Matemática FinanceiraJuros Compostos

ADM 1170

Curso de Administrição

Professor: André de Almeida Jaques

aaj.go@terra.com.br

Definições

•O juro composto é a maior invenção da

humanidade, porque permite uma confiável e

sistemática acumulação de riqueza." - Albert

Einstein.

“Juros Compostos são juros sobre juros!”

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Definições

•Os juros são calculados sobre os Principais

nos inícios dos meses, que correspondiam

aos montantes dos finais dos meses

anteriores.

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Juros Compostos

•Em juros compostos, o problema principal

consiste em calcular o montante (soma) FV

obtido pela aplicação de um único valor

principal PV no instante t=0, à taxa i de juros

(por período) durante n períodos.

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Juros Composto• Regime de capitalização composta, corresponde a

uma progressão geométrica (PG), onde os juros crescem de forma Exponencial ao longo do tempo, como mostra o gráfico abaixo, um capital de R$ 1.000 aplicado por dez meses a uma taxa de 10% a.m., acumula um montante de R$ 2.000 no final.

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Juros Composto

• Juros pode ser representado pela seguinte fórmula:

•Sendo que:

▫ J = Juros recebido (ou pago) referente ao período;▫PV = Capital aplicado (ou tomado);▫ i = Taxa de juros;▫n = Período de aplicação (ou prazo da operação).

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11 niPVJ

Juros Composto

•Ao trabalhando com a fórmulas de juros devemos nos atentar há algumas particularidade das mesma, tais como:▫i deve está em sua forma decimal, ou seja, se

a taxa for de 10%, devemos dividir por 100, transformando-a em 0,10;

▫Se unidade utilizada no período não for compatível ao da taxa de juros, deve ser feito a conversão de um deles. O período é simples como o de juros simples, já a taxa deve utilizar uma fórmula de Taxa Equivalente.

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Juros Simples

•Montante: É o valor do capital inicial somando aos juros acumulados no decorrer do período, onde usamos a seguinte fórmula:

•Sendo que:▫FV = Representa o montante ou valor futuro

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PVFVJ niPVFV )1(

Juros Composto

•Por meio das fórmulas básica de valor futuro podemos extrair outras fórmulas para facilitar o cálculo de outras variáveis, como:

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1

1

n

PV

FVi

niPVFV )1(

niLogPVFV

Logn

)1(

ni

FVPV

)1(

Valor presente Prazo Taxa de juros

Taxas • Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um

capital para a realização de alguma operação financeira. Ou é a unidade de medida pela qual os juros são fixados na remuneração de um capital num determinado período de tempo ( dias, meses, anos etc). ▫ “No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os

técnicos e executivo, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela conseqüente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira “poluição”de taxas de juros (Dutra, 2000)”.

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Taxa Proporcional• Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em

unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.

• Este caso se tiver uma taxa ao ano, e o período do problema é em meses, basta dividir a taxa por 12, ou seja, um (1) ano tem doze (12) meses.

• i= 12%aa 1%am• i= 8%as 1,33%am

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Taxa Equivalente• Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em

unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.

• Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.

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Taxa Equivalente

•Fórmulas:

Onde, iq é a taxa de juros de deseja encontra;

it é a taxa de juros de tenho no problema;

q período que quero,t período que tenho.

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10011

t

q

tq ii

Tenho Quero

it = iq = t = q =

Taxa Nominal• Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade

referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:

▫ - 12% ao ano, capitalizados mensalmente;▫ - 24% ao ano, capitalizados semestralmente;▫ - 10% ao ano, capitalizados trimestralmente,▫ - 18% ao ano, capitalizados diariamente.

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Taxa Efetiva• A taxa Efetiva é quando o período de formação e

incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

▫ 120% ao mês com capitalização mensal; ▫ 450% ao semestre com capitalização semestral; ▫ 1300% ao ano com capitalização anual.

• Obs: Quando trabalhamos com taxa efetivas, omitimos o seu período de capitalização, pois eles estão na mesma unidade de tempo da taxa em questão.

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Taxa Unificada• A utilização de taxas unificadas é muito útil em regimes

de economia inflacionária, como no caso vivido no Brasil onde vários indexadores – na verdade taxas de correção monetária – são colocadas no mercado (IGP-DI) para tentar zerar ou equilibrar a perda monetária provocada pela inflação.

▫ O problema é ter duas taxas ( i1 e i2) e torná-las únicas (iu) de forma que provoque o mesmo ganho/custo financeiro, se aplicadas isoladamente uma sobre a outra.

▫ “cuidado! Unificar duas taxas não significa somá-las: (iu diferente de i1 + i2)”

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Taxa Unificada

•Fórmula:

▫i1 = 5%

▫i2 = 6%

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100]1)1(...)1()1[( 21 nu iiii

%3,11

100113,0

100]1113,1[

100]1)06,01()05,01[(

u

u

u

u

i

i

i

i

Taxa Real e Efetiva• Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa

inflacionária do período da operação. Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação. A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

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1001)1(

)1(

i

er i

ii

1001)1()1( ire iii