Item

1.1.

1.2.

1. 2. 3. 4. 5. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2. 3.1 3.2 3.3 3.4 4.

Cotação 8 8 8 8 8 15 12 18 15 13 15 15 18 15 12 12

401 882 - ESCOLA SECUNDÁRIA HENRIQUE MEDINA

10o B Proposta Resolução do Teste de Avaliação de Matemática A 2014 – 01 – 23

GRUPO I – Versão 1 e Versão 2

Item 1. 2. 3. 4. 5.

Versão 1 D B B C A

Versão 2 C D A B B

GRUPO I – Versão 1

1. [MNP] é um triângulo. MR̅̅̅̅̅ =1

3MN̅̅̅̅̅ e MS̅̅ ̅̅ =

1

3MP̅̅ ̅̅ . Então:

(A) RM ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + MS ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = NP⃗⃗⃗⃗ ⃗ (C) NP ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 3 SR⃗⃗ ⃗⃗

(B) ‖RS ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = 1

9‖NP⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ (D) RS ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = −

1

3PN⃗⃗⃗⃗ ⃗

Opção (D) .Dado que os triângulos [RMS] e [NMP] são semelhantes (LAL),

RS ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 1

3NP⃗⃗⃗⃗ ⃗ =⏟

NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ são simétricos

−1

3PN⃗⃗⃗⃗ ⃗ .

Corrigindo as restantes opções: NP ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 3 RS⃗⃗ ⃗⃗ ; ‖RS ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = 1

3‖NP⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ ; RM ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + MS ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = RS⃗⃗ ⃗⃗

2. Na figura está representado num referencial o.n. Oxyz um

sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais.

As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos

coordenados ou lhes são paralelas.

O ponto M tem coordenadas (4; 4; 4).

A condição 𝑥 = 4 ∧ 𝑧 = 8 representa:

(A) A reta IH (C) A reta LJ

(B) A reta HL (D) A reta IJ

Opção (B) . 𝑥 = 4 é a equação do plano perpendicular ao eixo Ox e que contém a face [EHLM]. 𝑧 = 8 é

a equação do plano perpendicular ao eixo Oz e que contém a face [HLJI].

𝑥 = 4 ∧ 𝑧 = 8 é a condição da reta HL - interseção dos planos EHL com HLJ .

3. Num referencial o.n. Oxyz , qual das seguintes condições define uma esfera tangente ao plano 𝑥𝑂𝑧?

(A) 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑧2 ≤ 9 C(0 ; 2; 0) 𝑒 𝑟 = 3 (C) 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑧2 ≤ 2 C(0 ; 2; 0) 𝑒 𝑟 = √2

(B) 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑧2 ≤ 4 C(0 ; 2; 0) 𝑒 𝑟 = 2 (D) 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑧2 ≤ 1 C(0 ; 2; 0) 𝑒 𝑟 = 1

Item

1.1.

1.2.

1. 2. 3. 4. 5. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2. 3.1 3.2 3.3 3.4 4.

Cotação 8 8 8 8 8 15 12 18 15 13 15 15 18 15 12 12

O plano coordenado xOz é perpendicular ao eixo Oy e tem por equação 𝑦 = 0 .

O centro de cada uma das esferas representadas é o ponto C(0 ; 2; 0) , que pertence ao eixo Oy.

Se a esfera é tangente ao plano xOz e tem centro em C, ponto de Oy, o raio da esfera é OC̅̅ ̅̅ = 2 .

Assim, a condição da esfera de centro C e raio 2 é 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑧2 ≤ 4 – opção (B).

4. Num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, o ponto P( 3𝑝2 + 6𝑝 ; 2𝑝 ; 𝑝2 − 4 ) pertence ao eixo das ordenadas (Oy).

Então pode-se concluir que:

(A) 𝑝 = 0 (B) 𝑝 = −2 ∨ 𝑝 = 2 (C) 𝑝 = −2 (D) 𝑝 = −2 ∨ 𝑝 = 0 Dado que o ponto P pertence ao eixo das ordenadas, P(0 ; y ; 0).

Quando 𝑝 = 0 , vem P(0 ; 0 ; −4) que não pertence ao eixo Oy.

Quando 𝑝 = −2 , vem P(0 ; −4 ; 0) que pertence ao eixo Oy,

Quando 𝑝 = 2 , vem P(24 ; 4 ; 0) que que não pertence ao eixo Oy,

Assim, apenas quando 𝑝 = −2 , o ponto P pertence ao eixo das ordenadas – opção (C).

5. Considera os pontos A, B, C e D do plano. Sabendo que AC̅̅̅̅ = AD̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ = BD̅̅ ̅̅ , podemos concluir

que:

(A) A e B são pontos da mediatriz de [CD]. (C) B é o centro de uma circunferência de diâmetro [CD].

(B) A é o ponto médio de [CD]. (D) AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅ ̅̅

Dado que AC̅̅̅̅ = AD̅̅ ̅̅ (A está equidistante de C e de D), podemos afirmar que o ponto A pertence à mediatriz do

segmento de reta [CD], podendo, ou não, ser o ponto médio desse segmento. Dado que BC̅̅̅̅ = BD̅̅ ̅̅ (B está

equidistante de C e de D), podemos afirmar que o ponto B pertence à mediatriz do segmento de reta [CD] e

pode, ou não, coincidir com o ponto médio desse segmento. Assim, podemos afirmar que A e B são pontos da

mediatriz de [CD] – opção (A) (única opção sempre verificada) .

O ponto B só será o centro de uma circunferência de diámetro [CD] se for o ponto médio de [CD]. AB̅̅ ̅̅ pode, ou

não, ser igual a CD̅̅ ̅̅ .

GRUPO II

1. Num referencial o.n. Oxyz estão representados um cubo

[ABCDEFGH] e uma pirâmide [EFGHO].

A origem do referencial coincide com o centro do cubo e

com o vértice inferior da pirâmide.

O volume da pirâmide é 36 cm3 .

1.1. Determine BF̅̅̅̅ .

Vpirâmide = 1

3 × EF̅̅̅̅ × GG̅̅ ̅̅ ×

BF̅̅ ̅̅

2 ⇔⏞EF̅̅ ̅̅ =GG̅̅ ̅̅ =BF̅̅ ̅̅

36 = 1

6 × BF̅̅̅̅ 3 ⇔

⇔ 36 × 6 = BF̅̅̅̅ 3 ⇔ 216 = BF̅̅̅̅ 3 ⇔ √2163

= BF̅̅̅̅ ⇔ 6 = BF̅̅̅̅

y

z

x D C

G

H

E F

O

BA

Item

1.1.

1.2.

1. 2. 3. 4. 5. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2. 3.1 3.2 3.3 3.4 4.

Cotação 8 8 8 8 8 15 12 18 15 13 15 15 18 15 12 12

1.2. Identifique as coordenadas dos pontos B, C, E e H.

Nota: No caso de não ter resolvido a alínea 1.1., considere BF̅̅̅̅ = 8 cm .

BF̅̅ ̅̅

2 = 3 ; Assim, B(3; 3 ; −3) ; C(−3; 3 ; −3) ; E(3;− 3 ; 3) ; H(−3; −3 ; 3) .

1.3. Mostre que 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 −9

2 = 0 é uma equação do plano mediador de [OB] .

(Ou 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 6 = 0 no caso de ter usado a BF̅̅̅̅ = 8 cm ).

Seja P(x; y; z) um ponto genérico do plano mediador de [OB] .

Uma equação desse plano é (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 0)2 = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 3)2 + (𝑧 + 3)2

⇔⏟casos notáveis

𝑥2 +𝑦2+ 𝑧2 = 𝑥2 −6𝑥+9 + 𝑦2−6𝑦+9 + 𝑧2 +6𝑧+ 9

⇔ 6𝑥 + 6𝑦 − 6𝑧 − 27 = 0 ⇔⏟dividindo por 6

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 −9

2 = 0 c.q.m.

1.4. Considere no referencial (O, i ⃗ , j ⃗ , k ⃗⃗ ) o vetor u ⃗⃗⃗ = 2 i ⃗ − 2 j ⃗ + 2 k ⃗⃗ .

Verifique se os vetores u ⃗⃗⃗ e EC⃗⃗ ⃗⃗ são colineares.

O vetor u ⃗⃗⃗ tem coordenadas u ⃗⃗⃗ (2; −2; 2) .

As coordenadas do vetor EC⃗⃗ ⃗⃗ são EC⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐶 − 𝐸 = (−3; 3 ; −3) − (3;− 3 ; 3) = (−6; 6; −6) .

EC⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑘 × u ⃗⃗⃗ , 𝑘 ≠ 0 ⇔ (−6; 6; −6) = (2𝑘;−2𝑘; 2𝑘) ⇔ {−6 = 2𝑘 6 = −2𝑘 −6 = 2𝑘

⇔ {𝑘 = −3 𝑘 = −3 𝑘 = −3

∴ EC⃗⃗ ⃗⃗ = −3u ⃗⃗⃗

Logo os vetores EC⃗⃗ ⃗⃗ 𝑒 u ⃗⃗⃗ são colineares .

1.5. Determine A + (BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ − ED⃗⃗⃗⃗ ⃗) usando as letras da figura.

A soma de um ponto com um vetor é um ponto e a adição de dois vetores é um vetor.

Por observação da figura, A + (BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ − ED⃗⃗⃗⃗ ⃗) =⏟vetores simétricos

A + (BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ + DE⃗⃗⃗⃗ ⃗) =⏟

DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CF⃗⃗⃗⃗ ⃗

A + (BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ + CF⃗⃗⃗⃗ )

=⏟adição de vetores

A + BF⃗⃗ ⃗⃗ =⏟BF⃗⃗⃗⃗ ⃗=AE⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

A + AE⃗⃗⃗⃗ ⃗ =⏟soma de ponto com vetor

E

2. Identifique o centro e o raio da circunferência definida por: 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 12𝑦 = 3 .

2𝑥 ÷ 2 = 1 𝑥 𝑒 12𝑦 ÷ 2 = 6 𝑦

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 12𝑦 = 3 ⇔ 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 + 12𝑦 = 3

⇔ 𝑥2 − 2𝑥 + 12⏟ =(𝑥−1)2

+ 𝑦2 + 12𝑦 + 62⏟ =(𝑦+6)2

= 3 + 12 + 62⏟ =40

⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 6)2 = 40

circunferência de centro 𝐶(1;−6) e 𝑟𝑎𝑖𝑜 = √40 = 2√10

Item

1.1.

1.2.

1. 2. 3. 4. 5. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2. 3.1 3.2 3.3 3.4 4.

Cotação 8 8 8 8 8 15 12 18 15 13 15 15 18 15 12 12

3. Na figura ao lado, está representada, num referencial Oxyz, uma

pirâmide quadrangular regular [ABCDE].

Sabe-se que:

● o ponto A tem coordenadas (−2 ; −2 ; 2);

● o ponto F tem coordenadas (−2 ; 1 ; −1) ;

● o vetor FE⃗⃗⃗⃗ tem coordenadas (−1 ; 2 ; 2).

3.1. Determine as coordenadas dos pontos E e C.

Por observação da figura, E = F + FE⃗⃗⃗⃗ e C = A + 2 AF⃗⃗⃗⃗ ⃗ .

E = F + FE⃗⃗⃗⃗ = (−2 ; 1 ; −1) + (−1 ; 2 ; 2) = (−3 ; 3 ; 1).

AF⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = F−A = (−2 ; 1 ; −1) − (−2 ; −2 ; 2) = (0 ; 3 ; −3).

Assim, C = A + 2 AF⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2 ; −2 ; 2) + 2 (0 ; 3 ; −3) = (−2 ; −2 ; 2) + (0 ; 6 ; −6) = (−2 ; 4 ; −4).

3.2. Determine as coordenadas de um vetor v ⃗⃗ colinear a FE⃗⃗⃗⃗ , de sentido oposto a FE⃗⃗⃗⃗ e de norma 5.

Dado que v ⃗⃗ colinear a FE⃗⃗⃗⃗ , podemos escrever v ⃗⃗ = (−1𝑘 ; 2𝑘 ; 2𝑘) , 𝑘 ≠ 0 .

‖v ⃗⃗ ‖ = 5 ⇔ √(−1𝑘)2 + (2𝑘)2 + (2𝑘)2 = 5 ⇔ √𝑘2 + 4𝑘2 + 4𝑘2 = √25 ⇔ 9𝑘2 = 25

𝑘2 =25

9 ⇔ 𝑘 = √

25

9 ∨ 𝑘 = −√

25

9 ⇔ 𝑘 =

5

3 ∨ 𝑘 = −

5

3 .

Assim, v ⃗⃗ = (−1 × (−5

3 ); 2 × (−

5

3 ) ; 2 × (−

5

3 )) = (

5

3 ; −

10

3 ; −

10

3 ).

3.3. Escreva uma condição da superfície esférica de centro no ponto F e que passa em E.

Centro F (−2 ; 1 ; −1)

Raio = ‖FE⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = √(−1)2+ (2)2+ (2)2 = √9 = 3

Assim, a condição da superfície esférica é (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 + 1)2 = 9 .

3.4. Escreva uma equação vetorial da reta FE.

(𝑥; 𝑦; 𝑧) ⏟ ponto genérico

da reta FE

= (−2 ; 1 ; −1)⏟ ponto da reta FE

+ 𝑘 (−1 ; 2 ; 2)⏟

vetorFE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ com a direção

da reta

, 𝑘 ∈ IR.

Item

1.1.

1.2.

1. 2. 3. 4. 5. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2. 3.1 3.2 3.3 3.4 4.

Cotação 8 8 8 8 8 15 12 18 15 13 15 15 18 15 12 12

4. No referencial o.n. Oxy da figura está um

trapézio retângulo [ABCD].

P e Q são os pontos médios de [AD] e

[DC] , respetivamente.

Mostre que AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2 PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ , utilizando operações com vetores e conclua sobre a posição relativa dos segmentos de

reta [AC] e [PQ].

AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⏟adição de vetores

AD⃗⃗⃗⃗ ⃗ + DC⃗⃗⃗⃗ ⃗ =⏟P e Q são

pontos médios

2 PD⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 2 DQ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ⏟colocar o fator 2 em evidência

2 (PD⃗⃗⃗⃗ ⃗ + DQ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ) = ⏟adição de vetores

2 PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ c.q.m.

Assim, os segmentos de reta [AC] e [PQ] são estritamente paralelos.

FIM

Bom trabalho.

A professora: Aurora Santos

ÁREAS e PERÍMETROS

Área Paralelogramo = alturabase

Área losango = 2

nordiagonalmeiordiagonalma

Área trapézio= alturabasemenorbasemaior

2

Área polígono regular = apótema

perímetro

2

Área círculo = 2

r , sendo r - o raio

Superfície Esférica = 2

4 r , sendo r - o raio

Perímetro círculo = 2 π r, sendo r - o raio

VOLUMES

Volume prismas e cilindros = Área da base altura

Volume pirâmides = 3

1Área da base altura

Volume cones = 3

1Área da base altura

Volume esfera = 3

3

4r

,

sendo r - o raio

ÁLGEBRA

Fórmula resolvente de uma equação do 2º grau na forma: