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Informativo bimestral, idealizado e produzido por professores e estudantes do Curso Superior de Licenciatura em Matemática do IFRN/CNAT
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Edição II Jornal 15 de fevereiro de 2016
A Conjectura de Goldbach . Prof. Ms. Rafael Pereira de Melo
Licenciatura em Matemática IFRN – CNAT �1
Um informativo bimestral feito por professores e estudantes
Noticiário MATEMÁTICA:
EDUCAÇÃO BÁSICA & FORMAÇÃO DE
PROFESSORES DE MATEMÁTICA NO BRASIL
RESOLVENDO UM PROBLEMA
WHARTON M. DE LIMA
GOLDBACH E SUA CONJECTURA POR
RAFAEL P. DE MELO
SUGESTÃO DE LEITURA JÁFIA GILEANE
O que faz o estudo dos números primos tão interessante que levou Gauss a chamá-la de ‘rainha da matemática’?
A história mostrou muitas teorias acerca dos números primos, muitos delas, de fundamental importância para o desenvolvimento da Teoria dos Números. Outras teorias que foram apresentadas não puderam ser demonstradas, ou seja, não se sabe se são verdadeiras ou não. Para essas teorias chamamos de conjecturas. Em outras palavras, uma conjectura matemática é uma proposição que acreditamos ser verdadeira, porém, ainda não conseguimos prová-la.
Em 7 de junho de 1742 o matemático Christian Goldbach escreveu, em carta ao também matemático Leonhard Euler, que todo número inteiro par maior do que 2 é igual a soma de dois números primos . Vár ios matemát icos já verificaram-a para milhões de números pares. Mas isso não é suficiente para que a conjectura vire um teorema, ou seja, é preciso que se encontre uma prova assegurando que qualquer número par pode ser escrito como soma de dois primos.
Goldbach propôs ainda uma versão fraca de sua conjectura, em que afirma que todo número ímpar maior do que 7 pode ser expresso como soma de três primos ímpares. O adjetivo fraca é devido ao
fato desta versão se tratar de um caso particular da versão anterior, pois todo inteiro ímpar maior do que 7 é a soma de 3 com um inteiro par maior do que 4.
A conjectura ainda não foi demostrada, mas se têm conseguido avanços importantes, principalmente na sua versão fraca. Em 1923, G. H. Hardy e J. E. Littlewood mostraram que, assumindo a Hipótese Riemann, a versão fraca é verdadeira para inteiros ímpares suficientemente grandes. Em 1937, I. M. Vinogradov eliminou a dependência da Hipótese de Riemann. Com o auxílio de computadores alguns matemáticos tentam verificar a veracidade da conjectura para todos os números até 10²³. Com a tecnologia atual a previsão para terminar a verificação “era” de 20 anos. Porém, o matemático peruano Harald A. Helfgott conseguiu demonstrar a versão fraca. O responsável pela façanha tem 35 anos e vive em Paris, onde trabalha para o Centro Nacional para a Pesquisa Científica. Helfgott publicou uma solução parcial em 2012 e neste ano mais dois artigos que demonstrou, definitivamente, a Conjectura fraca de Goldbach.
No entanto, essa pesquisa dificilmente contribuirá para a comprovação de um dos problemas mais antigos não resolvidos da matemática, considerado por muitos o problema mais difícil da história dessa ciência. De acordo com o próprio Helfgott, a Conjetura de Goldbach “pode não ser resolvida nas nossas vidas”.
Edição II Jornal Matemática Para Todos 15 de fevereiro de 2016
Explorando e resolvendo um problema Prof. Ms. Wharton Martins Lima
Ao lecionar a disciplina A Arte de Resolver Problemas, para alunos do curso de Licenciatura em Matemática (IFRN–CNAT), tenho procurado encontrar situações-problema que possibilitem aos alunos uma estratégia de redescoberta que os auxiliem na resolução, no sentido de encontrar novos caminhos e, se possível, generalizar as soluções. Segundo LESTER (1982), são problemas de processo que exigem várias operações e estratégias adequadas que levam à construção da solução. Vejamos uma adaptação de um problema proposto por ZIMMERMANN (1985).
Problema: Em uma superfície retangular (Figura 1) existem 10 pontos, sendo que não há 3 pontos colineares e nenhum deles sobre algum vértice ou aresta do retângulo. Quantos triângulos podemos formar sem que os lados dos triângulos se cruzem?
EXPLORAÇÃO
(a)
(b)
(c)
Licenciatura em Matemática IFRN – CNAT �2
Noticiário ⏎
Em entrevista à Folha de SP, o matemático Marcelo Viana, novo presidente do Impa, fala sobre o ensino da matemática no Brasil . Ele abordou os problemas da educação básica no país e as preparações para o Biênio da Matemática no país, que acontece em 2017, ano em que sediaremos a Olimpíada Internacional de Matemática, e em 2018, ano em que o Rio de Janeiro sediará o Congresso Internacional dos Matemáticos. Segundo Viana, vivemos hoje um paradoxo: apesar de o Impa ser uma instituição de pesquisa de ponta e de termos um brasileiro como ganhador da Medalha Fields, o Brasil patina n a e d u c a ç ã o b á s i c a e a formação de professores nas licenciaturas é “catastrófica”. “As crianças nascem gostando de matemática. Os professores é que se encarregam de acabar com isso”, diz Viana. Leia a íntegra da entrevista no link: folha.com/no1734373
* * *
A Academia Brasi leira de Ciências (ABC) sediou, no final de 2015, simpósio com o tema “Desafios da Educação Técnico-Científica no Ensino Médio”. O evento contou com especialistas de diversas áreas com trabalhos ligados à educação e buscou discutir problemas como o ensino deficiente nas escolas e a má formação de professores. D a n i e l X i m e n e s ( C a p e s ) mostrou dados indicativos de que 80% dos ingressantes em cursos de l icenciatura em matemática não concluem o curso. Leia + bit.ly/mat-abc
Lados Pontos Triângulos
4 1 4
4 2 6
4 3 8
Edição II Jornal Matemática Para Todos 15 de fevereiro de 2016
Note que o número de triângulos em cada caso é dado por: (a) 4 = 2x1 + 2,; (b) 6 = 2x2 + 2; e (c) 8 = 2x3 + 2. De onde podemos deduzir que com 10 pontos é possível formar 2x10 + 2 = 22 triângulos. De forma geral, com n pontos é possível formar 2n + 2 triângulos.
Uma solução baseada nos ângulos internos
a) Vamos chamar de S1 a soma das medidas dos ângulos rasos em torno de cada ponto. No caso de 10 pontos, temos S1 = 10x360º = 3600º. No caso geral, ou seja, de n pontos, temos S1 = 360ºn.
b) Chamaremos de S2 a soma dos quatro ângulos retos. Em quaisquer dos casos, temos que S2 = 4x90º = 360º.
Mas dado que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, obtemos:
10 pts: (S1+S2)÷180º = 3960º ÷ 180º = 22 triângulos
n pts: (360ºn + 360º) ÷ 180º = 2n + 2 triângulos
Desafio
Se ao invés de retangular a figura fosse triangular, qual seria a expressão para o número de triângulos no caso de n pontos? E se fosse pentagonal ou hexagonal?
⚠ Mande suas soluções pra gente, no e-mail:
Referências bibliográficas
Charles, R. and Lester, F. Teaching Problem solving: What, why and how. Palo Alto, CA: Dale Seymour Publication, 1982.
Zimmermann, B. Find Problem Solving to Finding in Mathematics Instructor. Mathematics Education Research in Finland, 1985.
Licenciatura em Matemática IFRN – CNAT �3
Christian Goldbach (1690 – 1764)
Quem fez história ⏎
Christian Goldbach, filho de um pastor russo, estudou legislação e matemática. Viajou por toda a Europa e conheceu pessoalmente mui tos matemát icos famosos, incluindo Leibniz, Euler e Nicolau I Bernoulli. Muito pouco se sabe sobre sua juventude e sua vida antes de seu ingresso, em 1725, como professor de matemática e historiador, na Academia de Ciências de São Petersburgo. Foi lá, três anos mais tarde, que tornou-se tutor do czar Pedro II, Imperador da Rússia. Sua carreira como matemático é conhecida pelas inúmeras contribuições à Teoria dos Números, sendo a mais conhecida delas a conjectura que leva seu nome, à teoria das curvas, às series infinitas e à integração de equações diferenciais. Boa parte dessas contribuições foram registradas através de suas inúmeras cartas a matemáticos de várias partes do mundo, sendo o matemático suíço Euler àquele com quem mais se comunicou. Era a Euler que Goldbach solicitava que testasse suas teor ias e problemas matemáticos, em especial sobre sua conjectura a cerca da decomposição de números como soma de números primos. Essa correspondência com Euler marca Goldbach como um dos poucos homens de sua época que entenderam as implicações da nova abordagem de Fermat para a Teoria dos Números. Fonte: MacTutor History
Prof. Francisco Medeiros
Edição II Jornal Matemática Para Todos 15 de fevereiro de 2016
Fique esperto!Podemos dizer que nossa seção de problemas da edição anterior foi um sucesso. De fato, vários leitores nos enviaram a solução para o problema da “estrela camaleoa” e o aluno Gabriel Navarro 1º Ano de Mecânica (IFRN/CNAT), enviou a seguinte solução do problema “João & Maria”:
Para a Pergunta 1: Nunca se encontrarão, pois o limite de 27/3^n quando n tende a +∞ é igual a 0.
Comentário do editor: Teríamos aqui um paradoxo?
Para a Pergunta 2: Após a 5ª etapa, pois no começo dela estarão à ~110m um do outro, enquanto na etapa anterior estarão a ~ 300m.
Para a Pergunta 4: Para complicar a vida alheia.
Cruz vermelha
Você sabia que A Cruz Vermelha Internacional e seu logo foram criados pelo suíço e prêmio Nobel da Paz de 1901 Jean Hanri Dunant em 1863? E que ele usou uma inversão da bandeira suíça para criar o logo, ou seja, cruz em vermelho no fundo branco? É bem provável que você já tenha lido sobre isso por aí! Mas será que você é capaz de encontrar formas de dividir a “cruz vermelha” em quatros regiões de mesma área? Por exemplo, temos abaixo dois modos diferentes.
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Licenciatura em Matemática IFRN – CNAT �4
Sugestão de leitura ⏎
O H o m e m q u e Calculava. Resenha: Durante uma viagem à Bagdá, no meio da e s t r a d a , H a n k , o narrador da história, av i s ta um homem sentado embaixo de u m a á r v o r e , exclamando números
absurdamente altos. Com curiosidade, foi lhe perguntar o que significava todos aqueles números e acabaram tornando-se amigos. Seu nome era Beremiz Samir, um calculista brilhante que desenvolveu sua habilidade com o auxílio da natureza, contando ovelhas. De forma simples e fantástica, o calculista s o l u c i o n a e n i g m a s m a t e m á t i c o s aparentemente insolúveis, explorando suas mais diversas áreas e utilizando a lógica como ferramenta para a resolução dos problemas. No livro, a matemática é apresentada de forma divertida e variada no cotidiano das pessoas, trazendo um pouco de sua história e grandes nomes envolvidos nela.
Por Jáfia Gileane, estudante da Licenciatura em Matemática – IFRN / CNAT
Quem fez ⏎
Prof. Dr. Francisco Medeiros (editor e coordenador) [email protected]
Prof. Ms. Rafael Melo (colaborador) [email protected]
Prof. Ms. Wharton M. de Lima (colaborador) [email protected]
Jáfia Gileane (colaboradora) [email protected]
O Jornal Matemática para Todos é um Projeto de Extensão, aprovado junto à PROEX–IFRN pelo Edital de Fluxo Contínuo 01/2015, idealizado e produzido por professores e estudantes do Curso Superior de Licenciatura em Matemática do IFRN, Campus Natal Central.
