1

Faculdade de Cincias e Tecnologia

da

Universidade Nova de Lisboa

EXERCCIOS RESOLVIDOS de SINAIS e SISTEMAS para a CADEIRA de

TEORIA DE SINAIS

por

Cesaltina Morgado

(Prof. da Escola Nutica Infante D. Henrique)

e

Manuel Duarte Ortigueira

(Prof. Auxiliar com Agregao do DEE da FCT da UNL)

Julho de 2004

2

II. INTRODUO AOS SINAIS E SISTEMAS

1 - Faa a representao grfica dos seguintes sinais. Tome como referncia o sinal discreto x[ ]n da figura 1.

a) y[ ]n = x[ ]n b) y[ ]n = x[ ]2n c) y[ ]n = x[ ]n -1 d) y[ ]n = x[ ]2n +2

-6 -4 -2 0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

n

x[n]

fig.1

-6 -4 -2 0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

n

y[n]=x[-n]

Fig.2Representao grfica do sinal discreto x[ ]n .

Soluo: a) Neste caso o sinal x[ ]n foi rodado no tempo para dar o sinal x[ ]n .

3

b) Neste caso, o sinal x[ ]2n foi obtido de x[ ]n efectuando saltos de 2 unidades no tempo, conforme se mostra na figura 3.

-6 -4 -2 0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

n

y[n]=x[2n]

Fig.3Representao grfica do sinal discreto x[ ]2n . c) O sinal x[ ]n - 1 obtido do sinal discreto x[ ]n , efectuando em 1 lugar a operao de inverso

no tempo e em 2 lugar a operao de deslocamento no tempo de 1 unidades para a direita.

-6 -4 -2 0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

n

y[n]=x[-n+1]

Fig.4Representao grfica do sinal discreto x[ ]n + 1 .

d) Neste caso, vamos resolver o problema por um segundo mtodo. Vamos considerar sinais do tipo y[ ]n =x[ ]an + b . Para representar estes sinais devemos efectuar a sua decomposio em dois, seguindo as seguintes regras:

1 Efectuar a translao no tempo; 2Efectuar a mudana de escala. No nosso caso, efectuamos a seguinte decomposio: 1 y1[ ]n =x[ ]n + 2 2 y2[ ]n =y1[ ]2n =x[ ]2n - 2

4

O resultado final est representado na figura seguinte.

-8 -6 -4 -2 0 2 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4

n

y[n]=x[2n+2]

Fig.5Representao grfica do sinal discreto x[ ]2n - 2 .

Note que, se tivssemos aplicado este mtodo de resoluo na alnea c) teramos chegado ao mesmo resultado apresentado na figura 4.

2 - Determine se os sistemas definidos pelas relaes seguintes so ou no invariantes no tempo: a) y[ ]n = x[ ]n x[ ]n 1 b) y( )t = t x( )t c) y[ ]n = x[ ]n d) y( )t = x( )t cos( )ot

Soluo: a) Este sistema est descrito pela seguinte relao entrada-sada: y[ ]n = [ ]x[ ]n = x[ ]n x[ ]n 1

Se a entrada for atrasada de k unidades no tempo e aplicada ao sistema, a sada vir igual a: y1[ ]n = [ ]x[ ]n k = x[ ]n k x[ ]n k 1

Por outro lado, se a sada y[ ]n for atrasada de k unidades no tempo, temos que: y2[ ]n = y[ ] n k = x[ ]n k x[ ]n k 1

Uma vez que os resultados de y1[ ]n e y2[ ]n so idnticos, isto , y1[ ]n = y2[ ]n , conclumos que o sistema invariante no tempo.

b) Este sistema descrito pela relao entrada-sada: y[ ]n = [ ]x[ ]n = x[ ]n

A resposta do sistema entrada x[ ]n k igual a: y1[ ]n = [ ]x[ ]n k = x[ ] n k

Se a sada y[ ]n for atrasada de k unidades no tempo, temos que: y2[ ]n = y[ ] n k = x[ ]n + k

5

Como y1[ ]n y2[ ]n , conclumos que o sistema variante no tempo.

3 - Determine se os sistemas descritos pelas seguintes relaes de entrada-sada so lineares ou no lineares.

a) y[n]=nx[n] b) y[ ]n = x[ ]n2 c) y( )n = x2( )n

Soluo: a) Para as entradas x1( )t e x2( )t , as correspondentes sadas so:

y1( )t = t x1( )t y2( )t = t x2( )t

A combinao linear dos dois sinais de entrada, resulta na sada: y3( )t = [ ]a x1( )t + b x2( )t = t[ ]a x1( )t + b x2( )t = a t x1( )t + b t x2( )t

Por outro lado, a combinao linear dos dois sinais de sada y1( )t e y2( )t , resulta no sinal: y4( )t = a y1( )t + b y2( )t = a t x1( )t + b t x2( )t

Como y3( )t = y4( )t , conclumos que o sistema linear. b) Procedendo de forma similar ao exemplo anterior, as sadas correspondentes aos sinais de

entradas x1[ ]n e x2[ ]n so: y1[ ]n = x1[ ]n2 y2[ ]n = x2[ ]n2

A combinao linear dos dois sinais de entrada, resulta na sada: y3[ ]n = [ ]a x1[ ]n + b x2[ ]n = a x1[ ]n2 + b x2[ ]n2 Por outro lado, a combinao linear dos dois sinais de sada y1[ ]n e y2[ ]n , resulta no sinal: y4[ ]n = a y1[ ]n + b y2[ ]n = a x1[ ]n2 + b x2[ ]n2

Como y3[ ]n = y4[ ]n , conclumos que o sistema linear.

c) As respostas do sistema aos sinais de entrada x1( )t e x2( )t so: y1( )t = x12( )t y2( )t = x22( )t

A combinao linear dos dois sinais de entrada, resulta na sada: y3( )t = [ ]a x1( )t + b x2( )t = [ ]a x1( )t + b x2( )t 2 = a2 x12( )t + 2ab x1( )t x2( )t + b2 x22( )t

Por outro lado, a combinao linear dos dois sinais de sada y1( )t e y2( )t , resulta no sinal: y4( )t = a y1( )t + b y2( )t = a x12( )t + b x22( )t

Como y3( )t y4( )t , conclumos que o sistema no linear.

4 - Determine se os seguintes sistemas so ou no causais. a) y[ ]n = x[ ]n x[ ]n 1

6

b) y[ ]n = k=

n

x[ ]k

c) y[ ]n = x[ ]n + 3 x[ ]n + 4 d) y[ ]n = x[ ]n2

Soluo: O sistemas descritos nas alneas a), b), e c) so causais, porque as sadas dependem apenas das entradas presentes e passadas. Por outro lado, os sistemas das alneas d), e), e f) so no causais, porque as sadas dependem dos valores futuros da entrada. O sistema da alnea g) no causal: por exemplo, se seleccionarmos o instante t = 1, temos para a sada y( )1 = x( )1 . Assim, a sada no instante t = 1, depende da entrada no instante futuro t =1.

5 - Determine a resposta dos seguintes sistemas ao sinal de entrada

a) x[ ]n = | |n 3 n 30 c.c

b) y[ ]n = x[ ]n c) y[ ]n = x[ ]n 1 d) y[ ]n = x[ ]n + 1 e) y[ ]n = 1/2[ ]x[ ]n 1 + x[ ]n + x[ ]n 1

Soluo: Na figura seguinte est representado o sinal x[ ]n .

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

x[n]

6 - Representao grfica do sinal discreto x[ ]n =| |n , 3 n 3. Este sinal pode ainda ser representado por: x[ ]n =

, 0, 3, 2, 1,

0 , 1, 2, 3, 0, 0,

Neste caso, a sada exactamente igual entrada. Tal sistema denomina-se sistema identidade. Este sistema atrasa a entrada de uma amostra. Assim, a sua sada dada por: x[ ]n =

, 0, 3, 2,

1 , 0, 1, 2, 3, 0, 0,

Neste caso o sistema avana a entrada de uma amostra. Por exemplo, o valor da sada no instante n = 0 y[ ]0 = x[ ]1 . A resposta do sistema ao sinal de entrada igual a: x[ ]n =

, 0, 3, 2, 1, 0,

1 , 2, 3, 0, 0,

7

A sada deste sistema, em qualquer instante, igual ao valor mdio da amostra anterior, actual e posterior. Por exemplo, a sada no instante n = 0, :

y[ ]0 = 12[ ]x[ ]1 + x[ ]0 + x[ ]1 = 12 ( )1 + 0 + 1 =

23

Repetindo este clculo para todo o valor de n obtemos o seguinte sinal de sada:

x[ ]n =

, 0, 1, 5/3, 2, 1,

32 , 1, 2, 5/3, 1, 0,

8

III. ANLISE DE SINAIS E SISTEMAS NO DOMNIO DO TEMPO

7 - Determine a convoluo entre os seguintes sinais discretos:

a) x[ ]n =

1 0n4

0 c.c h[ ]n =

(2/3)n 0n6

0 c.c

b) x[ ]n = (1.2)n u[ ]n m[ ]n = u[ ]n

Soluo: Para calcular a convoluo entre 2 sinais discretos x[ ]n e h[ ]n , vamos aplicar o resultado:

y[ ]n =x[ ]n *h[ ]n = k=

+ x[ ]k h[ ]n-k

com base nos seguintes passos: 1 Efectuar a inverso no tempo do sinal h[ ]k : obtemos h[ ]k 2 Deslocar h[ ]k de n1: obtemos h[ ]k + n1 3 Multiplicar x[ ]k por h[ ]k + n1 e somar: obtemos y[ ]n1 4 Repetir os passos anteriores, fazendo variar n de a +: obtemos y[ ]n .

Note que a operao de convoluo goza da propriedade comutativa, isto : y[ ]n = x[ ]n *h[ ]n = h[ ]n *x[ ]n

Vejamos o exemplo da alnea a): 1 Situao: Para n

9

y[ ]n = k=0

n

(2/3)k = 1(2/3)n+1

1 (2/3) = 3( )1(2/3)n+1

Fig.2Representao grfica dos sinais factores da convoluo y[ ]n = x[ ]n *h[ ]n = h[ ]n *x[ ]n , 0n4.

3 Situao:

Para n6 n-4>0, isto , 4

10

Fig.3Representao grfica dos sinais factores da convoluo y[ ]n = x[ ]n *h[ ]n , 46, ou seja 610, no h interseco (ver figura 5). Deste modo: y[ ]n = 0.

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.81 h[k]

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1x[n-k]

kn -4+n 0

k

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.81 h[k]

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1 x[n-k]

-4+n 0

k

n k

11

Fig.5Representao grfica dos sinais factores da convoluo y[ ]n = x[ ]n *h[ ]n , n>10.

1 Situao: Para n

12

-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

x[k]

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1 m[n-k]

0

k

kn

Fig.7Representao grfica dos sinais factores da convoluo y[ ]n = x[ ]n *h[ ]n , n0 .

8 - Determine a resposta impulsional da associao em srie de dois sistemas LIT tendo como repostas impulsivas:

h1[ ]n = 1

2n u[ ]n e h2[ ]n =

1

4n u[ ]n

Soluo: Para determinar a resposta impulsional global dos dois sistemas ligados em srie, efectuamos a convoluo de h1[ ]n com h2[ ]n . Deste modo, obtemos:

h[ ]n = h1[ ]n *h2[ ]n = k=

+ h1[ ]k h2[ ]n-k

onde h2[ ]n invertido e deslocado no tempo, como referido no problema anterior.

1 Situao: Para n < 0, temos que h[ ]n = 0.

2 Situao: Para n 0, temos que:

h[ ]n = k=

+ h1[ ]k h2[ ]n-k =

k=0

+

( )1/2 k( )1/4 n-k = ( )1/4 n k=0

+

2k = ( )1/4 n ( )2n+1 1 = ( )1/2 n [ ]2 ( )1/2 n

9 - Calcule a sequncia de autocorrelao do sinal x[ ]n = an u[ ]n , 0 < a

13

O mtodo de resoluo idntico ao da convoluo. Neste caso, o sinal no invertido no tempo, apenas deslocado de uma quantidade n.

1 Situao: Para n < 0, vem que (ver figura 8):

Rx[ ]n = k= 0

+

ak ak n = an k= 0

+

( )a2 k = an1 a2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.81

x[k]

k

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x[k-n]0

0 n k

n

14

Note que quando n negativo, an = a| |n . Deste modo, as 2 equaes anteriores podem ser combinadas na seguinte expresso:

Rx[ ]n = a| |n

1 a2 < n <

10 - Determine a resposta de um sistema LIT discreto com resposta impulsional h[ ]n = ( )1/2 n u[ ]n ao sinal de entrada x[ ]n = ej pi n/2, - < n < .

Soluo: A resposta de um SLIT , no domnio do tempo, dada por:

y[ ]n = x[ ]n *h[ ]n = k=

+x[ ]k h[ ]n k (1)

Ento, podemos observar que a resposta do sistema ao sinal de entrada: x[ ]n = ejo n (2) igual a: y[ ]n = x[ ]n H( )o (3)

onde,

H( )o = k= -

h[ ]k e-j o k (4)

a transformada de Fourier da resposta impulsional h[ ]n do sistema calculada frequncia o. Na resoluo do problema proposto, iremos aplicar a expresso (3), vindo: y[ ]n = ej on H( )o (5) onde, o = pi/2. Da equao (4), obtemos:

Hpi

2 = k= 0

1

2 k

e-j pi k/2 = k= 0

1

2 e-j pi /2 k

ou ainda:

H( )pi/2 = 1 1 -

12 e

- j pi/2 = 1

1 + j 12 =

2 5

e- j 26.6o

Substituindo este resultado na equao (5), resulta: y[ ]n =

2

5 e- j 26.6

o ej pi n/2

11 - Determine a resposta de um SLIT com resposta impulsional h[ ]n = ( )1/2 n u[ ]n ao sinal de entrada: x[ ]n = cos( )pi n , - < n <

Soluo: Vamos considerar x[ ]n = cos( )on . Decompondo em sinais exponenciais complexos, teremos:

15

x[ ]n = cos( )o = ej on

+ e-j on2 = x1[ ]n + x2[ ]n (6)

Procedendo de forma idntica do exerccio anterior, poderemos mostrar que:

y[ ]n = | |H( )o cos( )on + ( )o (7) Note que:

H( )o = | |H( )o e j( )o

Particularizando estes resultados para os dados do problema, resulta que:

o = pi

x[ ]n = cos( )pin y[ ]n = | |H( )pi cos( )pi n + ( )pi (8) Da equao (4), determinamos:

H( )o = k= 0

1

2 ej o k

=

1

1 12 e

j o H( )pi = 1

1 - 12 e

-j pi = 1

1+ 1/2 = 23

Desta forma, vir para (8), que:

y[ ]n = 23 cos( )pin , - < n <

16

IV. REPRESENTAO DE SINAIS PERIDICOS POR SRIES DE FOURIER 12 - Determine o espectro dos sinais seguintes: x[ ]n peridico com perodo N = 4 e x[ ]n = { }1,1,0,0 x[ ]n = cos( )pin/3 x[ ]n = cos( )21/2pin

Soluo: Neste caso, o espectro determinado pela equao:

ck = 1N

n= 0

N-1 x[ ]n e -j k( )2pi/N n k= 0, 1, 2, , N-1

onde N o perodo fundamental do sinal x[ ]n . Temos, ento, que:

ck = 14

n= 0

3 x[ ]n e -j k( )2pi/N n

=

14

n= 0

1 e -j k( )2pi/N n = 14 ( )1 + e -j pik/2 com k= 0, 1, 2, 3

ou ainda:

co = 12 c1 =

14 ( )1 - j c2 = 0 c3 =

14 ( )1 + j

Na figura seguinte esto representados os espectros de amplitude e de fase deste sinal.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

k

|ck|

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-50

0

50

k

angu

lo em

gr

aus

fig.b)

fig.a)

Fig.4Representao grfica do espectro do sinal x[ ]n peridico: a) Espectro de amplitude | |ck (no topo); b) Espectro de fase ( )ck (em baixo).

Neste caso, mais simples decompor x[ ]n em exponenciais complexas da forma: x[ ]n = cos( )2pin/6 = 12 ( )ej 2pin/6 + e-j 2pin/6 e comparar com a srie de Fourier (DTFS):

17

x[ ]n = k= N

ck e j k( )2pi/N n

= k= N=6

ck e j k( )2pi/6 n

Deste modo, obtemos os seguintes coeficientes ck:

c-1 =

12 c1 =

12

Note que os ck so tambm peridicos com perodo N=6. Deste modo, podemos notar que:

c-1 = c-1+6 = c5 =

12

c1 = c1+ 6 = c7 = 12

etc.

Na figura 5 est representado o espectro de frequncias do sinal. Repare que o espectro do sinal x[ ]n = cos( )2pin/6 coincide com o seu espectro de amplitude, tendo simetria par em torno da origem. O espectro de fase zero.

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k

ck

Fig.5 Espectro do sinal peridico x[ ]n = cos( )2pin/6 .

Neste caso, o sinal x[ ]n = cos( )21/2pin no sendo peridico, no tem representao em sries de Fourier.

18

V. TRANSFORMADA DE FOURIER DE SINAIS APERIDICOS A TEMPO DISCRETO

13 - Considere o sinal discreto seguinte:

x[ ]n = an u[ ]n , | |a

19

Ex = n=

+

| |x[ ]n 2 = n=0

+

| |a 2n = 11 | |a 2n

20

Aplicando de seguida o seguinte resultado em (1):

TFDT{ }ej o = k=

+2pi( ) o 2pik (ver tabela de Transformadas de Fourier)

Obteremos que:

X( ) =TFDT{ }x( )n = k=

+

pi [ ]( ) o 2pik + ( ) + o 2pik Repare que o sinal peridico de perodo 2pi.

16 - Considere um SLIT discreto com resposta impulsional h[ ]n = 1

3n u[ ]n .

Determine a resposta em frequncia do sistema.

Determine a resposta do sistema ao sinal de entrada x[ ]n = 1

2n u[ ]n .

Soluo:

H( ) = TFDT{ }h[ ]n = n=

+

h[ ]n ejn = n=0

+

( )1/3 n ejn

H( ) = 11

1

3 ej

Nota: Este resultado pode tambm ser obtido directamente atravs da tabela de Transformadas de Fourier.

Atravs da propriedade da convoluo pode obter-se para a resposta de um SLIT discreto, que:

y[ ]n = h[ ]n * x[ ]n TF Y( ) = H( ) .X( ) (1)

Vamos determinar a transformada de Fourier de x[ ]n e substituir na equao (1) o resultado.

X( ) = TFDT{ }x[ ]n = n=

+

x[ ]n ejn = n=0

+

( )1/2 n ejn = 11

1

2 ej

Deste modo, teremos que:

Y( ) = H( ) .X( ) = 1

1

1

3 ej

.

1

1

2 ej (2)

Aplicando o mtodo dos resduos na equao (2), poderemos ainda obter: Y( ) = H( ) .X( ) = A

1 1

3 ej +

B

1 1

2 ej (3)

onde:

A =

1

1 1

2 ej

e-j =3 = 2 B =

1

1 1

3 ej

e-j =2 = 3

Finalmente determinamos a transformada de Fourier inversa de (3) (ver tabela de transformadas de Fourier): y[ ]n = -2

1

3n u[ ]n + 3

1

2n u[ ]n

21

17 - Considere o SLIT discreto descrito pela equao:

y[ ]n 34 y[ ]n 1 + 18 y[ ]n 2 = 2x[ ]n (1)

Determine: a) a resposta impulsional do sistema. b) a resposta do sistema ao sinal de entrada x[ ]n =

1

4n u[ ]n

Soluo: Para determinarmos a resposta impulsional do sistema, h[ ]n , vamos calcular a transformada de Fourier inversa de H( ) .

Reescrevendo (1), no domnio da frequncia (ver propriedade do deslocamento no tempo para sinais discretos), obtemos: Y( ) 1

34e

j +

18e

j2 = 2 X( )

ou, ainda:

H( ) = Y( ) X( ) =

2

1 34 e

j +

18 e

j2 = 2

1

12e

j

1

14e

j

Aplicando o mtodo dos resduos:

H( ) = 21

34 e

j +

18 e

j2 = 2

1

12e

j

1

14e

j = 4

1 12e

j 2

1 14e

j (2)

A transformada de Fourier inversa de (2) (consultar tabelas de Transformada de Fourier), dada por: h[ ]n = 4

1

2n u[ ]n 2

1

4n u[ ]n

Atravs da propriedade da convoluo pode obter-se para a resposta de um SLIT discreto, que:

y[ ]n = h[ ]n * x[ ]n TF Y( ) = H( ) .X( ) (1)

Determinando a TFDT de x[ ]n , obtemos:

X( ) = TFDT{ }x[ ]n = n=

+

x[ ]n ejn = n=0

+

( )1/4 n ejn = 11

1

4 ej

Substituindo este resultado na equao (1), vir que: Y( ) = 2

1

12e

j

1

14e

j 2

Aplicando o mtodo dos resduos, obtemos:

Y( ) = 8 1

12e

j 4

1 14e

j 2

1

14e

j 2

O clculo da transformada de Fourier inversa deste resultado (ver tabela de transformadas de Fourier), d:

y[ ]n = 81

2n u[ ]n 4

1

4n u[ ]n 2( )n + 1

1

4n u[ ]n

22

23

VI. TRANSFORMADA Z

18 - Determine a transformada z do sinal x[ ]n = 1

2n u[ ]n .

Soluo: Aplicando a definio de transformada z, vem que:

X( )z = n=

+

x[ ]n zn = n=0

+

( )1/2 nzn = n=0

+

( )1/2 .z1 n

Para que X( )z seja convergente necessrio que

X( )z = n=0

+

1

2 z1 n

<

A regio de convergncia (ROC) contm o intervalo de valores de Z para os quais

1

2 z1 n

< 1, isto ,

| |z > 1/2. Neste caso, temos que: X( )z = 1

1 12 z

1 ROC: | |z > 12

Na figura seguinte est representado o diagrama de plos e zeros de X( )z .

Fig.1Diagrama de plos e zeros de X( )z .

19 - Determine a transformada z do sinal x[ ]n = an u[ ]n 1 .

Soluo: Aplicando a definio de transformada z, vem que:

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y Pa

rt

24

X( )z = n=

+

x[ ]n zn = n=

1

anzn

= n=

1

( )az1 n

Fazendo a mudana de varivel m = n na equao anterior, resulta que:

X( )z = m=1

+

( )a1z m = 1 m=0

+

( )a1z m

x[ ]n tem transformada z se | |z a1 < 1, isto , | |z < a. Nestas condies: X( )z = 1 1

1 a1z =

11 az1

=

z

z a ROC: | |z < a

20 - Determine a transformada Z do sinal discreto x[ ]n = an u[ ]n + bn u[ ]n 1 .

Soluo:

Neste exerccio vamos usar a tabelas de transformadas z. A TZ de x[ ]n igual a (aplicando a propriedade da linearidade): X( )z = X1( )z + X2( )z (1)

Das tabelas de TZ podemos obter:

X1( )z = TZ{ }an u[ ]n = 11 az1 ROC1: | |z > | |a (2) X2( )z = TZ{ }bn u[ ]n 1 = 11 bz1 ROC2: | |z < | |b (3)

Substituindo (2) e (3) na equao (1), vem que: X( )z = 1

1 az1

11 bz1

, | |z > | |a e | |z < | |b

A transformada Z de x[ ]n existir para todos os valores de a e b tais que | |a < | |b . Neste caso, a ROC | |a < | |z < | |b . De notar que se | |a | |b , X( )z no existe, porque a interseco das ROCs de X1( )z e X2( )z o conjunto vazio.

21 - Dada a funo de transferncia H( )z = 11 1.5z1 + 0.5 z2

Determine a resposta impulsional do sistema para as seguintes regies de convergncia: a) | |z > 1 b) | |z < 0.5 c) 0.5 < | |z < 1

Soluo: Vamos determinar a expanso em fraces parciais de H( )z . Multiplicando o numerador e denominador por z2, eliminamos as potncia negativas de H( )z . Obtemos:

25

H( )z = z2

z2 1.5z + 0.5

=

z2

( )z 1 ( )z 0.5

Efectuando o desenvolvimento em fraces simples: H( )z

z =

z

( )z 1 ( )z 0.5 = A

z 1 + B

z 0.5 (1)

onde:

A =

z

z 0.5 z =1 = 2 B =

z

z 1 z =0.5 = 1

Podemos ainda rescrever a equao (1), como:

H( )z = 21 z1

11 0.5z1

(2)

Neste caso como a ROC | |z > 1, o sinal h[ ]n causal; logo, ambos os termos de (2) so causais. Consultando a tabela de transformadas z, obtemos para a transformada z inversa de H( )z , que: h[ ]n = 2 ( )1 n u[ ]n ( )0.5 n u[ ]n = [ ]2 ( )0.5 n u[ ]n

Como a ROC | |z < 0.5, o sinal h[ ]n anti-causal. Deste modo, ambos os termos de (2) correspondem a sinais anti-causais.

h[ ]n = TZ 1{ }H( )z = [ ]2 + ( )0.5 n u[ ]n 1 (ver tabela de TZ)

Neste caso, a ROC 0.5 < | |z < 1 uma coroa, o que implica que o sinal bilateral. Assim, o 1 termo de (2) corresponde a um sinal causal e o 2 termo a um sinal anti-causal. Deste modo, obtemos: h[ ]n = 2 ( )1 n u[ ]n 1 ( )0.5 n u[ ]n (ver tabela de TZ)

22 - Um sistema LIT caracterizado pela funo de transferncia

H( )z = 3 4 z1

1 3.5 z1 + 1.5 z2 =

1

1 12 z

1 +

21 3 z1

Especifique a ROC de H( )z e determine h[ ]n para as seguintes condies: a) sistema estvel. b) sistema causal. c) sistema anti-causal.

Soluo: Na figura seguinte est representado o diagrama de plos e zeros de H( )z .

26

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Part

Imag

inar

y Pa

rt

Fig.2Diagrama de plos e zeros de H( )z .

Podemos observar da figura que o sistema tem plos em z = 1/2 e z = 3.

Uma vez que o sistema estvel, a ROC deve incluir o crculo de raio unitrio e por isso 0.5 < | |z < 3. Consequentemente, h[ ]n no causal e dada por (ver tabela de TZ): h[ ]n = TZ{ }H( )z =

12

n u[ ]n 2( )3 n u[ ]n 1

Uma vez que o sistema causal, a ROC | |z > 3. Neste caso (ver tabela de TZ): h[ ]n = TZ{ }H( )z =

12

n u[ ]n + 2( )3 n u[ ]n

Este sistema instvel.

Se o sistema anti-causal, a ROC | |z < 0.5. Por isso (ver tabela de TZ): h[ ]n = TZ{ }H( )z =

12

n + 2( )3 n u[ ]n 1

Neste caso, o sistema instvel.

23 - Determine a resposta do sistema LIT, y[ ]n = 56 y[ ]n 1 16 y[ ]n 2 + x[ ]n , ao sinal de entrada

x[ ]n = [ ]n 13 [ ]n .

Soluo:

y[ ]n 56 y[ ]n 1 + 16 y[ ]n 2 = x[ ]n (1)

Aplicando TZ a ambos os membros de (1) e usando as propriedades da linearidade e do deslocamento no domnio do tempo, obtemos:

Y( )z

1

56 z

1 +

16 z

2 = X( )z

ou:

27

H( )z = Y( )zX( )z = 1

1 56 z

1 +

16 z

2 =

1

1

12 z

1

1

13 z

1 (2)

A transformada z de x[ ]n (ver tabela de TZ): X( )z = TZ{ }x[ ]n = 1 13 z1 (3) Note que, aplicando a propriedade da convoluo resposta do sistema LIT, y[ ]n = h[ ]n *x[ ]n , temos que: Y( )z = H( )z X( )z (4)

E, aps substituir (2) e (3) em (4):

Y( )z = H( )z X( )z = 1

13 z

1

1

12 z

1

1

13 z

1 =

1

1 12 z

1 ROC: | |z > 0.5 (5)

Na equao (5), plo z = 1/3 de H( )z foi cancelado pelo zero, z = 1/3, do sinal de entrada. Deste modo, a resposta do sistema :

y[ ]n = TZ1{ }Y( )z = 12

n u[ ]n

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

y[n]

Fig.3 Representao da resposta do sistema:y[ ]n = ( )1/2 n u[ ]n

24 - Determine a sequncia de autocorrelao do sinal x[ ]n = an u[ ]n , 1< a | |a (sinal causal) e

X( )z1 = 11 az ROC2: | |z > 1| |a (sinal anti-causal)

Substituindo estes resultados na equao (1), resulta que:

28

Rx( )z = 1

1 az1.

11 az ROC1ROC2: | |a < | |z <

1| |a (2)

Dado que ROC deste sinal um anel, rx [ ]n um sinal bilateral, mesmo com x[ ]n causal. Efectuando a decomposio do sinal (2) em 2 fraces e aplicando a transformada z inversa, obtemos: rx [ ]n =

11 a2

a| |n

, < n<

25 - Determine a transformada z do sinal discreto x[ ]n = nan u[ ]n . Soluo: Vamos rescrever o sinal como x[ ]n = nx1[ ]n , onde x1[ ]n = an u[ ]n . Da tabela de TZ, temos que:

X1( )z = TZ{ }an u[ ]n = 11 az1 ROC: | |z > | |a

Aplicando nesta expresso a propriedade da derivao no domnio z:

TZ{ }nx[ ]n = z dX( )zdz obtemos que:

X( )z = TZ{ }nx1[ ]n = z dX1( )zdz = az1

( )1 z1 2 ROC: | |z > | |a

26 - Determine a convoluo x[ ]n dos sinais: x1[ ]n = { }1, 2, 1 x2[ ]n =

1 0 n 50 c.c

Soluo: Calculemos a transformada z de ambos os sinais pela definio:

X( )z = n=

+

x[ ]n zn (1)

Resulta que: X1( )z = 1 2z1 + z2 X2( )z = 1 + z1 + z2 + z3 + z4 + z5

De acordo com a propriedade da convoluo: X( )z = X1( )z X2( )z = 1 z1 z6 + z7

Comparando este resultado com (1), obtemos: x[ ]n = { }1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1

27 - Determine a transformada z unilateral dos seguintes sinais: a) x1[ ]n =

1 , 2, 5, 7, 0, 1

b) x2[ ]n = [ ]n k c) x3[ ]n = [ ]n + k d) x4[ ]n =

1,2,

5 , 7, 0, 1

e) x5[ ]n = x[ ]n 2 onde x[ ]n = an, 1< a

29

Soluo: Vamos aplicar a definio de transformada z unilateral:

X+( )z = n=0

x[ ]n zn

X1+( )z = 1 + 2z1 + 5z2 + 7z3 + z5

X2+( )z = zk

X3+( )z = 0

X4+( )z = 5 + 7z1 + z3

Vamos aplicar a propriedade do deslocamento:

X+( )z = n=0

x[ ]n k zn = zk

X+( )z + n=1

k x[ ] n zn k>0

com k = 2. Iremos obter: X5

+( )z = z2 ( ) X+( )z + x[ ]1 z + x[ ]2 z2 = z2 X+( )z + x[ ]1 z1 + x[ ]2 (1) Uma vez que x[ ]1 = a1, x[ ]2 = a2 e por outro lado:

X+( )z = n=0

x[ ]n zn = n=0

( )az1 n = 11 az1

Vir para a equao (1), que:

X5+( )z = z

2

1 az1 + a1z1 + a2

28 - Determine a resposta ao escalo do sistema y[ ]n = ay[ ]n 1 + x[ ]n , 1< a

30

y[ ]n = an+1 u[ ]n + 1 an + 1

1 a u[ ]n ou, ainda:

y[ ]n = 11 a ( )1 an + 2 u[ ]n

29 - Um sistema LIT causal descrito pela equao y[ ]n = 0.5y[ ]n 1 + x[ ]n + 0.5x[ ]n 1 . Determine:

a) a resposta impulsional do sistema. b) a resposta do sistema ao sinal de entrada x[ ]n = u[ ]n , com y[ ]1 = 0. c) a resposta do sistema ao sinal x[ ]n = cos( )npi/12 u[ ]n com y[ ]1 = 0.

Soluo: Vamos 1 calcular a funo de frequncia H( )z do sistema e depois aplicar-lhe a transformada z inversa: obtemos h[ ]n .

Aplicando TZ a ambos os membros de y[ ]n = 0.5y[ ]n 1 + x[ ]n + 0.5x[ ]n 1 e usando a propriedade do deslocamento, chegamos ao resultado:

H( )z = Y( )zX( )z = 1 + 0.5z1

1 0.5z1 =

z + 0.5z 0.5 ROC: | |z > 0.5

Expandindo H( )z /z em fraces parciais: H( )z

z =

z + 0.5z( )z 0.5 =

1z

+ 2

z 0.5

Multiplicando H( )z /z por z, obtemos: H( )z = 1 + 2z

z 0.5 ROC: | |z > 0.5

Aplicando TZ inversa (ver tabela de TZ), teremos finalmente que: h[ ]n = [ ]n + 2( )0.5 n u[ ]n

A TZ de x[ ]n pode ser determinada por: X( )z = TZ{ }an u[ ]n = 1

1 az1 ROC: | |z > | |a

fazendo a =1.Vamos substituir o resultado na equao Y( )z = H( )z X( )z . Obtemos, que: Y( )z = H( )z X( )z = z + 0.5

z 0.5 z

1 z1 ROC: | |z > 1

Seguindo o procedimento usual para expanso em fraces parciais (no domnio z), temos que: Y( )z

z = H( )z X( )z = z + 0.5

z 0.5 1

1 z1 = 2

z 0.5 + 3

1 z1

e, aps aplicarmos a transformada z inversa (ver tabela de TZ), obtemos: y[ ]n = [ ]2( )0.5 n + 3 u[ ]n

31

Seguindo o mesmo raciocnio da alnea b), obtemos:

Y( )z = H( )z X( )z = z + 0.5z 0.5

z( )z cos( )pi/2z2 2zcos( )pi/2 + 1 =

z + 0.5z 0.5

z( )z 0.966z2 1.932z + 1 ROC: | |z > 1

Nesta situao:

Y( )zz

=

z + 0.5z 0.5

z 0.966z2 1.932z + 1 =

1.641z 0.5 +

1.397ej 0.332z ej 0.262 +

1.397ej 0.332z ej 0.262

e aps multiplicar esta equao por z para dar Y( )z , obtemos para a transformada z inversa (ver tabela TZ):

y[ ]n = [ ]1.641( )0.5 n + 2.794cos( )npi/12 0.332 u[ ]n