Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral ?· 66 Utilizar a integral definida para calcular áreas,…

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    Disciplina: Clculo Diferencial e Integral II Professor: Eduardo Gonalves dos Santos

    Curso de Licenciatura em Matemtica UFPBVIRTUAL eduardo@mat.ufpb.br

    Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br

    Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br Site do curso www.mat.ufpb.br/ead

    Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

    Carga horria: 60 horas Crditos: 04 Ementa

    Derivadas e Integrais. Descrio

    Esta disciplina consiste de uma continuao do estudo das derivadas iniciado no curso de Clculo Diferencial e Integral I, bem como de uma apresentao ao conceito de integral. O programa da disciplina est dividido em cinco unidades. Na primeira ampliaremos o nosso leque de regras de derivao, atravs de um aprofundamento no estudo da regra da cadeia que possibilitar a derivao de funes compostas, bem como de funes dadas na forma implcita e de funes inversas. A segunda unidade aborda algumas aplicaes da derivada, destacando-se a aquelas relativas ao estudo do comportamento de uma funo no que se refere a mximos, mnimos, crescimento, decrescimento e concavidades. A terceira unidade introduz os conceitos de integral definida e primitiva, relacionando-os atravs do chamado Teorema Fundamental do Clculo. A quarta unidade faz um estudo sobre algumas tcnicas para a determinao de primitivas. Na quinta unidade sero dadas algumas aplicaes geomtricas da integral definida, como o clculo de reas, volumes e comprimentos de arcos. Tambm durante a quarta unidade ser feito um rpido estudo sobre o sistema de coordenadas polares.

    As idias presentes neste curso so bastante antigas e sobre elas vrios homens de cincia dedicaram boa parte de suas carreiras nos mais variados perodos da histria da humanidade. Dentre eles, podemos citar Arquimedes de Siracusa, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Pierre Fermat, Augustin Cauchy, Joseph-Louis Lagrange, Julius Dedekind, Bernhard Riemann e Karl Weierstrass.

    Esse ramo da Matemtica, conhecido em um contexto mais avanado como Anlise Matemtica, despertou paixes, causou crises e, logicamente, promoveu o avano do conhecimento humano. O seu estudo, alm de enriquecedor no sentido da aquisio pura e simples do conhecimento, til e importante na formao do futuro professor uma vez que proporciona uma forte ligao entre conceitos de aspectos puramente tericos a situaes das mais variadas naturezas. Objetivos

    Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado a:

    Compreender o funcionamento da regra da cadeia e utiliz-la no clculo de derivadas de funes dadas tanto na forma explcita quanto na forma implcita.

    Compreender a interpretao dada derivada de uma funo como sendo uma velocidade e utiliz-la na resoluo de diversos problemas.

    Estudar o comportamento de uma funo no que diz respeito a pontos extremos, concavidade e comportamento no infinito.

    Esboar com rigor o grfico das principais funes.

    Compreender o significado da integral definida e relacion-lo com o conceito de primitiva.

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    Utilizar a integral definida para calcular reas, volumes e comprimentos de arco em alguns casos.

    Ler, interpretar e comunicar idias matemticas.

    Unidades Temticas Integradas

    Unidade I Regras de Derivao

    Derivada da funo composta Derivada de funes dadas na forma implcita Derivada da funo inversa Derivadas de algumas funes inversas

    Unidade II Interpretando e Utilizando a Derivada

    Taxas de variao Crescimento e decrescimento Mximos e mnimos locais Mximos e mnimos globais Concavidade e pontos de inflexo Esboo de grficos O Teorema do valor mdio

    Unidade III Integral Definida e Primitivas

    Motivao inicial: o problema da rea Integral definida: definio e propriedades Primitivas O teorema fundamental do clculo

    Unidade IV Algumas Tcnicas para se Encontrar Primitivas

    Integrao por substituio Integrao por partes Substituies trigonomtricas O mtodo das fraes parciais

    Unidade V Aplicaes Geomtricas da Integral Definida

    Clculo de reas O sistema de coordenadas polares Comprimentos de arcos Volumes de slidos de revoluo

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    Unidade I: Regras de Derivao

    1. - Situando a Temtica No curso de Clculo Diferencial e Integral I tivemos a oportunidade de definir e interpretar

    geometricamente um objeto bastante importante na matemtica que a derivada de uma funo. Vimos que para obt-la existem algumas regras que evitam o uso da definio e tornam seu clculo bastante simplificado. Nesta unidade ampliaremos o estudo da Regra da Cadeia o que nos permitir derivar uma quantidade considervel de funes.

    Alm disso, utilizaremos a referida regra para obter a derivada de funes dadas na forma implcita e a derivada da inversa de algumas funes.

    2. - Problematizando a Temtica

    As primeiras regras de derivao que foram estudadas em Clculo Diferencial e Integral I no eram

    suficientes para derivar uma quantidade importante de funes como determinados tipos de funes compostas. Para tratar desse problema, tornou-se necessria a introduo de uma nova regra, conhecida como Regra da Cadeia. Aqui vamos explorar este tema de uma forma mais profunda.

    3. - Conhecendo a Temtica 3.1. - Derivada da Funo Composta

    No curso de Matemtica para o Ensino Bsico II tomamos contato com uma situao que permitia obter

    uma nova funo a partir de duas outras. Mais especificamente, dadas :f A B e :g B C funes, definimos a funo :h A C pela frmula ( ) ( )( )h x g f x= . A funo h chamada de funo composta de g e f e denotada por .g f Estamos interessados aqui em obter uma frmula que fornea a derivada da funo h a partir das derivadas de f e .g Com esse objetivo em mente vamos analisar o seguinte exemplo:

    Exemplo 3.1.1. Considere a funo ( ) ( )22 3h x x= + e vamos tentar obter sua derivada. O nosso impulso inicial desenvolver o quadrado do binmio. Fazendo isso ficamos com:

    ( ) 24 12 9.h x x x= + + Agora usamos a regra de derivao de polinmios e vemos que:

    ( )' 8 12.h x x= + Aqui h algo que simplificou bastante essa tarefa: o expoente do binmio pequeno, o que permitiu que ns o desenvolvssemos. Se o expoente fosse, por exemplo, 20, tal desenvolvimento, apesar de possvel, seria bastante laborioso e o clculo da derivada tornar-se-ia bastante penoso. Imagine o caso em que o expoente 100.

    A situao discutida no Exemplo 3.1.1. nos mostra ser necessrio o conhecimento de uma nova regra de derivao que permita derivar funes como aquela que l foi discutida. Essa nova regra ser chamada Regra da Cadeia pelo fato de que as derivadas sero executadas como num processo em cadeia, em seqncia. Vamos revisitar o Exemplo 3.1.1. a fim de que possamos ter uma pista acerca do funcionamento da dita regra. Exemplo 3.1.1 (Revisitado). Em primeiro lugar vamos encarar h como uma funo composta. De fato, se fizermos ( ) 2g x x= e ( ) 2 3f x x= + ento vemos que ( ) ( )( ).h x g f x= Agora perceba que:

    ( ) ( )' 8 12 2 2 3 2.h x x x= + = +

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    Mas veja que ( )' 2g x x= , ( )' 2f x = e ( )( ) ( )' 2 2 3 .g f x x= + Portanto olhando para a expresso de ( )'h x obtida antes vemos que:

    ( ) ( )( ) ( )' ' ' .h x g f x f x= A concluso obtida na nova visita que fizemos ao Exemplo 3.1.1. nos d uma pista sobre o aspecto da Regra da Cadeia. Ela sugere que a derivada da funo composta obtida multiplicando as derivadas das funes envolvidas, mas com uma ressalva: nesse produto a derivada da funo g est calculada no ponto ( )f x . Em termos mais precisos podemos enunci-la assim. Regra da Cadeia: Se ( ) ( )( )h x g f x= e f e g so funes derivveis ento

    ( ) ( )( ) ( )' ' ' .h x g f x f x= A demonstrao da Regra da Cadeia ficar postergada para o curso de Introduo Anlise. Aqui vamos explorar o seu poder para derivar funes mais complexas. Veremos agora diversos exemplos. Exemplo 3.1.2. Calcule a derivada das seguintes funes:

    a. ( ) ( )20082 3h x x= + b. ( )52

    2

    3 42 1x xh xx

    += +

    c. ( )22 1

    5 3xh xx

    + = + d. ( ) 3 23 5 6h x x x x= + +

    Vejamos a letra (a). Temos que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( ) 2 3f x x= + e ( ) 2008.g x x= Como ( )' 2f x = e

    ( ) 2007' 2008 ,g x x= segue pela regra da cadeia que: ( ) ( ) ( )2007 2007' 2008 2 3 2 4016 2 3 .h x x x= + = +

    Vejamos a letra (b). Aqui vamos precisar lembrar a regra de derivao do quociente. Em primeiro lugar temos

    ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( )2

    2

    3 42 1x xf xx+

    =+

    e ( ) 5g x x= . Note que:

    ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

    2 2 2

    2 22 2

    2 1 6 4 3 4 4 6 4 8'2 1 2 1

    x x x x x x xf xx x

    + + + + = =

    + +

    e que ( ) 4' 5 .g x x= Assim, pela regra da cadeia, podemos dizer que:

    ( )( )

    ( ) ( )( )

    44 2 22 2

    2 62 2 2

    5 3 4 6 4 83 4 6 4 8' 52 1 2 1 2 1

    x x x xx x x xh xx x x

    + + + + = = + + +

    .

    Passemos letra (c). Temos que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( ) 2 15 3

    xf xx+

    =+

    e ( ) 2.g x x= Agora note que

    ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

    2 5 3 5 2 1 1'5 3 5 3

    x xf x

    x x

    + += =

    + + e que ( ) 3

    2'g xx

    = . Portanto

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    ( )( )

    ( )( )3 2 32 5 32 1'

    2 1 5 3 2 15 3

    xh x

    x x xx

    += =

    + + + +

    .

    Finalmente, vejamos a letra (d). Note que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( )g x x= e ( ) 3 23 5 6f x x x x= + + . Como ( ) 1'

    2g x

    x= e ( ) 2' 9 10 6f x x x= + + , temos que

    ( ) ( )2

    2

    2 2 2 2

    1 9 10 6' 9 10 62 3 5 6 2 3 5 6

    x xh x x xx x x x x x

    + += + + =

    + + + +