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A. Transformada de Laplace
Neste apndice apresenta-se apenas um sumrio sobre a transformada de Laplace. Umestudo mais completo do tema encontra-se nos livros de matemtica para engenharia ounos livros sobre equaes diferenciais, por exemplo, o livro de Farlow[4].
Define-se a transformada de Laplace de uma funo f (t) como o integral:
L{ f (t)}=
0
f (t)est d t (A.1)
Note-se que o resultado desse integral j no depende de t mas sim do parmetro s, que seadmite ser um nmero real.
Neste livro, para representar a transformada de Laplace, utiliza-se um til por cima da letraque representa a funo. Por exemplo, g(s) a funo obtida por aplicao da transformadade Laplace funo g(t).
A varivel s tem as unidades de inverso do tempo, ou seja unidades de frequncia, j que oexpoente st adimensional. Assim sendo, g(t) e g(s) costumam ser designadas de repre-sentaes da funo no domnio do tempo e no domnio da frequncia, respetivamente.Tal como no caso da derivao, uma forma rpida de calcular a transformada de umafuno por meio de algumas regras simples que se vo obter nas seces seguintes. Atransformada inversa de uma funo f (s) a funo f (t) cuja transformada de Laplace igual a f (s).
Para que a transformada de Laplace de uma funo f (t) exista, necessrio que f (t)observe as duas propriedades seguintes:
1. A funo tem de ser parcelarmente contnua, isto , f (t) pode ter alguns pontosisolados onde descontnua, mas necessariamente contnua em cada intervaloentre dois pontos de descontinuidade.
2. A funo f (t) deve ser de ordem exponencial: existe um nmero real a tal que olimite
limt | f (t)|e
at (A.2)
existe. O domnio da respetiva transformada de Laplace f (t) s > a.
Note-se que no clculo da transformada de Laplace no interessa a forma como a funoseja definida para t 0. Isto prende-se com o intervalo de integrao usado na definioda transformada. possvel usar outros intervalos diferentes, mas o intervalo t > 0
212 Transformada de Laplace
particularmente til nos problemas fsicos estudados neste livro, em que unicamenteinteressa a evoluo de um sistema fsico a partir de um instante inicial arbitrado t = 0.
A.1. Propriedades da transformada de Laplace
A.1.1. Linearidade
Para quaisquer duas funes f (t) e g(t) e duas constantes a e b, verifica-se:
L{a f (t)+bg(t)}= a f (s)+bg(s) (A.3)e a transformada inversa tambm um operador linear:
L1{a f (s)+bg(s)}= a f (t)+bg(t) (A.4)
A.1.2. Derivada da transformada
A derivada da transformada de f (t), em ordem frequncia s ,
d fds
=dds
0
f (t)est d t =
0
t f (t)est d t = L{t f (t)} (A.5)
e derivando sucessivamente n vezes conclui-se que
L{tn f (t)}= (1)n dn f
dsn(A.6)
A.1.3. Transformada da derivada
A transformada da derivada de f (t) em ordem ao tempo est relacionada com a prpriatransformada de f (t). Integrando por partes no integral que define a transformada, obtm-se:
L{ f }=
0
f est d t = f est
0
+ s
0
f est d t (A.7)
o ltimo integral a transformada de f (t) e no primeiro termo, o limite de f est quandot tende para infinito zero, j que f (t) uma funo de ordem exponencial. Como tal,obtm-se a relao seguinte:
( f ) = s f f (0) (A.8)A transformada de derivadas de ordem superior calcula-se aplicando a mesma propriedadevezes sucessivas, por exemplo, a transformada da segunda derivada igual a:
L{ f }= s ( f ) f (0) = s (s f f (0)) f (0) = s2 f s f (0) f (0) (A.9)
A.1 Propriedades da transformada de Laplace 213
A.1.4. Deslocamento na frequncia
A transformada do produto entre uma funo exponencial e outra funo qualquer :
L{eat f (t)}=
0
f e(as) t d t = f (sa) (A.10)
Nomeadamente, quando se multiplica uma funo por eat , no domnio do tempo, a suarepresentao no domnio das frequncias desloca-se a unidades no sentido positivo doeixo da frequncia s.
A.1.5. Deslocamento no tempo
Define-se a funo degrau unitrio, ou funo de Heaviside, como:
u(ta) ={
0 , t a1 , t > a
(A.11)
Como tal, o produto,u(ta) f (ta) (A.12)
a funo f (t) deslocada uma distncia a no sentido positivo do eixo do tempo t, sendonula para t < a. Calculando a transformada de Laplace desse produto obtm-se:
L{u(ta) f (ta)}=
a
f (ta)est d t =
0
f (r)es(r+a) dr = eas
0
f (r)esr dr
e conclui-se que:L{u(ta) f (ta)}= eas f (s) (A.13)
Isto , quando a funo deslocada a unidades no sentido positivo do tempo t, a suarepresentao no domnio da frequncia fica multiplicada por eas.Note-se que no caso particular a = 0, esta propriedade implica que a transformada deu(t) f (t) idntica transformada de f (t); o produto u(t) f (t) simplesmente torna oresultado nulo para t 0 deixando a funo igual para t > 0 e como j foi dito, no clculoda transformada de Laplace apenas interessa a definio da funo para t > 0.
Esta propriedade muito til para calcular as transformadas de Laplace de funes comdescontinuidades. Uma outra forma equivalente
L{u(ta) f (t)}= easL{ f (t+a)} (A.14)
214 Transformada de Laplace
A.2. Transformadas de funes importantes
A.2.1. Polinmios
A transformada de t p, onde p qualquer nmero real, pode ser simplificada usando amudana de varivel u = st
L{t p}=
0
t p est d t =
0
(us
)peu
dus= s(p+1)
0
up eu du (A.15)
e este ltimo integral a funo gama de p+1; como tal, a transformada de t p
L{t p}= (p+1)sp+1
(A.16)
em particular, quando p um nmero inteiro positivo n, a funo gama de n+1 igual aofatorial de n e obtm-se:
L{tn}= n!sn+1
(A.17)
e para n = 0
L{1}= 1s
(A.18)
A.2.2. Funes exponenciais
Aplicando a propriedade de deslocamento na frequncia s, com f (t) = 1 e tendo em contaque L{1}= 1/s, obtm-se a transformada da funo exponencial,
L{eat}= 1sa (A.19)
e como a derivada de 1/(s a) 1/(s a)2, usando a propriedade da derivada datransformada conclui-se:
L{t eat}= 1(sa)2 (A.20)
O mesmo resultado pode ser obtido a partir da transformada de t e usando a propriedadede deslocamento em s.
A.2.3. Funes sinusoidais
Para calcular a transformada de Laplace das funes sinusoidais conveniente usar afrmula de Euler:
f (t) = fmx cos( t+) = Re(
fmx ei( t+))= Re
(fmx ei ei t
)(A.21)
A.2 Transformadas de funes importantes 215
onde Re{z} a funo que d a parte real dum nmero complexo z. Assim sendo, atransformada de Laplace da funo sinusoidal f (t) :
f (s) = L{
Re(
fmx ei ei t)}
= Re(
fmx ei L{
ei t})
= Re(
fmx ei
s i)
(A.22)
Por simplicidade, costuma-se omitir a funo Re, ficando implcito que s interessa aparte real. Definindo o fasor F da funo sinusoidal f (t) como o produto fmx ei , atransformada de Laplace da funo sinusoidal ento:
L{ fmx cos( t+)}= Fs i (A.23)
onde F o respetivo fasor. Como sinx = Re(i eix), conclui-se tambm que:
L{ fmx sin( t+)}= iFs i (A.24)
A.2.4. Funo impulso unitrio
A funo impulso unitrio, ou funo delta de Dirac, (t a), a derivada da funodegrau unitrio u(t a). Note-se que no realmente uma funo, porque em t = a afuno u(ta) descontnua e a sua derivada no existe.Pode imaginar-se (ta) imaginando uma funo degrau que no muda abruptamente de0 para 1, em t = a, mas sim aumenta gradualmente de 0 para 1 num pequeno intervalo queinclui t = a; como tal, (ta) nula excepto nesse pequeno intervalo em que o degrauunitrio passa de 0 para 1 e a rea total sob (ta) deve ser igual a 1; no limite em que ocomprimento desse intervalo se aproxima para zero, o valor de (ta) aproxima-se deinfinito, em t = a, e de zero em qualquer outro valor de t.
Uma funo f (t), contnua em a, verifica a propriedade seguinte:
t
f (z) (za)dz ={
0 , t af (a) , t > a
(A.25)
A transformada da funo impulso unitrio a transformada da derivada da funo degrauunitrio. Aplicando a propriedade da transformada da derivada, obtm-se:
L{ (ta)}= eas (A.26)
As propriedades da transformada de Laplace e as transformadas das funes calculadasnas seces anteriores encontram-se resumidas na tabela A.1.
216 Transformada de Laplace
Funo Transformada
f (t) f (s)
tnn!
sn+1
eat f (t) f (sa)f (t) s f (s) f (0)
t0
f (z)dz1s
f (s)
t f (t) d fds
f (t)t
s
f (r)dr
u(ta) f (ta) eas f (s)u(ta) f (t) easL{ f (t+a)} (ta) eas
f( t
a
)a f (as)
fmx cos( t+)F
s i
fmx sin( t+)iF
s i
Tabela A.1.: Propriedades da transformada de Laplace.