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1 – Matrizes: Operações e Propriedades
2 – Determinantes: operações e aplicabilidade.
Prof. Luciano Soares Pedroso
agosto de 2015.
Álgebra Linear
O QUE É UMA MATRIZ
Uma matriz pode ser definida como uma tabela onde os valores são dispostos em linhas e colunas. A diferença fundamental entre uma matriz e uma tabela normal é que na matriz representamos apenas os dados numéricos da tabela, para que os cálculos sejam facilitados..
Vamos entender melhor como interpretar as informações de uma tabela analisando a tabela abaixo que mostra as informações nutricionais de quatro alimentos vendidos em uma lanchonete.
A tabela representada anteriormente pode ser representada na forma de uma matriz com 4 linhas e 6 colunas, ou uma matriz 4x6.
Em relação à essa matriz, vamos responder às seguintes perguntas:
a) Em que linha e coluna está o número 302?Na quarta linha e primeira coluna.b) Na matriz, o que representa o número 4,2?A quantidade de gorduras trans, em gramas,
presentes em uma porção de batatas.
c) Que elemento está na terceira linha e quinta coluna?
É o número 0
d) Quantos elementos há na matriz.24 elementos.
Observação: podemos encontrar o número de elementos de uma matriz multiplicado seu número de linhas por seu número de colunas.
De maneira geral, representamos uma matriz da seguinte forma:
,ordem m indica o número de linhas e n o número de colunas da matriz.
Poderíamos representar a matriz do exemplo anterior por
Já os elementos costumam ser representados com uma letra minúscula , onde i indica a linha na qual o elemento se encontra e j a coluna.Na matriz indicada no exemplo, temos que:
OBSERVAÇÃO 1:
Neste momento, é interessante que se trabalhe outras aplicações com matrizes. Abaixo temos outro exemplo de aplicação, brevemente descrito, porém poderíamos desenvolver uma motivação semelhante a desenvolvida sobre as empresas e produtos fabricados.
Atividade sobre Aeroportos
Vamos supor que dos aeroportos de quatro cidades partem vôos diários. No esquema abaixo, (1), (2), (3) e (4) representam essas cidades e as linhas, os vôos existentes entre elas.
(1)
(4)
(2)
(3)
Podemos associar a essa situação uma matriz A=(a) , que estabelece se há ou não vôo direto entre as cidades, de modo que:se as cidades possuem ligação entre elas, ou seja, se há vôo direto entre uma e outra, definimos a = 1;se as cidades não se ligam diretamente, o que na situação descrita significa que não há vôo direto entre elas, consideramos a = 0;
Em nosso exemplo, para montar a matriz A devemos “combinar os pontos dois a dois, incluindo a “combinação” de cada ponto com ele mesmo. Assim, na matriz A:
Portanto, a matriz procurada é:
A= 1 1 1 11 1 1 01 1 1 01 0 0 1
A princípio o desenho pode parecer mais simples que a matriz, mas pense no que aconteceria se tivéssemos 200 ou mesmo 1000 cidades.
Nesses casos, consultar as matrizes provavelmente seria mais fácil. Observe que essas matrizes teriam tamanho 200x200 ou 1000x1000 e poderiam estar armazenadas em computadores que permitissem uma consulta rápida para sabermos se duas cidades possuem ou não rota aérea direta entre elas e, até mesmo, que conexões são possíveis para ir de uma cidade à outra.
OBSERVAÇÃO 2:
Como retomada dos conceitos estudados, sugerimos uma também uma outra aplicação, como a que segue abaixo, de controle de trânsito.
Matrizes e Controle de Tráfego em Cruzamentos
(2)
(1) (3)
As matrizes M1, M2 e M3 indicam o tempo, em minutos, durante o qual alguns
semáforos se mantêm simultaneamente abertos segundo a seqüência dada:
de
a) M1=
()()()
123
011100000
para (1) (2) (3)
Inicialmente, durante 1 minuto, ficam verdes os semáforos de (1) para (2), de (1)
para (3) e de (2) para (1).
de
b) M2=
()()()
123
00012
012
012
0
para (1) (2) (3)
Em seguida, durante meio minuto ficam verdes os semáforos de (2) para (1)m de (2)
para (3) e de (3) para (2).
c) M3=
()()()
123
0012
00012
12
0
para (1) (2) (3)
Por fim, durante meio minuto ficam verdes os semáforos de (3) para (1)m de (3)
para (2) e de (1) para (3).
A matriz M, obtida de M1, M2, e M3, termo a termo, mostra o tempo que cada
semáforo fica aberto em cada sentido no período de 2 minutos:
de
M =
()()()
123
0132
32
012
12
10
para (1) (2) (3)
Para essa matriz observamos, por exemplo, que o semáforo de (2) para (1) fica aberto
durante 1 minuto e meio a cada período de 2 minutos.
Se multiplicarmos todos os termos da matriz M por 30, obteremos o tempo, em
minutos, que cada semáforo fica aberto durante 1 hora:
30 x M=
0 30 4545 0 1515 30 0
No caso dessas ruas, sabe-se que é possível passar até 20 carros por minuto cada vez
que os semáforos se abrem. Então, se multiplicarmos por 20 todos os termos da matriz
anterior, teremos a quantidade máxima de carros que podem passar por esse “cruzamento”
no período de 1 hora:
20 x 30 x M =
0 600 900900 0 300300 600 0
Se o número de carros em alguma das direções for maior que a quantidade máxima possível, teremos um engarrafamento, que poderá ou não ser resolvido alterando-se os tempos de abertura dos semáforos, isto é, modificando-se os valores nas matrizes M1, M2 e M3.
A Rotatória Mágica é tão eficiente que quarenta anos depois, mesmo com o aumento do volume de tráfego e em horários de pico, ela ainda funciona perfeitamente. Mas os números falam por si: Durante os primeiros 25 anos, houveram apenas 14 acidentes graves na rotatória e pouco mais de cem colisões menores – uma taxa bem menor do que esperada em uma junção tão movimentada. A maioria dos acidentes envolveram ciclistas e motociclistas, mas o problema deve ser minimizado agora que uma ciclovia foi implantada do lado de fora da rotatória.Embora pareça intimidante, estatisticamente, o Magic Roundabout é um dos cruzamentos mais seguros da Inglaterra.
Read more: http://molhoingles.com/rotatoria-magica-inglaterra/#ixzz3i8VWsoTw
Definição de Matrizes
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn = [a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
M M Mam1 am2 K amn
] = [aij]mxn
matriz A de m linhas e n colunas
Elemento da linha ie coluna j
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna
Pensei que fosse aquele filme!
TIPOS DE MATRIZES
214
311
221
Matriz quadrada
m = n (x linhas = x colunas)
Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
DiagonaisSó tem sentido falar de diagonais
em matrizes quadradas.
Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)
Elementos dadiagonal principal:
1, 1 e 2
Elementos dadiagonal secundária:
2, 1 e 4
400
210
112
Matriz triangular superior
Matrizes Triangulares
2754
0432
0011
0002
Matriz triangular inferior
500
020
004
Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são
todos nulos.
Lembre-se o ou da matemática não é excludente, ou seja, vale também
quando ambos são verdade!
Esta também é uma matriz triangular!
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares
são quadradas.
Casos especiais de Matrizes
Triangulares. Matriz identidade
700
040
002
100
010
001
Matriz diagonal
Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero
A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal
são todos iguais a um.
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares
são quadradas. Chatice hein!
Chamamos a matriz acima de I3
(identidade de ordem 3)
No geral, In onde n é a ordem da matriz.Todas as Triangulares são quadradas, logo,
a diagonal e a identidade são quadradas.
0000
0000
0000
Matriz nula
Todos os elementos são nulos.
Chamamos a matriz nula de Omxn
Então essa é O3x4
A Matriz nula não precisa ser quadrada!
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos
correspondentes são iguais.
421
21 3
112
421
21 3
112
Caso ao olhar essas duas
matrizes e não ver que elas são iguais,
favor procurar o oculista.
Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m )
3x2 41
30
12
=A .
431
102
2x3
=At
Matriz A transposta
Simétrica Matriz quadrada tal que At = A
2x2 23
31
=A
2x2 23
31
=At
Matriz A transposta
Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A
3x3 013
102
320
=A
3x3 013
102
320
=At
=Os elementos da transposta
são os opostos da original.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição
[1 −14 02 5 ]+[ 0 4
−2 51 0 ] = [1 3
2 53 5 ]
Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.
+ =É sempre possível somar matrizes?
Não! Somente quando estas forem de mesma
ordem.
Se liguem, o mesmo vale pra subtração.
Multiplicação por escalar
Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.
31
102 2.
2.3 2.1
2.102.2=
6 2
204=
Matriz A Matriz -2A
Multiplicação de matriz por matriz
CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.
2x2
3x2
40
11 .
35
24
12
3x2 3.4153.05.1
2.4142.04.1
1.4121.02.1
+)(+
+)(+
+)(+=
75
44
22=
Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.
O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.
Ihhh... Aqui fu...!
[2 14 25 3 ]3x2
.[1 −10 4 ]2x2
75
44
22=2.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4
4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.45.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4
Observe, multiplicamos
ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o
primeiro elemento da elemento com o
primeiro da coluna e por aí vai...
Propriedades do produto de matrizes
As propriedades básicas do produto de matrizes são dadas pelo seguinte teorema:
a) A(BC) = (AB)Ca) A(BC) = (AB)Cb) A(B + C) = AB + ACb) A(B + C) = AB + ACc) (A + B)C = AC + BCc) (A + B)C = AC + BC
Note que, dadas duas matrizes ANote que, dadas duas matrizes Amxpmxp e B e Bpxnpxn, então A.B , então A.B pode ser calculada (mxn). Quanto a B.A pode ocorrer:pode ser calculada (mxn). Quanto a B.A pode ocorrer:
1. o produto B.A pode não ser definido1. o produto B.A pode não ser definido2. (m=n) e B.A é definida 2. (m=n) e B.A é definida mas A.B mas A.B B.A B.A (tamanho)(tamanho)3. A.B e B.A podem ter o mesmo tamanho mas A.B 3. A.B e B.A podem ter o mesmo tamanho mas A.B B.A B.A4. A.B = B.A4. A.B = B.A
Propriedades do produto de matrizes
Exemplos:
2312
A 22
3211
B 22
321
432A 32
52432851
2914B 43
21
12A 22
51
15B 22
EXEMPLO 1
1) Seja A =
143201
e seja B =
012
411
Calcule A + B.
41
EXEMPLO 2
2) Seja A =
143201 e seja B =
012
411 .
Calcule A – B.
42
EXEMPLO 3
3) Calcule o produto das matrizes:
205312
.021102321
43
EXEMPLO 4
4) A matriz A de ordem 2 x 3 definida por , .i ja i j é dada por:
a)
321642
b)
1242621
c)
642321
d)
321111
e)
321642
44
EXEMPLO 5
5) Dadas as matrizes
654321
A
102231
B
calcule a matriz A – Bt é:
45
Tipos de MatrizesMatriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é
igual ao de colunas.
Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original.
632420531
A
645323201
TA
Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.
Ex: matriz identidade matriz identidade
de 2ª ordem de 3ª ordem1 0 0
1 00 1 0
0 10 0 1
A B
diagonal principal
Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Traço da Matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal.
Traço: 4 + 2 + 6 = 12
Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
613025004
300050002
Matriz Simétrica: TAA
1 2 02 7 40 4 3
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.
Matriz Anti-Simétrica: TAA
0 5 25 0 12 1 0
Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.
Matriz Inversa: 1A
O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade.
IAA 1.Sendo
3524
A , determine 1A
det A = 12 – 10det A = 2
24
25
22
23
4523
225
123
1A
Matrizes booleanasMatrizes constituídas apenas de zeros e 1’s são frequentemente utilizadas para representar estruturas discretas.
DefiniçãoDefinição: Uma : Uma matriz booleanamatriz booleana é uma matriz mxn é uma matriz mxn em que os elementos são zeros ou uns.em que os elementos são zeros ou uns.
ExemploExemplo::
001001010100110
B
George Boole - 1864
Operações com matrizes booleanas
Def.: sejam A=[aij] e B=[bij] duas matrizes booleanas,
0be0ase01bou1ase1
cijij
ijijij
1) A1) AB=C=[cB=C=[cijij] é a ] é a junçãojunção ( (máximomáximo) de A e B, dada ) de A e B, dada por: por:
2) A2) AB=D=[dB=D=[dijij] é o ] é o encontroencontro ( (mínimo) de A e B, dado ) de A e B, dado por: por:
Note que A e B Note que A e B devem ter o devem ter o mesmo mesmo tamanhotamanho
0bou0ase0
1be1ase1d
ijij
ijijij
Operações com matrizes booleanas
Exemplo: Calcule a junção e o encontro de:
010101
A
SoluçãoSolução::
011010
B
011111
001110011001
BA
010000
001110011001
BA
Operações com matrizes booleanas
Def.: Sejam as matrizes booleanas A=[aij] (mxp) e B=[bij] (pxn). O produto booleano de A e B é a matriz C mxn cujos elementos são dados por:
cij = (ai1b1j) (ai2b2j) ... (aipbpj)
Denota-se este produto por ADenota-se este produto por ABB
Note que esta operação é idêntica à multiplicação matricial Note que esta operação é idêntica à multiplicação matricial ordinária em que:ordinária em que:
- a adição é substituída por - a adição é substituída por - a multiplicação é substituída por - a multiplicação é substituída por
Produto booleanoExemplo: Encontre o produto booleano de A e B, onde:
011001
A
Note que #colunas de A Note que #colunas de A deve ser = #linhas de Bdeve ser = #linhas de B
110011
B
100110110011110011100110100110110011
BA
011110011
000101101000000101
BA
Operações com matrizes booleanas
Teorema: Se A, B e C são matrizes booleanas, então:
1)1) a) A a) A B = B B = B A Ab) A b) A B = B B = B A A
2)2) a) (A a) (A B) B) C = A C = A (B (B C) C) b) (A b) (A B) B) C = A C = A (B (B C) C)
3)3) a) A a) A (B (B C) = (A C) = (A B) B) (A (A C) C) b) A b) A (B (B C) = (A C) = (A B) B) (A (A C) C)
4)4) A A (B (B C) = (A C) = (A B) B) C C
I – DefiniçãoÉ um número associado a uma matriz quadrada.
II – Determinante de uma matriz de 2ª ordemSeja a matriz A =
2221
1211
aaaa , então:
21122211 .. aaaa det A =
DETERMINANTES
Ex: 4132
det = 2 . (- 4) – 1 . (- 3)det = -8 + 3det = -5
III – Determinante de uma matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus)Ex: 3 1 2
4 3 11 6 5
6134
13
561134213
det = 3.(-3).5 + 1.1.(-1) + 2.4.6 – (-1).(-3).(2) – 6.1.3 – 5.4.1det = – 45 – 1 + 48 – 6 – 18 – 20det = – 42
IV – Menor Complementar (Dij)É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a linha e a coluna do elemento aij considerado.Ex. Sendo
0 1 23 4 52 7 1
A
, calcule D12
1253
det = 3 + 10det = 13D12 = 13
V – Cofator
Ex. Dada a matriz 0 1 23 4 52 7 1
A
, calcule C21
ijji
ij DC .)1(
2112
21 .)1( DC
1721
.)1( 321
C
]141[.)1(21 C 1521 C
Propriedades dos Determinantes:1ª propriedade:Se os elementos de uma linha ou coluna de umamatriz quadrada forem todos iguais a zero, o seu determinantes será zero.Ex. 3 0 5
4 0 16 0 2
2ª propriedade:Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, o seu determinante será zero.Ex. 2 6 2
3 5 34 1 4
3ª propriedade:Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o determinante é o simétrico do anterior.Ex. 2 5 5 2
e 3 4 4 3
det = 15 – 8det = 7
det = 8 – 15det = -7
4ª propriedade:Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna por um número real k, então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número k.Obs: Conseqüência da propriedade:
det ( ) detnk A k A , onde n é a ordem da matriz.
Ex: Sendo A3x3, e det A = 5, calcule det (2A).det (2A) = 23 . det Adet (2A) = 8 . 5det (2A) = 40
5ª propriedade:O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta.
det det tA A
6ª propriedade:O determinante de uma matriz A igual ao inverso do determinante da matriz inversa de A.
1
1detdet
AA
7ª propriedade:O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.Ex: 3 0 0 0
5 2 0 06 1 4 07 2 3 2
det = (-3) . 2 . 4 . 2det = - 48
8ª propriedade: Teorema de BinetSendo A e B duas matrizes quadradas temos que: det (A.B) = det A . det B
1432
e B=
2320
calcule det (A.B).Dadas as matrizes A =
det (A . B) = det A . det Bdet (A . B) = (-14) . 6det (A . B) = -84
Referência
Howard, A.; Rorres C. Álgebra Linear com Aplicações (trad. Claus Ivo Doering), 8ª edição, Bookman, Porto Alegre, 2001, 572p.
