EXAME DE INGRESSO2◦ Semestre/2006

Parte 319/04/2006 - Perıodo da Manha

Instrucoes

• Verifique se a folha de respostas que voce recebeu corresponde ao codigoque identifica o seu nome na lista afixada na porta de entrada da sala.Nao escreva o seu nome na prova. Ela devera ser identificada apenas atraves docodigo. Destaque o tıquete grampeado e verifique se ele corresponde ao seu nome eao codigo de identificacao. Guarde-o como comprovante.

• Esta prova constitui a terceira parte do exame de ingresso a pos-graduacao doIFUSP. Ela contem problemas e questoes de Eletromagnetismo (E) e MecanicaQuantica (Q). O tempo de duracao dessa prova sera de 3 horas. O tempo mınimode permanencia na sala sera de 90 minutos. Procure fazer todas as questoes eproblemas.

• A nota final de cada uma dessas disciplinas sera obtida a partir dos resultados dasprovas de ontem e de hoje. O conjunto das questoes e problemas de cada disciplinatem o mesmo valor.

• Faca cada questao ou problema na pagina correspondente da folha derespostas. As paginas serao reorganizadas para a correcao. Se precisar de maisespaco, fale com o professor responsavel pela aplicacao do exame, que lhe dara umafolha extra.

Bom trabalho.

E3. As propriedades eletromagneticas da ionosfera terrestre podem ser descritas poruma permeabilidade magnetica µ = µ0 e uma constante dieletrica ε dependente dafrequencia (angular) ω na forma

ε(ω) = ε0

(1 − ω2

0

ω2

).

O parametro ω0 e determinado pela composicao da ionosfera. Considere uma ondaplana numa determinada regiao da ionosfera cujo campo eletrico e dado por

E = E0ei(kz−ωt).

(a) Obtenha a relacao de dispersao k(ω).

(b) Para que valores de ω uma onda eletromagnetica propaga neste meio?

(c) Qual a velocidade de fase vf de uma onda eletromagnetica neste meio?

(d) E possıvel que vf seja maior que a velocidade da luz no vacuo c? Explique.

(e) Qual a velocidade de grupo vg desta onda? Esta velocidade pode ser maior quec?

E4. Considere um cabo coaxial formado por duas cascas cilındricas condutoras de raiosa e b (b > a). Um material de permeabilidade magnetica µ ocupa o espaco entreas cascas cilındricas, que sao percorridas por uma corrente constante I ao longo deseu comprimento como mostra a figura abaixo. Determine:

(a) O campo H em todo espaco;

(b) o campo magnetico B em todo espaco;

(c) a magnetizacao M em todo espaco;

(d) as correntes de magnetizacao em todo o espaco;

(e) a energia armazenada no cabo por unidade de comprimento.

a

b

I

I

1

Q3. Considere o atomo de helio (He).

(a) Escreva o seu hamiltoniano HHe, tratando o nucleo como uma carga pontualde massa infinita.

(b) Considere o hamiltoniano do He sem o termo repulsivo intereletronico comoum hamiltoniano de ordem zero H0. Utilizando resultados para o estado fun-damental de um atomo hidrogenoide,

ψ1s(r) =

(Z3

πa30

) 12

exp (−Zr/a0) , E1s = −Z2e2

2a0

determine a autofuncao ψ0(r1,r2) e a autoenergia E0 correspondentes ao estadofundamental de H0. Compare a autoenergia com o resultado experimental parao atomo de He, Eexp = −78,8 eV.

(c) Escreva uma funcao de estado aproximada para o atomo de He, ψHe(r1ms1,r2ms2),a partir da autofuncao do ıtem anterior e das funcoes de spin χ+ e χ− corres-pondendo as componentes ms = +1

2e ms = −1

2, respectivamente.

(d) Obtenha uma melhor aproximacao para a energia do estado fundamental doHe considerando o termo repulsivo descartado acima como uma perturbacao eutilizando teoria de perturbacao de primeira ordem.

Dados: (Z3

πa30

)2 ∫ ∫e−2Z(r1+r2)/a0

e2

r12d3r1d

3r2 =5Ze2

8a0

; r12 ≡ |r1 − r2|

Raio de Bohr: a0 =h2

mee2;

e2

2a0

= 13,6 eV

Q4. Considere um sistema quantico descrito por um espaco vetorial de duas dimensoesgerado por dois vetores de base ortonormais |1〉 e |2〉. Seja H o hamiltoniano dosistema, cujos elementos de matriz sao

〈1|H|1〉 = 〈2|H|2〉 = a

〈1|H|2〉 = 〈2|H|1〉 = b.

Considere agora um outro observavel S cujos elementos de matriz sao

〈1|S|1〉 = 1

〈2|S|2〉 = −1

〈1|S|2〉 = 〈2|S|1〉 = 0.

(a) Quais sao os autovalores e autovetores de H?

(b) Suponha que o estado do sistema seja |ψ〉 = 1√2(|1〉 + |2〉). Quais os possıveis

resultados, com suas respectivas probabilidades, das medidas de H e S?

(c) Suponha que em t = 0 o sistema esteja no estado |ψ(0)〉 = |1〉. Qual o estadopara um tempo t, |ψ(t)〉? Para quais instantes de tempo uma medida de Sfornece o valor −1 com 100% de probabilidade?

(d) Os operadores S e H podem ser diagonalizados simultaneamente? Justifique.

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