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Matemática Financeira
1
SUMÁRIO
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA ................................................................................................ 2
1.1. Ementa: ................................................................................................................................................. 2
1.2. Carga horária total: ............................................................................................................................... 2
1.3. Objetivos: .............................................................................................................................................. 2
1.4. Conteúdo programático ........................................................................................................................ 2
1.5. Metodologia .......................................................................................................................................... 3
1.6. Critérios de avaliação ............................................................................................................................ 3
1.7. Bibliografia recomendada ..................................................................................................................... 3
Curriculum vitae do professor ..................................................................................................................... 3
2. TEXTO PARA ESTUDO ........................................................................................................... 5
2.1. Matemática Financeira .......................................................................................................................... 5
2.2. Regime de Juros simples ...................................................................................................................... 13
2.3. Juros Compostos ................................................................................................................................. 21
2.4. Séries uniformes .................................................................................................................................. 34
2.5. Sistemas de amortização de dívidas .................................................................................................... 46
2.6. Métodos de Análise de Fluxos de Caixa ............................................................................................... 51
2.7. Descontos ............................................................................................................................................ 58
Matemática Financeira
2
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA
1.1. Ementa:
Relações fundamentais e taxa de juros. Regime de juros simples e de juros compostos. Séries
Uniformes de pagamento. Sistemas de amortização de dívidas. Desconto de títulos e duplicatas. VPL e
TIR
1.2. Carga horária total:
24 (Vinte e quatro) horas
1.3. Objetivos:
Prover o aluno de conhecimentos que o permitam realizar cálculos financeiros e análises de
investimentos para a tomada de decisão na gestão financeira das empresas e das pessoas.
1.4. Conteúdo programático
Parte 1 Relação fundamental e taxa de juros
Matemática Financeira
Representação gráfica de um fluxo de caixa
Capital, juros e montante
Relação de equivalência de capitais para um período
Taxa de juros efetiva, nominal e proporcional e equivalente
Parte 2 Regime de juros simples
Expressão para cálculo juros, montante, capital e número de períodos
Taxas de juros equivalentes e equivalência de capitais
Cheque especial
Parte 3 Regime de juros compostos
Expressão para cálculo do montante, capital, juros e número de períodos
Taxa de juros equivalentes composta
Transformação de taxas nominais em taxas efetivas
Transformação de taxas efetivas em taxas nominais
Capitais equivalentes
Operações com taxas compostas pós-fixadas
Juros compostos na calculadora HP 12 C
Parte 4 Séries Uniformes
Expressão para cálculo do valor presente e valor futuro
Expressão para cálculo da prestação
Séries uniformes com pagamentos ou recebimentos adicionais
Compra à vista versus compra a prazo
Matemática Financeira
3
Parte 5 Sistemas de amortização de dívidas
Sistemas de amortização prefixados Price e SAC
Sistemas de amortização pós-fixados Price e SAC
Parte 6 Métodos de análise de fluxos de caixa
Valor presente de um fluxo de caixa
Método do valor presente líquido (VPL)
Método da taxa interna
Fluxos de caixa na HP 12C
Comparação método valor presente líquido e taxa interna
Análise de fluxos de caixa indexados
Parte 7 Descontos
Desconto simples
Desconto de vários títulos
Desconto composto
1.5. Metodologia
Aulas expositivas, estudo de caso e resolução de exercícios
1.6. Critérios de avaliação
70% dos pontos através de prova individual
30% dos pontos em atividades / exercícios em sala de aula, em grupo.
1.7. Bibliografia recomendada
BOGGISS, George Joseph [et al.]. Matemática financeira – 11. ed.- Rio de Janeiro: Editora FGV,
2012. 156 p. – (Gestão empresarial (FGV Management)
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. - 5ª. Edição – São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2010.
Curriculum vitae do professor
José Antônio Rosa Machado é mestre em Administração de Empresas pela FEAD/MG e especialista
em gestão de empresas pela Una/BH. Atualmente é professor nos cursos de graduação e pós-
graduação em um Centro Universitário e Consultor de empresas. Sua experiência acadêmica inclui
docência nos cursos de Administração, Contábeis, Controladoria, Engenharias e Tecnólogos nas áreas
de Recursos Humanos, Logística, Adm. Estratégica e Finanças. Foi responsável pela elaboração e
aprovação do projeto pedagógico do Curso de Administração de uma Faculdade, onde atuou como
Coordenador de Curso durante cinco anos nos cursos de Administração e Turismo. Sua experiência
profissional inclui passagens por empresas de pequeno, médio e grande porte, nas áreas de comércio
Matemática Financeira
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atacadista de cereais, alumínio, mineração, telefonia e construção civil. Também foi membro do
Conselho Municipal de Turismo de Sete Lagoas/MG.
Matemática Financeira
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2. TEXTO PARA ESTUDO
2.1. Matemática Financeira
A matemática financeira é de extrema importância para a tomada de decisões financeiras, tanto de
caráter pessoal quanto empresarial, auxiliando no processo de maximização de resultados
empresariais. Conforme Samanez (2010), “o cálculo financeiro e a análise de investimentos são
ferramentas essenciais para a tomada de decisões e a gestão financeira das empresas e das pessoas”. A
utilização da calculadora HP 12C, é de suma importância no desenvolvimento dos cálculos, razão pela
qual, inicialmente, serão apresentadas suas principais funções.
A matemática financeira trata, essencialmente, do estudo do valor do dinheiro (caixa) no decorrer do
tempo. Assim, o objetivo da matemática financeira é analisar operações de caráter financeiro que
envolvam entradas e saídas de dinheiro ocorridas em momentos distintos
Figura 1
Relação fundamental entre capital, juros e montante, observada do ponto de vista do credor:
Figura 2
Matemática Financeira
6
Taxa de juros:
Onde:
i = taxa de juros
J = Valor dos juros
PV = Capital ou valor atual (present value)
Observação: a taxa de juros deve ser expressa em forma unitária, ou seja, dividindo-se por cem. Por
exemplo: 2% = 2 / 100 = 0,02
Exemplo:
Em uma operação de crédito pessoal de R$ 1.000,00, pagou-se o valor de R$ 180,00 a título de juros.
Qual foi a taxa de juros cobrada no período?
Solução:
Relação de equivalência de capitais para um período:
Cálculo do valor dos juros:
Ao substituirmos essa expressão na relação fundamental de equivalência de capitais, temos;
Logo, ou
Importante:
Denominamos fator de capitalização a expressão (1 + i)
Denominamos fator de descapitalização (ou fator de desconto) a expressão
Matemática Financeira
7
Exemplos:
Calcule o valor do montante a ser pago ao final de um determinado período, considerando a
contratação de um empréstimo no valor de R$ 5.000,00 à taxa de 8% a.p.
Calcule o valor que deve ser investido hoje, à taxa de 6% ap., para que no futuro seja resgatado R$
12,720,00
Por outro lado, das relações de equivalências de capitais, decorre a seguinte relação alternativa para o
conceito de taxa de juros:
Exemplo:
Em uma determinada operação de empréstimo no valor de R$ 250,00, pagou-se ao final do período, o
montante de R$ 280,00. Qual é a taxa de variação percentual por unidae de tempo do capital
empregado?
12% ap.
Imediatamente após fazer um investimento no valor de R$ 1.250,00, para ser resgatado em uma data
futura, o investidor teve que desfazer do investimento ao valor de R$ 1.000,00. Qual foi a taxa de
variação do capital para o período?
-20%ap.
Matemática Financeira
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Taxa de juros efetiva e nominal
Efetiva:
Unidade de tempo de referência coincide com a unidade de tempo de ocorrência da capitalização.
Exemplo:
Taxa de juros ao ano: 12%
Capitalização: Anual
Nominal:
Unidade de tempo de referência é diferente da unidade de tempo relativa à ocorrência da capitalização.
Exemplo:
Taxa de juros ao ano: 12%
Capitalização: Semestral
Taxa de juros proporcional:
Duas taxas de juros efetivas são proporcionais quando vale a relação:
Exemplos:
Uma taxa de juros de 24% a.a. é equivalente à uma taxa de juros de 2% a.m.?
Conclui-se que as taxas são proporcionais
Qual é a taxa de juros anual, proporcional à 4% ao trimestre?
Matemática Financeira
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Taxa de juros real
Obtida após o desconto de determinado índice de correção de preços (IGP-M, IPCA, INPC)
Taxa de juros reais
Valor dos juros reais
Exemplo:
Em determinado período, seu salário de R$ 5.000,00 foi reajustado em 4%. Sabendo-se que a inflação
no mesmo período foi de 5%, quanto aumentou ou diminuiu o poder de compra do salário em termos
de taxa e valor?
Perda Real de salário, tanto em percentual (0,9524%) quanto em valor (R$ 50,00)
Taxa de juros prefixada e pós fixada
As operações de mercado podem ser classificadas em operações de renda fixa e de renda variável.
Uma operação de renda fixa pode ser prefixada ou pós-fixada.
Nas operações prefixadas, investidor e devedor conhecem, no dia da transação, a taxa de retorno e
também o valor do resgate. Em operações de renda pós-fixada, investidor e tomador conhecem, na
data da transação, a taxa de rendimento e uma estimativa da atualização monetária. Neste caso, o valor
nominal só será conhecido posteriormente.
Exemplo:
Um investidor se depara com as seguintes alternativas de taxas de juros para aplicação:
a) Taxa efetiva prefixada de 24% a.p.
b) Taxa real de 6,5% a.p.
Matemática Financeira
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Qual a melhor taxa?
Considerando a fórmula de taxa real de juros, temos que:
Ou seja,
Dividindo-se a taxa prefixada pela taxa pós-fixada (6,5% de ganho real) têm o cálculo de uma
referência de inflação no período. Neste caso, se a expectativa do investidor é de que a inflação real
ficará abaixo desse índice, vale a pena investir em taxa prefixada .Entretanto, se o investidor acredita
que a taxa de inflação superará a taxa de 16,43%, é melhor investir em taxa pós-fixada.
Matemática Financeira
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Exercícios:
1) Na aquisição de um determinado bem no valor de R$ 420,00, pagou-se a título de juros o valor
de R$ 33,60. Qual foi a taxa de juros cobrada?
Ou
Na HP: 420 enter 33,60 %T 8
2) Sabendo-se que uma determinada empresa cobra uma taxa de juros de 4,5% a título de juros
sobre o financiamento de um bem avaliado em R$ 33.800,00 à vista, calcule o valor dos juros
a serem pagos
Na HP: 33.800 CHS PV 54 i 30 n f INT = 1.521,00
54 = 4,5 x 12 = 54
Na capitalização simples, sempre entrar com taxa anual
3) Uma determinada empresa captou um empréstimo no valor de R$ 4.750,00, à uma taxa de
3,8% a.p.. Calcule o valor do montante a ser pago ao final do período.
Na HP: 4.750 CHS PV 45,60 i 30n fINT = 180,50 (juros), então montante
= 4.750,00 + 180,50 = 4.930,50
4) Considerando que um determinado investimento é remunerado à taxa de 1% a.p., determine o
valor que deve ser investido hoje, para que no futuro seja resgatado o valor de R$5.252,00
Matemática Financeira
12
5) Um investidor fez um investimento em ações no valor de R$ 2.500,00 para ser resgatado em
uma data futura. Infelizmente, imediatamente após o investimento teve que comercializar as
ações, pelo valor de R$ 1.875,00 Qual foi a taxa de variação do capital no período
-25% a.p.
6) Qual é a taxa de juros mensal proporcional à taxa de 36% a.a.
7) Qual é a taxa de juros anual proporcional à taxa de 8% a.t.
8) Um investimento no valor de R$ 8.000,00 foi remunerado à taxa de 1,30%. Sabendo-se que a
taxa de inflação no mesmo período foi de 1,0%, identifique em quanto aumentou ou diminuiu
o valor real do capital investido, em termos de percentual e valor.
Conferindo:
e ainda:
= 24,00
8.000 + 1,3% = 8.104,00
8.000 + 1,0% = 8.080,00
= 24,00
Matemática Financeira
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2.2. Regime de Juros simples
O termo juro refere-se à remuneração do capital empregado. A aplicação de um capital durante um
determinado prazo, pressupõe o resgate de um determinado montante, que corresponderá a soma do
capital investido inicialmente, acrescido de uma remuneração em função do período em que o capital
ficou aplicado.
Expressão para cálculo dos juros à partir do capital
Exemplo:
Qual será o juro proporcionado por um capital de R$ 50.000,00, aplicado à taxa de 5% a.m., nos juros
simples, ao final de três meses?
Expressão para cálculo do montante:
Evolução do montante no regime de juros simples:
Figura 3
Matemática Financeira
14
Exemplo:
Um investidor aplicou R$ 12.000,00, à taxa de juros de 10% a.m., no regime de juros simples. Calcule
o montante ao final do terceiro mês.
Expressão para cálculo do capital:
Exemplo:
Calcule o capital que, aplicado à taxa de juros de 10% a.m., resulte, daqui a três meses, no montante
de R$ 15.600,00
Expressão para cálculo do número de períodos:
Exemplo:
Por quantos meses ficou aplicado um capital no valor de R$12.000,00, que aplicado à taxa de juros de
10% a.m. no regime de capitalização simples, gerou um montante de R$ 15.600,00?
Expressão para cálculo da taxa de juros:
Exemplo:
Calcule a taxa de juros mensal que, aplicada ao capital de R$ 12.000,00, gera um montante de R$
15.600,00 ao final do terceiro mês
Matemática Financeira
15
Taxa de juros equivalentes simples:
Duas taxas de juros efetivos são ditas equivalentes se, ao serem aplicadas sobre um mesmo capital
(PV), no mesmo prazo n, expresso na unidade de tempo da taxa i, for obtido o mesmo montante.
Exemplo:
Dada a taxa de juros simples de 18% ao trimestre, calcule a taxa de juros equivalente ao
a) Dia 0,18 / 90 = 0,002 0,20% a.d.
b) Mês 0,18 / 3 = 0,06 ou 0,002 x 30 = 0,006 6,0% a.m.
c) Ano 0,06 x 12 = 0,72 72% a.a
d) Semestre 0,06 x 6 = 0,36 36% a.s.
Equivalência de capitais em juros simples:
Tomando como ponto focal 0 (zero), trazer a valor presente
e
Exemplo:
Uma empresa deseja trocar dois compromissos no valor de R$ 100.000,00 e R$ 120.000,00, com
vencimento em dois e seis meses, respectivamente, por um único título vencível em quatro meses.
Qual deverá ser o valor do novo compromisso, se a taxa de juros efetiva linear cobrada for de 5%
a.m.?
Logo,
Exemplo:
0 1 2 3 4 5 6
100.000,
00
120.000,
00
x
Matemática Financeira
16
Uma empresa tem dois compromissos de R$ 2.000,00 e de R$ 2.500,00 com vencimentos para três e
oito meses, respectivamente. O gerente financeiro propôs à empresa a troca desses compromissos por
outros dois, que lhes sejam equivalentes, com vencimentos em 10 e 15 meses, respectivamente.
Considere uma taxa de juros linear de 10% a.m. e que as obrigações equivalentes devem ter valores
iguais. Calcule qual deve ser o valor único dessas obrigações:
)
Cheque especial:
Considere o seguinte extrato de conta corrente:
Data Histórico Débito Crédito Saldo
Dias
01/mar Saldo inicial
200,00
02/mar Cheque 100 500,00
-300,00
6 -5,40
08/mar Cheque 101 1.000,00
-1.300,00
7 -27,30
15/mar Depósito em dinheiro
2.000,00 700,00
0,00
20/mar Cheque 108 2.500,00
-1.800,00
5 -27,00
25/mar Cheque 110 500,00
-2.300,00
3 -20,70
28/mar Cheque 115 700,00
-3.000,00
4 -36,00
31/mar Saldo final
-3.000,00
-116,40
Calcule os juros do cheque especial, considerando uma taxa de 9% a.m.
Cálculo da taxa de juros diária:
Considerando
E assim sucessivamente.
Matemática Financeira
17
Exercícios:
9) Qual será o juro proporcionado por um capital de R$ 150.000,00, aplicado à taxa de 12% a.m.,
nos juros simples, ao final de três meses?
NA HP: 150.000 CHS PV 144 i 90 n fINT = 54.000
150.000 enter 0,12 x 3 x = 54.000
10) Um investidor aplicou R$ 40.000,00, à taxa de juros de 5% a.m. no regime de juros simples.
Calcule o montante ao final do quarto mês.
NA HP: 40.000 CHS PV 60 i 120 n fINT = 8.000 + = 48.000
40.000 enter 1 enter 0,05 enter 4 x x =
48.000
11) Calcule o valor do capital que, aplicado à uma taxa de juros simples de 3% a.m. resulte, daqui
a cinco meses, no montante de R$ 8.280,00
NA HP: 8.280 enter 1 enter 0,03 enter 5x + ÷ = 7.200
12) Por quantos bimestres deve-se manter uma aplicação no valor de R$ 2.962,96, à taxa de 2%
a.b., de forma a auferir um montante de R$ 3.200,00?
NA HP: 3.200 enter 2.962,96 ÷ 1- 0,02÷ = 4 bimestres
13) Calcule a taxa de juros ao trimestre que, aplicada ao capital de R$ 5.000,00 gera um montante
igual ao dobro desse capital, ao fim de quatro trimestres
NA HP: 5.000 (capital) enter 5.000 (juros) T% 4÷
NA HP: 10.000 enter 5.000 ÷ 1- 4÷ = 0,25
Matemática Financeira
18
14) Uma pessoa aplicou o valor de R$460,00 a juros simples de 3% a.m., durante 3 anos, 4 meses
e 18 dias. Calcule o valor dos juros
Converter taxa de juros mensal em diária
3% / 30 = 0,10 a.d. 0,10 / 100 = 0,001
3 anos = 1.080
4 meses = 120
18 dias = 18
n= 1.218
NA HP:.460 enter 0,001 x 1.218 x = 560,28
15) Um valor aplicado a juros simples de 3% a.m. durante 4 meses e 5 dias, formou o montante de
R$ 437,56. Calcule o valor do capital aplicado
Tempo: 120 + 5 = 125 dias
Converter taxa mês em dia = 3 ÷ 30 = 0,10 = 0,001
NA HP:.437,56 enter 1 enter 0,001 enter 125 x + ÷ = 388,94
16) O valor de R 768,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 2,4% a.m., rendendo de juros R$
88,47. Calcule o tempo que o capital ficou aplicado.
Ou seja: 4 meses e 24 dias
NA HP: 768 enter 88,47 + 768 ÷ 1- 0,024 ÷ = 4,8
17) Uma pessoa aplicou o valor de R$ 640,00, a juros simples, à taxa de 2% a.m., durante 4 anos e
3 meses. Calcule o valor dos juros
N = 4 x 12 + 3 = 51 meses ou 51 x 30 = 1530 dias
NA HP:.640,00 enter 0,02 x 51 x = 652,80
NA HP:.640,00 CHS PV 24 i 1530 n fINT= 652,80
18) Você pode aplicar recursos, no regime de juros simples, pelas duas taxas de juros abaixo. Qual
deve ser a taxa escolhida?
a. 12% ao semestre
b. 2,5% ao mês
Matemática Financeira
19
19) Um determinado bem pode ser adquirido para pagamento em 4 parcelas no valor de R$ 250,00
cada, com vencimentos daqui a 30, 60, 90 e 120 dias. Considerando que você dispõe dos
recursos e que poderia aplica-los à uma taxa de juros simples de 2% a.m., calcule o preço justo
que deveria ser pago hoje para aquisição do bem.
+
+
+
+
+
+
+ + + = 952,81
245,10 x 2% = 4,90 x 4 meses = 19,60
240,38 x 2% = 4,80 x 3 mês = 14,40
235,85 x 2% = 4,72 x 2 mês = 9,44
231,48 x 2% = 4,63 x 1 mês = 4,63
Total 48,07 + 952,81 = 1.000,88
20) Uma determinada empresa pretende substituir dois compromissos financeiros, nos valores de
R$ 30.000,00 e 40.000,00, vencíveis em 60 e 90 dias, respectivamente, por dois outros
compromissos, vencíveis em 30 e 120 dias. Qual deverá ser o valor total do novo
compromisso, bem com de suas respectivas parcelas, considerando uma taxa de juros linear de
5% a.m.?
Então temos:
21) Um determinado capital, aplicado a juros simples durante três meses, gerou um montante de
R$ 20.670,00. Esse montante foi reaplicado por mais quatro meses, à uma taxa 20% maior que
a taxa inicial, e gerou um valor final de R$ 22.654,32, ao final do sétimo mês. Calcule o valor
do capital e das taxas de juros aplicadas nas duas etapas da aplicação
Para a última fase temos:
Matemática Financeira
20
Considerando que i esta acrescido de 20%, então
Para a primeira fase temos:
22) Suponha que você tenha feito em sua conta corrente a movimentação apresentada pelo extrato
abaixo. Considerando uma taxa de juros simples de 12% a.m., calcule o valor dos juros que
será debitado em sua conta corrente no próximo mês.
Data Histórico Débito Crédito Saldo
Dias
01/mar Saldo inicial
500,00 03/mar Cheque 100 650,00
-150,00
3 -1,80
06/mar Cheque 101 1.200,00
-1.350,00
2 -10,80
08/mar Depósito em dinheiro
2.200,00 850,00
0,00
13/mar Cheque 108 1.450,00
-600,00
4 -9,60
17/mar Cheque 110 400,00
-1.000,00
7 -28,00
24/mar Cheque 115 800,00
-1.800,00
7 -50,40
31/mar Saldo final
-1.800,00
-100,60
Matemática Financeira
21
2.3. Juros Compostos
O regime de juros compostos é amplamente utilizado no sistema financeiro e consiste em incorporar
os juros do período ao capital principal, antes do cálculo dos juros do período seguinte. Para efetuar os
cálculos na capitalização composta, utilizaremos as seguintes fórmulas:
Revisão das propriedades de potenciação e radiciação
1,103 = 1,10 x 1,10 x 1,10
1,10-3
= 1 / 1,103
1,106 = 1,10
3 x 1,10
3 = 1,10
4 x 1,10
2
(1,106 / 1,10
3 ) = 1,10
6-3 1,10
3
1,102 x 1,10
3 = 1,10
2+3 = 1,10
5
√
=
Evolução do montante no regime de juros compostos
Figura 4
Expressão para cálculo do montante:
Expressão para cálculo do capital:
ou
Expressão para cálculo dos juros, à partir do capital:
Expressão para cálculo número de períodos de capitalização (n):
Matemática Financeira
22
Expressão para cálculo da taxa de juros (i):
√
ou
Taxa de juros equivalentes compostas
De uma taxa menor para uma taxa maior:
{ }
0 1,0000 Taxa
1 1,00 x 1,02 1,0200 2,00%
2 1,00 x 1,02 x 1,02 1,0404 4,04%
3 1,00 x 1,02 x 1,02 x 1,02 1,0612 6,12%
4 1,00 x 1,02 x 1,02 x 1,02 1,0824 8,24%
Ou
0 1,0000 Taxa
1 1,021 1,0200 2,00%
2 1,022 1,0404 4,04%
3 1,023 1,0612 6,12%
4 1,024 1,0824 8,24%
Matemática Financeira
23
Do contrário, na descapitalização, temos que:
De uma taxa maior para uma taxa menor:
{ (√
) } ou {[
] }
Para calcular o fator de descapitalização, basta elevar o índice ao número de períodos negativo. Desta
forma teríamos que:
0 Fator Descapitalização
1 1,02-1
0,9804 1,0824 x 0,9804 = 1,0612
2 1,02-2
0,9612 1,0824 x 0,9612 = 1,0404
3 1,02-3
0,9423 1,0824 x 0,9423 = 1,0200
4 1,02-4
0,9238 1,0824 x 0,9238 = 1,0000
Transformação de taxas nominais em taxas efetivas
- 1
Exemplo:
A taxa de juros nominal cobrada por uma instituição financeira é de 12% a.a. Calcule a taxa efetiva
anual, considerando a capitalização dos juros para mês, trimestre e bimestre.
– 1
– 1 – 1
– 1
– 1 – 1
– 1
– 1 – 1
Matemática Financeira
24
Transformação de taxas efetivas em taxas nominais
Z = período
Exemplo: Que taxa nominal anual equivale a uma taxa efetiva de 29% a.a., considerando capitalização
mensal?
Exemplo: Que taxa nominal anual equivale a uma taxa efetiva de 18% a.a., considerando capitalização
bimestral?
Capitais equivalentes:
Como visto anteriormente, a relação fundamental de equivalência de capitais para um período é
expressa pelas seguintes equações:
e
No regime de juros compostos, essas equações de equivalência de capitais, considerando n períodos,
são:
e
Portanto, o regime de juros compostos é separável (cindível) no prazo. Assim, nesse regime a
equivalência financeira entre conjuntos de capitais é independente da data focal, o que faz com que
conjuntos de capitais equivalentes em certa data focal também o sejam em data distinta.
Considere o seguinte fluxo de caixa:
Mês Fluxo de caixa
0 (11.000,00)
1 0,00
2 4.000,00
3 4.000,00
4 0,00
5 (2.144,00)
6 6.000,00
Esse fluxo de caixa pode ser representado pelo seguinte diagrama:
Matemática Financeira
25
Trazendo o conjunto 1 ao ponto focal zero, considerando uma taxa de 2% a.m.:
Trazendo o conjunto 2 ao ponto focal zero, considerando uma taxa de 2% a.m.:
Conclui-se que os capitais são equivalentes no ponto focal 0 (zero). Mas será que serão equivalentes
no ponto focal quatro?
Cálculo do fluxo de caixa com data focal quatro, considerando taxa de juros igual a 2%:
Levando o conjunto 1 ao ponto focal quatro, considerando uma taxa de 2% a.m.:
5
5
0
0
(11.000)
0,00 4.000 4.000 6.000
(2,144)
0,00
Conjunto 2
Conjunto 1
1
0
2
0
3
0
4
0
6
0
(11.000)
0,00 4.000 4.000 6.000
(2,144)
0,00
Conjunto 2
Conjunto 1
Data focal
quatro
1 2 3 4 6
Matemática Financeira
26
Levando o conjunto 2 ao ponto focal quatro, considerando uma taxa de 2% a.m.:
Matemática Financeira
27
Juros compostos na HP
Os cálculos financeiros na HP 12C podem ser realizados de duas formas diferentes. Na primeira,
utilizam-se as teclas dos registradores financeiros. Na segunda utilizam-se as funções matemáticas da
calculadora, sendo necessário conhecer as expressões (apresentadas anteriormente) das fórmulas dos
regimes de capitalização.
Registradores financeiros da HP 12C:
Figura 5
Matemática Financeira
28
Exercícios:
23) Uma empresa aplicou o valor de R$ 780,00 em uma conta que paga juros a uma taxa efetiva
de 23% a.a., ano comercial, capitalizada diariamente, durante 35 dias. Calcule o montante do
resgate.
Ou
Converter taxa = √ ou
i= 0,0575/dia
Na HP:
1,23
360
1
100
35
780
795,86
24) Calcule o valor atual do fluxo de caixa apresentado a seguir, para uma taxa efetiva de 4% a.m.
Matemática Financeira
29
Ou
1,04 enter 30 1/x Yx 1- 100x i 145n 5.000 FV
PV = 4.136,58
25) O valor de R$ 1.280,00 foi aplicado a juros compostos, durante 3 anos e 2 meses, e rendeu de
juros R$ 1.420,00. Calcule a taxa mensal de juros mensal
Ou
1.280 enter 1.420 + FV 1.280 CHS PV 38n i= 1,9836
26) O valor de R$ 1.000,00, foi aplicado à taxa de 10% a.m. (juros compostos) e produziu um
montante de R$ 1.331,00. Quanto tempo esse capital ficou aplicado?
(
)
(
)
ou
1.000 CHS PV 10 i 1.331 FV i = 3 meses
27) Calcule o valor presente de um título de valor de resgate de R$ 56.000,00, a vencer daqui a 91
dias, à taxa composta de 23% a.a.
Ou
1,23 enter 360 1x Yx 1- 100 x i 91n 56.000 FV
PV = 53.144,95
28) Uma determinada pessoa tomou um empréstimo no valor de R$ 2.800,00 e pagou, após 13
dias, o valor de R$ 2,831,26. Calcule taxa composta anual de juros na operação
36,12% a.a.
Ou
Matemática Financeira
30
2.800 CHS PV 2.831,26 FV 13 n i=0,0854 a.d.
100 / 1+ 360 Yx 1- 100x = 36% a.a.
29) Calcule o valor do montante de um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 pelo prazo de 31
dias, sabendo-se que o credor cobrou uma taxa de juros composta de 12% a.a. mais a correção
monetária, determinada por um indexador. Suponha que a correção monetária desse período
tenha sido de 1%
Correção 100.980,54 x 1,01 = 101.990,34
30) Um valor aplicado durante 5 meses formou um montante de R$ 700,00 e, quando estiver
aplicado durante 12 meses, o montante será de R$ 744,27. Calcule o valor aplicado
Ou
744,27 FV 700 CHS PV 7 n i = 0,8799
700,00 FV 5n PV = 670,00
31) O valor de R$ 230,00 foi aplicado a juros compostos durante 1 ano e 7 meses, formando um
montante de R$ 368,69. Calcule a taxa de juros mensal.
Ou
230,00 CHS PV 368,69 FV 19 n i = 2,51%
32) Calcule a taxa anual equivalente, no regime de juros compostos, à taxa de juros efetiva de 2%
a.m.
{ } { }
{ }
Ou
Matemática Financeira
31
1,02 enter 12Yx 1- 100x
33) Calcule a taxa mensal equivalente, no regime de juros compostos, à taxa de juros efetiva de
69,59% a.a.
{[
] } {[
] }
{ }
ou
1,6959 enter 12 1/x Yx 1- 100x
34) Calcule a taxa anual equivalente, no regime de juros compostos, à taxa de juros efetiva de 4%
a.t.
{ } { }
{ }
Ou
1,04 enter 4Yx 1- 100x
35) Calcule a taxa trimestral equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 42,58%
a.a.
9,27% a.t.
36) Calcule a taxa mensal equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 33,10% a.t.
10% ao mês
37) Calcule a taxa diária equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 6% a.m.
0,1944% ao dia
38) Calcule a taxa mensal equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 0,1628%
a.d.
5% a.m.
Matemática Financeira
32
39) Calcule a taxa trimestral equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 34% a.s.
15,76% a.t.
40) Calcule a taxa semestral equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 25% a.a.
11,80% a.s.
41) A taxa de juros nominal cobrada por uma instituição financeira é de 18% a.a. Calcule a taxa
efetiva anual, considerando uma capitalização mensal.
– 1
Ou
18 enter 12 / 100/ 1+ 12Yx 1- 100x = 19,56
42) A taxa de juros nominal cobrada por uma instituição financeira é de 2% a.m. Calcule a taxa
efetiva anual, considerando uma capitalização mensal.
– 1
ou
1,02 enter 12 Yx = 26,82%
43) Que taxa nominal equivale a uma taxa efetiva de 18% a.a., considerando capitalização mensal.
Ou
1,18 enter 12 1/x Yx 1- 100x 12x = 16,67% a.a.
44) Que taxa nominal equivale a uma taxa efetiva de 12% a.t., considerando capitalização mensal.
Ou
1,12 enter 3 1/x Yx 1- 100x 3 = 11,55% a.a.
Matemática Financeira
33
45) Uma determinada empresa aplicou R$ 80.000,00, em um título de renda fixa prefixada de 5%
a.m., durante dois meses, no regime de juros compostos. Considerando uma taxa de inflação
acumulada no mesmo período de 4%, identifique em quanto aumentou ou diminuiu o valor
efetivo do capital, em termos de taxa e valor.
Porque: 80.000 x 1,1025 = 88.200
80.000 x 1,04 = 83.200 (Diferença = 5.000)
88.200 / 83.200 = 6,01%
46) Uma determinada empresa tem dois compromissos nos valores de R$ 3.000,00 e de R$
4.000,00 a vencerem em três e cinco meses, respectivamente. A empresa deseja trocar esses
dois compromissos por um único compromisso com vencimento em quatro meses.
Considerando uma taxa de juros efetiva e 10% a.m., e que as obrigações equivalentes devem
ter valores iguais, qual deve ser o valor dessa obrigação?
47) Uma construtora tem dois compromissos nos valores de R$ 4.000,00 e de R$ 5.000,00 a
vencerem em dois e quatro meses, respectivamente. A empresa deseja trocar esses dois
compromissos por dois outros compromissos com vencimento em quatro meses e seis meses.
Considerando uma taxa de juros efetiva e 5% a.m., e que as obrigações equivalentes devem ter
valores iguais, qual deve ser o valor dessa obrigação?
Porque:
= 7.741,74
Matemática Financeira
34
2.4. Séries uniformes
As séries uniformes ocorrem em circunstâncias (tais como as operações realizadas nos financiamentos
imobiliários ou de veículos) nas quais o valor a ser pago ou recebidonão é concretizado de uma única
vez na data de hoje. Ou seja, o imóvel ou o veículo não é pago à vista. Os pagamentos ou
recebimentos são, então, efetivados sob a forma de uma sequencia (sucessão ou série) de valores de
mesma periodicidade, todos eles iguais a um mesmo valor determinado. Esses pagamentos ou
recebimentos caracterizam o que denominamos pagamento ou recebimento parcelado ou a prazo. O
valor fixo é denominado de prestação e é representado, na calculadora HP 12C, pela tecla PMT,
Podem ser classificadas como:
a) Séries postecipadas: o primeiro termo ocorre no fim do primeiro período
Expressões para cálculos:
Da parcela:
Do valor presente:
Do valor futuro:
Matemática Financeira
35
b) Séries antecipadas: o primeiro termo ocorre no início do primeiro período
Expressões para cálculos:
Do valor presente
Do valor futuro:
c) Diferidas (postecipadas): primeiro termo ocorre no fim de d períodos, sendo d um número
inteiro positivo maior que 1, chamado de prazo de diferimento ou carência, que representa o
prazo durante o qual não ocorrerão nem pagamentos nem recebimentos, conforme ilustrado
abaixo:
Expressões para cálculos:
Do valor presente
Matemática Financeira
36
Série uniformes equivalentes (SUE):
Transformação de um valor em uma SUE
A série uniforme de pagamentos, na capitalização composta, pode ser obtida através da fórmula:
Transformação de desembolsos de diversas datas em uma SUE
Consideremos que a série de desembolsos abaixo deve ser transformada em uma SUE, em 4 períodos,
à partir do momento 1, com taxa de juros igual a 15%
Solução:
Trazer todos os valores a valor presente e montar uma SUE
Momento Valor nominal Valor presente
0 40.000,00 40.000,00
1 14.000,00 12.173,91
2 14.000,00 10.586,01
3 14.000,00 9.205,23
4 48.980,12 28.004,54
Total 99.969,69
Então:
Na HP
f CLX
99.969,69 CHS PV
4 n
15 i
PMT = 35.015,92
(40.000) (14.000) (14.000) (14.000) (48.980,12)
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
Matemática Financeira
37
Série não uniformes equivalentes (SNUE):
Para transformar uma serie uniforme equivalente (SUE) em uma serie não uniforme equivalente
(SNUE), tomando como base o exemplo anterior, alterando, entretanto o valor da terceira parcela (e
consequentemente da quarta) para R$ 20.000,00, teríamos que:
Trazendo a valor presente, teríamos a seguinte situação
Momento Valor nominal Valor presente
0
1 35.015,92 30.448,63
2 35.015,92 26.477,07
3 20.000,00 13.150,32
Somatório 70.076,02
Valor líquido inicial 99.969,69
Diferença 29.893,67
4 52.284,22 29.893,67
(35.015,92) (35.015,92) (35.015,92) (35.015,92)
(35.015,92) (35.015,92) (20.000,00) (?)
0 1 2 3 4
Matemática Financeira
38
Exercícios:
48) Calcule o valor presente de uma serie uniforme postecipada (imediata), de 5 pagamentos
mensais, iguais e consecutivos de R$ 1.186,98, sabendo-se que a taxa de juros aplicada foi de
6% ao mês.
Solução:
49) João contratou um plano de aposentadoria complementar, em que ele deverá contribuir
durante de 20 anos, com o valor de R$ 100,00 por mês. O valor da primeira parcela foi paga
no ato da contratação. Considerando uma taxa de juros estimada de 1% ao mês, pergunta-se:
Quanto João poderá resgatar ao final da contratação?
Solução:
( )
50) Considerando que, imediatamente após cumprido o contrato, João pretende resgatar seus
investimentos em 20 anos, mantida a mesma taxa de juros, calcule o valor que ele poderá
resgatar mensalmente ao longo desses 20 anos
Solução:
99
Matemática Financeira
39
51) Transforme os valores abaixo em uma serie uniforme de 4 pagamentos, considerando uma
taxa de juros e 5% por período e com pagamentos iniciando à partir do momento 2 (um
período de carência)
Solução:
Calcular o valor presente da série:
Momento Valor nominal Fator Valor
presente
0 4.000,00 1 4.000,00
1 6.000,00 0,952381 5.714,29
2 5.000,00 0,9070295 4.535,15
3 3.000,00 0,8638376 2.591,51
4 2.000,00 0,8227025 1.645,40
18.486,35
Corrigir (deslocar) o valor presente para o período seguinte:
18.486,35 x 1,05 = 19.410,67
Calcular o valor das parcelas
Na HP
Na HP
f CLX
19.410,67 CHS PV
4 n
5 i
PMT = 5.474,04
Ou:
NO EXCEL: Usar a função PAGTO.
(4.000) (6.000) (5.000) (3.000) (2.000)
0 1 2 3 4
Matemática Financeira
40
Conferindo temos que:
Trazendo a valor presente (ponto focal zero)
Momento Valor nominal Fator Valor
presente
0
1 0,00
1
0,952381 0,00
2 5.474,04 0,9070295 4.965,11
3 5.474,04 0,8638376 4.728,68
4 5.474,04 0,8227025 4.503,50
5 5.474,04 0,7835262 4.289,05
18.486,35
52) Transforme os valores abaixo em uma serie uniforme de 3 pagamentos, considerando uma
taxa de juros e 5% por período e com pagamentos iniciando à partir do momento 1
(5.474,04)
0 1 2 3 4 5
(5.474,04) (5.474,04) (5.474,04)
(5.474,04)
0 1 2 3 4 5
(5.474,04) (5.474,04) (5.474,04)
(4.000) (6.000) (5.000) (3.000) (2.000)
0 1 2 3 4
Matemática Financeira
41
Solução:
Calcular o valor presente da série:
Momento Valor
nominal Fator
Valor
presente
0 4.000,00 1 4.000,00
1 6.000,00 0,952381 5.714,29
2 5.000,00 0,9070295 4.535,15
3 3.000,00 0,8638376 2.591,51
4 2.000,00 0,8227025 1.645,40
18.486,35
Calcular o valor das parcelas
Na HP
Na HP
f CLX
18.486,35 CHS PV
3 n
5 i
PMT = 6.788,35
Conferindo:
Momento Valor
nominal Fator
Valor
presente
0
1 0,00
1 6.788,35 0,952381 6.465,09
2 6.788,35 0,9070295 6.157,23
3 6.788,35 0,8638376 5.864,03
18.486,35
(6.788,35)
0 1 2 3
(6.788,35) (6.788,35)
Matemática Financeira
42
53) Transforme a SUE acima, em uma SNUE, considerando os dois primeiros pagamentos no
valor de R$ 6.788,35, um pagamento de R$ 2.000,00 e o restante para o período seguinte
Solução:
Momento Valor nominal Fator Valor presente
0
1 0,00
1 6.788,35 0,952381 6.465,09
2 6.788,35 0,9070295 6.157,23
3 2.000,00 0,8638376 1.727,68
14.350,00
Diferença
4.136,35
Capitalizando para o momento 4
4 4.136,35 1,2155063 5.027,76
Conferindo
Momento Valor nominal Fator Valor presente
0
1 0,00
1 6.788,35 0,952381 6.465,09
2 6.788,35 0,9070295 6.157,23
3 2.000,00 0,8638376 1.727,68
4 5.027,76 0,8227025 4.136,35
18.486,35
(6.788,35) (6.788,35) (2.000,00) (?)
0 1 2 3 4
Matemática Financeira
43
54) Um capitalista comprou um prédio de apartamentos pagando R$ 825.000 de entrada e
prometendo pagar R$ 180.000,00 de três em três meses, durante 5 anos. Considerando uma
taxa de juros efetiva de 4,5% ao trimestre, pede-se:
a) Calcular o valor à vista do imóvel;
b) Determinar o valor do pagamento a ser feito no vencimento da 13ª. Prestação, para ficar
em dia, caso deixe de efetuar os 12 primeiros pagamentos;
c) Determinar quanto deverá pagar depois de realizar oito pagamentos, caso deseje liquidar
a dívida por meio de um único pagamento, por ocasião do vencimento normal da 9ª.
Prestação e quanto deverá pagar além da prestação então devida;
d) Determinar quanto deverá pagar no vencimento da 11ª de modo que liquide a dívida, caso
deixe de pagar as dez primeiras prestações
Solução:
a) Calcular o valor à vista do imóvel;
f CLX
180.000 PMT
20 n (5 anos = 5 x 4 trim = 20 trim)
4,5 i
PV 2.341.428,56 + 825.000 = 3.166.428,56
b) Determinar de quanto deverá ser o pagamento a ser feito no vencimento da 13ª.
Prestação, para ficar em dia, caso deixe de efetuar os 12 primeiros pagamentos;
f CLS
180.000 PMT
13 n
4,5 i
FV 3.088.784,39
c) Determinar quanto deverá pagar depois de realizar oito pagamentos, caso deseje liquidar
a dívida por meio de um único pagamento, por ocasião do vencimento normal da 9ª.
Prestação e quanto deverá pagar além da prestação então devida;
f CLX
180.000 PMT
11 n
4,5 i
PV 1.535.205,04 + 180.000
d) Determinar quanto deverá pagar no vencimento da 11ª de modo que liquide a dívida, caso
deixe de pagar as dez primeiras prestações
f CLX
180.000 PMT
11 n
4,5 i
FV 2.491.412,18
+
9 n
Matemática Financeira
44
180.000 PMT
4,5 i
PV 1.308.382,29 TOTAL = 3.799.794,47
55) Determinado eletrodoméstico, anunciado por uma loja de departamentos, pode ser adquirido
por oito prestações mensais iguais de R$ 180,00 sem entrada. A taxa de juros composta
efetiva do financiamento cobrada é de 9% a.m. Calcule o valor à vista do eletrodoméstico
180,00 PMT 8n 9i PV = 996,27
56) Qual deverá ser o valor à vista, considerando que a primeira parcela será paga no ato da
compra?
G BEGIN 180,00 PMT 8n 9i PV = 1.085,93
57) Uma empresa contratou um empréstimo com taxa de juros efetiva composta de 3% a.m., para
ser pago através de seis prestações postecipadas no valor de R$ 5.537,93, com um prazo de
carência de quatro meses. Calcule o valor a vista do financiamento
58) Você e sua esposa resolveram adquirir um apartamento, a prazo, avaliado em R$ 300.000,00,
para ser liquidado em 24 parcelas mensais e iguais, e três parcelas intermediárias de R$
35.000,00 ao final do sexto, décimo segundo e decimo oitavo mês. A taxa de juros efetiva
composta cobrada foi de 5%. Calcule o valor dos pagamentos postecipados mensais de mesmo
valor a serem realizados que permitam quitar o valor do imóvel.
Matemática Financeira
45
Solução: Trazer as parcelas intermediárias à valor presente e deduzir do valor à vista do
imóvel. Depois, distribuir o saldo em uma serie uniforme (24 parcelas)
59) Considerando que um certo terreno pode ser adquirido à vista pelo preço de R$ 183.300,00, ou
a prazo através de sete parcelas mensais postecipadas no valor de R$ 34.000,00, e que sua
empresa pratica uma taxa interna de 9%, qual deve ser a decisão de compra: à vista ou à
prazo?
Solução:
Trazer parcelas à valor presente, considerando a taxa de 9% e verificar se o valor presente é
maior ou menor que o valor do imóvel
Neste caso = 171.120,40, logo, deve ser comprado à prazo
Matemática Financeira
46
2.5. Sistemas de amortização de dívidas
Sistema de Amortização Francês (tabela price)
Neste tipo de sistema de amortização, o financiamento é realizado por meio do pagamento ou
recebimento de uma prestação postecipada periódica constante (uniforme) em cada período. Em suma,
esse sistema utiliza a ideia de pagamentos ou recebimentos realizados segundo uma série uniforme
postecipada.
Exemplo:
Um empréstimo de R$ 60.000,00 deve ser liquidado em quatro parcelas mensais e iguais, à uma taxa
de juros de 12% a.a. capitalizada mensalmente. Elabore um quadro demonstrando o valor da
prestação, da amortização, dos juros e do saldo devedor a cada período:
Na HP
60.000 CHS PV 4 n 1i PMT = 15.376,87
Para montagem do quadro temos:
Mês Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 (60.000,00)
1 15.376,87 600,00 14.776,87 (45.223,13)
2 15.376,87 452,23 14.924,63 (30.298,50)
3 15.376,87 302,98 15.073,88 (15.224,62
4 15.376,87 152,25 15.224,62 0,00
Soma 61.507,48 1.507,46 60.000,02
Procedimento:
F fin Limpa os registros
1 i Taxa
4 n Tempo
60.000 CHS PV Valor presente
PMT Valor da parcela
1f AMORT Juros mês 1
X>Y Amortização mês 1
RCL PV Saldo devedor mês 1
E assim sucessivamente...
Dados da 1ª. Prestação:
1 f AMORT Valor dos juros
R ou x<>Y Valor da amortização
RCL PV Saldo
Matemática Financeira
47
Dados da 2ª. Prestação:
1 f AMORT Valor dos juros
R ou x<>Y Valor da amortização
RCL PV Saldo
E assim sucessivamente
Se quisermos saber as informações acumuladas para um dado momento m, digitamos, por exemplo, 3
f AMORT
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Neste sistema, o valor da amortização é uma constante calculada dividindo-se o principal da operação
pelo número de períodos acordados. OU seja, a amortização é igual a
. O valor da prestação é
obtido através da adição da parcela de juros à quota de amortização.
Considerando os dados do exercício anterior, no sistema de amortização constante (SAC), teríamos a
seguinte situação:
Amortização mensal =
R$ 15.000,00
Mês Amortização Juros Prestação Saldo Devedor
0 (60.000,00)
1 15.000,00 600,00 15.600,00 45.000,00
2 15.000,00 450,00 15.450,00 30.000,00
3 15.000,00 300,00 15.300,00 15.000,00
4 15.000,00 150,00 15.150,00 0,00
Soma 60.000,00 1.500,00 61.500,00 ---
Comparação entre os sistemas:
Comparação entre os três sistemas:
PMT
Períodos
PRICE
SAC
SACRE
Matemática Financeira
48
Exercícios:
60) Um pessoa adquiriu um produto no valor de R$ 5.000,00 para ser pago em 3 parcelas mensais,
à taxa de 5% a.m.. de acordo com a tabela Price. Calcule o valor da parcela e elabore a
planilha
Solução:
NA HP
f CLX
5000 CHS PV
3 n
5 i
PMT 1.836,04
Mês Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 (5.000,00)
1 1.836,04 250,00 1.586,04 (3.413,96)
2 1.836,04 170,70 1.665,34 (1.748,62)
3 1.836,04 87,43 1.748,61 (0,01)
Soma 5.508,12 508,13 4.999,99 ---
Ou na HP
f CLX
5000 CHS PV
3 n
5 i
PMT 1.836,04
1 f AMORT 250,00 Valor juros 1
X<>Y 1.586,04 Amortização 1
RCL PV 3.413,96 Saldo devedor em 1
1f AMORT 170,70 valor juros em 2
X<>Y 1.665,34 Amortização 2
RCL PV 1.748,62 Saldo devedor em 2
1 f AMORT 87,43 Valor juros em 3
X<>Y 1.748,,61 Amortização 3
RCL PV 0,01 Saldo devedor em 3
Matemática Financeira
49
61) Um pessoa adquiriu um produto no valor de R$ 5.000,00 para ser pago em 3 parcelas mensais,
à taxa de 5% a.m.. de acordo com a tabela SAC. Calcule o valor de cada parcela e elabore a
planilha
Amortização mensal =
R$ 1.666,67
Mês Amortização Juros Prestação Saldo Devedor
0 (5.000,00)
1 1.666,67 250,00 1.916,67 (3.333,33)
2 1.666,67 166,67 1.833,34 (1.666,67)
3 1.666,67 83,33 1.750,00 0,01
Soma 5.000,01 500,00 5.500,01 ---
62) Um pessoa adquiriu um veículo no valor de R$ 18.000,00, para ser pago em 12 prestações
mensais, com a primeira paga 3 meses após a compra, capitalizando juros de 3% a.m. durante
a carência. Calcule, de acordo com a tabela price, o valor das prestações
Solução:
Ou n HP
f CLX
18000 CHS PV
3 i
2 n
FV 19.096,20
CHS
PV
0 fv
12 n
PMT 1.918,44
63) Uma pessoa comprou um carro no valor de R$ 23.000,00 para ser pago em 24 parcelas
mensais de R$ 1.170,60 cada. Logo após ter pago a 10 parcela, a pessoa propõe encurtar o
prazo do financiamento. Para tanto, deve pagar R$ 10.000,00 à vista e o saldo devedor em 4
prestações mensais e iguais, à mesma taxa de juros do financiamento inicial. Ela quer saber:
a) A taxa de juros do financiamento (i) 1,67
b) O valor dos juros pagos nas dez parcelas (10 f AMORT) 3.215,81
c) Total amortizado até o décimo mês. (X<>Y) 8.490,19
d) Quanto falta a pagar do principal, após o pagamento da 10ª. Parcela (saldo devedor) (RCL
PV) 14.509,81
e) Valor das quatro parcelas 1.174,82
Matemática Financeira
50
f) Valor dos juros para as quatro parcelas (4f AMORT) 189,46
Solução:
f CLX
23000 CHS PV
24 n
1170,60 PMT
I 1,6667
10 f AMORT 3.215,81 (juros pagos)
X<>Y 8.490,19 (amortização)
RCL PV -14.509,81 (saldo devedor)
10000 + -4.509,81
PV
4 n
PMT 1.174,82
4 f AMORT 189,46 (juros das 4 parcelas)
Matemática Financeira
51
2.6. Métodos de Análise de Fluxos de Caixa
Normalmente, os fluxos de caixa não uniformes caracterizam um dos seguintes tipos de situação:
a) Investimento ou aplicação de recursos na data de hoje para recebimento de entradas de caixa
futuras;
b) Recebimento de recursos na data de hoje (realizado através da tomada de um empréstimo de
um financiamento) para pagamento de saídas de caixa futuras
A avaliação destas situações pode ser realizada através dos métodos:
a) Do valor presente (atual) líquido ou VPL (net presente value ou NPV);
b) Da taxa interna de retorno (TIR ou IRR – internal rate of return) ou taxa interna de juros
(TIJ).
Estes métodos alicerçam-se no regime de juros compostos
Método do valor presente líquido:
O valor presente líquido (VPL) de um fluxo de caixa, independentemente da situação analisada,
representa o valor monetário na data de hoje, proporcionado pela realização do investimento ou do
recebimento em análise.
Exemplo:
Uma empresa deseja avaliar o fluxo de caixa de um investimento no valor de R$ 10.000,00 em um
terreno. Espera-se que após quatro anos, o terreno possa ser vendido por R$ 11.000,00. A taxa mínima
de atratividade estabelecida pela empresa é de 13% a.a.. A utilização do terreno gerará recursos
adicionais de R$ 500,00 no primeiro ano, R$ 450,00 no segundo ano e de R$ 550,00 no terceiro ano.
Calcule o VPL do fluxo de caixa e verifique se o investimento deve ser feito
-2.077,42
O valor negativo indica que o investimento não deve ser feito.
Matemática Financeira
52
Método da taxa interna TIR (Internal Rate of Return-IRR)
De forma similar ao que foi apresentado no primeiro capítulo, quando temos mais de uma entrada de
fluxo de caixa de investimento ou mais de uma saída em um fluxo de caixa de recebimento, a taxa
interna do respectivo fluxo de caixa é calculada por meio da solução das seguintes equações:
Exemplo:
Considere o seguinte fluxo de caixa:
Se atualizássemos (trouxéssemos a valor presente) o fluxo acima a uma taxa de 10%, teríamos a
seguinte situação:
Momento Valor original Valor presente
Fluxo de caixa 1 0 (100.000,00) (100.000,00)
Fluxo de caixa 2 1 52.000,00 47.272,73
Fluxo de caixa 3 2 15.000,00 12.396,69
Fluxo de caixa 4 3 32.000,00 24.042,07
Fluxo de caixa 5 4 41.000,00 28.003,55
Valor final (VPL) 40.000,00 11.715,04
Isso significa que se a taxa mínima de atratividade da empresa fosse de 10%, o investimento se
mostraria viável, ou seja, a empresa investe R$ 100.000,00 para ter recebimentos futuros, e mesmo se
descontando (trazendo a valor presente) os recebíveis, ainda teria um resultado positivo de R$
11.715,04.
Entretanto, qual o limite, em termos de taxa, que a empresa poderia admitir para não ter prejuízo na
atualização (valor presente) dos valores acima?
Este é o papel da TIR, identificar a taxa que zera o fluxo de caixa.
Na HP 12 C, podemos calcular a TIR da seguinte forma:
52.000,00 0
1 2 3 4
15.000,00 32.000,00 41.000,00
(100.000,00)
Matemática Financeira
53
100.000 CHS g CFo
52.000 g CFj
15.000 g CFj
32.000 g CFj
41.000 g CFj
f IRR 15,5379
Para efeito de comprovação, considerando a TIR acima (15,5379%),teríamos o seguinte fluxo:
Momento Valor original Valor presente
Investimento inicial 0 (100.000,00) (100.000,00)
Fluxo de caixa 1 1 52.000,00 45.006,88
Fluxo de caixa 2 2 15.000,00 11.236,78
Fluxo de caixa 3 3 32.000,00 20.748,02
Fluxo de caixa 4 4 41.000,00 23.008,37
Valor final 40.000,00 0,05
Esse resultado indica que a taxa média intrínseca deste fluxo é igual a 15,5379% ao período, e que
todos os valores (independentemente se positivos ou negativos) serão por ela remunerados.
Para exemplificar, vejamos:
Vamos trazer os valores negativos para o momento zero (ano inicial) e;
Vamos levar os valores positivos para o último ano.
Calculando, teríamos:
PV = (100.000,00) / (1,155379)0 = 100.000,00
FV = (52.000 x 1,155379)3 + (15.000 x 1,155379)
2 + (32.000 x 1,155379)
1 + (41.000 x 1,155379)
0
FV = 80.200,44 + 20.023,51 + 36.972,13 + 41.000,00 = 178.196,08
Desta forma, teríamos o seguinte fluxo:
Qual é a taxa intrínseca desse novo fluxo?
FV = PV x (1 + i)n 178.196,08 = 100.000 x (1 + i)4
178.196,08 / 100.000,00 = (1 + i) 4 1,7820 = (1 + i)4
i = 4√1,7820 – 1 i = 0,1554 i = 15,54%
Na HP:
f CLX
100.000 CHS PV
0
1 2 3 4
178.196,08
(100.000,00)
Matemática Financeira
54
4 n
178.196,08 FV
i 15,5379
Fluxo de caixa na HP:
As implementações dos métodos do VPL (NPV) e da TIR (IRR) na calculadora HO-12C são
realizadas através da utilização das teclas NPV, IRR, CFo (primeiro fluxo de caixa), CFj (demais
fluxos) e Nj (número de fluxos de caixa iguais ao último cadastrado). O fluxo de caixa a ser avaliado
pode conter até 21 entradas ou saídas líquidas de caixa diferentes, incluindo a primeira.
Método da Taxa Interna de Retorno Modificada:- (TIRM ou MTIR)
O método TIR considera que o fluxo de caixa será reinvestido na empresa pela própria TIR do projeto,
e não pelo custo de capital da empresa. A TIRM (Taxa interna de retorno modificada), também
conhecida como MTIR, procura corrigir esse problema (MEGLIORINI e VALLIM, 2009).
De acordo com Samanez (2006, p.202) a TIRM (ou MTIR) pode ser calculada trazendo para o valor
presente os fluxos negativos, e para o futuro os positivos. Para atualizar os fluxos por este critério, é
necessário que sejam estipuladas as taxas de financiamento (captação) e de investimento (aplicação), o
que, segundo o autor, acrescenta subjetividades à análise.
Considerando uma taxa de captação de 15% e de aplicação a 10%, teríamos a seguinte situação:
PV = (100.000,00) / (1,15)0 PV = (100.000,00)
FV = (52.000 x 1,103) + (15.000 x 1,102) + (32.000 x 1,101) + (41.000 x 1,100)
FV = 69.212,00 + 18.150,00 + 35.200,00 + 41.000,00 = 163.562,00
Simplificando, teríamos então o seguinte fluxo:
52.000,00 0
1 2 3 4
15.000,00 32.000,00 41.000,00
(100.000,00)
0
1 2 3 4
163.562,00
Matemática Financeira
55
Nesse cenário, considerando uma taxa de captação a 15% e uma taxa de aplicação a 10%, teríamos a
seguinte TIRM (ou MTIR):
f CLX
100.000,00 CHS PV
163.562,00 FV
4 n
I 13,0891%
Diferente da TIR original, que foi de 15,5379.
(100.000,00)
Matemática Financeira
56
Exercícios:
64) Considerando que uma alternativa de investimento requeira um desembolso inicial de R$
200.000,00, que propiciaria a geração de fluxos de caixa de R$ 75.000,00 por ano, durante
cinco anos, calcule o Valor Presente Líquido (VPL) do investimento a uma taxa mínima de
atratividade de 15% a.a.
Na HP
f CLX
200.000,00 CHS g CFo
75.000,00 g CFJ
5 g nj
15 i
f NPV 51.411,63
65) Ainda de acordo com os dados anteriores, calcule a Taxa Interna de Retorno do investimento
Na HP
f CLX
200.000,00 CHS g CFo
75.000,00 g CFJ
5 g nj
15 i
f IRR 25,41%
66) Ainda de acordo com os dados anteriores, considerando uma taxa de captação de 20% e de
aplicação a 15%, calcule a TIRM (ou MTIR)
PV = (200.000,00) / (1,20)0 PV = (200.000,00)
FV = (75.000 x 1,15)4 + (75.000 x 1,15)
3 + (75.000 x 1,15)
2 +(75.000 x 1,15)
1 (41.000 x
1,10)0
FV = 131.175,47 + 114.065,63 + 99.187,50+ 86.250,00 + 75.000,00= 505.678,60
Simplificando, teríamos então o seguinte fluxo:
Na HP
f CLX
200.000,00 CHS f PV
505.678,60 FV
0
1 2 3 5
505.678,60
(200.000,00)
4
Matemática Financeira
57
5 n
I = 20,384%
67) A aquisição de uma máquina de serrar elétrica, avaliada em R$ 3.600,00 poderá gerar receitas
adicionais à serraria, de R$ 340,00 nos seis primeiros meses, R$ 300,00 nos seis meses
seguintes e R$ 280,00 nos últimos seis meses. Considerando uma taxa mínima de atratividade
de 5%, e ainda, que ao final do período a referida maquina poderá ser vendida por R$ 600,00,
calcule, através do método VPL e TIR, a viabilidade da aquisição da maquina.
NPV = R$ 302,69
IRR = 6,02
Viável, investimento dará retorno maior do que o mínimo desejado
68) Uma motocicleta, avaliada em R$ 12.000,00, pode ser adquirida em duas diferentes agências
em Belo Horizonte, e nas seguintes condições:
Agência A: Entrada de R$ 2.000,00 e mais 48 parcelas mensais e iguais no valor de R$
336,00 cada
Agência B: Sem entrada e mais 60 parcelas mensais e iguais no valor de R$ 348,00 cada.
Calcule o VPL e a TIR das opções acima e indique a melhor opção de compra para o
consumidor, considerando uma taxa de juros de mercado de 2% ao mês.
Agência A: VPL = R$ 306,17 TIR = 2,1493%,
Agência B: VPL = R$ 96,79 TIR = 2,0332%,
69) Calcule, de acordo com o fluxo de caixa abaixo, a TIR e a TIRM, considerando uma taxa de
captação de 10% e de aplicação de 5% a.a.
TIR = 24,66%
TIRM = 19,08%
1 2 3 4
2.000,00 3.000,00
2.800,00 2.800,00 2.800,00
Matemática Financeira
58
2.7. Descontos
A operação de desconto propriamente dita, consiste em receber na data de hoje um ou mais valões a
que se tem direito de receber somente no futuro. A abordagem adotada aqui, é a de analisar o
problema do ponto de vista das pessoas físicas ou jurídicas que têm necessidade de caia, e não a da
instituição ou pessoa física que vai cobrar uma recompensa por adiantar o dinheiro. Ou seja, a ótica
utilizada é a de quem está precisando do dinheiro hoje. As empresa de fomento mercantil (factorings)
e os bancos comerciais representam as instituições que mais realizam esse tipo de operação.
No mercado existem tanto as operações de desconto simples quanto as de desconto composto de
títulos de crédito.
Podemos definir dois tipos de desconto:
a) Desconto simples por dentro (ou racional)
b) Desconto simples por fora (comercial)
Desconto simples por dentro (racional)
Valor descontado:
Taxa de Desconto:
Desconto simples por fora (comercial):
Valor descontado:
Taxa de Desconto:
Desconto composto:
O desconto de títulos utilizando o regime de juros compostos, de forma similar ao desconto de título
empregando o regime de juros simples, também pode ser realizado nas modalidades por dentro e por
fora. Entretanto, apresentamos aqui apenas o desconto composto por dentro, por ser aquele mais
utilizado quando o prazo de cada título é considerado longo.
Matemática Financeira
59
Matemática Financeira
60
Exercícios:
70) Um título com valor nominal de R$ 10.000,00, é descontado com desconto simples por fora, à
taxa de 5% ao mês, 15 dias antes de seu vencimento. Calcule:
a) O valor do desconto
250,00
b) O valor líquido:
c) A taxa de desconto
71) Um determinado título, descontado à taxa de 8% ao mês, 45 dias antes de seu vencimento,
gerou um valor líquido de R$ 10.560,00. Qual o valor nominal do título?
72) Um título com valor nominal de R$ 10.000,00, é descontado com desconto simples por dentro,
à taxa de 5% ao mês, 15 dias antes de seu vencimento. Calcule:
a) O valor do desconto
b) O valor líquido:
c) A taxa de desconto
Matemática Financeira
61
73) A sua empresa pretende descontar um título de valor nominal igual a R$ 20.000,00. O título
vence daqui a dois meses e meio A taxa de desconto simples por dentro mensal cobrada é de
4%. Calcule:
a) O valor do desconto
b) O valor líquido:
c) A taxa de desconto
74) Uma distribuidora de títulos e valores esta oferecendo títulos com valor de face igual a R$
1.000,00. A taxa de juros efetiva composta oferecida aos investidores interessados é de 23%
a.a. Você tem interesse em adquirir tais títulos, cujo vencimento ocorrerá daqui a três anos.
Calcule o valor do investimento que você deverá realizar hoje por título adquirido.
Ou
1.000 FV
23 i
3 n
PV =