MAT146 - Cálculo I - Integral Definida 141/2017-II/slides/08 integral (integral... · MAT146 - C alculo I - Integral De nida Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson

MAT146 - Calculo I - Integral Definida

Alexandre Miranda AlvesAnderson Tiago da Silva

Edson Jose Teixeira

MAT146 - Calculo I - Integral Definida UFV

Somas Finitas

Neste ponto introduzimos a nocao de somatoria. Quando queremosexpressar uma soma com muitos termos, de forma compacta, usamos aseguinte notacao

m∑i=n

ai = an + an+1 + . . .+ am−1 + am,

ondem e chamado limite superior da somatorian e chamado limite inferior da somatoriai e chamado ındice da somatoria (pode-se usar qualquer letra)ai e chamado formula para o i−esimo termo.


Exemplos

Exemplo (1)

5∑k=1

k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Exemplo (2)

3∑k=−2

k

k2 + 1=−2

5+−1

2+

0

1+

1

2+

2

5+

3

10=

3

10


Propriedades Algebricas

Teorema (1)Seja k uma constante. Entao

(a)m∑i=1

k = m.k

(b)m∑i=n

(kai + bi ) = km∑i=n

ai +m∑i=n

bi

(c)m∑i=n

ai =

m+j∑i=n+j

ai−j

(d)m∑i=1

(ai − ai−1) = am − a0.


Demonstracao: Faremos somente a prova do item 4.

m∑i=1

(ai − ai−1) =m∑i=1

ai −m∑i=1

ai−1

=m−1∑i=1

(ai + am)−m−1∑i=1−1

(a[(i+1)−1]

)=

m−1∑i=1

ai + am −m−1∑i=0

ai

=m−1∑i=1

ai + am −

(a0 +

m−1∑i=1

ai

)= am − a0.


Teorema (2)Seja n um inteiro positivo, entao

(a)n∑

i=1

i =n(n + 1)

2.

(b)n∑

i=1

i2 =n(n + 1)(2n + 1)

6.

(c)n∑

i=1

i3 =n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n − 1)

30.


Demonstracao: Faremos somente a prova do item (a).Note que

n∑i=1

i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ (n − 2) + (n − 1) + n

n∑i=1

i = n + (n − 1) + (n − 2) + · · ·+ 3 + 2 + 1.

Somando os primeiros termos de cada igualdade obtemos

2n∑

i=1

i .

Somando os segundos termos de cada igualdade obtemos

(n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) soma de n parcelas.


Daı

2n∑

i=1

i = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) = n(n + 1).

Portanton∑

i=1

i =n(n + 1)

2.

�


Medida de Area

O nosso objetivo agora e definir a medida da area de uma regiao plana,como a figura R dada abaixo. A palavra medida refere-se a um numeroassociado a area, sem unidades. Deixamos a palavra medicao paraexpressar um numero associado a area usando unidades (cm2, m2, etc).Considere uma regiao planar R limitada pelo eixo-x , pelas retas x = a ex = b e por uma funcao contınua f , onde f (x) > 0 para todo x ∈ [a, b](veja figura abaixo).

x

y

a b

Regiao R

f

Figura :


Para atribuir um numero a area da regiao R fazemos o seguinte:

Primeiramente particionamos o intervalo [a, b] em n subintervalos. Emtermos mais precisos, uma particao do intervalo [a, b], em n subintervalos,e um conjunto

P = {x0, x1, . . . , xn−1, xn}.

ondex0 = a, xn = b

x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn.

Os pontos x0, x1, · · · , xn nao sao necessariamente equidistantes. Obtemosassim n subintervalos, [x0, x1], [x1, x2], · · · , [xn−1, xn].


x

y

a = x0 b = x6x1 x2 x3 x4 x5

Regiao R

f

Figura : Particao do intervalo [a, b] em seis subintervalos.


Denotamos por∆ix = xi − xi−1

o comprimento do i-esimo intervalo [xi−1, xi ]. A norma da particao P edefinida como o maior de todos os comprimentos dos subintervalo, ou seja,

||P|| = max1≤i≤n

{∆ix}.

x

x0 x6x1 x2 x3 x4 x5

∆3x

Figura : Note que, na particao da figura acima, ||P|| = ∆3x .


Voltando a definicao da area da regiao R, dividimos o intervalo [a, b] emn subintervalos de comprimentos iguais, ou seja, a norma da particao sera

||P|| =b − a

n,

que denotamos no momento por ∆x . Como f e contınua em [a, b], oTeorema do Valor Extremo ( de Weirstrass ) nos diz que f possui ummınimo absoluto em cada subintervalo [xi−1, xi ]. Denotamos o ponto demınimo por ci , assim f (ci ) sera o valor mınimo em [xi−1, xi ]. Consideremosagora n retangulos sob o grafico de f , cada um com comprimento ∆x ealtura f (ci ) (veja na figura abaixo).


x

y

kkkkkk︸︷︷︸∆x

x0 x1 x2 x3 x4 x5c1

f (c1)

Regiao R f

Figura :


Coloque

Sn =n∑

i=1

f (ci )∆x .

Note que Sn e a soma das areas dos n retangulos sob o grafico de f . Noteque a area da regiao R e menor (ou no maximo igual) que Sn, ou seja,

A(R) ≥ Sn.

Quando aumentamos o numero de retangulos, a diferenca A(R) − Sn

diminui. Observe as figuras abaixo.


x

y

a b

R0

Figura : Observe a diferenca da area da regiao R menos a area do retangulo R0.

x

y

a b

R1 R2

Figura : Observe a area da regiao R menos a soma das areas dos retangulos R1

e R2.


Definicao de area

Definicao (1)Suponha que a funcao f seja contınua no intervalo [a, b], com f (x) ≥ 0para todo x ∈ [a, b]. Seja R a regiao limitada pelo eixo-x , pelas retasx = a e x = b e pela curva y = f (x). Subdividindo o intervalo [a, b] emn subintervalos, usando a notacao acima, a medida da area da regiao Rsera dada por

A(R) = limn→∞

n∑i=1

f (ci )∆x .

A definicao acima diz que, quanto maior for a quantidade de retangulosinscritos na regiao R, menor sera a diferenca entre a area da regiao R e asoma das areas dos retangulos.


Exemplo (3)Encontre a area da regiao delimitada pela curva y = x2, pelas retasx = 0, x = 3 e pelo eixo-x . Veja a figura abaixo.

x

y

0 3kkkkkk︸︷︷︸∆x

xi−1 xi


Solucao: Note que

∆x =3− 0

n=

3

n.

A funcao f e crescente em [0, 3], portanto, o valor mınimo absoluto def em cada subintervalo [xi−1, xi ], e f (xi−1). Note que xi−1 = (i − 1)∆x ,logo f (xi−1) = ((i − 1)∆x)2, entao

A = limn→∞

n∑i=1

f (ci )∆x

= limn→∞

n∑i=1

((i − 1)∆x)2∆x

= limn→∞

n∑i=1

(i − 1)2(∆x)3.


Mas

n∑i=1

(i − 1)2(∆x)3 =n∑

i=1

(i − 1)2(3

n)3

=27

n3

n∑i=1

(i − 1)2

=27

n3

(n∑

i=1

i2 − 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1

)

=27

n3

(n(n + 1)(2n + 1)

6− 2

n(n + 1)

2+ n

)=

27

n3

(2n3 + 3n2 + n − 6n2 − 6n + 6n

6

)=

9

2

(2n2 − 3n + 1

n2

).


Segue que

A = limn→∞

n∑i=1

f (ci )∆x

= limn→∞

9

2

(2n2 − 3n + 1

n2

)=

9

2(2− 0 + 0) = 9.

Portanto, a area da regiao R e 9 unidades quadradas.


A Integral definida

Seja f uma funcao definida no intervalo [a, b] e seja P uma particao desseintervalo. Note que nao exigimos que os subintervalos [xi−1, xi ], associadosa particao P, tenham o mesmo comprimento. Em cada subintervalo[xi−1, xi ] escolhemos um ponto ξi , ou seja, ξ1 ∈ [x0, x1], · · · , ξn ∈[xn−1, xn]. Assim, obtemos a soma

n∑i=1

f (ξi )∆ix .

Esta soma e chamada Soma de Riemann, devido ao matematico GeorgF. B. Riemann (1826-1866).

A interpretacao geometrica da soma de Riemann e a soma das medidasdas areas dos retangulos que estao acima do eixo-x com os negativos dasmedidas das areas dos retangulos que estao baixo do eixo-x . Veja figuraabaixo.


x

y

0 ξ1 ξ2 ξ3

ξ4 ξ5

ξ6

R1 R2

R3

R4R5

R6

Figura : A soma de Riemann aqui seria R1 + R2 + R3 − R4 − R5 + R6.


Definicao (2)Seja f uma funcao real tal que o intervalo [a, b] esta contido no domıniode f . A funcao f e integravel em [a, b] se satisfazer a condicao: existeum numero L tal que, para todo ε > 0 dado, existe um δ > 0 tal que,para toda particao P para a qual ||P|| < δ, com ξi ∈ [xi−1, xi ],i = 1, 2, · · · , n tem-se ∣∣∣∣∣

n∑i=1

f (ξi )∆ix − L

∣∣∣∣∣ < ε.

Neste caso escrevemos

lim||P||→0

n∑i=1

f (ξi )∆ix = L. (1)


Figura : Soma Inferior


Figura : Soma Superior


ObservacaoNa definicao acima, existe uma infinidade de escolhas para os numeros ξi .Este aspecto torna diferente o processo de limite em (1). De qualquerforma, o limite e unico, o que pode ser mostrado de maneira similar aoque foi feito no caso de limites da forma lim

x→af (x).

Definicao (3)Seja f uma funcao real tal que o intervalo [a, b] esta contido no domınio

de f . A integral definida de f de a ate b, denotada por

∫ b

a

f (x)dx e

dada por ∫ b

a

f (x)dx = lim||P||→0

n∑i=1

f (ξi )∆ix ,

se o limite existir.


Notacao

∫ b

a

f (x)︸︷︷︸integrando

dx

a limite inferior de integracao

b limite superior de integracao


Funcoes integraveis e nao integraveis

Nem todas as funcoes reais definidas em um intervalo fechado [a, b] saointegraveis. Como um exemplo podemos citar a funcao f : [0, 1] → Rdefinida por

f (x) =

{1

xse x 6= 0

0 se x = 0.

Observe que a funcao f e descontınua em x = 0, alem disso, note que

limx→0+

f (x) =∞.


1 x

y

0

Figura : Pode-se mostrar que a area sob o grafico da funcao f e infinita, logonao existe a integral.


O seguinte teorema estabelece uma condicao suficiente de integrabilidade.

Teorema (3)Se uma funcao f : [a, b]→ R for contınua, entao ela e integravel.

Demonstracao: A demonstracao do teorema acima foge ao escopo dessasnotas.


Voltando ao calculo de areas

Seja f uma funcao real e contınua em [a, b]. A definicao (1), que define aarea de uma regiao plana, estabelece que

A(R) = limn→∞

n∑i=1

f (ci )∆x .

Note que o limite acima e um caso particular do limite na definicao deintegral ∫ b

a

f (x)dx = lim||P||→0

n∑i=1

f (ξi )∆ix .

De fato, basta notar que os ci sao os pontos onde f atinge o mınimoabsoluto no intervalo [xi−1, xi ]. Ja os ξi sao numeros quaisquer nessemesmo intervalo.


No caso da definicao (1), temos que todos os subintervalos [xi−1, xi ] temo mesmo tamanho, ou seja, ∆ix = ||P||, para todo i = 1, · · · , n, onde||P|| e norma da particao P associada ao intervalo [a, b]. Coloque

∆x = ||P||.

Temos que,

∆x =b − a

ne n =

b − a

∆x.

Daı,lim

n→∞∆x = 0 ⇔ lim

∆x→0n =∞.

Assim, ∫ b

a

f (x)dx = lim∆x→0

n∑i=1

f (ξi )∆ix

= limn→∞

n∑i=1

f (ξi )∆x . (2)


Como f e contınua, o limite (2), dado acima, vale para qualquerξi ∈ [xi−1, xi ], portanto, vale em particular quando ξi = ci para todoi = 1, · · · , n. Isto nos leva a seguinte definicao

Definicao (4)Suponha que a funcao f seja contınua no intervalo [a, b], com f (x) ≥ 0para todo x ∈ [a, b]. Seja R a regiao limitada pelo eixo-x , pelas retasx = a e x = b e pela curva y = f (x). Entao, a medida da area da regiaoR sera dada por

A(R) = lim∆x→0

n∑i=1

f (ξi )∆ix =

∫ b

a

f (x)dx .


Observacao

Quando f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], a integral definida

∫ b

a

f (x)dx

pode ser interpretada geometricamente como a medida da area da regiaoR.


Exemplo (4)

Encontre o valor da integral definida

∫ 3

1

x2dx .

Solucao:Note que f e contınua, logo a integral existe. Consideremos uma particaoregular do intervalo [1, 3] em n partes, ou seja, ∆x = 2

n . Escolhamos osξi ’s como os extremos superiores dos subintervalos, isto e,

ξ1 = 1 +2

n, ξ2 = 1 + 2.

2

n, · · · , ξn = 1 + n.− 2

n.

Assim

f (ξi ) =

(1 + i .

2

n

)2

=

(n + 2i

n

)2

.


Entao∫ 3

1

x2dx = limn→∞

n∑i=1

f (ξi )∆x = limn→∞

n∑i=1

(n + 2i

n

)22

n

= limn→∞

2

n3

n∑i=1

(n2 + 4ni + 4i2)

= limn→∞

2

n3

[n2

n∑i=1

1 + 4nn∑

i=1

i + 4n∑

i=1

i2

]

= limn→∞

2

n3

[n2n + 4n

n(n + 1)

2+ 4

n(n + 1)(2n + 1)

6

]= lim

n→∞

2

n3

[3n3 + 2n2 +

2n(2n2 + 3n + 1)

3

]= lim

n→∞

[6 +

4

n+

8n2 + 12n + 4

3n2

]= 6 + 0 +

8

3+ 0 + 0 =

26

3.


Geometricamente, como f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [1, 3], o resultado acima

diz que a regiao R, mostrada na figura abaixo, tem26

3unidades quadradas

de area.

1 2 3 4

x

5

10y

0

R

Figura :MAT146 - Calculo I - Integral Definida UFV

Propriedades da integral definida

Apresentaremos a seguir, algumas propriedades da integral definida, quefacilitam o uso da mesma.

Teorema (4)Sejam f e g funcoes integraveis no intervalo [a, b] e k uma constantequalquer. Entao

(a)

∫ b

a

f (x)dx = −∫ a

b

f (x)dx

(b)

∫ a

a

f (x)dx = 0

(c)

∫ b

a

(kf (x)± g(x))dx = k

∫ b

a

f (x)dx ±∫ b

a

g(x)dx .


Teorema (5)Sejam f e g funcoes integraveis no intervalo [a, b]. Se f (x) ≥ g(x) paratodo x ∈ [a, b], entao ∫ b

a

f (x)dx ≥∫ b

a

g(x)dx .

Teorema (6)Seja f integravel no intervalo [a, b]. Se c , d , e ∈ [a, b] entao∫ e

c

f (x)dx =

∫ d

c

f (x)dx +

∫ e

d

f (x)dx ,

nao importando a ordem dos numeros c , d e e.


Teorema (6)Seja f contınua no intervalo [a, b]. Se m e M forem, respectivamente, osvalores mınimo e maximo absolutos de f em [a, b], isto e,

m ≤ f (x) ≤ M, para todo x ∈ [a, b].

Entao,

m(b − a) ≤∫ b

a

f (x)dx ≤ M(b − a).


Teorema (7)Seja k uma constante qualquer. Entao∫ b

a

kdx = k(b − a).

Demonstracao: Temos

∫ b

a

kdx = lim||P||→0

n∑i=1

k︷︸︸︷f (ξi ) ∆ix = lim

||P||→0

n∑i=1

k∆ix

= k

lim||P||→0

b−a︷︸︸︷n∑

i=1

∆ix

= k

(lim||P||→0

(b − a)

)= k(b − a).

�


Exemplos

Exemplo (5)Calcule ∫ 2

−1

5dx .

Solucao:Pelo Teorema (7) temos∫ 2

−1

5dx = 5(2− (−1)) = 5.3 = 15


Exemplo (6)

Suponha que

∫ −3

4

xdx =7

2. Calcule

∫ 4

−3

(2x − 7)dx .

Solucao:

∫ 4

−3

(2x + 7)dx =

∫ 4

−3

2xdx +

∫ 4

−3

7dx

= 2

∫ 4

−3

xdx + 7

∫ 4

−3

dx

= 2.−7

2+ 7(4− (−3)) = −7 + 49 = 42.


Exemplo (7)Encontre um intervalo fechado que contenha o valor de∫ 2

−2

(x3 − 3x + 7)dx .

Solucao:O integrando e f (x) = x3 − 3x + 7. Note que os pontos crıticos def ′(x) = 3x2 − 3, sao x = −1 e x = 1. A funcao f tem um valor maximorelativo em x = −1 e um valor mınimo relativo em x = 1 (verifique!).Calculamos agora os valore de f nos extremos do intervalo [−2, 2] e nosnumeros crıticos.

f (−2) = 5, f (2) = 9, f (−1) = 9, f (1) = 5.


Segue que f possui valor maximo absoluto em x = −1 e valor mınimoabsoluto em x = 1, em relacao ao intervalo [−2, 2]. Pelo Teorema (6),tem-se

5(2− (−2)) ≤∫ 2

−2

(x3 − 3x + 7)dx ≤ 9(2− (−2))

⇓

20 ≤∫ 2

−2

(x3 − 3x + 7)dx ≤ 36.

Portanto, o valor da integral definida acima, esta contida no intervalofechado [20, 36].


Exemplo (8)

Mostre que o valor de

∫ 1

0

√1 + cos(x)dx e menor que

√2.

Solucao:Note que cos(x) ≤ 1 para todo x ∈ R, portanto,

√1 + cos(x) ≤

√2.

Mais ainda, o valor maximo de√

1 + cos(x) em [0, 1] e√

2. PeloTeorema (6), temos que∫ 1

0

√1 + cos(x)dx ≤

√2(1− 0) =

√2.


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