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2 Comportamento mecânico de dutos enterrados
Uma abordagem geral do comportamento de dutos enterrados e alguns
trabalhos que tratam desse assunto serão expostos nesse capítulo. Primeiramente,
trataremos sucintamente de algumas considerações abordados no livro: “Structural
Mechanics of Buried Pipes” de Watkins and Anderson (2000) e em seguida os outros
trabalhos. Esse livro abrange todas as questões referentes ao projeto de dutos
enterrados e suas premissas, o qual se tornou importante nessa pesquisa, pois os
aspectos básicos e práticos, como a integridade do duto, devem ser levados em
consideração.
2.1.Considerações gerais sobre comportamento mecânico de dutos enterrados.
Para avaliação da integridade de dutos enterrados, a fim de garantir seu bom
funcionamento, é necessário verificar a resistência do mesmo aos três tipos de
carregamento que devem ser suportados: pressão interna, cargas provenientes do
transporte e instalação, e cargas externas. Simplifica-se a análise quando se assume
que a seção transversal é circular e que, sendo o duto rígido, não há deflexão.
Fazendo a verificação da resistência do duto em relação à pressão interna do
fluido, o carregamento que o mesmo deve suportar é:
FS
S
A
DIP=
′=
2
)(σ (2.1)
onde :
σ = tensão na parede do duto
P’ = pressão interna
DI = diâmetro interno
A = seção transversal do duto por unidade de comprimento
S = módulo de elasticidade do material do duto
21
FS = fator de segurança
Em relação à resistência às cargas impostas ao duto durante o transporte e
instalação, a carga mais comum é a carga diametral mostrada na figura xxxx. Esta
carga ocorre quando os dutos são empilhados ou quando o solo é compactado em sua
lateral ou em seu topo. Se a resistência do material do duto é excedida devido a esse
carregamento, a parede do duto sofrerá fissura ou a seção transversal do duto
deformará permanentemente, conseqüências que não são toleráveis. Portanto a
resistência ao escoamento do material do duto deve ser o limite de desempenho
mesmo que o duto não colapse.
Figura 1 Força lateral no duto devido ao transporte e instalação (Adaptado de Watkins and
Anderson, 2000)
Duas análises são requeridas para o transporte e instalação de dutos, cada uma
com seu limite de desempenho correspondente: limite de escoamento e deflexão da
seção transversal do duto. A primeira é aplicada a dutos rígidos e a segunda a dutos
flexíveis.
Considerando o carregamento externo na metade da seção transversal de um
duto (semi-círculo), a força que deve resistir a esse carregamento é dada pela
seguinte expressão:
FS
S
A
ODP==
2
)(σ
(2.2)
22
onde :
σ = tensão na parede do duto
P = pressão externa
DE = diâmetro externo
A = seção transversal do duto por unidade de comprimento
S = módulo de elasticidade do material do duto
FS = fator de segurança
2.1.1.Deformações em Dutos
As deformações no duto acontecem sob qualquer carregamento. Para a maioria
das análises de dutos enterrados essa deformação é tão pequena que pode ser
negligenciada. Entretanto, para algumas análises as deformações no duto devem ser
consideradas. O colapso deve ocorrer mesmo se as tensões não atingirem a
resistência ao escoamento, entretanto só ocorre se o duto se deforma. As análises de
ruptura requerem um conhecimento da forma da deformada do duto.
Para uma pequena deflexão de um duto circular enterrado, a deflexão da
seção transversal é uma elipse. A equação da elipse em coordenadas cartesianas x e y
é:
222222 baybxa =+
onde:
a = raio menor da elipse
b = raio maior da elipse
r = raio do círculo de igual circunferência
A circunferência de uma elipse é π (a + b) que é reduzido a 2πr para um
círculo de igual circunferência. A deflexão do anel pode ser escrita em termos dos
raios da elipse a e b:
Dd
∆= (2.3)
23
onde :
∆ = decréscimo no diâmetro vertical da elipse de um círculo de igual circunferência.
= 2r = diâmetro médio do círculo
a = r(1-d) para pequenas deflexões no anel (< 10%)
b = r(1+d) para pequenas deflexões no anel (< 10%)
Assumindo que as circunferências são as mesmas para o círculo e a elipse e
que a deflexão vertical do anel é igual à deflexão horizontal, a área da elipse é πab e
)1( 22drAe −= π (2.4)
A razão das áreas da elipse e do círculo é: Ar = Ae/Ao
A deflexão no duto devido à pressão interna ocasiona uma expansão no mesmo
com aumento do seu raio e pode ser expressa por:
επ
επ==
∆=
∆=
r
r
D
D
r
rd
2
2 (2.5)
onde:
d = deflexão do duto em percentagem
∆r e ∆D = incrementos devido à pressão interna
r = raio médio
D = diâmetro médio
ε =deformação
E = módulo de elasticidade
σ = tensão
Igualando σ = Εε à equação (1) temos que a deflexão é igual a:
AE
DIPd
2
)('= (2.6)
24
2.1.2.Mecânica dos Dutos
Em uma análise mecânica de dutos enterrados as forças são estaticamente
indeterminadas devido à não uniformidade dos solos. A pressão interna, quando há,
também é indeterminada. O desconhecimento dos carregamentos no solo é atenuado
pela capacidade do solo de arquear sobre o duto aliviando o mesmo de uma parcela
do carregamento.
A estabilidade da seção transversal de um duto é a resistência à deformação
devido a um carregamento constante causado por pressão interna, carregamento em
suas paredes, ou pressão externa. A ruptura devido à pressão externa acontece
quando ao atingir a tensão de escoamento o diâmetro da seção transversal do duto
aumenta e a espessura da parede do mesmo diminui. Já em relação ao carregamento
na parede do duto, a ruptura se dá por fratura ou flexão do duto quando o momento
fletor é excessivo. O colapso é caracterizado pela ruptura ocasionada pela pressão
externa.
A instabilidade da seção transversal é uma deformação instantânea que
progride em direção à inversão da curvatura, sendo na pior das hipóteses o colapso
da mesma. Dutos enterrados podem sofrer inversão apenas se a sua seção transversal
sofrer deflexão e o solo deslizar concomitantemente. Portanto, a instabilidade de
dutos enterrados é analisada como uma interação solo-estrutura. A rigidez do duto
resiste à inversão e o solo suporta o duto ao mantê-lo em uma forma estável
praticamente circular. O solo é resistente à inversão do duto.
2.2.Tensões em cilindros estruturais enterrados
Höeg (1968) analisou a magnitude e a distribuição da tensão normal em
cilindros enterrados em depósitos homogêneos de areia seca. Resultados
experimentais, obtidos a partir de ensaios de laboratório empregando uma nova
técnica para a medição das tensões de contato, foram apresentados. Vários
procedimentos foram utilizados para a obtenção da tensão de contato na interface
solo-cilindro, visto que é de grande importância para o entendimento do mecanismo
de interação solo-estrutura.
A caixa de aço utilizada para a investigação experimental foi projetada de
forma que os movimentos radiais externos fossem suficientemente pequenos para
25
justificar a suposição de que as tensões laterais possam ser determinadas na condição
K0 (coeficiente de empuxo no repouso).
A pressão de ar foi aplicada na superfície do solo através de uma bolsa de
neoprene e o cilindro de teste foi enterrado a uma distância constante da base da
caixa em todos os experimentos, variando-se a profundidade da cobertura de solo
acima do topo do cilindro.
O solo utilizado nos experimentos foi uma areia uniforme consistindo de
partículas arredondadas de quartzo que passam nas peneiras #20 e #30. A areia foi
uniformemente lançada na caixa de ensaios por uma técnica previamente testada no
MIT, obtendo-se uma densidade relativa aproximadamente uniforme.
Em todos os testes a resultante da tensão de contato teve uma pequena
componente ascendente. O equilíbrio da força vertical foi mantido pela resultante
descendente da força de atrito na interface.
Um outro enfoque dado por Höeg (1968) foi uma análise através de uma
formulação matemática que satisfazia as condições de compatibilidade de
deformações na interface solo-duto de um sistema idealizado. O solo utilizado foi
assumido como material isotrópico, homogêneo e com relação tensão x deformação
linearmente elástica.
O caso básico analisado é mostrado na Figura 2 e se constitui de um exemplo
de deformação plana, isto é, a deformação na direção z (ao longo do eixo do duto
enterrado) e as tensões cisalhantes τrz e τθz são consideradas nulas. Os limites
denotados por AB, CD, AC e BD são assumidos como afastados (afastamento ≥ D) e
o peso específico do solo não é levado em consideração nesta análise.
26
Figura 2 Análise por deformação plana (Höeg, 1968)
Um carregamento normal é aplicado sobre os quatro contornos ilustrados na Figura
2, onde o carregamento horizontal equivalente a k vezes o valor da intensidade do
carregamento vertical prescrito. A formulação assume simetria em relação aos eixos
horizontal e vertical passando pelo centro do duto.
A distribuição de tensões e deformações depende da rigidez relativa entre o
duto e o solo. Dois valores foram usados na modelagem do problema, definidos por:
C = taxa de compressibilidade =
−
− t
D
E
M
c
c
ν
ν
11
1
2
1
(2.7)
F = taxa de flexibilidade = 3
11
21
4
1
−
−
−
t
D
E
M
c
c
ν
ν
ν,
(2.8)
Onde:
M = módulo unidimensional;
ν = coeficiente de Poisson do solo;
Ec = módulo de elasticidade;
νc = coeficiente de Poisson do material do duto;
D = diâmetro médio do duto;
θ
r
A B
DC
p
p
kp kp
(ν,M)
r
θθ
R
v
u
vw
σr
θθ
σσ θ
θ d∂
∂+
drr
rr
∂
∂+
σσ
σθ
τrθ
τrθ
θθ
ττ θ
θ drr
∂
∂+
drr
rr
∂
∂+ θ
θ
ττ
27
t = espessura.
O parâmetro C, definido para uma pressão radial uniforme, é a
compressibilidade do duto estrutural relativa a um duto sólido de solo. A taxa
adimensional, F, relaciona a flexibilidade do duto estrutural com a compressibilidade
de um duto sólido de solo, sendo que um alto valor de F significa que o duto possui
uma baixa rigidez à flexão. Um sistema solo-duto com valores de C e F iguais a zero
diz respeito a um duto enterrado perfeitamente rígido.
Como as tensões radiais e tangenciais dependem dos parâmetros de rigidez
relativa (C e F) entre o duto enterrado e o meio circunvizinho, estas podem tornar-se
de tração em uma fina zona da interface solo-duto, em regiões do topo e nas laterais
do duto. Como o solo suporta pouca ou nenhuma tração, é necessário então
modificar-se a análise matemática redistribuindo-se as tensões ao longo do duto.
Próximo à interface solo-duto as tensões cisalhantes podem tornar-se maiores
do que a resistência ao cisalhamento local, devendo ser empregada uma teoria elasto-
plástica para cálculo das correspondentes tensões, deformações e deslocamentos.
Algumas considerações foram feitas para a ocorrência de deformações
plásticas, analisando-se os efeitos em uma camada fofa na interface solo-duto. A
condição de compatibilidade de deslocamentos na interface foi neste caso expressa
como:
huw Rr ∆=− = (2.9)
onde,
w = deslocamento radial da parede do duto
R = raio do duto
ur=R = deslocamento radial no meio para r=R
∆h = deformação da camada na interface solo-duto sob pressão radial uniforme
2.3.Comportamento de Dutos de Concreto Enterrados
Krizek e McQuade (1978) utilizaram os resultados de ensaios experimentais
do comportamento de dutos para aferição do modelo de previsão de tensões baseado
no método dos elementos finitos. O objetivo foi calcular a reação de oito dutos
enterrados de concreto localizados em diferentes locais dos Estados Unidos: dois em
28
East Liberty, Ohio e seis em Mountainhouse Creek, Califórnia. Levou-se em
consideração a distribuição de tensões na interface solo-duto e a mudança do
diâmetro do duto. Para o caso dos dutos em East Liberty consideraram-se também as
tensões e deformações do solo imediatamente adjacente aos mesmos.
a) Ensaios em East Liberty
Duas campanhas de ensaios experimentais de campo, uma em aterro e a outra
em trincheira, foram feitas no ‘Ohio Transportation Research Center’ em East
Liberty. Cinco dutos de concreto, instrumentados, com 1,5 m de diâmetro interno,
foram colocados em cada uma das situações descritas (aterro ou trincheira) com uma
cobertura de solo de 7,6 m.
Vários ensaios de laboratório foram executados para determinar as
propriedades mecânicas dos solos nestes dois casos: deformação uniaxial, ensaio
triaxial convencional com medidas de deformação radial, ensaio de deformação
plana e ensaio triaxial. As observações de campo e as determinações das densidades
relativas feitas durante o processo de instalação dos dutos indicaram uma
considerável variação no solo, especialmente no material granular do reaterro. Na
aplicação de programa de elementos finitos para previsão das tensões nos dutos,
procurou-se incorporar, ao menos qualitativamente, a influência da densidade
relativa do solo (fofa, média, densa) utilizando-se valores compatíveis de
propriedades geomecânicas.
b) Ensaios em Mountainhouse Creek
Seis ensaios experimentais executados em Mountainhouse Creek foram
analisados pelo método dos elementos finitos a fim de se determinar os efeitos de
várias condições de acamamento do solo no comportamento de dutos de concreto.
A maior dificuldade na simulação do comportamento dos dutos pelo método
dos elementos finitos foi quantificar adequadamente as propriedades geotécnicas do
solo, pois não foram feitos ensaios de laboratório específicos para sua quantificação.
As propriedades foram estimadas com base na experiência ganha na análise dos
resultados de East Liberty e nas sugestões obtidas no livro “Structural Behaviour of a
Concrete Pipe Culvert” de Davis, Bacher e Obermuller (1974)
29
Pode-se observar pelas distribuições das tensões normais e cisalhantes, que há
variação nas tensões na interface devido às diferentes condições de acamamento. Os
dados experimentais para a tensão normal são considerados um tanto não-confiáveis
devido ao vazamento de óleo e a falta de estabilidade em longo prazo das medidas. A
maior parte desses dados mostra que não há uma boa concordância com as
simulações feitas.
Em uma outra abordagem do trabalho de Krizek e McQuade (1978) foram
verificadas as deformações no solo adjacente e a mudança no diâmetro do duto para
o caso da East Liberty (aterro e trincheira). Já para o Mountainhouse Creek foi
apenas verificada a variação no diâmetro do duto.
No caso da East Liberty os deslocamentos verticais precisos foram obtidos a
partir de pontos discretos em cada uma das situações (aterro e trincheira) pelo uso de
placas de recalque quadradas com 0,5m de lado.
Um total de 22 placas (11 no plano vertical que passa pelo eixo longitudinal
do duto e 11 no plano vertical que é perpendicular a este) foi utilizado na instalação
do aterro. Outras oito foram utilizadas na instalação da trincheira, no plano vertical
que passa pelo eixo longitudinal do duto. Para tais placas no plano longitudinal em
cada caso, os deslocamentos foram medidos relativos à parede do duto e os dados
resultantes foram interpretados para fornecer deformações verticais em pontos
discretos desses planos.
As comparações das variações no diâmetro, medidas e calculadas, para o
aterro e a trincheira resultaram que no caso do aterro a maioria das comparações está
relativamente boa, exceto para as discrepâncias na variação do diâmetro vertical em
valores maiores do que 5 m de aterro, o que pode ser explicado pelas mudanças que
acontecem no sistema com os 4 meses de construção. Embora não se percebeu
fissura no duto durante e depois deste estágio de carregamento, um aumento rápido
na mudança do diâmetro medido sugere que microfissuras não visíveis devem ter
ocorrido. Já para a trincheira encontram-se casos em que são previstas mudanças no
diâmetro menores do que os valores medidos, embora para valores maiores que 6 m
mostre uma boa concordância.
Para as análises de mudança de diâmetro no Mountainhouse Creek verificou-
se que há algumas discrepâncias em relação à magnitude dos resultados. A altura
máxima do aterro difere em cada zona, pois o modelo matemático não é capaz de
simular a reação do duto de concreto quando as fissuras se tornam excessivas. Para a
30
maioria das zonas é difícil fazer uma comparação válida entre os resultados
calculados pelo modelo matemático e as reações medidas no campo para aterros com
altura menor do que 3,7 m porque para essa variação de altura os dois modos
principais para medir a mudança no diâmetro (extensômetro e fotogrametria) não
apresentam concordância. Por outro lado, para altura do aterro maior do que essa, a
diferença entre as medidas é de 5 %. A explicação mais lógica para as discrepâncias
em aterros com baixa altura é a precisão insuficiente das medidas para variações
pequenas no diâmetro.
Outra anomalia na variação da altura do aterro é a existência da variação do
diâmetro horizontal sendo negativa e a vertical positiva. Desde que as mudanças no
diâmetro horizontal e vertical podem ser positivas e negativas respectivamente, o
inverso observado com o sinal pode ser resultado do assentamento impróprio do
duto. Isso pode ocorrer principalmente devido à forma do acamamento ou à má
compactação do aterro na vizinhança do duto, ou ambos, resultando em uma
distribuição assimétrica das tensões na interface ao longo do duto.
2.4.Estudo experimental da influência da rigidez relativa duto-solo no momento fletor e no deslocamento vertical do duto
Valores do momento fletor e do deslocamento vertical do duto foram obtidos
por Shmulevich e Galili (1986) utilizando, em ensaios de laboratório, uma caixa de
solo (Figura 3) com o objetivo de verificar a interação solo-estrutura. Foram
considerados cinco dutos construídos em fibro-cimento e um duto em poliéster
reforçado com fibra de vidro, todos com 2m de comprimento, diâmetro variando
entre 0,83m a 1,3m e espessura de parede entre 9,9 mm e 62 mm.
Figura 3 Esquema da caixa do ensaio experimental
2.5
m
0
.3 m
3.0 m
aterro
berço
p0
31
Extensômetros foram utilizados para a obtenção dos deslocamentos radiais em
36 pontos igualmente espaçados ao redor do perímetro e 24 medidores de
deformação (strain gages) foram empregados para a avaliação das deformações
tangenciais nas superfícies interna e externa do duto a cada intervalo de 30o.
Os valores das deformações tangenciais foram empregados para a estimativa
do momento M através da equação (Ford e Alexander, 1977):
( )0εε −= ikM (2.10)
onde,
εi, ε0 = deformações tangenciais nas paredes interna e externa do duto
respectivamente;
Et
r
rrrk i
i
−+= 1
21000 (2.11)
com
r0, ri = raios externo e interno do duto, respectivamente;
t = espessura da parede do duto
E = módulo de elasticidade do material do duto.
A distribuição dos momentos fletores M ao redor da interface solo-duto é
mostrado na Figura 4(duto rígido) e Figura 5 (duto flexível).
Figura 4 Momento fletor avaliado a partir de deformações ao longo do duto sob areia.
Ângulo de acamamento de 90o e 85% de compactação Proctor Normal (Shmulevich and
Galili - 1986)
zero
50 kPa de
pressão
topo do duto
base da caixa
100 kPa
150 kPa
Ângulo em graus medido em sentido horário a partir do topo
Mom
ento
Fle
tor
(Nm
/m)
32
Figura 5 Momento fletor avaliado a partir de deformações ao longo do duto sob areia.
Ângulo de acamamento de 120o e 97% de compactação Proctor Normal (Shmulevich and
Galili - 1986)
Como pode ser observado, os momentos fletores aumentam com a rigidez do
duto e decrescem com o grau de compactação do solo acima do duto. O valor
máximo Mmáx do momento normalmente ocorre na região inferior de dutos rígidos
(Figura 4) ou na região superior de dutos flexíveis (Figura 5).
2.5.Distribuição de tensões no solo ao redor de dutos enterrados
A distribuição de tensões ao redor de dutos foi estudada por muitos
pesquisadores. Devido às dificuldades experimentais na avaliação das tensões de
cisalhamento na interface solo-duto, a maioria das pesquisas se limitou à avaliação
das tensões normais. Ainda assim, vários resultados (Höeg, 1968; Krizek, 1978)
tiveram sua validade questionada em decorrência das técnicas de medição
empregadas, geralmente com base em cálculos de pressão e medidores de
deformação (strain gages).
Para evitar problemas associados com a determinação experimental direta de
tensões, alguns métodos indiretos foram sugeridos com base no cálculo de tensões
através da teoria da elasticidade linear em função das deformações tangenciais do
duto ou da medida dos deslocamentos radial e tangencial ao longo da interface solo-
duto (Gabriel e Dabaghinn, 1967).
Outra possibilidade bastante utilizada é a previsão da distribuição das tensões
através do emprego de uma técnica numérica, normalmente o método dos elementos
finitos. Na maioria destas aplicações, constatou-se que o carregamento total sobre o
Mom
ento
Fle
tor
(Nm
/m)
Ângulo em graus medido em sentido horário a partir do topo
zero
topo do duto
base da caixa
50 kPa
de pressão
100 kPa
150 kPa
200 kPa
33
duto assume um resultado menor do que aquele previsto pelos métodos clássicos de
projeto (Splangler e Handy, 1973) que não consideram a influência das tensões
tangenciais.
Para verificar e validar as previsões numéricas, Shmulevich et al (1986)
estudaram experimentalmente a distribuição das tensões normal e tangencial na
interface solo-duto, instrumentando a seção transversal média do duto enterrado com
12 transdutores de pressão igualmente distribuídos ao redor do perímetro. Foram
considerados os mesmos dados dos ensaios do caso anterior com os mesmos dutos e
as mesmas propriedades do solo.
Os resultados experimentais, que incorporam os efeitos da rigidez relativa do
duto, do tipo do solo e do seu grau de compactação, permitiram as seguintes
conclusões de ordem qualitativa:
a) O aumento da compactação do solo acima do duto (areia ou argila) torna os
valores da tensão normal menores na parte superior do duto e maiores em
suas laterais.
b) Tensões normais nas laterais do duto são menores em dutos rígidos do que
em dutos flexíveis.
c) Tensões cisalhantes medidas ao longo da interface com a base de areia foram
bem menores do que aquelas medidas na parte superior do duto. Para alguns
pontos, situados aproximadamente a 45o em relação ao eixo vertical, os
valores da tensão cisalhante atingiram cerca da metade dos correspondentes
valores da tensão normal, evidenciando, portanto, que as tensões cisalhantes
ao longo da interface solo-duto não podem ser simplesmente ignoradas no
projeto de dutos subterrâneos.
2.6.Distribuição de Tensões ao longo de dutos rígidos enterrados superficialmente
Nas décadas de 1960 e 1970 várias investigações de campo e laboratório
foram feitas com objetivo de determinar os efeitos da mudança de vários parâmetros
de projeto, como a rigidez relativa entre o solo e o duto, a espessura da camada de
cobrimento, a distribuição dos carregamentos, etc. Esses estudos levaram a um
melhor entendimento do fenômeno de arqueamento no solo; assim, cargas são mais
34
direcionadas para a estrutura se esta for relativamente rígida, e mais transferidas para
o solo se a estrutura for relativamente flexível.
Anand (1976) utilizou o método de elementos finitos para calcular as tensões
normais e tangenciais em dutos rígidos superficialmente enterrados, considerando
várias configurações de cargas e propriedades dos materiais. As variações das cargas
ao longo do duto, devido a diferentes larguras da superfície de carregamento, foram
examinadas, bem como os efeitos de variação da rigidez relativa do sistema solo-
duto. Adicionalmente, compararam-se os resultados calculados com os valores
experimentais disponíveis para melhor direcionar os trabalhos numéricos e
experimentais a serem executados posteriormente.
O problema foi tratado considerando-se o estado plano de deformação
(análise 2D), sendo os resultados numéricos obtidos pelo método dos elementos
finitos comparados com aqueles obtidos pela solução de Burns para uma casca
cilíndrica enterrada em um semi-espaço elástico e sujeita a um carregamento de
superfície. A formulação é estritamente aplicável para cascas enterradas a grandes
profundidades, mas para o caso em análise, foi utilizada para dutos enterrados a
profundidades iguais ou superiores a uma vez o seu diâmetro D.
Em relação aos resultados experimentais obtidos por Höeg (1968) houve
discrepâncias atribuídas ao fato de que na análise numérica pelo método dos
elementos finitos não foi contemplada a possibilidade de deslizamento na interface
solo-duto.
2.7.Coeficientes de reação do solo para dutos flexíveis enterrados.
A literatura apresenta algumas formulações para a determinação do
coeficiente normal de reação do solo kn através da teoria da elasticidade linear,
considerando o maciço de solo como um meio isotrópico e homogêneo. Dentre elas
destacam-se:
a)
( ) ( ) RR
R
R
RE
k
s
o
i
s
o
i
s
n
−
++
−
=
νν 2111
1
2
2
(Luster, 1996) (2.12)
35
b) ( )R
Ek
s
s
n 2212 ν−= (Meyerhof e Baike, 1963) (2.13)
c) ( )R
Ek
s
s
nν+
=1
(Kloppel e Glock, 1970) (2.14)
Entretanto, e contrariamente às proposições acima, o coeficiente normal de
reação do solo kn varia ao redor do duto, dependendo da densidade relativa do
material granular do reaterro e da espessura do solo de cobertura.
Okeagu e Abdel-Sayed (1984) investigam esta variação de kn considerando solos granulares com comportamento tensão x deformação representado pelo modelo hiperbólico (Duncan e Chang, 1970), com parâmetros constitutivos listados na Tabela 1
Tabela 1 Parâmetros hiperbólicos utilizados para elementos de solo
Parâmetro Símbolo Densa Média-densa
Resistência ao cisalhamento φ 45o 45o
Razão de ruptura Rf 0.92 0.85
Parâmetro de módulo K 3100 1200
Número de módulo n 0.52 0.48
Número de Poisson G 0.34 0.34
Número de Coeficiente de Poisson F 0.12 0.23
Nota : 1. Módulo tangente de solos não coesivos : Et= {1-[Rf (σ1-σ3)(1-senφ)/2σ3 senφ]} KPa (σ3/Pa)
n 2. Coeficiente de Poisson inicial – ν1 = G – F log10 (σ3/Pa)
Após uma série de análises pelo método dos elementos finitos (elementos
quadráticos planos para discretização do solo, elementos de viga para representação
do duto e elementos de mola para a interface solo-duto) e considerando vários
valores da razão H/D entre a espessura da camada de solo da cobertura da coroa H e
o diâmetro do duto D, obtiveram a seguinte equação após o ajuste dos resultados
numéricos pelo método dos mínimos quadrados:
( )θαβγ θ cos12
1−+= CCk dn (2.15)
onde,
36
2
5,0500
45,0
−+=
π
θβ
D (2.16)
γ = peso específico do material granular do reaterro
25075,025,4
DCd −= (2.17)
+=
π
θθ 4,51
4
1C (2.18)
D
H=α (2.19)
considerando D medido em centímetros e θ o ângulo central medido a partir da coroa
do duto.
Okeagu e Abdel-Sayed (1984) também investigaram os valores do coeficiente
tangencial de reação do solo ks, normalmente ignorado ou considerado de forma
aproximada, admitindo-se que as molas de Winkler associadas à reação normal kn
estão inclinadas do ângulo de resistência ao cisalhamento φ’ em relação à normal a
parede do duto.
Do mesmo estudo paramétrico pelo método dos elementos finitos, concluíram
que o valor de ks pode ser assumido constante ao redor do duto, sendo estabelecido
de maneira aproximada pela seguinte relação:
132,0 += αds Ck (2.20)
2.8.Restrição lateral do solo para duto enterrado
Ng et al (1994) investigaram o uso de técnicas numéricas para prever o
comportamento do duto quando sujeito a um carregamento lateral. Os resultados
previstos foram comparados com os resultados de ensaios de campo para avaliar a
eficácia das técnicas numéricas. Ensaios de trajetória de tensões em amostras de solo
foram feitos para determinar as propriedades dos materiais do aterro e do solo
adjacente. Os resultados desses ensaios e as informações do local são os parâmetros
de entrada para a análise bidimensional por elementos finitos para prever a relação
tensão-deformação do sistema solo-duto.
37
Um programa que usa o princípio de uma viga elástica em uma fundação
elástica é adicionado aos resultados da análise pelo método dos elementos finitos
para simular os ensaios de campo e comparar os resultados previstos com os
resultados desses ensaios.
Uma investigação geotécnica de campo foi feita para complementar os
ensaios de carregamento com o intuito de quantificar a natureza e as propriedades
mecânicas dos solos na proximidade do duto.
Ensaios de penetração com cone dinâmico foram realizados usando uma
sonda Mackintosh para identificar as diferentes camadas de solo. Três camadas
distintas de solo foram encontradas: areia argilosa como material de aterro, o solo
natural constituído de uma areia argilosa similar ao aterro e uma argila rija à
profundidade de 2,6m.
No laboratório foram feitos os ensaios de adensamento unidimensional,
cisalhamento direto e compressão no triaxial, além dos índices físicos: determinação
de umidade, peso específico, plasticidade e densidade.
Ng et al fizeram três ensaios de trajetória de tensões, dois no aterro e um no
terreno natural, para obter uma melhor estimativa das propriedades desses solos.
2.8.1.Ensaio de elemento unitário
Para representar o solo do aterro e verificar a sua adequabilidade, utilizaram-
se três modelos diferentes para este solo: Cam clay modificado, Modelo
elastoplástico e Modelo elástico não-linear.
Ensaios de elemento unitário foram realizados para checar se os parâmetros
de entrada se comportam bem. Um elemento quadrilateral de 8 nós foi usado para
representar ¼ do corpo de prova do solo e análises axissimétricas foram feitas. Os
resultados para o elemento “A” qualquer são mostrados na Figura 6.
38
Figura 6 Resultados do ensaio do elemento unitário (Ng et al, 1994)
Os resultados dos ensaios com elemento unitário mostram que tanto os
modelos Elastoplástico quanto o Elástico não-linear simularam bem o ensaio triaxial.
Para o Cam-clay modificado, as tensões de ruptura da análise são similares às dos
modelos anteriores, mas as deformações são muito menores.
2.8.2.Análise por elementos finitos
Fazendo-se a análise por elementos finitos e baseando-se na feita por Booth
(1991) verificou-se que o movimento do solo se localizava na região da trincheira de
forma que foi conveniente fixar o limite inferior do modelo na superfície da camada
de argila rija e assumir que os deslocamentos foram restringidos nas duas direções.
Os limites verticais estão afastados de 5 m do centro do duto sendo restritos na
horizontal e livres na vertical. A malha bidimensional de elementos finitos consiste
de 184 elementos quadrilaterais de 8 nós (Figura 7).
Figura 7 Malha de elementos finitos 2-D (Ng et al, 1994)
x
y
z
Ensaio Triaxial
Elastoplástico
Elástico não-linear
Cam Clay modificado
Deformação Cisalhante (%)
Ten
são
des
via
do
ra
(kN
/m2)
39
Com o objetivo de simular o movimento lateral de um duto rígido, todos os
nós da cavidade estavam sujeitos ao mesmo deslocamento prescrito. Para a primeira
análise os nós da cavidade foram restritos na direção y e nas análises subseqüentes
estavam livres para deslocar.
O programa de elementos finitos CRISP foi utilizado para a análise utilizando
a aproximação de rigidez tangente para soluções não-lineares. A precisão no
resultado depende da escolha do tamanho do incremento. Se forem usados
incrementos muito pequenos, o método produz uma solução que tende a divergir da
solução exata. Por essa razão foram feitas análises preliminares de onde se concluiu
que se obtêm resultados precisos com 200 incrementos nas análises iniciais e 2000
incrementos nas finais.
Todos os modelos de solo citados anteriormente são capazes de resistir tanto
à tração quanto à compressão da mesma forma. Portanto foi conveniente assumir que
o solo não pode sofrer nenhuma tração aplicando no modelo elastoplástico a opção
para o uso do procedimento “sem tração” onde, estando um elemento do solo sob
tração, o programa reduz sua resistência e sua rigidez a valores muito baixos, de
forma que apenas uma quantidade preestabelecida da tensão de tração pode ser
desenvolvida.
2.8.3.Cálculos da viga elástica
Para o segundo estágio da análise foi usado um programa desenvolvido pelo
próprio ‘British Gas’ baseado na viga de Winkler para a aproximação da fundação
elástica, onde a restrição do solo é representada por uma série de molas discretas. A
introdução de viga elástica assegura a compatibilidade dos deslocamentos através
dos elementos do solo. A Figura 8 mostra os resultados das análises comparados com
os ensaios de cargas. Por esses resultados percebe-se que os modelos cam clay
modificado, elastoplástico com tração e elástico não linear, não fornecem uma boa
concordância com o resultado dos ensaios. Todos esses modelos de ensaio
subestimam o movimento do duto em pelo menos 50%, levando a crer que os
resultados tensão-deslocamento previstos por esses modelos são altos, ou seja, para
um aumento na tensão há um incremento pequeno no deslocamento. No caso do
modelo elastoplástico sem tração, uma boa concordância é observada entre os
valores estimados para os deslocamentos e os dados de campo.
40
Figura 8 Resultados previstos para a partir de uma viga elástica em um programa de
fundações sob carregamento de 296 kN (Ng et al, 1994)
2.9.Previsão da restrição do solo ao duto enterrado usando elementos de interface
Ng et al (1997) se basearam em seu trabalho anterior (Ng et al, 1994) e deram
continuação ao mesmo a fim de investigar o bom desempenho do uso dos elementos
de interface para modelar o deslizamento e a separação da interface solo-duto e da
interface entre o aterro e o solo natural. Os resultados previstos pelo modelo
numérico foram comparados com os resultados dos ensaios de campo.
A modelagem foi igual à do trabalho anterior sendo que o programa utilizado
foi uma versão modificada do CRISP90. Esta possui uma opção de “autoflutuação”
desenvolvida pela Universidade de Cambridge, onde o movimento vertical pode ser
determinado em uma única análise. O duto não foi incluído na malha de elementos
finitos, mas é modelado como uma cavidade rígida.
Assumindo um movimento vertical inicial do duto, o programa calcula a
reação vertical total do mesmo no final de cada incremento. Um ajuste do
movimento vertical é então feito no programa para o próximo incremento, de acordo
com o sinal da força de reação. A reação vertical converge vagarosamente para zero
com movimento vertical do duto sendo calculado automaticamente. Assim o duto
rígido flutua para cima e para baixo durante a análise para manter a reação zero no
caso de um movimento horizontal prescrito.
Cam Clay Modificado
Elastoplástico
Elástico não linear
Elastoplástico sem
tração
Ensaio de carga
Distância do final do carregamento (m)
De
slo
cam
en
to h
ori
zo
nta
l
do
du
to (
m)
41
Duas análises foram realizadas, sendo uma com modelo assumindo tração e
outra com modelo sem tração.
Com o intuito de modelar a separação na interface solo-duto devido às
tensões de tração desenvolvidas à esquerda da seção transversal do duto, usou-se um
segundo modelo de elementos finitos com elementos de interface. A geometria desse
modelo é similar ao anterior, porém o duto foi inserido na malha. Os elementos de
interface foram colocados entre o anel do duto e o solo no programa, podendo
modelar a separação na interface solo-duto devido às tensões de tração, ou qualquer
deslizamento possível entre a interface solo-duto devido às tensões cisalhantes.
Tensões isotrópicas in situ foram usadas na análise para assegurar que os elementos
de interface estejam inicialmente em compressão e para evitar que a separação ocorra
no início da análise.
2.10.Elementos de interface para modelar a reação do solo de fundação para o projeto de duto
Backer et al (1997) desenvolveu um modelo de reação do solo de fundação
para analisar tanto o comportamento das deformações como o das tensões em túneis,
aplicando técnicas baseadas na modelagem por elementos finitos.
Relações simples para o módulo de reação do solo foram comparadas com os
resultados obtidos através de elementos finitos utilizando o programa PLAXIS.
Elementos de viga curvos de alta ordem com 3 ou 5 nós por elemento são
utilizados para modelar as paredes do túnel, e elementos de interface de 6 ou 10 nós
são usados para modelar a reação do solo e a interação entre as paredes. Na Figura 9
são mostrados os anéis de segmentos em uma configuração de elemento sólido, do
qual o túnel é constituído.
Figura 9 duto segmentado (Backer et al, 1997)
42
Para a simulação 2D foram modelados 2 anéis por elemento, onde cada anel
consiste de um número de segmentos. Entre os segmentos (“A” e “B” por exemplo)
foram usadas articulações impedindo que os momentos fletores fossem transferidos.
Entre dois anéis consecutivos há uma interação impedindo que eles se movam
independentemente, sendo modelado utilizando elementos de interface para limitar a
diferença nos deslocamentos (radiais e tangenciais).
A modelagem por elementos finitos é representada na Figura 10. Os
segmentos “A”, “B” e “C” são os mesmos da figura anterior e a interação entre os
elementos é dada pelo elemento de interface “a”. A interação entre os segmentos e o
solo circunvizinho é modelada usando elementos de interface “b” e “c”. Cada
segmento consiste de um número de elementos de viga para assegurar a
compatibilidade.
Figura 10 modelo de elementos finitos para um duto segmentado; os anéis possuem a
mesma coordenada (Backer et al, 1997)
Para os segmentos foram usados elementos de viga curvos capazes de
descrever deformações normais, cisalhantes e relativas à flexão como mostra a
Figura 11. Para a interação entre os segmentos “a” e o solo adjacente foi usado
elementos de espessura zero ou elementos de interface.
Figura 11 elemento de viga de cinco nós (Backer et al, 1997)
Para as deformações nos elementos de interface usou-se uma espessura
virtual lvirtual (Figura 12), combinada com a diferença nos deslocamentos dos lados
opostos do elemento, ∆u. Estas são expressas por:
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virtual
nn
l
u&&
∆=ε
virtual
s
sl
u&&
∆=ε (2.21)
Para o cálculo das tensões utilizou-se a equação abaixo:
∆
∆
=
=
s
n
s
n
virtuals
n
s
n
s
n
u
u
k
k
lk
k
&
&
&
&
&
&
0
01
0
0
ε
ε
σ
σ (2.22)
onde kn é a rigidez à tensão normal no solo e ks a rigidez à tensão cisalhante no solo,
e são dadas para esse caso pelas seguintes fórmulas:
rs
nLL
Kk
12= (2.23)
sr
sL
nK
Lk
2= (2.24)
Lr e Ls são a largura e o comprimento dos segmentos, n é o número de nós no
segmento e K a rigidez do elemento.
Figura 12 elemento de interface de dez nós (Backer et al)
2.11.Modelagem por elementos finitos de um duto de polietileno para o sistema de coleta de resíduos de minério de cobre
Johsi et al (2001) utilizaram a formulação em elementos finitos para a
verificação das tensões em dutos de polietileno corrugado sob uma pilha de
lixiviação de minério de cobre com aproximadamente 120m de altura, e para a
avaliação dos efeitos da geometria da trincheira na efetividade do arqueamento do
solo. No processo, o minério é lixiviado com uma solução de ácido fraco aplicado no
topo da pilha e que é coletada na base pelos dutos de coleta com aproximadamente
100mm de diâmetro. Esses dutos perfurados de polietileno são ligados a dutos
44
principais de polietileno corrugado, não perfurados, com aproximadamente 600 mm
de diâmetro, localizados numa trincheira ao longo da pilha de minério.
Foram utilizadas nesse trabalho tanto soluções analíticas como
técnicas numéricas para avaliar as tensões e deformações no sistema solo-duto
devido ao carregamento em vários dutos, como exposto anteriormente. As análises
numéricas foram feitas usando o programa PLAXIS onde o modelo foi calibrado
para verificar a solução do problema de um único duto modelado como uma casca
circular elástica enterrada em um meio elástico sem peso, proposto por Burns and
Richard (1964).
Três modelos foram simulados, sendo o primeiro (modelo 1) uma simulação
do problema proposto por Burns e Richard e os outros dois (modelos 2 e 3)
simulando duas configurações diferentes para a instalação da série de dutos descrita
anteriormente. Os dutos foram modelados como elementos curvos de viga com
rigidez à extensão e à flexão na direção perpendicular ao plano. A camada de
geomembrana foi modelada como um elemento de interface com um ângulo de atrito
interno reduzido comparado com o solo adjacente. Assumiu-se que nenhum
deslizamento poderia ocorrer entre o solo e o material que circunda o duto uma vez
que se considera que o material de aterro da zona do duto é bem compactado.
O modelo no PLAXIS foi calibrado a partir da solução de um problema de
apenas um duto proposto por Burns anda Richard. Uma correta solução para o
mesmo indica que o modelo do PLAXIS pode ser visto como confiável para modelar
um único duto, sendo possível modelar problemas com vários dutos, como é o caso.
2.12.Análise elástica de dutos enterrados sujeitos a carregamento na superfície
Fernando et al (1996) apresentam um método a ser utilizado para calcular os
deslocamentos, as tensões e os momentos em estruturas enterradas, como dutos e
galerias, sujeitas à flexão longitudinal. Esse tipo de flexão pode ocorrer caso haja um
carregamento na superfície aplicado no solo acima dessas estruturas.
A transformada de Fourier foi utilizada para reduzir o problema
tridimensional em um problema envolvendo apenas duas direções espaciais,
facilitando o cálculo.
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Assume-se neste caso que o solo se comporta como um meio contínuo
elástico sem ruptura plástica. Considera-se ainda que o solo que circunda a estrutura
é bem compactado antes de receber a carga de superfície e que não há deslizamento
entre os elementos de placa (estrutura) e os elementos contínuos adjacentes (solo)
quando há deformação.
O carregamento tridimensional é transformado na direção z pelo uso da
transformada de Fourier, quando a coordenada global z é alinhada paralela ao eixo
longitudinal do duto ou da galeria. Uma malha de elementos finitos bidimensional é
usada para modelar o campo de deslocamento transformado no plano x-y. Para
avaliar a reação na direção z, a transformada de Fourier é invertida para determinar
as tensões e os deslocamentos. A integração numérica dos valores transformados é
usada para determinar valores como tensões e deslocamentos no espaço real x-y-z.
Obtêm-se diretamente, então, os momentos fletores e as forças cisalhantes e axiais.
Fernando e Carter (1998) fizeram um estudo paramétrico com o intuito de
avaliar o comportamento de dutos enterrados sujeitos a uma pequena área de cargas
verticais uniformemente distribuídas aplicadas na superfície do solo circunvizinho.
Nesta análise considera-se que o duto deve ser representado como um tubo
elástico de diâmetro e espessura constante. Assume-se também que o solo se
comporta como um meio contínuo sem ruptura plástica e que o solo circunvizinho ao
duto é bem compactado antes de receber a aplicação da carga, como no trabalho
anterior (Fernando et al, 1996).
O efeito do material rígido de pavimentação da superfície não é levado em
consideração, o que geralmente ocasiona estimativas mais conservadoras das forças e
dos momentos. Isso é bom para os projetos de duto, uma vez que estes sofrerão
carregamento aplicado na superfície do solo antes que a pavimentação esteja
concluída.
Para o estudo paramétrico, um duto enterrado com diâmetro D foi analisado
com uma pequena área de tensão vertical sendo aplicada na superfície do solo. Na
maioria dos casos o carregamento foi aplicado diretamente sobre o eixo central do
duto. A malha de elementos finitos utilizada na análise se encontra na Figura 13,
onde apenas metade do duto e da massa de solo são analisados uma vez que se
considera a simetria.
46
Figura 13 Malha de elementos finitos típica utilizada na análise (Fernando e Carter, 1998)
A altura h da cobertura acima do duto, a espessura t da parede do duto, o
módulo de elasticidade do duto, Ep, o módulo de elasticidade do solo Es e a área
sobre a qual a carga é aplicada são todos variáveis durante todo o estudo paramétrico.
Foi considerado no estudo paramétrico tanto um carregamento simétrico em
relação ao eixo do duto, como um assimétrico. Este último teve o objetivo de
verificar se a tensão máxima e o momento máximo que acontecem quando a carga é
aplicada diretamente no eixo do duto.
2.13.Interação solo-duto no movimento lento de encostas – Uma aplicação da análise inversa utilizando o método de elementos de contorno.
Mandolini et al (2001) apresentam o caso de um duto atravessando um talude
sujeito a movimentos lentos sendo monitorado. Os dados do monitoramento são
usados para calibrar o programa numérico implementado baseado no método de
elementos de contorno. O modelo constitutivo adotado para o solo é linear elástico, o
duto é descrito pelo modelo de viga de Bernoulli e a interface solo-duto é de atrito do
tipo Coulomb.
O procedimento numérico foi implementado com o objetivo de prever a
evolução do fenômeno em termos de tensões induzidas no duto, provenientes do
campo de deslocamento do solo circunvizinho. Além disso, procurou-se
disponibilizar um programa que a partir de dados de deslocamento de um talude seja
capaz de analisar o comportamento tensão-deformação de estruturas similares, mas
em diferentes condições em relação às analisadas no presente trabalho.
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O movimento de massa em questão é um deslizamento em estágio final de
evolução que já não possui mais a sua escarpa e os taludes laterais originais. Seu
comprimento foi estimado como sendo 1000m e a inclinação média 9,5º. Uma
pequena correnteza no pé do talude ocasionando erosão é um fator adicional de
desestabilização do mesmo.
O deslizamento envolve xisto argiloso muito fissurado e altamente plástico, e
o corpo do talude principal é constituído por materiais muito moles, altamente
heterogêneos.
Um gasoduto, com diâmetro interno igual a 0,61m, atravessa
longitudinalmente o talude estando a uma profundidade de 2m abaixo da superfície.
As instrumentações utilizadas no talude foram 7 piezômetros e 20 inclinômetros,
instalados em diferentes épocas perto do duto. Um medidor automático de chuva foi
instalado em janeiro de 1995 e os dados de chuva entre 1985 e 1995 foram extraídos
de arquivos oficiais da estação pluviométrica de Ginestra degli Savoni, localizada na
mesma bacia hidrográfica. Em outubro de 1995 o solo ao redor do duto foi escavado
para a instalação de extensômetros.
Constatou-se, a partir dos perfis de deslocamento dados pelo inclinômetro e
pela espessura do solo remoldado durante as investigações de campo, que a
superfície de deslizamento é rasa na parte superior do talude (3:4 m) e mais profunda
(14:15m) no pé do talude (Figura 14).
Figura 14 Superfície de deslocamento estimada através de medidas de inclinômetros e
furos de sondagem (Mandolini et al, 2001)
Superfície de escoamento
Solo remoldado observado em furos
de sondagem Escoamento
Distância (m)
Ele
va
ção
(m
)
48
Como é necessário tratar dados experimentais fazendo certas simplificações,
assumiu-se que o talude possuía comprimento infinito visto que a sua dimensão
transversal era muito grande em relação ao diâmetro do duto. Os valores do
deslocamento ao longo das seções longitudinais são considerados constantes.
Foi aplicada neste trabalho uma junção entre o problema de contato e a
análise inversa onde os procedimentos numéricos são derivados das simplificações
nos dados experimentais provenientes das medidas de deslocamento ao longo da
superfície de deslizamento em uma seção longitudinal.
Para o desenvolvimento do modelo de solo foi dada ênfase à junção com o
modelo de viga. A elasticidade tridimensional foi acoplada ao corpo unidimensional
levando-se em conta a diferença nos graus de liberdade entre os dois modelos.
Percebeu-se que seria de grande importância formular o problema em termos das
variáveis definidas no domínio unidimensional constituído pelo eixo do duto.
