UNIVERSIDADE DO GRANDE RIO – UNIGRANRIO

DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

PROFESSOR: FRANCISCO VARGAS1 LISTA DE EXERCÍCIOS: FUNÇÃO DE N VARIÁVEIS,

LIMITE, CONTINUIDADE, ETC.Limites

1) Mostre usando a definição de limite que

(sugestão: tome δ=1/5ε)

2) Achar o limite de (Resp: 1)

3) Dado : , ache o limite se existir (Resp.: não existe o limite)

4) Prove que a função f dada não possui limite quando (x,y) tende a (0,0):

5) O preço de custo de um determinado produto,foi definido por um engenheiro com base na função abaixo. Se o limite existir, tem-se como calcular ou projetar o lucro do produto; se não existir o limite a função não expressa o preço real de custo. Verifique se a função atende as condições acima:

6) Prove que o limite de f(x,y), quando (x,y) tende a (0,0) existe:

a) b)

7) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

a) (resposta: 2025)

b) (2/7)

c) (não existe)

d) (não existe)

e) (existe, 0)

f) (não existe)

Função:1) Seja f(x,y)=ln(x+y-1)a) f(1,1)=? (0)b) f(e,1) (1)c) dom(f) {(x,y)/x+y>1)}d) im(f)=? [0,+∞)

2) Seja f(x,y)=

a) Calcule f(2,0) (4)b) Domf? (R2)c) Imf? [0,+∞)

3) Seja

a) Calcule f(2,-1,6) (e)b) Domf {(x,y,z)/z-x2-y2≥0}c) Imf [1,+∞)

4) Esboce o gráfico dê o domínio e a imagem das funções:a) f(x,y)= 6-3x-2y;b) f(x,y) = 3c) f(x,y)= y2 + 1d) f(x,y) = x2 + y2 +z2

e)

5) Uma fábrica de alimentos usa n ingredients diferentes para manufaturar um determinado alimento, sendo ci o custo por unidade do i-ésimo ingrediente, e se são necessárias xi unidades do i-ésimo ingrediente, então o Custo total C dos ingredientes é dado por?

6) Curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equação f(x,y)= k, onde k é uma constante (na imagem de f). Ou seja, é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor de f é k. (mostra onde o gráfico tem altura k)

a) esboce as curvas de nível da função f(x,y) = 6-3x-2y, para os valores k=-6, 0, 6, 12

b) esboce as curvas de nível da função: para k=0,1,2,3

c) determine as superfícies de nível da função

Continuidade de FunçõesUma função f de duas variáveis é contínua em (a, b) se

Dizemos que f é contínua em D se for contínua em todo ponto (a, b) de D.- A superfície que corresponde ao gráfico de uma função contínua não tem buracos

ou rupturas.De outra forma, uma função é contínua no ponto (a,b), quando existe o limite de

f(x,y) no ponto (a,b), existe f(a,b). Para n variáveis podemos dizer:Se f é uma função de n variáveis e A um ponto de Rn. Então, dizemos que f será

contínua em um ponto A se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:

(i) f(A) existe; (ii) ; (iii)

Se uma ou mais dessas condições não for satisfeita no ponto A, então f será descontínua em AExercícios:1) determine se f= x3-5x2y2 +6xy4 -7y + 6 é contínua no ponto (1,2)

2) Onde a função é contínua?

3) Determine se f é contínua em (0,0) se

Resposta: a função é contínua em (0,0)4) Marque V ou F nas afirmativas abaixo:

a) Se f e g são contínuas em (a,b), então f + g não é ( ) b) Se f e g são contínuas em (a,b), então f – g é contínua no ponto ( )c) Se f e g são contínuas em um ponto, f.g não é contínua ( )d) Se f e g são contínuas, nada podemos afirmar sobre f/g ( )

5) Determine se a função é contínua no ponto (1,0)?Mostre todos os pontos em ela é contínua?