1ª Avaliação – 2012/1 - Campus universitário de Sinopsinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_5430... · 4) Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular

UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop

Departamento de Engenharia Civil Disciplina: Cálculo I

Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 1 de 6

1ª Avaliação – 2012/1

1) Determine o limite da expressão:

0

1 12 2lim

x

xx

.

0 0 0 0

2 (2 )1 112 (2 ) 2 (2 )2 2lim lim lim lim

2 (2 )x x x x

x xxx xx

x x x x x

0

1 1 1lim

2 (2 ) 2 (2 0) 4x x

2) Derive a função

2

3 4

1 2

( )2 3x xg x

x x

.

42 2

2

3 4 4

1 2 22

( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3

xx xx x xg x g x g x

x x xx x x

2 3 22 2( ) ( )

2 3 2 3

x x x xg x g x

x x

3 2 3 2

2

2 3 2 2 2 3( )

2 3

d dx x x x x x

dx dxg xx

2 3 2

2

2 3 3 4 2 2( )

2 3

x x x x xg x

x

3 2 2 3 2

2

6 8 9 12 2 4( )

2 3

x x x x x xg x

x

3 2

2

4 13 12( )

2 3

x x xg x

x

2

2

4 13 12( )

2 3

x x xg x

x

3) Calcule a área formada entre os eixos x e y e a reta tangente à curva

3 2y x x x no ponto de coordenadas (1,3) .

2 23 2 1 3 (1) 2 (1) 1 6dy

x x m mdx




0 0( ) 3 6 ( 1) 6 3y y m x x y x y x

‐4

‐3

‐2

‐1

0

1

2

3

4

‐2,0 ‐1,5 ‐1,0 ‐0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Quando 0 3x y e quando 1

02

y x

1 3 32 u.a.

2 2 4

x yA

4) Uma das retas que passam pelo ponto (3,0) e tangenciam a parábola

2y x é o eixo x. Determine a equação da outra reta.

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

(a,a2)

(3,0)

2 2y x y x

No ponto de coordenadas 2( , ) ( ) 2a a m f a a Equação da reta tangente:

2 20 0( ) 2 ( ) 2y y m x x y a a x a y ax a




No ponto de coordenadas (3,0) 0m Equação da reta tangente: 0 2 ( 3) 2 6y a x y ax a Trata-se da mesma reta tangente, portanto:

2 22 2 6 6 6ax a ax a a a a Substituindo, obteremos: 2 6 2 6 6 6 12 36 12( 3)y ax a y x y x y x

5) A função abaixo representa a derivada da função ( )y f x . Trace o gráfico

da função ( )y f x , sabendo que ela passa pelo ponto (0,0) e é contínua.

‐3

‐2

‐1

0

1

2

‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X

0

1

2

3

4

5

‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5 6




6) Determine o limite da expressão 2lim 3 2

xx x x .

2

2 2

2

3 2lim 3 2 lim 3 2

3 2x x

x x xx x x x x x

x x x

2 2

2 2

3 2 3 2lim lim

3 2 3 2x x

x x x x

x x x x x x

222

2 23 3

lim lim3 23 2 11

x x

x xx x

x xx xx xx x

2 2

2 23 3

lim lim3 2 3 21 1 1

x x

x xx x

x x xx x x x

22

2 23 3lim lim

3 23 2 1 11 1x x

xx x

xx xx x

2

23 3 0 3

lim23 2 1 0 0 1

1 1x

x

x x

7) Determine as coordenadas do ponto onde a reta tangente à curva

1

1

xy

x é paralela ao eixo dos x.

2

1 1 1 1

1

d dx x x xdy dx dx

dx x

1 11 1 1

2 1 2 11 1

xx x x

dy dyx xdx x dx x

2 1 1 2 2 1 3

2 1 2 1 2 11 1 1

x x x x xdy dy dyx x xdx x dx x dx x




3 1 3

12 1 2 1 1

dy x dy x

dx x dxx x x

30

2 1 1

dy x

dx x x

Portanto: 3 0 3x x Para 3x , teremos:

1 3 1 4 2 4 2

2 221 3 1 2 2

xy y y y y

x

8) Diferencie a expressão 21xy x y .

21x y x y

1 1 22 2 1x y x y

1 1 1 1 2 22 2 2 2 1

d d d d dx y y x x y y x

dx dx dx dx dx

1 1 1 1 22 2 2 21 1

22 2

dy dyx y y x x y x

dx dx

1 1 1 122 2 2 21 1

22 2

dyx y x xy x y

dx

2 22 2

yx dyx xy

dxy x

22 4

2 2

x x y x xy ydy

dxy x

2

4 2

2 2

x xy y ydy

dx x x x y

2

4

2

xy xy ydy

dx x x xy

9) Determine um polinômio de segundo grau tal que (2) 5P , (2) 3P e

(2) 2P .

2( )P x ax bx c ( ) 2P x ax b ( ) 2P x a




(2) 2 2P a (2) 3 2P ax b 2(2) 5P ax bx c

2 2a 2 3ax b 2 5ax bx c

1a 2 (1) (2) 3b 2(1) (2) ( 1) (2) 5c

3 4b 5 4 2c 1b 3c

Portanto, o polinômio procurado é: 2( ) 3P x x x .

Valores das questões de 1 a 8: 1,0 ponto. Valor da questão 9: 2,0 pontos.





1) Determine o conjunto de valores de x para os quais a função

3 2

( )1

xh x

x é decrescente.

2

1 3 2 3 2 1( ) 0

1

d dx x x x

dx dxh xx

2 2 2

1 3 3 2 1 3 3 3 2 50 0 0

1 1 1

x x x x

x x x

Resposta: Como a derivada primeira é positiva para todo 1x ,

concluímos que não existem valores de x que tornem a função decrescente.

2) Calcule a e b de modo que a função 3 2( )f x x ax b tenha um

extremo relativo em (1,5) . Temos duas condições: (1) 5f e (1) 0f .

3 2( )f x x ax b 2( ) 3 2f x x ax

3 25 (1) (1)a b 20 3 (1) 2 (1)a

4 (I)a b 2 3 0 (II)a

Resolvendo o sistema formado pelas equações (I) e (II), teremos:

32a e 11

2b .

3) Determine dois números positivos cuja soma seja 4 , tal que a soma do

cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima. Menor número: x com 0 2x Maior número: 4 x

3 2(4 )S x x

3 216 8S x x x

3 2 8 16S x x x

23 2 8 0dS

x xdx




23 2 8 0x x

2x 4 ou 3x

Valor de teste ( )f x Conclusão

(0,2) 1 -

43x 0 Mínimo Relativo

(2,4) 3 +

Portanto, os números são 43 e 83 .

4) Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 212.100m .

A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25m na frente, 20m

atrás e 12m em cada lado. Determine a área mínima necessária para a construção deste galpão. Chamando as dimensões do galpão de x e y , onde , 0x y , teremos: 12.100x y

Portanto, o terreno terá a área de ( 45) ( 24)A y x . Exprimindo a área em função da variável x , teremos:

12.10045 24A x

x

145 290.400 13.180A x x Derivando em relação a x , obtemos:

245 290.400dA

xdx

Igualando a zero, para a determinação dos extremos relativos,

encontramos o valor de x igual a 80,33 .

Valor de teste ( )f x Conclusão

(0;80,33) 1 -

80,33x 0 Mínimo Relativo (80,33; ) 1.000 +

Comprovado que se trata de um mínimo relativo, encontramos o valor

de y igual a 150,62 .




Assim sendo, a área mínima é de:

2( 150,62) (80,33 24) 20.409,03 mmín mínA y A

5) Esboce a curva

2

2

2( )

( 1)

x xf x

x. Rotule os interceptos, os extremos

relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas. Mostre, também, o quadro resumo. a) Intercepto x : Ocorre quando 0y

22 0x x

2 2 0 1 ou 2x x x x Os interceptos ocorrem em: ( 1,0) e (2,0) b) Intercepto y: Ocorre quando 0x O intercepto ocorre em: (0, 2) c) Assíntota vertical: 1x

d) Assíntota horizontal:

2

2

2( ) 1

2 1

x xf x y

x x

e) Extremos relativos:

3

5( ) 5 e 1

1

xf x x x

x

f) Pontos de inflexão:

4

2( 7)( ) 7 e 1

1

xf x x x

x

g) Quadro-resumo:

f(x) f’(x) f” (x) Forma do gráfico

, 1 - - Decrescente, côncava para baixo

1x Assíntota vertical

1, 5 + - Crescente, côncava para baixo

5x 9/8 0 - Máximo relativo

75, - - Decrescente, côncava para baixo

7x 10/9 - 0 Ponto de inflexão

7, - + Decrescente, côncava para cima




6) Determine os valores de a , para que a equação 3 23 9 0x x x a admita uma única raiz real.

3 2( ) 3 9f x x x x a 2( ) 3 6 9f x x x

Derivando e igualando a zero, obteremos os extremos relativos, que são

as raízes da equação acima, ou seja, 3x e 1x . Dessa forma, montamos a tabela abaixo:

Intervalo ( )f x ( )f x Conclusão

( , 3) +

3x 27a 0 Máximo Relativo( 3,1) -

1x 5a 0 Mínimo Relativo (1, ) +

Os extremos relativos deverão estar situados acima do eixo das

abscissas, e estar entre 5a e 27a , ou seja: 5 0a e 27 0a . Dessa forma: 5 27a .





1) Em qual ponto do gráfico da função 2 3ty a reta tangente tem

coeficiente angular igual a 21.

2 3tdy dm

dt dt 2 3ty

21 2 ln2t 4,9212 3y

21

2ln2

t 27,297y

21ln 2 ln

ln2t

ln2 ln21 ln(ln2)t

ln21 ln(ln2)

ln2t

4,921t 4,921; 27,297P

2) Determine dy

dxpara xy x , 0x .

xy x

ln ln xy x

ln lny x x

ln lnd d

y x xdx dx

1 1

ln 1dy

x xy dx x

1

1 lndy

xy dx

1 lndy

y xdx

1 lnxdyx x

dx

3) Determine dy

dx para sen

xy x , 0 2x .

senx

y x

ln ln senx

y x

ln ln seny x x

ln ln send d

y x xdx dx




1 1

cos ln sen 1sen

dyx x x

y dx x

1

cotg ln sendy

x x xy dx

cotg ln sendy

y x x xdx

sen cotg ln senxdy

x x x xdx

4) A quantidade y (em gramas) de plutônio radioativo remanescente em

uma amostra de 20 gramas, após t dias, é dada pela fórmula:

140120

2

t

y .

A que taxa o plutônio diminui quando 2t dias?

140120

2

t

y

1401 1 120 ln

2 2 140

tdy

dt

1401 1 1ln

7 2 2

tdy

dt

1701 1 1

ln 0,09805 g/dia7 2 2

dy dy

dt dt

5) Quando o açúcar se dissolve na água, a quantidade A de açúcar que resta

sem dissolver após t minutos é calculada pela lei de decaimento exponencial. Se 25% do açúcar se dissolve em 1 minuto, quanto tempo será necessário para dissolver metade do açúcar?

1min 0,75t y C kty Ce

kty Ce 0,28768

2tC

C e

10,75 kC Ce 0,28768 0,5te

0,75ke 0,28768ln ln0,5te

ln ln 0,75ke 0,28768 ln0,5t

ln 0,75k

ln0,5

0,28768t

0,28768k 2,41mint




6) Prove que a derivada da função

2

cosln

4 3

xy

x é igual a

2

3

4 3

xtg x

x.

2

cosln

4 3

xy

x

2ln cos ln 4 3y x x

1

2 2ln cos ln 4 3y x x

21ln cos ln 4 3

2y x x

2

1 1 1sen 6

cos 2 4 3y x x

x x

2

sen 3

cos 4 3

x xy

x x

2

3tg

4 3

xy x

x

7) Se um projétil é lançado do nível do solo com velocidade inicial 0v e a um

ângulo de inclinação , e se a resistência do ar pode ser ignorada, então seu alcance – a distância horizontal que percorre – é:

20

1sen cos

16R v

Que valor de maximiza R ?

20

1sen cos

16R v

20

1 1sen2

16 2R v

20

1 1cos2 2

16 2

dRv

d

20

1cos2

16

dRv

d

Portanto:

cos2 0 22 4

8) O retângulo abaixo possui um lado no eixo y positivo, o lado vizinho no

eixo x positivo e seu vértice superior direito na curva 2xy e . Que

dimensões dão ao retângulo a maior área possível?




2xA xy A x e

2 2

( 2 ) 1x xdAx e x e

dx

2 222 x xdA

x e edx

2 222 0x xe x e

2 2(1 2 ) 0xe x

Como 2

0xe

2 21 2 0

2x x

2

2

212 2 1x e

y e y e y e y yee

9) Determine o valor de c para que a função abaixo seja contínua.

3

9 3 3, 0

( ) 5, 0

x sen xx

f x xc x

3 20 0 03

9 3sen39 3sen3 9 9cos3lim lim lim

5 155x x x

dx xx x xdxdx xxdx

0 0 02

9 9cos3 27sen327sen3lim lim lim

3015 30x x x

d dx xxdx dx

d dxx xdx dx




0 0

27sen3 81cos3 81 27lim lim 2,7

30 30 1030x x

dx xdx

dx

dx

Portanto:

0 0lim ( ) lim ( ) 2,7x x

f x f x c

10) Determine as abscissas da intersecção da curva 3y x com a reta

3 1y x . Dê a resposta com precisão de três casas decimais.

3 e 3 1y x y x

3 3 1x x

3 3 1 0x x Portanto:

3( ) 3 1f x x x

2( ) 3 3f x x

3

1 2

3 1

3 3n n

n nn

x xx x

x

Pelo gráfico percebe-se que as raízes estão situadas nos intervalos: ( 2,1) , ( 1,0) e (1,2)

As raízes procuradas, determinadas pelo Método de Newton, com três casas decimais, são: 1,532 , 0,347 e 1,879 .




x = ‐2

‐2,000 ‐1,667

‐1,667 ‐1,549

‐1,549 ‐1,532

‐1,532 ‐1,532

x = 0

0,000 ‐0,333

‐0,333 ‐0,347

‐0,333 ‐0,347

x = 2

2,000 1,889

1,889 1,879

1,879 1,879

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