1 Origens/Fundamentos da Mecânica Quântica Prof a Tatiana da Silva Física 3 (FSC5163) – EEL Terça-feira, 28 de outubro de 2008

1

Origens/Fundamentos da Mecânica Quântica

Profa Tatiana da SilvaFísica 3 (FSC5163) – EEL

Terça-feira, 28 de outubro de 2008

3

Conflitos com evidências experimentais

• Emissão de radiação eletromagnética pela superfície de um corpo aquecido: CORPO NEGRO

•Física Clássica: a intensidade luminosa emitida é infinita •Experiência: as observações experimentais resultaram em leis empíricas que prescindiam de fundamentação teórica

• Espectros de absorção de luz dos gases atômicos e moleculares•Física Clássica: não explica•Experiência: absorção em frequências bem definidas

• Luz capaz de arrancar elétrons da superfície de um sólido: EFEITO FOTOELÉTRICO

•Física Clássica: luz com frequência qualquer •Experiência: luz com frequências acima de um limiar fmin característico do material

• Energia térmica dos corpos (ligada ao movimento térmico de seus átomos)

•Física Clássica: decréscimo linear com a temperatura quando o material é resfriado•Experiência: decréscimo mais pronunciado

4

1) Radiação de Corpo Negro

Um dos fenômenos mais intrigantes estudados no final do século XIX era o da distribuição espectral da radiação do corpo negro.

Conceito de corpo negro:

- É um sistema ideal capaz de absorver radiação de qualquer comprimento de onda da radiação eletromagnética que incide sobre ele, bem como emitir toda a radiação eletromagnética para qualquer frequência. Essa superfície ideal é chamada de corpo negro. Todo corpo negro é igualmente um absorvedor e um emissor de radiação.

Embora o “termo” negro seja usado, essa cavidade não precisa ser negra necessariamente. Um corpo negro pode ter qualquer cor, desde que se encaixe na definição de absorvedor e emissor ideal.

5

As características da radiação desta cavidade dependem somente da temperatura das paredes do radiador.

A emissão de radiação é a mesma para vários corpos em equilíbrio térmico, independentemente do material constituinte, da massa, do volume, forma etc.

1.Lei de Stefan-Boltzmann:

I: intensidade (potência por unidade de área)

4TI

Constante de Stefan-Boltzmann

42810)19(67051,5

Km

W

Temperatura Absoluta

6

2.I não é distribuída uniformemente ao longo de todos os comprimentos de onda

emitância espectral I(): intensidade por intervalo de comprimento de onda. No SI: [I()] =W/m3

0

)( dII

Intensidade total:

I()dintensidades compreendidas no intervalo entre ed

Medidas de I() para várias temperaturas:

KmTpico 310898,2

7

Segundo Wien:

Lei de deslocamento de Wien: para cada temperatura a curva toda sofre um deslocamento. À medida que a temperatura aumenta, o pico de I() torna-se cada vez mais elevado e se desloca para comprimentos de onda menores

Quem brilha mais (+quente) um corpo queemite luz amarelaou um que emite luzvermelha?

A experiência mostra que a forma da função distribuição é a mesma para todas as temperaturas.

8

Exemplo:

Pode-se aproximar o Sol como sendo um corpo negro. Fazendo-se a luz solar passar por um prisma e medindo-se a intensidade de energia para as diversas frequências, obtém-se uma curva espectral.O valor máximo da curva corresponde a uma radiação de frequência aproximadamente igual a 5,6.1014 Hz

- O comprimento de onda do máximo será pico:

pico = c/fpico=(3.108 m/s)/(5,6.1014 Hz) = 5357.10-10m centro do espectro visível

- Usando a lei de deslocamento de Wien:

pico T = 2,898 10-3 -> T = 5410 K

9

As tentativas de explicar os resultados experimentais disponíveis em torno de 1890 mostrando a distribuição espectral da densidade de energia (emitância) a uma dada temperatura, não foram bem sucedidas. Os trabalhos teóricos realizados utilizando os conhecimentos da mecânica clássica e da termodinâmica não podiam explicar os resultados obtidos.

(1) Rayleigh (em linhas bem gerais):

Um pequeno furo numa caixa poderia se comportar como um corpo negro ideal.Considerou a luz dentro dessa caixa com paredes perfeitamente refletoras. A caixa possui um série de modos normais para as ondas eletromagnéticas. Supôs que a distribuição de energia entre os diferentes modos pudesse ser calculada usando-se o teorema da equipartição de energia. Supôs, então, que a energia total de cada modo normal deveria ser igual a kT. Chegou ao resultado para a distribuição de intensidade: 4

2)(

ckT

I

Concorda para grandes comprimentos de onda.

Concorda para pequenos comprimentos de onda.

10

Rayleigh: 4

2)(

ckT

I

I,0 Curva experimental tem o comportamento oposto!Catástrofe do ultravioleta.

d

ckTI

0 4

2

11

-As teorias de Wien (1896 - descrição de corpos negros com base em osciladores) e de Rayleigh (1900 - descrição de corpos negros com base em ondas estacionárias) falhavam num ou noutro extremo do espectro. Até 1900 não havia uma descrição completa do comportamento da radiação de corpo negro...

- Max Plank em 1900 verificou que uma nova forma de encarar o modo como as partículas da caixa geravam a radiação eletromagnética seria necessária para explicar o comportamento da radiação emitida por corpos negros.

12

2) A quantização de Plank

Planck considerou que:

- no interior de uma caixa fechada em equilbrio térmico, a radiação eletromagnética é constantemente gerada e absorvida pelas paredes da caixa. Como modelo, Planck considerou que as paredes eram formadas de osciladores harmônicos (elétrons) carregados, com frequência natural de oscilação f.

- para obter um resultado para a distribuição de energia eletromagnética (entre as diferentes frequências do espectro de radiação) em acordo com os resultados experimentais, Planck supôs que a energia E do oscilador era quantizada, isto é, um múltiplo inteiro do quantum de energia h:

A constante h é chamada constante de Plank e é igual a:

Pelo fato de a constante de Planck ser muito pequena, o quantum de energia hf é muito menor do que as energias típicas de um oscilador macroscópico.

346,626069 10h J s

,...3,2,1,0, nnhfE

13


- Os osciladores não irradiam continuamente mas pulando de um estado estacionário para outro. Nessa transição liberam ou absorvem energia discretamente no valor:

- A distribuição de intensidades obtida por ele foi:

hfnnEEE )( 1212

)1(

2)(

/5

2

kThce

hcI

Concorda com os dados experimentais.

14


0)((

d

Id

)1(

2)(

/5

2

kThce

hcI

Lei de deslocamento de Wien.

0

)( dI

Lei de Stefan-Boltzmann

15

2) A quantização de Plank: Resumo

1. A quantização não é relevante para osciladores macroscópicos a “granulação” associada ao quantum de energia é tão pequena que a torna indistinguível da variação contínua de energia prevista pela Mecânica Newtoniana.

2. Planck foi bem-sucedido em resolver o problema da radiação de corpo negro mas nem ele entendia/aceitava a quantização.

3. A hipótese da discretizacao das energias de partículas vibrando, por parte de Planck, não encontrava nenhum análogo na época. Era tão radical que, mesmo reproduzindo exatamente uma observação experimental, não foi aceita até que viesse a ser adotada por Einstein em 1905.

4. A importância fundamental da sua hipótese sobre a quantização da foi valorizada quando Einstein (1905) aplicou idéias semelhantes para explicar o efeito fotoelétrico. Para isto ele sugeriu que a quantização era uma propriedade fundamental da radiação eletromagnética.

16

O efeito fotoelétrico

1. Foi descoberto por H. Hertz, de forma acidental, em 1887 ao realizar o seu experimento de geração de ondas eletromagnéticas em laboratório (a luz é uma onda). Hertz percebeu que a incidência de luz ultravioleta sobre a superfície de um metal produzia descargas elétricas (centelhas).

2. Observou-se que alguns eletroscópios podiam ser descarregados quando iluminados por luz, especialmente a luz ultravioleta (1888);

3. Conforme observado por Thomson essas descargas eram constituídas de elétrons arrancados da superfície graças à energia fornecida pela luz (1897).

O efeito fotoelétrico consiste na emissão de partículas carregadas (elétrons,íons) de um meio material qualquer que absorva radiação eletromagnética (luz visível, ultravioleta, raios X etc.).

O efeito fotoelétrico consiste na emissão de partículas carregadas (elétrons,íons) de um meio material qualquer que absorva radiação eletromagnética (luz visível, ultravioleta, raios X etc.).

17

Esquema simplificado do experimento: aplica-se uma diferença de potencial elétrico V entre o cátodo e o ânodo. O cátodo é iluminado com luz de frequência f e intensidade I. Mede-se a corrente elétrica i que circula no circuito em função do potencial aplicado, para diferentes intensidades I da luz de frequência.

Gráfico da corrente elétrica no circuito em função do potencial aplicado para diferentes intensidades Ij da luz de frequência f. Todas as curvas mostram o mesmo potencial de corte V0.


A energia de cada fotoelétron é uma função crescente da frequência da luz empregada no efeito. E, o efeito só ocorre a partir de uma determinada frequência da luz, chamado frequência de limiar, que depende do meio usado.

f constante

-V0

f0 3f0 5f0f

maxcinE

18

O coeficiente angular fornece o valor de h sendo uma propriedade universal do efeito fotoelétrico. Os vários meios metálicos são caracterizados por diferentes valores da função trabalho Wmin e da frequência de limiar f0; entretanto, o coeficiente angular tem o mesmo valor para todos eles.

Abaixo desse limiar de frequência f0 não há o efeito.

A explicação do efeito fotoelétrico e de suas principais propriedades, foi apresentada por Einstein. Segundo ele, as partículas de luz deveriam chocar-se contra os elétrons, transferindo energia para eles na colisão. Como o elétron está preso no material e, para libertar-se de sua “prisão energética”, precisa receber uma certa dose de energia que fisicamente, corresponde ao trabalho realizado W. Essa “dose” de energia para arrancar o elétron “à força” é chamada de função trabalho Wmin

A explicação do efeito fotoelétrico e de suas principais propriedades, foi apresentada por Einstein. Segundo ele, as partículas de luz deveriam chocar-se contra os elétrons, transferindo energia para eles na colisão. Como o elétron está preso no material e, para libertar-se de sua “prisão energética”, precisa receber uma certa dose de energia que fisicamente, corresponde ao trabalho realizado W. Essa “dose” de energia para arrancar o elétron “à força” é chamada de função trabalho Wmin

minmax WhfEcin

19

min0 WhfeV

0max

max0 0

eVE

EEeVW

cin

cincintot

Cálculo da Energia Cinética Máxima:

e

Wf

e

hV min

0

Diferença de potencial necessáriaPara reduzir a corrente a um valor nulo

• Não depende da Intensidade!• A intensidade das OEMs não depende da frequência;• A Física Clássica não explica também a existência de uma frequência de corte; O elétron ganha a energia total do fóton ou não absorve energia nenhuma. O elétron escapa da superfície se a energia é maior que a função trabalho.

21


É importante ressaltar que Plank não havia sugerido anteriormente que a luz seria constituída por pacotes discretos de energia. Essa interpretação de Einstein é de fato original. Planck “quantizou” apenas a emissão e absorção de radiação pelos átomos.

É importante ressaltar que Plank não havia sugerido anteriormente que a luz seria constituída por pacotes discretos de energia. Essa interpretação de Einstein é de fato original. Planck “quantizou” apenas a emissão e absorção de radiação pelos átomos.

Em 1905 Einstein “generalizou” a hipótese de Planck introduzindo o quantum de luz, ele quantizou a própria radiação, ou seja, a própria luz. Em vez de quantizar a energia do oscilador, Einstein propôs que os processos de geração e absorção de luz de frequência ocorressem como se a luz fosse constituída de quanta de energia h, com h representando a constante de Planck. Resgatou, de certa forma, o conceito de partículas de luz.• Se a luz fosse realmente constitída de partículas, toda a interpretação ondulatória estaria comprometida!• Como explicar, por exemplo, que a luz sofre interferência se ela é feita de partículas?-> Aparente desacordo com a teoria eletromagnética.

22


A confirmação experimental da relação linear entre Emax e da universalidade do coeficiente angular só veio dez anos após o trabalho teórico de Einstein. Entre 1914 e 1916, R. Millikan publicou uma série de trabalhos experimentais sobre a variação de Emax com a frequência para vários meios metálicos diferentes. Esses resultados confirmaram a validade da equação, fornecendo o seguinte valor experimental para a constante de Planck h: 6,57.10-34 J.s compare com o valor atual h= 6,626069.10-34 J.s

Mesmo após a confirmação experimental, a reação a da comunidade científica a essa interpretação foi desfavorável. O próprio Einstein evitava interpretar os seus quanta de luz como partículas. Entretanto, já em 1909, Einstein propunha que a teoria definitiva da luz deveria surgir de uma fusão dos conceitos ondulatório e corpuscular.

Mesmo após a confirmação experimental, a reação a da comunidade científica a essa interpretação foi desfavorável. O próprio Einstein evitava interpretar os seus quanta de luz como partículas. Entretanto, já em 1909, Einstein propunha que a teoria definitiva da luz deveria surgir de uma fusão dos conceitos ondulatório e corpuscular.

O quantum de luz de Einstein foi gradualmente assumindo o seu caráter de corpúsculo, dando origem ao conceito de fóton (nome introduzido pelo físico-químico americano G. Lewis em 1926).

26

A experiência de Compton consistiu na incidência de fótons de frequência na faixa de Raios X com comprimento 0, em um alvo de grafite:

A experiência de Compton consistiu na incidência de fótons de frequência na faixa de Raios X com comprimento 0, em um alvo de grafite:

3) O Efeito Compton

27

As intensidades dos raios X espalhados foram medidas como função dos comprimentos de onda para vários ângulos de espalhamento. Os resultados obtidos foram:

As intensidades dos raios X espalhados foram medidas como função dos comprimentos de onda para vários ângulos de espalhamento. Os resultados obtidos foram:

O Efeito Compton

Observa-se que embora o feixe incidente consistisse de um único comprimento de onda 0, os raios X espalhados tem máximos de intensidades em dois comprimentos de onda. Um deles é o próprio 0 e o outro, é maior que 0 e é representado por 1. A quantidade = 1 – 0 é chamada de deslocamento Compton e depende do ângulode espalhamento.

28

A presença do comprimento de onda 1, não pode ser entendida se os raios X forem encarados como ondas eletromagnéticas. A presença do comprimento de onda 1, não pode ser entendida se os raios X forem encarados como ondas eletromagnéticas.

O Efeito Compton

Explicação dada por Compton: supôs que o feixe de raios X incidente fosse um conjunto de

fótons, cada um com energia E= hf. Os fótons colidem com os elétrons livres do alvo da mesma forma

que bolas de bilhar.

Observa-se que: os fótons são encarados como partículas, e não como ondas; Ao contrário do efeito fotoelétrico, eles são espalhados ao invés de

serem absorvidos.

Classicamente, os elétrons livres do grafite oscilam com a mesma frequência fda onda incidente. Esses elétrons, como qualquer carga, devem irradiar ondas eletromagnéticas com a mesma frequênciaf. Modelo clássico: apenas um comprimento de onda deveria ser observado na onda espalhada.

29

O espalhamento Compton

Como qualquer partícula, o fóton além de possuir energia E = hf, onde fé a sua frequência, possui também momento linear . A relação entre a energia E e o módulo do momento p para uma partícula de massa de repouso m0 é:

A condição que o fóton tenha velocidade da luz c implica que sua massa seja nula, m0 = 0. Sua energia relativística é puramente cinética.

Logo, E = pc, p=E/c exatamente a relação entre energiae momento de uma onda eletromagnética prevista pela teoria deMaxwell.

p

Combinando com a relação de Einstein:

O vetor momento linear do fóton tem sua direção determinada pela direção de propagação da onda eletromagnética associada que por sua vez coincide com a direção do vetor número de onda k = 2:

34

2

1,054572 10

hp k k

J s

h

c

hfppchfE

220

2 )()( cmpcE

30


E0=h

p0=E0/c

E1

00 hfE

00

hp

11

hp

11 hfE

222

102

1

2220

2

10

cmcpcpcpcm

cpcmcpcpcm

EEEE

eee

eee

eerepouso

E conservação de momento linear do sistema fóton+elétron:

Compton supôs a energia relativística:

11

00

1021

20

2

1010

,

cos2

h

ph

p

ppppp

pppppp

e

ee

31


= λ1 – λ0 = λc (1 - cos θ)

onde λc = h / (mec) é o comprimento de onda de Compton para elétrons.

Obteve uma relação entre os comprimentos de onda do fóton incidente e do fóton espalhado em função do ângulo de espalhamento, verificada com boa precisão pelos dados experimentais:

3412

31 8

6,6260693 102,42 10 0,0242

9,1093826 10 3 10 /ce

h Jsm

m c kg m s

Å

32

O Efeito Compton

A expressão do deslocamento Compton, explica os dados experimentais:

O primeiro máximo está associado aos elétrons que estão fortemente ligados aos átomos do alvo e que também participam do processo de colisão. Se um elétron de massa m0 não é ejetado de um átomo de massa M, quem sofre recuo durante a colisão é o próprio átomo. Nesse caso a massa característica para o processo é a massa M do átomo, que deve substituir a massa eletrônica m0 na expressão do comprimento de onda Compton. Como M>>m0, cerca de 22000m0 para o carbono, logo é extremamente pequeno, e o comprimento de onda do fóton espalhado fica praticamente inalterado.

O segundo máximo deve-se aos fótons que são espalhados pelos elétrons “livres”, que são liberados na colisão, então, esses fótons têm seus comprimentos de onda modificados.

O espalhamento Compton (1923) permitiu confirmar a natureza corpuscular da radiação eletromagnética.

33

O Efeito Compton

O espalhamento Compton (1923) permitiu confirmar a natureza corpuscular da radiação eletromagnética;

Foi importante para confirmar a existência do fóton;

Demonstrou que as partículas de radiação têm energia e momento linear, grandezas que variam em uma colisão segundo as leis da mecânica relativística.

34

Exercício:

5) Fótons de comprimento de onda 0=0,024Å incidem sobre elétrons livres. Ache o comprimento de onda 1 de um fóton que é espalhado de um ângulo = 300 em relação à direção de incidência e a energia cinética transferida ao elétron.

Solução:

01 0

1

0 10 1

29 810 10

16

(1 cos ) 0,0243(1 cos30 ) 0,003256

0,024 0,003256

1 1( )

1 16,63 10 3 10

0,024 10 0,027 10

92,08 10 57550 0,058

C

c p p hc

J eV MeV

c

c

c

Å

Å + Å = 0,027Å

E

E

E

35



Terça-feira, 4 de novembro de 2008

36

4) Espectros Atômicos

Desde o século XVII, já se sabia que as substâncias aquecidas emitiam luz com espectro discreto.

38

Espectros de emissão

-> Não havia explicação para o fato dele ser descontínuo, ou seja, a existência de frequências (cores) da luz emitida tão bem definidas.

-> Essa luz emitida pelos átomos excitados era associada ao movimento dos elétrons mas nem o modelo de Rutherford era compatível com o espectro descontínuo.

-> Kirchhoff demonstrou que os comprimentos de onda emitidos por uma substância coincidem com aqueles que esta mesma substância é capaz de absorver. Seu método é baseado numa propriedade muito importante: cada elemento químico tem seu espectro característico, que é o mesmo tanto para emissão como para a absorção de luz: o espectro funciona como uma “impressão digital" de cada elemento químico.

39

Espectros Atômicos

Dalton (1803-bola de bilhar): o átomo é uma esfera maçica, indivisível e neutra.

Thomson (1897 - pudim de passas): o átomo é uma esfera maçica, positiva com elétrons encravados nela.

Sabia-se muito pouco sobre a estrutura atômica nessa época. Vamos a uma breve recaptulação dos modelos atômicos existentes até então:

descoberta do elétron (1897)quantização da carga do elétron (1910)

40

Espectros Atômicos

Rutherford (1911 - modelo planetário): o átomo tem um núcleo positivo e muito pequeno ao redor do qual giram os elétrons.

descoberta do núcleo atômico

Inconsistência: Um elétron girando em torno do núcleo está submetido a uma aceleração centrípeta e em função disso há emissão de radiação, o que faria o elétron perder energia até colidir com o núcleo!

Propostas de solução!

41

Espectros Atômicos

-> Resultados experimentais já demonstravam que o átomo de hidrogênio era o mais simples de todos, contendo apenas um único elétron e o núcleo atômico Z = 1

O espectro do hidrogênio já havia sido medido conforme mostrado no início da aula. Os 4 comprimentos na região visível são:

-> Balmer mostrou (1885) que esses valores podiam ser ajustados pela seguinte fórmula empírica:

Constante de Hydberg

(nm) | Cor-----------------------------------656 | vermelha486 | azul-verde434 | violeta410 | violeta

17

11222

21

10097,1

2,,111

mR

nnnnn

R

H

H

42

O modelo de Bohr

-> HIDROGÊNIO: Candidato natural para iniciar a formulação de um modelo teórico para a estrutura atômica.

Modelo para o átomo de hidrogênio e/ou hidrogenóides (He+, Li2+)de acordo com Rutherford e Bohr:

• Nesse modelo o elétron gira em torno do núcleo, com velocidade v;

• Para resolver o problema da instabilidade do modelo planetário, supôs a existência de estados estacionários para o elétron, nos quais ele pode permanecer sem emitir radiação. Essas órbitas são definidas pela quantização do momento angular:

• Nesses estados, a física clássica seria capaz de descrever o movimento dos elétrons;

• Os estados estacionários seriam caracterizados pelo uso de um número inteiro n, cuja energia (Balmer) do elétron é:

2

1

nhcRE Hn

nh

nmvrL 2

43

O modelo de Bohr

• Ao mudar de um estado para o outro, o elétron absoveria/emitiria um fóton. Exemplo: ao ser excitado do estado n1 para o estado n2, absorve um fóton de frequência

22

21

1112

nncR

h

EEf H

nn

Como deduzir essas expressões?

44

O modelo de Bohr

2 22 2 2

20 0 0

2

0

2

0

v v

4 2 8 8

24 2

28

e em mZe Ze ZeK

r r r r

Ze VV K V K

r

ZeE K V K K K

r

Classicamente:r

vmF ee

2

A energia do átomo é em módulo igual à energia cinética do elétron. -> Ele supôs que a energia cinética do elétron seria um múltiplo inteiro de um quantum de valor hve/2:

e

eee

rm

nhv

r

vnh

r

vnhnhfvmnhfK

2

422

1

2

1

2

1

2

1 2

frequência de rotação do elétron

45

O modelo de Bohr

(1) Escala do tamanho do átomo

Para o hidrogênio Z=1

22 110

2 0

20

20

, 5, 29 10

n

e

n ar n a m

Z Z

n ar

h

e

Z

m

Raio de Bohr

e

ee

e

mZe

nhr

r

Ze

rm

nhm

r

Zevm

r

ZeK

2

20

0

22

0

22

0

2

822

1

82

1

8

02anrn

46

O modelo de Bohr

(2) Quantização da energia

Cada nível corresponde a um valor de n. Para o átomo de hidrogênio o nível fundamental é n=1, logo, para arrancar um elétron no nível fundamental, deve-se fornecer 13,6 eV.

Níveis de energia do Hidrogênio (Z=1):

,...3,2,1,6,13

88

1

8 22

2

220

4

20

2

0

2

0

2

nn

ZeV

n

Z

h

me

nh

mZeZe

r

ZeE ee

nn

47

O modelo de Bohr

Explicar o espectro do átomo de hidrogênio

O elétron passa de um nível de energia maior n, para um de energia menor m, espontaneamente. Ao fazê-lo ele emite um quantum de luz, (fóton) de energia hf:

hfEE mn

2222

2222

222220

4

116,131116,13

116,13

116,13

116,13

1

8

nmhcnm

chhf

nmmnEE

nR

nnh

emE

mn

en

22

21

22

21

111

11

nnR

nncRf

H

H

1710097,1

6,13 mRhc H

48

Bohr conseguiu explicar o espectro de emissão do hidrogênio, a fórmula de Balmer, introduzir uma escala característica para o tamanho do átomo, o raio de Bohr, em termos de constantes fundamentais e fornecer um valor numérico para a constante de Rydeberg.

Entretanto, seu modelo é baseado na Mecânica Newtoniana, não pôde ser estendido a outros átomos e não conseguiu explicar a estabilidade do nível fundamental. Ela é postulada de forma arbitrária.

Muitos fenômenos:1. Radiação de Corpo Negro2. Efeito Fotoelétrico3. Efeito Compton4. Espectro Óptico do Hidrogênio5. Outros...

podem ser descritos por hipóteses de quantização. Essa mistura de idéias clássicas e quânticas, são conhecidas como “Velha Mecânica Quântica”. Ela não foi capaz de calcular as probabilidades das transições do espectro do hidrogênio bem como de prever as intensidades relativas das linhas do espectro. Além disso, não podia ser estendida aos espectros ópticos de átomos com mais de um elétron.

→ Mecânica Quântica: Heisenberg, Schrodinger, Dirac, Pauli, Born ...

49



Quinta-feira, 6 de novembro de 2008

50

Propriedades Ondulatórias das Partículas:De Broglie e as ondas de matéria

Partículas materiais e, em particular o elétron, teriam também comportamento ondulatório:

deBroglie

h

p

Para o fóton: E = hf

h

Ef

c

hhfpcE

Não são válidas para partículas materiais!

51

De Broglie e as ondas de matéria

- Para uma partícula macroscópica: uma bola de futebol de massa igual a 1kg e de velocidade 1m/s, o comprimento vale:

msmkg

sJ

mv

hBrogliede

3434

1063,6/11

1063,6

- Para o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio:

2

2

1mvE mEp 2

mE

h

p

hdeBroglie

2

É não-relativístico: -13,6eV

52


- Para o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio:

msmkg

sJ

mv

h

smkgJkgmKp

Brogliede10

24

34

241931

1033,3/1099,1

1063,6

/1099,1)108,21()1011,9(22

mar 100 1032,322

Comprimento da órbita:Iguais

comprimento é da ordem do raio de

Bohr

Comprovação experimental???

Difração de Raios X

Interferência Construtiva: Lei de Bragg

53

,...3,2,1,2 mmdsen

Esta hipótese pode ser confirmada experimentalmente em 1927 por Davisson e Germer, quem utilizaram um cristal de Ni para difratar um feixe de elétrons. O cristal foi escolhido porque o espaçamento atômico (ou famílias de planos) tem ordem de grandeza próxima ao do comprimento de onda do feixe de elétron, conforme definido por de Broglie.

- de Broglie ganhou o prêmio Nobel em 1929. - Davisson e Germer receberam o prêmio Nobel em 1937.

Difração de Elétrons

54

Difração de Elétrons

Máximos de interferência:O cristal é composto por vários monocristais com orientações aleatórias com relação ao feixe

→ Isso faz com que os máximos de difração dêem origem a círculos de difração sobre a tela

Difração em fenda dupla de elétrons

Difração de nêutrons(folha de cobre)

Difração de elétrons(folha de alumínio)

Difração de raios X (folha de alumínio)

55


- Onda estacionária numa corda de comprimento l:

- Órbitas eletrônicas estacionárias no átomo de hidrogênio2

n

nnh

prLr

nhhpnr

n

nnn

n

222

As órbitas estacionárias do modelo de Bohr: ondas estacionárias que se formariam ao longo da circunferência da órbita, fazendo uma analogia com ondas estacionárias mecânicas em cordas.

56

Princípio da Incerteza

Natureza “dual” onda-partícula Mecânica Clássica

Conceito de PartículaMovimento descrito por:

• 3 coord. espaciais• 3 coord. para a

velocidade

Limitações que impedem a exata determinação de sua posição, velocidade.Descrição em termos de probabilidades.

Princípio da Incerteza de Heisenberg:

2h

px x 2h

tE

Melhorar significa interagir com osistema, o que causa perturbações que

alteram/modificam o seu estado.

57

Interferência em Fenda Dupla com Elétrons

Todos os elétrons saem da fontecom mesma

energia/

Detector permite contar o número de elétrons em

função da posição no anteparo.

(1) Contagem de um número inteiro de elétrons;

(2) Contagem depende da posição: fenda 1 ou fenda 2?!

Apenas a fenda 1

Apenas a fenda 22112 PPP

*21

2

2

2

1

2

2112

2

22

2

11

Re2

P

P

PQual é a solução?

O elétron é detectado como partícula mas se propaga como onda. Ele se comporta como partículas quando é detectado.

58

Interferência em Fenda Dupla com Elétrons

Princípio da Complementaridade Bohr: Aspectos corpuscular e ondulatório são complementares. Ambos são necessários mas não podem ser

observados simultaneamente.

Quando observamos o elétron podemos determinar qual foi sua

trajetória mas alteramos suas trajetórias.

A figura de interferência desaparece!

2112 PPP

59

Eq. de Schrodinger

Princípio da Incerteza: x e p não podem ambos serem determinados com precisão. Suas previsões se tornam inviáveis na mecânica quântica.

Tudo o que pode prever sobre o sistema está contido em seu estado quântico, ou seja, em sua função de onda.

A função descreve a amplitude de probabilidade de se obter valores para as grandezas associadas aos sistemas. As previsões da mecânica quântica são expressas em termos de probabilidades:

),( tx Partícula movendo-se em 1d

dxtxAtxtA ),(ˆ),()(0

*

Valor esperado de uma grandeza A:

60

As grandezas físicas observáveis são descritas por entidades matemáticas denominadas operadores na Mecânica Quântica:

Onda plana descreve uma onda livre onde a energia se propaga na direção do

vetor de onda. Então: uma partícula livre é descrita por uma onda plana.

A função de onda da partícula livre movendo-se na direção x:

HEt

iH

ppx

ipx

ˆˆ

ˆˆ

Operador momento linear:

Operador energia:

)(),( wtkxiAetx

Eq. de Schrodinger

61

Para uma partícula em 1d livre:

Para uma partícula em 1d sob ação de um potencial V(x):

t

txitxxV

x

tx

m

ExVm

p

),(),()(

),(

2

)(2

2

2

2

t

txi

x

tx

m

Em

p

),(),(

2

2

2

2

2

Eq. de Schrodinger

Classicamente:

Classicamente:

62

Normalização:

1),(),(),(2*

dxtxdxtxtx

Eq. de Schrodinger

Documents

1 Origens/Fundamentos da Mecânica Quântica Prof a Tatiana da Silva Física 3 (FSC5163) – EEL Terça-feira, 28 de outubro de 2008