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Lista 2- O.M. I ( límpiada de Matemática do Integral )-2015
Equipe de Matemática
Série: 1º ano
Questões:
1. Em um ginásio de esportes, uma quadra retangular está situada no interior de uma
pista de corridas circular, como mostra a figura.
A área interior à pista, excedente à da quadra retangular, em 2m , é
a) 50 48π
b) 25 48π
c) 25 24π
d) 25
242π
e) 10 30π
2. No quadrado ABCD de lado x, representado na figura a seguir, os pontos R e S são
pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente, e O é o encontro das duas
diagonais. A razão entre a área do quadrado pequeno (pintado) e a área do quadrado
ABCD é:
a) 1
16
b) 1
12
c) 1
10
d) 1
8
e) 1
4
3. Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado igual a 16 cm. Os segmentos 𝐴𝐹̅̅ ̅̅ e
𝐵𝐸̅̅ ̅̅ medem, respectivamente, 12 e 10 cm.
A área do triângulo CEF, em 2cm , é igual a :
a) 54
b) 80
c) 108
d) 148
4. Um campo de futebol tem o formato de um retângulo de comprimento (2x 20)
metros e largura (x 45) metros, conforme a figura ao lado. Sabendo que a área desse
campo é de 28500m , assinale a alternativa que indica CORRETAMENTE a medida do
raio do círculo central:
a) 10m
b) 15m
c) 20m
d) 25m
e) 30m
5. Um motorista de táxi cobra, para cada corrida, uma taxa fixa de R$5,00 e mais
R$ 2,00 por quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) num dia é função da
quantidade total (x) de quilômetros percorridos e calculado por meio da função
R(x) ax b, em que a é o preço cobrado por quilômetro e b, a soma de todas as taxas
fixas recebidas no dia. Se, em um dia, o taxista realizou 10 corridas e arrecadou
R$ 410,00, então a média de quilômetros rodados por corrida, foi de :
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
6. Seja a uma função afim f(x), cuja forma é f(x) ax b, com a e b números reais. Se
f( 3) 3 e f(3) 1, os valores de a e b, são respectivamente:
a) 2 e 9
b) 1 e 4
c) 1
3 e
3
5
d) 2 e 7
e) 2
3 e 1
7. ViajeBem é uma empresa de aluguel de veículos de passeio que cobra uma tarifa
diária de R$ 160,00 mais R$ 1,50 por quilômetro percorrido, em carros de categoria A.
AluCar é uma outra empresa que cobra uma tarifa diária de R$ 146,00 mais R$ 2,00 por
quilômetro percorrido, para a mesma categoria de carros.
a) Represente graficamente, em um mesmo plano cartesiano, as funções que
determinam as tarifas diárias cobradas pelas duas empresas de carros da categoria A
que percorrem, no máximo, 70 quilômetros.
b) Determine a quantidade de quilômetros percorridos para a qual o valor cobrado é o
mesmo. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados.
8. Um economista observa os lucros das empresas A e B do primeiro ao quarto mês de
atividades e chega à conclusão que, para este período, as equações que relacionam o
lucro, em reais, e o tempo, em meses, são AL (t) 3t 1 e BL (t) 2t 9. Considerando-se
que essas equações também são válidas para o período do quinto ao vigésimo quarto
mês de atividades, o mês em que as empresas terão o mesmo lucro será o
a) vigésimo.
b) décimo sétimo.
c) décimo terceiro.
d) décimo.
9. A figura abaixo mostra a precipitação pluviométrica em milímetros por dia (mm/dia)
durante o último verão em Campinas. Se a precipitação ultrapassar 30 mm/dia, há um
determinado risco de alagamentos na região. De acordo com o gráfico, quantos dias
Campinas teve este risco de alagamento?
a) 2 dias.
b) 4 dias.
c) 6 dias.
d) 10 dias.
10. Grande parte da arrecadação da Coroa Portuguesa, no século XVIII, provinha de
Minas Gerais devido à cobrança do quinto, do dízimo e das entradas (Revista de
História da Biblioteca Nacional). Desses impostos, o dízimo incidia sobre o valor de
todos os bens de um indivíduo, com uma taxa de 10% desse valor. E as entradas
incidiam sobre o peso das mercadorias (secos e molhados, entre outros) que entravam
em Minas Gerais, com uma taxa de, aproximadamente, 1,125 contos de réis por arroba
de peso.
O gráfico a seguir mostra o rendimento das entradas e do dízimo, na capitania, durante o
século XVIII.
Com base nessas informações, em 1760, na capitania de Minas Gerais, o total de
arrobas de mercadorias, sobre as quais foram cobradas entradas, foi de
aproximadamente:
a) 1 000
b) 60 000
c) 80 000
d) 100 000
e) 750 000
11. Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa
uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB.
Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões
abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km.
a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?
b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( ) 3 / 4.θ Determine a distância d
entre o ponto C e o satélite.
12. a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os
décimos. Se quiser, use algum destes dados: 235 1225 ; 236 1296 ; 237 1369 .
b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o
triângulo com as seguintes medidas dos lados: 6 cm , 8 cm , e 16 cm . Ele conseguirá
fazer o cartaz? Por quê?
13. Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas
paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal
de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com
uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro
(ponto C);
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C,
sem parada intermediária.
Supondo que AB 300 3 m, BC 200 m, BÂP = 20º e ˆCBN 50 , é correto afirmar
que a distância entre os pontos A e C é de:
a) 700 m
b) 702 m
c) 704 m
d) 706 m
e) 708 m
14. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do
outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de
determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em
que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos
BÂC e valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5.
b) 12,5 2 .
c) 25,0.
d) 25,0 2 .
e) 35,0.
15. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de
Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de
preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível
aos impactos ambientais causados pela atividade humana.
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45° e o ângulo C mede
75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio
urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é
a) 8 6
3
b) 4 6
c) 8 2 3
d) 8( 2 3)
e) 2 6
3
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
Resposta da questão 2:
[D]
Como O é o centro do quadrado e R é o ponto médio do lado AB, segue-se que RO é a
diagonal do quadrado pintado e, portanto, temos x
RO .2
O resultado pedido é dado
por 22
2 2
xRO1 122 .2 8xAB
Resposta da questão 3:
[C]
Resposta da questão 4:
[A]
Resposta da questão 5:
[C]
Resposta da questão 6:
[E]
Resposta da questão 7:
a) Sejam f,g : [0, 70] , com f(x) 1,5x 160 e g(x) 2x 146, cujos gráficos estão
representados na figura abaixo.
b) Queremos calcular o valor de x para o qual se tem f(x) g(x). Logo, segue que
1,5x 160 2x 146 x 28km.
Resposta da questão 8:
[D]
A BL (t) L (t)
3t 1 2t 9 t 10.
Portanto, no décimo mês as empresas A e B terão o mesmo lucro.
Resposta da questão 9:
[B]
Resposta da questão 10:
[D]
Resposta da questão 11:
a) No triângulo assinalado:
R é a medida do raio da terra.
R 1cos 60
R R 2α α
Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por:
2 R 2 6400 12800km.
3 3 3
π π π
b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: 2 2 2
2 2 2
2
d R (2R) 2.R.2R.cos
d 5R 4.R .(3/4)
d 2.R
d R 2
d 6400. 2 km
θ
Resposta da questão 12:
O perímetro das figuras será dado por P = 6 + 8 + 7,2 = 21,2.
b) Não.
Resposta da questão 13:
[A]
Resposta da questão 14:
[B]
Resposta da questão 15: [B]
