CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues

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INTEGRAIS DEFINIDAS Seja f(x) uma função definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicado pelo símbolo:

∫b

adxxf )( , onde:

a é o limite inferior de integração b é o limite superior de integração f(x) é o integrando QUESTÕES Questão 01 Calcular:

a) ∫1

0dxx b) ∫

bdxx

0 c) ∫

2

1

2 dxx d) ∫π4

0cos dxx

Questão 02 Calcular:

a) ∫ +1

0)42( dxx b) ∫−

+−1

1

2 )1( dxxx c) ∫ ++1

0

2 )32( dxxx

d) ∫ −

1

0 21

1dx

x e) ∫

edx

x

x0

ln f) ∫ +

1

01 dxx

g) ∫−

2

1

4 dxx h) ∫16

1 x

dx i) ∫

27

8

3 dxx j) ∫ −14

13

10)13( dxx

Questão 03 Calcule o valor de cada integral definida:

a) ∫− +3

2

3

123x

dx b) ∫ +

1

0)32( dxx c) ∫−

0

1

67 dxx

d) ∫4

1dxx e) ∫ +

2

014 dxx f) ∫−

+2

1

2)1( dxx

g) ∫ −a

a ax

dxx3

2 222 )( h) ∫ +

b

bx

dxx2

0 22 i)∫ −

1

0

2 )( dxxx

j) ∫−−+

2

1)2)(1( dxxx k) ∫ −

adxxxa

0

32 )( l) ∫ +1

0

9)1( dxx

m) ∫ −b

dxxb0

2)( n) ∫ −1

0

22 )1( dxxx o) ∫

+2

1

21

dxx

x

p) ∫ −+−1

0

2

3

65dx

x

xx q) ∫− +

2

1 24

3dx

x

x r) ∫−

+⋅

2

2

12

2

3 dxexx

t) ∫π

⋅2

0

2 cos dxxxsen u) ∫π

π ⋅3

4

23 sec dxxxtg v) ∫ −8,0

2,0 21dx

x

x

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2

2xy =xy 3=

x

y

9

3

a)

−2 2

y

x

8

28 xy −=

b)

2xy =

CÁLCULO DE ÁREAS Questão 01 Calcular a área limitada por: a) 22 xxy −= e o eixo x, acima do eixo x

b) 2xy = e xy −= 2 c) xseny = e o eixo x, para π≤≤ x0 Questão 02 Calcule a área limitada por: a) 2xy = e o eixo x, para 30 ≤≤ x

b) 2xy = e 22 xxy −=

c) 24 xxy −= e o eixo x, acima do eixo x

d) 2xy = e 21

2

xy

+=

e) xxy 22 += e xy −=

f) 2xy = e xy = Questão 03 Calcule a área limitada por:

a) xy cos= e o eixo x, 2

0π≤≤ x b) xy cos= e o eixo x, π≤≤ x0

c) x

y1= e o eixo x, 41 ≤≤ x d) xy = e 3xy = , 20 ≤≤ x

Questão 04 Calcule a área da região indicada na figura:

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3

a) 24)( xxxf −=

y

x

b)

y

x

2)( xxf =

3

Questão 05 Calcule a área sob as funções f(x):

y

x 2

1

xey =

c)

d) y

2 x

xey −=

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4

c)

xxf

1)( =

y

x 1 e

Questão 06 Calcule a área limitada pela intersecção das funções xxf =)( e 68)( 2 −+−= xxxg . Questão 07 Ache a área limitada pela curva 23 3xxy += , pelo eixo x e pelas retas 0=x e 2=x . Questão 08 Ache a área limitada pela curva 422 −= xyx , pelo eixo x e pelas retas 2=x e 4=x . Questão 09 Ache a área no primeiro quadrante limitada pelo eixo x e pela curva 326 xxxy −+= . Questão 10 Ache a área total entre a parábola xxy 42 −= , o eixo x e a reta 2−=x . Questão 11 Ache a área limitada pela curva 322 xxxy −+= , pelo eixo x e pelas retas 1−=x e

1=x . Questão 12 Ache a área limitada pelas curvas 2xy = e xy = . Questão 13 Ache a área limitada pelas curvas 3xy = e 22xy = .

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CÁLCULO DE VOLUME Questão 01 A região entre a curva xy = , 40 ≤≤ x e o eixo x gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine seu volume. Questão 02 Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por xy = e pelas retas 2=y e 0=x , em torno do eixo y. Questão 03 Determine o volume do sólido obtido com a rotação em torno da reta 1=y , da região

definida por xy = e pelas retas 1=y e 4=x . Questão 04 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a cur-

va xy = de 0 a 1. Questão 05 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por 3xy = , 8=y e

0=x ao redor do eixo y. Questão 06 A região R limitada pelas curvas xy = e 2xy = é girada ao redor do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante. Questão 07 Ache o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região entre

xy = e 2xy = . Questão 08 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor da reta 2=y , da região entre

xy = e 2xy = . Questão 09 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor da reta 1−=x entre xy = e

2xy = . Questão 10 Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região

compreendida entre o eixo y e a curva y

x2= , 41 ≤≤ y .

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Questão 11 Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta 3=x , da região compreendida entre a parábola 12 += yx e a reta 3=x . Questão 12 A região compreendida entre a parábola 2xy = e a reta xy 2= no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido. Questão 13 A região limitada pela curva 12 += xy e pela reta 3+−= xy gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume desse sólido. Questão 14 Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo x.

Questão 15 Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo y.

y

x 2

1

y

x 3

2