UNIVERSIDADE DE SO PAULO ESCOLA POLITCNICA Departamento de Estruturas e Fundaes

PEF-2404 PONTES E GRANDES

ESTRUTURAS

(NOTAS DE AULA)

Prof. Dr. Fernando Rebouas Stucchi

So Paulo 2006

SUMARIO

1. INTRODUO __________________________________________________________ 1 1.1. Evoluo histrica das pontes _________________________________________________ 2

1.2. Concepo de pontes _________________________________________________________ 4

1.3. Princpios bsicos da concepo _______________________________________________ 4

2. SUPERESTRUTURA DE PONTES _________________________________________ 11

2.1. Classificao das pontes conforme o tipo estrutural da superestrutura _______________ 11 2.1.1. Pontes em laje __________________________________________________________________ 11 2.1.2. Pontes em viga _________________________________________________________________ 12

2.1.2.1. Ponte em duas vigas T, biapoiadas ____________________________________________ 12

2.1.2.2. Ponte em grelha ____________________________________________________________ 14

2.1.2.3. Ponte celular ______________________________________________________________ 15

2.1.2.4. Sistemas longitudinais usuais _________________________________________________ 16

2.1.3. Pontes em trelia, prtico, arco ou suspensas por cabos uma abordagem comparativa _______ 16

2.2. Classificao das pontes conforme o mtodo construtivo ___________________________ 23 2.2.1. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento fixo. ______________________________________ 23 2.2.2. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento mvel. ____________________________________ 24

2.2.3. Consolos sucessivos moldados in loco _______________________________________________ 26

2.2.4. Consolos sucessivos pr-moldados __________________________________________________ 28

2.2.5. Vigas pr-moldadas _____________________________________________________________ 32

2.2.6. Lanamentos progressivos ________________________________________________________ 33

2.2.7. Pontes estaiadas ________________________________________________________________ 37

2.2.8. Pontes pnseis __________________________________________________________________ 38

2.2.9. Associao de dois ou mais mtodos construtivos ______________________________________ 39

2.3. Classificao das pontes conforme os materiais utilizados nas suas construes ________ 39 2.3.1. Pontes de concreto ______________________________________________________________ 39

2.3.2. Pontes de ao e mista ao - concreto ________________________________________________ 40

2.3.3. Pontes de madeira _______________________________________________________________ 45

2.4. Estudo de alguns tipos estruturais, comportamento estrutural e teorias de clculo ______ 46 2.4.1. Estruturas de superfcie, uma introduo _____________________________________________ 46 2.4.2. Lajes _________________________________________________________________________ 47

2.4.2.1. Comportamento estrutural das lajes ____________________________________________ 48 2.4.2.1.1. Laje retangular simplesmente apoiada ________________________________________ 48 2.4.2.1.2. Outros casos a considerar _________________________________________________ 56

2.4.3. Pontes em vigas mltiplas (grelhas) ou celulares (caixes)______________________________ 63 2.4.3.1. Anlise da toro ___________________________________________________________ 63

2.4.3.1.1. Barras de seo circular macia ou vazada ____________________________________ 63

2.4.3.1.2. Barras de seo retangular macia ___________________________________________ 65

2.4.3.1.3. Analogia de membrana (Prandtl 1903) ______________________________________ 66 2.4.3.1.4. Sees vazadas com dois eixos de simetria ____________________________________ 67

2.4.3.1.5. Toro no uniforme _____________________________________________________ 68

2.4.3.1.6. Centro de toro ou cisalhamento ___________________________________________ 74

2.4.3.2. Estruturas em viga T nica ___________________________________________________ 76

2.4.3.3. Pontes em duas vigas ________________________________________________________ 77

2.4.3.4. Pontes em 3 ou mais vigas (Grelhas) ___________________________________________ 77 2.4.3.4.1. Processo de Courbon/Engesser _____________________________________________ 77

2.4.3.4.2. Processo de Fauchart _____________________________________________________ 83

2.4.3.5. Pontes celulares ____________________________________________________________ 90

2.4.3.5.1. Sees unicelulares_______________________________________________________ 90

2.4.3.5.2. Sees multicelulares _____________________________________________________ 95

1

1. INTRODUO

O projeto de uma ponte ou grande estrutura o produto de um processo criativo constitudo de uma seqncia de alternativas, onde cada uma procura melhorar a anterior, at que

se atinja uma soluo suficientemente boa para ser construda. Esse processo parte das condies locais, onde a obra deve ser implantada (topografia,

geologia, condies climticas, trfego, etc.) e considerando os materiais e as tcnicas construtivas disponveis, os tipos estruturais e as teorias conhecidas, procura criar uma obra que

atenda s funes previamente definidas, com uma srie de qualidades especificadas.

Assim, preciso que a obra, alm de atender s funes para que foi construda, seja suficientemente segura, econmica e esttica. Ateno, no basta que a obra seja segura, ela deve ser econmica e esttica!

Entende-se aqui por segura a obra que tem probabilidade aceitvel de manter suas

caractersticas ao longo da vida til e que avisa quando precisa de manuteno.

Esttica a obra agradvel de ser observada, bem inserida no local de implantao.

Econmica a soluo que satisfaz as funes, segurana e esttica com um custo

prximo do mnimo.

Na verdade, esse processo criativo no termina no projeto, mas estende-se execuo e inclusive manuteno.

Em funo desse processo criativo e da importncia esttica do produto final, as pontes e

grandes estruturas so usualmente chamadas "Obras de Arte".

Esse curso tem por objetivo discutir no apenas os tipos estruturais e as teorias de clculo conhecidas, mas tambm os materiais e as tcnicas construtivas disponveis.

De forma a dar uma idia da evoluo dos materiais e das tcnicas aplicadas construo

das pontes, vai a seguir um pequeno histrico.

2

1.1. Evoluo histrica das pontes

I. Pr-histria

Estruturas de pedra:

Figura 1 Estrutura de pedra utilizada na pr-histria.

Estruturas de madeira:

Ficaram sem registro por problema de durabilidade.

II. Idade antiga

Figura 2 - Aquedutos romanos de pedra.

III. Idade mdia

Figura 3 - Arcos gticos de pedra.

3

IV. 1758 - Ponte de madeira sobre o Reno com 118m de vo. Grubenmann. Alemanha.

V. 1779 - Ponte em arco treliado de ferro fundido (liga ferro x carbono 2 a 5%) sobre o Severn na Inglaterra. Vo de 30m. Material frgil.

VI. 1819 - Ponte Pnsil Menai, no Pas de Gales, com 175m de vo. Ferro laminado (liga ferro x carbono

4

1.2. Concepo de pontes

O processo criativo, ou de concepo, acima descrito, exige do engenheiro boa

informao ao nvel dos materiais e tcnicas construtivas, bem como dos tipos estruturais e suas

teorias.

Isso, porm, no basta. preciso boa formao, isto , todos esses dados devem ser interiorizados, compreendidos na sua essncia e interligados entre si de forma a dar ao

engenheiro capacidade crtica e criativa.

Relativamente aos materiais e tcnicas construtivas, so essenciais suas exigncias, suas

qualidades e limitaes. O que seria essencial nos tipos estruturais? A forma geomtrica no

certamente o essencial, mas sim o seu comportamento, isto , a maneira como a estrutura

trabalha. Dois aspectos desse comportamento devem ser ressaltados:

Como a estrutura se deforma sob atuao de um determinado carregamento;

Como essas cargas caminham ao longo dela. fundamental visualizar o caminhamento das cargas desde a origem, seu ponto de aplicao, at o destino, a

fundao. Ateno, qualquer parcela esquecida desse caminho pode representar o elo

fraco!

Interiorizar esse comportamento corresponde a desenvolver o que usualmente se chama

intuio ou sensibilidade estrutural.

Como a concepo estrutural um processo criativo baseado nessa intuio, quanto mais

desenvolvida e cultivada ela for, maiores so as chances de obter uma boa concepo, uma

verdadeira "Obra de Arte".

1.3. Princpios bsicos da concepo

De modo a facilitar o processo de concepo podem-se enunciar alguns princpios. Esses

princpios, como o prprio nome diz, no so gerais, mas tm um campo de validade

suficientemente grande para justific-los. 1) fundamental visualizar o caminhamento das cargas; desde o ponto de aplicao at

a fundao.

2) conveniente projetar a fundao sob as cargas a suportar; preferencialmente fazendo coincidir o centro de gravidade das cargas com o da fundao.

5

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2

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)

Figura 4 Exemplo de transporte de carga desde o ponto de aplicao at a fundao.

3) Princpio do caminho mais curto "O arranjo estrutural mais eficiente aquele que fornece s cargas o caminho mais curto

desde seus pontos de aplicao at a fundao."

3+,! 3+, 405

6

/ /

7 7

/ /

/ /

/

Figura 5 Exemplos de soluo estrutural.

+,

80

9

/

9

Estrutura ineficiente.S razes arquitetnicaspodem justificar essa soluo.

Figura 6 - Edifcio Suspenso.

6

4) Princpio da rigidez Nas estruturas isostticas o caminhamento das cargas definido pelas condies de

equilbrio, mas nas hiperestticas ele sofre tambm influncia da rigidez. "Entre dois caminhos

alternativos a carga caminha predominantemente pelo mais rgido."

Estrutura Isosttica. O equilbrio determina o caminhamento das cargas.

$ $

Figura 7 Viga isosttica.

Estrutura Hiperesttica

$

$

$

$

!

Figura 8 Duas vigas ortogonais.

Sendo l1 >>= 31

32

ll

. pois 12 ll >>

7

ou

21

2

21

1 11kk

ke

kkk

+=

+= (no caso geral quando I1 I2)

onde 348

lEIk = a rigidez de uma viga para carga no meio do vo.

A viga 1, por ser bem mais rgida, transporta bem mais carga. A proporo das cargas

transportadas a proporo das rigidezes:

2

1

kk

=

Se a viga 1 10x mais rgida, transporta 10x mais carga.

Concluso: "A rigidez define o caminhamento das cargas.

Nota: Numa estrutura hiperesttica de grau de hiperestaticidade n, existem n+1 caminhos

possveis para as cargas. Verifique que isso vale para os 2 exemplos acima.

Exemplo: Uma outra maneira de ver a hiperestaticidade.

Grau de hiperestaticidade n = (n+1) caminhos alternativos para as cargas. a) Viga isosttica: gh=0

S existe 1 caminho para as cargas, que aquele definido pelo equilbrio.

b) Viga engastada-apoiada: gh=1 Devem existir 2 caminhos.

$

$!1:

%2'

% '

!

Figura 9 Caminhos das cargas para a viga engastada-apoioada.

Como: baleng MM

28

22

2 lppl=

43

4 12ppepp ==

8

Para esses valores de p1 e p2, os efeitos de p em (1) so iguais soma dos efeitos de p1 e p2 em (2) e (3) respectivamente.

(2) e (3) so os 2 caminhos alternativos.

5) Princpio da distribuio "O arranjo estrutural mais eficiente aquele que distribui as cargas pelos seus elementos,

convenientemente, evitando concentraes."

Exemplo: Vos bem proporcionados.

0,31pl 1,01pl

4

(1,32 = 0,82 + 0,5)

Figura 10 Diagrama de momentos permanentes para l = 0,82l.

l= l

128'

22 plpl=

lll 82,0128

' ==

Boa proporo: =0,82

7.7.7

7.1 7.1

4

+,5

Figura 11 - Diagrama de momentos permanentes para l = 0,4l.

M proporo: =0,4

9

6) A eficincia das estruturas depende tambm da forma como elas so solicitadas. Considerando materiais adequados para cada caso, pode-se dizer que a eficincia varia como

indica o quadro abaixo:

Fora Normal de Trao

Fora Normal de Compresso eficincia!

Flexo (M,V) Toro

+,

Soluo 1 Problema

?

Materiais bons: AoMadeira

Soluo 2 Compresso

P

P

Concreto

(Armado ou Protendido)ConcretoMadeira

Materiais bons: Ao

P

Materiais bons: AoMadeira

Soluo 4 Toro

(Armado ou Protendido)ConcretoMadeira

Materiais bons: Ao

Soluo 3 Flexo

Figura 12 Solues estruturais, considerando os materiais adequados.

Do ponto de vista estritamente estrutural as solues perdem qualidade de 1 para 4. Isso

se justifica, pois: Nas solues 1 e 2, as barras trabalham fora normal usando toda a seo transversal

das barras. (As tenses se distribuem uniformemente nas sees transversais). A soluo 2 tem a desvantagem de gerar efeitos de 2a. ordem (flambagem).

10

Na soluo 3 a flexo no consegue usar integralmente a seo transversal. Sobretudo a

regio central fora mal utilizada. Sees I ou caixo melhoram o desempenho.

8,

+,

/

4

Figura 13 Tenses de flexo ao longo da altura da seo.

Na soluo 4, uma parcela importante do transporte da carga feita por toro. A seo

transversal da barra solicitada ao cisalhamento desuniformemente. A regio central quase

perdida. Sees caixo melhoram o desempenho.

Figura 14 Tenses de cisalhamento ao longo da seo.

11

2. SUPERESTRUTURA DE PONTES

2.1. Classificao das pontes conforme o tipo estrutural da superestrutura

2.1.1. Pontes em laje

Sistema longitudinal: biapoiada ou contnua

Sistema transversal: macia ou vazada (= nervurada)

Muro de ala

Travessa de encontroArticulao

PLANTA CORTE TRANSVERSAL

Guarda rodaGuarda corpo

Estaca

ELEVAO Laje Cortina

Figura 15 Ponte em laje.

Comportamento estrutural: bidimensional, com boa capacidade de distribuio.

12

Figura 16 Ponte em laje contnua

M, V - Diagramas de esforos solicitantes no tabuleiro como um todo (M = kN.m; V = kN) m, v - Diagrama de distribuio dos esforos solicitantes ao longo da largura do tabuleiro

(m = kN.m/m; v = kN/m) Assim:

dymMbmx =

dyvVbmx =

2.1.2. Pontes em viga

Sistema longitudinal: biapoiada ou contnua

Sistema transversal: 2 ou mais vigas (t ou celular) 1 viga celular (caixo)

2.1.2.1. Ponte em duas vigas T, biapoiadas

)

)

Figura 17 Ponte em duas vigas biapoiadas.

13

Sistema Transversal:

T ~ 0

P

M1 T ~ 0

V1

t ~ 0mM2

v ~ 0 V2

Figura 18 Seo transversal e transporte de cargas.

/

!

!

7)!

Figura 19 Linha de influncia de carga na viga 1.

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;

0$

$

>

$

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0

@7@7

>

3 4 : 975

(Nas pontes pnsil e estaiada os cabos foram admitidos inextensveis (indeformveis)).

18

Ponte Pnsil

7

0

+A

$ @7

>$ $ @$

0

>

$@7

)7

$

$

$

%$ '

Figura 25 Esquema estrutural de uma ponte pnsil.

0842

2

== HhpelplM A

888

222 plpeplHh =

Como e plpe

19

Ponte Estaiada

3 4 : 975

+A

$@7)7

$ $ @$ >

$ @7

>

$

$ $

Figura 26 Esquema estrutural de uma ponte estaiada.

0842

2

== HhpelplM A senpe

t =

888

222 plpeplHh = tg

pec =

Como e

20

Pontes Suspensas por Cabos, Pnseis ou Estaiadas

- Ponte Pnsil p

parcela suportada parcela suportada pelo cabo pnsil

pela viga de rigidezparcela suportada parcela suportada

Figura 27 falta legenda!

- Ponte Estaiada

) B

! 2

!

2

Figura 28 Falta legenda!

Observaes:

No projeto de pontes em arco, estaiadas ou pnseis, ser necessrio considerar a deformao por fora normal e os efeitos de 2a. ordem, que no foram considerados aqui.

Esses efeitos so especialmente importantes nas pontes penseis, para cargas no uniformes,

por exemplo, concentradas. Nesses casos o cabo muda de forma, at encontrar a forma funicular do

carregamento. nessa nova forma que as equaes de equilbrio devem ser escritas.

21

No entanto, os exemplos feitos so muito bons para explicar o comportamento fundamental

dessas obras. Ele sempre utilizado para um primeiro pr-dimensionamento.

?

* %) * = '

=

$ $ =

Figura 29 Deformada do cabo na forma funicular.

Exemplos:

Figura 30 Pontes em prtico.

22

*

%0 C '

Figura 31 Pontes em arco.

+ ?

*

+ ?

?) + *

Figura 32 Pontes em trelia.

23

+

Figura 33 Ponte estaiada.

+

Figura 34 Ponte pnsil.

Para mais exemplos ver Leonhardt (1979)2.

2.2. Classificao das pontes conforme o mtodo construtivo

2.2.1. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento fixo.

Os tipos mais comuns so trs:

?

+ ) ?

Figura 35 Tipos comuns de cimbramento fixo.

2 Construes de concreto: Princpios bsicos da construo de pontes de concreto, vol. 6.

24

Cuidados:

1. Fundao e contraventamento do cimbramento;

2. Contra flechas para compensar recalques ou deformaes de vigas e trelias;

3. Cuidados na concretagem - Recalques e deformaes devem ocorrer antes do final da

concretagem. Tratar juntas; 4. Cuidados na desforma - Desencunhar do centro para os apoios de cada vo e s aps

desmontar o cimbramento;

5. Vistoriar antes, durante e depois da concretagem.

2.2.2. Pontes moldadas in loco sobre cimbramento mvel.

Figura 36 - Execuo, vo por vo, por meio da trelia de escoramento deslizante sobre rolos

dispostos em vigas transversais (Leonhardt, 1979).

Cuidados:

1. Escolher a posio da junta; 2. Influncia do mtodo construtivo no clculo;

3. Cuidado com as interferncias que podem impedir o movimento das formas ou da trelia

(Transversinas); 4. Valem os 5 cuidados do item 2.2.1;

5. Tratamento da junta.

25

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!

! *

*

1 *

*

2 *

! 2 1

Figura 37 - Efeito do mtodo construtivo sobre o diagrama M. (momentos fletores).

O diagrama M da quarta fase , em princpio, diferente do da viga contnua. Ao longo do

tempo, veremos futuramente, ele tende ao da viga contnua por efeito da fluncia.

Verificar, portanto, cada fase construtiva, e a fase final para 2 situaes:

1) Fase final definida pelo mtodo construtivo. Situao observada no final da construo. 2) Fase final com adaptaes por fluncia. Situao que ocorre alguns anos aps a

inaugurao.

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4

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4

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= !7.1(

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l l

I. / * +,

II : / * ) D

Figura 38 - Viga contnua com 2 vos construda em 2 fases, com junta no apoio central.

26

O diagrama I (momento fletor), logo aps o fim da construo, depende muito do mtodo construtivo, enquanto que o diagrama II, ao fim da vida til, depende bem menos do mtodo

construtivo, pois, devido ao efeito da fluncia os esforos tendem aos de viga contnua.

Assim:

8

21lgM

e

2214

21

,

lgM +

Os carregamentos adicionais, g2 acabamento e q acidental, atuam na viga contnua de 2 vos,

sem interferncia do mtodo construtivo.

2.2.3. Consolos sucessivos moldados in loco

Aplicado pela primeira vez em 1930 no Brasil, para uma ponte de concreto armado (rio do Peixe, vo de 68m ). Muito usado para obras protendidas no mundo inteiro.

Figura 39 Balano sucessivo com trelia de escoramento e frmas em balano deslocvel = veculo de deslocamento de frma (Leonhardt, 1979).

27

Figura 40 Estabilizao do balano: em cima, por meio de engastamento no pilar ou por meio de apoios provisrios, embaixo, atravs de ancoragem, no paoio extremo do vo adjacente mais curto.

Cuidados:

1. Contra Flecha - As previses de projeto devem ser aferidas ao longo da obra. Cuidado: o concreto solicitado muito novo, de modo que as deformaes imediatas e sobretudo

lentas so muito importantes .

2. Tratar juntas - Jatear com gua o concreto verde e molhar abundantemente antes da concretagem seguinte.

3. Influncia do mtodo construtivo no clculo.

22

/!77/#6

#7 !77

( 1 2 7 ! !

#7

(2 1 #

E4

)*%)-'

Figura 41 Efeito da adaptao por fluncia sobre o diagrama M (momentos fletores).

28

2.2.4. Consolos sucessivos pr-moldados

Aplicado pela primeira vez em 1952 na Frana (ponte Choisy-le-Roi sobre o Sena)

Cuidados:

1. Preciso na forma. Uma aduela deve ser a forma da vizinha, considerando as curvas em

planta e em perfil, bem como a superelevao.

2. A junta nesse caso no atravessada por armadura frouxa. Prover dentes para transmitir cortante, colar junta e usar protenso completa (isto , sempre de compresso !).

3. Prever canteiro de pr moldados e transporte at o local.

4. Valem os 3 cuidados do item 2.2.3.

Figura 42 - Pont amont du boulevard pripherique.

Figura 43 - Pont de Pierre Bnite.

29

Figura 44 - Viaduct dOlron.

Figura 45 - Poutre du Viaduct DOleron Cinematique.

30

Figura 46 - Preparao das Clulas

Figura 47 - Preparao das clulas horizontais por axonometria

Regale Profil en Long Regale Devers

31

Figura 48 - Regale dune cellule de prefabrication

Modernamente se usam uma srie de dentes.

Figura 49 Pont de Chelepikhinsky Coupe transversale dun voussoir

32

2.2.5. Vigas pr-moldadas

Figura 50 - Trelia de lanamento (Mathivat, ano).

Alternativas - Guindastes ou guinchos.

C/

)C

!. 7

7.#7

7. 77.7#

Figura 51 - Esquema moderno de seo transversal.

Cuidados:

33

1. Limitao dos equipamentos.

Por exemplo: Trelia Sicet (mais comum no Brasil) Pmx ~ 120 tf (~ 42m de vo) largura mxima ~ 1,20m

2. Prever canteiro de pr-moldados e transporte at o local.

3. Preciso de forma.

4. Influncia do mtodo construtivo no clculo.

Por exemplo: Quando a laje concretada, o peso prprio suportado integralmente pelas vigas pr-moldadas, sem logicamente, a contribuio da laje.

5. Verificar a flexo lateral da viga causada por pequena inclinao (da ordem de 5) impossvel de se evitar no transporte.

Os pontos de pega devem estar acima do C.G. da viga.

?)

8&

?)

8&

Figura 52 Estabilidade em funo do ponto de iamento.

Nota - Se a viga for excessivamente esbelta pode ser necessrio verificar a flambagem

lateral, melhor dizendo, a flexo lateral com efeito de segunda ordem.

6. Tratar as juntas como no item 2.2.3, especialmente aquelas entre concreto pr-moldado (viga ou placa) e concreto moldado in loco (complementao da laje)

2.2.6. Lanamentos progressivos

Aplicado pela primeira vez em 1962, na ponte sobre o rio Ager, na ustria. A primeira aplicao no Brasil ocorreu em 1978, na passarela de Presidente Altino, sobre os trilhos da Fepasa.

34

Figura 53 - O princpio do processo de execuo por deslocamentos progressivos: a fabricao do segmento, com comprimento igual ao comprimento de avano, feita atrs do encontro; o avano

feito progressivamente, sem apoio, de pilar a pilar.

Figura 54 Cortes e croqui do processo de execuo por lanamentos progressivos.

35

Cuidados:

1. Preciso de nivelamento e de forma de modo a evitar que erros de geometria provoquem

esforos adicionais inaceitveis (equivalentes aos gerados por recalques de apoio ). 2. Influncia do mtodo construtivo no clculo. Como a estrutura autolanada inclusive

com o bico em balano, essencial verificar as fases construtivas. Note-se que ao longo

do lanamento uma mesma seo passa ora pelo Mmx, ora pelo Mmn, o que exige dela

capacidade de suport-los.

3. Tratar as juntas como no item 2.2.3. 4. Cuidado com as interferncias que podem impedir o movimento das formas.

Figura 55 Canteiro e Seo Tpicos para as Obras sobre a Represa de 3 Irmos.

36

Figura 56 Etapas de concretagem da seo celular.

Figura 57 - Bero de Deslizamento (Telefone) e Guia Lateral

Figura 58 Seo longitudinal.

Figura 59 Emenda Provisria Junta de Dilatao Futura

37

2.2.7. Pontes estaiadas

O mtodo construtivo que melhor se adapta s obras estaiadas o de consolos sucessivos

(pr moldados ou no) e por isso ele o mtodo mais utilizado. A cada nova aduela os estais correspondentes so protendidos de forma a suportar todo o seu

peso. Assim, ao final da construo e sob as cargas permanentes, o tabuleiro fica quase

exclusivamente submetido compresso.

1) Construo do balano lateral e do mastro

2) Construo do balano principal at sua unio com o lateral.

3) Prolongamento do consolo do vo principal.

Figura 60 Ponte Brotonne, fases de construo (Mathivat, 1979).

38

2.2.8. Pontes pnseis

As pontes pnseis so usualmente construdas a partir dos cabos que so usados para

transporte de peas e equipamentos como um Telefrico. O Tabuleiro, construdo em segmentos

pr-moldados, dependurado, segmento por segmento, nos cabos. A continuidade do Tabuleiro s

promovida aps o lanamento de todos os segmentos.

Figura 61 Estgios de construo de uma ponte pnsil (Gimsing, 1983).

1 etapa - Construo dos mastros, pilares principais e blocos de ancoragem.

2 etapa - Instalao dos cabos principais.

3 etapa - Inicio da instalao da vigas enrijecedora do centro para o meio do vo. quando o peso da viga aplicado nos cabos principais ocasionando grandes

deslocamentos e as juntas entre as sees da viga so, por esta razo, abertas para evitar momentos excessivos nas sees.

4 etapa - Instalao das vigas enrijecedoras nos vo laterais para reduzir os deslocamentos horizontais no topo dos mastros.

39

5 etapa - Colocao das peas de fechamento das vigas como os mastros.

6 etapa - Fechamento de todas as juntas nas vigas enrijecedoras. Atualmente, o fechamento dessas juntas normalmente comea nas etapas 4 e 5, quando so ligadas as sees e coloadas na sua posio correta.

2.2.9. Associao de dois ou mais mtodos construtivos

Um exemplo a ponte em arco representada na figura 62.

Figura 62 - Construo de Ponte em Arco associando consolos sussecivos e estais (Mathivat, 1979).

2.3. Classificao das pontes conforme os materiais utilizados nas suas construes

2.3.1. Pontes de concreto

- Concreto Armado (fck 20 a 25 MPa); - Concreto Protendido (fck 25 a 40 MPa); - Concreto Leve ( 1.5 tf/m

40

As grandes vantagens do concreto so a durabilidade (alguma manuteno sempre necessria), a resistncia ao fogo, compresso e a liberdade de escolha da forma.

As desvantagens so a falta de resistncia trao, a retrao e a fluncia.

As trelias esto comeando a ser novamente utilizadas com o advento do CAD concreto

de alto desempenho.

2.3.2. Pontes de ao e mista ao - concreto

Ao-carbono A36 (fyk~250MPa) Ao de baixa liga CORTEM

SAC (fyk~350MPa) COS-AR-COR

Nota: Para efeito de comparao lembrar que:

Ao CA - fyk varia de 250 a 600 MPa; Ao CP - fyk varia de 800 a 1700 MPa.

Todos os tipos estruturais se adaptam bem ao ao. Ao nvel dos mtodos construtivos, s

no se aplicam aqueles que prevem moldagem in loco, sobre cimbramento fixo ou mvel ou em

consolos sucessivos, interessante observar, na figura a seguir, o mtodo construtivo adotado para o vo central da ponte Rio-Niteroi.

As grandes vantagens do ao ficam por sua grande resistncia compresso ou trao e

por conseqncia de sua leveza - o peso prprio resulta relativamente pequeno.

As desvantagens se reduzem s dificuldades com durabilidade, resistncia ao fogo e aos

problemas de estabilidade gerados pelas pequenas espessuras exigidas.

Exemplos:

Trelias

Arcos

Vigas de alma cheias: Grelhas

Caixes

Pontes Pnseis e Estaiadas

Vigas mista ao-concreto: Grelhas

41

Caixes

Exemplos:

Figura 63 - Vos principais centrais em estruturas metlicas e vos adjacentes em concreto protendido (Pfeil, 1985).

A seguir ser mostrado a seqncia de montagem dos elementos metlicos pr-fabricados:

a) Segmento central (3) lanado ao mar aps ser deslizado sobre o pier (1). Segmentos laterais (4) fabricados sobre escoramento (2);

b) Segmento lateral (4) apoiado no segmento central flutuante (3) se dirige para o anel de iamneto (5);

42

c) Iamento dos segmentos laterais;

d) Inicio de iamento do segmento central (3);

e) O segmento central (3) apoiado nas colunas de iamento (7), as quais foram montadas pela torre (6). Notam-se os cabos de amarrao regulveis (8);

43

f) Segmento central na fase final de iamento;

g) Montagem dos vos laterais de 44 m (9) com auxlio de torres triangulares (10);

Figura 64 - Seqncia de montagem dos elementos metlicos pr-fabricados.

A figura 65 mostra sees transversais das estruturas metlicas e a figura 66 um exmplo de de ponte em grelha mista.

44

Figura 65 Sees transversais das estruturas metlicas: a) seo nos trechos com msulas; seo nos trechos centrais.

Legenda:

1. palca superior; 7. placa de fundo;

2. enrijecedores longitudinais; 8. enrijecedor longitudional da placa de fundo; 3. transversina; 9. enrujecedor transversal da placa de fundo; 4. chapa da alma das vigas; 10, 11. trilhos para carro de inspeo;

5. enrijecedor longitudonal da alma; 12. revestimento de asfalt-epoxi. 6. enrijecedor transversal da alma;

45

Estrutura Metlica

Figura 66 - Ponte em grelha. Conforme Usimec.

2.3.3. Pontes de madeira

Madeiras estruturais:

- Aroeira do Serto fwc ~ 75 MPa - Jatob fwc ~ 80 MPa - Gonalo Alves fwc ~ 65 MPa - Ip Roxo fwc ~ 70 MPa

Em princpio todos os tipos estruturais discutidos se adaptam bem s pontes de madeira.

Quanto aos mtodos construtivos vale a mesma observao feita s pontes de ao.

46

A grande vantagem da madeira est na economia quando ela est disponvel, prximo da

obra, em qualidade e quantidade aceitveis.

As desvantagens ficam por conta das dificuldades com durabilidade e resistncia ao fogo

(bastante diminudas com os tratamentos modernos), da anisotropia e da grande variabilidade (reduzidas com as tcnicas modernas de construo com pedaos pequenos e classificados de madeira).

A anisotropia e desuniformidade se caracterizam principalmente por:

- A diferena de resistncia e rigidez da direo das fibras para a direo normal a elas

(resistncia ~ 5 vezes menor e rigidez ~10 vezes menor na normal s fibras); - Variao das caractersticas do eixo para a periferia do tronco (o cerne, prximo do eixo,

muito melhor que o albume, prximo da casca); - Os defeitos da madeira: ns, fendas, furos, curvatura das fibras, etc.

Exemplos: Trelias

Arcos

Vigas Armadas

Vigas Macias: Lamelas coladas

Tbuas pregadas

Pontes Pnseis e Estaiadas

2.4. Estudo de alguns tipos estruturais, comportamento estrutural e teorias de clculo

2.4.1. Estruturas de superfcie, uma introduo

So estruturas que tm uma de suas dimenses bem menor que as outras duas. Ela

chamada de espessura.

A superfcie mdia a definida a meia espessura, perpendicularmente ela.

As estruturas de superfcie so classificadas em:

- Placa: Estrutura de superfcie mdia plana carregada perpendicularmente ela. As placas

de concreto armado so chamadas lajes.

- Chapa: Estruturas de superfcie mdia plana carregada paralelamente a ela. As chapas de

concreto armado so chamadas vigas parede.

- Casca: Estruturas de superfcie mdia curva.

47

PLACALAJE

CASCA(cpula)

Figura 67 Exemplos de estruturas de superfcie.

2.4.2. Lajes

As lajes so especialmente importantes porque aparecem em praticamente todas as pontes; no apenas nas pontes em laje, onde constituem toda a superestrutura, mas tambm nas pontes em viga, onde constituem o tabuleiro que interliga as vigas.

3

)

8,

Figura 68 - Exemplos de Aplicao de Lajes.

48

2.4.2.1. Comportamento estrutural das lajes

Figura 69 Laje retangular solicitada por uma carga concentrada P.

Nas lajes retangulares em que 1 ly/lx< 2 (lx ly) importante o trabalho bidimensional. A carga P pode caminhar para as vigas (pilares e fundaes) atravs de dois caminhos, a

direo x e a y. Para determinar as parcelas de P que caminham nas direes x e y (Px e Py respectivamente) preciso resolver o problema hiperesttico correspondente.

2.4.2.1.1. Laje retangular simplesmente apoiada

A. Teoria das Grelhas

Considere-se uma laje simplesmente apoiada nos 4 lados, carregada uniformemente (p). Uma soluo aproximada desse problema pode ser obtida considerando a laje como 2

conjuntos de faixas entrelaadas, de largura 1 m , nas direes x e y.

Figura 70 Laje simplesmente apoiada nos 4 lados.

49

=

===

espessurah

hIIyIx12

3

===

+=

idadecompatibil 3845

384.5

equilbrio p44

EIpylyfy

EIlxpxfx

pypy

plylx

lxpyplylx

lypxlylxpxpy 44

4

44

4

4

4

e +

=

+=

=

8 .

8.

8.

2

4 4

42

44

42 lyplylx

lxme

lxplylx

lylxpxm ymxm

+=

+==

mx o momento fletor no meio do vo da faixa central de direo x. Ele medido em

KNm/m (ou tfm/m ou kgfcm/cm), uma vez que a faixa tem 1 m de largura. Uma faixa de largura b solicitada pelo momento bmx = Mx.

1m b

m Mx x

Figura 71 Momento fletor em uma faixa.

A ttulo de exemplo, considere-se o caso lx=ly=l

px = py = 1/2p => mxm = mym = pl2/16

Nota1: Observando com ateno nota-se que a Teoria das Grelhas faz 2 hipteses

simplificadoras (em relao Resistncia dos Materiais) adicionais.

1a. Desprezou-se a rigidez toro das faixas.

5 85

Figura 72 Flechas admitidas pela teoria das grelhas e flechas reais.

50

Na realidade, a continuidade da laje impe s faixas toro significativa, que foi desprezada.

2a. Admitiu-se px e py uniformemente distribudas, o que no verdadeiro.

F

*GF *G

GFG

Figura 73 Carregamento admitido e carregamento real.

Para que px seja uniforme preciso que todas as faixas y ao longo do vo lx suportem a parcela py.

Isso no na realidade possvel.

Embora seja possvel para as faixas y centrais, no para as laterais, prximas dos apoios da faixa x. Nessas faixas, a flecha fy fica limitada pela linha elstica da faixa x.

Como fy < fy => py < py

No apoio fy=0 e py=0 ou px=p

Nota2: A Teoria das Grelhas faz ainda uma terceira hiptese. Ao cortar a laje em uma srie de faixas ela corta a continuidade transversal s mesmas, tratando-as como barras.

Embora para as barras o efeito do coeficiente de Poisson seja desprezvel, para as placas no . Considere-se, por exemplo, uma dessas faixas, uma faixa x.

G

0

!

G

! 2 1

! 12

(=0)G

(=0)

0

Figura 74 Efeito do coeficiente de Poisson na faixa x.

51

Por definio de :

xy rr

=

11

, pois y = - .x

Como:

1. Ix = Iy= I (alterados por ) 2. Nas placas apoiadas nos 4 lados as arestas y impedem a curvatura adicional (1/r)y Desenvolve-se ento my tal que:

=

xy rr

11

xoxy mmm .. =

xoyoy mmm .+

ou:

yoxox mmm .+

Como para o concreto o coeficiente de Poisson da ordem de 0.2, seu efeito

considervel.

Observao: O coeficiente de Poisson tambm enrijece a placa de forma que:

)1(12)1(' 23

2 =

=

hII

Para levar em conta esses 3 efeitos conveniente uma nova teoria. Essa nova teoria a

Teoria das Placas.

B. Teoria das Placas

Em essncia a Teoria da Placas corresponde extenso da R.M. ao comportamento

bidimensional da placa, considerando a contribuio do coeficiente de Poisson.

Ela admite:

- Material homogneo, istropo e de comportamento linear ( Lei de Hooke) - h

52

Considere-se o equilbrio de um elemento de placa:

dx

FORAS

p.dx.dyvx.dx

(vx+dvx).dy(vx+dvy).dx

vx.dy

dy

x

y

(myx+dmyx)dx(mx+dmx)dy

dxy

x

dy

mx.dx

(my+dmy)dx

my.dx

myx.dx

mxy.dy (mxy+dmxy)dyxyyx

MOMENTOS

Figura 75 Equilbrio de um elemento de placa.

xy = - yx mxy = - myx!

Seja w(x,y) a funo que descreve o deslocamento vertical de um ponto (x,y). Por analogia com a R.M., tem-se:

Viga EIM

dxwd

=2

2

Placa

3.....................)1(

2..............

1..............

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=

+

=

+

Dm

yxw

Dm

x

w

yw

Dm

yw

x

w

xy

y

x

Rotao D(1-) G It de Toro

53

Sendo que EIEhD

= )1(12 23

Do equilbrio do elemento de placa, tem-se:

(Lembrando que: xx

x dmdxm =

)

Momentos y: 4............y

xy

x

x

x

mmv

=

Momentos x: 5............x

xy

y

yy

mmv

=

Foras verticais: 6..........................pvv

y

y

x

x=

(tambm anlogas R.M.)

Substituindo-se 1 a 5 em 6 tem-se a equao de Lagrange:

DP

yw

yxw

x

w=

+

+

4

4

22

4

4

4

.

.2

flexo x toro flexo y

A integrao dessa equao diferencial quase sempre impossvel. Por isso a soluo se

obtm desenvolvendo w e p em sries de Fourier.

No caso considerado, de placa simplesmente apoiada nos quatro lados e uniformemente

carregada, tem-se:

Condies de contorno:

=

=

0

0

m

e

w

nos quatro lados

=

=

pipi

pi=

1m 1n lyy..n

sen.lx

x..msen

n.m.2p16)y,x(p

=

=

+

pipi

pi=

1m 1n2ly

2n2lx

2mn.m

lyy.n

sen.lx

x.msen

D.6p16)y,x(w

Como o uso dessa soluo pouco prtica, prepararam-se tabelas em funo da relao

ly/lx e do coeficiente de Poisson (Ver tabelas de Czerny).

54

- Relao entre mx, my e mxy - Analogia com o estado duplo de tenses. (Estado Duplo de Flexo).

mxy

mt

mxymx

my

m

x

y

x

y

m

mt

mymx

m1 m2

x

y

mxy

myx

Polo

Figura 76 - Analogia com o estado duplo de tenses. (Estado Duplo de Flexo). m - anlogo a

mt - anlogo a

m1 e m2 - momentos fletores principais.

Momentos principais em uma placa simplesmente apoiada e uniformemente carregada:

ly/lx = 1

1 - equivale a estado hidrosttico

2 - equivale a cisalhamento puro

Traes por:

====== momentos principais positivos

- - - - - - momentos principais negativos

-.-.-.-.-.- mudana de sinal

ly/lx = 2

55

Levantamento de canto momentos volventes (torsores)

P

Canto Livre

Canto presoApoio fictcio

m1(-)m2(+)

mx=mym2

m1

ly/lx=1

0,0368p.lx

lx

2

-

m1=

m2=

0,046

3.p.lx2

Reaes de apoio

Real T. das Placas

R

Evitam o levantamento docanto e provocam osmomentos torores(*)

(*) Desprezada a Toro, R resulta nula!

Figura 77 - Valores dos momentos principais m1 e m2 e dos momentos mx e my na diagonal. E

reaes de apoio.

56

C. Comparao dos resultados

Teoria Toro

ly/lx=1 ly/lx=2

x y x y

TG no 0 16,0 16,0 8,50 34,0

TP1 no 0 13,1 13,1 7,10 44,80

TP2 sim 0 27,2 27,2 10,40 40,30

TP3 sim 0,2 22,7 22,7 9,90 23,50

TP4 sim 0,3 20,9 20,9 9,80 21,60

TG - Teoria das grelhas

TP - Teoria das placas

mxm = p.lx2/x mym = p.ly2/y

Note-se a importncia da toro; ela transporta metade das cargas, reduzindo os momentos

fletores metade (no caso ly/lx = 1). Note-se tambm a importncia do coeficiente de Poisson.

2.4.2.1.2. Outros casos a considerar

A. Lajes retangulares com outras condies de contorno

Tudo o que foi desenvolvido para a laje apoiada nos 4 lados pode ser estendido a outras condies de contorno.

B. Lajes sob Carga concentrada

Embora tenha sido possvel resolver, atravs da Resistncia dos Materiais, vigas sob cargas

concentradas, no possvel faz-lo no caso de placas; os esforos solicitantes locais seriam

infinitos. Para evitar esses esforos locais as cargas concentradas devem ser distribudas em

superfcies suficientemente grandes. Na verdade, qualquer que seja a estrutura, inclusive nas vigas, as cargas concentradas devem ser distribudas em superfcies tais que os esforos locais sejam aceitveis.

57

Os esforos solicitantes em placas, decorrentes de cargas concentradas dependem

essencialmente da pequena superfcie onde se distribuem, referida superfcie mdia da placa. Ver

figura a seguir.

P

b

h

a

b+h

a+h

= 45superfcie mdia

Figura 78 rea de distribuio das cargas concentradas.

A carga P distribuda na superfcie a x b da face equivale mesma carga distribuda em

(a+h)(b+h) na superfcie mdia. Resolver a equao de Lagrange para esses casos ainda mais difcil. conveniente

substituir as sries de Fouries pelo Mtodo das Diferenas Finitas ou, mais modernamente o

Mtodos dos Elementos Finitos.

Para as aplicaes prticas desenvolveram-se superfcies de influncia como as de Rsch

ou de Homberg (ver cpia anexa). No caso de lajes de pontes Rsch transformou essas superfcies em tabelas muito prticas

que sero discutidas nas aulas de projeto.

58

Figura 79 Superfcie de influncia para momentos my no meio de uma placa retangular com trs lados apoiados.

59

Figura 80 Superfcie de influncia para momentos mx no centro do apoio de uma placa retangular com trs lados apoiados.

60

Figura 81 Superfcie de influncia para momentos mx no meio do vo.

61

Figura 82 Superfcies de influncia para momentos mx no aopio.

62

Figura 83 Superfcie de influncia para momentos my no meio do vo.

63

2.4.3. Pontes em vigas mltiplas (grelhas) ou celulares (caixes)

2.4.3.1. Anlise da toro

2.4.3.1.1. Barras de seo circular macia ou vazada

A. Hipteses bsicas

1. A seo transversal permanece plana e perpendicular ao eixo da barra aps deformao

2. A deformao angular ou distoro varia linearmente do eixo para a periferia da barra (ela constante na superfcie cilndrica definida por r).

x

Tmax max

GR

rmax

Figura 84 Deformao angular.

x=

x

mxmx

=

rRmax =

3. vlida a lei de Hooke : = G 4. Os deslocamentos so pequenos

B. Clculo das tenses tangenciais de toro

Como varia linearmente, segundo a lei de Hooke o mesmo vale para .

rRmax =

64

=mx r = (r) R

Do equilbrio:

pmx

s

mx

s

mx

s

IR

dsrR

dsrR

rdsT ====22

Ip - momento polar de inrcia para seo circular macia piR4

2 para seo circular vazada pi(Re4-Ri4)

2

mx = tW

T R =

IpT

wt - modulo de resistncia toro

wt = Ip/R

C. Deformao de toro

x

maxmax

Td

d

x

Figura 85 Deformao de toro

dxmx

mx =

Rd mx =

dxR

d mx =

como Gmax

max

=

px IGT

dd

.

=

65

= xd.pI.G

T)x(

Caso T e Ip sejam constantes:

1cx.)x( +=pG.I

T

fb

lIp,G

Figura 86 Viga engastada a toro.

T = f.b

(0) = C1 = 0

lIG

Tlp.

)( =

2.4.3.1.2. Barras de seo retangular macia

Nesse caso as hipteses 1 e 2 no so mais vlidas.

As sees transversais empenam deixando de ser planas

A distribuio das distores no linear.

max

G

12

= (r, )

Figura 87 Tenses de cisalhamento

Como as superfcies externas so descarregadas: 1 = 2 = =0

66

Sem essas 2 hipteses a RM no capaz de resolver o problema de toro de sees

retangulares. Saint Venant, 1853, usando a TE, encontrou a soluo desse problema no caso de

seo qualquer sob toro uniforme (T constante, sem restrio ao empenamento). Os resultados para seo retangular so:

max (meio lado maior) = T/wt

2bc.tw

tI.GT

dxd

=

=

b>=cc

3bc.tI =

b/c 1,0 1,5 2,0 3,0 6,0 10,0

0,208 0,231 0,246 0,267 0,299 0,312 1/3

0,141 0,196 0,229 0,263 0,299 0,312 1/3

2.4.3.1.3. Analogia de membrana (Prandtl 1903)

A analogia formal das equaes que regem a toro uniforme e a deformao de uma

membrana sob presso uniforme permite dizer que:

1. A tenso de cisalhamento em P proporcional inclinao na membrana em P.

2. A direo de definida pela normal maior declive da membrana em P.

3. O momento de toro resistido pela pea proporcional ao volume sob a membrana.

Seo elptica Seo circular vazada

Figura 88 Analogia de membrana.

67

pm

V1

m

2V

m

V3

Seo retangularmacia

Seo delgadafechada aberta

Seo delgada

Figura 89 Comparao dos momentos fletores resistidos por trs tipos de seo.

V1 >V2 >>V3 1 >2 >>3

2.4.3.1.4. Sees vazadas com dois eixos de simetria

G

dx

s1F

2F

3F

4F

12

21 t1

2t

Figura 90 Seo vazada com dois eixos de simetria submetidas a toro.

Fazendo o equilbrio: F1 = F3 F4 = F2

qttdxtdxt

==

=

1122

1122

..

....

q = fluxo de toro

AqdsbqbdsqTA

2....2

=== A - rea limitada pela linha mdia da seo:

G

bq.ds

ds

r

A

Figura 91 rea limitada pela linha mdia

68

Concluses:

O fluxo de toro q = .t constante ao longo de todo o contorno da seo;

T = q. 2A tA

Tt

q.2

==

Da Teoria da Elasticidade ou pelos Teoremas de Energia:

=

tds

2A4It tIG

Tdxd

.

=

Essas expresses correspondem chamada Toro de Bredt, aplicvel a sees vazadas.

Elas admitem as seguintes hipteses:

1. As tenses no variam ao longo da espessura da parede da seo;

2. Lei de Hooke;

3. Deslocamento pequenos;

4. Toro uniforme, isto , T constante ao longo da barra e empenamento livre.

Em funo da hiptese 1, elas so uma boa soluo para perfis delgados, mas no para

perfis de parede espessa.

2.4.3.1.5. Toro no uniforme

O que foi exposto nos itens 2.4.3.1.2 a 2.4.3.1.4 s vale, como foi dito, se a toro for

uniforme, isto , se T for constante ao longo da barra e o empenamento livre.

Caso isso no ocorra a toro dita no uniforme e essas solues no so, em princpio,

vlidas.

Na verdade, para sees macias ou vazadas elas ainda podem se aplicadas sem que se

faam erros importantes. J para as sees abertas, sobretudo as de parede fina, isso no pode ser

dito, importante considerar a toro no uniforme.

Para visualizar melhor esse problema considere-se o perfil I da figura 92, solicitado

toro.

l

H

hT=H.h

Figura 92 Perfil I solicitado toro.

69

A seo I facilita a visualizao dos 2 sistemas estruturais capazes de transportar o

momento T, da extremidade livre extremidade engastada.

O primeiro desses sistemas corresponde Toro Uniforme ou de Saint-Vernanr. Nele, a

toro desenvolve na seo transversal apenas tenses tangenciais. As tenses normais so nulas

uma vez que se admitem as sees livres para se empenarem.

O segundo desses sistemas corresponde flexo diferenciada das mesas. Nele a toro

desenvolve tenses normais e tangenciais na seo transversal. Para isso essencial que existam

restries ao empenamento das sees.

Entende-se aqui por empenamento os deslocamentos que tendem a tornar a seo

transversal no plana aps o carregamento.

interessante notar que possvel definir condies particulares onde s um desses sistemas trabalha. Se eliminarmos, por exemplo, os engastamentos da extremidade esquerda, o

segundo sistema perde completamente a rigidez, fica hiposttico, de modo que toda a toro

suportada pelo primeiro. Tem-se um problema de toro Uniforme.

Analogamente possvel eliminar a rigidez do primeiro sistema desligando as mesas das

almas. Nessas circunstncias nenhuma das partes da seo gira e, portanto, nenhuma Toro de

Saint-Venant gerada, de modo que toda toro suportada por flexo diferenciada das mesas. Diz-

se que se tem um problema de Flexo-Toro.

Num problema real, onde nenhuma das 2 condies extremas acima ocorre, tem-se um

problema de Toro Mista. Nesse problema o momento total T se subdividir pelos 2 sistemas

segundo as suas rigidezes. O mais rgido transportar uma maior parcela de T.

70

TT

+u

-u

+u

-u

+u

-u

+u

-u

u

+u

-u

+u

-u

b) Planta da deformada da mesa superior

a) Perspectiva da deformada

Figura 93 Toro no uniforme do perfil I (eliminando o engastamento).

b) Planta da deformada da mesa superior

T

w

a) Perspectiva da deformada

Figura 94 - Flexo-Toro do perfil I (eliminada a alma)

71

T =Tu

tu

Tenses na toro uniforme Tenses na flexo-toro

tw

T =Tw

(cte. ao longo da espessura e nulo na alma) Figura 95 - Tenses tangenciais.

tu tw

+

+

-

-

tu (nulo) tw

(cte. ao longo da espessura e nulo na alma)

Figura 96 - tenses normais

A soluo desses problemas hiperesttico exige que se escrevam 4 equaes:

- Equaes de equilbrio:

T = Tu + Tw qualquer (x) (1)

Numa seo qualquer S(x) o momento de toro T obtido pela soma dos momentos de toro uniforme Tu e de flexo-toro Tw.

- Equaes de compatibilidade:

wu == qualquer (x) (2)

Numa seo S(x) a rotao em torno de x a mesma para os 2 sistemas estruturais.

- Equaes derivadas das constitutivas:

72

)./( tuuu IGTf= )./( wwww IETf=

Essas equaes formam um sistema determinado de 4 equaes a 4 incgnitas, que so: Tu

, Tw , u e w . Iw o momento de inrcia flexo-toro, cuja expresso para perfil I dada a seguir. A soluo completa desse problema difcil, mas fcil obter uma soluo aproximada

que permite ter uma idia de qual dos sistemas mais importante, facilitando a visualizao do

problema fsico.

Essa soluo aproximada corresponde a escrever a equao de compatibilidade apenas na

extremidade livre. Assim:

t

u

u IGlTl

.

.)( =

2/)(

hl ww

= m

w

w EIlH

3. 3

=

onde: 12/.

/3

mmm

ww

btIhTH

=

=

m

w

t

u

EIhlT

IGlT

2

3

3.2

.

.

=

conforme Saint-Venant: = 3.

3ii

t

tbI

Por definio, o momento de inrcia flexo-toro de um perfil I com dois eixos de

simetria dado por:

2.

2hII mw =

logo:

2.

3. l

EIIG

TT

w

t

w

u==

Quando > 10, a toro uniforme faz praticamente todo o servio. A flexo-toro pode ser desprezada. o caso das sees celulares.

Se < 0,1 , a flexo-toro transporta praticamente toda a carga. A toro uniforme pode

ser desprezada. o caso dos perfis delgados abertos. Se 0,1 < < 10, preciso considerar a toro mista, com a soluo correta.

73

NOTA: essa viso de flexo-toro permite justificar com clareza os critrios usuais para clculo das pontes em duas vigas.

Considere-se inicialmente o mesmo perfil I em balano, mas recebendo agora cargas

laterais. Despreze-se a toro uniforme

h

Pe

P

P/2 P/2 -P.e/hP.e/h

P.e

+

RdRe

Figura 97 Seo H submetida carga excntrica.

)21(

hePRe +=

)21(

hePRd =

Note-se que esses dois valores correspondem exatamente s reaes de apoio de uma viga

isosttica de vo h, recebendo a carga P excntrica de e.

eP

h

l .Ri e l .Ri d

Figura 98 Linha de influncia de reao nas almas esquerda e direira.

+=

+==

hePPeh

hPR ee 2

1..

21

.

=

==

he

21

.PP.e2h

h1P.ddR

Essa concluso permite dizer que calcular pontes em duas vigas considerando para a linha

de influncia de distribuio transversal, a reta 0/1, corresponde apenas a desprezar a toro

uniforme, coisa que em geral aceitvel, podendo inclusive ser verificada atravs do coeficiente .

74

(cuidado que a expresso de varia conforme as condies de contorno da barra: em balano, biapoiada, contnua, etc.).

ba a

1 0-b/a

a+ba1

Figura 99 Linha de influncia transversal.

Pi

l

P

1

Figura 100 Carga sobre a viga esquerda.

Pi (viga esquerda) = P Pi (viga direita) = 0 Mmax (viga esquerda) = P.l/4

-

-

-

+

+

mov.

mov.

Figura 101 - Diagrama (meio do vo).

2.4.3.1.6. Centro de toro ou cisalhamento

75

Sz

y

xG

G h

S

b

f1

1f

f2z

yz

Vz= P

Pa

=A

dsef .. y

yz

IeSMV

.

..

=

P

G x

z

yf1

f1f2

C

P

c

a

Figura 102 Exemplo do perfil C.

Do equilbrio do elemento:

h: f1 f1 = 0

v: P f2 = 0

MGx = Pzero - f1h - f2.a 0 ?

MCx = Pzero - f1h + f2.c = 0 2

1

fhf

c =

Assim, as tenses decorrentes da flexo simples, ou seja, a prpria flexo simples, ocorre quando P aplicada em C (Centro de cisalhamento) e no em G.

Como conseqncia, os momentos de toro devem ser calculados em relao a C, e no a

G.

Caso P esteja excntrica de d em relao a C, as tenses tangenciais resultaro da

76

composio Vz + T ( T = P.d) Por isso C tambm chamado Centro de Toro.

Assim:

yI.4

2h2b.eP.yI.4

2h.2b.e.P2fh1fc

yI.4h2b.e.Pb.e

yI.e2/h.e.b.P

.

21

yI.eySM.P

.

21

Ads.e.1f

P2f

===

=== =

=

e x b x

G

C

C

G C G G = C

2 eixos de simetria

Figura 103 Centro de toro de algumas sees.

2.4.3.2. Estruturas em viga T nica

Estas estruturas so muito comuns nas passarelas de pedestres.

+a-a

P e

flexo

=+e

=1 = cte

toro

P

Pe

Figura 104 Viga em seo T.

77

- A carga P centrada transportada aos apoios por flexo.

- O momento Pe o por toro uniforme. A flexo-toro nesse caso usualmente

desprezvel.

2.4.3.3. Pontes em duas vigas

- J foram estudadas anteriormente

2.4.3.4. Pontes em 3 ou mais vigas (Grelhas)

Existem muitas solues para o problema das grelhas de ponte. A mais simples aquela

devida a Courbon/Engesser que ser apresentada a seguir. Outras solues devem ser lembradas,

como, por exemplo, aquelas devidas a Leonhardt, Guyon/Massonet/Bares, ao prof. Ferraz, a

Fauchart, etc. Dentre elas ser apresentada apenas a ltima, que ao mesmo tempo simples e

precisa.

As pontes em vigas mltiplas foram inicialmente providas de transversinas bastante rgidas

com o objetivo de bem distribuir as cargas pelas longarinas e se constiturem nas grelhas. Posteriormente se verificou que as lajes usuais dessas pontes tinham rigidez suficiente para

garantir uma boa distribuio transversal o que sugeriu a eliminao das transversinas

intermedirias. Essa soluo tem sido usada atualmente, especialmente quando as vigas so pr

moldadas, mas, claro, a armadura da laje deve ser reforada, com ateno especial para os problemas de fadiga.

Para o clculo das grelhas com transversinas muito rgidas prope-se o processo de

Courbon/ Engesser e para o caso em que elas so flexveis ou mesmo no existem prope-se o

processo de Fauchart.

2.4.3.4.1. Processo de Courbon/Engesser

Esse processo se aplica ao caso usual de grelhas de ponte onde so respeitadas as seguintes

condies:

A largura da obra menor que metade do vo da mesma

A altura das transversinas da ordem de grandeza daquela das longarinas

As espessuras das longarinas e das lajes so pequenas Essas condies permitem formular as seguintes hipteses:

78

1. As transversinas so infinitamente rgidas.

2. A toro uniforme desprezvel.

3. O trabalho longitudinal das lajes tambm desprezvel. 4. Admitem-se ainda vlidas para as longarinas as hipteses da Resistncia dos

Materiais:

As longarinas so barras (b,h

79

A. Distribuio transversal

V1 2V 3V 4V

4V' v v v

T1 T2 T3 4T

F

Figura 105 Distribuio transversal de uma carga F.

Ti = v 0 ( desprezveis) Fi = vi - vi ' Considere uma transversina e sua vizinhana como assim representado. Os momentos

fletores no foram representados porque no interferem no equilbrio de foras verticais que se

pretende estudar.

As hipteses feitas permitem reduzir o problema de distribuio da fora externa F pelas

vigas (foras Fi = Vi) ao problema de uma viga infinitamente rgida sobre apoios elsticos.

F1 2F F3 4F

1k 32 kk 4k

F

x,u

y,

Figura 106 Viga rgida sobre apoios elsticos.

Esse problema tem 3 graus de liberdade: deslocamentos u(//x) , (//y) e rotao . Como s temos cargas verticais podemos deixar de lado o deslocamento u (//x). Por outro lado as transversinas rgidas fazem com que as deformadas de todas as vigas

sejam afins. Assim:

80

F

1 2 3 4

a

b

1

4

ab

Figura 107 Deformao das vigas 1 a 4.

aibi 1

= para qualquer viga i.

Isso permite dizer que as rigidezes dos apoios elsticos k variam com a posio da

transversina, mas mantida a proporo entre elas. Como essa proporo que define a distribuio

transversal, ela ser nica qualquer que seja a posio da transversina.

Transversina a k1, k2, k3, k4

Transversina b .k1, .k2, .k3, .k4

Qualquer transversina .I1, .I2, .I3, .I4

e variam com a posio da transversina e com o tipo de carregamento. "Para justificar essa concluso, ver item 2.4.3.4.2."

A soluo do problema de barra rgida sobre apoios elsticos se obtm facilmente como se

segue.

Considere-se o caso particular = 0 e = 1 e procure-se determinar a posio da carga externa correspondente.

=

==

==

==

ikikixx

x.ikx.FAM

ik.ixix.iFAMiki.ikiF

x define um ponto tal que se F for a ele aplicado teremos = 0 e constante. Esse ponto chamado Centro Elstico por analogia com Centro de Gravidade.

Considere-se agora o caso geral.

81

ki

F

eCE

i

je

Figura 108 Deformao de uma viga rgida sobre apoios elsticos devido carga excntrica em relao ao centro de rigidezes das molas.

i = + .ei Fi = ki.i = ki( + .ei) As duas equaes de equilbrio necessrias so:

=+=

=+=

+==

+==

22...

).(..).(

iiiiiiej

iiii

iiiiiej

iii

ekekekF

kekkF

eekeFF

ekFF

Pois = 0. ii ek por definio do CE.

Assim:

=

ikF e

=

2ie.ik

F j e

ijr.F2ie.ik

ie.jeik

1ik.Fie.2

ie.ik

F

ikF

ikiF =

+

=

+

=

j e

como ii Ik .=

+= 2.

.1ii

ij

iiij

eIee

IIr

Quando as vigas so iguais: (Ii = I = constante)

+= 2

1i

jiij

e

ee

nr

Note-se a semelhana entre essas expresses e aquela das tenses normais na flexo-

composta:

82

eI

MAN

.+=

FN = , jeFM .=

= ikA , = 2. ii ekI , iee =

A semelhana no apenas formal, fsica: a transversina rgida faz o papel da hiptese de

Navier e as molas de comportamento elstico linear reproduzem a Lei de Hooke.

B. Esforos longitudinais

Quando a carga externa est sobre uma transversina, ela se distribui pelas longarinas conforme foi visto. A longarina i recebe fora Fi e os esforos longitudinais nessa longarina so

diretamente calculados a partir d Fi.

Quando, porm, a carga externa est fora da transversina, sobre uma longarina por exemplo, as coisas no so a princpio to simples. De fato:

a

b

F

1 2 3 4

c

d Longarina 1

F

? ?

Longarina i>1

? ?F

Figura 109 Carga externa fora da transversina.

preciso calcular os esforos que as transversinas aplicam nas longarinas. Faamos isso por superposio.

83

Longarina 1

F

+

RaRb Rc

Rd

Rb Rc1 1

Rb-Rb Rc-Rc

F

1 1

*

F

**

1

**

iF

Rb ii Rc*

Longarina i >1

Deistribuio de Rb e Rcpelas longarinas

Figura 110 Distribuio da carga F nas longarinas.

Verifica-se que as solues aproximadas **, embora muito mais simples, fornecem

solues bastante prximas ds solues corretas *.

Aconselha-se, portanto, usar a soluo aproximada que corresponde, fisicamente, a admitir

uma transversina rgida sob cada carga externa.

Note-se que a distribuio transversal obtida por Courbon/Engesser vlida qualquer que

seja o sistema estrutural longitudinal, viga biapoiada ou contnua.

2.4.3.4.2. Processo de Fauchart

Considere-se o caso de uma ponte em vigas mltiplas sem transversinas intermedirias, s

nos apoios.

Para tratamento desse problema adotam-se as seguintes hipteses:

1. As longarinas trabalham conforme a Resistncia dos Materiais.

2. As longarinas so biapoiadas e tm inrcia constante.

3. O trabalho longitudinal das lajes desprezado.

84

xy

z

Figura 111 Superestrutura em grelha.

Da super esquematicamente representada na figura 111 isole-se a viga i:

P

v

i

ev

dmem

Pm i

Figura 112 Equilbrio da viga i

pi = p + vd - ve

mi = md - me

Da Resistncia dos Materiais tem-se:

EIM

dxyd

=2

2

EIP

dxyd

dxMdp == 4

4

2

2

tGIT

dx

d=

,

tGIm

dxd

dxdT

m == 2

2

Assim:

tEIip

4dxiy

4d= e

tiGIim

2dxi

2d=

Desenvolvendo em srie de Fourier as cargas pi e mi e os deslocamentos yi e i possvel

transformar essas duas equaes diferenciais em equaes algbricas o que permitir transformar

85

nosso problema bidimensional (x, z) em unidimensional (z). Como as vigas so biapoiadas e ainda engastadas toro nos apoios a srie escolhida deve

respeitar as seguintes condies de contorno:

0=x e lx = yi = i = 0

( = rotao em torno de x)

A srie adequada portanto de senos do tipo: l

xj pi.sen , nula para 0=x e lx = .

Assim:

lxjpp

jiji

pisen= =

jiji l

xjmm

pisen

lxjyy

jiji

pisen= =

jiji l

xjpi sen

Introduzindo essas sries nas equaes acima tem-se para cada termo j:

iijij EIlj

lxjy

lxjp .sen.sen.

4

=

pipipi

e

tiijij GIlj

lxj

lxj

m .sen.sen.

2

=

pipipi

ou

ijfij ykp ij ..= e ijtij ijkm ..=

com if EIljk

ij

4

=

pi e tit GIl

jkij

2

=

pi

Assim, para cada termo j da srie, o problema de distribuio transversal se reduz a calcular a faixa unitria de laje esquematizada na figura 113.

m ij

pij

1m

Figura 113 Faixa unitria.

ijfij ykp ij ..= ijtij ijkm ..=

86

ijijp

m

f ijk

pk

ijt

j

faixa de lajecom 1 m delargura

Figura 114 Esquema estrutural transversal para uma faixa unitria.

Essa faixa deve ser carregada com o termo j do desenvolvimento da srie Fourier da carga externa p (pj).

Transformamos assim nosso problema bidimensional em uma srie de unidimensionais.

Ocorre que usualmente o 1 termo da srie j suficiente e temos apenas um problema unidimensional como o acima, com j=1. Sua soluo obtida com facilidade pelo processo dos deslocamentos bastando dispor de uma calculadora programvel (so 8 graus de liberdade, 4 vigas com um e um para cada uma ).

Observaes complementares:

1. Imaginando a ponte em questo como uma pea nica de seo aberta com 4 nervuras a

soluo de Fauchart considera flexo do conjunto ( cte), a toro uniforme e a flexo-toro ( cte) e a deformao da seo transversal ou distoro representada por no constante e varivel no linearmente. A figura 115 ilustra esses fatos.

87

carga externa

flexo

toro

distoo

Figura 115 Deformao de uma seo transversal pelo processo de Fauchart.

2. Para obter as linhas de influncia que definem as cargas nas vigas (pi - flexo da viga e mi - toro da mesma) bem como as solicitaes mais importantes na laje de ligao basta resolver a viga sobre apoios elsticos, num programa conveniente, para uma srie de posies de uma carga

unitria. importante considerar pelo menos uma posio para cada viga e cada seo considerada relevante. Costuma-se dizer que basta passear com a carga unitria sobre a estrutura anotando

para cada posio os esforos de interesse.

3. Para determinao dos trens tipo nas vigas (isto do carregamento em cada viga) deveramos carregar as linhas de influncia para pi e mi com o primeiro termo do desenvolvimento

em srie das cargas externas. Verifica-se que mais fcil e preciso carreg-las com as cargas reais.

Isso equivale a dizer que:

11 .1 ifi ykp i= iy.1ifkip =

11 .. 1 iti ikm =

i.1itkim =

Usamos assim as sries de Fourier apenas para definir a rigidez com que as vigas vinculam

as lajes de ligao. Para carregamentos usamos a sua forma real.

4. conveniente observar que se for desprezada a toro uniforme (Iti=0) e for admitida infinita a rigidez da laje de ligao (simulando transversina rgida) o processo do Fauchart se reduz ao do Courbon. Assim Courbon um caso particular do Fauchart.

88

5. Extenso da soluo s grelhas com transversinas flexveis.

e

bw

bw+b/5=bm

b/10

longarina

transversina

seo efetivada transversina

(e-bm).1/2

Figura 116 Ponte em grelha com transversinas flexveis.

Basta, para tal, definir uma laje de rigidez equivalente ao conjunto laje+transversinas:

e

beIII mlajetransvequivlaje

)(.

+=

6. Extenso da soluo s grelhas contnuas.

Basta, para tal, adotar para l um vo biapoiado equivalente, isto , que apresente a mesma

flecha que um determinado vo da obra real, para um mesmo carregamento considerado

representativo. A carga uniforme considerada usualmente aceita para esse fim.

7. Esforos na laje do tabuleiro.

7.1. Caso em que existem transversinas.

Calculam-se as lajes como engastadas nas vigas. Um bom procedimento usar as tabelas de Rsch (ver aulas de projetos).

89

7.2. Caso em que no existem transversinas intermedirias.

Calculam-se as lajes por superposio de efeitos conforme sugere a figura 117:

-

P

P1A

1P

+

P

B

C

P (primeiro termo dodesenvolvimento de P)aplicado na viga sobreapoios elsticos

carga concentrada P

P sobre viga biengastada

P sobre placa longabiengastada (Teoria das Placas)

1

1

Figura 117 Superposio de efeitos para cargas na laje.

Para melhor entender essa superposio conveniente dividir as solicitaes na laje em 2 partes:

- local - que decorre do trabalho do painel da laje carregado e engastado nas vigas que so admitidas indeslocveis;

- global - que decorre apenas dos deslocamentos das vigas.

O primeiro termo da srie (P1) pode representar bem P do ponto de vista global, mas no local.

Assim:

Efeito P = Efeito global + Efeito local =

= Efeito P1 - Efeito local P1 + Efeito local P =

A B C

Efeito Global P1 = P

90

O efeito local de P pode ser calculado com as superfcies de influncia anteriormente

apresentadas ou se P representar o trem tipo padro, esse efeito pode ser em geral calculado com as

tabelas de Rsch.

2.4.3.5. Pontes celulares

As pontes celulares tm sido cada vez mais utilizadas funo das grandes qualidades

estruturais das serves celulares (boa rigidez e resistncia toro e flexo, seja para momentos positivos, seja para negativos) e do progresso dos mtodos construtivos. Essas sees so preferencialmente unicelulares por economia de materiais e de mo de obra. S se justifica o uso de sees multicelulares em obras exageradamente largas, sobretudo aquelas em que a largura bem

superior metade do vo.

Devido essas qualidades estruturais essas pontes so calculadas como vigas nicas. Esse

clculo requer, no entanto, algumas complementaes em relao Resistncia dos Materiais usual.

2.4.3.5.1. Sees unicelulares

Considere-se uma ponte unicelular biapoiada sob carga excntrica como representado na

figura 118.

P

l

P

transversina de apoio

PP/2 P/2 P/2 P/2

flexo toro

+

Figura 118 Seo celular submetida carga na alma direita.

A. Estudo da flexo

As tenses normais s podem ser calculadas pela expresso usual da Resistncia dos

Materiais exigindo-se, sem dvida, a determinao dos eixos centrais de inrcia. Como no caso

91

usual as sees so simtricas, essa determinao imediata.

X

Z

Y NMy

yM

MyWyi

NS

Figura 119 Tenses normais ao longo da altura da seo celular.

zI

MSN

y

y.+= No caso acima, N = 0.

O clculo das tenses de cisalhamento requer alguma discusso. A expresso usual da

Resistncia dos Materiais vem do equilbrio de um naco de viga na direo do eixo x. Ela s

pode, no entanto, ser aplicada se for conhecido o valor de em alguns pontos de partida.

x

z

y

12

3

4

+d S

dx

x

Figura 120 Equilbrio, na direo x, de um elemento infinitesimal.

Sy

y

Sy

y

S y

y

S

MI

dMSdz

IdM

SdzI

dMSdddxe ........ ====

y

Sz

IeMV.

=

Nas sees abertas (como o perfil I acima) esse pontos so as extremidades da seo delgada onde =0 (faces laterais 1, 2, 3, 4). Nas sees fechadas a dificuldade est em determinar esses pontos.

Caso 1 - Sees Simtricas

92

Por necessidade da simetria das tenses de cisalhamento (bem como foras cortantes e momentos de toro) so nulas nos eixos de simetria. De fato:

esq.

dir.

dir.

por simetria

por ao/reao =0

Figura 121 Tenso de cisalhamento no eixo de simetria da seo celular.

Assim, nas sees simtricas os pontos de partida esto no eixo de simetria.

G = 0max

S

(S)

Figura 122 Tenses de cisalhamento em uma seo celular simtrica.

Caso 2 - Sees Assimtricas

= 0

?

Figura 123 Seo celular assimtrica.

Onde est o ponto de partida onde = 0 ? No se sabe a priori!

93

Na verdade o problema de sees fechadas internamente hiperesttico. Sees

unicelulares so uma vez hiperestticas. Uma boa maneira de levantar essa indeterminao usar o

processo dos esforos. A estrutura fechada hiperesttica e tornada aberta e isosttica atravs de um

corte longitudinal feito a priori. A essa estrutura aberta possvel aplicar a expresso anteriormente

descrita.

A compatibilidade somente recuperada se no corte forem introduzidos esforos

hiperestticos de valor conveniente. Assim:

FC

P P

AC

= 0P P(1- )

i

= q /eo ooq = cte.

Figura 124 Corte longitudinal arbitrado e introduo de esforos que mantm a compatibilidade.

A soluo da flexo da seo assimtrica sob carga P passando pelo seu centro de toro CF

obtida pela superposio da soluo da seo aberta (onde P passa pelo centro de toro da mesma CA e provoca as tenses i) e do fluxo de toro q0, que provoca tenses 0=q0/e, decorrente da toro T dada por P vezes a distncia entre CA e CF na direo y. Assim:

y

Szi Ie

MV.

Mas como calcular o?

preciso obter uma equao de compatibilidade! Observe-se a deformao da seo aberta.

94

ds

du

x

Figura 125 Deformao da seo aberta.

As faces do corte se deslocariam de d uma em relao outra funo da deformao por

cisalhamento .

Gdsdu

tg ==

== dsdu .

Deve-se calcular 0 tal que = 0 Como = /G e G 0

0. == ds 0= ds ou

=+ 0).( 0 dsi

Essa equao permite calcular 0.

Conhecida 0 conhece-se tambm a vertical que passa por CF. Para determinar a posio

desse centro deveramos estudar ainda o caso de uma fora horizontal.

Convm lembrar que para as sees simtricas usuais, embora G no coincida com CF

habitual e aceitvel admitir CF G.

95

G

CF

Figura 126 Centro de gravidade e de toro de uma seo celular simtrica.

CF G mas CF G.

B. Estudo da toro

Como visto anteriormente, a trao de sees unicelulares fica resolvida por:

qAT ..2= onde: cteeq == .

A = rea interna linha mdia da clula

=

e

dsAI t

4.4

e tGI

Tdxd

=

2.4.3.5.2. Sees multicelulares

A anlise dessas sees se faz analogamente s unicelulares. Seja a seo tri-celular da figura 127:

P

G

e

P/2P/2

+P/2P/2

flexo

toro

Figura 127 Seo tri-celular submetida carga na alma direita.

96

A. Flexo

S em relao s tenses so necessrios comentrios adicionais. De fato, mesmo sendo a

seo simtrica o problema permanece indeterminado estaticamente. So 3 clulas portanto 3 graus

de indeterminao. Por simetria essas 3 incgnitas se transformam em apenas uma.

= 0

= 0 = 0

i

+ = 0

q = cte.= q /eo

o

o

Figura 128 Esquema estrutural transversal considerando a simetria.

A nica incgnita hiperesttica 0 se calcula atravs da equao de compatibilidade:

=+ 0).( 0 dsi

analogamente seo unicelular assimtrica.

B. Toro

21 3

TPe

-Pe/2

Pe/2

T

Figura 129 Viga tri-celular submetida toro.

Aqui, tambm a toro corresponde a um problema hiperesttico, s que com grau de

indeterminao 2. De fato:

Da toro total T, cada clula suporta uma parcela Total que:

T = T1 + T2 + T3 - 3 incgnitas para 1 equao

97

preciso obter 2 equaes de compatibilidade. Elas so:

1 = 2 e 1 = 3

importante, no entanto, tomar cuidado para calcular corretamente Ti e i.

Cada clula ficar submetida a um fluxo de toro qi tal que:

1

T

q 2q 3q

Figura 130 Fluxo de toro.

Do captulo de toro tem-se que:

== iiii qAdsbqT 2 )2( iii qAT =

por superposio das solicitaes nas trs clulas.

Para calcular a rotao qi preciso considerar que o fluxo qi no constante em todo

contorno. Para isso preciso estudar com cuidado as deformaes por toro de uma seo celular.

Seja uma barra de seo vazada solicitada toro uniforme como mostra a figura 131.

l

T

Conciderando os Teoremasde energia de deformaotemos que:

T,

,

(T)e() i ou

Figura 131 Barra de seo vazada solicitada toro uniforme.

e (trabalho externo) = 1/2 T.

98

i (trabalho interno) = 1/2 . (elementar!)

= dvie

= dsleT ....21

21

'..

21 qA

lT =

== dsGqdse

Gdse .

2.

21

...

21 2

= dsGqqA .

2'.. = dsGA .'...2

Essa expresso permite calcular as rotaes elementares considerando que q no

constante em todo contorno.

Voltando ao problema da seo tricelular, considerando a simetria temos que q1=q3 e

1'=3 o que reduz o nmero de incgnitas a 2. Assim:

===

+=

GAds

GAds

qAqAT

2

2

1

121

2211

2.

..2.

''

..2..4

Notar que 1 = q1/e apenas em 3 lados da clula 1. No 4 lado 1 = (q1 - q2) /e. Analogamente para a clula 2.

Observao: A expresso acima indicada para clculo de permite demonstrar a

expresso do momento de inrcia de uma seo unicelular. De fato:

=====

GAe

dsq

GAds

IGT

dxd

t ..2..2.

.

'

==

e

dsAG

T

e

dsAG

qA22

.4.4.

..2

=

e

dsAI t

2.4

5.3. Problemas de deformao da seo transversal - Distoro

99

Tudo o que foi descrito at aqui prev que as sees celulares tenham seo transversal

indeformvel. Isso nem sempre verdade.

Para que a seo seja efetivamente indeformvel preciso prever transversinas no muito espaadas. Para as obras usuais esse espaamento deve ser da ordem de 10m.

De forma a melhor visualizar essa questo retomemos a ponte unicelular sob carga

excntrica apresentada no item 2.4.3.5.1., reanalisando os esquemas de carregamento em seo

transversal. Merece reconsiderao especial o carregamento de toro.

+

P

flexo

P/2 P/2

"toro"

P/2P/2

Figura 132 Seo unicelular submetida carga excntrica.

O carregamento indicado como sendo de toro no , na verdade, da forma em que a

seo unicelular suporta a seo, isto , atravs de esforos na direo de suas 4 paredes. Assim o

carregamento de toro contm alm de toro, mais algum efeito, vejamos qual :

distorotoro

P/2-q.a

+

P/2 P/2

b

a

q.a

q.b q.b

"toro"

Figura 133 Carregamento de toro decomposto em duas parcelas: toro e distoro.

a

Pba

bPA

Tq.4..2

2/..2

===

2

)14

+=

a

bPR

Assim, aquele carregamento que parecia de toro contm alm disso um carregamento

equilibrado (de resultante nula) chamado de carregamento de distoro.

4.4.

2P

a

aPP=

b

a

R

P.b4.a

100

Esse carregamento corresponde a duas foras de mesmo mdulo e direo, mas sentidos

inversos, que tendem a afastar dois vrtices opostos da clula, isto , tendem a distorc-las.

A transversina um elemento especialmente imaginado para impedir essa distoro. Se as

transversinas forem convenientemente espaadas, a regio entre elas fica protegida pelas prprias

paredes da seo funo de sua grande rigidez flexo no seu plano.

Se a obra no dispuser de transversinas esse carregamento deve ser suportado pelo quadro

transversal, onde as paredes da seo fletem como placas.

Em qualquer um dos casos importante, no entanto calcular esse quadro transversal.

Esquema para clculo do quadro transversal.

Consideremos um quadro correspondente a um pedao da ponte com 1m de comprimento.

1m

+

V + V

TV

Esquema das lajes engastadasnas almas

+

p p'

+

m m'm, p, m', p' - esforos

de engastamento daslajes nas almas

Diagonal biarticuladaque simula a transversinaquando for o caso

q ( T, V) - acrscimo de fluxo de cisalhamentodecorrente de T e V

Figura 134 Esquema para clculo do quadro transversal.

3. MESO E INFRAESTRUTURAS DE PONTES

3.1. Consideraes iniciais

A meso e infraestruturas das pontes so as responsveis pelo suporte da superestrutura e pela sua fixao ao terreno, transmitindo a ele os esforos correspondentes a essa fixao. Pode-se dizer que enquanto a super essencialmente responsvel pelo transporte horizontal das cargas, est a cargo da meso o transporte vertical das mesmas e da infra, sua transmisso ao terreno.

3.2. Nomenclatura

O esquema abaixo fixa a nomenclatura usualmente adotada para descrever cada um desses elementos.

APARELHODE APOIO

FUNDAO RASA

(SAPATA)FUNDAO PROFUNDA

(BLOCO C/ ESTACAS)

SUPER

MESO

INFRA

PilaresEncontros

Ap. Apoio

Fundaes

Tabuleiro

PILARENCONTRO

Vigas

Fig.1 Nomenclatura dos elementos das pontes

3.3. Tipos estruturais

3.3.1. Tipos de aparelhos de apoio vinculao super x meso

N de prtico

MONOLTICA FIXA MVELUnidirecional Multidirecional

Teflon sobre inox

LIGAO ARTICULAOARTICULAO

Fig.2 Tipos de aparelhos de apoio

Essas articulaes podem ser metlicas, de concreto e at mesmo de borracha, como veremos mais adiante.

Rtulas podem ser obtidas com superfcies esfricas no lugar das cilndricas.

3.3.2. Pilares

Pilar

PilarPilar

PilarAp. apoioAp. apoio

Ap. apoioAp. apoio

Transversina

TransversinaTravessa

Travessa

Grelha Caixo

Caixo

VMt

VMt

VMt

V

TransversinaUsual

TransversinaObrigatria

Fig.3

Sees: Macias

Paredes finas

Constantes ou variveis

TransversalLongitudinal

Fig.4

3.3.3. Encontros

Fig.5 Encontros

Fig.6 Encontro aliviado (bastante comum)

Fig.7 Encontro na super

Fig.8 Encontro na super

3.3.4. Fundaes

Os tipos estruturais das fundaes no fazem parte do objetivo desta disciplina. Para tanto, ver cursos especficos.

3.4. Mtodos construtivos

3.4.1. Fundaes

Quando as fundaes esto localizadas no seco, como nos viadutos por exemplo, os mtodos construtivos a aplicar na sua execuo so os convencionais. Quando, no entanto, as fundaes esto dentro dgua, tais mtodos devem ser revisados.

As novas solues podem ser divididas em 2 grupos:

Caso 1 Lmina dgua pequena. Nesse caso as fundaes diretas ainda so possveis, devendo ser executadas em

ensecadeiras. Essas ensecadeiras podem ser construdas com estacas prancha ou barragens de terra. Em ambos os casos, elas se assemelham a valas a cu aberto onde a estrutura de conteno suporta empuxos de gua em lugar de empuxos de terra.

VALA ESCORADA

ENSECADEIRA DEESTACAS PRANCHA

Estronca

Estronca

Estaca prancha

ENSECADEIRA DE TERRA

VALA ATALUDADA

Estaca prancha Barragem de terra

Barragem de terra

Fig.9 Ensecadeiras

Quando a lmina dgua pequena e as fundaes a executar profundas, em geral possvel construir uma plataforma estaqueada provisria, onde se executam as fundaes definitivas, sejam estacas (pr-moldadas, Franki ou escavadas), sejam tubules (a ar comprimido, escavados mecanicamente ou mistos), sejam caixes (a cu aberto ou a ar comprimido).

Os tubules escavados mecanicamente (tipo Wirth), os mistos e os caixes, sero descritos a seguir, por no serem usuais, seno nas fundaes das pontes.

Caso 2 Lmina dgua grande. Nesse caso nenhuma das duas solues anteriores so utilizadas, ambas ficam muito

dificultadas pela altura da lmina dgua. A soluo usual corresponde a execultar fundaes profundas a partir de barcaas ou flutuantes.

Essas barcaas, muitas vezes feitas de concreto, so suficientemente grandes para suportar, alm de equipamentos de perfurao, guindastes, betoneiras e depsito de materiais (brita, areia, cimento, ao, etc.). Elas so fixadas s margens atravs de cabos de forma a garantir uma maior preciso nas locaes em planta. Em rios mais largos, elas podem ser ancoradas no fundo e, quando a velocidade da gua for baixa (caso do mar), podem ter pernas retrteis.

3.4.2. Fundaes especiais

Tubules mistos Soluo a usar no lugar de tubules a ar comprimido, quando a presso superar 3 atms ou 30 mca.

Fig.10 Seqncia construtiva de tubules com estacas metlicas (Pfeil, 1983).

1. Escavao e descida da camisa a ar comprimido (camisa de concreto); 2. Desativada a compresso, cravao das estacas por dentro da camisa, com

suplemento;