Juros Simples e Juros CompostosO conceito de juros está ligado diretamente ao conceito de capital. Este pode ser

denominado como valor de quantia monetária transacionada e também pode ser chamado

de principal.

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Esses conceitos estão diretamente relacionados com comportamentos de consumo e

disponibilidade de renda em função do tempo, conforme a renda que as pessoas recebem

no presente e conforme as preferências intertemporais de consumo dessas pessoas.

Um padrão de consumo pode ser maior do que suas rendas no presente, em troca de um

consumo menor no futuro, ou pode ser menor e com disposição a poupança de renda para

consumo futuro.

Assim, de um lado há a demanda por crédito e do outro a oferta de fundos, que supre a

necessidade essa demanda por crédito. Chama-se taxa de juros ao valor do juro em

uma unidade de tempo, expresso como porcentagem do capital.

Juros SimplesConsiderando um capital C, aplicado a juros simples e à taxa t, durante n períodos de

tempo, é possível deduzir a seguinte regra (fórmula) de juros após n períodos de

aplicação:

Juros após um período: J1 = C.t

Juros após dois períodos: J1 = C.t + C.t =  2.(C.t)

Juros após três períodos: J1 = C.t + C.t + C.t = 3.(C.t)

Juros após n períodos: Jn = C.t + C.t + … + C.t = n.(C.t)

Portanto, lembrando que C é o capital, t é a taxa de juros e n é operíodo de aplicação, a

fórmula para calcular juros simples é:

Antes da exposição de exemplos, é importante que se fale sobre o conceito de montante.

Montante

Chama-se montante de um investimento (ou de um empréstimo) à soma do capital com o

juro obtido pela aplicação (ou pago pelo empréstimo). Sendo C o capital, J o juro, t a taxa

de juro e M o montante e baseando-se na definição acima se obtém:

Com base nas relações expostas acima, para cálculo de juros simples e cálculo

do montante de um investimento, é possível verificar que a equação para a obtenção da

taxa de jurost, quando dados os valores C e M, é:

Pode-se comprovar a relação acima por meio da seguinte demonstração:

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Exemplos:

1 – Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado durante um mês, à uma taxa de 1,1% ao mês.

(a)     Qual é o juro no período?

(b)     Qual é o valor do montante?

Repostas:

(a)     J = 1000 . 1,1% = 1000 . 0,011 = 11; portanto, o juro é igual a R$ 11,00.

(b)     M = 1000 + 11 = 1011; portanto, o montante é igual a R$ 1.011,00.

2 – Um capital de R$ 700.000,00 é aplicado durante um ano, à uma taxa de 30% ao ano.

(a)   Qual é o juro no período?

(b)   Qual é o valor do montante?

Respostas:

(a)   J = 700000 . 30% = 700000 . 0,3 = 210000; portanto, o juro é igual a R$ 210.000,00.

(b)   M = 700000 + 210000 = 910000; portanto o montante é igual a R$ 910.000,00.

3 – Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado durante três meses, produzindo um montante

de R$ 14.640,00. Qual é a taxa trimestral de juros?

Resposta:

t = (M / C) – 1 = (14640 / 12000) – 1 = 1,22 – 1 = 0,22; portanto, a taxa de juros é de 22%

ao trimestre.

4 – Qual o capital que rende juros de R$ 3.000,00 durante cinco meses, se a taxa de juros

simples for 2% ao mês?

Reposta:

Sendo t = 2% a.m., o número de meses n = 5e o juros J = 3000, obtém-se:3000 = C . 2% .

5

3000 = C . 0,02 . 5

3000 = C . 0,1

C = 3000 / 0,1 = 30000

Portanto, o capital possui o valor de R$ 30.000,00.

Por fim, com base no que foi exposto anteriormente, é possível verificar que somente o

capital inicial rende juros, portanto só se calcula juros simples sobre o capital

inicial C. Além disso, é importante verificar que o ganho obtido se dá como uma sequência

linear.

Juros CompostosPode-se dizer que os juros compostos são, simplesmente, juros sobre juros. Sendo

assim, pode-se concluir que os juros não incidiram somente sobre o capital inicial, mas

também sobre os juros que foram anteriormente capitalizados, por isso o ganho obtido se

dá como uma sequência geométrica.

Considerando um capita C, uma taxa de juros t e calculando o montante obtido a juros

compostos,após n período de tempo, obtém-se:

Inicialmente, o capital inicial C;

Montante após um período: M1 = C + C.t = C(1 + t)1

Montante após dois períodos: M2 = M1 + M1 . t = M1(1 + t) = C(1 + t)2

 Montante após três períodos: M3 = M2 + M2 . t = M2(1 + t) = C(1 + t)3

Generalizando, é obtida a seguinte fórmula:

Mn = C (1 + t)n

Exemplo:

Calcule os juros produzidos por uma aplicação de R$ 8.000,00 em 4 meses a uma taxa de

6% a.m. com juros compostos.

Reposta:

Primeiramente, encontrar o montante. Considerando C = 8000, t = 6 / 100 = 0,06 e n = 4,

obtém-se:

M4 = 8000 (1 + 0,06)4

M4 = 10099,81

O cálculo dos juros produzidos é possível se do montante encontrado for subtraído o valor

do capital C, logo: J = M4 – C.

J = 10099,81 – 8000 = 2099, 81

Portanto, os juros produzidos foram de R$ 2.099,81.

Prova Resolvida CFO PM ES 2013 – Exatus – Questão 69. Alberto aplicou um capital de R$ 4160,00 à taxa de juros simples de 15% a.a. por um período suficiente para que o montante a ser retirado seja o triplo do capital aplicado. Dessa forma, o período de aplicação desse capital é: Resolução:Para que o dinheiro retirado seja o triplo do aplicado, este deve crescer 200%.Como temos o regime de juros simples, basta dividirmos 200% por 15%/ano, que é igual a 13,333… anos.

Note que 0,3333… = 1/3 = 4 meses.Prazo total: 13 anos e 4 meses  Prova Resolvida PM SC 2011 – Cesiep – Questão 31. Qual o juro obtido em uma aplicação financeira de um capital de $100.000,00 durante o período de dois meses à taxa de juros simples de 60% ao mês?a) $110.000,00b) $140.000,00c) $60.000,00d) $120.000,00 Resolução:Calculando 60% de 100.000:100000 . 60/100 = 6000000/100 = 60000Como trata-se de juros simples, todo mês a aplicação renderá 60000. Em 2 meses:2.60000 = 120000  Prova Resolvida PM SC 2011 – Cesiep – Questão 32. Mário comprou uma casa por $175.000,00. Para o pagamento foi dada uma entrada de $145.000,00 e o restante parcelado a juros simples com taxa de 12% ao ano durante 5 anos. Qual é o valor total dos juros?a) $36.000,00b) $18.000,00c) $16.000,00d) $24.000,00 Resolução:O valor financiado foi 175000 – 145000 = 30000Calculando 12% de 30000:30000 . 12/100 = 360000/100 = 3600Como trata-se de juros simples, todo ano serão gerados 3600 de juros. Em 5 meses:5.3600 = 18000  

Prova Resolvida Bombeiros ES 2011 – Cespe – Questões 28 e 29. Considerando que uma dívida tenha sido paga em 10 meses à taxa de juros simples mensais, julgue os itens que se seguem. 28. Se a taxa de juros simples mensais cobrados foi de 3% e o devedor pagou R$ 11.700,00, então a dívida era inferior a R$ 9.200,00. Resolução:Fórmula de juros simples:M = C(1 + in/100)M = Valor finalC = capital iniciali = taxan = prazo11700 = C(1 + 3.10/100)11700 = C(1,3)C = 11700/1,3C = 9000CERTO 29. Se a dívida era de R$ 8.000,00 e o devedor pagou R$ 10.000,00, então a taxa de juros simples mensais cobrados foi superior a 2,6%.M = C(1 + in/100)10000 = 8000(1 + 10i/100)10000/8000 = (1 + i/10)1 + i/10 = 1,25i/10 = 1,25 – 1i/10 = 0,25i = 0,25.10i = 2,5ERRADO  Prova Resolvida CFO Bombeiros ES 2011 – Cespe – Questões 32 e 33. Considere que um capital de R$ 10.000,00 tenha sido aplicado em determinado investimento, em regime de juros simples, pelo período de 5 meses.Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

 32. Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%.Resolução:O capital aumentou 13000 – 10000 = 3000 em 5 mesesComo trata-se de juros simples, aumentou 3000/5 = 600 por mêsAssim, 600/10000 = 0,06 ou 6%CERTO 33. Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.000,00.Fórmula de juros simples:M = C(1 + in/100)M = Valor finalC = capital iniciali = taxan = prazoM = 10000(1 + 5.5/100)M = 10000(1 + 25/100)M = 10000.1,25M = 12500ERRADO

Prova Resolvida BB 2011 – Fundação Carlos Chagas – Questão 32. Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de:(A) 7 anos, 6 meses e 8 dias.(B) 8 anos e 4 meses.(C) 8 anos, 10 meses e 3 dias.(D) 11 anos e 8 meses.(E) 11 anos, 1 mês e 10 dias. Resolução:M = J + C = C.i.t + C = C(1+i.t)Estamos buscanto o prazo para que M = 4C. Vamos substituir na fórmula:4C = C(1+t.36/100)4 = 1 + t.36/100

3 = t.36/100t = 300/36 = 25/3 = 8 + 1/3 = 8 anos e 4 meses  Prova Resolvida PM Piauí 2009 – Nucepe – Questão 25. Uma empresa de cosmético possui R$ 80.000,00. Ela aplica 30% desse dinheiro em um investimento que rende juros simples a uma taxa de 3% ao mês, durante 2 meses; e aplica o restante em outro investimento que rende 2% ao mês durante 2 meses também. Ao fim desse período, esse investidor possui:a) R$ 83.000,00b) R$ 84.300,00c) R$ 85.200,00d) R$ 86.300,00e) R$ 83.680,00 Resolução:80000 . 30% = 80000.30/100 = 2400000/100 = 24000 Vamos calcular cada uma das aplicações: * 24000 a 3% durante 2 meses:24000.3% = 24000.3/100 = 72000/100 = 720Em dois meses: 2.720 = 1440 * 56000 a 2% durante 2 meses:56000.2% = 56000.2/100 = 112000/100 = 1120Em dois meses: 2.1120 = 2240 Total de juros: 1440 + 2240 = 3680Resposta: 80000 + 3680 = 83680,00 

Método HamburguêsO Método Hamburguês introduz uma simplificação nos cálculos de juros simples, quando há diversos valores de principal, aplicados por diversos prazos, à uma mesma taxa de juros.

Suponha que um aplicador tenha efetuado a movimentação mostrada no quadro a seguir, remunerada a juros simples de 12% ao ano. Considere o ano civil contendo 365 dias.

 

 

Datas Histórico

D/C Saldo Dias

Dias x saldo

VP.i.n

15/01/2002

Depósito

100.000 100.000

11 1.100.000

361,64

26/01/2002

Saque (30.000)

70.000 18 1.260.000

414,25

13/02/2002

Saque (15.000)

55.000 15 825.000 271,23

28/02/2002

Depósito

40.000 95.000 5 475.000 156,16

05/03/2002

Saque (95.000)

-   -  

      TOTAL   3.660.000

1.203,29

Observe que a última coluna mostra o valor dos juros simples, para os períodos em que cada valor de principal permaneceu aplicado. O primeiro depósito de $100.000 permaneceu inalterado por 11 dias. Logo, produziu juros de $361,64.

J = $ 361,54

E assim, sucessivamente. Os juros totais entre 15/01/2002 e 05/03/2002, seriam de $1.203,29.

Pelo método hamburguês basta multiplicar a soma do produto dos dias pelos saldos, pela taxa de juros diária de 0,0329% ao dia, obtendo-se o mesmo total:

J = $ 3.660.000 . 0,000329 = 1.203,29

No exemplo k = 4, sendo para t = 1:

VP = $ 100.000

n1 = 11 dias

VP x n1 = $1.100.000

Juros sobre o primeiro depósito

J1 = $ 1.100.0000 x 0,000328767 = $ 361,64