10_11_03_formulas_ABACOS

__________________________________________________________________________________________________ Máquinas Hidráulicas. ÁBACOS. Curso 2010-2011 11

III.- FÓRMULAS

III.1.- Ecuación de Bernoulli

( )2

22

2121

2121vvppzzgeeE −

+−

+−⋅=−=ρ

[J/kg] (3.1)

( )gvvppzzhhH

⋅−

+−

+−=−=2

22

2121

2121 γ [m C.L.] (3.1’)

III.2.- Conversión energía específica – presión – altura

EHgp ⋅=⋅⋅= ρρ [Pa] (3.2)

HgE ⋅= [J/kg] (3.3) III.3.- Pérdidas de carga y curva resistente (circuito) Expresión implícita de pérdida de carga:

2

2vDLfE ⋅⋅=∆ [J/kg] (3.4)

gv

DLfH

⋅⋅⋅=∆2

2

[m C.L.] (3.4’)

Expresión explícita de pérdida de carga:

2QKE ⋅=∆ [J/kg] (3.5)

2* ∆ QKH ⋅= [m C.L.] (3.5’) Expresión de la curva resistente:

EzgEr ∆+∆⋅= [J/kg] (3.6)

HzH r ∆+∆= [m C.L.] (3.6’)

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________ Máquinas Hidráulicas. ÁBACOS. Curso 2010-2011 12

III.4.- Ecuación de continuidad (en forma integrada)

ktem =⋅= Qq ρ [kg/s] (3.7) III.5.- Ecuaciones de Euler Reacción (fuerza) del fluido sobre un conducto:

gp FFccqRrrrr

++−⋅⋅= )( 21ρ [N] (3.8) Reacción (momento) del fluido sobre un conducto:

22112211 )( ppgg FrFrFrcrcrqTrrrrrrrrrrr

×−×+×+×−×⋅⋅= ρ [N ⋅ m] (3.9) Momento generado (de Euler) por el fluido en una turbina:

)( 2211 uu crcrQT ⋅−⋅⋅⋅= ρ [N ⋅ m] (3.10) Potencia (de Euler) generada por el fluido en una turbina:

)( 2211 uuE cucuQP ⋅−⋅⋅⋅= ρ [W] (3.11) Energía de Euler en una turbina:

)( 2211 uuE cucuE ⋅−⋅= [J/kg] (3.12) III.6.- Expresiones de la teoría del ala o de Kutta-Joukovsky Coeficiente de presión en un perfil:

22∞

∞

⋅−

=v

ppcp ρ [-] (3.13)

2

2

1∞

−=vvcp [-] (3.14)

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________


Finura del perfil:

ZR

=εtan [-] (3.15)

Sustentación del perfil:

BLvcZ Z ⋅⋅⋅⋅= ∞

2

2

ρ [N] (3.16)

Arrastre o resistencia del perfil:

BLvcR R ⋅⋅⋅⋅= ∞

2

2

ρ [N] (3.17)

Momento de la resultante en el perfil:

LBLvcM M ⋅⋅⋅⋅⋅= ∞

2

2

ρ [N ⋅ m] (3.18)

Coeficiente de sustentación corregido para una rejilla de perfiles:

ZZrejZ Kcc ⋅=)( [-] (3.19) III.7.- Potencias y rendimientos (para cálculo y diseño) Potencia hidráulica en una turbina:

EQP ⋅⋅= ρh [W] (3.21)

HQP ⋅⋅= γh [W] (3.21’) Potencia mecánica en una turbina (en el acoplamiento):

ω⋅=TPm [W] (3.22)

ghm η⋅= PP [W] (3.23) Potencia eléctrica en un alternador:

aa η⋅= PP [W] (3.24)

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________


Rendimiento hidráulico o manométrico en una turbina: Es el ratio entre la energía hidráulica másica realmente transformada en energía mecánica másica en la turbina respecto de la energía hidráulica másica puesta a disposición de la turbina.

HgHg

EE

⋅⋅

== EEhη [-] (3.25)

Rendimiento volumétrico en una turbina (sólo de reacción):

Qqfugas

vol 1−=η [-] (3.26)

Rendimiento volumétrico en una bomba:

Qqfugas

vol 1+=η [-] (3.27)

Rendimiento mecánico u orgánico en una turbina:

mm P

P=η [-] (3.28)

Nota: en esta expresión se excluyen (por hipótesis) las pérdidas mecánicas internas (por disco) y sólo se consideran las externas (juntas, cojinetes, fricción en el aire). Rendimiento de una turbina o rendimiento global de una turbina:

mvolhg ηηηη ⋅⋅= [-] (3.29) III.8.- Potencias y rendimientos (para ensayos) Ahora, por definición se considera que el rendimiento hidráulico en la expresión (3.29) tiene en cuenta las pérdidas volumétricas y las pérdidas mecánicas internas (por disco). Por tanto la nueva expresión será:

mhg ηηη ⋅= [-] (3.30) El resto de expresiones de III.8 permanece invariable.

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________


III.9.- Velocidad de rotación en máquinas síncronas

..60

ppfN ⋅

= [r.p.m.] (3.31)

III.10.- Semejanza: coeficientes de velocidad

EcKc ⋅

=2

E

cK uc u ⋅=

2 [-] (3.32)

Así el resto: uK

mcK wK III.11.- Semejanza: relaciones sencillas modelo - prototipo Velocidad – energía:

2

P

M

2

P

M

P

M

⋅

=

DD

nn

EE [-] (3.33)

Velocidad – caudal:

P

M

3

M

P

P

M

QQ

DD

nn

⋅

= [-] (3.34)

III.12.- Semejanza: velocidad específica Velocidad específica de Cammerer (a extinguir):

45

21

s HPNn ⋅

= con P en [kW] [*] (3.35)

(antiguamente P en [C.V.]) Velocidad específica de Brauer (no adimensional):

43

21

q HQNn ⋅= [*] (3.36)

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________


Velocidad específica de Brauer (versión CEI o adimensional):

43

21

QE EQnn ⋅= [-] (3.37)

Velocidad específica científica (adimensional):

( )( ) 43

21

2πE

Q⋅

⋅=ων [-] (3.38)

Conversiones entre velocidades específicas: Considerando turbinas con Qnom ≈ 1,15 QΛ , Hnom ≈ HΛ y η ≈ 0,91 [-]

nsnom (en [kW]) a nqnom nsnom = 2,9878 ⋅ nqnom nominal a nominal nqnom a νnom nqnom = 157,787 ⋅ νnom nominal a nominal nqnom a νΛ nqnom = 169,208 ⋅ νΛ nominal a óptimo nsnom (en [kW]) a νnom nsnom = 471,44 ⋅ νnom nominal a nominal ns (en [kW]) a ν nsnom = 505,56 ⋅ νΛ nominal a óptimo ns (en [C.V.]) a ν nsnom = 549,71 ⋅ νnom nominal a nominal ns (en [C.V]) a ν nsnom = 589,50 ⋅ νΛ nominal a óptimo

III.13.- Semejanza: coeficientes unitarios tradicionales Sistema ρ = 1; N = 1; D = 1. Todos los coeficientes son no adimensionales Caudal unitario:

NDQQ⋅

= 311 [*] (3.39)

Salto unitario:

2211 NDHH⋅

= [*] (3.40)

Par unitario:

2511 NDTT⋅

= [*] (3.41)

Potencia unitaria:

3511 NDPP⋅

= [*] (3.42)

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________


Sistema ρ = 1; H = 1; D = 1. Todos los coeficientes son no adimensionales Caudal unitario:

21211 HDQQ⋅

= [*] (3.43)

Velocidad unitaria:

2111H

DNN ⋅= [*] (3.44)

Par unitario:

HDTT⋅

= 311 [*] (3.45)

Potencia unitaria:

23211 HDPP⋅

= [*] (3.46)

III.14.- Semejanza: coeficientes y factores adimensionales Sistema ρ = 1; n = 1; D = 1. Todos los coeficientes son adimensionales Coeficiente de caudal:

nDQQ⋅

= 3nD [-] (3.47)

Coeficiente de energía:

22nD nDEE⋅

= [-] (3.48)

Coeficiente de par:

25nD nDTT⋅⋅

=ρ

[-] (3.49)

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________


Coeficiente de potencia:

35nD nDPP⋅⋅

=ρ

[-] (3.50)

Sistema ρ = 1; E = 1; D = 1. Todos los factores son adimensionales Factor de caudal:

212ED EDQQ⋅

= [-] (3.51)

Factor de velocidad:

21EDE

Dnn ⋅= [-] (3.52)

Factor de par:

EDTT⋅⋅

= 3ED ρ [-] (3.53)

Factor de potencia:

232ED EDPP⋅⋅

=ρ

[-] (3.54)

III.15.- Semejanza: coeficientes científicos Coeficiente de caudal:

ωϕ

⋅⋅= 3π R

Q [-] (3.55)

Coeficiente de energía:

222ω

ψ⋅⋅

=R

E [-] (3.56)

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________


Relación entre los coeficientes de caudal y de energía:

3/4

1/2

ψϕν =

Coeficiente de par:

25π2

ωρτ

⋅⋅⋅⋅

=RT [-] (3.57)

Coeficiente de potencia:

35m

π2

ωρλ

⋅⋅⋅⋅

=RP [-] (3.58)

III.16.- Cavitación: coeficientes de planta o disponible Los subíndices que deben acompañar a las expresiones siguientes, son

d: disponible (bombas industriales) pl: planta (bombas turbinas y bombas para servicio hidroeléctrico, generalmente).

NPSE o NPSH (dimensionales):

svb HHHNPSH −−= [m C.A.] (3.59)

svb EEENPSE −−= [J/kg] (3.60) Altura o energía de aspiración:

( ) aspnivelmáquinas ∆HzzH ±−= [m C.A.] (3.61)

( ) aspnivelmáquinas ∆EzzgE ±−⋅= [J/kg] (3.62) bomba: + turbina: – Número de cavitación de Thoma:

ENPSE

HNPSH

==σ [-] (3.63)

Coeficiente de cavitación CEI:

22nD DnNPSE⋅

=σ [-] (3.64)

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________


Coeficiente de energía en la aspiración (científico):

2c2

uNPSE⋅

=ψ [-] (3.65)

Coeficiente “kappa”:

2m

2cNPSE⋅

=κ [-] (3.66)

Velocidad específica de aspiración (notación tradicional):

( )43

r

21

NPSHQNS ⋅

= [*] (3.67)

Velocidad específica de aspiración (notación CEI):

( )43

ad

21

QE_c NPSEQnn ⋅

= [-] (3.68)

Velocidad específica de aspiración (notación científica):

43c

21

c ψϕν = [-] (3.69)

III.17.- Curvas características de bombas centrífugas con recorte de rodete Expresiones empíricas (recortes inferiores al 15 [%]):

m''

⋅=

DDQQ [m3/s] (3.70)

m''

⋅=

DDHH [m C.A.] (3.71)

m = 2, en general Se admite como hipótesis que:

ηη =' [-] (3.72)

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________


III.18.- Efectos de escala en bombas industriales con líquidos viscosos (efecto de escala negativo) Partiendo de los datos de operación en agua (subíndice w) se tiene

wvc HcH H ⋅= [m C.L.] (3.73)

wvc QcQ Q ⋅= [m3/s] (3.74)

wvc ηη η ⋅= c [-] (3.75)

vc

vcvcvc vcm η

ρ HgQP ⋅⋅⋅= [W] (3.76)

(Ver Ábaco V.I, página 39)

III.19.- Efectos de escala en bombas industriales no estándar Fórmula de Sulzer para agua fría, con H < 500 [m C.A.]

( )077,0

P

M

15,0

P

MMP 11

⋅

⋅−−=

HH

DDηη [-] (3.78)

Fórmula de tipo Hutton para agua fría, con H < 100 [m C.A.]

( )

νν

⋅

⋅

⋅+⋅η−−=η

20

M

P

20

P

M

40

P

MMP H

HDD

703011,,,

,, [-] (3.79)

Fórmula de Hydraulic Institute para propósito general, agua fría (tipo Moody)

( )m

P

MMP 11

⋅−−=

DDηη [-] (3.81)

m = 0 si se respeta la semejanza en holguras de laberinto y rugosidad de superficies. m = 0,26 con rugosidades absolutas iguales en modelo y prototipo.

Fórmula de Karassik para agua caliente (energía y centrales térmicas), con H > 500 [m C.A.]

( )

⋅

⋅−+

=07,0

M

P

17,0

P

MMM

MP

1ννηη

ηη

NN

[-] (3.82)

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________


Fórmula de Sulzer para agua caliente (energía y centrales térmicas), con H > 500 [m C.A.]

( )

⋅

⋅

⋅⋅−−⋅⋅=

07,0

P

M

036,0

P

M

15,0

P

MM discoMman M mM volP 11

ννηηηηη

HH

DD [-] (3.83)

Fórmula de Hydraulic Institute para agua caliente

( )n

M

PMP 11

⋅−−=ννηη [-] (3.84)

con “n” entre 0,05 y 0,1 según indicaciones del fabricante III.20.- Efectos de escala en maquinaria hidroeléctrica: fórmula actual CEI

( )

−

⋅=∆ →

16,0

P

ref

16,0

M

refrefPMh Re

ReReReδη [-] (3.85)

con:

( )

ref

ref

16,0

M

ref

Mhref

1ReRe

1

VV−

+

−=

∧

∧ηδ [-] (3.86)

^ es el símbolo correspondiente a máximo rendimiento Número de Reynolds para la fórmula CEI:

νuD ⋅

=Re [-] (3.88)

III. Fórmulas __________________________________________________________________________________________________


Tipo de máquina Vref

Turbina radial (Francis) 0,7 Turbina axial o diagonal con ángulo de palas variable y álabes directrices con ángulo variable o fijo

0,8 Turbinas

Turbina axial o diagonal con ángulo de palas fijo 0,7 Bomba radial (mono o multietapa) 0,6 Bombas Bomba axial o diagonal 0,6 Bomba turbina radial (mono o multietapa) funcionado en modo turbina

0,7

Bomba turbina radial (mono o multietapa) funcionado en modo bomba

0,6

Bomba turbina axial o diagonal (con ángulo de palas variable) funcionado en modo turbina

0,8

Bomba turbina axial o diagonal (con ángulo de palas variable) funcionado en modo bomba

0,6

Bomba turbina axial o diagonal (con ángulo de palas fijo) funcionado en modo turbina

0,7

Bombas turbina

Bomba turbina axial o diagonal (con ángulo de palas fijo) funcionado en modo bomba

0,6

Reref = 7 ⋅ 106 [-] (constante)

Tabla 3.1 III.21.- Efectos de escala en maquinaria hidroeléctrica: fórmulas antiguas Fórmula de Ackeret (bombas turbina en bomba):

( )

−⋅⋅−=∆

2,0

P

MM Re

Re15,01 ηη [-] (3.89)

Fórmula de Hutton (turbinas Francis alta nq y turbinas Kaplan):

( )

−⋅⋅−=∆

2,0

P

MM Re

Re17,01 ηη [-] (3.90)

Fórmula de Hutton (turbinas Francis baja nq y bombas turbina en turbina):

( )

−⋅⋅−=∆

2,0

P

M

ReRe16,01 Mηη [-] (3.91)

Número de Reynolds para estas fórmulas:

ννHgDED ⋅⋅⋅

=⋅⋅

=22Re [-] (3.76)

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