En una olla se pone el jugo de piña y 1 taza de azúcar, se lleva a hervir hasta reducir aproximadamente a 1

o 2 tazas de almíbar con consistencia gruesa. Se retira del fuego y se deja reposar.4) En un molde de metal de unos 18 centímetros de diámetro por 10 centímetros de alto, donde se hará el quesill

se pone la taza restante de azúcar y de taza de agua para hacer un caramelo.

5) Se baten las amarillas y las claras con batidor de alambre.6) Se mezclan los huevos batidos con el almíbar y se coloca en el molde.7) Se pone en baño de María por de hora y se deja reposar por 2 o 3 horas.

12

12 1

434

12

14

34

18

12

12

14

34

Quesillo de piña

Ingredientes:

• 2 piñas de 1 de kilo cada una aproximadamente• 1 a 1 tazas de azúcar• 1 taza de azúcar• de taza de agua para hacer un caramelo• 10 amarillas de huevo• 6 claras de huevo

14

12

14

12

14

34

12

El mundo de las fracciones

Fascículo





M a n te n e rn o s e n fo r m a y . . .¿Cuántas calorías consumimos en un día?La actividad física “quema” calorías. Pero, ¿sabemos cuántas calorías “quemamos”cada día?

Las calorías que nuestro cuerpo obtiene de los alimentos son almacenadas comograsa o quemadas como energía.Mientras más activa es una persona, más calorías ella o él gastan. Se puede esperargastar muchas más calorías corriendo en un maratón que viendo el maratón portelevisión cómodamente sentado en su sillón.

En el siguiente cuadro aparecen varias actividades y la cantidad aproximada decalorías que quemaría cada hora por cada kilogramo de su peso.

Se puede calcular un estimado de su gasto de calorías usando la siguiente fórmula:

Su peso (kg) x calorías x horas = Total de calorías.

Por ejemplo, si usted pesa 75 kg y camina una hora y media:

Multiplique 75 X 5,07 (ver tabla) X 1,5, esto da aproximadamente 570 calorías.Caminando por una hora y media usted ha quemado 570 calorías, lo cual equivalea las calorías que tienen una hamburguesa con papas fritas y un refresco.

Actividad Calorías x hora x kg

Béisbol 6,39Baloncesto 9,91Boxeo 9,91Jugar cartas 1,54Limpieza del hogar 3,52Cocinar 2,86Montar bicicleta 5,51Bailar 6,17Comer 1,76Pescar 3,74Fútbol 8,15Jardinería 4,63Caminar 5,07Escalar montaña 7,93

Montar a caballo 5,95Planchar 1,98Gimnasia 8,15Trotar 9,25Saltar cuerda 8,37Descansar 1,32Nadar 8,37Tenis 5,51





El área del triánguloEn la figura, si el área del cuadrado es 8 m2, ¿cuál es elárea de la parte coloreada de rojo?

La patilla

Una patilla pesa tanto como partes de ella misma más kg.¿Cuánto pesa la patilla?

Los números

Encontrar los números naturales a, b y c que verifiquen la expresión.

5 6 8a b c

+ + = 4,8

El cumpleaños

Para el cumpleaños de Norberto elaboraron una bella torta.Víctor se comió de la torta.

Miriam se comió de la torta.Jorge se comió el doble que Víctor.

¿Cuál fracción de la torta se comió Norberto si aún quedapara guardar en la nevera?

¿Quién comió la mayor cantidad de torta?

Los camellosSe cuenta que tres hermanos discutían acerca de un lote de 35 camellosque habían recibido como herencia a la muerte de su padre. Según lavoluntad de éste, uno de de los hijos debía recibir la mitad de los camellosotro una tercera parte y el más joven una novena parte. ¿Cuántos camellosle tocarían a cada uno? Un amigo que oía la discusión y queríaaprovecharse de la situación dio una solución. ¿Cuál crees tú que seríala solución, cumpliendo con la voluntad del padre?

Tomado del libroEl hombre que calculaba de Malba-Tahan

34

34

161

4

16



910

310


Trabajando con números decimalesEstas actividades presentan la notación decimal a los estudiantes como otra forma deescribir números fraccionarios.Se establecen relaciones entre la imagen visual, las fracciones decimales y lasexpresiones decimales, de manera que los estudiantes reconozcan que los símbolos,a pesar de ser diferentes, representan el mismo número.

MaterialesPara el docente• Láminas de rotafolio con las figuras que se presentan

en las siguientes actividades• Tiza y pizarrón como recurso alternativo si no se

puede contar con un rotafolio

Para el estudiante• Regla• Creyones o marcadores• Hojas de trabajo con los ejercicios propuestos• Cuaderno cuadriculado para copiar los ejercicios

Descripción general de la actividad• Vamos a trabajar los conceptos de décima y centésima usando el cuadrado como unidad. Primero lo dividirem

en diez partes para estudiar la décima y luego en cien partes para el estudio de las centésimas. Observemos lasfiguras que utilizaremos.

= 0,1

Instrucción general• Para todas las actividades se sugiere suministrar a los estudiantes una hoja de trabajo con los ejercicios propuestos• Si no es posible, pedir a los estudiantes que copien los ejercicios en sus cuadernos cuadriculados.

Escribiendo y leyendo décimasActividad 1En cada uno de los ejercicios propuestos señale a los alumnos que la parte coloreada representa la fracción decimaescrita en el recuadro inferior.Lea con los estudiantes la fracción decimal y el número decimal, aclarando que el decimal representa la mismacantidad.Ejemplo: Ejercicio A1. Pídale a los alumnos que observen el cuadradoA en el que se ha coloreado “un décimo”, ya que es una de las

diez partes iguales en las que dividimos la unidad.2. Leer: “un décimo es igual a una décima”.3. Aclarar que el número decimal es otra manera de escribir la misma cantidad representada por la parte coloread

en el dibujo.

= 0,6 = 0,3 = 0,9

Unidad dividida en cien partes.Cada cuadradito representa

de la unidad.

Unidad dividida en 10 partes.Cada rectángulo representa de la

unidad.110

1100

A

110

610

B C D





Actividad 2Pida a los estudiantes que lean el número escrito y coloreen el área correspondiente al número dado.Pídales que completen la igualdad con la fracción decimal correspondiente.Ejemplo: Ejercicio A1. Leer la fracción “4 décimas”.2. Pregúnteles ¿cuántos rectángulos deben colorear?3. Pídales que escriban “ = 0,4”

= 0,7 = 0,4 = 0,8 =

Actividad 3Señale uno de los cuadrados.Pida a los estudiantes que escriban la fracción decimal y el número decimal que la parte coloreada representa.Ejemplo: Ejercicio A1. Señalar que en el dibujo de la parte A están sombreados 7 rectángulos.2. Pedir que escriban la fracción decimal representada por la parte coloreada “ ”.3. Pida que escriban la fracción decimal , el símbolo = y el decimal 0,7. Es decir = 0,7.

Actividad 4Dicte una fracción o un decimal (A=0,5; B= ; C=0,9; D= ).Pida a los estudiantes que escriban la fracción decimal y el número decimal equivalente.Pida que sombreen la parte que represente esta fracción.Ejemplo: Ejercicio A1. Dicte al niño “cinco décimas”2. Pídales que escriban “0,5= ”3. Pídales que coloreen los rectángulos que representa la fracción decimal.

410

410

A B C D

= = = =

A B C D

A B C D

710

710

710

510

410

210




Escribiendo y leyendo centésimasActividad 1En cada uno de los ejercicios propuestos señale que la parte coloreada representa lafracción decimal escrita en el recuadro inferior.Lea con los estudiantes la fracción decimal y el número decimal, aclarando que eldecimal representa la misma cantidad.

Actividad 2Dicte un número decimal y pida a los estudiantes que coloreen el área correspondiente al número dado.Pida además que completen la igualdad con la fracción decimal o el número decimal correspondiente.Ejemplo: Ejercicio A1. Leer el número “49 centésimas”2. Pídales que coloreen 49 cuadraditos en el cuadrado A.3. Pídales que escriban “0,49 = ”

= 0,35

= = = =

Actividad 3Señale uno de los cuadrados.Pida a los estudiantes que escriban el número decimal que la parte coloreada representa.Ejemplo: Ejercicio A1. Señalar que en el cuadrado A están sombreados 98 cuadraditos.2. Pedir que escriban el número decimal representado: 0,98

= = = =

Ejemplo: Ejercicio A1. Díga a los estudiantes que cada cuadradito coloreado representa la fracción “un centésimo”, ya que es una d

las cien partes en las que dividimos la unidad.2. Lea: “un centésimo es igual a una centésima”.3. Aclarar que el número decimal es otra manera de escribir la misma cantidad que la fracción decimal, representa

por la parte coloreada en el dibujo.

A B C D

35100 = 0,8787

100 = 1100100 = 0,4545

100

49100





In fo rm a c ió n a c tu a liz a d aBibliografíaCenteno, Julia (1995).Números d ecim ales . Editorial Síntesis.Madrid, España.De Guzmán, Miguel (1994).Para pensar mejor . EditorialPirámide. Madrid, España.Díaz, Godino J. y otros (1999).Did áct ica de la m ate m átic a . Editorial Síntesis. Madrid, España.Llinares, Salvador y otros (1987).Fraccion es: la relación par te todo . Editorial Síntesis. Madrid, España.

RevistasBoletines de la Enseñanza de la Matemática . ASOVEMAT.Educación Matemática . Grupo Editorial Iberoamérica.Serapio Rendón 125, Col. San Rafael 06470, México,DF.For the Learning of Mathematics . F.L.M. Pibl. Co.4336 Marcil Avenue. Montreal, Canadá.Petit X . IREM de Grenoble. BP 41 38402. S. MartinD’Heres (Francia).Revista EMA . http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogotá,Colombia.

VideosLa historia de las fracciones . Universidad Nacional Abierta.Caracas, Venezuela.

Páginas webCentro de Computación y Comunicación para laconstrucción del conocimiento http://www.c5.clSociedad Andaluza de Educación THALES .http://thales.cica.esGimnasio virtual . http://www.gimnasiovirtual.edu.coTeacher Created Materials . http://www.teachercreated.com

R e s u l t a d o s

El área coloreada mide 1 m2.

La patilla pesa 3 kg.

a=5, b=2 y c=10.

Norberto se comió un doceavo de la torta y Jorge fue el que más comió.

El amigo decidió agregar un camello prestado. Esto da 36 camellospara repartir. Al mayor le tocó 18 camellos, al segundo la tercera parte,es decir: 12 camellos y al menor la novena parte que son 4. Esto suma34 camellos. El amigo devolvió el camello prestado y se quedó conel camello que sobró por su ingenio para resolver este problema,quedando los herederos complacidos.



Hugo Leiva

La m a tem á tica y e l P rem iHugo Leiva nació en Anaco, estado

Anzoátegui. Realizó estudios deLicenciatura en Matemáticas en la

Universidad Central de Venezuela y obtuvoel título de Ph.D en Matemáticas en el

Instituto Tecnológico de Georgia, EE.UU.,en 1995. En 1999 obtuvo el premio delCONICIT al mejor Trabajo Científico en

Matemáticas y en el año 2001 fuegalardonado con el Premio “LorenzoMendoza Fleury” de Fundación Polar. Es

miembro del Sistema de Promoción delInvestigador y profesor Titular del

Departamento de Matemáticas de laUniversidad de Los Andes.

Fotografía: Carlos Rivodó

El tema de interés del Dr. Leiva es el estudio de las Ecuaciones Diferenciales.Concretamente, una Ecuación Diferencial es una ecuación que involucra una funcióndesconocida y sus derivadas. Muchas de las leyes de la Física están dadas en términosde estas ecuaciones. Al hablar de velocidad, aceleración, fuerza, inercia, acción y reaccióntenemos siempre presente ecuaciones diferenciales. Pero dejemos que sea el mismoprofesor Leiva quien nos aclare estos puntos: “Cuando haces ecuaciones diferencialeses bueno tener en mente un problema concreto que debes resolver. Yo trato de motivarmucho a mis estudiantes. ¿Cuándo aparecen las ecuaciones diferenciales? Cuando unodesea analizar un problema que se presenta en la vida real es preciso elegir un modelomatemático que describa ese problema. Por ejemplo, el modelo de la desintegraciónradioactiva. Si tomo un pedazo de madera y determino su contenido de carbono catorcepuedo decir en qué fecha el árbol fue cortado. Otro ejemplo interesante es la ecuacióndel puente suspendido. Los puentes suspendidos implican muchas fuerzas presentes.Hay una fuerza de amortiguamiento, hay fuerza de roce, fuerzas externas, de difusión.Eso viene dado por una ecuación diferencial que describe todo. Debes lograr que laconfiguración de esas fuerzas impidan que el puente se caiga. Para un matemático esosignifica que la ecuación admita una solución acotada. Si con los parámetros introducidoproduzco una solución acotada, la interpretación que de eso da un ingeniero es que elpuente no se cae”.

Queremos terminar esta pequeña semblanza con una reflexión del Dr. Leiva: “Lasmatemáticas se fundamentan en el razonamiento lógico, por lo tanto todas las personasnormales tienen o deberían tener la capacidad de hacer matemáticas. La lógica es subasamento principal. Sin embargo, yo insisto en que el medio ambiente es importante.Mientras la carrera de matemáticas o, en general, la ciencia, no sea bien remunerada,mientras no existan suficientes incentivos, los muchachos no van a estar motivados. EnSan Pedro de Macorís, el sueño de los niños es ser grandes ligas, ¿por qué?, porquelos peloteros tienen mejor estatus, por eso todos quieren ser un Sammy Sosa o cualquierade los grandes del béisbol de República Dominicana”.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros másdestacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo

y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.



Número de oroEste es el “cuadro 72” de Piet Mondrian, construidode acuerdo con las proporciones del número de oro.Pintor neerlandés (1872-1944), Pieter CornelisMondrian, llamado Piet Mondrian, influido por elcubismo analítico pasó de una figuración al estiloVan Gogh a una abstracción geométrica en la queconsigue el rigor extremo combinando los colores

primarios con el blanco y el grís sobre una tramaortogonal.

Godfrey H. Hardymatemático británico (1877-1947)Esta frase fue escrita en su obraAp olo gía de un m atem átic o , 1940

“Los diseños del matemático, como losdel pintor o del poeta, han de ser bellos:las ideas como los colores o las palabrasdeben relacionarse de maneraarmoniosa. La belleza es la primeraprueba: no hay lugar permanente en elmundo para las matemáticas feas”.

M a t e m á t i c a p a r a t o d o sEl mundo de las proporciones

Fascículo

Números III

F o

t o g r a

f í a :

R o g e

l i o C h o v e t



E l m u n d o d e la s p ro p o r c io n e s

Fundación POLAR• M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 10 - El mundo de las proporciones -NÚMEROS 3

Este auto es el mismo,uno es de verdad y el otroes su foto.

¿Qué porcentajede la florrepresenta cadauno de suspétalos?

La factura de laelectricidad vinoaltísima, porqueaumentamos nuestroconsumo.

De cada 10 000habitantes de un país,2 000 tienen títulouniversitario.

Un perro tienedos orejas.

¿Cuántas orejastendrán 35

perros?Estos limones son

“semejantes”.

Para subir 2,40 mnecesito 18 escalones.¿Cuántos escalonesnecesito para subir4,50 m?

Los intereses de lastarjetas de crédito enVenezuela eran mayoresal 50% en el 2002.

Todas estas situacionespertenecen al fabuloso mundode las proporciones.



10 20 30 40 50 60 700

1.000

2.000

0

B s

.

KWH

3.000Se observa en esta gráfica quepara 0 KWH corresponde a Bs 0.Mientras mayor sea el consumode electricidad, mayor será lacantidad de bolívares a pagar.


Al expresar esto en una tabla, queda así:

16 cucharadas de leche en

polvo son necesarias parapreparar un litro de leche.8 cucharadas de leche enpolvo son necesarias parapreparar medio litro deleche.

Cucharadas x 8 16 32 48 64

Litros de leche y 1/2 1 2 3 4Observamos que al relacionar el número de cucharadas de leche en polvo y la cantidad de litros de leche, obtenemofracciones equivalentes:

161

322

483

644

Xy

16= ===cantidad de cucharadas

cantidad de litrosSi representamosmediante puntosalgunos de estospares en un sistemade coordenadas, alunirlos se obtiene ungráfico como éste.

2.- El siguiente recibo de la Electricidad de Caracas de agosto de 2001 muestra la facturación porconsumo de kilovatios/hora (KWH) durante un mes ®

Observa que el consumo es de 872 KWH y el costo de 1 KWH es de Bs. 59,7454. Por lo tanto, el monto a pagarpor este consumo es de Bs. 52 098. Para calcular ese monto a pagar se efectúa la siguiente operación:

872 KWH x Bs. 59,7454 Bs./KWH = Bs. 52 098 aproximadamente.

¿Cuánto costarán 100 KWH? ¿Cuánto costarán 5 KWH? Si se expresa esta relación con un gráfico se obtiene losiguiente:

=

10 20 30 40 50 60 700

1234

0

L i t r o s

cucharadas

1.- La fórmula señala que para obtener un litro de leche deben agregarse a un litro de agua,16 cucharadas de leche en polvo. Así, si deseamos preparar el doble de litros de leche,necesitaremos el doble de cucharadas de leche en polvo y si deseamos preparar una cantidadmenor disminuiremos la cantidad de cucharadas de leche en polvo.

P r o p o r c i o n



Existen relaciones que soninversamente proporcionales, es decir,que si una variable aumenta la otradisminuye en una relación similar.Por ejemplo: al aplicar en un circuitoeléctrico una tensión constante, semide la intensidad (Amperios) de lacorriente haciendo variar la resistencia(Ohms).


En las dos relaciones vistas en la página anterior podemos observar lo siguiente:• A cada valor de la variable (KWH o número de cucharadas) le corresponde un valor único (imagen).

Si la variable aumenta o disminuye, la imagen aumenta o disminuye en la misma relación. Porejemplo, si se duplica la cantidad de KWH consumidos, se duplica el monto a pagar, es decir, hayuna variación directa.

• En las dos situaciones anteriores, la relación que se establece entre las variables forma un conjuntode fracciones equivalentes:

161

322

483

644

yx

===cantidad de cucharadas

cantidad de litros

59,741

=Monto a pagar en Bs.

Cantidad de KWH consumidos

119,482

=179,22

3=

=xy

• Al representar gráficamente una relación directamente proporcional se obtiene una rectaque pasa por el origen.

Interesante1- El resultado de dividir el numerador entre el denominador siempre es el mismo y se llama constante de

proporcionalidad.

161

322

483

644

80

5

cantidad de cucharascantidad de litros

2- Dos relaciones cualesquiera de las establecidas en el cuadro anterior cumplen que al multiplicar sus extremosel resultado es el mismo. Por ejemplo: 32

2160 = 160

805

3- Si tomas dos fracciones equivalentes, por ejemplo y y sumas directamente los numeradores y losdenominadores, el resultado es una fracción equivalente a las anteriores:

322

483

numeradores 32 + 48 = 80denominadores 2 + 3 = 5

resulta que 322

483

805

es equivalente a

4- La gráfica que resulta al representar los puntos de una relación proporcional siempre es una línea recta:

Todas estas características se cumplen porque la relación de proporcionalidad está expresada por unafunción lineal.

En este caso k = 16

80

5

32

2=

0,4013,2

Resistencia (Ω )

Intensidad (A)

0,806,60

2,032,60

2,402,20

2,781,90

3,301,6010

0

Resistencia

1234

I n t e n s

i d a

d

5

2 3 1

y a

P r o p o r c i o n a l i d a d



P o r c e n ta


RETOorcentaje como parte de un todostima el porcentaje de la parte roja en cada una de lasguientes figuras:

Porcentaje como comparaciónObserva cada par de figuras A y B. En cada caso determcuál es el porcentaje, que es A de B y luego el que es B A, es decir, en cada par de figuras completa:A = __% de B y B = __% de A

A B

AB

La inflaciónacumulada enel año 2002 fue

de 17%

Elexamen loaprobó el60% del

grupo

El55% de la

poblaciónmundial es

menor de 25años

Este túnelestá perforado

sólo en un15%

n por ciento (n%) significa que tomamos en cuenta n de las100 partes iguales en las que dividimos algo.

Ladistribución deagua es 30%

para la zona rural y70%para la zona

urbana

El 25% de la estrella

está coloreada de rojo



Argentina es el país que consume la mayor cantidad de alimentos per cápita (por persona).Cada habitante consume el 183% de la cantidad necesaria recomendada en 1996 por la FAO(Organización de Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación). Portugal es el segundopaís, con el 149%, seguido de Irlanda con 142%.Fuente:Libro Guiness de los Records 2002 . Editorial Planeta


¿ C ó m o c a lc u lo e l n % d e u n a c

EjemploEl 20 % de una población tienetítulo para manejar

Población conPoblación título para maneja

X Y20 4500 100

1 000 2002 500 5005 000 1 00010 000 2 000

500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000

500

1 000

Población

Población con títulopara manejar

Una franela me costó Bs. 3 664. El preciopagado incluyó el IVA, el cual es el 14,5%del PVP. ¿Cuál es el PVP de la franela?

El monto pagado corresponde al 114,5%del PVP.

Entonces PVP = 3 664 / 1,145PVP = 3 200 Bs.

¿Cómo calculo el n% de una cantidad C?Ejemplo: Hallar el 32% de 16

Método 1Se divide 16 en 100 partes iguales

=0,16Se multiplica el resultado por 320,16 x 32 = 5,12

Método 2Calculo 32 centésimos de 16

x 16 = 0,32 x 16 = 5,12

Obtengo así el 32% de 16

Divido C entre 100Multiplico el resultado por n

Divido n entre 100Multiplico el resultado por C

Regla de tres

100 nC ? ? = (n x C) /100

16100

32100

Cálculo de un número q del cual D es el n%Ejemplo: Hallar el número del cual 5 es el 25%

Método 1Divido 5 entre 25 con lo que obtengo el valor de una de las cien partes del

100%= 0,2Multiplico luego por 100 y obtengo el número correspondiente al 100%0,2 x 100 = 20Este procedimiento puede resumirse así:5 / (25 / 100) = 5 / 0,25 = 20

20 es entonces el número del cual 5 es el 25%

Divido D entre nMultiplico el resultado por 100

ResumenDivido D entre n/100

Regla de tres100 n

q Dq = (100 x D) / n

525



La semejanza de figuras es un importante concepto geométricoque se aplica en: diseño de casas y edificios, diseño de automóviles,

construcción de circuitos impresos, fotografías. En la televisión, en el ciney en el microscopio vemos objetos que son semejantes a los objetos originales.

Dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma pero no necesariamente tienen el mismo tamaño.La expresión “igual forma” está relacionada con las ideas numéricas de razón y proporción.


F ig u ra s s e mEstas mariposas son copiassemejantes de una mismafotografía, pero de diferentetamaño.

Los automóviles son iguales enforma. Uno de ellos es una

réplica a escala.

Los rectángulos ABCD y XYZW sonsemejantes. Una correspondencia entre losvértices es:A <-> X , B <-> Y, C <-> Z y D <-> W.Y así corresponden los lados:

AB <-> XY, AD <-> XW, BC <-> YZ yCD <-> ZW.Si el factor de proporcionalidad es 2,entonces cada segmento de XYZW es eldoble de su correspondiente de ABCD:XY = 2AB , XW = 2AD, YZ = 2BC yWZ = 2DC.

A D

CBX

Y Z

W

La proporción se establece entre paresde segmentos así:

XYAB

21

YZBC

21

ZWCD

21

WXDA

21

, , ,

“La longitud del segundo segmento esa la del primero como 2 es a 1.”En las figuras semejantes los ángulosse conservan y las longitudes semultiplican por un número K>0. Si K>1la figura se agranda y si K<1 se reduce.

El dibujo A’ B’ C’ D’ E’ es laimagen semejante deABCDE. El factor de proporcionalidad es 3 por cuantoOA’ es tres OA. Esto se expresa:

A’B’AB

B’C’BC

C’D’CD

D’E’DE

E’A’EA 3

D’E’

La figura F’ es laimagen semejante de F. El factor deproporcionalidad es : Observa que OX’ es la mitad

de OX. Esto se expresa:

A B

C

DE

O

A’ B’

C’

O

X’Z’

Z

W’

W

X

F’ F

X’Z’XZ

X’W’XW

12

El escalímetro, regla con seis graduaciones, una en cada borde de cada cara del prisma, esun instrumento fundamental para todos aquellos profesionales que trabajan con planos(arquitectos, ingenieros...). Los planos tienen unas escalas o factores de proporcionalidad“estándar” (uso reglamentado) que son 1:100, 1:50, 1:25, 1:200... Esto significa que cadcentímetro medido en el plano corresponde en la realidad a 100 cm (1 m), 50 cm, 25 cm 200 cm (2 m), respectivamente.

12



RETODibuja una figura semejante al pentágono cuyoslados midan la mitad del pentágono dado.

Dibuja una figura semejante al hexágono cuyos ladosmidan tres medios de los lados del hexágono dado.


Pasos para dibujar figuras semejantes:Dibuja un triángulo ABC y un punto O (el triángulo es como la figura proyectada de unadiapositiva y el punto O es como el foco de un proyector).Desde O dibuja los rayos OA, OB y OC.Con un compás se toma la distancia OA (línea roja discontinua) y la repetimos dos vecesdesde A para determinar A’.Se repite para cada vértice del triángulo ABC y así se determina el triángulo A’B’C’semejante al triángulo ABC y además:

A’B’AB

B’C’BC

A’C’AC 3

A

B

C

A’

B’

C’

O

A’B’ = 3 AB

B’C’= 3 BC

A’C’= 3 AC

El pantógrafoEl pantógrafo es un instrumento mecánico parareducir o aumentar figuras, produciendo figurassemejantes. El punto O es fijo, el punto V (visor)recorre la figura y el lápiz en el punto V’ dibuja lafigura semejante.

Las diagonales de rectángulos semejantes están sobreuna recta si los rectángulos son colocados como enla figura de la izquierda.

O

V’

V

Con un par de ligas y un lápiz

Se cruzan las ligas como en la figura. Se fija un extremo en un punto y en elotro extremo se coloca un lápiz.

A medida que el nudo recorrela figura, se va dibujando conel lápiz la figura semejante.

D ib u jo s e id en tifica c ió n d e fig u

Interesante



Fundación POLAR• M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 10 - El mundo de las proporciones -NÚMEROS 3

P ro p o rc io n e s y re c e t

La receta original es para 4 porciones¿Cómo calculamos los ingredientes para8 porciones ?• 8 es el doble de 4• Entonces multiplicamos por 2 cada una de las

cantidades de los ingredientes.Por ejemplo:El número de tazas de consomé será: 3 x 2 =6Las cucharaditas de pimienta negra serán:

x 2 = =

En término de proporciones podemos decir que sila receta original de la crema de brócoli está dadapara 4 porciones, entonces:Para 8 porciones los ingredientes son el doble de los de la recetaoriginal.Para 6 porciones los ingredientes son una vez y media de lareceta original.Para 16 porciones los ingredientes son cuatro veces de los dela receta original.Y así podemos armar una tabla de equivalencias.

4 6 8 16 20

Tazas de brócoli picado 4 6 8 16 20Cucharadas de mantequilla 3 4 6 12 15Taza de cebolla picada 1 2 2Tazas de consomé de carne 3 4 6 12 15Cucharadas de harina 2 3 4 8 10Taza de leche caliente 1 1 2 4 5Cucharadita de sal 1 2 3 6 7Cucharadita de pimienta negraRamitas de hierbabuena 2 3 4 8 10Ramitas de cilantro 2 3 4 8 10Cucharadas de crema gruesa 2 3 4 8 10

Nº de porciones

CREMA DE BRÓCOLIIngredientes para 4 porciones4 tazas de brócoli picado

3 cucharadas de mantequillataza de cebolla picada3 tazas de consomé de carne2 cucharadas de harina1 taza de leche caliente1 cucharadita de sal

cucharadita de pimienta negra2 ramitas de hierbabuena2 ramitas de cilantro2 cucharadas de crema gruesa

12

121

8

18

28

14

1212

34 12

12

1214

12

14

12

58

316

18

12

¿Cómo calculamos los ingredientes para6 porciones ?• 6 es 1 y vez de 4. Puedo calcular de dos maneras

equivalentes que conducen a los mismos resultados:1. Multiplico la cantidad de cada ingrediente por 1,5.

El número de tazas de brócoli picado será4 x 1,5 = 6El número de cucharaditas de sal será 1,5 x 1,5 =2,25 = 2

2.- A cada ingrediente le sumo la mitad de la cantidadde la receta original. Receta + receta.El número de tazas de brócoli picado será:4 + = 4 + 2 = 6El número de cucharaditas de sal será:1 + = + = = 2,25 = 2

14

42

12

12

34

32

34

94

14

12

El mundo de las proporcionesFascículoM a t e m á t i c a p a r a t o d o s



Alguna vez hemos escuchado una expresión como esta: “Québien proporcionada está esa chica, sus medidas son 90-60-90”. Esto significa que la medida de su busto y de su caderaes de 90 cm y la de su cintura 60 cm. Si además de esto sucuerpo está distribuido según el estudio de las proporcioneshumanas (que Le Corbusier ha hecho de las relaciones que

deben cumplir las diferentes partes del cuerpo humano paraser considerado perfecto), y su cara está demarcada por dosRectángulos de Oro (rectángulo cuya relación entre sus ladoses aproximadamente 1,618), concluiremos que una personaque cumpla con todas estas condiciones es bellamatemáticamente.

Entonces podríamos preguntarnos:

¿Qué es la belleza?Cabe definir la belleza como eI conjunto de cualidades cuya manifestación sensibleproduce un deleite espiritual, un sentimiento de admiración (Diccio nario Peq ueño L arousse ,

1999). La belleza resulta de armonías y contrastes de líneas, colores, formas, tono ypalabras, que sugieren o presentan atractivos de la naturaleza, situaciones humanas,logros, anticipaciones o sueños (Diccionario filosófico , Julio Rey Pastor e Ismael Quiles,1952, p. 1 057, Buenos Aires).

En el siglo XIII Santo Tomás de Aquino formuló lo siguiente: "Los sentidos se deleitaen cosas debidamente proporcionadas". (M ate mátic as , Colección Científica de Time Life,1971, México).

Santo Tomás se refería a la relación directa y frecuentemente manifiesta que existe entrela belleza y la matemática, la cual se encuentra presente a lo largo de la historia con eldenominado Número de Oro, también conocido como la Divina Proporción. Este es un

número que tiene un valor aproximado de 1,618 y que aparece en la relación que seestablece entre los lados que están en Proporción de Oro de un rectángulo.

El Rectángulo de Oro ha sido utilizado en famosas obras de arte y en la Arquitecturadesde las construcciones griegas como el Partenón, pasando por Leonardo da Vinci,hasta nuestros días, por cuanto ha sido utilizado por Le Corbusier y sus seguidores;Salvador Dalí, Mondrian y otros.

El Partenón, el Panteón de París y la Mona Lisa son obras de arte y arquitectura dediferentes épocas, en las que de alguna manera está presente la Divina Proporción oNúmero de Oro.

6 0

9 0


P ro p o rc io n a lid a d y b e lle z a9 0

El Partenón Reine Isabeau de Pablo Picasso



L a D iv in a P ro p o r c ió nEl Rectángulo de OroObserva la construcción del Rectángulo de Oro

Se dibuja un cuadrado. Se determina M,punto medio de unlado.

Con radio MB se trazaun arco paradeterminar P.

Rectángulo de oroACPQ.

M M

B

M

B

En 1876, el filósofo alemán Gustav Theodor Fechner (1801-1887) hizo un estudio sobre los rectángulos conproporciones especiales entre sus lados. Cerca del 75% de los encuestados seleccionaron los Rectángulosde Oro como más estéticos y placenteros a la vista y al gusto, entre un grupo de formas rectangulares. Laselección fue de los rectángulos cuya razón de laslongitudes de sus lados es:

1 + 5 aproximadamente 1,618: la Razónde Oro o Divina Proporción.2

Los griegos y las proporciones

Estos rectángulos especiales son llamadosRectángulos de Oro.Las cartas de barajas, muchas puertas y ventanas y portadas de libros,

son ejemplos de Rectángulos de Oro.Los griegos utilizaron laRazón de Oro para casi todas sus esculturasy construcciones. El Partenón tiene muchos Rectángulos de Oro.

Maqueta de El Partenón

b

h

a

e

xy

Las escaleras de casas, edificios o calles guardan unarelación entre la altura de los escalones y el ancho delescalón. Además, se construyen de forma tal que laaltura del escalón sea proporcional a la altura promediode las personas. Cuando una escalera mecánica estáparada se hace mayor esfuerzo para subir por ella. Laaltura de los escalones no son proporcionales a laaltura promedio de las personas.

Maurits C. EscherArtista plástico holandés (1898-1972 )

R e l a t i v i d a d

155Fundación POLAR• M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 10 - El mundo de las proporciones -NÚMEROS 3

La intensidad de las sensaciones se incrementa proporcionalmente(de forma logarítmica) con el incremento de los estímulos quecaracterizan nuestras relaciones físico-síquicas.

A

C P

Q

1

1

12

12

12

1

5212

52

12

QPQA

1 + 52

=

El investigador norteamericano Jay Hambidge estableció que la razón de oro estápresente en las proporciones del ser humano. La razón de la altura (b) del ser humanoa la altura (h) del ombligo es muy próxima a la Razón de Oro. La razón en el brazy la razón en la cabeza son también razones próximas a la Razón de Oro.

aex

y



156Fundación POLAR• M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 10 - El mundo de las proporciones -NÚMEROS 3


La barba de BartolomeoSupongamos que la barba del Sr. Panciatichi crecía a razón de 3mm cada 24 horas. Si la barba alcanzó 1 dm con 8 cm el 5 dediciembre de 1540, ¿cuál fue la última fecha en la que el Sr.Bartolomeo se afeitó?

De M aturín a TucupitaSegún se presenta en el mapa y tomando en cuenta la escalaseñalada, ¿calcule la distancia medida en línea recta entre

Maturín y Tucupita?Escala del mapa 1:2.000.000

La figura¿Cómo puede dividirse la figura en 4 partes tales que cada una deellas sea semejante a la figura grande?

El restaurantePagué, en el año 2001, un total de 72 500 bolívares por la cuenta del restaurante.Si se sabe que el 14,5% corresponde al pago del IVA y 10% al servicio, ¿cuánto

me costó realmente la comida?

R e s u l t a d o s

Bartolomeo se afeitó la barba el 7 de octubre de ese mismo año.Entre Maturín y Tucupita hay 143 km aproximadamente.La comida me costó Bs. 58 232,93; el IVA fue de Bs. 8 443,77 y el 10% fue de Bs. 5 823,29.



157Fundación POLAR• M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 10 - El mundo de las proporciones -NÚMEROS 3

In fo rm a c ió n a c tu a liz a d aBibliografíaCarvajal, Fernando (1997).La mat emática ap licad a a la vida co tid iana . Editorial Grao. Barcelona, España.Gutiérrez A. (editor) (1987).Did áct ica d e la m ate m átic a . Editorial Síntesis. Madrid, España.Grupo Beta (1990).Prop orc ionalid ad, g eom etría y semejanza . Editorial Síntesis. Madrid, España.

Páginas webOMA- Programa Enriquecimiento en Matemática. http://www.oma.org.ar/programa/blan26.htmFibonacci y el Número Áureo. http://www.geider.net/esp/mate/logo.htm

MaterialNueve fichas rojas y nueve azules, un par de dados y el cartón de juego.

Número de jugadoresDos (uno con las fichas azules y el otro con las rojas).

Objeto del juegoColocar tres fichas de un mismo color en fila: diagonal, vertical u horizontal.

Reglas del juegoSe elige el jugador que inicia el juego lanzando los dados.En su turno, el jugador lanza los dados y forma una fracción con los números de los dados. El jugador puede marcar unfracción o equivalente, y coloca su ficha en el recuadro correspondiente a dicho valor. Si la fracción seleccionada no esen el cartón pierde su turno.

Ejemplo:

Un jugador puede remover la ficha delcontrario si en su turno obtiene ese valor.

¡A ju g a r !

Con estos números se pueden formar las fracciones y porcentajes: 25 = 40% 5

2 = 250%

50% 60% 200%

40%

125%

13

23

300% 120% 20%

80% 100% 150%

60% 250% 75%




Uso de mapas para desarrollar el pensamientoproporcional o sentido de proporción en los niños yadolescentes.¿Se pueden lograr pensadores proporcionales en laescuela básica?Esta fue una interrogante que se plantearon un grupo de docentes conscientesde la importancia que tiene el desarrollo de lo que se ha llamado sentido deproporción en el ser humano.

En muchos de los aspectos de nuestra vida diaria están presentes relaciones que son directamente proporcionales, asílo encontramos en muchas obras de arte, arquitectura, etc. En ciencia, el estudio de soluciones, el uso de balanzas decruz, los cálculos de densidad de sustancias, requieren de la aplicación del concepto de proporción. En geografía, calculla densidad de población, construir y leer mapas, hacer gráficas, también lo requieren. En matemática, la semejanza defiguras geométricas, el estudio de probabilidades, de las fracciones y del porcentaje están basados en la idea deproporcionalidad.

¿Cómo lograrlo?

Apoyados en la opinión de los investigadores, los docentes señalaron que aun cuando el desarrollo de este concepto noes fácil, se puede alcanzar su comprensión aplicando una enseñanza activa que utilice material apropiado, lo cual ayudal estudiante en la formulación de las respuestas, y esto tiene influencia significativa en el desarrollo del pensamientoproporcional. Ésta competencia se adquiere entre el Quintoy el Octavo Grado de la Educación Básica, a través deuna enseñanza organizada, que se inicie desde tempranaedad, a partir de las relaciones proporcionales que cadaestudiante maneja en su entorno.

Proponen, a continuación, una actividad que hace usode mapas y diferentes escalas en un contexto real y útil;da la oportunidad a los estudiantes de manejar conceptosrelacionados con la idea de proporcionalidad.

ACTIVIDAD SUGERIDA PARA EL DOCENTE

ObjetivoDesarrollar en los niños y adolescentes el sentido deproporción.

¿Cómo nos organizamos en el aula?• Los estudiantes trabajarán en parejas.

¿Qué necesitamos?• Para las demostraciones del docente:

Un mapa político de Venezuela.Un mapa del estado Anzoátegui.Un mapa de la ciudad de Barcelona.

• Para cada pareja de estudiantes:Un mapa del estado Anzoátegui. Escala.Un mapa de la ciudad de Barcelona. Escala.Una regla.Rotafolio con las instrucciones.




¿Qué haremos?1- Pídale a los estudiantes que ubiquen su mapa del estado Anzoátegui.2- Muestre en el mapa político de Venezuela la ubicación del estado y comente:

• Los mapas están en escalas diferentes, por eso su tamaño es diferente.• Identifique en ambos mapas la escala correspondiente y escríbala en el pizarrón.• Revisar y explicar la escala del mapa político de Venezuela.• Escala del mapa del estado Anzoátegui.

La forma del estado Anzoátegui es igual en ambos mapas, el que tienen los estudiantes y el mapa político de Venezuelagrande que tiene el docente. Las dos figuras son semejantes.En la medida en que a cada unidad de la escala le corresponda un número mayor de la medida natural, el dibujo es máspequeño.3- Cada pareja, con el mapa del estado Anzoátegui, va a responder a las siguientes preguntas; es importante recordarque un estudiante hace las mediciones y el otro registra los resultados.

a ¿Cuál es la escala del mapa?b Determinar la distancia entre Barcelona y Puerto La Cruz.• Ubicar cada una de las ciudades en el mapa.• Medir con una regla graduada en centímetros cuánta es la distancia que las separa.• Usando la escala calcular la distancia.c Ubicar en el mapa un pueblo o ciudad que esté a más de xx km de Barcelona.• Deben determinar a cuántos centímetros corresponden los xx km usando la escala.• Ubicar a Barcelona en el mapa.• Ubicar la regla en su punto cero en Barcelona.• Rotarla con cuidado hasta encontrar un pueblo o ciudad que esté más lejos. Se puede usar un compás con la

abertura en los centimetros establecidos.• Es importante indicar que puede haber distintas soluciones y también pequeños errores de medición.

• Se puede cerrar esta parte midiendo y calculando la distancia exacta del pueblo o ciudad encontrado y la ciudade Barcelona.d Llenar un cuadro de distancias de Barcelona a diferentes centros poblados.e Indicarle a los estudiantes que el factor que relaciona a ambas cantidades en cada caso es la constante

de proporcionalidad.Los nuevos prospectos de pensadores proporcionales que se espera formar deben saber:

• Que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando aumentan y disminuyen siempre en la mismarelación.

• Que hay un factor constante que relaciona las dos magnitudes: constante de proporcionalidad.• Que gráficamente al representar los puntos de una relación proporcional y unirlos, forman una recta que pas

por el origen.Adicionalmente, deben ser capaces de:

• Diferenciar lo que es directamente proporcional de lo que no lo es.• Comprender situaciones proporcionales.• Aplicar varios métodos para resolver situaciones que son proporcionales.• Resolver tareas cuantitativas y cualitativas del razonamiento proporcional.




Jesús Alberto LeónLa m a tem á tica y e l P rem i

Nació en La Victoria, estado Aragua, el 19de octubre de 1940. Obtuvo la Licenciaturaen Biología en 1963 y en Matemática en

1964, en la Universidad Central deVenezuela, y un doctorado en Cienciasen 1973, en la Universidad de Sussex,

Inglaterra.Ha recibido premios nacionales y

reconocimientos internacionales, talescomo el Premio de la Asociación deProfesores de la UCV (APUCV) al mejor

Trabajo de Ascenso de la UCV, en 1991.Premio Francisco De Venanzi (APIU-

CDCH) a la Trayectoria del InvestigadorUniversitario (1991). Premio

Iberoamericano “Federico Riu” a lainvestigación filosófica, en 1990. Premioal Mejor Trabajo Científico otorgado por

el CONICIT (1995) y la Orden José MaríaVargas (Corbata), en 1990. Es fundadorde la revistaEvolutionary Theory y editorasociado de varias revistas internacionales

de su especialidad. Es miembro delSistema de Promoción al Investigador(Nivel IV). Obtuvo el Premio “Lorenzo

Mendoza Fleury” de Fundación Polar enel año 2001.


Los trabajos del profesor León, si bien en el área de biología, hacen uso de la matemáticaDejemos que él nos explique: “La biología está, como toda ciencia, llena de aspectosque requieren matemática para su expresión precisa. Pensemos, por ejemplo, en labiomecánica. Es claro que en la constitución de los huesos en animales, o de los troncosy ramas en los árboles, hay implicados problemas de tensión, deformación y resistenciade materiales. Y en la relación entre huesos que sostienen un esqueleto, o lo muevenmediante contracciones y relajamientos musculares, hay toda una música de leyesmecánicas en acción. ¿Dónde se ha visto que esto pueda estudiarse sin las leyes deNewton y su expresión matemática? Y el movimiento de fluidos en los sistemas circulatorianimales, o el agua que trepa por dentro de los árboles desafiando la gravedad. ¿Norequieren compleja hidrodinámica para su comprensión? Por otra parte, al ser los seresvivos complicados sistemas físico-químicos, en los cuales campean toda clase demoléculas –desde las simples hasta las grandes y enmarañadas macromoléculas– queinteractúan en incesantes flujos y transformaciones bio-químicas, es apropiado que paraentenderlos se usen las matemáticas de la química y la físico-química.Hay otros niveles en que la biomatemática no es reducible a las matemáticas ‘importadas(por decirlo así) de las otras ciencias. Por un lado, los seres vivos se hallan siempre encolecciones que llamamos poblaciones y comunidades. Esto es consecuencia de lapropiedad definitoria de estos seres: la reproducción. Así, las preguntas ¿cuán numerososserán dichos colectivos, cuáles procesos determinarán su abundancia?, deben forzosamenteser formuladas matemáticamente. Se prestará entonces atención a los mecanismos queinducen nacimientos y muertes, eventos básicos que cambian la numerosidad de losindividuos constitutivos de cualquier población. Esta clase de formulaciones (casi siempusando ecuaciones diferenciales, que son las matemáticas del cambio), son el meollode lo que se llama Ecología Matemática”.Dos aspectos fundamentales del trabajo del Dr. León son el desarrollo de la teoríamatemática de la coevolución y la de estrategias adaptativas. Como él explica, “alcaracterizar la Selección Natural se ha esbozado la dinámica de la causación de cambiosevolutivos en una especie en un ambiente. Pero las especies están siempre involucradasen redes ecológicas con otras especies (compiten, se comen unas a otras... etc.). Así,cada especie es a la vez ambiente para otras, y esto da lugar a cambios evolutivosrecíprocos, a coevolución.Por otra parte, el cambio evolutivo guiado por la Selección Natural tiene consecuencias¿Cuáles serán éstas? ¿Cuál constelación de caracteres será favorecida en un ambientedado? ¿Qué resulta adaptativo en ese ambiente? Como la selección premia a quien escapaz de sobrevivir o reproducirse mejor, hay que encontrar funciones que expresenesto: funciones que indiquen qué relaciones hay –en un cierto ambiente– entre loscaracteres y la supervivencia y reproducción. Así se puede, con técnicas matemáticasde optimización, buscar cuál combinación de caracteres –entre aquellas que son posibles–otorga mayor éxito reproductivo”.




La construcción observada en el dibujo se denominaEspiral de Teodoro , en honor de Teodoro de Cirene(filósofo y matemático, s. IV a.C.), que es una espiralformada por lados de triángulos rectángulos. Platónindicó que su maestro Teodoro fue el primero en probarque la raíz cuadrada de los enteros no cuadradosdesde 3 hasta 17 son irracionales (”inconmensurables”).Al llegar a 17 triángulos rectángulos de lados 1,√n ,√n+1, n=1, 2.....17 se tiene una vuelta completa.

Nikolai LobatchevskyMatemático ruso (1793-1856)

“No existe rama de la matemática,incluso la abstracta, que no pueda seraplicada a un fenómeno del mundo real”


El mundo y los númerosFascículo

Números I V

Fotografía: Fabián Michelangelli



Im p o r ta n c ia d e la m a te m á t ic a

Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 11 - El mundo y losNÚMEROS 4

¿A qué se debe hoy en día la importancia de la matemáticaen la ciencia, la tecnología y otros sistemas?

Destacamos tres aspectos:• Comunicación.• Predicción.• Razonamiento.

Es un medio efectivo para lapredicción . Esto se logra a través de los modelos matemáticos o "matematización"de situaciones reales, lo cual permite explicar el comportamiento de esas situaciones y predecir, con ciertaaproximación, cuestiones desconocidas.

Por ejemplo, si tenemos los siguientes datos de los censos de población de Venezuela.

Es un medio para lacomunicación científica y tecnológica que suministra un lenguaje claro y conciso.

Un gráfico Una fórmula Un enunciado

v=πhr2La función P=f (h) que expresa lapresión atmosférica P en relación conla altitud h sobre el nivel del mar esdecreciente: a mayor altitud, lapresión del aire es menor.

¿Podremos encontrar alguna expre-sión matemática que responda aesos datos? (explicación).¿Será posible estimar la poblaciónen los años en los que no se realiza-ron censos, durante el período 1936-2001? (interpolación).¿Será posible estimar la poblacióndel año 2010, y en algunos añosfuturos, a partir de esos datos?(predicción).

Es un medio muy útil para aprender arazonar en forma lógica. Ésta ha sido tradicionalmente una de las consideracionesque se hacen para incluirla en el currículum escolar.

Para llevar a cabo esos cometidos la matemática ha evolucionado, ampliando teorías y creando otras. En los últimocuarenta años se han creado y desarrollado teorías que hoy en día ocupan atención primordial de matemáticos ycientíficos, tanto por su propio desarrollo como por las aplicaciones que tienen: los fractales, el caos, la programacióla borrosidad, las ondículas, la criptografía, son nuevos desarrollos de la matemática.

En este fascículo mostramos la utilización de algunos contenidos matemáticos y su aplicación en otras áreas delconocimiento.

B o

l í v a r e s

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

214.792

208.702

215.429

222.371

225.061

224.915

(Variación del precio de la canasta alimentaria, año 2001)

AÑO POBLACIÓN1936 3 364 3471941 3 850 7711950 5 043 8381961 7 523 9991971 10 721 5221981 14 516 7351990 18 105 2652001 23 542 649

5

1936 50 61 71 81 1990

10

15

41

Millones

Años

2001

20



Medio litro deagua, un tercio delitro de leche, trescuartos de kilo de

azúcar. Lo entiendoporque he estudiadomatemática.

Necesitamosmatemática para

comprar, vender, hacercheques, cobrar en un

banco, llevar lascuentas.


L a m a te m á tic a“La música es el placer queexperimentan los humanos al contarsin estar conscientes de estarcontando”

Gottfried LeibnizFilósofo y matemático alemán(1646-1716)

De la época de Kepler a la de New-ton y de la de Newton a Hartley todaslas cosas de la naturaleza, los inge-niosos misterios de la vida y laorganización y aun el intelecto y lascosas morales se hacen aparecerdentro del círculo mágico de laformulación matemática

Samuel Taylor ColeridgeEscritor y pensador británico (1772-1834)

Todos sabemos lo quees bailar y oír música, ytodos podemos bailar,conocer ciertos pasos yciertos acordes demúsica, e igualmentetodos sabemos algo dematemática y todossomos capaces deentenderla y asimilarlacon práctica y dedicacióncomo las bailarinas deballet.

Utilicemos lamatemática para

contar 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 y 10. Diez dedos

tenemos en nuestrasdos manos.

Québueno que

aprendí matemáticaque es tan necesaria

para diseñar y construircasas y edificios.

Lamatemática es

una herramientafundamental en el

desarrollo de la cienciay la tecnología.

Elnúmero π

expresa la razónentre la longitud de la

circunferencia y sudiámetro.




L o s n ú m e ro s

El año 1492 no sólo fue prometedor para Cristóbal Colón sino que también lo fue para la comadecimal. En su libroCompendio del Ábaco , el cual trataba del uso práctico y comercial de la aritmética,Francisco Pellos usó un punto para ilustrar la división entre 10 y así introdujo una de las primerasapariciones de la coma decimal. Su aparición oficial en la matemática fue por el año 1600 en lostrabajos de Pitiscus, Napier, Stevin, Rudolff y Briggs.

Carlos MendozaArtista plástico caraqueño (1953- )

Triáng ulo

Para contar y enumerar utilizamos losnúmeros naturales. Algunos númerosnaturales son: 0, 1, 23, 453... Losnúmeros naturales tienen primerelemento, el 0, pero no tienen un últimoelemento, es decir, uno mayor quetodos los demás.

Humm... “Menos cinco” y está bajando. Losnúmeros enteros negativos como que notienen un elemento que sea el menor de todos.

¡Claro que es importante el cero!Piensa: ¿Cómo se escribiría elnúmero dos mil tres sin el cero?

La unión de los números naturales y los enteros negativos es el conjunto de losnúmeros enteros .Observa en la recta numérica la representación de los números enteros y visualiza que entre dos números enterosconsecutivos no existe otro número entero:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7Enteros negativos Enteros positivos

En mi trabajo utilizomuchas fracciones:llaves de media, tuberíasde tres cuartos, motoresde una y media.Grabado de la llegada de Colóna la isla de Guanahaní

Los números racionales se expresan como larazón de dos números enteros cuyo denominadores diferente de 0. Las fracciones representan alos números racionales. Entre dos númerosracionales existen infinitos números racionales.Si consideras dos numeros racionales a y b, a+bestá entre ellos.

Los números irracionales son números que no pueden serexpresados como razón de dos números enteros.Desde que se conoce la expresión a2 + b2 = c2, que relacionalas longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, sesabe de la existencia de números como√ 2, √ 3, √ 5. Estosson ejemplos de números irracionales.

La unión de los números racionales y de los números irracionales es el conjunto de los númeroreales. Cuando se representan los números enteros o los números racionales en la recta numérica,sobran muchísimos puntos. Cuando se representan los números reales no sobran puntos: a cadanúmero le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número real.

2



N ú m e ro s y o p e ra c io n e s

Fundación POLAR • M a t e m á tic a p a r a t o d o s• Fascículo 11 - El mundo y losNÚMEROS 4

Propiedades de las operaciones

InteresanteLos números

primos son losbloques de

construcción de losnúmeros

compuestos.Observa tres

árboles de factoresdel número 30.

Aunque las ramas de los tres árboles de factores sondiferentes, los números primos en la fila inferior sonlos mismos, sin importar el orden en que aparecen.En cada árbol, el producto de 2, 3 y 5 en cualquierorden es 30. Esto sugirió a Euclides una propiedadmuy importante de los números y la incluyó en suobra Los elementos en el año 320 a.C.“Todo número compuesto puede ser expresado comoel producto de números primos en exactamente unaforma, sin importar el orden de los factores”.

30

5 6

2 35

30

3 10

2 5330

2 15

3 52

..

. . ..

. ..

Con números enteros esdiferente: se puedensumar, restar o muItiplicardos enteros y se obtieneun entero.

-4 x 3 205 - 374-713 + 250

Pero, cuando se dividendos números enteros nosiempre se obtiene unnúmero entero.

- 5 : 6 9 : 480 : 132

Cuando se suman o semultiplican dos númerosnaturales se obtiene otro

número natural.

Pero, cuando se restan ose dividen dos númerosnaturales no siempre se

obtiene un número natural.1 + 3 107 x 23

71 + 121 - 3 107 ÷ 23

71 - 112

Los números racionales y los números reales admitenlas cuatro operaciones: la suma, la diferencia, el productoo el cociente de dos números racionales o reales es unnúmero racional o real, respectivamente. Bueno, siempreque no se divida entre cero.

0,333 : 2 √ 4 - 3278 x 5,83

Todo número real no nulotiene un número inversoque también es real.

3 tiene a -3; -7 tiene a 7√ 3 tiene a -√ 3

Todo número racional tieneun número opuesto quetambién es racional.

3 tiene a -3

tiene a -

Todo número entero tieneun número opuesto quetambién es entero.

3 tiene a -3-5 tiene a 5

Pero ningún númeronatural tiene opuesto.

si x es natural-x no es natural.

2 es naturalpero -2 no lo es.

4 tiene a .

tiene a 2√3 tiene a .

Todo número real tiene unnúmero opuesto quetambién es real.

Todo número racional nonulo tiene un númeroinverso que también esracional.

tiene a .- tiene a -n

Ningún número entero,excepto 1 y -1 , tieneinverso.

Ningún número natural,excepto1, tiene inverso: six es natural y diferente de1, entonces no es natural.2 es natural pero no loes.

34

34

12

34

43

1n

1x

12

14

13

N ú m e r o s R e a l e

s

N ú m e r o s R a c i o

n a l e s N ú m e r o s

E n t e

r o

s

N

ú

m

er o s N

a t u

r

a

l

e s

1 2 3 . . . 2 3 . .

1 0 3 . .

- 4 - 3 - 2

- 1

- 2 5

4 7

1 2 0 , 3 3 3

0 , 6 3

4 -

- 0 , 2 5

3 7 2 0 , 5 1 5 1 1 5 1 1 1 . . . .

4

π

5

3

3

0

. . . .



Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• El mundo y losNÚMEROS 4

N ú m e ro s n a tu r a le s e s p e c ia le s

Separemos el conjunto de los números enteros no negativos en dos conjuntos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ....

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, .... 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,....Números pares: Tienen la forma2n ,Siempre quen sea un número entero nonegativo. Ejemplo: 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 4.....

Números impares: Tienen la forma2n+1 ,siempre que n sea un número entero nonegativo. Ejemplo: 9 = 2 x 4 + 1....

Los números naturales pueden representarse geométricamente de muchas formas. Observa una representación de

ellos con cuadrados:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Números primos y compuestosObserva una representación rectangular de algunos números:

Observa que números como 2, 3, 5 y 7 con esta representación rectangular tiene una sola forma: horizontal o verticEstos números reciben el nombre de números primos.Un número natural, mayor que 1, que admite exactamente dos factores se denomina número primo. Un número ecompuesto si admite más de dos factores. El número 1 no es ni primo ni compuesto.

2 3 4 5 6 7 8 9



167Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• El mundo y losNÚMEROS 4

M a te m á t ic a y p e tró leEl petróleo es para Venezuela su principal producto de exportación y fuentede ingreso de divisas. En los periódicos aparecen frecuentemente aspectossobre el tema petrolero en los cuales está presente la matemática.

Promedio al cierre US$ porde la semana (2001) barril

30 marzo 21,77

6 abril 21,19

20 abril 21,99

27 abril 21,32

Lo numérico

A L G U N O S A S P

E C T O

S M A T

E M

Á T I C O S

R E L A C I O N

A D O S C O N E L

P E T R

Ó L E

O

Gráficas y funciones

20

24

P r e c

i o e n

d ó l a r e s

30 marzo 6 abril 20 abril 27 abril

21,77

21,19

21,9921,32

Medidas

Un barril (unidadde medida del

petróleo)Los grados API

Lo probabilístico

Estimar reservas

En Venezuela el comienzo de la explotación del petróleo fue hacia 1878 con la CompañíNacional Minera Petrolia, en el estado Táchira, la que produjo inicialmente 15 barrilediarios para consumo doméstico. Esta iniciativa duró poco. La primera explotación aescala comercial se llevó a cabo en 1914 en el pozo Zumaque Nº 1, en el estado Zulia.

Lo geométrico



168Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• El mundo y losNÚMEROS 4

M a te m á t ic a y p e tró le oMedidas

InteresanteOtra medida utilizada en la industria petrolera es elíndice de octanos u octanaje . Cuandovas a una estación de servicios, observas en la bomba de suministro de gasolina que haynúmeros 91 y 95, lo cual indica el octanaje de la gasolina. Eloctanaje es una medida decalidad, indicativa del poder antidetonante de la gasolina, y se refiere a comparar una determinadgasolina con una mezcla de dos hidrocarburos: el heptano (alta tendencia al pistoneo) y el isooctano (baja tendencia al pistoneo), a los que se asignan respectivamente, los valores 0 y 100Si una gasolina tiene 95% de iso-octano, se dice que su octanaje o índice de octanos es 95.Las gasolinas para los motores de los aviones tienen un octanaje que varía desde 100 hasta130.Tradicionalmente se ha agregado a la gasolina el tetraetilo de plomo para aumentar el octanajepero éste es un producto contaminante por lo que se expende la gasolina sin plomo o gasolina“ecológica”.

Cuando se inició la industria petrolera, hacia 1859, se utilizaban barriles de madera dedistintos tamaños usados originalmente para envasar cerveza, vinos y otros líquidos. Enbarriles también se transportaba el petróleo desde los sitios de su explotación, puesto queen esa época no había oleoducto; ni supertanqueros. Esto dio origen a una unidad demedición para el petróleo: el barril.

Un barril es una medida de capacidad, de símbolo bbl, utilizada especialmente para losproductos petroleros, y es equivalente a 42 galones, o sea, aproximadamente 159 l.

Los grados API (American Petroleum lnstitute) se refieren a una escala empírica para medirel peso específico de los crudos de petróleo. En la página web de PDVSA encontramos losiguiente para el petróleo venezolano a 60º F (15,555 ºC≈ 15,6 ºC):

Lo geométricoLas torres de petróleo (torres de perforación o cabrías) tienen forma depirámide cuadrangular y en su diseño un elemento estructural es eltriángulo .Esto se debe a que el triángulo posee una característica especial, que engeneral otra forma no la tiene, es estable en el sentido de que si a unaestructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices,entonces la forma triangular permanece.Una pieza vital del taladro, que va en la torre de perforación, es el cuadranteque tiene sección cuadrada y encaja en la mesa rotatoria convirtiendo elmovimiento físico derotación en uno de traslación de la tubería de perforación,parecido a los motores de dos tiempos, en los que se pasa de unmovimientode traslación a uno de rotación .

Reto: ¿A cuánto equivale, en el Sistema Internacional SI, un galón y un barril? Escríbelos en m3 y dm3

Crudos Gravedad API

Livianos Desde 30 hasta 41,3Medianos Desde 22,1 hasta 24,1Pesados Desde l0,2 hasta 14,5

Etta CorradiDibujante italiana (1924- )Venezuela-Crisis Fortaleza



Lo numérico y lo gráficoMuchos son los datos que permanentemente se recopilanen relación con el petróleo, entre otros:* Variación diaria del precio del barril de petróleo (en

US$) y promedios semanales, mensuales y anuales.* Volumen de producción nacional, de la OPEP

(Organización de Países Exportadores de Petróleo)y mundial.

* Estimación de reservas nacionales y de otros países.* Consumo de derivados del petróleo, por ejemplo,

gasolina, diesel, kerosén.


En lo numérico, algunos de los aspectos a considerar son:

• COCIENTES DE PROPORCIONALIDAD.Dividir cada precio por el siguiente para determinar en cuánto ha aumentadoo bajado el precio. Por ejemplo, 20,33 : 15,92 es aproximadamente 1,28; locual indica que el precio para el año 1990 fue, aproximadamente, una vez ycuarto del precio del año 1991. Esto puedes hacerlo con todos los datos yconstruir una tabla de cocientes de proporcionalidad.Otra tabla se puede elaborar al dividir el precio de cada año por el del año anterior(los inversos de la tabla anterior).

• VARIACIONES NETAS AL PASAR DE UN AÑO AL SIGUIENTE.

Por ejemplo, 15,92 - 20,33 = -4,41 es la variación neta del período 1990-91. El signonegativo indica que hubo un retroceso (decremento) en el precio.Esto puede expresarse en porcentaje, ya que 4,41 es el 21,69% de 20,33; lo queda la variación (pérdida) neta, en porcentaje, al pasar del año 1990 al año 1991.Aquí también puedes construir una tabla de porcentajes.

Lo gráfico. Algunos de éstos son:

GRÁFICO DE BARRAS VERTICALES

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

10

20

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 200010

30

20

25,91

16,04

10,57

16,32

18,39

14,84

13,2313,34

13,3414,91

20,33

15,92

GRÁFICO DE LÍNEAS

Estos gráficos se pueden “leer” y de ellos obtener conclusiones. Por ejemplo, en el gráfico de la derecha observamoclaramente “caídas bruscas” del precio en 1990-1991, 1997-1998 (se dice que la gráfica tiene pendiente negativabastante fuerte) y “aumentos considerables” en 1998-1999 y 1999-2000 (se dice que la gráfica tiene pendientepositiva bastante fuerte). Observa la fuerte inclinación, respecto a la horizontal, de esos segmentos. Estas conclusionetambién se deducen de las tablas de porcentajes. ¿Cómo interpretas el gráfico de la izquierda?

¿Qué hacer con todos estos datos?

Precio promedio anual del barril(cesta venezolana

Año US$1990 20,331991 15,921992 14,911993 13,341994 13,231995 14,841996 18,391997 16,321998 10,571999 16,042000 25,91Fuente: Venec on om ía , mayo 2001

E l m u n d o y l o s n ú m e r o sFascículoM a t e m á t i c a p a r a t o d o s

Años

P r e c

i o p r o m

e d i o d e

l b a r r i l

( U S $ )



El total de crudo en reservas de Venezuela es, aproximadamente,221 millardos de barriles (221 x 109 bbl), de los que 76 millardosson reservas probadas y de éstos el 69% son de crudos pesadosy extrapesados. (Página Web de PDVSA, actualizada hasta noviembredel año 2000.)

Utilizando el cálculo de probabilidades se estiman lasreservas que hay de petróleo en el subsuelo, para lo cualse analiza estadísticamente la informacióngeológica y de ingeniería que se recogemediante instrumentos de medición.Hay las reservas probadas , lasprobables y las posibles . Estadenominación depende del gradode certidumbre que se tengasobre las estimaciones que sehacen. Así, las reservas posiblestienen un menor grado de certidumbreque las probables y éstas a su vezmenos que las probadas, clasificación esta últimadonde hay cifras "ciertas y precisas" obtenidas de losyacimientos detectados, con un margen de error muypequeño.


M a te m á t ic a y p e tró le o

En este caso no tenemos una variación de producciónen relación con el tiempo, sino una sola variable cuales los millones de barriles producidos que expresamosen porcentajes.Un gráfico adecuado para expresar esta situación esel de sectores circulares, denominado popularmentegráfico de torta.

Ahora presentamos otro tipo de gráfico apropiado para los datos que daremos.Considera los niveles de producción de los países pertenecientes a la OPEP para el mes deabril de 2001 (Fuente:El Nacional , 04/06/01)

País Millones Porcentajesde barriles sobre el total

Argelia 800 3,23Indonesia 1 214 4,90Irán 3 678 14,86Kuwait 2 000 8,08Libia 1 365 5,51Nigeria 2 063 8,33Qatar 674 2,72Arabia Saudita 7 909 31,95Emiratos Árabes Unidos 2 203 8,90Venezuela 2 851 11,52TOTAL OPEP 24 757 100,00

No se incluyen las estadísticas de Irak debido a las sancionesimpuestas por la ONU.

Lo probabilístico

Argelia3,23% Indonesia

4,90% Irán14,86%

Libia5,51%

Kuwait8,08%

Nigeria8,33%Qatar

2,72%Arabia Saudita

31,95%

EmiratosÁrabesUnidos8,90%

Venezuela11,52%

Cuencas Petrolíferas de Venezuela

Cuenca deBarinas yApure

Cuenca Oriental yFaja Petrolífera delOrinoco

Cuenca deCarúpano

Cuenca TuyCariaco

Cuenca deFalcón

Cuenca deMaracaibo




La Cartografía se ocupa de la confección y del levantamientode los mapas. En relación con los mapas surgen variaspreguntas.¿Qué es un mapa?¿Cómo se elaboran los mapas?¿Qué información se obtiene de los mapas?¿Qué vinculación tiene lamatemática con

los mapas?

M a te m á tic a y m a p a s

Gerhard MercatorMatemático y geógrafo flamenco (1512-1594)

Mercator fue el autor, en 1569, de un mapamundi para uso delos navegantes. Una de las proyecciones utilizadas paraelaborar mapas recibe el nombre de Mercator en honor a estecientífico.

Algunos temas que se estudian referidos a lasrelaciones de la matemática con los mapas son:• Las proyecciones (para elaborar mapas).• Las coordenadas geográficas (latitud y longitud).• Los husos horarios.• Mediciones sobre aspectos terrestres.• Las escalas.




M a te m á tic a y m a p a sMartin Waldssemüller

Cosmógrafo alemán (¿1475-1521?)Primer mapa con el nombre de América

Las proyecciones representan un objeto o figura del espacio en un plano. Esdecir, lo tridimensional se representa sobre una superficie plana que esbidimensional.

En una proyección central de una figura del espacio sobre un plano a partir deun punto C, llamado foco o centro de la proyeccion, se determinan los puntosproyectados P', en el plano, uniendo C con los puntos P de la figura.

Dos de las proyecciones utilizadas para elaborarmapas son la proyección gnomónica (gnómica)y la proyección estereográfica . La imagen plana

del globo terrestre o de una parte de él, siempretiene algunas deformaciones (distorsiones) conlas distancias, ángulos y áreas.

Plano sobre el que se proyecta

Meridianos y paralelos

Foco de proyección

C

C’

C

C’

El centro C deproyección es elcentro de la Tierra

en la proyeccióngnomónica.

El centro C deproyección es unpolo de la Tierra enla proyecciónestereográfica.

Estas circunferencias son lasproyecciones de los paralelos

Estos segmentos (radios) sonlas proyecciones de los

meridianos

Proyección estereográfica(Es bastante utilizada para hacermapas de las regiones polares)Proyección del EcuadorE

E’

N

E

S

InteresanteAdemás demapas se habla de cartas y planos . Esto no es más que una clasificación demapas atendiendo a la superficie representada. Lascartas o mapas corográficos , sonmapas que abarcan extensiones no tan grandes como las de un estado o distrito. Los planosson aquellos mapas que representan extensiones pequeñas de las superficies de la Tierra,como las de una ciudad o un municipio: un plano de Caracas, un plano del municipio Baruta.

P

P’

H

H’

C



Los paralelos en la superficieesférica se transforman en paralelos

en la superficie cilíndrica.Los meridianos en la superficie esférica se

transforman en segmentos sobre la superficiecilíndrica.Al desenrollar la superficie cilíndrica sobre un plano,queda un reticulado con rectas perpendiculares.

173Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 11 - El mundo y losNÚMEROS 4

Juan de la CosaNavegante y cartógrafo español (?-1510)Mapa del continente americano, año 1500

La proyección de Mercator se hace de otramanera. Es un tipo deproyección cilíndrica :pensemos en enrollar alrededor del globo unasuperficie cilíndrica y luego, al desenrollarlaresulta un cuadriculado en donde losparalelosy losmeridianos están representados por rectasperpendiculares entre sí. Debido a las distorsionesse hacen ciertas modificaciones. La denominadaproyección de Mercator Transversal es,actualmente, una de las más utilizadas en elmundo y se refiere a cilindros circunscritos a laesfera terrestre en donde el eje del cilindro noes coaxial con el eje del planeta.

0º-30º-60º

60º30º

0º

-30º

60º

30º

Proyección de Mercator(Esta proyección es muyutilizada para la navegaciónmarítima y aérea)

0.93 cm = 200 kmEscala gráfica

Cualquier información que se transmite en un mapa requierede una escala adecuada. En los casos de mapas donde senecesita medir distancias, como los que incluyen las víasde comunicación, hay dos tipos de escalas que se utilizan:la escala numérica y la escala gráfica .

En la escala gráfica de este mapa se tiene que AB = 0,93cm, que equivale a 200 km de longitud real en línea recta.Por ejemplo, de Caracas hasta Santiago de Cuba medimos6,56 cm, lo cual dice que la distancia real entre esas dosciudades se resuelve de la siguiente forma:

0,93 cm 200 km6,56 cm X

Por lo que X = = 1 410,75 km

Reto: Determina la distancia entre Caracas y San Juan (Puerto Rico) utilizando la escala gráfica en el mapa anterior.

Hay una gran riqueza matemática en los mapas y lo importantees explorarla, estudiarla y aplicarla.

Reto:Las ciudades de Filadelfia (Estados Unidos) y Lima (Perú) están situadas en el mismo meridiano y sus latitudes sonrespectivamente, 40° Norte y 14° Sur. Sabiendo que los meridianos miden 39 920,70 km (de polo a polo). ¿Cuál es ladistancia entre esas dos ciudades medida a lo largo de ese meridiano común?

0,93(6,56 x 200)




En ocasiones es provechoso desarrollar actividades de matemática que puedan integrardiversas áreas del conocimiento, tanto matemáticos como de otros campos, así comosituaciones de la vida cotidiana de cada quien.A continuación se presentan situaciones basadas en hechos muy conectados con larealidad tanto de estudiantes como de maestros, que permiten plantear actividades deaula en las cuales esta integración es posible.

Muchas más situaciones como éstas puedes encontrar en el sitio de Internethttp://www.figurethis.org.

¿Qué vaso de cotufas debería comprar, si ambos cuestan lomismo?Esta es una tienda en la que tienen una manera muy singular de vender las cotufas.En lugar de tener sus envases, al cliente le dan una hoja de papel tamaño carta y le dicenque haga el envase cilíndrico de la forma que prefiera.La tienda provee las tapas, sin importar la forma que el cliente genere con el papel.

¿Cuál de las formas será la que carga mayor cantidad de cotufas?1. MaterialesPara el docente• Láminas de rotafolio.• Tiza y pizarrón como recurso alternativo

si no se puede contar con un rotafolio.• Envases cilíndricos con tapas, ya hechos

a partir de hojas de papel.

Para el estudiante• Hojas de papel tamaño carta.• Goma de pegar.• Granos o piedritas.• Lápiz.• Cuaderno cuadriculado para resolver

los ejercicios.

22 cm

2 8 c m

2. OrganizaciónOrganice a los estudiantes en grupos de tres o cuatro.

3. EstimaciónExaminen a simple vista ¿cuál parece tener la mayor capacidad?Haga una lista de las razones que ellos expresan para justificar su escogencia.Llévelos a que se den cuenta que no es fácil si no se tienen los envases.Es posible que los niños ofrezcan como razones para llegar a una conclusión que el primer envase es más anchopero menos alto que el segundo.El segundo envase es más alto que el primero, pero menos ancho que éste.

4. Verificación con material concretoSi cuenta con las hojas de papel construya dos envases como los mostrados y provéalos con una base.Llene uno de ellos con arena, cotufas o granos. Vierta el contenido en el otro. Observe cuál es el que tiene mayorcapacidad.Si tienen los envases, abra unadiscusión cualitativa e informaI en la cual los estudiantes expongan las razones porlas cuales la capacidad es distinta entre ellos.LIévelos a concluir que lo que determina cuál envase carga más, es el volumen. A mayor volumen, mayor cantidad dcotufas.

5. Cálculo de volúmenesProponga una actividad en la que se calculen los volúmenes de los dos cilindros.Para los cilindros, tenemos entonces que voIumen es el producto del área del círculo de la base multiplicado por laaltura.La fórmula usual para calcular el área del círculo esπxR2.Sin embargo, no se tiene la longitud del radio de los círculos de ninguno de los envases.Lleve a los estudiantes a darse cuenta de que la longitud de la circunferencia es la longitud del lado que estamoshaciendo curvo.Si se recuerda que la longitud del diámetro multiplicado porπ es igual a la longitud L de la circunferencia, esto permitecalcular los radios mediante la fórmula R = L : 2π.El volumen de los cilindros entonces es igual a V=πR2 x H.Haga que noten que los números obtenidos son consistentes con las conclusiones que obtuvieron mediante la verificaciódirecta con los envases, en la segunda actividad.




R e s u l t a d o s



Te n g o q u e p e n s a r lEl alambreUn pedazo de alambre puede ser doblado en partes igualescomo se muestra.Si la longitud de cada segmento es un número entero decentímetros, ¿cuál es la mínima longitud posible delalambre?

La reuniónSeis personas están sentadas alrededor de una mesarectangular, tal como se muestra en la figura. ¿Quién esel anfitrión?, si se sabe que:• Las seis personas son tres mujeres: Luisa, María y

Dora; y tres hombres: Eduardo, José y Luis.• Luisa está sentada enfrente de María o Eduardo.• José está sentado inmediatamente a la izquierda de

Dora.

• Luis está sentado inmediatamente a la izquierda deuna mujer e inmediatamente a la derecha de otra mujer.• El anfitrión que ofrece la comida es la única persona

que está sentada enfrente de un hombre y a la izquierdade una mujer.¿Quién es el anfitrión?

Los dadosSabiendo que la suma de los números que aparecen en lascaras opuestas de un dado es constante. ¿Cuánto vale lasuma de los números contenidos en las tres caras posterioresy las tres laterales que no se ven en el dibujo?

BibliografíaArocha Reyes, José Luis (1991).La escala en el map a y en la aerofo to . Ediciones de la Biblioteca de la UniversidadCentral de Venezuela. Caracas, Venezuela.Baena R., Julián y otros (1996).La esfera . Colección Educación Matemática en Secundaria. Editorial Síntesis,Madrid, España.Martínez, Aníbal R. (2000).Diccio nario del petróleo venezolano . Colección Libros de El Nacional. Caracas,Venezuela.Montiel Ortega, Leonardo (1999).Guía para est ud iantes so bre p etróleo y g as . Editorial Arte. Caracas, Venezuela.NCTM -National Council of Teachers Mathematics- (2000).Principles and Stand ars for Schoo l Mathematics . EE.UU.

La mínima longitud del alambre es 6 cm.La anfitriona es Dora.La suma de las caras posteriores no visibles es 1+4+5+6+4+2 = 22.



José Rafael León R.

L a m a te m á tic a y e l P re m iEl doctor José R. León es un reconocidoespecialista en las áreas de Estadística,

Teoría de Probabilidades y ProcesosAleatorios. Es profesor titular de la

Escuela de Matemáticas de la UniversidadCentral de Venezuela y actualmente esCoordinador de Estudios de Postgradode la UCV y Representante Profesoral

ante el Consejo Universitario. Ha sidoprofesor invitado en diversas ocasionesen universidades francesas, españolas y

de América Latina.Es miembro del Sistema de Promoción

al Investigador en su máximo nivel (NivelIV). Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza

Fleury” de Fundación Polar en el año1997.


Uno de los temas que interesa actualmente al Dr. León es la utilización de procesosaleatorios para realizar modelos de la superficie del mar. La Teoría de Procesos Aleatorioes un área que ha tenido un impresionante desarrollo en los últimos 50 años y se ocupadel estudio de funciones que dependen del azar, por ejemplo, la evolución de cantidadesque varían en el tiempo pero que lo hacen de manera aleatoria. Un caso interesante esel de la superficie del mar. Si pensamos en una boya fija en un lugar de la superficiemarina, su altura varía a lo largo del tiempo y no podemos predecir con exactitud la altude la boya en un instante dado del futuro. La evolución de la altura de la boya en eltiempo es un ejemplo de una función que depende del azar.

Más complicado, pero también más interesante, es considerar una parte de la superficiedel mar en lugar de considerar un punto (que corresponde a una boya), es decir, consideraruna superficie aleatoria. Esto permite estudiar la evolución de las olas en el tiempo. Elestudio de modelos teóricos de superficies aleatorias permite analizar diversas propiedadesde las olas y su evolución, que son de interés, por ejemplo, en el diseño de barcos yplataformas marinas.

Usando registros tomados con arreglos de boyas o por satélite, es posible medir la energíadel mar en distintas direcciones a través de lo que se conoce como el espectro direccional

de la superficie. Teniendo en cuenta que esta es una de las informaciones disponiblesde manera rutinaria por los observatorios marinos, es de especial interés poder deducir,a partir de estos espectros de energía, propiedades de la superficie correspondiente,para lo cual es fundamental el estudio de los modelos teóricos de la superficie del mar.




“Una inteligencia que por un instante puedacomprender todas las fuerzas de que estáanimada la naturaleza y ... abrazarla enla misma fórmula a los movimientos delos más grandes cuerpos del universo ydel átomo más ligero; nada sería inciertopara ella y el devenir, como el pasado,estaría presente ante sus ojos.”

Pierre Simon Laplacematemático francés (1749-1827)

Ochoa persigue el Proyecto Genoma hasta susúltimas consecuencias, de allí toma fórmulas ycromosomas para dejarnos pensativos ypreocupados ante la única verdad posible: somosapenas una milésima parte, una serie de códigosque se repiten en una gran matriz que todo locomanda.

Zuleiva Vivas

Nela Ochoaartista venezolanaTheobroma cacao

M a t e m á t i c a p a r a t o d o sEl m undo del procesamiento ded a t o s

Fascículo



D e s c u b r ie n d o e l m u n d o d e la p

Azar, palabra de origen árabe ( al-zahr , dados para jugar), que en latín se traduce

por casus , que significa casualidad. También se planteó otro tipo de causa, la suerteo fortuna en griego que fue traducido al latín por fortuna. En francés se designatambién por chance , palabra que nosotros utilizamos con mucha frecuencia. Ademássignifica oportunidad, posibilidad y probabilidad.

Tengo angina.¿Será ocasionadapor un virus o un

estreptococo?

¿Cuántos pecessacaré hoy?

En todas estas situaciones hay un elemento común,

la presencia de la incertidumbre. La noción de azar

se presenta cuando no podemos predecir con

certeza el resultado de un determinado

acontecimiento, lo que conduce al estudio de la

probabilidad.

Quiero llegarpronto a casa.

¿Cuánto tiempodurará esta lluvia?

178Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 12 - El mundo del procesamiento de DATOS

INTERESANTEOtra situación azarosa se exhibe muy bien en el siguiente pasaje de la epopeyasánscrita Mahabharata (s. XV o s. XVI a.C.):“Se cuenta que una vez un rey se había perdido en la jungla, y fue necesariopasarse la noche en un árbol. Al día siguiente, le dijo a un acompañante queel total de hojas del árbol eran tantas. Al preguntársele: ¿Cómo Ud. ha contadolas hojas?, el respondió, no las conté todas, conté las hojas de unas pocasramas del árbol y yo conozco la ciencia de los dados”.Este pasaje muestra que para aquella época ya se conocía algo de la nociónde “azar”, o de estimación o de razonamiento inductivo.



La idea de probabilidad y azar dieron origen al cálculo de probabilidades como disciplina de carácter matemático.Esto permitió dar un valor numérico a la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia de un acontecimiento o resultado,

el cual se mide por la relación entre el número de casos favorables para un acontecimiento cualquiera (evento) yel número posible de acontecimientos, admitiendo que todos los casos son igualmente probables.

Por ejemplo, considere una bolsa que contiene cuatro pelotas rojas y tres negras.Calcular la probabilidad del evento sacar una pelota roja que denotamos por A:

Probabilidad del evento A es pues hay 4 casos favorables (cantidad de pelotasrojas) y siete casos posibles (cantidad total depelotas). Luego la probabilidad del evento A (sacarla pelota roja) es 0,57. Es decir, el 57%aproximadamente.

Si la cantidad de casos favorables coincide con la cantidad de casos posibles, entoncesla probabilidad es igual a 1. Por ejemplo, considere un bolsa que contiene siete pelotasrojas, calcular la probabilidad del evento sacar una pelota roja que denotamos B:Probabilidad del evento B es pues hay 7 casos favorables (cantidad de pelotas

rojas) y siete casos posibles (cantidad total depelotas). Luego la probabilidad del evento B (sacarla pelota roja) es 1, es decir, el 100% o certeza.


En la Antigüedad se denominaba probable a lo que según las apariencias puede ser declarado verdadero o cierto.Por lo que la probabilidad posee grados según su acercamiento o alejamiento de la certidumbre (certeza).

Subjetiva : un juicio probable

Objetiva: un acontecimiento probable

PROBABILIDAD

Pierre Simon Laplace propuso aplicar el cálculo de probabilidades a todos los problemas de las

ciencias naturales y de la sociedad, debido a que nuestros conocimientos son incompletos en

muchos casos (objetos y eventos).

47

77

INTERESANTESi consideramos una lotería de 25 números y un cartón para jugar con 15 deesos números, y además ningún cartón se repite, es decir, hay un solo ganadordel premio mayor, entonces la probabilidad de ganar es 0,0000003, resultadoobtenido al dividir el valor 1 (cartón ganador) entre 3 268 760 (número decartones posibles). Este número 3 268 760, resulta de calcular las combinacionessin repetición de 25 números tomados de 15 en 15.

Thomas BayesEstadístico y sacerdote

inglés (1702-1761)

“La independencia de dos eventos se cumple si la probabilidadde uno de ellos no se modifica por la ocurrencia o no ocurrencia

del otro”

1 2 4 5

7 8 9 11

12 14 15 20

21 22 24

L o t e r í a



Ese bateador es el mejorde la Liga porque haalcanzado en los dos

últimos años promediospor encima de 400.


Stephen K. CampbellUniversidad de Denver

“Un día el buen razonamiento estadístico será tan necesario para ejerceruna ciudadanía eficiente como la capacidad de leer y escribir”.

D e s c u b r ie n d o e l m u n d o d e la

Todas estas situaciones son hechos estudiados por laEstadística.Posiblemente la palabra “estadística” sea de origenitaliano, cuando las ciudades italianas inventaron lamoderna concepción del Estado, pero fue GottfriedAchenwall de Gotinga quien la definió comocompilación de hechos “notables acerca delEstado”.

La Estadística se ocupa de describir, inferir, estimar,contrastar y generar conocimientos sobre grupos denaturaleza diversa (población o universo). Se afirmaque la estadística es el estudio de la incertidumbre ycapacita para enfrentar el azar.

Censo es la enumeración completa de un conjunto de personas o cosas. Ejemplo: Censode Población y Viviendas; Censo de Industrias.

Muestra es una parte o subconjunto de un conjunto de elementos. Por ejemplo, las industriasdel aluminio.

En estadística se considera como Universo al conjunto de todas las unidades bajo estudioy como muestra a una parte representativa de ese Universo.

El promedio del número depersonas por grupo familiar, envarios países, es de 5 personas.

Se estima que en elpróximo año la

producción de arrozalcanzará niveles sin

precedentes.

La estatura mediadel venezolano es

1,60 metros.

Aumentaron 37% lasventas de Venezuelaa la Comunidad Andina

de Naciones.Fuente: El Nacional 21/07/02

INTERESANTE



INTERESANTE

Antes del siglo XVI Siglo XVI Siglo XVII Siglo XVIII Siglo XIX Siglo XX

Está asociada a lapráctica del conteo ymediciones, tal comolo practicaban losastrónomos persas ylos agrimensoresegipcios.Referencias de estose encuentran en laobra Los Estados deAristóteles.

Se considera laestadística como ladescripción de losEstados. Se utiliza lainformación de datosgeográficos yeconómicos paratomar decisiones deEstado.

Francesco GuardiPintor italiano (1712-1793)

Vista de Venecia

Adolph von MenzelPintor alemán (1815-1905)

Emilia en la puerta

En Alemania, Italia eInglaterra se conside-ra como la ciencia delEstado. En Franciasurge el cálculo deprobabilidades. EnInglaterra nace lacorriente de losaritméticos políticosy comienzan arealizarse los censoscon periodicidaddecenal.

Se mejoran losprocesos derecopilación de datos.Se amplían los usosestadísticos delconcepto deprobabilidad y sucálculo. JacoboBernoulli publica suobra Ars Conjectandi ,en la que formula laley de los grandesnúmeros.

Friedrich Gaussdesarrolla la “Teoríade errores” basadaen la curva normal.Se establecen ofici-nas de estadística enAlemania y otrospaíses. Simón D.Poisson generalizala ley de los grandesnúmeros.

Pieter Brueghel (el Viejo)Pintor flamenco (1527?-1569)

Los proverbios flamencos

Jan van der HeydenPintor holandés (1637-1712)

La iglesia de Veere

Anita PantinArtista venezolana (1949- )

www.anitapantin.com

El avancecomputacionalacelera el desarrollodel análisis de datospara afrontar elproblema con mues-tras de cualquiertamaño y múltiplesfactores. Laprobabilidad borrosaalcanza gran auge.

XVIII DinastíaEgipto (II milenio a.C.)

Escenas d e la vid a agrícola


L a e s ta d ís t ic a d e s c r ip t iv aLa realización de los censos originó la necesidad de mejorar los métodos de recolección y análisis dedatos, apoyándose en herramientas matemáticas y en el cálculo de probabilidades. Mediante el uso decuadros, tablas y gráficos se organizaron y redujeron datos. La Estadística Descriptiva se ocupa deorganizar, reducir los datos y calcular los principales descriptores estadísticos, tales como: las medidasde tendencia central, dispersión, asimetría y kurtosis.

Describir estadísticamente un fenómeno significa organizar y resumir los conjuntos de datos provenientesde muestras o estudios censales y para ello se dispone de cuadros, tablas y gráficos.

En toda medición u observación está presente la variabilidad, la cual indica la variación odispersión de los datos de una distribución con respecto a un valor que se considerarepresentativo de ellos. La variabilidad no se puede eliminar, pero sí reducir. Controlándoladomesticamos al azar y aprendemos a vivir bajo incertidumbre.

E s t a d í s t i c a e n e l t i




E s t a d ís t ic a d e s c r ip t iv aBenozzo Gozzoli

Pintor italiano (1420-1497)El cortejo de los Reyes Magos (detalle)

Cuadros estadísticosSon instrumentos mediante los cuales se agrupan en filas y columnas los datos numéricos.

Un cuadro estadístico debe contener como elementos básicos lo siguiente:Título: Debe contener todos los elementos que

permitan la identificación del fenómeno.Un buen título, responde a las preguntas¿qué?, ¿dónde?, ¿cómo? y ¿cuándo?

Encabezamiento: El encabezamiento de filas ycolumnas se refiere a la identificaciónde las categorías o clases que sepresentan en el cuadro.

Cuerpo: Constituido por las cifras que aparecenen líneas y columnas.

Notas de pie de página: Situadas en la parte

inferior del cuadro, presentan algunasnotas explicativas y detallan las fuentesde las cuales se obtuvo la información.

Nacimientos totales Defunciones totalesRegión Variación Región Variación

AÑO Capital (%) Capital (%)1990 107 793 - 21 816 -1991 105 748 -1,90 21 724 -0,421992 103 866 -1,78 23 023 5,981993 95 233 -8,31 22 448 -2,501994 93 202 -2,13 24 425 8,811995 92 893 -0,33 22 243 -8,931996 75 086 -19,17 22 246 0,011997 83 282 10,92 23 788 6,931998 82 781 -0,60 23 160 -2,64Fuente: Anuario de estadísticas demográficas.

EPADEM. Cálculos propios.

REGIÓN CAPITALNACIMIENTOS Y DEFUNCIONES, 1990-1998

Tabla estadísticaEs un cuadro donde los datos se organizan considerando losdistintos valores que puede tomar una variable y las vecesque un valor se repite (frecuencia).

Por ejemplo: Una junta de condominio investigó el número de personas que habitan porapartamento en un edificio, con los siguientes resultados:5-6-3-3-5-4-5-7-4-3-2-5-6-3-2-5-6-7-4-3-3-5-6-4-3-2-6-5-5-4

En este caso la variable es “Xi= Número de personas por apartamento”. Las frecuenciasserán las veces que se repite cada valor, por ejemplo, el valor 5 tiene frecuencia f=8. Losdatos se organizan en columnas.

Xi fi2 33 74 55 86 57 2∑ 30

TablaDistribución del número

de personas por apartamento

GráficoConstituyen una forma de representar los datos estadísticos y tiene como finalidad facilitar la observación visualde la información que se representa. Por ejemplo: histogramas, polígonos de frecuencia, diagramas de barra, etc...

En el gráfico se observala moda Mo (valor demayor frecuencia), esdecir, el dato que más serepite y la mediana Me(valor por encima delcual está el 50% de loscasos y por debajo el otro50%).

D i s t r i b u c i ó n

d e n o

t a s

20

10

0Mo Me

Nº de alumnos




E s ta d ís t ic a y v id a c o tid

En Venezuela existe la carrera de Estadística en la Facultad de Ciencias Económicas

y Sociales de la Universidad Central de Venezuela, en la Facultad de Economía de

la Universidad de Los Andes, en la Escuela de Hotelería y Turismo en el Núcleo

Nueva Esparta de la Universidad de Oriente. El Núcleo de Puerto Ordaz tiene

Tecnología Estadística y el título qu e se otorga es el de Tecnólogo en Estadístic a.

Muchas veces nos hemos encontrado con expresiones como las siguientes:

“La nota promedio del curso fue de 14 puntos”

“El promedio de la cesta petrolera venezolana alcanzó 26 dólares”

“La edad promedio de los niños venezolanos que inician el primer grado es de 7 años”

Pero ¿qué es el promedio?Se considera como promedio a un valor que pretende representar o resumir en un solo númerolas características más relevantes de un conjunto de datos. Así, si en cuatro fruterías el preciode un kilo de pimentón es Bs.1 000; Bs.1 080; Bs. 1 220; Bs. 1 200, el precio en promedio deun kilo de pimentón es:

1 000 + 1 080 + 1 220 + 1 200 4 5004 4

El precio en promedio del pimentón en este conjunto de fruterías es de Bs. 1 125.Los promedios son muy utilizados en diversas áreas, tales como educación (calificaciones),finanzas (cuentas), etc...

INTERESANTE:La expresión: "Si Juan se come un pollo y Pedro no come nada, en promedio, cada uno se comió medio pollo", esuna forma humorística de visualizar uno de los posibles promedios de una serie de valores. El ejemplo se refiereal promedio aritmético o media aritmética de una serie que se calcula sumando sus valores y dividiendo entre elnúmero total de ellos. En este caso, el cálculo es bien sencillo, ya que si damos el valor numérico uno (1) al polloque se comió Juan y cero (0) al que no se comió Pedro, entonces el promedio X = =0,5 representa el mediopollo que se comió cada uno. Este ejemplo demuestra cómo el promedio es afectado por la dispersión de los valores.Si la dispersión es grande, el promedio aritmético puede ser no representativo.

Hogar y censo de poblaciónLos censos de población se consideran como la más importante operación de recopilación de información estadísticareferida a las personas, la familia, el hogar y la vivienda.En el último censo venezolano realizado en 2001, se definió como hogar censal "al formado por una persona ogrupo de personas, con o sin vínculos familiares que comparten la misma vivienda y los mismos servicios y mantienenun gasto común para comer".Sobre esa definición, giran variados aspectos de la investigación estadística, por ejemplo: ¿Cuántas personascomponen el hogar? ¿Cuántas saben leer y escribir? ¿Cuántas personas del hogar trabajan? ¿Cuántos niños asistena la escuela?Estas y otras preguntas referidas a las personas del hogar, a las condiciones de la vivienday la composición familiar, son temas investigados por el censo para transformarse en cifraso datos estadísticos, útiles a la planificación y toma de decisiones por parte del Estado o

de las personas.

x = = = 1 125

1+02




Probabilidad y estadísticaEn la era actual con el desarrollo de la comunicación y la necesidad de hacernos cadavez más eficientes, surgen nuevos requerimientos y habilidades fundamentales paratodo ciudadano, entre éstos se encuentran, entre otros, la interpretación y construcciónde gráficos y la utilización de herramientas estadísticas y computacionales.En esta ventana se orientará el cómo construir algunos gráficos.La probabilidad y estadística se estudian en Educación Básica desde los primeros grados. Así se puede iniciar laelaboración de gráficos de manera intuitiva, por ejemplo, se reparten a los niños tarjetas con el fin de que dibujensu animal preferido y se colocan las tarjetasverticalmente alineadas, formando una barra para cada animal y obteniendo un pictograma.Esta representación permitirá hacer preguntas acerca de:¿Cuántos niños tienen como animal preferido al conejo? ¿Cuál es el animal que más prefieren los niños?Este tipo de gráfico se puede hacer con cualquier variable cualitativa que resulte interesante a los niños (mes decumpleaños, edad, sexo, color de cabello, etc.); en el eje horizontal se colocará la variable y en el eje vertical la frecuencia,o sea, el número de veces que se repite la variable.Posteriormente, se utiliza la elaboración de histogramas tomando en cuenta algunascaracterísticas como las siguientes: edad, estatura, peso, edad de la madre, etc.

Construyendo un histogramaConsidere la construcción del histograma asociado a la distribución de los pesos de30 alumnos.Paso 1: Se construye una tabla de frecuencia.Paso 2: Se elige la unidad de medida para cada intervalo: por ejemplo 2 centímetros.Paso 3: Se cortan tiras de papel del ancho de la unidad de medida.Paso 4: Se toma una unidad de medida para las frecuencias, por ejemplo: un centímetro

por unidad de frecuencia (alumnos).Paso 5: Para cada intervalo se toma una tira y se corta a una altura igual a la frecuencia

de la clase. Se tendrán entonces tantos rectángulos como clases tiene ladistribución.

Paso 6: Siguiendo el orden de los intervalos, se pegan los rectángulos uno a continuacióndel otro y se obtiene una figura que recibe el nombre de histograma.

Construyendo un gráfico circularConocidos como gráficos de torta o de pastel, los gráficos circulares, llamados tambiéngráficos de sectores, son los que se utilizan, generalmente, para representar proporciones.Para construir un gráfico circular se toma como unidad la longitud de la circunferenciay las distintas porciones se llevan al gráfico como secciones circulares proporcionalesa la unidad.En el caso de los porcentajes se toma 2 π r=100% y se establece la proporcionalidaden cada porcentaje. Si, por ejemplo, dividimos la longitud de la circunferencia en 20partes iguales, cada una de esas partes al unirlas con el centro de la circunferencia,

dan una porción del círculo que representa un 5% del total del área del círculo. Así,si se representa 25% tomamos para ello 5 porciones.

En este caso se cortan seis tirasde papel de dos centímetros deancho y con las tiras se formanrectángulos de alturas igual a:4, 6, 8, 2, 7 y 3 centímetros.

FrecuenciaPeso (kilo) (alumno)30-31,99 4

32-33,99 634-35,99 836-37,99 238-39,99 740 y más 3

F r e c u e n c

i a ( a l u m n o s

)

Variable

3 0 - 3

1 , 9

9

3 2 - 3

3 , 9

9

3 4 - 3

5 , 9

9

3 6 - 3

7 , 9

9

3 8 - 3

9 , 9

9

4 0 y m

á s

Abastecimiento de agua, distribuciónde poblaciones sin servicio

Fuente: Programa de Control Conjunto OMS/UNICEF, 2002.Actualizado en septiembre de 2002.

5%25%

50% África27%

Asia65%

Europa2%

América

Latina y elCaribe6%






12 En una caja hay tres bolas rojas y tres azules ¿Cuál es la probabilidad de sacar una

bola azul?

3

Si se lanzan tres monedas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad deobtener tres caras?4

Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿cuál es la suma de puntos demayor probabilidad?

5

¿En qué meses la salida de pasajeros es semejante?¿En qué mes sólo salieron 50 mil pasajeros?¿Cuál es el mes en que hubo menor cantidad de pasajeros?¿En cuántos meses hubo más de 60 mil pasajeros?

Construye uno o variosgráficos utilizando losdatos de la siguientetabla:

6 Nacimientos totales Defunciones totalesRegión Variación Región Variación

AÑO Capital (%) Capital (%)1990 107.793 - 21.816 -1991 105.748 -1,90 21.724 -0,421992 103.866 -1,78 23.023 5,981993 95.233 -8,31 22.448 -2,501994 93.202 -2,13 24.425 8,811995 92.893 -0,33 22.243 -8,931996 75.086 -19,17 22.246 0,011997 83.282 10,92 23.788 6,931998 82.781 -0,60 23.160 -2,64Fuente: Anuario de estadísticas demográficas.

EPADEM. Cálculos propios.

REGIÓN CAPITALNACIMIENTOS Y DEFUNCIONES, 1990-1998

En una baraja española (40 barajas), ¿cuál es la probabilidad desacar un as?

0

20

40

60

80

M i l e s

d e p a s a

j e r o s

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

100Aeropuerto Simón Bolívar, Vuelos Internacionales.

Salida de pasajeros por mes. Año 1989

Fuente: PDVSA (1992). Imagen Atlas de Venezuela . Una visión espacial. Editorial Arte. Caracas




U n ju e g o p ro b a b ilís t ic o

Jugando béisbol con dos dados

Este juego es una aplicación del concepto de probabilidad. Consiste en jugar

un partido de béisbol entre dos rivales de acuerdo a las siguientes reglasde juego.

Materiales1 cartón para dibujar el Diamante1 papel para dibujar la pizarra de anotaciones4 fichas para identificar el bateador y los posibles tres corredores2 dados de seis caras.

Home

1ª base

2ª base

3ª base

VISITANTE

LOCAL

1 2 3 4 5 6 7 8 9=

=

Forma de juego1 El juego lo realizan dos jugadores: uno representa a un equipo denominado “ Visitante” y el otro a un equipo denominado

“Local”.2 La condición de visitante o local se decide por azar. Cada jugador lanza un dado y el que obtenga la mayor puntuación

juega como Local.3 El juego se realiza sobre un diamante o campo, donde están identificadas las tres bases y el home.4 El juego consiste en desarrollar “ acciones ofensivas ” para tratar de ubicar corredores en las bases y llevarlos hasta

el home. Cuando un corredor llega hasta el home se dice que “ anotó una carrera ”.5 Se juega a 9 entradas (en inglés, inning ), en caso de estar empatados se continuará hasta que exista una diferencia

de una carrera (mínimo) al final del inning utilizados de extensión para romper este empate.6 El visitante inicia la parte alta de la primera entrada, lanzando los dados para obtener la suma de las caras.7 La suma de las caras corresponde a una acción ofensiva (ver tabla de acciones) que se traduce en ubicar corredores

en base, para tratar de anotar carreras o ser hecho out.8 Cuando se hayan realizado 3 out, el Visitante dará paso al equipo Local que irá a la ofensiva, y así hasta concluir

las 9 entradas o lo estipulado en el nº 5.

Tabla de acciones ofensivasSuma delas caras Acción ofensiva Resultado de la acción

2 El bateador se anota un triple El bateador corre tres bases y cada corredor se anota una carrera

3, 11 El bateador se anota un doble El bateador y cada corredor avanzan dos bases4, 9, 10 El bateador se anota un sencillo o hit El bateador y cada corredor avanzan una base5, 6, 7, 8 El bateador se acredita un out Si es 5 y hay un corredor en base se asigna un doble play (2 outs)

12 El bateador se acredita un jonrón El bateador y todos los corredores anotan carrera (llegan al home)

El récord de jonrones en una carrera deportiva está en manos de Henry Louis “Hank” Aaron con 755,

consiguió 733 con los Bravos de Milwakee (1954-1965) y los Bravos de Atlanta (1966-1974) en la Liga

Nacional, y 22 con los Cerveceros de Milwakee en la Liga Americana.Fuente: Guiness. Libro de reco rds . Editorial Planeta 2001.




P rob abilidad es en nu est

Probabilidad de hit

La tabla de Acciones Ofensivas señala opciones que ocurren bajoincertidumbre. Si se llama a los dados I y II y utilizamos un diagrama paraseñalar todos los eventos posibles se estará constituyendo el espaciomuestral asociado al experimento: suma de las caras de dos dados.

Si se considera la acción ofensiva “ hit”, vemos que ella ocurre cuando la sumavale 4, 9 o 10. Para calcular la probabilidad asociada a este “evento”, usaremosla noción clásica y los resultados que aparecen en el Espacio muestral:

Casos probables Casos favorablesTodas las suma cuatro Suma nueve Suma diezsumas 1+3;2+2,3+1 3+6;4+5;5+4;6+3 4+6;5+5;6+4

Total= 36 casos Total= 3 casos Total= 4 casos Total= 3 casos

Probabilidades de hit= 10 de 36 = 10/36 ≈ 0,28 ≈ 28%

Problema propuestoGenera una tabla con la probabilidad de los siguientes eventos:hit, doble, triple, jonrón y out.

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

Dado I

D a

d o

I I

ESPACIO MUESTRAL 1

In fo rm a c ió n a c tu a liz a d aPáginas web relacionadasInstituto Nacional de Estadística (INE) Venezuela. http://www.ine.gov.ve/ine/indexine.aspBanco Central de Venezuela (BCV) http://www.bcv.org.vePlataforma de Información Oficial del Estado Venezolano http://www.platino.gov.veUniversidad Central de Venezuela, Facultad de Ciencias Económicas y Sociales (UCV-Faces) http://www.faces.ucv.veInstituto Nacional de Estadística (INE) España: http://www.ine.esBuró de Censo , Estados Unidos. http://www.census.govOrganización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) http://www.unesco.org

BibliografíaCampbell, Stephen K. (1998) We'll set one up fo r you.Statistics You Can' t Trust: A Friendly Guide to Clear Thinking Abo ut Statistic s in Everyday Life , Think Twice Publishing. EE.UU.Salama, D. (1998) Estad ístic a, m eto do log ía y aplic acio nes , 4ª edición, Editorial EPSA, Venezuela.

R e s u l t a d o s

1. La probabilidad de sacar un as es , es decir, del 10%.

2. La probabilidad se sacar una bola azul es de , es decir, del 50%.

3a. La salida de pasajeros es semejante en los meses de febrero y junio.

3b. En el mes de abril sólo salieron 50 000 pasajeros

3c. El mes de abril hubo la menor cantidad de pasajeros.

3d. 9 meses hubo más de 60 000 pasajeros

4. La probabilidad se sacar tres caras es de , es decir, del 50%.

5. La suma de mayor probabilidad es 7.

440 3

6

36



Vladimiro Mujica

L a m a te m á tic a y e l P re mNació en Caracas en 1954. Obtuvo su

licenciatura en Química en la UniversidadCentral de Venezuela en 1979, y su

doctorado en Química en la Universidadde Uppsala (Suecia), en 1985. Luego de

una pasantía de posdoctorado en laUniversidad de Tel Aviv (Israel), en 1986,

regresó a la Facultad de Ciencias de laUCV, donde es Profesor Titular desde

1997. Su área de investigación es la Físico-Química teórica. Ha sido investigador

visitante de la Universidad de Uppsala yel Instituto Fritz Haber (Alemania), y desde1997 es Senior Research Associate de la

Universidad de Northwestern (EE.UU.).Ha sido ganador en dos oportunidades

(1998, 2000) del Premio al Mejor TrabajoCientífico en Química otorgado por el

CONICIT y obtuvo el Premio “LorenzoMendoza Fleury” de Fundación Polar enel año 2001. Es miembro del Sistema dePromoción del Investigador, en su máximo

nivel (Nivel IV).


El Dr. Mujica es un prestigioso químico venezolano que utiliza con mucha fuerza lasmatemáticas en el desarrollo de sus investigaciones. Como él mismo nos comenta: “Laquímica es la ciencia de las transformaciones y estructura de la materia”. La estructuraestá determinada por un delicado balance energético que involucra a núcleos y electrones,los dos bloques fundamentales de la materia. El comportamiento de estas partículas estádescrito por las leyes de la mecánica cuántica, cuyos fundamentos son un conjunto depostulados acerca de la estructura matemática de dichas leyes y su interpretación física.La descripción de las transformaciones de la materia requiere adicionalmente de laconsideración de aspectos cinéticos y de transporte, para lo cual es necesario recurrirnuevamente a modelos cuánticos o semiclásicos que se formulan en términos deecuaciones de dispersión, transporte y de ruptura de enlaces, y de las cuales dependela interpretación física de los fenómenos en cuestión.

“Buena parte de mi trabajo está relacionado con el estudio del transporte de carga através de una estructura microscópica cuyo tamaño obliga a utilizar las reglas cuánticastanto para la descripción de la estructura como del proceso de transporte mismo. Enestos trabajos la matemática constituye una parte integral de la modelación fisicoquímicay las técnicas que se emplean corresponden fundamentalmente al análisis funcional, elcálculo variacional, la estadística y el álgebra lineal. Adicionalmente, la construcción y

evaluación de un modelo de transporte de carga, involucra un paso final de cálculonumérico asistido por computadora que permite tanto la validación del modelo como lacomparación con los resultados experimentales.”

Sus palabras nos muestran claramente una característica del quehacer científico, lanecesidad del uso de las matemáticas para modelar situaciones que luego se verificanexperimentalmente. Es muy importante destacar que si bien esta manera de avanzar enel conocimiento científico está muy expandida hoy en día, hay muchos ejemplosextraordinarios a lo largo de la historia que permiten confirmar la fuerza de las matemáticascomo soporte del pensamiento y desarrollo humano. No es una pretensión de losmatemáticos pensar que muchos avances en los años por venir, en todas las ciencias,tendrán ese toque matemático que tan bien expresa el Dr. Vladimiro Mujica.





Thomas MalthusEconomista inglés (1766-1834)

“Extrapolando hacia el futuro,yo predigo que existirá unagran brecha entre la demanday los recursos disponibles, lacual generará una hambrunaa través del planeta”.

Revista Puntal 5. Página 13Irene Savino e Iván Larraguibel


El mundo de losgráficosFascículo



190Fundación POLAR • M a t e m á t ic a p a r a t o d o s• Fascículo 13 - El mundo de losGRÁFICOS

E l m u n d o d e lo s g rá f ic o sEn esta era de la información cada día, con mayor frecuencia, diversas situaciones son presentadas mediante gráficocon el objetivo de representar cantidades de datos en muy poco espacio. Todo ello nos ayuda a la toma de decisionesa extrapolar e interpolar información con mucha aproximación. Así encontramos:

Fuente: Libro Rojo de la Fauna venezolana . Franklin Rojas-Suárez y Jon PaulRodríguez (editores). 2003, 2a. edición. Provita-Fundación Polar.

Lesionados

Accidentes

Septiembre2002 7.303

Septiembre2003* 2.933

* Primeros 13 días

MuertosD ías Días

Sept iembre Rojo1.855

87 8

15

30

Septiembre2002 2003

Septiembre2002 2003

30

15

20 1 15 5

77,7 %Imprudencia

16,9%

Exceso develocidad

Ingestiónalcohólica

3,7%2%Condicionesde la vía

0,7%Fallas devehículo

Fuente: El Nacional . Martes 16 septiembre 2003

Tasas de interés

Fuente: El Nacional . Martes 16 septiembre de 2003

37,99

34,83 34,39

28,2326,96

25,35

20,35

23,16

11,6113,53

14,5312,32

16,9217,3220,1521,34

Ag oJu lJu nMa yAb rMa rFe bEn eInflación de los servicios financieros

14,9007,65,60,900

Activas (al último del mes)

Pasivas

Relación Peso-edad en niños de 0 a 6 años

Cantidad de esp ecies de f lora

Fuente: Libro Rojo de la Flora venezolana .2004. Fundación Polar.

9.500 a 10.300

4.500 a 5.000

3.000 a 3.500

2.000 a 2.500

Nº de especies

Fuente: Venezuela:El desafio de innovar . Arnoldo Pirela (editor) 2002. Fundación Polar - CENDES

Tres empresas venezolanas: Tres estrategias distintasEMPRESA 1Conquistar la confianza ylealtad de sus clientes localesy regionales, mediante unservicio óptimo y productosa la medida.

EMPRESA 2Potenciar las estrategias delcacao criollo para lograr unnicho de alta calidad en elmercado mundial, asociadosa una empresa globalizada.

EMPRESA 3Ganarse una posición cadavez más importante en elmercado mundial de su socioglobal.



Otra situación que podríamos registrar y representar mediante un gráfico es la temperatura de Caracas en algunashoras de un cierto día. Esta temperatura está registrada en grados centígrados, a partir de las 12 del día hasta las11 de la noche, la cual se muestra en la tabla anexa.

A continuación desarrollamos una situación que permite ilustrar cómo se elabora un gráfico:


D e s c u b r ie n d o e l m u n d o d e lo sDurante los primeros 10 cumpleaños de Eduardo, sus padres registraron su altura enun cuadro como el adjunto.

Al representarlo en los ejes de coordenadas (dos rectas perpendiculares), en el ejehorizontal (x) estableceremos una escala con la edad de Eduardo en años y en el eje

vertical (y) una escala con las alturas alcanzadas por Eduardo en centímetros.años altura (cm)

X Y1 752 853 934 1005 1036 1097 1148 1199 12510 130

Si observas esta situación encontramos que:- A cada cumpleaños le corresponde una y solo una altura.- En todos los cumpleaños siempre se registró la altura correspondiente.En este ejemplo llamaremos conjunto A a las edades y las representamos en el eje X:

A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10

Llamamos B al conjunto de las alturas alcanzadas por Eduardo en cm, y lo representamos en el eje Y:B= 75, 85, 93, 100, 103, 109, 114, 119, 125, 130

Al establecer la relación entre los conjuntos A y B, en cada cumpleaños hacemos corresponder la altura alcanzada poEduardo. Así se obtienen los pares ( 1 , 75 ); ( 2 , 85 ); ( 3 , 93 )... Estos puntos representados en el sistema decoordenadas los unimos para hacer un gráfico continuo. Este gráfico se puede denominar “años y alturas alcanzadaspor Eduardo entre 1 y 10 años”.En el gráfico podríamos conocer aproximadamente la altura a los siete años y medio con sólo hacer corresponder a esvalor su imagen en el eje de las “y”.

Este gráfico permite determinar temperaturas aproximadas a las 8:30 p.m., 3:45 p.m., etc

Interesante:Al observar las situaciones anteriores hay siempre dos conjuntos (edades-alturas, horas-temperaturas, etc.) entre los cualese establece una relación que cumple con lo siguiente:1. A cada elemento “x” de un conjunto A se hace corresponder un solo elemento “y” de un conjunto B. “y” se llamaimagen

del elemento “x”. Así, al tener la temperatura de Caracas en cada hora “x” del conjunto A se le relaciona una temperat“y” perteneciente al conjunto B.

2. Cada uno de los elementos del conjunto A tiene una y sólo una imagen en el conjunto B, como en el ejemplo hora-temperatura o edad-altura.

Relaciones que cumplan con las características anteriores reciben el nombre defunción .

Hora Temperatura (ºC)12 m 301 pm 302 pm 313 pm 314 pm 295 pm 286 pm 287 pm 278 pm 269 pm 2510 pm 2311 pm 22

12 m20

22

24

26

28

30

32

1 pm 2 pm 3 pm 4 pm 5 pm 6 pm 7 pm 8 pm 9 pm 10 pm 11 pm

T e m p e r a t u r a

° C

34

020

40

6080

100

120

140

1 2 3 4 5 6 7 8 9

y = a

l t u r a

( c m )

x= edad (años)10



Ludwig WittgensteinFilósofo y matemático austríaco

(1889-1951)

O tro s t ip o s d e r e la c io n e s (C o r


El número e = 2,71828182845... aproximadamente 2,72 es uno de los másimportantes en matemática. Con este número se define la función exponencialy = ex y su inversa, la función logarítmica y = ln(x), que se lee logaritmo neperianoen honor del matemálico escocés John Neper (1500-1617). Con esas funcionesse modelan diversas situaciones de las ciencias naturales, la ingeniería y laeconomía: presión atmosférica , desintegración radiactiva , crecimientoeconómico , etc.Entre las propiedades esenciales del número e destacamos dos:

Es un número irracional (demostrado en el s. XIIl).Es un número trascendente , lo cual significa que el númeroe no puede

ser raíz de una ecuación polinómica con coeficientes números racionales(demostrado en el s. XIX por Charles Hermite).

El concepto de función es muy importante en matemática, y en general en la ciencia. En física, biologíay química se utilizan gráficos de funciones tales como y=ex, y=ln(x), y= ax+b, y= x2.

Se llama funciónunívoca o simplemente función, a la correspondencia en la queun "x" se relaciona con un solo "y", como los ejemplos anteriores (edad-altura,hora-temperatura).Se llama multívoca a la correspondencia en la que cada elemento x de unconjunto A tiene como imagen un conjunto. Por ejemplo, la relación que seestablece entre un miembro x de la familia y sus descendientes, también encircuitos eléctricos, en diagramas de organización, en sociogramas (psicología),etc.Se llama función de conjunto aquella correspondencia que se establece de talforma que a conjuntos se asocian números reales, por ejemplo: la relación entrela distribución de frecuencia de los ingresos mensuales de un conjunto de hogaresasí como al intervalo [200 001 - 300 000] le corresponde el número 0,153, quese puede interpretar como la probabilidad del 15,3% de elegir un hogar conpromedio de ingresos mensuales de aproximadamente 250.000 bolívares.

Charles Hermite(1822-1901)Matemático francés

John Neper(1550-1617)Matemático escocés,

0

25

50

75

100

125

0 1 2 3 4 50

0,25

0,500,75

1,00

1,25

0 2 4 6 8 10

1,50

1,75

2,00

y=ex

y=ln(x)

2

4

6

8

10

0 1 2 3

y=x2

123

F u n c i ó n

e x p o n e n c i a l

F u n c i ó n

l o g a r í t m

i c a

F u n c i ó

n c u a d r á t

i c a

1

1

“En la naturaleza no hay causas ni efectos; lanaturaleza meramente ‘marcha’. Una cienciadesarrollada expresará sus conclusiones en términosde relaciones funcionales, fórmulas asépticasreemplazarán los ‘nexos causales’ de la metafísica”.




C r e c i m i e n t oObservemos las sucesiones de números: 3, 9, 27, 81, 243... o 3, 32, 33, 34, 35, ...; y 3, 6, 9, 12, 15, ... ó 3x1, 3x2,3x3, 3x4, 3x5, ... La primera sucesión tiene uncrecimiento exponencial , caracterizado porque la tasa de crecimientoes proporcional a la cantidad presente, es decir, cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el anteriorpor un factor constante, en este caso 3. Su representación gráfica en “forma continua” está dada por una funciónexponencial. La segunda sucesión tiene uncrecimiento lineal , que se caracteriza porque su tasa de crecimientoes constante, esto es, cada término de la sucesión se obtiene sumando la misma cantidad a su antecesor, en estecaso 3. Su representación gráfica en “forma continua” es una recta.

INTERESANTE

Si un banco presta 1.000 Bs, al 50% anual de interés compuesto, al cabo de

6 años (N), la deuda (D) se incrementa exponencialmente en Bs. 11.390, yaque D=1.000 x (1,5)N, con N= 1, 2, 3, 4, 5, 6; D= 1.000 x (1,5)6 = 11.390,625≈ 11.390.

Si el banco presta los Bs 1.000 al 50% anual de interés simple, la deuda alcabo de los 6 años será Bs 4.000, ya que D = 1.000 + 1.000 x (0,5)N, con N=1, 2, 3, 4, 5, 6; D= 1.000 + 1.000 x 0,50 x 6 = 4.000.

Comparando las dos deudas, al cabo de 6 años la deuda exponencial superacon creces a la lineal. El crecimiento exponencial supera rápidamente al lineal.

Thomas Robert Malthus (1766-1834), economista británico, afirmóque la población crece exponencialmente en tanto la provisión dealimentos lo hace linealmente.

a l im e n to s

P o b l

a c i ó

n

Crecimiento lineal

0

3

15

0 1 2 3 4 5

y = 3x

6

9

12

0

50

250

0 1 2 3 4 5

Crecimiento exponencial

y = 3x

100

150

200

1



Hay elementos que son radiactivos y, por lo tanto, sedesintegran, como el uranio y el radium (radio). La radiactivida

(desintegración radiactiva) sucede porque algunos átomosdel elemento radiactivo emiten unas partículas denominadasalpha y beta. Estas radiaciones se detectan mediante uncontador Geiger.

Para medir la desintegración radiactiva se utiliza el conceptode período medio de vida o vida media de un elementoradiactivo que es el período de tiempo en que la probabilidadde desintegración es de un 50%, esto es, el tiempo requeridopara que una cantidad inicial de átomos de dicho elementodecaiga a la mitad. Por ejemplo, el Uranio 238 tiene una vidamedia de 4,5 x l09 años (4,5 millardos de años) y se transmutaen otro elemento radiactivo denominado Torio 234.

No se puede predecir el momento de la desintegraciónradiactiva, solamente es posible determinar una probabilidaden función del tiempo transcurrido, como lo indica la figura,ni tampoco la dirección en que se produce dicha desintegración.

Una aplicación importante de la radiactividad está dada porel método del carbono 14: el carbón que se halla en la Tierracontiene carbono 14 que es un elemento radiactivo cuya vidamedia es 5 568 años; el decrecimiento exponencial del carbono14 durante el proceso de desintegración radiactiva permitedeterminar la edad de cualquier ser o cosa sobre la Tierra.


Otra aplicación importante de la radiactividad se da en medicina. EnVenezuela, la primera vez que se usó el yodo radiactivo 131 (vida media

de 8 días) fue en 1954, utilizado en investigaciones sobre el bocioendémico y en el diagnóstico de las enfermedades tiroideas. El trabajose publicó en 1955, realizado por Francisco De Venanzi, Marcel Roche

y Andrés Gerardi (Ac ta Médica Venezolan a , 1955).

D e c r e c i m i e n t oPlanta de generación eléctricaa partir de la energía atómica.

Fundación Luis Roche 1956Sentados de izquierda a derecha: Jorge Vera, Mario Calcinay, Miguel Layrisse, Marcel Roche, Luis Roche,

Francisco de Venanzi, Gabriel Chuchani, Luis Carbonell. De pie: Abraham Levy, Andrés Gerardi, JoséForero, Leocadia Escalona, María Enriqueta Tejera, Gloria Villegas, Slavka Hitrovo y Francisco Peña.

100

125

250

500

1000

T 2T 3TTiempo

E s c a

l a l o g a r í t m

i c a

N

Diagrama cartesiano dedesintegración radiactiva

Fuente: Enciclopedia Hispánica.Macropedia 12. EE.UU., 1996.

Interesante:Asi como la radiactividad tiene grandes potencialidades benéficas, también se ha utilizadopara agredir o destruir a nuestros semejantes.El 6 de agosto de 1945, 155 200 personas murieron cuando una bomba atómica cayó sobreHiroshima (Japón). Esta cifra, que incluye las muertes por radiación durante el siguiente añconstituye el mayor número de víctimas mortales causadas por un artefacto atómico. Estaprimera bomba atómica, cuyo nombre clave era “Little boy” fue lanzada por Estados Unidcon la intención de poner fin a la Segunda Guerra Mundial. Tenía una potencia explosivaequivalente a la de 12,5 kilotones de TNT, medía 3,04 m de largo, pesaba más de 4 toneladasy explotó a 509 m por encima de Hiroshima. La explosión devastó al instante 10 km2 de laciudad y más de 65% de los edificios quedaron dañados o destruidos.Fuente: Guiness (2002). Libro d e los Records . Editorial Planeta. España.




G rá fic o s y c u e rp o h u mTodo organismo superior está formado por la juxtaposición de células, por ejemplo: el organismohumano está formado aproximadamente por 60.000millardos de células. Cada día, alrededor de 2 000millardos de células se mueren. Si no hubiese losmecanismos de regulación responsables de que cadacélula muerta sea reemplazada por una nueva con lamisma función y el mismo espacio, el organismo humanomoriría al cabo de pocos días.

6E0

1Tiempo (días)

C é l u l a s v i v a s

( N º )

6E13

2 3 4

Continuemos viajando por nuestro maravilloso ycomplejo cuerpo formado por células. La célula esel elemento fundamental de los tejidos organizadoso el elemento más simple libre dotado de vidapropia, compuesto de una masa protoplasmáticacirculante que contiene un núcleo. La escala detamaño de las células es del orden de las micras(milésima parte de un milímetro). Por ejemplo, elcerebro tiene alrededor de 100 millardos deneuronas del orden de 4 micras hasta las 130micras, que se conectan con otras mediante lasinapsis o conexiones neuronales. Cada neuronadel cerebro puede conectarse con otras diez mil(10.000), por lo que aproximadamente se tiene unmillón de millardos de conexiones, esto origina unacomplejísima maraña. Se admite que el aprendizajey la memoria residen en esta maraña.

Estudios recientes han demostrado que existe una correlación perfectamente lineal entre latensión arterial y el riesgo de morir. Así, entre los 40 y 69 años, un aumento en la presiónsanguínea está asociado a una doble probabilidad de ataque cerebro-vascular.

AxónDendrita

Corpúsculode Nissl

Nucleolo

Cuerpocelular

Núcleo

Protuberanciasináptica

Cono axomal

Estructura de una neurona motora

Células nerviosas delcerebroLas células oscuras son lasde Purkinje y están entre lascélulas nerviosas másgrandes del cuerpo.

Existe un esquema de la evolución de un cáncer humanosuponiendo que el tiempo de duplicación esaproximadamente tres meses, caso observado confrecuencia en el cáncer del seno. Estamos admitiendo queel ritmo de la división celular es constante. Considerandouna célula cancerosa que se multiplica exponencialmenteal cabo de tres meses son 2, al cabo de 6 son 4, y al cabode 7 años y medio estará por el orden del millardo. En estaetapa el volumen del tumor alcanza un tamaño que sepuede detectar. Es decir, se tarda de 7 a 8 años, para queclínicamente o radiológicamente sea detectable.

0E0

20Tiempo (meses)

N º d e C é l u l a s x

1 0 e 3

5E6

40 60 80 100

Crecimiento Celular

Humberto Fernández Morán, médico graduadosumma cum laude en la Universidad de Munich(1944), con posgrado en Neurología. Trabajó en el Laboratorio de Microscopía Electrónica deInstituto Karolinska, donde desarrolló la cuchilla de diamante para ultramicrotomía que le valel premio John Scott, premio que habían recibido Marie Curie por el descubrimiento del RadiThomas Edison por la lámpara incandescente y Alexander Flemming por el descubrimiento dla penicilina. En 1954 funda el Instituto Venezolano de Investigaciones Neurológicas y Cerebral(IVNIC), actualmente Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC).

HumbertoFernández-

Morán(1924-1999)

Médico venezolano

Tiempo de mortalidad

INTERESANTE




C o n fia b ilid a d .. . .CotidianidadPor las estadísticas de construcción de una viviendase sabe que en los primeros cincos años puedenaparecer algunos defectos o fallas, tales comopequeñas grietas u otros pequeños detalles, después

suele venir un período de unos 15 años (vida útil)donde se estabilizan relativamente las fallas y posteriora este período es cuando aparecen fallas de mayorenvergadura, las cuales conducen a hacer mejoras ala vivienda. Graficando los datos estadísticos de lasfallas en el tiempo se obtiene una gráfica de unafunción de riesgo muy peculiar llamada curva de labañera. Tiempo (años)

R e g i ó n

d e

f a l l a ( % )

e industriaEn muchas situaciones de la industria interesa la confiabilidad (duración de

funcionamiento o de vida). A las grandes potencias les interesa la confiabilidadde los cohetes, del sistema VHF (Very High Frecuency = muy elevada frecuencia).

También interesa la confiabilidad de los sistemas mecánicos, de artículos, depiezas, para tener una mejor calidad de vida. Una manera de ver esto es mediante

la función de supervivencia también llamada función de confiabilidad, y sedefine como la probabilidad de no tener falla antes del tiempo t.

Un fabricante produce bombillos donde él afirmaque tienen una vida promedio de aproximadamente20 000 horas, es decir, 5 años y medio (con unuso promedio de 10 horas diarias). Se ha vistoque ellas tienen una función de supervivenciacomo lo indica la figura (ley exponencial). Aún alos 10 años tienen una probabilidad de funcionardel 17%.

Cuando no hay suficientes datos recolectados y los eventos no están claramente definidos es posible aplicar a loproblemas de confiabilidad unmodelo borroso. La borrosidad se distingue de otras teorías matemáticas porqueutiliza una lógica polivalente en lugar de una lógica bivalente (verdad o falsedad).

Nuestras reservas probadas de petróleo (aquellas de cuya existencia hay pocas dudas pues el estimado estábasado en un conocimiento directo de los yacimientos) para 1990 se tenían en 60 054 millones de barriles y pa1996 alcanzaron 72 667 millones de barriles. Este incremento proviene de disponer de mejor y mayor informacde los yacimientos.

Vida útil

Gráfico de la bañera

“El precio no tiene sentido sin una medidade la calidad de lo que se compra”Walter A. ShewhartMatemático americano (1891-1967)

0

0,50

0,75

1

2 4 6 8 10 12 P r o b a b i l i d a d d

e f u n c i o n a m

i e n t o

0,25

Años

Función de Supervivencia




¡A ju g a r !Instrucciones(Para 2 jugadores)• Cada jugador elabora en un papel dos cuadrículas

de 25 cuadraditos de 2 cm x 2 cm.• En la intersección de la línea horizontal más baja

y la vertical más a la izquierda, coloca un cero.• Identifica de izquierda a derecha las líneas verticales

A, B, C, D y E.• Identifica de abajo hacia arriba las líneas horizontales

con los números 1 al 5.• Tus cuadrículas quedan como se ven en la gráfica.

0

1

2

3

4

5

A B C D E 0

1

2

3

4

5

A B C D E

Mi cuadrícula La cuadrícula de mi oponente

• A cada punto de la cuadrícula se le asigna un par de elementos, el primer elemento del par pertenece a la letra colocaden la línea horizontal y el segundo al número colocado en la línea vertical. Así, por ejemplo, el par (A,3) está ubicaden la intersección de las líneas A y 3.

• Cada jugador marca siete pares y el otro jugador debe adivinar dónde están ubicados. Esto se ejecutará enunciandoun par y el otro jugador contestará si hay o no dicho par en esa ubicació n. Luego le tocará al siguiente jugador enunc

el par.• Gana quien logre adivinar la totalidad de los pares del adversario.• Es recomendable llevar un registro de los pares señalados en cada turno.

0

1

2

3

4

5

A B C D E 0

1

2

3

4

5

A B C D E 0

1

2

3

4

5

A B C D E 0

1

2

3

4

5

A B C D E

¿Puedes señalar lospares enunciadospor cada jugador?

Puntos escogidosPar enunciadoPar acertado




¿Cómo extraer información de un gráfico?

Analizaremos mediante un gráfico, construido a partir de una tabla numérica, elcrecimiento de la población de Venezuela.Comenzamos dando una tabla de censos de Venezuela, donde redondeamos con dos

decimales para facilitar los cálculos.


1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

1 9 4 1

1 9 5 1

1 9 6 1

1 9 7 1

1 9 8 1

1 9 9 1

2 0 0 1

2 0 0 6

1 9 5 0

1 9 9 0

A

B

C

D

E

F

G

I

H

Población dadapor los censos

Año (en millones)1941 3,851950 5,041961 7,521971 10,721981 14,521990 18,11

2001* 23,54*Según publicaciones del Instituto Nacional de

Estadísticas. Año 2002. ¿Qué información extraer de ese gráfico?La información acerca del crecimiento de la población de Venezuela ysus variaciones se pueden estimar en un gráfico como el dibujado.a) ¿Cómo puedes estimar, a partir de ese gráfico, la población de los años

1951 y 1991? ¿Cómo lo harías para cualquier año comprendido entre1941 y 2001? ¿En qué año alcanzó la población de Venezuela,aproximadamente, 12 millones de habitantes?

b) Si estuvieras en el año 2000, cuando no se había realizado el censodel 2001, ¿de qué manera hubieses predecido un valor aproximado dela población del país para ese año 2001?

c) ¿Cómo puedes estimar la población que tendrá Venezuela el año 2006?Las respuestas a estas preguntas o algunas semejantes a ellas puedesobtenerlas de la siguiente manera:

* Ubiquemos el año 1951 y en él levantamos una perpendicular al ejede abscisas que corte al gráfico (en color naranja) y desde ese puntode corte trazamos una perpendicular al eje de ordenadas. El corte dela misma con dicho eje nos proporciona un valor aproximado de lapoblación, en este caso 5,20 millones, es decir, en el año 1951 Venezuelacontaba con 5 200 000 habitantes. Análogamente lo puedes hacer concualquier otro año en el lapso 1941-2001.Si quieres determinar en qué año se alcanzó una población de 12millones, realiza un proceso análogo al anterior pero partiendo del ejede las ordenadas.

* Si estuvieras en el año 2000 (no dispondrías del segmento FG), yquisieras estimar la población para el año 2001, bastaría prolongar elsegmento EF hasta que corte a la vertical levantada en el año 2001 yluego calcular la ordenada correspondiente a ese punto H.

* Es análogo, pero ahora prolongarías el segmento FG hasta que cortea la vertical levantada en el año 2006 y luego buscar la ordenada quecorresponde a ese punto de corte.

Tanto del gráfico como de la tabla se pueden extraer otras informacionespor ejemplo: si quieres calcular la tasa media anual de crecimiento de lapoblación en un determinado período, por ejemplo, en el lapso 1941-1950correspondiente al segmento AB, se tiene (5 040 000 - 3 850 000) : (1950- 1941) = 132 222,22 lo cual indica que en promedio la población deVenezuela aumentó 132 222 habitantes por cada año transcurrido desde1941 hasta 1950. Ese cálculo se puede hacer en los otros períodos,utilizando la tabla de los censos mediante: (diferencia de habitantes enlos años considerados)/(numero de años transcurridos).De la misma manera como respondimos a las preguntas relacionadascon el gráfico considerado, podrás hacerlo con un gráfico cualquiera.

Construcción del gráfico:

Paso 1: Sobre un papel se construye un diagrama cartesiano mediante un parde ejes perpendiculares. Se puede utilizar papel cuadriculado o milimetrado.Paso 2. Representamos sobre el eje de las abscisas (horizontalmente) losaños, y sobre el eje de ordenadas (verticalmente) los valores de la poblacióndados por la tabla.EIegimos escalas distintas en los ejes de coordenadas.Marcamos los puntos obtenidos en color negro. Cada uno de esospuntos representa un par de números (año, población). Por ejemplo,el punto A representa el par (1941; 3 850 000).Paso 3. Ahora puedes unir los puntos en negro mediante segmentos con el fin

de obtener un gráfico continuo, resultando la línea poligonal ABCDEFG.

Crecimiento de la población (Venezuela)

Años

P o

b l a c i ó n





Piensa en algún procedimiento que permita medir el largo de tu sombraen diferentes horas del día, por ejemplo a las 7:00 a.m. y a partir de estahora, mide cada media hora hasta las 12:30. Al finalizar elabora una

gráfica que permita visualizar cómo varía la longitud de la sombra. Luego,analiza los resultados que se obtuvieron y compáralos con el resto de tuscompañeros.

Una persona colocada en el punto cero, inicia un paseoseleccionando su dirección al azar mediante el siguiente juego: lanza una moneda y si sale cara (C) avanza unadirección marcada con una flecha X, y si sale sello (S)avanza una casilla en la dirección con la flecha Y. Selanza la moneda cuatro veces. Halle los caminos(combinaciones de caras y sellos) que lo llevarán a laplaza y represente esos caminos en el gráfico.

Se presenta el gráfico del crecimiento de la población de Venezuela• ¿Qué información extraes del gráfico entre 1891 y 1920?• Según el gráfico ¿en qué año se duplicó la población de

Venezuela en relación a la que existía en 1950?5

10

15

20

1 7 9 0

1 8 0 0

1 8 1 0

1 8 2 3

1 8 3 6

1 8 5 0

1 8 7 3

1 8 9 1

1 9 2 0

1 9 2 3

1 9 3 6

1 9 4 1

1 9 5 0

1 9 6 1

1 9 7 1

1 9 8 1

1 9 9 1

EstimacionesCensoProyecciones

0

M i l l o n e s

d e

h a

b i t a n

t e s

In fo rm a c ió n a c tu a liz a d aPáginas web relacionadasInstituto Nacional de Estadística (OCEI) http://www.ine.gov.veBanco Central de Venezuela (BCV) http://www.bcv.org.vePlataforma de Información Oficial del Estado Venezolano http://www.platino.gov.veUniversidad Central de Venezuela, Facultad de Ciencias Económicas y Sociales (UCV-Faces) http://www.faces.ucv.veInstituto Nacional de Estadística (INE) España: http://www.ine.esBuró de Censo , Estados Unidos. http://www.census.govOrganización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) http://www.unesco.org

RevistasInternational Association for Statistical Education . http://www.swin.edu.au/maths/iase

1 2 3

1

2

3

Plaza

0X

Y



Leonardo Mora

á i l