MATEMÁTICA FINANCEIRA

JUROS E CAPITALIZAÇÃOJUROS E CAPITALIZAÇÃOCOMPOSTOSCOMPOSTOS

PROFº JOÃO GRISI55

DefiniçõesDefinições

O juro composto é a maior invenção da O juro composto é a maior invenção da

humanidade, porque permite uma humanidade, porque permite uma

confiável e sistemática acumulação de confiável e sistemática acumulação de

riqueza." - Albert Einstein.riqueza." - Albert Einstein.

““Juros Compostos são juros sobre Juros Compostos são juros sobre

juros!”juros!”

JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS

Em operações de JUROS COMPOSTOS Em operações de JUROS COMPOSTOS a incidência de juros ocorre a incidência de juros ocorre sempre sempre

de forma cumulativade forma cumulativa..

A taxa de juros incidirá sobre o A taxa de juros incidirá sobre o montante acumuladomontante acumulado no final do no final do

período anterior.período anterior.

Regime de capitalização composta, Regime de capitalização composta, corresponde a uma progressão geométrica corresponde a uma progressão geométrica (PG), onde os juros crescem de forma (PG), onde os juros crescem de forma Exponencial ao longo do tempo, como mostra o Exponencial ao longo do tempo, como mostra o gráfico abaixo, um capital de R$ 1.000 aplicado gráfico abaixo, um capital de R$ 1.000 aplicado por dez meses a uma taxa de 10% a.m., por dez meses a uma taxa de 10% a.m., acumula um montante de R$ 2.000 no final.acumula um montante de R$ 2.000 no final.

JUROS COMPOSTOS

Juros pode ser representado pela seguinte fórmula:Juros pode ser representado pela seguinte fórmula:

Sendo que:Sendo que:

J = Juros recebido (ou pago) referente ao período;J = Juros recebido (ou pago) referente ao período; PV = Capital aplicado (ou tomado);PV = Capital aplicado (ou tomado); i = Taxa de juros;i = Taxa de juros; n = Período de aplicação (ou prazo da operação).n = Período de aplicação (ou prazo da operação).

11 niPVJ

JUROS COMPOSTOS

Se trabalharmos com a fórmulas de juros Se trabalharmos com a fórmulas de juros devemos nos atentar há algumas devemos nos atentar há algumas particularidade das mesma, tais como:particularidade das mesma, tais como:

i deve está em sua forma decimal, ou seja, se i deve está em sua forma decimal, ou seja, se a taxa for de 10%, devemos dividir por 100, a taxa for de 10%, devemos dividir por 100, transformando-a em 0,10;transformando-a em 0,10;

Se unidade utilizada no período não for Se unidade utilizada no período não for compatível ao da taxa de juros, deve ser feito compatível ao da taxa de juros, deve ser feito a conversão de um deles. O período é simples a conversão de um deles. O período é simples como o de juros simples, já a taxa deve utilizar como o de juros simples, já a taxa deve utilizar uma fórmula de Taxa Equivalente.uma fórmula de Taxa Equivalente.

JUROS COMPOSTOS

Por meio das fórmulas básica de valor Por meio das fórmulas básica de valor futuro podemos extrair outras fórmulas futuro podemos extrair outras fórmulas para facilitar o cálculo de outras para facilitar o cálculo de outras variáveis, como: variáveis, como:

7

1

1

n

PV

FVi

niPVFV )1(

niLogPVFV

Logn

)1(

ni

FVPV

)1(

Valor presente Prazo Taxa de juros

JUROS COMPOSTOS

Juros CompostosJuros Compostos

niVPVF 1

niVF

VP

1

11

1

nn

VP

VF

VP

VFi

)1log(

log

iVPVF

n

Fórmulas de Juros CompostosFórmulas de Juros Compostos

TaxasTaxas

Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira. Ou é a para a realização de alguma operação financeira. Ou é a unidade de medida pela qual os juros são fixados na unidade de medida pela qual os juros são fixados na remuneração de um capital num determinado período de tempo remuneração de um capital num determinado período de tempo ( dias, meses, anos etc). ( dias, meses, anos etc).

““No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivo, reina muita confusão quanto aos técnicos e executivo, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela dificultado o fechamento de negócios pela conseqüente falta de entendimento entre as partes. conseqüente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira Matemática Financeira existe uma verdadeira “poluição”de taxas de juros (Dutra, 2000)”.“poluição”de taxas de juros (Dutra, 2000)”.

Taxa ProporcionalTaxa Proporcional

Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.juros simples.

Este caso se tiver uma taxa ao ano, e o período Este caso se tiver uma taxa ao ano, e o período do problema é em meses, basta dividir a taxa por do problema é em meses, basta dividir a taxa por 12, ou seja, um (1) ano tem doze (12) meses.12, ou seja, um (1) ano tem doze (12) meses.

► i= 12%aa i= 12%aa 1%am 1%am► i= 8%as i= 8%as 1,33%am 1,33%am

Taxa EquivalenteTaxa Equivalente

Taxas equivalentes são taxas de juros Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros daquele prazo, no regime de juros compostos.compostos.

Assim, a diferença entre taxas equivalentes e Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.equivalentes se baseiam em juros compostos.

Taxa EquivalenteTaxa Equivalente

Fórmulas:Fórmulas:

Onde, Onde,

iiqq : é a taxa de juros de deseja encontra; : é a taxa de juros de deseja encontra;

iitt : é a taxa de juros de tenho no problema; : é a taxa de juros de tenho no problema;

q : período que quero,q : período que quero,

tt : período que tenho. : período que tenho.

10011

t

q

tq ii

Tenho Quero

it = iq = t = q =

Exemplo 1Exemplo 1

iiqq = ( 1 + i = ( 1 + itt))q/tq/t – 1 – 1

ii200200 = ( 1 + 0,8) = ( 1 + 0,8)200/360200/360 – 1 – 1

ii200200 = ( 1,8) = ( 1,8)0,55560,5556 – 1 – 1

ii200200 = 1,3862 – 1 = 1,3862 – 1

ii200200 = 0,3862 = 38,62% = 0,3862 = 38,62%

Uma taxa de 80% a.a. equivalerá a qual taxa em 200 dias?

Exemplo 2Exemplo 2

iiqq = ( 1 + i = ( 1 + itt))q/tq/t – 1 – 1

ii22 = ( 1 + 0,5) = ( 1 + 0,5)2/122/12 – 1 – 1

ii22 = ( 1,5) = ( 1,5)0,16670,1667 – 1 – 1

ii22 = 1,0699 – 1 = 1,0699 – 1

ii22 = 0,0699 = 6,99% = 0,0699 = 6,99%

Uma taxa de 50% a.a. equivalerá a qual taxa em 2 meses?

iq = ( 1 + it)q/t – 1

i1 = ( 1 + 0,5)1/12 – 1

i1 = ( 1,5)0,08333 – 1

i1 = 1,03437 – 1

i1 = 0,03437 = 3,437%

Exemplo 3Exemplo 3

Uma taxa de 50% a.a. equivalerá a qual taxa em 1 mês?

Exemplo 4Exemplo 4

iq = ( 1 + it)q/t – 1

i1 = ( 1 + 0,5)1/360 – 1

i1 = ( 1,5)0,00278 – 1

i1 = 1,00113 – 1

i1 = 0,00113 = 0,113%

Uma taxa de 50% a.a. equivalerá a qual taxa em 1 dia?

Exemplo 5Exemplo 5

iq = ( 1 + it)q/t – 1

i230 = ( 1 + 0,5)230/360 – 1

i230 = ( 1,5)0,63889 – 1

i230 = 1,2957 – 1

i230 = 0,2957 = 29,57%

Uma taxa de 50% a.a. equivalerá a qual taxa em 230 dias?

Taxa NominalTaxa Nominal

Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:exemplos de taxas nominais:

- 12% ao ano, capitalizados mensalmente;- 12% ao ano, capitalizados mensalmente; - 24% ao ano, capitalizados semestralmente;- 24% ao ano, capitalizados semestralmente; - 10% ao ano, capitalizados trimestralmente,- 10% ao ano, capitalizados trimestralmente, - 18% ao ano, capitalizados diariamente.- 18% ao ano, capitalizados diariamente.

Taxa EfetivaTaxa Efetiva

A taxa Efetiva é quando o período de formação e A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. aquele a que a taxa está referida.

120% ao mês com capitalização mensal; 120% ao mês com capitalização mensal; 450% ao semestre com capitalização semestral; 450% ao semestre com capitalização semestral; 1300% ao ano com capitalização anual. 1300% ao ano com capitalização anual.

Obs: Quando trabalhamos com taxa efetivas, Obs: Quando trabalhamos com taxa efetivas, omitimos o seu período de capitalização, pois eles omitimos o seu período de capitalização, pois eles estão na mesma unidade de tempo da taxa em estão na mesma unidade de tempo da taxa em questão.questão.

Taxa UnificadaTaxa Unificada

A utilização de taxas unificadas é muito útil em regimes A utilização de taxas unificadas é muito útil em regimes de economia inflacionária, como no caso vivido no Brasil de economia inflacionária, como no caso vivido no Brasil onde vários indexadores – na verdade taxas de correção onde vários indexadores – na verdade taxas de correção monetária – são colocadas no mercado (IGP-DI) para monetária – são colocadas no mercado (IGP-DI) para tentar zerar ou equilibrar a perda monetária provocada tentar zerar ou equilibrar a perda monetária provocada pela inflação.pela inflação.

O problema é ter duas taxas O problema é ter duas taxas ( i( i1 1 ee i i22)) e torná-las únicas e torná-las únicas (i(iuu) ) de forma que provoque o mesmo ganho/custo de forma que provoque o mesmo ganho/custo financeiro, se aplicadas isoladamente uma sobre a outra.financeiro, se aplicadas isoladamente uma sobre a outra.

““cuidado! Unificar duas taxas não significa somá-cuidado! Unificar duas taxas não significa somá-las: las:

(i(iuu diferente de i diferente de i11 + i + i22)”)”

Fórmula:Fórmula:

ii11 = 5% = 5%

ii22 = 6% = 6%

100]1)1(...)1()1[( 21 nu iiii

%3,11

100113,0

100]1113,1[

100]1)06,01()05,01[(

u

u

u

u

i

i

i

i

Taxa Unificada

Operações na HP 12COperações na HP 12C

Embora algebricamente as operações Embora algebricamente as operações com juros compostos possam ser um com juros compostos possam ser um pouco mais difíceis do que as operações pouco mais difíceis do que as operações com juros simples, na prática, a com juros simples, na prática, a calculadora HP 12C permite uma calculadora HP 12C permite uma simplificação muitosimplificação muito

grande das operações.grande das operações.

Exercícios na HP12CExercícios na HP12C

A importância de $400,00 foi aplicada A importância de $400,00 foi aplicada por 3 meses a taxa de 5% am, no por 3 meses a taxa de 5% am, no regime de juros compostos. Qual o regime de juros compostos. Qual o valor de resgate?valor de resgate?

33 55 400400

Resposta no visor : Resposta no visor : $463,05$463,05

Clique aqui para Clique aqui para ver a respostaver a resposta

EXERCÍCIO 1EXERCÍCIO 1

Qual o montante obtido de uma aplicação de $ 1.000,00 em 5 meses a 2% ao mês.

VF = VP x (1 + i) n

VF = 1000 x (1 + 0,02)5

VF = 1000 x (1,02)5

VF = 1000 x 1,10408

VF = $1.104,08

RESOLUÇÃO PELA HP12CRESOLUÇÃO PELA HP12C

[[ff ] ] 44 Fixar quatro casas decimais.Fixar quatro casas decimais.[[f f ] [] [REGREG]] Apagar registros anteriores.Apagar registros anteriores.[[STOSTO] [] [EEXEEX]] Aparecerá um Aparecerá um cc no visor. no visor. [[55] [ ] [ n n ]] visorvisor 5,00005,0000[[22] [ ] [ i i ]] visorvisor 2,00002,0000[[10001000] [] [CHSCHS] [] [PVPV]] visorvisor -1.000,0000-1.000,0000[[FVFV]] visorvisor runningrunning (piscando)(piscando)

visorvisor 1.104,08081.104,0808 (Valor Futuro)(Valor Futuro)[[f f ] ] 22 Fixar com duas casas decimais.Fixar com duas casas decimais.

visorvisor 1.104,081.104,08 (Valor Futuro)(Valor Futuro)