INTEGRAL DEFINIDA

Nice Maria Americano da Costa

A ferramenta da integral definida que estudaremos envolve um dos conceitos mais fundamentais da Análise Matemática. Ela surge a partir da noção de somas integrais.

Nosso ponto de partida é o cálculo de áreas sob curvas de funções. Suponhamos que é dada uma função f(x), contínua no intervalo [a,b], mostrada no gráfico. Desejamos calcular a área delimitada por esta curva no intervalo.

A NOÇÃO DE SOMAS INTEGRAIS

Aproximadamente, poderíamos dividir o intervalo [a,b] em pequenos segmentos e construirmos retângulos sob a curva e somar as suas áreas.

0 1 2

0 1 2

1 0 1 2 1 2

, , ,....

....

, ....

n

n

a x x x x b

x x x x

x x x x x x

X0=a Xn=bx1 x2 x3 Xn-1

m

M

Sejam, em cada pequeno intervalo [xi, xi+1], mi e Mi o menor valor e o maior valor da função no intervalo. Então

Correspondem à área do retângulo menor, neste intervalo, e à área do retângulo maior no mesmo intervalo, respectivamente. Construamos então duas somas dessas áreas:

Essas somas são chamadas de somas integrais inferior e superior, respectivamente. Temos ainda que vale:

i i

i i

m x

M x

mi

Mi

1 1 1 1 2 2

1 1 1 1 2 2

...

...n n n

n n n

s m x m x m x m x

S M x M x M x M x

n ns S

ix

*

Note que ( )m b a

representa a área do retângulo construído com o menor valor da função, em todo o intervalo [a,b].

( )M b a

representa a área do retângulo construído com o maior valor da função, em todo o intervalo [a,b].

x3 Xn-1X0=a Xn=bx1 x2

m

M

e que

Vemos que

( )

( )n

n

s m b a

S M b a

Podemos escrever então:

( ) ( )n nm b a s S M b a

Ou seja: a área construída com o retângulo formado pelo tamanho do intervalo e o maior valor da função é maior que a soma integral superior, que, por sua vez, é maior que a soma integral inferior, que, por sua vez, é maior que área construída com o retângulo formado pelo menor valor da função e o tamanho do intervalo.

A INTEGRAL DEFINIDA

X0=a Xn=b

Mas sob a curva a área é delimitada pela própria curva, pelo eixo x e pelas retas x=a e x=b. Se considerarmos cada pequeno intervalo nos quais subdividimos o intervalo inteiro, a área sob este pequeno pedaço da curva será igualmente delimitada pela curva, o eixo x e as retas x=xi e x=xi+1.

Xi xi+1

Tomemos agora um ponto intermediário,x=i em cada subintervalo [xi,xi+1] e construamos a área do retângulo formado por f(i ) e pelo tamanho do subintervalo, xi.

( )i if x

Somemos essas áreas assim formadas:

int 1 1 2 2 3 3

int1

( ) ( ) ( ) ... ( )

( )

n n

n

i ii

S f x f x f x f x

S f x

Sint é a soma integral da função f(x) no intervalo [a,b]. Como mi f(i)Mi, teremos:

( )i i i i i im x f x M x

Somando sobre todos os subintervalos, teremos finalmente

1 1 1

int

( )n n n

i i i i i ii i i

n n

m x f x M x

s S S

max 01

lim ( ) ( )i

bn

i ix

i a

f x f x dx

Se agora, calculamos o limite de Sint, quando o maior xi→0 e esse limite existe, dizemos que esse limite é a integral definida de f(x)

Vemos então que a integral definida de uma função num intervalo [a,b] corresponde à área sob a curva, da figura trapezoidal curvilínea, compreendida entre o eixo x e as retas x=a e x=b

X0=a Xn=b

( )b

a

f x dx

Na expressão simbólica da integral definida

a é o limite inferior da integração, b o limite superior da integração, o intervalo [a,b] é o intervalo de integração e x é a variável de integração

Se f(x) é contínua sobre um intervalo [a,b] ela é integrável neste intervalo.

A integral definida de f(x) depende dos limites de integração mas não da variável de integração. Podemos então escrever, de forma indiferente:

( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x dx f t dt f z dz

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

1.Trocando os limites de integração, a integral muda de sinal:

Exemplo:

cos cosb a

a b

xdx xdx 2.Pode-se retirar um fator constante de dentro do sinal de integração;

( ) ( )b b

a a

cf x dx c f x dx Demonstração:

max 0 max 01 1

( ) lim ( ) lim ( ) ( )i i

b bn n

i i i ix x

i ia a

cf x dx cf x x c f x x c f x dx

3.A integral definida da soma de duas funções é igual à soma das integrais definidas das mesmas funções

( ( ) ( )) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

Demonstração:

max 0 max 0 max 01 1

( ( ) ( )) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( )i i i

i i i

b b bn n

i i i i i i i i ix x x

i ia a a

f x g x dx f x g x x f x x g x x f x dx g x dx

4.Se no intervalo [a,b], as funções f(x) e (x) satisfazem à condição f(x) (x), então, tem-se

( ( ) ( )b b

a a

f x dx x dx

max 01

( ( ) ( )) lim ( ) ( )i

i

b n

i i ix

ia

x f x dx x f x x

Demonstração:

( ) ( )

, ( ) ( ) 0

Se

x f x

entao x f x

0ix e

( ( ) ( )) 0

( ) ( )

b

a

b b

a a

x f x dx

x dx f x dx

Temos, então

5.Sendo m e M, respectivamente, o menor e o maior valor da função no intervalo [a,b], então, tem-se

( ) ( ) ( )b

a

m b a f x dx M b a Demonstração:

Por hipótese, no intervalo [a,b], tem-se

( )m f x M

Pela propriedade anterior

( )

( ) ( ) ( )

b b b

a a a

b

a

mdx f x dx Mdx

m b a f x dx M b a

*

Teorema da Média. A função f(x) seno continua no intervalo [a,b], existe um ponto , tal que se tem:

( ) ( )( )b

a

f x dx f b a Demonstração:

Considerando que, respectivamente, m e M são o menor valor e o maior valor de f(x) no intervalo, teremos:

1( )

( )

b

a

m f x dx Mb a

Considerando que o resultado da integral é um número, designemos esse por . Temos então

m M

Como a função é contínua no intervalo, haverá um valor de f(x) igual ; isto é, um ponto , ab, tal que f()= (o valor médio da função no intervalo).

( ) ( ) ( )( )b

a

f x dx b a f b a

1( )

( )

b

a

f x dxb a

com

Propriedade 6. a,b e c sendo três números arbitrários, ter-se-á:

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

a bc x

INTEGRAL DEFINIDA: Fórmula de Newton-Leibniz

Considerando que, para a integral ( )b

a

f x dx , o limite de integração inferior seja fixo,a.

Variemos o limite superior, b, e calculemos, sucessivas integrais de f(x). Os resultados, portanto dependerão de b. Podemos então trocar a variável de integração por t. Então

( ) ( )x

a

f t dt x

xa

(x) é portanto igual à área subtendida pelo trecho da curva entre a e x, o eixo t e as retas t=a e t=x.

t

Teorema. Sendo f(x) uma função contínua e se colocamos ( ) ( )x

a

f t dt x então

( ) ( )x f x Demonstração:

( ) ( )x

a

x f t dt Se então ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

x x x x x

a a x

x x x x x x

a x a x

x x

x

x x f t dt f t dt f t dt

x x x

f t dt f t dt f t dt f t dt

f t dt

Aplicando o teorema da média,temos

0 0

0

( )

( )

lim lim ( ) ( )

lim ( )

( ) ( )

x x

x

f x

fx

f f xx

xx

x f x

Teorema Fundamental . Se F(x) é uma primitiva de f(x) então

( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a Demonstração:

Seja F(x) uma primitiva de f(x). Pelo teorema anterior, (x) é também uma primitiva de f(x). Mas,

( ) ( )x

a

x f t dt Além disso, duas primitivas de uma mesma função diferem por uma constante. Então:

( ) ( )x

a

f t dt F x C Determinemos C, calculando a integral para x=a:

( ) ( )a

a

f t dt F a C Mas

( ) 0a

a

f t dt 0 ( )

( )

F a C

C F a

( ) ( ) ( )x

a

f t dt F x F a

Coloquemos então x=b

( ) ( ) ( )b

a

f t dt F b F a

Esta é a fórmula de Newton Leibniz

( ) ( ) ( ) ( )b

ba

a

f x dx F b F a F x

CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA PELA DEFINIÇÃO

f(a)

a b

f(b)

x1x2

x3

int0

1

( ) lim limb b n

i ix n

a a

f x dx cxdx c x S

b ax

n

1

2

3 2

...

( 1)n

a

a x

a x

a n x

int 1 1 2 2

int

int

int

...

( 2 ) ... ( ( 1) )

( ( 2 ... ( 1) )

( (1 2 ... ( 1)) )

n nS c x c x c x

S ca x c a x x c a n x x

S c na x x n x x

S c na n x x

Mas,( 1)

1 2 3 ....( 1)2

n nn

int

int

int

int

2 2

( (1 2 ... ( 1)) )

( 1)( )

2

( 1)( )

2( 1)

( )( )2

( 1) ( )( )lim ( )( )

2 2 2

1lim 1

n

n

S c na n x x

n nS c na x x

mas

b ax

nn n b a b a

S c nan n

n n b aS c a b a

n

n n b a b a b a b ac a b a c c

npois

n

n

01

lim ( )b n

ix

a

kdx k x k b a

1

limn

in

x b a

a b

k

x1x2

x3

( )b b

a a

f x dx kdx

( ) ( ) ( ) ( )b

bà

a

f x dx F b F a F x Exemplos usando fórmula Newton-Leiniz

2 2 21 1

2 2

bba

a

kxdx kx k b a

0

0

2 2 2 cos cos0 4senxdx cox

2

20

0

2 2 2 cos 2 cos0 0senxdx cox

2

2 2 0 20

0

1x xe dx e e e e

1 1 11 1( 1)

1 1

bn n b n n

a

a

x dx x b a nn n

Teorema (Mudança de variável) . Seja dada a integral

( )b

a

f x dxonde f(x) é contínua no intervalo [a,b]. Introduzamos a variável t, por ( )x t

Se ( )

( )

a

b

e, ainda, se (t) ´(t) são contínuas no intervalo [ ], e também f[(t)] é definida e contínua no intervalo [ ], então

( ) [ ( )] ( )b

a

f x dx f t t dt

Demonstração: se F(x) é uma primitiva de f(x), podemos escrever:

( ) ( )

[ ( )] ( ) [ ( )]

f x dx F x C

f t t dt F t C

( ) [ ( )] ( )b

a

f x dx f t t dt

Da primeira podemos escrever

( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a

[ ( )] ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( )f t t dt F F F b F a

Da segunda podemos escrever

Sabemos que( )uv u v v u

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Integrando entre x=a e x=b, teremos

( )b b b

a a a

uv dx u vdx v udx Mas,

( ) ( )uv dx d uv ( ) ( )uv dx d uv uv C Então

( )b

ba

a

uv dx uv

,u dx du v dx dv

b bbà

a a

b bba

a a

uv udv vdu

udv uv vdu

, e

EXTENSÃO DA NOÇÃO DE INTEGRAL

Integrais com limites de integração infinitos

a b

Definição. Se o limite lim ( )b

ba

f x dx

existe, ele será representado por

( )a

f x dx

Por definição, então ( ) lim ( )b

ba a

f x dx f x dx

e diz-se que a integral converge.

( ) lim ( )b b

aa

f x dx f x dx

( )b

a

f x dx

0

0

00

Calcule

1

lim 1 1

x

b bx x b b

b

b

e dx

e dx e e e e

e