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ARITMÉTICA

ÍNDICE

A R I T M É T I C A 2008 - TRILCE

Departamento de Publ icac ionesLima - Perú

TRCO3SLIARTB-08.pmd

Pág.

Cap. 1 Notación científica .......................................................................................................... 5

Cap. 2 Aproximaciones decimales ............................................................................................... 11

Cap. 3 Razones ......................................................................................................................... 17

Cap. 4 Proporciones .................................................................................................................. 25

Cap. 5 Complemento de razones y proporciones ......................................................................... 31

Cap. 6 Proporcionalidad ............................................................................................................. 35

Cap. 7 Complemento de proporcionalidad ................................................................................... 43

Cap. 8 Repaso bimestral ............................................................................................................ 49

Cap. 9 Reparto proporcional ...................................................................................................... 53

Cap. 10 Regla de compañía ......................................................................................................... 61

Cap. 11 Regla de tres simple ....................................................................................................... 69

Cap. 12 Regla de tres compuesta ................................................................................................. 77

Cap. 13 Complemento de reparto proporcional - Regla de tres ....................................................... 83

Cap. 14 Tanto por ciento I ........................................................................................................... 87

Cap. 15 Tanto por ciento II .......................................................................................................... 93


3er año de secundaria

Pág.

Cap. 17 Regla de interés simple I ................................................................................................. 105

Cap. 18 Regla de interés simple II ............................................................................................... 113

Cap. 19 Promedios ...................................................................................................................... 117

Cap. 20 Regla de mezcla ............................................................................................................. 125

Cap. 21 Repaso .......................................................................................................................... 133

Cap. 22 Estadística I ................................................................................................................... 137

Cap. 23 Estadística II .................................................................................................................. 149


Cap. 25 Lógica proposicional I ..................................................................................................... 159

Cap. 26 Lógica proposicional II .................................................................................................... 163

Cap. 27 Cuantificadores............................................................................................................... 169

Cap. 28 Complemento de lógica proposicional .............................................................................. 175

Cap. 29 Conjuntos I .................................................................................................................... 179

Cap. 30 Conjuntos II ................................................................................................................... 193


5Organización Educativa TRILCE

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Cuando hacemos un trabajo científico, muchas vecesencontramos números muy pequeños o muy grandes. Porejemplo gracias al microscopio electrónico se determinala forma y el largo de las mitocondrias que mide0,000.000.015 cm. De modo similar un ingeniero puededeterminar un área de 180 000 m2 para un cierto proyecto.Resulta importante expresar estos números como1,5 x 10-8 cm y 1,8 x 105 m2 respectivamente. Las poten-cias de 10 se utilizan para desplazar el punto decimal sinvernos obligados a cargar un gran número de ceros alefectuar nuestros cálculos. La expresión de cualquier nú-mero, como un número situado entre 1 y 10 veces unapotencia entera de 10 se denomina NOTACIÓN CIENTÍFICA.

Muchas calculadoras se equipan con frecuencia con unatecla EE o EXP con la que es posible que los estudiantesutilicen la notación científica en sus cálculos. Considerelas siguientes potencias de 10 y los ejemplos del empleocon notación científica:

0,0001 = 10-4 3,18 x 10-4 = 0,00031800,001 = 10-3 3,18 x 10-3 = 0,00318000,01 = 10-2 3,18 x 10-2 = 0,03180000,1 = 10-1 3,18 x 10-1 = 0,318000001 = 100 3,18 x 100 = 3,18

000010 = 101 3,18 x 101 = 31,8000100 = 102 3,18 x 102 = 318i01 000 = 103 3,18 x 103 = 3 180i10 000 = 104 3,18 x 104 = 31 800

¿Cómo se expresa un número decimal a notacióncientífica?

• Primer caso:“Un número mayor que 1 en notación científica”

Se debe escribir como un número entre 1 y 10 vecesuna potencia positiva de 10. El exponente positivo esel número de veces que la coma decimal debe moversehacia la izquierda. Ejemplos:

263 = 2 6 3 = 2,63 x 10

35700 = 3 5 7 0 0 = 3,57 x 10

2

4

• Segundo caso:“Un número menor que 1 en notación científica”

Debe escribirse como un número entre 1 y 10 vecesuna potencia negativa de 10. En este caso, el exponentenegativo es el número de veces que la coma decimalse mueve hacia la derecha y siempre es uno más queel número de ceros que separan el primer dígito deldecimal. Por ejemplo:

0,241 = 0 2 4 1 = 2,41 x 10

0,000321 = 0 0 0 0 3 2 1 = 3,21 x 10

-1

-4

Observación: Para cambiar de notación científica anotación decimal el procedimiento es simplemente ensentido inverso. Ejemplos:

3,84 x 10 = 3 8 4 0 0 0 0 = 3 840 000

1,4 x 10 = 0 0 0 0 1 4 = 0,00014

6

-4

OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓNCIENTÍFICA

1. Suma y Resta

Debe tenerse cuidado al arreglar los números que sevan a sumar, de manera que tengan potencias idénticasde 10. Por ejemplo:

20 000 + 1 200 = 2 x 104 + 0,12 x 104 = 2,12 x 104

0,0012 - 0,00007 = 1,2 x 10-3 - 0,07 x 10-3 = 1,13 x 10-3

2. Multiplicación

Para esta operación se deben recordar las leyes de losexponentes, es decir se suman los exponentes de 10.Por ejemplo:

0,0002 x 900 000 = 2 x 10-4 x 9 x 105 = 18 x 10 = 1,8 x 102

23 000 x 500 = 2,3 x 104 x 5 x 102 = 1,15 x 107

Notación científica1

6

Notación científica

Tercer Año de Secundaria

3. División

Cuando un número es dividido entre otro número, serestan los exponentes de 10. Por ejemplo:

12 0000,002

1,2 x 104

2 x 10-3= = 0,6 x 104-(-3) = 6 x 106

0,0008400

8 x 10-4

4 x 102= = 2 x 10 4-2= 2 x 10-6-

1. La población de China en 1992 era algo más de 1.000.000000 de habitantes. Expresar dicha población en notacióncientífica.

Resolución:

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 1 x 10 habitantes9

2. La masa de una bacteria es:

0,000 000 000 000 000 000 001 kg

para poder leer con rapidez, expresar en notacióncientífica.

Resolución:

0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 = 1 x 10 kg-21

3. Simplifique y exprese el resultado como un solo númeroescrito en notación científica.

2

5-6

104

102104E

x

xx

Resolución:

Primero la suma:

4 x 10- 6 + 2 x 10- 5 = 4 x 10- 6 + 20 x 10- 6=

2,4 x 10- 5

24 x 10- 6

=Ahora:

E = 24 x 10- 6= x 10-6-(-2) = 6 x 10-4

4 x 10- 22444

4. Al simplificar y expresar el resultado como notacióncientífica:

3

23

108

104106

x

xx

se obtiene un número de la forma: a x 10b. Calcular“a.+ b”.

Resolución:

La suma:

6 x 103 + 4 x 102 = 60 x 102 + 4 x 102 = 64 x 102

Luego:

3

2

10 x8

10 x64 = x 102-(-3) = 8 x 10564

8

Entonces:

8 x 105 = a x 10b a = 8b = 5

a + b = 13

Ejercicios


ARITMÉTICA

1. Convertir los números a la notación científica:

a) 41 000

b) 0,0018

c) 3 240 000

d) 0,00000024

e) 310 000

f) 0,00008

2. Convertir los números a la notación decimal:

a) 1,2 x 10-7

b) 8 x 104

c) 3,24 x 10-6

d) 1,5 x 1010

e) 8,1 x 10-5

f) 1,12 x 106

3. Simplificar: 6 x 10-8 + 2 x 10-9. Expresar el resultadoen N.C.

4. Operar: 3,2 x 1010 - 1,3 x 108. Expresar el resultado enN.C.

5. Simplificar: 4,5 x 1013 + 5 x 1012. Dar la respuesta enN.C.

6. Simplifique: 3 x 10-8 - 2 x 10-9. Dar la respuesta enN.C.

7. Operar y expresar el resultado en N.C.:8 9

5

4 10 8, 4 101,1 10

Convertir los siguientes números a la N.C.

8. 64,8 x 10-7

9. 128,1 x 1015

10.0,024 x 1010

Test de Aprendizaje

8




a) 18 000

b) 0,00032

c) 13 100 000

d) 0,0000143

e) 134 500

f) 345 200

g) 4321,8

h) 341,83

i) 0,000307

j) 0,0000000319

k) 0,0000000084

l) 7 230 000 000


a) 1,8 x 10-5

b) 3,4 x 104

c) 6,1 x 10-3

d) 1,02 x 106

e) 8,93 x 10-2

f) 1,37 x 107

g) 5,82 x 106

h) 6,251 x 108

i) 2,93 x 10-6

j) 4,02 x 10-4

k) 7,132 x 10-5

l) 9,034 x 108

3. El Sistema Solar se formó aproximadamente hace 5000millones de años. Escribir este número de años ennotación científica.

a) 5 x 108 b) 5 x 1010 c) 5,5 x 109

d) 0,5 x 108 e) 5 x 109

4. Para la propagación de la luz en el vacío o en el aire, seadmite el valor promedio de 300 000 km/s. Expresareste valor como notación científica.

a) 3 x 108 b) 3 x 105

c) 3,3 x 105 d) 3 x 10-5

e) 3,0 x 104

5. El valor de la resistividad del Hierro es 0,0000001.Indicar este valor como notación científica.

a) 10-8 b) 1,1 x 10-8

c) 0,1 x 10-9 d) 0,1 x 10-7

e) 10-7

6. Se sabe que el calor específico del Mercurio es 0,00012.¿Cuál será este valor en notación científica?

a) 12 x 104 b) 1,2 x 104

c) 0,12 x 10-5 d) 1,2 x 10-4

e) 0,12 x 105

7. Se ha determinado que la densidad del Hidrógeno es0,000089. Expresar este valor como notación científica.

a) 9 x 10-4 b) 8,9 x 105

c) 8,9 x 10-5 d) 8,9 x 10-6

e) 8,9 x 10-7

8. El año 1976 se produjo en Tangshan (China) undevastador terremoto que trajo como consecuencia655.000 víctimas. Expresar este valor como notacióncientífica.

a) 6,55 x 105 b) 6,55 x 103

c) 6,55 x 10-5 d) 6,55 x 104

e) 6,5 x 106

9. El satélite Titán de Saturno tiene 2 576 km de radio.Expresar el radio en metros como notación científica.

a) 2,576 x 103 b) 2,576 x 10-3

c) 2,576 x 10-6 d) 2,576 x 106

e) 2,576 x 104

10.El Sol tiene un diámetro de 1,4 millones de km. Expresareste diámetro en metros, como notación científica.

a) 1,4 x 106 b) 1,4 x 1010

c) 1,4 x 109 d) 1,4 x 108

e) 1,4 x 107

• Simplifique y exprese el resultado como un solo númeroescrito en notación científica:

11. 6

57

104

102102

a) 2 x 10-7 b) 8,5 x 10-2

c) 5,05 d) 1,02 x 10-1

e) 6,051

Practiquemos


ARITMÉTICA

12.8 7

2

6 10 4 102 10

a) 3,2 x 1010 b) 3,2 x 108

c) 3,02 x 1010 d) 3,02 x 10-8

e) 3,2 x 10-10

13.2

002,0102,1 8

a) 1,000006 x 10-5 b) 1,000006 x 10-8

c) 1,000006 x 10-3 d) 1,0006 x 10-4

e) 1,006 x 10-3

14. 2

87

105,1

105102

a) 1 x 10-6 b) 1 x 10-5

c) 1 x 10-3 d) 2 x 10-6

e) 2 x 10-5

15.3

43

104

108104,2

a) 2,6 x 107 b) 2,06 x 10-7

c) 2,06 x 105 d) 2,06 x 107

e) 2 x 10-5

• Convertir los siguientes números a la notación decimal:

16. 5 2 , 4 10-3

17. 0,24 10-4

18. 5,1 10-5

19. 6,18 10-5

20. 3,49 10-3

• Simplifique y exprese el resultado como un solo númeroescrito en notación científica:

21.6 5

2

4 10 2 104 10

22. 6 10-3 - 0,075

23.3 2

3

6 10 4 101 10

24.7 5

2

2 10 5 102,51 10

25. 2 10-5 - 0,0243

26.3 2

2

2, 4 10 3 100,9 10

27.La distancia del Sol a la Tierra es 150 000 000 km.Expresar este valor como notación científica.

28.12

5 2

6,72 x 10F

(4 x10 )

1. Simplificar y expresar como notación científica:4 5 3

4 5

32,8 10 52,1 10 2 103 10 0,02 10

a) 1,73 x 103 b) 17,3 c) 324d) 173 e) 168

2. Si la luz en el agua se propaga a una velocidad de225 000 km/s, ¿cuánto recorre en 7,8 x 104 segundos?

a) 1,755 s b) 1,755.1010 c) 17,55.1015

d) 1,755.107 e) 1755

3. Si la masa de la Tierra es 5,98 x 1024 kilos y la deMarte es 6,42 x 1023 kilos, halle el valor de la diferenciaentre éstas masas.

a) 5,338 kg b) 5,338.1023 c) 53,38.1024

d) 5,338.1024 e) 5,338.1025

4. Si un año luz es aproximadamente 9,45 x 1015 metros,¿cuántos años luz hay en 2,646 x 1016 metros?

a) 2,8 x 102 m b) 2,8 . 104 c) 2,8 . 10-1

d) 2,8 e) 2,8 . 103

5. Las distancias del Sol a Venus y a Marte son en promedio1,08 x 1011 metros y 22,8 x 1010 metrosrespectivamente. Halle la distancia entre Venus y Marte,en promedio.

a) 1,2 . 1012 m b) 1,2 . 1011 c) 1,2 x 1010

d) 1,2 x 10-10 e) 1,2 x 108

Autoevaluaciòn

10




a) 340 000 e) 5 700 000b) 0,00004 f) 412,0012c) 14 300 000 g) 0,0000801d) 0,0000304 h) 2 100 000 000


a) 2,4 10-8 e) 8,12 104

b) 12,4 104 f) 7,02 10-5

c) 8,3 10-3 g) 51,8 106

d) 1,81 10-6 h) 1,78 10-3

3. El planeta más cercano al Sol es Mercurio que tiene undiámetro de 4 873 km, lo que significa que es bastantepequeño comparado con la Tierra. Expresar estediámetro (en metros) en notación científica.

4. Se calcula que existen en total más de 500 000asteroides, aunque hasta el momento unos cuantos sehan logrado fotografiar. Expresar este número comonotación científica.

5. La velocidad de propagación de la luz en el agua es de225 000 km/s. Expresar este número como notacióncientífica.

• Simplifique y exprese el resultado como un sólo númeroescrito en notación científica:

6.6 8

7

8 10 4 102 10

7.5 6

5

9 10 4 102 10

8.9 10

6

3 10 5 104 10

9.4 2

3

1,2 10 8 104 10

10.5 6

2

8,2 10 6,2 103 10

11.8 9

3

5,4 10 1,2 102 10

12.4 4 5

2

8,5 10 7,5 10 1,6 108 10

13.3 4 3

7

5,2 10 4,3 10 2 102 10

14.8 9

4

18,2 10 1,8 105 10

15.7 7 8

5

8,4 10 1,2 10 2,8 104 10

16.La distancia media entre los centros de la Luna y laTierra es 384 000 km. Expresar esta distancia (enmetros) en notación científica.

17.El radio medio de la Tierra es de 6 400 km. Expresaresta distancia (en metros) en notación científica.

18.El radio del Sol es de 695 000 km. Expresar estadistancia (en metros) en notación científica.

19.Se sabe que la densidad del plomo en el S.I. es:11 300 kg/m3. Expresar este valor como notacióncientífica.

20.Se sabe que la densidad de la plata en el S.I. es:10 500 kg/m3. Expresar este valor como notacióncientífica.

Tarea domiciliaria



Inés, Ximena y Giancarlo van a sacar unas fotocopiaspor las que Inés debería pagar S/.2,78; Ximena S/.5,14 yGiancarlo S/.3,82. ¿Cuánto pagó cada uno?

Como las monedas de 1 céntimo (0,01) normalmenteno se utilizan, Inés, Ximena y Giancarlo deben aproximar(redondear) a los décimos: Inés pagó S/.2,80; Ximenapagó S/.5,10 y Giancarlo pagó S/.3,80.

Entonces para aproximar un número decimal, seguimoslos pasos de este diagrama:

Nos fijamos en quécifra decimalnecesitamos

trabajar

Buscamos la cifradecimal siguiente

¿Es menor que 5?SI NO

Suprimimos todas lascifras que hay a laderecha de la cifra

elegida

Sumamos 1 a la cifradecimal elegida ysuprimimos lascifras decimales

siguientes

1. Elena compra en METRO por un total de S/.147,36.¿Cuánto le cobrará la cajera?

Resolución:

Comprendiendo que monedas de 1 céntimo no se usanentonces aproximamos: S/.147,36 a S/.147,4 por lotanto la cajera le cobrará: S/.147,4.

2. Si Benito va al Banco a cambiar 75 dólares cuyo precioes S/.3,47, ¿cuántos soles recibirá? (Aproximar aldécimo)

Resolución:

Por dólar pagan S/.3,47; entonces en 75 dólares lepagarán: 75 x 3,47 = 260,25 aproximando al décimo:S/.260,3

1. Aproxima a los décimos cada uno de los siguientes

Aproximacionesdecimales2

1. Aproximar la suma: 0,123 + 8,14 + 2,152 al décimo. 2. Aproximar la resta:12,872 - 3,4162 al centésimo.

Test de Aprendizaje

Ejercicios

12

Aproximaciones decimales


3. Aproximar el producto: 6,18 x 5,32 al centésimo.

4. Determinar el área de un cuadrado en metroscuadrados, cuyo lado es 1,18 m aproximando al décimo.

5. Si Alberto quiere cambiar 25 dólares cuyo precio estabaa S/. 3,12 el dólar. ¿Cuántos soles recibirá? (aproximaral entero)

6. Determinar el área de un rectángulo en metroscuadrados, cuyo largo es 0,32 m y el ancho es 0,12 m.Aproximar al décimo.

7. Determinar el área de un círculo en centímetroscuadrados, donde el radio es 12,83 cm y el valor de es 3,14. Aproximar el décimo.

8. Hallar el volumen de un cubo en metros cúbicos cuyaarista es 1,4 m. Aproximar el décimo.

9. Operar y aproximar al centésimo:

1,42 x 0,83 + 4,02 x 1,37

10.Un albañil cobra por "tarrajear" una pared S/. 11,5 pormetro cuadrado. Si tiene que "tarrajear" 18,23 metroscuadrados, ¿cuánto cobrará? (Aproximar al centésimo)


ARITMÉTICA

números decimales:

• 8,123 = ...................................................

• 5,675 = ...................................................

• 1,43212 = ...................................................

• 4,231 = ...................................................

• 12,537 = ...................................................

• 10,874 = ...................................................

2. Aproxima a los centésimos cada uno de los siguientesnúmeros decimales:

• 0,4576 = ...................................................

• 3,6256 = ...................................................

• 6,2412 = ...................................................

• 45,4002 = ...................................................

• 5,7253 = ...................................................

• 7,4583 = ...................................................

3. Aproxima a los milésimos los siguientes decimales:

• 23,1265 = ...................................................

• 12,4274 = ...................................................

• 1,14159 = ...................................................

• 9,2365 = ...................................................

• 6,4325 = ...................................................

• 4,6743 = ...................................................

4. Tenemos:

a = 14,473 b = 4,024 c = 5,142

I. Aproxima cada decimal al centésimo y luego, hallar:“a + b + c”

Rpta.: ________________

II. Hallar “a + b + c” y luego aproximar al centésimo

Rpta.: ________________5. Alfonso compró pollo cuyo costo fue S/.8,64; luego

compró fruta cuyo costo fue S/.12,78 y finalmente doskilos de papa por S/.3,46. Calcular el monto total yaproximar al entero.

Rpta.: ________________

6. Giancarlo quiere “enlocetar” un patio cuya área es3,2378 m2. El albañil que le hará el trabajo le cobraráS/.10 por metro cuadrado. ¿Cuánto pagará en total?(El albañil redondeará el costo al entero)

Rpta.: ________________

7. Frank fue a INTERBANK para cambiar 18 dólares cuyocambio estaba a S/.3,25. ¿Cuántos soles le pagará lacajera? (Aproximar al décimo)

Rpta.: ________________

• En los siguientes ejercicios, usar calculadora:

8. Determinar el volumen de un cubo de metal cuya aristaes 6,45 cm. (Aproximar al entero)

Rpta.: ________________

9. Determinar el lado, aproximado al décimo, del patiocuadrado cuya área es 8,1675 m2.

Rpta.: ________________

10.¿En cuántos metros cuadrados se diferencia el área deun círculo de radio 20 m cuando se utiliza “Pi” ()aproximado al milésimo y cuando se aproxima al cen-tésimo? (Área del círculo = . R2; siendo: R = radio y = 3,14159...)

Rpta.: ________________

11.Calcular el área de un terreno cuya forma es un triánguloequilátero, sabiendo que el lado del terreno es 17,85 m.(Aproximar el área al entero)

Nota:4

3LA

2

donde: A = área del triángulo equiláteroL = lado del triángulo

Rpta.: ________________

12.Se tiene la siguiente fórmula física:

20 ta

21

tVd

donde: d = distancia recorrida por un móvil

Practiquemos

14



t = tiempoa = aceleraciónV0 = velocidad inicial

Calcular la distancia recorrida (d) aproximando aldécimo, cuando la aceleración (a) es 8,421 m/s2 en untiempo (t) igual a 7,5 segundos partiendo del reposo,es decir: V0 = 0.

Rpta.: ________________

13.Para calcular la velocidad (V) de un móvil debemosdividir la distancia recorrida (d) entre el tiempo (t) quedemora en recorrer dicha distancia, es decir:

td

V

Determinar la velocidad aproximando al centésimo, si:d = 123,45 km ; t = 2,08 h

Rpta.: ________________

14.Un tanque de almacenamiento de petróleo tiene lasiguiente forma:

r

h

Cilindro circular recto

V = r . h

donde: = 3,1416

2

El radio de la base es 8,14 m y tiene 4,08 m de altura.Determinar el volumen (V) de petróleo aproximandoal centésimo.

Rpta.: ________________

15.Cuando un número es ligeramente superior a la unidad(1 + e) su inversa se puede calcular por medio de lafórmula aproximada:

e1e1

1

Calcular el valor aproximado de la inversa de 1,04.

Rpta.: ________________

16.Renzo compró 4 kilos de mango a S/.1,2 el kilo, luegocompró carne cuyo costo fue S/.13,87 y finalmente panpor S/.5,65. Calcular el monto final y aproximar aldécimo.

Rpta.: ________________

17.Carolina fue al Banco de Crédito del Perú para cambiar75 dólares cuyo cambio estaba a S/.3,59. ¿Cuántossoles le pagará el cajero? (Aproximar al décimo)

Rpta.: ________________

18.Calcular el volumen de un cubo de madera cuya arista

es 6,24 m. (Aproximar al entero)

Rpta.: ________________

19.Determinar el lado, aproximando al centésimo, del patiocuadrado cuya área es 19,2536 m2.

Rpta.: ________________

20.Hallar la altura de un cilindro recto de base circular, sisu volumen es de 415,12 dm3 y el área de la base esde 0,34253 dm2. (Aproximar al entero)

Nota: VC = SB . hdonde:

VC = Volumen del cilindro rectoSB = Área de la baseh = Altura del cilindro

Rpta.: ________________

21.Un tanque cilíndrico tiene 17,5 cm de radio y 90 cm dealto. Encuentre el volumen en centímetros cúbicos.(Aproximar a los enteros)

Nota: V = R2 . hdonde:

V = volumen del cilindroR = radio de la baseh = altura del cilindro = 3,1416

Rpta.: ________________

22.Se vaciará una losa de concreto para construir el pisode un garage de 6,096 m de ancho y 4,572 m de largo.Si el cimiento tendrá un espesor de 0,1016 m, ¿cuántosmetros cúbicos de concreto mezclado deben com-prarse? (Aproximar al centésimo)

Rpta.: ________________

23.Una persona realiza compras en WONG por un montototal de S/.147,73. Si paga con S/.150, ¿cuánto le daránde vuelto? (Aproximar al décimo)

Rpta.: ________________

24.María Pía compró pollo cuyo costo fue S/.12,64; luegocompró fruta cuyo costo fue S/.17,78 y finalmente papapor S/.2,46. Calcular el monto total y aproximar alentero.

Rpta.: ________________

25.Inés quiere enlocetar un patio cuya área es 3,1488.m2.El albañil que le hará el trabajo le cobra S/.20 por metrocuadrado. ¿Cuánto pagará en total?(El albañil redondea el costo al entero)

Rpta.: ________________26.Pepe fue a Interbank para cambiar 23 dólares cuyo


ARITMÉTICA

cambio estaba a S/.3,57. ¿Cuántos soles le pagará lacajera? (Aproximar al décimo)

Rpta.: ________________

27.Determinar el lado, aproximando al décimo, del patiocuadrado cuya área es 8,3521 m2.

Rpta.: ________________

28.¿En cuántos metros cuadrados se diferencia el área deun círculo de radio 100 m cuando se utiliza “Pi” ()aproximado al milésimo y cuando se aproxima alcentésimo?(Área del círculo =.R2; siendo R= radio y = 3,14159...)

Rpta.: ________________

29.Determinar la velocidad de un cuerpo aproximando alcentésimo que con movimiento uniforme recorre 3,15.men 12,7 segundos.

Fórmula:e

vt

donde: v: velocidad; e: espacio; t: tiempo

Rpta.: ________________

30.El motor de un volkswagen tiene cuatro cilindros, cadauno con un radio de 3,85 m. Si la carrera del pistón esde 6,4 cm, aproximar al décimo el desplazamiento totaldel pistón de este motor.

Utiliza la fórmula:Vt = 4R2 . d (cm3)

Donde:Vt: Desplazamiento total (volumen)R: Radio total de cada cilindrod: La carrera del pistón

Considerar: = 3,14

Rpta.: ________________

1. Un terreno es de forma cuadrangular y el lado es12,8751 m, determinar la diferencia, en metroscuadrados, del área cuando el lado se aproxima aldécimo y cuando se aproxima al centésimo.

a) 0,6155 m2 b) 0,6156 c) 0,5156d) 0,5146 e) 0,5166

2. Un cilindro tiene 12,8 cm de radio y 90,3 cm de alto.Encuentre el volumen en centímetros cúbicosaproximando al entero (considera: = 3,14)

a) 44456 cm3 b) 46456 c) 44565d) 46556 e) 46546

3. La superficie esférica esta dada por la fórmula:SE = 4 R2

Donde: SE = superficie esféricaR = radio = 3,14

Aproximar al décimo la superficie de la esfera encentímetros cuadrados, si el radio es 4,8 cm.

a) 298,4 cm2 b) 289,4 c) 289,2d) 289,3 e) 288,3

4. Determinar el apotema de un cuadrado, en metros,aproximando al décimo, si: R = 8,7 m, sabiendo que:

R 2Ap

2

Donde:

Ap : Apotema del cuadradoR : Radio de la circunferencia que circunscribe al

cuadrado2 : 1,41

a) 6,1 m b) 6,2 c) 6,3d) 7,1 e) 6,4

5. Cuando un número es ligeramente superior a la unidad(1 + n) su inversa se puede calcular por medio de lafórmula aproximada:

11 n

1 n

Calcular el valor aproximado de la inversa de (1,02)2

a) 0,8596 b) 0,9695 c) 0,9596d) 0,96 e) 0,095

Autoevaluaciòn

16



1. Aproximar a los décimos cada uno de los siguientesnúmeros decimales:

* 6,582 =* 8,462 =* 4,1234 =* 3,6135 =* 45,276 =* 1,246 =

2. Aproximar a los centésimos cada uno de los siguientesnúmeros decimales:

* 2,845 =* 7,234 =* 2,6451 =* 5,118 =* 2,874 =* 3,2007 =

3. Aproximar a los milésimos los siguientes númerosdecimales:

* 6,2368 =* 3,4528 =* 8,3401 =* 3,7252 =* 4,7254 =* 2,6704 =

4. Si: a = 4,064 ; b = 5,127 y c = 8,674

I. Aproximar cada decimal al centésimo y luego hallar“a + b + c”.

II. Hallar “a + b + c” y luego aproximar al centésimo.

5. Catita realiza compras en Santa Isabel por un montototal de S/.131,23. Si paga con S/.150, ¿cuánto le daránde vuelto? (Aproximar al décimo)

6. Mechita compró 4 kilos de mango a S/.1,6 el kilo, luegocompró carne cuyo costo fue S/.23,56 y finalmente panpor S/.4,65. Calcular el monto final y aproximar aldécimo.

7. Se quiere enlocetar un patio rectangular de dimensiones3,28 m de ancho y 7,06 m de largo. Un albañil quehará el trabajo cobra S/.15 por metro cuadrado. ¿Cuántocobrará en total? (Aproximar al entero)

8. Ralph fue al Banco de Crédito del Perú para cambiar65 dólares cuyo cambio estaba a S/.3,23. ¿Cuántossoles le pagará el cajero? (Aproximar al décimo)

9. Calcular el volumen de un cubo de madera cuya aristaes 4,18 cm. (Aproximar al entero)

10.Determinar el lado, aproximando al centésimo, del patiocuadrado cuya área es 23,2536 m2.

11.Determinar el área de un rectángulo, aproximando aldécimo, si el largo es 18,24 cm y el ancho es 8,63 cm.

12.Calcular el valor de “E” (aproximando al centésimo)para cuando a = 2,18 se reemplace en:

27 .aE

3

13.Aproximar “M” al milésimo, para cuando x = 5,08 sereemplace en:

312 3 .xM

5

14.La energía cinética se puede calcular mediante la ley:2

c

m.VE

2 (Joule)

Donde: m = masa ; V = velocidadAproximar la energía cinética al centésimo, si la masade un cuerpo es 7,48 kg y lleva una velocidad de4,81 m/s.

15.Aproximar la capacidad de un reservorio de aguade forma cilíndrica, al décimo, si el radio de la base es5,06 m y su altura es 10,82 m (asumir: = 3,1416).

16.Aproximar "" a los diez milésimos.

17.Aproximar 2 a los centésimos.

18.Aproximar 3 a los milésimos.

19.Aproximar 7 a los décimos.

20.Aproximar 5 a los centésimos.

Tarea domiciliaria



RAZÓN: Es la comparación entre dos cantidades. Si secompara restando, se llamará “razón aritmética” y si secompara dividiendo, se llamará “razón geométrica”.

Ejemplo:Compare las alturas de los edificios “A” y “B”.

A

B24 m

6 m

I. Si comparamos restando:

valorsu

aritméticaRazón

m18m6m24

“La altura de “A” excede a la altura de “B” en 18 m”

II. Si comparamos dividiendo:

su Razónvalorgeométrica

24 m 46 m 1

“Las alturas de “A” y “B” están en la relación de 4 a 1”

“Las alturas de “A” y “B” son entre sí como 4 es a 1”

En general:

Si “a” y “b” son dos cantidades:

ValoraritméticaRazón

rba

Razóngeométrica

Valora

Kb

además:

El 1er término (a) se llama antecedente.

El 2do término (b) se llama consecuente.

1. Halle la razón entre hombres y mujeres de un aula, sison 12 y 20 respectivamente. Luego interprete.

Resolución:

Como no especifica la clase de razón podemos asumirque es la más importante: “la razón geométrica”. Luegodividimos y simplificamos:

Hombres: 12 3=

Mujeres: 20 5

La razón vale35

ó 0,6

Interpretación: “Por cada 3 hombres hay 5mujeres”.

2. Las edades de Ana y Carlos están en la relación de 8 a3. Si Carlos nació cuando Ana tenía 20 años, halle lasedades.

Resolución:

• Simbolicemos con “A” y “C” las edades de Ana y Carlos.Luego la relación es:

38

CA A = 8K

C = 3K

• Como Ana es mayor que Carlos por 20 años:

20CA 8K - 3K = 20

5K = 20K = 4

• Reemplazando:

Ana: A = 8 x 4 = 32 añosCarlos: C = 3 x 4 = 12 años

3. Se tiene 110 litros de mezcla alcohólica: 30 litros de

Razones3Ejercicios

18

Razones


alcohol puro y el resto agua. ¿Cuántos litros de alcoholpuro se debe añadir para tener 3 litros de alcohol porcada 5 litros de agua?

Resolución:

aAlcoholAgua

Antes3080

Después3k5k

• Después de añadir alcohol puro éste aumentará,sin embargo el agua es la misma. Luego igualamos:

80 = 5 k16 = k

• Comparando las cantidades de alcohol:

antes: 30 litrosdespués: 3 x 16 = 48 litros

Respuesta: Se añadió 18 litros de alcohol

4. Un arquitecto observa en un plano que las dimensiones

de un terreno rectangular son 56 cm x 120 cm. ¿Cuálesson las dimensiones reales, si el terreno tiene un áreade 151,2 m2?

Resolución:

“En el plano” “Lo real”120 cm

56 cm

a

b

• “a” es a “b” como 120 es a 56.

715

ba

56120

ba a = 15K

b = 7K

• Como el área es 151,2 m2:

a x b = 151,2

15K . 7K = 151,2

105K2 = 151,2

K2 =105

2,151

K2 = 1,44

K = 1,2

• Reemplazando, las dimensiones son:

a = 15 x 1,2 = 18 mb = 7 x 1,2 = 8,4 m

1. La relación de alturas de dos edificios es de 5 a 7. Si la

1. Si:A 4B 5 y A + B = 180, hallar "A" y "B" 2. Si:

A B3 5 y A + B = 160, hallar "A" y "B"

Test de Aprendizaje


ARITMÉTICA

3. Sabiendo:A 8B 44 y A + B = 91, hallar: B - A

4. Si:a c 8

a 5 y a - c = 24, hallar: a x c

5. Sabiendo que:m 3n 7 y 3m - n = 36

hallar "m"

6. La razón geométrica de dos números vale 2/3. Si elmayor de los números es 24, hallar el menor.

7. La razón geométrica de dos números es 1/4. Si la razónaritmética es 30, hallar el mayor.

8. La relación de dos números es 7/4 y el producto dedichos números es 1/2. Hallar la diferencia de dichosnúmeros.

9. El capital de Abel y el de Bernabe están en la relaciónde 11 a 7. Si la diferencia de dichos capitales es 48,hallar el menor capital.

10.Las edades de Carlos y Ximena son 18 y 12 años,¿dentro de cuántos años la relación será de 4 a 3?

20

Razones


de menor altura es de 40 m, determina la mayor altura.

Rpta.: ________________

2. Las áreas de dos terrenos agrícolas son entre sí como10 es a 15. Si la mayor área es de 60 m2, la menorárea será:

Rpta.: ________________

3. En un taller de capacitación en Trilce se observa quepor cada 7 varones hay 9 mujeres. Si en total hay 112asistentes, ¿cuántas mujeres hay?

Rpta.: ________________

4. La relación entre las temperaturas de las ciudades deLima y Trujillo es de 5 a 7 respectivamente. Si la mayortemperatura es 21°, halle la menor temperatura.

Rpta.: ________________

5. Si:113

BA y A + B = 112

halle “A” y “B”

Rpta.: ________________

6. La razón geométrica de dos números vale 0,8 y su razónaritmética vale 15,2. Halle el mayor de los números.

Rpta.: ________________

7. Las edades de Lida y Frank, están en la relación de 7 a4, respectivamente. Si Lida es 21 años mayor que Frank,calcule la edad de Frank.

Rpta.: ________________

8. Dos de los monumentos más visitados en el mundoson la Torre Eiffel (París) y el Cristo Redentor (Brasil).Si la razón geométrica de sus alturas es 10,6 y su sumaes 348 metros, halle la altura de la Torre Eiffel.

Rpta.: ________________

9. Las edades de Andrea y Pedro están en la relación de5 a 7 respectivamente. Si dentro de 4 años sus edadessumarán 56 años, ¿cuál será la nueva relación?

Rpta.: ________________

10.De dos cubos se sabe que la relación entre sus áreases de 25 a 16. Halle la relación entre el cubo de lasuma de sus aristas y el volumen total de los dos cubos.

Rpta.: ________________

11.Si:95

nm y 3m - n = 48

halle “m x n”

Rpta.: ________________

12.Si:3344

qp y p . q = 300

halle “p + q”

Rpta.: ________________

13.Arlén y Leslie se repartieron cierta suma de dinero en partesiguales. Halle esta suma, sabiendo que si Arlén diera S/.60a Leslie, lo que tendrían estaría en la relación de 3 a 7.

Rpta.: ________________

14.En un bidón se tienen 72 litros de una mezcla de alcoholy agua, en la relación de 5 a 3, respectivamente.¿Cuántos litros de agua se debe agregar para que larelación sea de 9 a 10?

Rpta.: ________________

15.Se mezclan 50 litros de vino con 20 litros de agua. Siextraemos 21 litros de dicha mezcla, ¿cuánto quedade vino?

Rpta.: ________________

16.A una fiesta asisten 420 personas de las cuales hay cuatrohombres por cada tres mujeres. Si se retiran 60 parejas,¿cuál es la razón entre hombres y mujeres ahora?

Rpta.: ________________

17.En una reunión se observa que de cada 7 personas, 3son hombres. De estos, los que beben y no beben estánen la relación de 2 a 3. Además el número de mujeresexcede a los hombres que beben en 70. ¿Cuántoshombres hay?

Rpta.: ________________

18.Dos ciclistas se desplazan con la misma velocidad haciala meta. Las distancias que les falta recorrer están enla relación de 2 a 5, aunque luego de recorrer 30.m larelación es de 4 a 11. ¿Cuánto le falta al primero parallegar a la meta?

Rpta.: ________________

Practiquemos


ARITMÉTICA19.De los 210 lapiceros, entre azules, rojos y negros se observa

que por cada 3 no azules hay 2 no rojos; además los queson negros y los que no lo son, son entre sí como 4 es a17. Halle la razón aritmética entre rojos y azules.

Rpta.: ________________

20.La suma, la diferencia y el producto de dos númerosestán en la misma relación que los números 4; 2 y 15.¿Cuál es el mayor de los números?

a) 4 b) 10 c) 14d) 15 e) 16

21.La razón geométrica entre la suma y la diferencia de dosnúmeros es 5/3. Si la suma del mayor con el triple del menores 14, hallar la suma de los cuadrados de los números.

a) 68 b) 72 c) 76d) 80 e) 100

22.A una fiesta asistieron 400 personas entre hombres ymujeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres.Luego de dos horas, por cada 2 hombres hay 1 mujer.¿Cuántas parejas se retiraron?

a) 160 b) 40 c) 60d) 100 e) 80

23.Siendo:73

yx , calcular:

xyy

a)74

b)47

c) 4

d) 7 e)32

24.Si:711

cca

, hallar:

a ca c

a)113

b) -113

c)311

d) -311

e) -11

25.Dos motociclistas parten de un mismo punto endirecciones opuestas, transcurridos los primeros 45minutos la razón de la distancia a su punto de partidaes de 3 a 5, y a los 30 minutos siguientes se encuentrandistanciados 80 km. ¿Cuál es la diferencia de susvelocidades en km/h?

a) 20 b) 12 c) 18d) 16 e) 24

26.En un corral hay “n” aves entre patos y pavos. Si elnúmero de patos es a “n” como 5 es a 12 y la diferenciaentre el número de patos y el número de pavos es 18,¿cuál será la relación entre patos y pavos?

a)35

b)45

c)9

10

d)57

e)12

27.Un edificio reproducido a escala en una maqueta tienelas siguientes dimensiones: 48 cm de alto, 12 cm deancho y 24.cm de largo. Halle las dimensiones reales, sipara pintar su superficie lateral se gastó S/. 48 000 y elcosto por metro cuadrado fue S/.5. (No hay edificiosadyacentes)

Rpta.: ________________

28.Pedro y Pablo parten simultáneamente uno al encuentrodel otro de dos puntos “A” y “B” que distan 550 m ycon velocidades iniciales que son entre sí como 4 es a7 respectivamente. Si inmediatamente después delcruce la relación de velocidades cambia; es de 5 a 8;siendo Pablo el más veloz, calcular la distancia del punto“A” al punto en el cual luego del cruce Pedro seencuentra separado de Pablo 195 m.

a) 225 m b) 250 c) 295d) 275 e) 300

29.A una fiesta asistieron 240 personas, se sabe ademásque por cada 38 hombres, hay 10 mujeres. Si por cada10 personas que beben, 6 son hombres y por cadapersona que bebe se consumió 3 botellas de cervezas,¿cuántas mujeres no bebieron en dicha reunión, si secompraron 10 docenas de cervezas?

a) 24 b) 16 c) 34d) 28 e) 38

30.Un asunto fue sometido a votación de 1 200 personasy se perdió, aduciendo fallas en el proceso electoral,nuevamente votan las mismas personas, siendofavorable al asunto. Notándose que el caso fue ganadopor el doble de votos por el que se había perdido laprimera vez y la nueva mayoría fue con respecto a laanterior como 8 es a 7, ¿cuántas personas cambiaronde opinión?

a) 120 b) 180 c) 240d) 300 e) 210

22

Razones


1. Si:m 4n 11 y m + n = 120

halle “m”

2. La razón geométrica de dos números es 9/4 y suproducto es 576. Halle su razón aritmética.

3. Dos números son entre sí como 7 es a 3, pero si almayor le restamos 2 y al otro le sumamos 3 la relaciónsería de 2 a 3. Halle el valor de la razón aritmética dedichos números.

4. Si:x 7y 3

halle:x yx y

5. Si:2

2

a 49b

halle:3

3 3

(a b)a b

6. Martín tuvo su hijo a los 25 años. Actualmente, susedades son entre sí como 8 es a 3. ¿Cuántos añostiene Martín?

7. ¿Cuánto dinero tienen juntos Ana, Beto y Carlos, si loque tienen Ana y Beto están en la relación de 5 a 6,Carlos tiene media vez más de lo que tiene Beto yademás tiene S/.120 más que Ana?

8. Se mezcló 40 litros de agua con 100 litros de vino. Siextraemos 35 litros de la mezcla, ¿cuántos litros devino quedan?

9. En un aula de 40 alumnos, la relación entre hombres ymujeres es de 3 a 5. ¿Cuántas personas como mínimose deben retirar para que la relación entre los quequedaron sea de 1 a 1?

10.En una reunión se observó que 3 de cada 8 personaseran mujeres. Luego, se retiran 15 parejas por lo quequedaron 7 hombres por cada 3 mujeres. ¿Cuántaspersonas asistieron?

1. En una reunión el número de hombres que bailan es alnúmero de damas que no bailan como 1 a 2, ademásel número de damas es al número de hombres que nobailan como 3 a 5. Determinar cuántas personas bailan,si en total asistieron 72 personas.

a) 8 b) 16 c) 24d) 48 e) 30

2. Hace 6 años una pareja de esposos se casaron cuandosus edades estaban en la relación de 13 a 11 y tuvieronsu primer hijo hace 4 años cuando dichas edadesestaban en la proporción de 7 a 6. Si su hijo acabó lasecundaria a los 15 años, ¿qué edad tenía el padre,sabiendo que es mayor que su esposa?

a) 37 b) 39 c) 42d) 43 e) 45

3. En un tren viajan 84 hombres, 60 mujeres y un ciertonúmero de niños, luego en el primer paradero por cada3 hombres que bajan suben 4 niños y a la vez bajan 2mujeres notándose que la nueva relación entrehombres, mujeres y niños es como 11; 8 y 10respectivamente. Determinar el número de niños quehabía inicialmente.

a) 36 b) 24 c) 42d) 48 e) 45

4. En la academia la relación de hombres y mujeres escomo 2 a 5. La relación de hombres del anual y hombresdel semestral es como 7 a 3. ¿Cuál es la relación de loshombres que están en el semestral y el total de alumnos?

a)635

b)135

c)435

d)235

e)335

5. Un comerciante tiene lapiceros rojos y azules en razónde 7 a 4. Si vende los 2/5 del total de lapiceros de loscuales 3/5 son rojos y el resto azules, ¿cuál es la nuevarelación de lapiceros rojos y azules?

a)10156

b)10356

c)10596

d)10756

e)10956

Autoevaluaciòn

Tarea domiciliaria


ARITMÉTICA

11.La razón entre hombres y mujeres para los hermanosde Luis es 2/3. Pero si consideramos a todos losmiembros de la familia dicha razón sería 4/5. ¿Cuántoshombres hay en la familia?

12.De los 260 kilos de pan vendidos entre francés, integraly de yema; se observó que por cada 2 kilos de integral;1,5 kilos son de francés y por cada 6 kilos de integral,9 kilos son de yema. ¿Cuántos kilos de pan francés sevendió?

13.El precio de 8 lectoras de CD es igual al precio de 5grabadoras de CD. Si 7 lectoras más 3 grabadorascuestan $236, ¿cuánto cuesta una lectora?

14.Nuestras edades están en la relación de 2 a 3. Perocuando yo tenga tu edad, tú tendrás 48 años. Halle lasuma de nuestras edades.

15.Se tiene dos toneles de vino de 30 y 50 litros. ¿Cuántoslitros debemos vertir del primero al otro, para que suscontenidos estén en la relación de 3 a 13?

16.Se tiene dos recipientes cúbicos cuyos volúmenes sonentre sí como 8 es a 27. Se vierte agua en ambos hastaun mismo nivel para los dos. Si la razón aritmética desus contenidos es 40 litros, ¿cuántos litros de aguahay en total?

17.Dos personas tienen terrenos cuyas áreas son entre sícomo 3 es a 5. Si deciden compartir con otra personasus terrenos de tal forma que todos tengan lo mismo,¿cuál es la relación entre las partes cedidas por las dosprimeras personas?

18.En una fiesta la razón entre hombres y mujeres es 3/4.Pero si sólo consideramos los que no bailan, dicha razónes 2/5. Si 70 personas están bailando, ¿cuántaspersonas hay en la fiesta?

19.En una granja hay 406 aves entre pollos, gallinas ypavos. Si la razón entre las gallinas y el triple de pavoses 5/6 y además la razón entre pollos y gallinas es 3/2,¿cuántos pavos hay?

20.Las edades de dos personas son entre sí como 7 es a 4pero dentro de 10 años serán como 4 es a 3. Halle laedad del mayor.



• PROPIEDADES EN TODA PROPORCIÓN

a. Proporción aritmética

a - b = c - d

Propiedad:La suma de los extremos es igual a la suma de losmedios.

a + d = b + c

b. Proporción geométrica

ad

=b

c

Propiedad:El producto de los extremos es igual al producto de losmedios.

a d = b c

Cálculo de la Media Diferencial y la MediaProporcional

1. Sea:a - b = b - c

Por propiedad:

a + c = 2b b = a + c2 (Media Dif.))

2. Sea:

=ab

bc

Por propiedad:

a x c = b2 b a c= (Media Prop.))

• PROPORCIÓN

Igualdad de dos razones

A. Proporción aritmética (P.A.)

a - b = c - d

B. Proporción geométrica (P.G.)

ad

=b

c

• Tanto para la P.A. y P.G. se cumple que:

“a” y “c” = antecedentes

“b” y “d” = consecuentes

“a” y “d” = términos extremos

“b” y “c” = términos medios

• CLASES DE PROPORCIÓN

P.A.

a - b = c - d

a - b = b - c

a. P.A. DISCRETA

Los medios son diferentesb = c

d = 4 Diferencialta

b. P.A. CONTINUA

Los medios son iguales

b = Media Diferencialo

Media Aritmética

c = 3 Diferencialra

P.G.

a. P.G. DISCRETA

Los medios son diferentesb = c

d = 4 Proporcionalta

b. P.G. CONTINUA

Los medios son iguales

b = Media Proporcionalo

Media Geométrica

c = 3 Proporcionalra

ab

= cd

ab

= bc

Proporciones4

26

Proporc iones


1. La suma de los cuadrados de los cuatro términos deuna proporción geométrica continua es igual a 7 225.Calcular la media proporcional, si la diferencia de losextremos es 75.

Resolución:

Sea:cb

ba

a2 + 2b2 + c2 = 7225Pero: b2 = ac

222 85cac2a (a + c)2 = 852

Luego: a + c = 85 a = 80Por dato: a - c = 75 c = 5

b2 = 80 x 5 = 400 b = 20

2. Si las razones aritméticas de los términos de la primera

y segunda razón de una proporción geométrica son 8 y32. Hallar en qué relación estarían los consecuentes dedicha proporción.

Resolución:

Sea:dc

ba Por dato: a - b = 8

c - d = 32

luego:

a c1 1

b d

ddc

bba

41

328

db

d32

b8

1. Hallar la media diferencial de:

1. Calcular la media diferencial entre 40 y 28.

2. Calcular la media proporcional entre 45 y 5.

3. Hallar la cuarta diferencial entre 32; 18 y 50.

4. ¿Cuánto vale la tercera diferencial entre 30 y 24?

5. ¿Cuánto vale la cuarta proporcional entre 24; 12 y 18?

6. ¿Cuánto vale la tercera proporcional entre 32 y 16?

Test de Aprendizaje

Ejercicios


ARITMÉTICA

I. 40 y 32II. 28 y 52

2. Determinar la media proporcional entre:

I. 16 y 4II. 72 y 200

3. Hallar la cuarta diferencial entre:

I. 23; 18 y 12II. 45; 37 y 54

4. Hallar la tercera diferencial entre:

I. 42 y 30II. 39 y 26

5. Calcular la cuarta proporcional entre:

I. 16; 28 y 20II. 14; 42 y 36

6. Calcular la tercera proporcional entre:

I. 18 y 24II. 32 y 40

7. En una proporción aritmética continua, la mediadiferencial es igual a 16 y la razón aritmética de losextremos es 8. Hallar el producto de los extremos.

a) 120 b) 180 c) 240d) 280 e) 360

8. La suma de la media diferencial de 28 y 12 con lacuarta diferencial de 18; 12 y 10, es igual a:

a) 18 b) 20 c) 24d) 26 e) 30

9. En una proporción geométrica, la suma de los términosmedios es 16 y la razón aritmética de los mismos es 4.Hallar el producto de los extremos.

a) 60 b) 64 c) 18d) 20 e) 24

7. El producto de los cuatro términos de una proporcióngeométrica continua es 4096. Hallar la mediaproporcional.

8. La suma de los cuatro términos de una proporciónaritmética continua es 240. Hallar la media diferencial.

9. Si "x" es la media proporcional de 24 y 6 y "n" es lacuarta proporcional de 8, "x" y 18, hallar "x + n"

10.En una proporción geométrica, la suma de los extremoses 52 y la diferencia de los mismos es 28. Hallar elproducto de los términos medios.

Practiquemos

28

Proporc iones


10.Si “m” es la media proporcional de 9 y 4; y “n” es lacuarta proporcional de 8; “m” y 12, hallar “m + n”.

a) 12 b) 15 c) 18d) 20 e) 24

11.La suma de los cuadrados de los términos de unaproporción geométrica continua es 400. Hallar el mayortérmino, si los extremos se diferencian en 12.

a) 2 b) 16 c) 8d) 10 e) 12

12.El producto de tres números es 5 832. Si el primero esal segundo como el segundo es al tercero, hallar elsegundo número.

a) 15 b) 18 c) 21d) 24 e) 27

13.Si las razones aritméticas de los términos de la primera yla segunda razón de una proporción geométrica son 8 y32 respectivamente, hallar en qué relación estarían lasuma y diferencia de los consecuentes de dicha proporción.

a)53

b)75

c)97

d)119

e)1311

14.En una proporción geométrica continua, los términosextremos están en relación de 4 a 9, siendo su suma39. Hallar la media proporcional.

a) 12 b) 15 c) 18d) 24 e) 27

15.En una proporción aritmética continua, la suma de loscuatro términos es 36 y el producto de los extremos es32. Calcular la razón aritmética, sabiendo que es positiva.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

16.El producto de los extremos de una proporcióngeométrica es 84. Sabiendo que la diferencia de losmedios es 8, calcular la suma de los mismos.

a) 8 b) 12 c) 16d) 20 e) 24

17.El producto de los cuatro términos de una proporcióngeométrica continua es 1 296 y la suma de los cuadradosde los extremos es 97. Calcular uno de los extremos.

a) 9 b) 16 c) 25d) 36 e) 49

18.Determinar una proporción geométrica continuasabiendo que el producto de sus cuatro términos es312 y además uno de sus extremos es 9 veces el otro.Dar como respuesta la suma de sus términos.

a) 100 b) 121 c) 144d) 169 e) 196

19.Se tiene dos proporciones geométricas continuas dondela diferencia de los medios proporcionales es 7 y ladiferencia de los productos de los términos extremosde estas proporciones es 161. Determinar el productode los medios proporcionales.

a) 99 b) 100 c) 120d) 169 e) 160

20.En una proporción geométrica la suma de los dosprimeros términos es 20 y la suma de los dos últimostérminos es 25. Calcular el menor de los términosmedios, si la suma de los consecuentes es 27.

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

21.En una proporción geométrica continua en la cual elproducto de sus cuatro términos es 50 625; se cumpleademás que la suma de los antecedentes es igual aldoble del producto de los consecuentes. Calcular lasuma de los cuatro términos de dicha proporción.

a) 105 b) 108 c) 111d) 114 e) 117

22.Si los antecedentes de varias razones iguales son 3; 5;7 y 11 y el producto de los consecuentes es 721 875,hallar el mayor consecuente.

a) 22 b) 33 c) 44d) 55 e) 66

23.Sabiendo que:a b c d7 9 11 15

y: a + b + c = 36, calcular el valor de “d”.

a) 20 b) 25 c) 42d) 52 e) 48

24.Si:

a5

=b8

=c

15

y además: 3a - 5b + 2c = 245

hallar el valor de “a + b + c”.

a) 892 b) 1 436 c) 842d) 982 e) 1 372

25.Si:a c e 1b d f 2

hallar:14 2 2 2 4

6 2 2 5

2a b 3a e 5e f2b 3b f 5f


ARITMÉTICAa) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

26.Se tiene tres números “a”, “b” y “c” que suman 1 270 ycumple que:

a b 23a b 7

y

b c 13b c 7

hallar “a”

a) 400 b) 200 c) 300d) 550 e) 750

27.Hallar “a + b”, si: 1111 2222 3333

= =aaaa bbbb cccc

a + b + c = 360

a) 120 b) 180 c) 150d) 160 e) 280

28.Si 8 es la cuarta proporcional de “a”; 6 y “b”, y “a” es lacuarta proporcional de “b”; 16 y 48, hallar el valor de“a + b”.

a) 56 b) 28 c) 42d) 46 e) 16

29.Hallar la cuarta diferencial entre la cuarta diferencialde 18; 12 y 24 y las medias diferenciales entre 18 y 8;y 96 y 54.

a) 70 b) 65 c) 75d) 71 e) 60

30.El producto de los cuatro términos de una proporcióngeométrica es 50 625. Sabiendo que los medios soniguales y que uno de los extremos es 75, indicar lasuma de los cuatro términos de la proporción.

a) 180 b) 108 c) 156d) 216 e) 258

1. Hallar el mayor de los cuatro términos de una proporcióncontinua para la cual se verifica que el producto de loscuatro términos es igual a 1048576 y que el cuartotérmino es el doble de la suma de los términos medios.

a) 60 b) 64 c) 32d) 150 e) 128

2. Se tiene una proporción geométrica continua, dondela media geométrica de los extremos es 30. Si la mediaaritmética de los antecedentes es 27,5; hallar el cuartotérmino de dicha proporción.

a) 12 b) 24 c) 60d) 36 e) 45

3. En una proporción geométrica continua, la diferenciade los dos primeros términos es a la media proporcionalcomo 1 es a 2. Sabiendo que la suma de los cuatrotérminos es 50, hallar la suma de los extremos.

a) 32 b) 20 c) 28d) 18 e) 26

4. Siendo:a cb d , si se cumple:

a 2 c 4b 3 d 6

, hallar:

2b dR

2a c

a)13

b)32

c)37

d)23

e)12

5. En una proporción geométrica continua, la razón entrela suma y la diferencia de los términos de la primerarazón es 13/3. Hallar la media proporcional, si la sumade los cuatro términos es 169.

a) 67 b) 80 c) 40d) 72 e) 25

Autoevaluaciòn

30

Proporc iones


1. Hallar la media diferencial entre:

I. 54 y 38II. 64,2 y 51,3

2. Determinar la media proporcional entre:

I. 68 y 17II. 44 y 11

3. Hallar la cuarta diferencial entre:

I. 69; 49 y 38II. 32; 29 y 60

4. Hallar la tercera diferencial entre:

I. 61 y 43II. 81 y 49

5. Calcular la cuarta proporcional entre:

I. 32; 80 y 18II. 30; 45 y 102

6. Calcular la tercera proporcional entre:

I. 64 y 24II. 18 y 24

7. El producto de los cuatro términos de una proporcióngeométrica continua es 1 296. Si uno de los extremoses 3, la suma de cifras del otro es:

8. El producto de los cuatro términos de una proporcióndiscreta es 15 876. Si el primero de estos términos es7, calcular el producto de los términos medios.

9. En una proporción aritmética, la suma de los extremoses igual a 22. Si los términos medios se diferencian en2 unidades, el menor de estos medios es:

10.La suma de los extremos de una proporción geométricacontinua es 15 y su diferencia es 9. Hallar la mediaproporcional.

11.La suma de los cuadrados de una proporción geométricacontinua es 400. Hallar el mayor término, sabiendoque un extremo es la cuarta parte del otro.

12.En una caja hay 120 bolas de las cuales 30 son rojas yel resto blancas. ¿Cuántas bolas blancas se deben retirarpara tener 2 bolas rojas por cada 3 blancas?

13.El producto de los cuatro términos de una proporcióngeométrica continua es 38 416. Si uno de los extremoses 98, hallar la suma de los cuatro términos.

14.¿Cuál es la diferencia entre los extremos de unaproporción geométrica continua, si la suma de suscuatro términos es 150 y la razón entre la suma y ladiferencia de los dos primeros términos es 5/3?

15.En una proporción aritmética discreta los términosextremos están en la relación de 7 a 5. Si la suma delos medios es 180, calcular la cuarta diferencial.

16.Si se aumenta una misma cantidad a los números: 24;120 y 360 se forma una proporción geométrica continua.¿Cuál es esta cantidad?

17.Se tienen dos escalas de temperatura: "x" e "y". Latemperatura en que el agua se congelan es 0° en "x" y20° en "y"; el agua hierve a 60° en "x" y 140° en "y".¿En qué temperatura coinciden las dos escalas?

18.En una proporción geométrica continua el producto delos antecedentes es 400 y el de los consecuentes es6 400. Hallar la suma de los 4 términos.

19.Quince es la media proporcional de "a" y 25; "2a" es latercera proporcional de 8 y "b". ¿Cuál es la cuartaproporcional de "a"; "b" y 15?

20.La suma de los extremos de una proporción geométricacontinua es 104. Hallar la media proporcional, si la razónes 2/3.

Tarea domiciliaria



1. La suma, diferencia y producto de dos números enterosestán en la misma relación que los números 7; 1 y 48.Hallar el mayor de dichos números.

a) 20 b) 18 c) 16d) 14 e) 12

2. Las edades de tres hermanas hace 4 años estaban enla misma relación que 2; 3 y 4. Si dentro de 4 añosserá como 6; 7 y 8, ¿qué edad tiene la mayor?

a) 8 años b) 10 c) 12d) 14 e) 18

3. Si 5 es la cuarta proporcional de "a"; 6 y "b", además "b"es la cuarta proporcional de "a"; 9 y 30; halle "a + b".

a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) 34

4. En una proporción aritmética continua, la suma de losextremos es 24. Calcular la media diferencial.

a) 10 b) 12 c) 16d) 20 e) 24

5. Halle la cuarta proporcional de 56; "m" y "n", sabiendoque "m" es la media proporcional de 28 y 7 y "n" es latercera proporcional de 9 y 12.

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 16

6. En una proporción geométrica discreta, el producto delos antecedentes es 120 y el producto de losconsecuentes es 270. Si la suma de los dos términosde la primera razón es 25, ¿cuál es la suma de lostérminos de la segunda razón?

a) 12 b) 16 c) 25d) 28 e) 30

7. Determinar la tercera proporcional entre la mediaproporcional de 9 y 16 y la cuarta proporcional de 10;15 y 14.

a) 24,5 b) 36,75 c) 24,75d) 36,5 e) 28,5

8. Se conoce que “d” es la cuarta proporcional de 2; “b” y“c”; donde “b” es la tercera proporcional de 2 y 8; además“c” es la media proporcional de los mismos números.

Hallar: dcb

a) 4,5 b) 986 c) 64d) 10 e) 816

9. Se sabe que “a” es la media proporcional de 20 y 320y “b” es la media proporcional de 120 y 1 080. Hallar lamedia proporcional de “2a” y “b”.

a) 220 b) 260 c) 240d) 300 e) 360

10.En una reunión social las cantidades de ingenieros,médicos y arquitectos forman una proporción aritméticacontinua de razón 20. Si por cada 7 ingenieros hay 2arquitectos, ¿cuántos son en total?

a) 36 b) 54 c) 72d) 108 e) 120

11.En una proporción geométrica, la suma de loscuadrados de los antecedentes es 225 y la suma de lostérminos de la primera razón es los 3/4 de la suma delos términos de la segunda razón. Hallar el productode los antecedentes.

a) 108 b) 45 c) 20d) 8 e) 18

12.En una proporción geométrica continua, la raíz cuadradade la suma de los cuadrados de los cuatro términos es15, entonces la diferencia entre los términos mayor ymenor es:

a) 9 b) 6 c) 3d) 12 e) 15

13.La suma de dos números es a su diferencia como 6 esa 1. Si el producto de los dos números es 5 040, indicarla diferencia de los numerales.

a) 24 b) 30 c) 36d) 42 e) 48

14.Inés nos cuenta: “En el barrio donde nací, éramos siete

Complemento derazones y proporciones5

Ejercicios

32

Complemento de razones y proporciones


mujeres por cada tres hombres, pero en el transcursode los años, por dos de nosotras llegó un hombre. Ahoraque invito a todos a mi cumpleaños, observo sentadaque todos bailan”. ¿Cuántos hombres habían en elcumpleaños?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

15.El jardinero "A" planta más rápidamente que el jardinero"B" en la proporción de 4 a 3. Cuando "B" planta "x"rosas en una hora, "A" planta "x + 2" rosas. ¿Cuántasrosas planta "B" en 4 horas?

a) 12 b) 24 c) 30d) 36 e) 40

16.En un momento de una fiesta, el número de hombresque no bailan es al número de personas que estánbailando como 1 es a 6. Además el número de damasque no bailan es al número de hombres como 3 es a20. Encontrar el número de damas que están bailando,si en total asistieron 456 personas.

a) 120 b) 150 c) 180d) 200 e) 210

17.Para elegir los nuevos dirigentes de un club sepresentaron las listas “A” y “B”; para votar se hacenpresentes 240 socios. En una votación de sondeo inicialla elección favorece a “B” en la proporción de 3 a 2;pero en la segunda votación legal ganó “A” en unaproporción de 5 a 3. ¿Cuántos socios que inicialmentevotaban por “B” se cambiaron por “A” en la segundavotación?

a) 24 b) 48 c) 54d) 72 e) 60

18.Cuatro números son proporcionales a: 1; 2; 3 y 5,además la suma de los cubos de dichos números es1.288. El mayor es:

a) 20 b) 5 c) 15d) 8 e) 10

19.En un corral hay patos y gallinas. Si el número de patoses al total como 3 a 7; y la diferencia entre patos ygallinas es 20, ¿cuál será la relación entre patos ygallinas al quitar 50 gallinas?

a) 4 : 3 b) 2 : 1 c) 3 : 4d) 3 : 2 e) 2 : 3

20. 2 970 estudiantes votaron por una moción. En unaprimera votación por cada 4 votos a favor habían 5 encontra. Pedida la reconsideración se vio que por cada8 votos a favor había 3 en contra. ¿Cuántas personascambiaron de opinión? (No hubo abstenciones)

a) 990 b) 330 c) 1 320d) 660 e) 840

21.En una serie de razones geométricas equivalentes derazón 3, los consecuentes son tres númerosconsecutivos. Hallar la suma de los consecuentes,sabiendo que el producto de antecedente es 5 670.

a) 18 b) 80 c) 44d) 46 e) 54

22.Sabiendo que la razón geométrica de dos números cuyadiferencia de cuadrados es 180, se invierte al sumar 6al menor y restar 6 al mayor, hallar su producto.

a) 180 b) 216 c) 270d) 396 e) Hay dos respuestas

23.Los antecedentes de varias razones geométricas igualesson 2; 3; 4 y 5 y el producto del primer antecedente ylos tres últimos consecuentes es 41 160. La suma delos consecuentes es:

a) 94 b) 98 c) 95d) 96 e) 97

24.En una tienda el número de lapiceros azules es alnúmero de rojos como 24 es a 31; en un día sevendieron la quinta parte de los lapiceros de los cualeslos rojos y azules están en la proporción de 9 a 13. ¿Enqué relación quedaron los lapiceros sin vender?

a)17

b)1113

c)1117

d)1317

e)3553

25.La relación entre el número de preguntas derazonamiento matemático que contestó Carlos y elnúmero de preguntas que contestó Juan es como 3 a 7y lo que contestó Juan y lo que contestó Roberto escomo 2 a 5. Si el total de preguntas contestadas porlos tres suman 220, ¿cuántas preguntas contestó Juan?

a) 50 b) 56 c) 64d) 60 e) 58

26.La suma de tres números es 1 425; la razón del primeroy el segundo es 11/3 y la diferencia de los mismos es600. Hallar el tercer número.

a) 200 b) 400 c) 500d) 600 e) 750

27.En un cine con capacidad para 550 personas se observaque cierto día asistieron cada padre con 3 niños y porcada 2 niños hay un asiento vacío. ¿Cuántos niñosasistieron?

a) 100 b) 200 c) 250d) 300 e) 350


ARITMÉTICA

1. Calcular “A”, si:A 3B 2 y además: A + B = 100.

2. Si:A 51B 34

y además: A×B = 96, calcular el valor de “B”.

3. La razón aritmética de dos números es 26. Si el productode ambos números es 456, calcular el menor número,sabiendo que es entero y positivo. (Dar como respuestala cifra de decenas).

4. La razón de dos números es 12/17 y su suma es 696.Hallar el menor de los números.

5. La razón aritmética de dos números es 48. Si elantecedente es 60, calcular el consecuente.

6. La razón geométrica de dos números es de 3 a 8; y susuma es 2 497. Indicar el menor de los números.

7. Tres números son proporcionales a 2; 5 y 7. Si ladiferencia del segundo y el primero es 15, indicar eltercer número.

8. En una reunión el número de hombres es al númerode mujeres como 8 es a 7. Si en total asistieron 90personas, indicar el número de mujeres, si se retiran 7parejas.

9. En un corral el número de patos excede al número degallinas en 75; además se observa que por cada 8 patoshay 5 gallinas. ¿Cuál es el número total de patos ygallinas que hay en el corral?

10.En una reunión la relación del número de hombres conel número de mujeres es 8/5, pero luego el númerototal de personas aumentó en un 20%, quedando elnúmero de hombres aumentado en su 30%. Hallar lanueva relación que hay entre el número de hombres yel número de mujeres.

11.La razón geométrica entre dos números cuya suma es91, se invierte si se añade 19 al menor y se quita 19 almayor. ¿Cuál es el mayor de dichos números?

12.La razón geométrica de dos números es a su razónaritmética como 5 es a la cuarta parte del menor. ¿Quéparte del mayor es el menor, si la razón geométrica esmayor que 1?

13.La razón aritmética de dos números es a la razóngeométrica de los mismos, como el menor es a 7/4.¿En qué relación se encuentran dichos números?

14.La suma de dos números es un cubo perfectocomprendido entre 200 y 300. Si la razón geométricade ellos es 15/3, entonces la razón aritmética de elloses:

15.Beto y Arturo juegan a las canicas. Beto empezó con66 y Arturo con 132. Después de 40 juegos, la razónentre lo que tiene Beto y Arturo es de 3 a 8. Calcularcuántos juegos ganó Beto. (En cada juego se gana ose pierde una canica).

16.De una canasta llena con manzanas se observó que elpeso de todas las manzanas es al peso total como 3 esa 4. Si se vendieron 5 manzanas, la nueva relación esde 2 a 3. ¿Cuántas manzanas quedaron luego de ello,si cada una pesa 60 g?

28.En un corral se observa por cada 2 gallinas hay 3 patosy por cada 5 gansos, hay 2 patos. Si se aumentaran 33gallinas, éstas serian igual a la cantidad de gansos.Calcular cuántos patos hay en el corral.

a) 9 b) 18 c) 24d) 30 e) 33

29.En una proporción geométrica continua la suma de losconsecuentes es 9 y el producto de los términosdiferentes es 216. Hallar la suma de los antecedentes.

a) 18 b) 15 c) 12d) 9 e) 6

30.En una proporción aritmética discreta los extremos sonentre sí como 4 a 3 y los medios son como 5 a 9. Si lasuma de los antecedentes es 68, calcular la cuartadiferencial.

a) 4 b) 8 c) 16d) 24 e) 30

Tarea domiciliaria

34

Complemento de razones y proporciones


17.Si se cumple:cb

ba ; donde “a”, “b” y “c”, son enteros.

Además: 70bcab , hallar el valor de “b”..

18.Determinar el menor de tres números que son entre sícomo 3!; 5! y 7!, si se sabe que el triple del productode los números es igual al cuadrado del producto delos dos menores números.

19.Hallar el producto de los términos de una razóngeométrica que cumpla: si sumamos “n” al antecedentey consecuente de dicha razón se forma otra razón cuyovalor es la raíz cuadrada de la razón inicial; sabiendoque los términos de la razón son diferentes.

20.Una empresa dispone de 28 710 soles para serdistribuidos entre 25 obreros, 12 empleados y 6ejecutivos. Se sabe además que la parte de un obreroes los 5/7 de la de un empleado y representa los 3/11de un ejecutivo. El haber de un empleado es:



MAGNITUDSe denomina magnitud a todo aquello que puede sercomparado en menor o mayor grado de intensidad.Ejemplo: Presión, volumen, temperatura.

CANTIDADSe denomina así a un estado particular de una magnitud.Ejemplo: 2 atm, 30 cm3, 37°C

• MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes son directamente proporcionales, sicuando una magnitud se multiplica o divide por unnúmero, la otra queda multiplicada o dividida por elmismo número, es decir, el cociente entre ambas resultaser constante.

Sean las magnitudes “A” y “B”:

A a1 a2 a3 ... an

B b1 b2 b3 ... bn

Se cumple que:

kba

...ba

ba

ba

n

n

3

3

2

2

1

1

Luego “A” es directamente proporcional a “B”

* Notación:A D.P. B A B = kA

B

Representación gráfica:

k = Tg

(Pendiente de la recta)

a3

a2

a1

b1 b2 b3

A

B

• MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, sicuando una magnitud se multiplica o divide por unnúmero, la otra queda dividida o multiplicada por elmismo número. En consecuencia el producto de ambasresulta ser constante.

Sean las magnitudes “A” y “B”:

A a1 a2 a3 ... an

B b1 b2 b3 ... bn

Se cumple que:

a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = ... = an . bn = k

Luego “A” es inversamente proporcional a “B”

* NotaciónA I.P. B

A . B = kA 1

B

Representación gráfica

b4

b3

b2

a1 a2 a3

B

A

b1

a4 ...

...

...

Propiedades

1. Si: A D.P.B1

A I.P. B

2. Si: A I.P.B1

A D.P. B

3. Si: A D.P.BCD

A D.P. (B x C x D)

Proporcionalidad6

36

Proporc iona l idad


Problemas resueltos

1. Si “A” es D.P. a “B” e I.P. a C y en un determinadomomento “A” vale 720, ¿qué valor tomará “A”, si “B”aumenta en un 80% y “C” disminuye en un 36%?

Resolución:

6201AB8,1

C64,0AB

C720K

BCA

2. El peso de un elefante blanco es D.P. a sus años. Si unelefante tuviera 360 kg, entonces su edad sería 32 años.¿Cuántos años tendrá sabiendo que su peso es 324.kg?

Resolución:

kAñosPeso 360

32

455

4

=324x

36

años28años5

144x

73x

45

365

x = 28 años 292 días

3. El precio de un televisor a colores varía D.P. al cuadradode su tamaño e I.P. a la raíz cuadrada de la energíaque consume. Si cuando su tamaño es de “T” pulgadasy consume “x” energía, su precio es de $360. ¿Cuántocostará un televisor cuyo tamaño es al del anteriorcomo 3 es a 2 y consume x/4 de energía?

Resolución:

222 34xP

2

x360k

T

EP

90360 x P x

P $1 6204 9 2

1. Si "A" D.P. a "B" y cuando A = 8, B = 24. Hallar "A",

cuando B = 123

2. Si: A2 D.P. a B y cuando A = 4 ; B = 8. Hallar "B",cuando A = 16.

3. Sabiendo que: A D.P. BA D.P. C

además cuando A = 24, B = 6 y C = 8. Hallar "A",cuando B = 12 y C = 5.

4. Sabiendo que: A I.P. BA D.P. C

además cuando A = 8, B = 14 y C = 49. Hallar "B",cuando A = 24 y C = 21.

Test de Aprendizaje


ARITMÉTICA5. El precio de un televisor varía D.P. al cuadrado de su

tamaño. Si cuando su tamaño es 14 pulgadas, su precioes 240 dólares y cuando su tamaño sea 21 pulgadas,¿cuánto costará el televisor?

6. Se sabe que: A I.P. B , calcular "m + n", si tenemos:

A 18 12 mB 9 n 25

7. Una rueda "A" de 24 dientes engrana con otra rueda"B" de 36 dientes. Si la rueda "A" da 48 vueltas porminuto, ¿cuántas vueltas por minuto dará la rueda "B"?

8. Fijo al eje de la rueda "M" hay otra rueda "N". Si la rueda"M" da 80 R.P.M., ¿cuántas R.P.M. dará la rueda "N"?

9. Del gráfico:y

m

18

6

2 n 3x

Hallar: (m + n)

10.Del gráfico:y

a

8

b

2 6 12x

Hallar: (a + b)

38

Proporc iona l idad


1. “x” varía en razón directa a “y” e inversa al cuadradode “z”, cuando x = 10, entonces y = 4, z = 14. Hallar“x”, cuando y = 16 y z = 7.

a) 180 b) 160 c) 154d) 140 e) 120

2. Se sabe que “A” es D.P. a B e I.P. a 3 C . Ademáscuando “A” es 14 entonces B = 64 y C = B. Hallar “A”,cuando “B” sea 4 y “C” sea el doble de “B”.

a) 7 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

3. Se tienen tres magnitudes “A”, “B” y “C”, tales que “A”es D.P a “C” e I.P. a B . Hallar “A”, cuando B = C2,sabiendo que cuando A = 10, entonces B = 144 y C = 15.

a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) 15

4. Sabiendo que “A” es directamente proporcional al cuadradode “B”, calcular los valores de “m” y “p”. Si tenemos:

AB

453

320m

p10

a) 15 y 250 b) 4 y 100 c) 12 y 400d) 8 y 500 e) 12 y 90

5. La magnitud “A” es directamente proporcional al cua-drado de “B” e inversamente proporcional a “C”. Cuando“B” es 30 y “C” es 15, entonces “A” es igual a 18. Hallar“B”, cuando “A” sea 40 y “C” tome el valor de 27.

a) 15 b) 30 c) 60d) 75 e) 50

6. Siendo “A” D.P. al cuadrado de “B” e I.P. al cubo de “C”,hallar “m” y “p” del siguiente cuadro:

A12125p

B4m8

C532

a) 12 y 750 b) 18 y 375 c) 6 y 375d) 6 y 750 e) 6 y 500

7. Se sabe que: “x + 2” varía proporcionalmente con“y - 3”. Si cuando x = 10 entonces y = 19, hallar elvalor de “x”, si: y = 31.

a) 21 b) 23 c) 20d) 19 e) 18

8. “A” y “B” son dos magnitudes D.P. Cuando el valor inicialde “B” se triplica, el valor de “A” aumenta en 10unidades. Cuando el nuevo valor de “B” se divida entre5, ¿qué sucederá con el valor de “A” respecto al inicial?

a) Aumenta en 15 unidadesb) Disminuye en 10 unidadesc) Disminuye en 12 unidadesd) Disminuye en 2 unidadese) No se puede determinar

9. Los saltos de mamá canguro son proporcionales a lossaltos de su hijo. Cuando el hijo canguro da 398 saltos,mamá da 995. ¿Cuántos saltos dará mamá cuando elhijo recorra 600 m y además un salto de éste equivalena 3/4 de un metro?

a) 1 600 b) 2 000 c) 2 400d) 800 e) 1 000

10.El peso “W” de un cilindro varía proporcionalmente asu altura “h” y al cuadrado del diámetro “d” de su base.¿Cuál es la suma de los números con que se llenaránlos espacios en blanco de la siguiente tabla?

W 25 7,2h 2,5 4 2

d 2 0,6

a) 4,80 b) 5,04 c) 6,80d) 7,20 e) 7,44

11.El precio de un diamante es directamente proporcionalal cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 20gramos cuesta 4 000 dólares, ¿cuánto costará otrodiamante que pesa 25 gramos?

a) $6 000 b) 5 000 c) 7 500d) 4 800 e) 6 250

12.El área de un círculo es directamente proporcional alcuadrado de su radio. Si un círculo de 12 cm de radiotiene un área de 400 cm2, ¿cuál será el área de otrocírculo cuyo radio es 25% mayor?

a) 600 cm2 b) 500 c) 625d) 800 e) 1 000

13.La potencia del motor de un automóvil es directamenteproporcional a su capacidad e inversamenteproporcional a los años de uso. Si un motor de 4 litrosde capacidad y tres años de uso tiene una potencia de80 caballos, ¿cuántos años de uso tiene otro motor de6 litros de capacidad y 90 caballos de potencia?

a) 4 b) 3 c) 6d) 7 e) 5

Practiquemos


ARITMÉTICA14.En la siguiente gráfica, la línea “OA” representa

proporcionalidad directa y la curva “AB” representaproporcionalidad inversa. Hallar los valores de “a” y “b”.

a

10

b

4 6

MA

B

P0 10

a) 15 y 10 b) 12 y 9 c) 10 y 12d) 15 y 9 e) 12 y 10

15.Del siguiente gráfico, hallar “a + b”.

y D.P. x

y I.P. x8

6

1,6

a 15

yA

B

xb

a) 32 b) 25 c) 23d) 28 e) 24

16.Una rueda “A” de 80 dientes engrana con otra rueda“B” de 50 dientes. Fijo al eje de “B” hay otra rueda “C”de 15 dientes que engrana con una rueda “D” de 40dientes. Si “A” da 120 vueltas por minuto, ¿cuántasvueltas dará la rueda “D” en un minuto?

a) 70 b) 72 c) 60d) 90 e) 96

17.El volumen de una esfera está en razón directa al cubo

de su radio. Cuando una esfera tiene de radio 321

dm,

s u v o l u m e n e s 1 7 9

32

dm3. ¿Qué volumen tendrá una

esfera de radio igual a 3 dm?

a) 326 dm3 b) 305 c) 528

d) 11371

e) 3262113

18.Si “A” I.P. “B”, cuando A = a, B = b y si “A” aumenta 1unidad, “B” disminuye 1; además se cumple:

19y

8x

b1a

hallar: 3 yx

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

19.La velocidad de un velero es proporcional a la velocidaddel viento e inversamente proporcional al peso quelleva. Si cuando la velocidad del viento es de 15 km/h,el peso es de 100 kg y la velocidad del velero es de10.km/h, determinar la velocidad del viento en unatormenta, si el peso es de 80 kg y la velocidad delvelero 20 km/h.

a) 20 km/h b) 21 c) 19d) 22 e) 24

20.En una empresa el sueldo es D.P. a la edad y a los añosde servicio del empleado e I.P. al cuadrado de lacategoría. Juan empleado de 2da categoría con 10 añosde servicio en la empresa y de 56 años de edad ganaS/. 2 000 y José que entró a la empresa 3 años despuésque Juan, gana S/.5 000 y es empleado de 1eracategoría. Hallar la diferencia de edades de ambos.

a) 8 b) 7 c) 11d) 6 e) 12

21.Se tienen dos magnitudes “A” y “B” que tienen unacierta relación de proporcionalidad, tales que:

a)AB

1144

236

316

49

121

1,5xx

Hallar “x”

Rpta.: ________________

b)AB

11728

2432

3192

4108

648

xx

Hallar la suma de cifras de “x”.

Rpta.: ________________

c)AB

212

327

448

6108

8192

9x

Hallar el producto de las cifras de “x”.

Rpta.: ________________

22.El gasto de una persona es D.P. a su sueldo, siendo elresto ahorrado.

a) Un señor cuyo sueldo es de S/.900 ahorra S/.90.¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea S/.1 260?

Rpta.: ________________

b) Una ama de casa gasta en el mercado S/.100,ganando S/.1 600. ¿Cuánto ahorra, si su sueldo sehace una cuarta parte menos?

Rpta.: ________________

23.El incremento anual de la población de una ciudad esD.P. a la población existente al comienzo del año. Si alcomenzar el año 99 la población era de 400 000; y alcomenzar el año 2000 era 420 000, ¿cuál será lapoblación al terminar el año 2001?

Rpta.: ________________

40

Proporc iona l idad


24.El precio de una piedra preciosa es directamenteproporcional al cubo de su peso. Si se tiene una deestas piedras, cuyo precio es de S/.375 y se parte endos pedazos uno de los cuales es 1/4 del otro, ¿quépérdida de valor sufrió la piedra?

Rpta.: ________________

25.Sea: f(x) = kx una función de proporcionalidad, en la que:

f(2) . f(5) . f(45

) = 216

hallar:f(3)f(6)f(9)

f(12)

Rpta.: ________________

* Problemas de comparación:

Columna A Columna B26.Si: “A” es I.P. a “B”,

entonces cuando A B“A” es 5, “B” es 8.Si: A = 20, B = ?

27.La cantidad dealumnos hombres hombres mujeresa mujeres es 4 a 7

28.Dos ruedas conca-tenadas (engrana- # vueltas # vueltasdas) de 24 y 45 del mayor del menordientes cada unarespectivamente

29.Veinte operarios pueden realizar una obra en 15 días.Para que la obra sea terminada en 10 días, entonces:

I. Necesito 30 obreros de igual rendimiento que losanteriores.

II. Necesito 15 obreros de doble rendimiento que losanteriores.

30.En la gráfica, para conocer:xy

, necesito:

I. Saber el valor de “k”.II. No necesito el valor de “k”.

A d.p. B6

x

4

A

B8 y k

1. Si "A" es D.P. a la suma de tres magnitudes, tales quela primera es D.P. a B , la segunda varía D.P. con "B"y la tercera varía I.P. con B .Si: A = 158 B = 36

A = 75 B = 16A = 273,5 B = 64

Hallar el valor de "B", cuando: A = 601

a) 324 b) 164 c) 154d) 144 e) 180

2. Se sabe que "A" es D.P. a B2 (C = constante) y "C" esD.P. A (B = constante). Si se tiene los siguientes datos:

A = 4 A = x

B = 2 B =12

C = 1 C =12

Hallar "x"

a)115

b)116

c) 16

d)13

e)18

3. Si el precio de un diamante es D.P. al cuadrado de supeso, ¿cuánto se perdería si un diamante se rompe endos pedazos siendo uno el triple del otro? (El diamanteentero estaba valorizado en 32 000 dólares).

a) 5 000 b) 1 000 c) 12 000d) 5 400 e) 1 200

4. Se sabe que "A" es I.P. con "B" y que "B" es I.P. con "C".Si cuando "A" aumenta 15 unidades "C" varía en un 20%.¿Qué pasa con "B" cuando "A" disminuye en 12 unidades?

a) Disminuye en 25% b) Disminuye en 30%c) Aumenta en 25% d) Aumenta en 30%e) Aumenta en 10%

5. Si "A" es I.P. con B (B 36); "A" es D.P. con B4

(B 36). Además si A = 75 , cuando B = 12, hallar"A" cuando B = 72

a) 70 b) 80 c) 60d) 50 e) 45

Autoevaluaciòn


ARITMÉTICA

1. Sabiendo que “A” es D.P. a “C” e I.P. a “B”. Hallar “A”,cuando B = 16 y C = 48; si cuando “A” vale 24, “B” es10 y “C” es 36.

2. Sabiendo que “A” es D.P. a “C” e I.P. a “B”. Hallar “A”,cuando B = 6 y C = 18; si cuando A = 36; B = 12 y C = 24.

3. “A” es D.P. a B e I.P. a C2, cuando A = 10; B = 25 yC = 4. Hallar “A”, cuando B = 64 y C = 8.

4. Del siguiente gráfico, calcular “a + b”.

7

31,4

a 15 b

hipérbola

5. Si la magnitud de "A" es D.P. a B2, calcule el valor de"A" cuando "B" es 16, sabiendo que cuando "A" tomael valor de 25, "B" asume el valor de 20.

6. Gaby, de 180 cm de altura, proyecta una sombra de120 cm. ¿Qué altura tendrá un árbol que a la mismahora proyecta una sombra de 400 cm?

7. Pilar pintó las caras de un cubo en 20 minutos. Si ahoraestá pintando otro cubo cuya arista es el triple delanterior, ¿en cuánto tiempo terminará de pintar estecubo?

8. El precio de un diamante es proporcional al cuadradode su peso, al caerse dicho diamante, se fracciona endos partes, que están en la relación de 2 a 3. Calcule elprecio inicial del diamante. Considere que si se vendenen partes se perdería S/. 1 560.

9. Las ruedas "A", "B", "C" y "D" tienen 40; 160; 60 y 90dientes respectivamente. "A" y "B" están engranadas,"B" y "C" sujetas al mismo eje, "C" y "D" estánengranadas. Si "A" da 120 RPM, ¿en qué tiempo "D"dará 200 vueltas?

10.La pérdida de una carga de agua que circula por untubo es D.P. a la longitud del mismo y varía en razóninversa a su diámetro. Si en una longitud de 9,5 m detubo y 3,8 cm de diámetro, la pérdida de carga fue de12 cm, ¿cuál fue la pérdida de la carga de un tubo de75 m de largo y 18 cm de diámetro?

11.El alargamiento que sufre una barra es proporcional asu longitud y a la fuerza que se aplica, e I.P. a su seccióny rígidez. Si a una barra de acero de 100 cm de largo y31 mm2 de sección se le aplican 2 000 newton, sufreun alargamiento de 1 mm. Hallar qué alargamientoocasiona 800 newton aplicado a una barra de aluminiode 70 cm de largo y 12,4 mm2 de sección, sabiendoque la rígidez del aluminio es la mitad que la del acero.

12.La magnitud “A” varía proporcionalmente a la magnitudB2 e I.P. a la magnitud “C”; así mismo “B” varía D.P. a laraíz cuadrada de “D”, y “C” varía I.P. a la magnitud “E”.Si: A = 40; D = 2 y E = 5, hallar “A”, cuando: D.E = 20.

13.El peso de un disco varía proporcionalmente al cuadradode su radio y también a su espesor. En dos discos cuyosespesores están en relación de 9 a 32 y donde el pesodel primero es el doble del segundo, se pide determinarla relación de sus radios.

14.En el siguiente cuadro, se pide determinar el valor de“a+b”; sabiendo que “A” es D.P. al cuadrado de “B” y alcubo de “C” e I.P. a la raíz cuadrada de “D”.

A

B

C

D

a

5

2

25

108

2

b

9

324

4

3

16

15.En cierto proceso de producción se descubre que éstaera D.P. al número de máquinas e I.P. a la raíz cuadradade la antigüedad de ellas. Si inicialmente habían 15máquinas con 9 años de uso y se consiguen 8 máquinasmás con 4 años de uso cada una, determinar la relaciónentre la producción actual y la anterior.

16.La potencia del motor de un automóvil es D.P. a sucapacidad e I.P. a los años de uso. Si un motor de 4,2litros de capacidad y 3 años de uso tiene una potenciade 72 caballos, ¿cuántos caballos de potencia tieneotro motor de 6,3 litros de capacidad y 6 años de uso?

17.La resistencia de un conductor metálico de sección rectacircular es proporcional a su longitud e inversamenteproporcional al cuadrado de su diámetro. ¿Qué sucedecon la resistencia, cuando su longitud se duplica y elradio se hace la mitad de su valor?

18.La potencia de un circuito varía en forma D.P. con laresistencia del conductor eléctrico y con el cuadradode la corriente que circula. Si la corriente se reduce asu mitad y la resistencia se triplica, ¿qué sucede con lapotencia, aumenta o disminuye? ¿y cuánto?

Tarea domiciliaria

42

Proporc iona l idad


19.Se ha descubierto que el tiempo en días que demoraun hombre en hacer un trabajo varía en razón de susalario por hora e inversamente a la raíz cuadrada delnúmero de horas que trabaja por día. Se puede acabarun artículo en 6 días, cuando trabaja 9 horas diarias aS/.300 por hora. ¿Cuántos días tardaría en terminar elmismo artículo cuando trabaja 16 horas diarias aS/.450 por hora?

20.Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales;calcular “a+b”.

a

30

10

5 6 bB

A



1. La magnitud “A” es D.P. a la magnitud “B”. CuandoA = 51, entonces B = 3. Hallar el valor que toma “B”,cuando A.=.34.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Se tiene dos magnitudes “A” y “B” tales que A es D.P. aB2; además cuando A = 75, entonces B = 5. Hallar “A”,cuando B = 4.

a) 40 b) 42 c) 36d) 32 e) 48

3. Sabiendo que “x” es I.P. a (y2 - 1); donde: x = 24,cuando y.= 10. Hallar “x”, cuando y = 5.

a) 90 b) 88 c) 72d) 99 e) 100

4. “A” es I.P. a B . ¿Qué sucede con “B”, cuando “A””aumenta en su triple?

a) Se divide entre 16 b) Se divide entre 9c) Se multiplica por 9 d) Se divide entre 8e) No cambia

5. Si: A B D.P. a C2; cuando A = 6 y B = 3, entoncesC = 3. Hallar “B”, si: C = 6 y A = 9.

a) 140 b) 145 c) 142d) 135 e) 120

6. Siendo “A” D.P. al cuadrado de la magnitud “B”determinar "a+b", si el siguiente cuadro muestra losvalores de las magnitudes respectivas.

AB a

274

75 b5

a) 52 b) 51 c) 48d) 47 e) 45

7. En el siguiente gráfico, calcular “a + b”.

A

a+16

a

a-24

24 32 b B

a) 112 b) 56 c) 72d) 68 e) 60

8. La gráfica muestra los valores que toman dosmagnitudes “A” y “B”. Calcular "m + n".

A

m

8

n

12 18 36 B

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

9. En el siguiente gráfico de magnitudes “L” y “T”, hallar"2a.+.b".

L

45

36

a

b-1 b b+1 T

a) 60 b) 62 c) 75d) 80 e) 65

Complemento deproporcionalidad7

Ejercicios

44

Complemento de proporcionalidad


10.Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales,calcular "a + b".

39

24

a

10 b 65

a) 42 b) 43 c) 45d) 46 e) 50

11.El sueldo de un empleado es proporcional al cuadradode la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años,¿dentro de cuántos años cuadruplicará su sueldo?

a) 36 b) 18 c) 20d) 12 e) 10

12.Suponiendo que el apetito de una persona es D.P. a sutalla e I.P. a su estado de ánimo. Entonces si Hugo quemide 1,80.m y cuyo estado de ánimo es de 4 puntos secome 18 sandwichs, hallar cuántos sandwichs se comeWalter que mide 1,20 m y su estado de ánimo es de 6puntos.

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

13.Si “A” es D.P. a “B” y cuando A = a; B = b, y si “A”aumenta 1 unidad, “B” aumenta en 2. Entonces el valorde la constante de proporcionalidad es:

a)21

b)31

c) 2

d) 4 e)41

14.La magnitud "A" es I.P. a B2. Las variaciones de “A” y“B” están dados en la siguiente tabla de valores:

AB

3a6

144b

c2

9a

Hallar “a + b + c”

a) 15 b) 12 c) 339d) 335 e) 340

15. El precio de una casa es directamente proporcional alárea e inversamente proporcional a la distancia que lasepara de Lima. Si una casa ubicada a 75 km, cuestaS/.45 000, ¿cuánto costará una casa del mismo material,si su área es el doble y se encuentra a 150 km dedistancia?

a) S/.45 000 b) 22 500 c) 11 250d) 90 000 e) 180 000

16.Dos ruedas de 24 y 39 dientes están concatenadas. Enel transcurso de 4 minutos una da 50 vueltas más quela otra. Hallar la velocidad del menor en rev/min.

a) 38,5 b) 20 c) 37,5d) 32,5 e) 22,5

17.El precio de impresión de un libro es directamenteproporcional al número de páginas e inversamenteproporcional al número de ejemplares que se impriman.Se editaron 2 000 ejemplares de un libro de 400 páginascuyo costo es $6 el ejemplar. ¿Cuánto costará editarun ejemplar, si se mandaron a imprimir 1 800 libros de360 páginas?

a) $6 b) 8 c) 4d) 7 e) 5

18.El sueldo de un empleado es directamente proporcionala su rendimiento e inversamente proporcional al númerode días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldomensual de S/.600 y su rendimiento es como 5 y faltó4 días, entonces, ¿cuál es el sueldo de Carlos, si surendimiento es como 8 y faltó 3 días?

a) S/.960 b) 1 080 c) 1 280d) 1 440 e) 980

19.La siguiente figura muestra la gráfica de dos magnitudesdirectamente proporcionales: La producción de unafábrica, respecto al número de obreros. La primera rectase ha obtenido con obreros experimentados y lasegunda con obreros nuevos. La gerencia deseaaveriguar en primer lugar, ¿cuál sería su produccióncon 60 obreros experimentados?, y en segundo lugar,¿cuántos obreros nuevos necesitaría para producir conellos 1 760 artículos?

Obrerosexperimentados

Obrerosnuevos

1300

1100

50

Producción

Número(obreros)

a) 1 560; 90 b) 1 240; 70 c) 1 560; 80d) 1 560; 70 e) 1 650; 90

20.La cantidad de demanda de cierto bien es directamenteproporcional al cubo de la inversión en publicidad einversamente proporcional al cuadrado del preciounitario. Si el año pasado se vendieron 64 millones deartículos a S/.200 e invirtió en publicidad S/.4 000,


ARITMÉTICA

1. Si "A" I.P. "B" y "A" D.P. "C", cuando: A = 5, B = 4,C = 2. Hallar "C", cuando A = 6; B = 9.

2. Si "A" y "C" son D.P. a "B", ¿qué sucede con "A" cuando"C" aumenta en 1/2 de su valor y "B" disminuye en1/4 de su valor?

3. Si "A" D.P. "B" e I.P. "C"; cuando C = 3/2, "A" y "B" soniguales, ¿cuál es el valor de "B", cuando A = 1 y C = 12?

4. Sea "A" y "B" dos magnitudes, tales que: "A" I.P. Bcuando B 36 y "A" D.P. B4 cuando B 36. Además siA = 15 , cuando B = 12. Hallar "A", cuando B = 72.

¿cuánto hay que invertir este año en publicidad, si sequiere vender 80 millones de artículos a S/.250 cadauno?

a) S/.5 000 b) 4 000 c) 6 000d) 8 000 e) 7 000

21.Dos cantidades “A” y “B” son inversamente propor-

cionales con constante de proporcionalidad igual a “K”.

¿Cuánto vale “K”, si la constante de proporcionalidad

entre la suma y la diferencia de "A" y "B1

" vale 6?

a)56

b)57

c) 2

d) 7 e) Faltan datos

22.Se tiene dos magnitudes “A” y “B” que son I.P. de talmanera que cuando “A” disminuye en 30 unidades, “B”varía en sus 3/5. ¿Cómo varía “B”, cuando “A” aumentaen 20 unidades?

a) Aumenta 20% b) Disminuye 20%c) Aumenta 40% d) Disminuye 40%e) No varía

23.El costo de un terreno es inversamente proporcional alcuadrado de la distancia de Lima al terreno ydirectamente proporcional a su área. Un cierto terrenocuesta 500 mil y otro de doble área y situado a unadistancia tres veces mayor que el anterior costará:

a) 75,2 mil b) 52,2 c) 62,5d) 65,2 e) 60,2

24.Una rueda “A”, de 40 dientes engrana con otra “B” de50 dientes, fija al eje de “B” hay otra rueda “C” de 15dientes, que engrana con una cuarta rueda “D” de 80dientes. Dando la rueda “A” 120 vueltas por minuto,¿cuánto tiempo tardará la rueda “D” en dar 18 000revoluciones?

a) 15 h 5 min b) 14 h 20 minc) 16 h 40 min d) 14 h 5 mine) 13 h 55 min

25.El gasto de una persona es D.P. a su sueldo, siendo elresto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es $900 ahorra$90. ¿Cuál será su sueldo, cuando su gasto sea $1.260?

a) $1 400 b) 1 300 c) 1 500d) 1 900 e) 2 000

26.Gustavo observa que los gastos que hace al celebrarsu cumpleaños son D.P. al número de invitados e I.P. alas horas que ocupa en preparar la reunión. Si la últimavez gastó $1 050 e invitó a 150 personas ocupando 12horas, ¿cuánto ahorrará si invita sólo a 100 personas yocupa 14 horas en preparar dicha reunión?

a) $1 000 b) 600 c) 450d) 150 e) 350

27.Dos veteranos de guerra perciben sendas pensionesque son D.P. a las raíces cuadradas del número debalazos que recibieron. Si el primero recibió 24 balazosmás que el segundo y sus pensiones están en la razónde 91 a 65, ¿cuántos balazos recibió el segundo?

a) 15 b) 7 c) 9d) 16 e) 25

28.El área lateral de un sólido geométrico es directamenteproporcional a su apotema y al perímetro de la base.Si el área es 600 m2 cuando el apotema es 5 m y elperímetro de la base 12 m, hallar el área cuando elapotema es 0,5 m y el perímetro de la base 100 m.

a) 50 000 m2 b) 250 c) 25d) 500 e) 50

29.El costo unitario de un libro es I.P. al número deejemplares editados. Si una primera tirada se vendepor S/.35 640, ganando el 10%, ¿cuál será el costo decada libro en una segunda tirada de 1 800 ejemplares?

30.Si se cumple:A D.P. B2 (B 20)B I.P. B (B 20)Calcule "A", cuando "B" es 180; si "A" es 3, cuando "B"es 10.

Tarea domiciliaria

46

Complemento de proporcionalidad


5. Se tiene tres engranajes "A", "B" y "C", donde "A" tiene24 dientes, está engranado con "B" que tiene 36 dientesy éste a su vez está engranado con "C" que tiene 45dientes. ¿Cuántas vueltas habría dado el engranaje "B",cuando la diferencia entre el número de vueltas dadosentre "A" y "C" sea 168 vueltas?

6. El precio de un cuaderno varía proporcionalmente alnúmero de hojas e I.P. al cuadrado del número decuadernos que se compran. Si cuando se compran 25cuadernos de 50 hojas cada uno, éstos valen S/.2,5 launidad, ¿cuál será el precio de cada uno, cuando sevenden 20 cuadernos de 80 hojas cada uno?

7. En una empresa el sueldo es directamente proporcionalal cuadrado de la edad y a los años de servicio en laempresa. Si Inés que tiene 30 años y 4 años en laempresa tiene un sueldo de S/.4 500, ¿cuál es la edadde Carlos que entró un año antes que Inés a la empresay tiene un sueldo de S/.6 400?

8. El sueldo de un empleado es D.P. a su rendimiento eI.P. al número de días que ha faltado a trabajar. SiCésar tuvo un sueldo de S/.1 000 y su rendimiento escomo 12 y faltó 3 días, entonces, ¿cuál es el sueldo dePedro, si su rendimiento es como 16 y faltó 5 días?

9. El precio de impresión de un libro es D.P. al número depáginas e I.P. al número de ejemplares que seimpriman. Se editaron 1 500 ejemplares de un libro de250 páginas cuyo costo es $6 el ejemplar. ¿Cuántocostará editar un ejemplar, si se mandaron a imprimir1 200 libros de 360 páginas?

10.El precio de una casa es directamente proporcional alárea e inversamente proporcional a la distancia que losepara de Lima. Si una casa ubicada a 70 km cuestaS/.12 000, ¿cuánto costará una casa del mismo material,si su área es el triple y se encuentra a 100 km dedistancia?

11.El peso “P” de un cono varía proporcionalmente a sualtura “h” y al cuadrado del diámetro “d” de su base.¿Cuál es la suma de los números con que se llenará losespacios en blanco de la siguiente tabla?

12,5

1,25

1

P

H

D

2

0,3

3,6

1

12.La capacidad de un condensador es D.P. a su longitud“L” e I.P. a su sección “A”. ¿Qué sucede con la capacidad,si “L” se hace la tercera parte y “A” la sexta parte?

13.En la siguiente tabla, se presentan las variaciones delas magnitudes “P” y “Q”.

P

Q

4

64

6

324

8

1024

10

2500

La relación correcta entre “P” y “Q” es:

14.La siguiente tabla presenta las variaciones de lasmagnitudes “A” y “B”.

A

B

9

48

16

36

144

a

b

16

Hallar “a + b”

15.La cantidad de demanda de cierto bien es D.P. alcuadrado de la inversión en publicidad e inversamenteproporcional al cubo del precio unitario. Si el año pasadose vendieron 32 millones de artículos a S/.120 c/u einvirtió en publicidad S/.2 500, ¿cuánto hay que invertireste año en publicidad si se quiere vender 270 millonesde artículos a S/.200 cada uno?

16.Sabiendo que: a + b + c + m = 73, hallar el valor de“m”.

2m

m

L1

L2

4 a b c

17.Sean dos magnitudes “A” y “B”, tales que: “A” I.P. “B”(B 40) y “A” D.P. “B” (B 40). Si: A = 6; cuando B = 20,¿cuál será el valor de “A”, cuando B = 60?

18.Dos cantidades “A” y “B” son I.P. con constante deproporcionalidad “K”. ¿Cuánto vale “K”, si la constantede proporcionalidad entre la suma y la diferencia de“A” y 1/B vale 5?

19.Dada la siguiente gráfica:

12

P

Q


ARITMÉTICALa expresión simple que relaciona esta gráfica estadado por:

a) “P” D.P. “Q” : Q < 12 b) “P” I.P. “Q” : Q 12“P” I.P. “Q” : Q > 12 “P” D.P. “Q” : Q 12

c) “P” D.P. Q2 : Q 12 d) “P” D.P. “Q” : Q 12“P” I.P.

Q : Q 12 “P” I.P. “Q” : Q 12

e) No se puede

20.Del siguiente gráfico, hallar “a + b”.

60a

24

18 36 bB

A



1. Dos números están en la razón de 5 a 6. Si el mayor es42, hallar el menor.

a) 30 b) 35 c) 40d) 45 e) 25

2. Si:83

ba y a2 + b2 = 657, hallar “a”..

a) 9 b) 27 c) 18d) 36 e) 45

3. Los ángulos interiores de un triángulo son pro-porcionales a los números: a3, 2a3 y 6a3. Calcular elmayor de los ángulos.

a) 30° b) 40° c) 60°d) 120° e) 150°

4. La razón geométrica de la razón aritmética y la razóngeométrica de dos números es 16. Si la diferencia deéstos es 24, entonces el mayor de los números es:

a) 24 b) 48 c) 56d) 60 e) 72

5. Determinar la media diferencial de la tercia proporcionalde 24 y 15 y la cuarta diferencial de 34; 20 y 30.

a) 16 b) 12 c) 10d) 9 e) 11

6. La cuarta proporcional de “a + 1”, “a - 1”, y “a + 8” es“a + 4”. Hallar la tercera proporcional de "a2" y "4a".

a) 12 b) 16 c) 18d) 27 e) 37

7. En un salón de clases el número de alumnos hombreses al número de alumnas como 3 es a 5. Si se consideraal profesor y una alumna menos, la nueva relación seráde 2 a 3. Hallar cuántas alumnas hay en el salón.

a) 20 b) 23 c) 25d) 28 e) 27

8. El producto de los extremos de una proporcióngeométrica es 36 y la suma de los términos medios es13. Hallar la diferencia entre los términos medios.

a) 4 b) 5 c) 6d) 9 e) 10

9. En una proporción geométrica continua el producto delos cuatro términos es 1 296 y los extremos sediferencian en 5. Hallar la suma de los cuatro términos.

a) 25 b) 125 c) 50d) 100 e) 150

10.La razón geométrica de dos números es de 3 a 8 y susuma es 2 497. Uno de los números es:

a) 671 b) 1 826 c) 681d) 1 806 e) 661

11.Tres números son proporcionales a 2; 5 y 7. Si ladiferencia del segundo y el primero es 15, dar el tercernúmero.

a) 35 b) 28 c) 21d) 14 e) 42

12.La longitud de una varilla a 25°C es 1,00 m. Si a 125°Cmide 1,005 m, ¿cuánto medirá a 105°C, sabiendo quela variación de la longitud es D.P. a la variación de latemperatura?

a) 1,0025 m b) 1,00025 c) 1,004d) 1,0004 e) 1,025

13.Dos magnitudes “A” y “B” son I.P. y su gráficacorrespondiente se muestra a continuación:

16 20 p B

A

m + 8

m

m - 16

Hallar “m . p”

a) 320 b) 360 c) 4 800d) 1 280 e) 960

Repaso bimestral8Ejercicios

50

Repaso bimestral


14.La diferencia entre el mayor y menor término de unaproporción geométrica continua es 25 y el otro términoes 30. Hallar la suma de los términos, si los cuatro sonpositivos.

a) 95 b) 100 c) 65d) 125 e) 130

15.Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sícomo los números: 4; 7; 9 y 10. ¿Cuál es el valor delmayor de ellos?

a) 100° b) 120° c) 90°d) 96° e) 84°

16.Los tres números positivos en progresión aritméticaque aumentados en 3; 3 y 7 respectivamente formanuna progresión geométrica de suma 28, son:

a) 6; 5 y 4 b) 1; 5 y 9 c) 5; 9 y 13d) 5; 7 y 9 e) 2; 5 y 8

17.En una serie de tres razones geométricas continuasequivalentes, la suma de los consecuentes es 546 y elproducto de las tres razones es 1/27. ¿Cuál es elantecedente mayor?

a) 81 b) 105 c) 126d) 378 e) 402

18.Sabiendo que:15 24 33A B C y que:

4A - 2B + 5C = 295

calcular “A + B + C”

a) 90 b) 108 c) 120d) 150 e) 200

19.En la academia, la relación de hombres y mujeres escomo 2 a 5, la relación de hombres del anual y hombresdel semestral es como 7 a 3. ¿Cuál es la relación de loshombres que están en el semestral y el total dealumnos?

a)356 b)

351 c)

354

d)352 e)

353

20.Un conjunto de música moderna ofreció tres conciertos,siendo el total de asistentes en cada una de suspresentaciones “A”, “B” y “C”. Sabiendo que “A” es a“B” como 49 es a 64; que “C” es un cubo perfectomúltiplo de 5 y además media proporcional entre “A” y“B”. Calcular el mínimo: E = A + B + C. Dar la suma desus cifras.

a) 10 b) 17 c) 18d) 19 e) 11

21.Se tiene una serie de tres razones geométricasequivalentes. El producto de las sumas de términos decada una de las razones es 64. Hallar la suma de lamedia geométrica de antecedentes y de la mediageométrica de consecuentes.

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

22.Sabiendo que:(A + B + C + D) (a + b + c + d) = 5 041

y que:A B C Da b c d

calcular el valor de:

E 2(Aa Bb Cc Dd)

a) 92 b) 216 c) 142d) 184 e) 82

23.Sabiendo que uno de cada mil vehículos sufre unaccidente en 1 kilómetro. ¿Cuántos vehículos de cadamillón sufren un accidente en 2 kilómetros?

a) 2 000 b) 200 c) 999d) 1 999 e) 991

24.El producto de los cuatro términos de una proporcióndiscreta es 15 876. Si el primero de estos términos es7, calcular el producto de los términos medios.

a) 120 b) 122 c) 126d) 127 e) 128

25.Se sabe que "A" es D.P. a B2, ¿en cuántas veces aumentael valor de "A", cuando "B" aumenta en su triple?

26."A" le da a "B" una ventaja de 20 m en una carrera de200 m, "B" le da una ventaja de 40 m a "C" en unacarrera de 360 m. ¿Cuántos metros de ventaja debedar "A" a "C" en una carrera de 400 m?

27.La razón geométrica, entre dos números cuya suma es35, se invierte si se añade 15 al menor y se quita 15 almayor. Calcular el producto de los números.

28.Si: "A" D.P. "B2" ("C" : constante)"C" I.P. "A" ("B" : constante)

A

B

C

80

10

40

a

2

2

25

10

b

Calcule "a + b"


ARITMÉTICA29.Las ruedas "A", "B", "C" y "D" tienen 40; 160; 60 y 90

dientes respectivamente. "A" y "B" están engranadas,"B" y "C" sujetas al mismo eje, "C" y "D" estánengranadas. Si "A" da 120 R.P.M., ¿en qué tiempo "D"dará 120 vueltas?

30.Se tienen 2 magnitudes "A" y "B", tal que:

* Si: A 12, se cumple que "A" D.P. "B"* Si: 12 A 32 , se cumple que "A" I.P. "B"* Si: 32 A, se cumple que "A" I.P. B2

Calcule "B", cuando A = 72; si cuando A = 3, B = 10.

1. La razón aritmética de las edades de dos hermanos es9 años. Si la suma de sus edades es 37 años, hallar laedad del mayor dentro de 5 años.

2. La razón de dos números es 3/5 y su suma es 1 216.Hallar el número menor.

3. Dos números están en la relación de 2 a 7. Agregandoa uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidadesiguales. Hallar la suma de los números.

4. A una fiesta concurrieron 320 personas entre hombresy mujeres, observándose que por cada 5 hombres hay3 mujeres. Si se retiraron 20 parejas, ¿cuál es la nuevarazón entre hombres y mujeres?

5. Las edades de Antonio y Bernardo están en la razónde 5 a 3. Las edades de Bernardo y César están en larazón de 4 a 7. Si la suma de las tres edades es 159años, hallar la edad de César.

6. El producto de los antecedentes de una serie de tresrazones iguales es 288 y el producto de losconsecuentes de dicha serie es 2 304. ¿Cuál es la sumade los consecuentes, si la suma de los antecedentes es21?

7. Si: m n p

k7 4 3

y además:2m (m p n)21

42np 4

hallar “m2 - n2 - p2”

8. En una proporción geométrica continua el producto delos cuatro términos es 256. Si uno de los extremos esel cuádruple del otro, hallar el menor de los extremos.

9. En una reunión se observó que si se retiran 10 varonesquedan 4 varones por cada 3 mujeres. Si después seretiran 20 mujeres entonces quedan 4 varones por cadamujer. ¿Cuántas personas estaban en la reunióninicialmente?

10.Sea: a c

kb d

, además:

a 15 c 6b 5 d 2

hallar:db

, si: k 3.

11.Dada la proporción: a cb d

, si se sabe que: a + b = 30;

c + d = 35 y b + d = 26, calcular el valor de “a”.

12.Uno de los términos medios de una proporciónaritmética continua es media proporcional de 27 y 75,y uno de los extremos es la media aritmética de esosmismos números. Calcular el valor del otro extremo dela proporción.

13.En la proporción geométrica discreta siguiente: a cb d

se cumple que: a + d = 24; b + c = 18, además la

suma de los cuadrados de los cuatro términos es 580.

Hallar “a + c”, si: a > d y b < c.

14.En la siguiente proporción: a bb c

se cumple que:

a - c = 15 y a c 1. Hallar la media proporcional y

dar la suma de sus cifras.

15.Sabiendo que “A” es directamente proporcional alcuadrado de “B”, calcular los valores de “m” y “P”. Sitenemos:

AB

453

320m

P10

Tarea domiciliaria

52

Repaso bimestral


16.Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concatenados,calcular cuántas vueltas habrá dado uno al lado de 4minutos, si una rueda ha dado 70 vueltas más que elotro.

17.Se tiene dos magnitudes "A" y "B", en el siguientecuadro se muestra los valores que toman susvariaciones. Hallar "x".

A

B

2

72

3

32

4

18

6

8

12

x

18.El consumo de una persona es D.P. a su sueldo. Elresto lo ahorra, la señora Edel gana S/.500 y ahorraS/.100. Si recibe un aumento, consume S/.1260. ¿Decuánto es el aumento?

19.Se tiene dos magnitudes "A" y "B" que son I.P. paravalores de "B" menores o iguales a 40, pero las mismasson D.P. para valores de "B", mayores o iguales a 40. Si:A = 8, cuando B = 64; ¿cuánto vale "A", si: B = 160?

20."A" es proporcional a la suma de "B" y "C" einversamente proporcional al cuadrado de "D". CuandoA = 2; B = 3 y D = 6, entonces C = 5. Hallar el valor de"C", cuando A = 9; B = 10 y D = 4.

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