2006 MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM FRENTE ABRUPTA IST, Lisboa João Leal (UBI) Universidade da Beira Interior AULA 11

20062006

MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA

PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM

FRENTE ABRUPTAFRENTE ABRUPTA

IST, LisboaIST, LisboaJoão Leal (UBI)João Leal (UBI)

Universidade da Beira Interior

AULA 11AULA 11

Observações experimentaisObservações experimentais

o modelo conceptual tem que o modelo conceptual tem que incluir o incluir o transporte de transporte de sedimentossedimentos

Planta

clear waterclear water

sheet-flowsheet-flow

Vista lateral

o escoamento pode ser conceptualizado como2 camadas de transporte (clear waterclear water + sheet-flowsheet-flow)


MODELO CONCEPTUAL MODELO CONCEPTUAL (morfodinâmico)(morfodinâmico)

immobile bedz b

h c sheet-flow

hh w clear water

uc

uw

ub= 0

C w= 0

C c

C b= 1 - p

wh w

wh w + ch c

c c w wh h h u u u

1 1w s C

2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )c c c x c y x yC C h u u h u u

Depth average Depth average theorytheory

NOTA:NOTA:

ux

y

u

u


EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃOEQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO

t x y

F U G UU

S

Variáveis dependentesVariáveis dependentes

cota da sup. livrecota da sup. livre

caudal mássico por caudal mássico por unidade de larguraunidade de largura

cota do fundo equivalente aossedimentos acumulados na coluna de água

s bz h z

1e b c cz p z C h

hu

Variáveis dependentes

( )

( )

U

s

x

y

e

z

u h

u h

z

Vectores de fluxo

( )

2 2( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

F U

x

w w x w c c x c

w w x w y w c c x c y c

x

hu

u h u h

u u h u u h

Chu

2 22 2w w w w c c cg h h h h

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2( ) ( )

( )

G U

y

w w x w y w c c x c y c

w w y w c c y c

y

hu

u u h u u h

u h u h

Chu

Termos de fonte

( )

( )

0

0

S

bw w c c bc x

bw w c c bc y

zg h h

xz

g h hy

MORFODINÂMICOMORFODINÂMICO


EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃOEQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO

t x y t x y

F U G UU U U U

A U B U S

Variáveis dependentes

( )

( )

x

y

h

u h

u h

U

Vectores de fluxo

( )

2 2( )

( ) ( )

2

x

x

x y

hu

u h gh

u u h

F U ( )

( ) ( )

2 2( ) 2

y

x y

y

hu

u u h

u h gh

G U

Termos de fonte

( )

( )

0

bbc x

bbc y

zgh

xz

ghy

S

HIDRODINÂMICOHIDRODINÂMICO


2

0 1 0

2 0x x

x y y x

gh u u

u u u u

A U

2

0 0 1

0 2

x y y x

y y

u u u u

gh u u

B U

x

x

x

u gh

u

u gh

A

y

y

y

u gh

u

u gh

B

O esquema (MacCormack, 1969) foi desenvolvido e implementado no

âmbito da dinâmica de gases. A sua facilidade de implementação

aliada a uma precisão de segunda ordem faz com que seja um dos

esquemas mais utilizados na modelação numérica de ondas de cheia.


Refira-se que a existência de choques na solução faz com que os

esquemas de primeira ordem não sejam aplicáveis, dado que

tendem a suavizar essas descontinuidades.

ESQUEMA DE MACCORMACKESQUEMA DE MACCORMACK

O esquema numérico de MacCormack é explícito e constitui a variante

de dois passos mais popular do esquema de Lax-Wendroff. Pertence à

classe dos métodos de passo fraccionado (“fractional-step”) e garante

uma aproximação de segunda ordem no tempo e no espaço.


ESQUEMA DE MACCORMACK 1DESQUEMA DE MACCORMACK 1D

1 1

2n p ci i i U U U

Diferenças Finitas

0t x

U F

xx tt

1

1

se 2,4,...

se 3,5,...

n n ni i i

pi

n n ni i i

tn

xt

nx

U F FU

U F F

1

1

se 2,4,...

se 3,5,...

n p pi i i

ci

n p pi i i

tn

xt

nx

U F FU

U F F

Previsão Correcção

Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção



tempo(t )

(progressivas)

(regressivas)

espaçom c +1 (x )

i 1 i i +1

n+ 1

n

correcção

previsão

FR

ON

T. D

E JU

SA

NT

E

barr

agem

x

m x m x 1

n 1

CONDIÇÕES INICIAIS

1 2 m c 1 m c

n+ 1

n

3

FR

ON

T. D

E M

ON

TA

NT

E

1

0



Diferenças Finitas

0t x y

U F G

xx tt

Previsão Correcção

Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção e também nos fluxos segundo x (F) e segundo y (G)

y y

, 1, , , 1 ,

, , 1, , 1 ,

,

, 1, , , , 1

, , 1, , ,

se 2,6,...

se 3,7,...

se 4,8,...

n n n n ni j i j i j i j i j


pi j


n n n ni j i j i j i j i j

t tn

x xt t

nx xt t

nx xt t

x x

U F F G G

U F F G GU

U F F G G

U F F G G 1 se 5,9,...n n

, , 1, , , 1

, 1, , , , 1

,

, , 1, , 1 ,

, 1, , , 1

se 2,6,...

se 3,7,...

se 4,8,...

n p p p pi j i j i j i j i j


ci j


n p p pi j i j i j i j i

t tn

x xt t

nx xt t

nx xt t

x x

U F F G G

U F F G GU

U F F G G

U F F G G , se 5,9,...pj n

1, , ,

1

2n p ci j i j i j U U U

Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 2DESQUEMA DE MACCORMACK 2D

y y

i +1,j i +1,ji -1,j x i -1,j x

p c

y y

i +1,j i +1,ji -1,j x i -1,j x

c pc

Tempo de cálculo n +2

i ,j +1

cc

i ,j

p


i ,j -1 i ,j -1

i ,j +1

pp

i ,j

Tempo de cálculo n

i ,j +1

pc

i ,j

p


i ,j -1 i ,j -1

i ,j

i ,j +1

p

c

c

De acordo com o teorema de Godunov, a utilização de um esquema

de ordem superior à primeira produz oscilações espúrias na

presença de descontinuidades.


CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD

-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0

1 ,5

2 ,0

2 ,5

3 ,0

a )

d is tâ n c ia-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,0

1 ,0

1 ,5

2 ,0

2 ,5

3 ,0

b )

d is tâ n c ia

-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0

1 ,5

2 ,0

2 ,5

3 ,0

c )

d is tâ n c ia

esquema primeira ordem (Godunov)simula mal (“adoça”) as descontinuidades

esquema de segunda ordem (MacCormack)Simula bem as descontinuidades mas apresenta oscilações numéricas

SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE RIEMANN


A tentativa de eliminar as oscilações numéricas resultantes dos

termos de ordem superior deu origem aos esquemas TVD que

garantem que a variação total das sucessivas soluções numéricas

não aumenta no tempo, ou seja,


Esta propriedade garante que não se geram novos mínimos ou

máximos locais e que os mínimos e máximos locais existentes não

são decrescentes ou crescentes, respectivamente.

1TV TVn n U U

-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0

1 ,5

2 ,0

2 ,5

3 ,0

a )

d is tâ n c ia-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,0

1 ,0

1 ,5

2 ,0

2 ,5

3 ,0

b )

d is tâ n c ia

-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0

1 ,5

2 ,0

2 ,5

3 ,0

c )

d is tâ n c ia

-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0

1 ,5

2 ,0

2 ,5

3 ,0

a )

d is tâ n c ia-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,0

1 ,0

1 ,5

2 ,0

2 ,5

3 ,0

b )

d is tâ n c ia

-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0

1 ,5

2 ,0

2 ,5

3 ,0

c )

d is tâ n c iaesquema de MacCormack sem TVD esquema de MacCormack com TVD

A metodologia TVD só é aplicável a sistemas lineares de equações.

A sua aplicação a sistemas não lineares só é possível através da

linearização local do sistema através da aproximação desenvolvida

por Roe (1981), em que as Jacobianas são aproximadas por

matrizes Jacobianas de coeficientes constantes, determinados

através da solução do problema de Riemann entre duas células de

cálculo adjacentes.





A metodologia TVD, por si só, não garante a satisfação da condição

de entropia. Esta condição é fundamental para evitar a

convergência dos esquemas para soluções não reais (espúrias).

A obtenção de soluções com descontinuidades assenta no teorema

de Lax e Wendroff que postula que se um esquema numérico,

aplicado a um sistema de equações escrito na forma conservativa, é

convergente, então converge para uma solução fraca (descontínua).



k esquerda des k direitaS U U

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12x [m]

Y [

m]

Porém, o teorema não garante a unicidade da solução fraca obtida,

podendo obter-se soluções sem significado físico (espúrias). Para

que tal não aconteça é necessário garantir a satisfação da condição

de entropia:

esquema de MacCormack sem condição de entropia (choque não físico)



A aplicação da metodologia TVD ao esquema de MacCormack em

conjunto com a verificação da condição de entropia traduz-se na

introdução de um termo de correcção, que no caso de esquemas

centrados como o de MacCormack pode ser visto como um termo

de dissipação artificial auto-adaptativo

1, , , 1 2, 1 2, , 1 2 , 1 2

1

2n p c n n n ni j i j i j i j i j i j i j

t t

x y

U U U D D D D



1, , , 1 2, 1 2, , 1 2 , 1 2

1


t t

x y

U U U D D D D

3

1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2,1

11 1

2n k k k k ki j i j i j i j i j i j

k

ta e

x

D

3

, 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 21

11 1

2n k k k k ki j i j i j i j i j i j

k

ta e

x

D

Valores próprios da matriz aproximada

Vectores próprios da matriz aproximadaCoeficientes da linearização de

Condição de entropia

Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem)

Valores próprios da matriz aproximada

Vectores próprios da matriz aproximadaCoeficientes da linearização de

Condição de entropia

Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem)

1 2,i jA1 2,i jA

, 1 2i jB, 1 2i jB

, 1 2i jB

1 2,i jA



No caso das equações de Saint-Venant 2-D aplicadas a canais com

secção rectangular, o cálculo das matrizes Jacobianas resulta nas

conhecidas aproximações de Roe

direcção x

1, ,1 2, 2

i j i ji j

h hc g

direcção y

1, ,1, ,

1 2,1, ,

i j i jx i j x i j

x i ji j i j

h u h uu

h h

1, ,1, ,

1 2,1, ,

i j i jy i j y i j

y i ji j i j

h u h uu

h h

, 1 ,, 1 2 2

i j i ji j

h hc g

, 1 ,, 1 ,

, 1 2, 1 ,

i j i jx i j x i j

x i ji j i j

h u h uu

h h

, 1 ,, 1 ,

, 1 2, 1 ,

i j i jy i j y i j

y i ji j i j

h u h uu

h h



Os valores e vectores próprios das matrizes Jacobianas aproximadas e

os coeficientes resultantes da linearização são dados por

matriz 1 2,i jA matriz , 1 2i jB

1,3

1 2, 1 2,1 2,i j i jx i ja u c 2

1 2, 1 2,i j x i ja u

1,3 1,31 2, 1 2,

1 2,

1

i j i j

y i j

e a

u

21 2,

1 2,

0

0i j

i j

e

c

1, ,1,31 2, 1, , 1, ,1, , 1 2,

1 2,

21 2, 1, , 1, ,1, , 1 2,

1 2,

1

2 2

1

i j i ji j i j i j i j i jx i j x i j x i j

i j

i j i j i j i j i jy i j y i j y i ji j

h hh u h u u h h

c

h u h u u h hc

1,3, 1 2 , 1 2, 1 2i j i jy i ja u c

2, 1 2 1 2,i j y i ja u

1,3, 1 2 , 1 2

1,3, 1 2

1

i j x i j

i j

e u

a

2, 1 2 , 1 2

0

0

i j i je c

, 1 ,1,3, 1 2 , 1 , , 1 ,, 1 , , 1 2

, 1 2

2, 1 2 , 1 , , 1 ,, 1 , , 1 2

, 1 2

1

2 2

1

i j i ji j i j i j i j i jy i j y i j y i j

i j

i j i j i j i j i jx i j x i j x i ji j

h hh u h u u h h

c

h u h u u h hc



A condição de entropia desenvolvida por Harten e Hyman (1983)

escreve-se

1,3 1,3 1,31 2, 1 2, 1 2,1,3

1 2, 1,3 1,3 1,31 2, 1 2, 1 2,

se

se

i j i j i j

i j

i j i j i j

a a

a

1,3 1,3 1,3 1,3 1,3, 1,1 2, 1 2, 1 2,max 0, ,i j i ji j i j i ja a a a

1,3 1,3 1,3, 1 2 , 1 2 , 1 21,3

, 1 2 1,3 1,3 1,3, 1 2 , 1 2 , 1 2

se

se

i j i j i j

i j

i j i j i j

a a

a

1,3 1,3 1,3 1,3 1,3, , 1, 1 2 , 1 2 , 1 2max 0, ,i j i ji j i j i ja a a a



Existem diversos limitadores que podem ser utilizados, como sejam o

de Van Albada, o “minmod”, o “superbee” ou o de Van Leer, entre

outros. Por exemplo, o limitador de Van Leer é dado por

1 2, 1 2,

1 2,1 2,1

k ki j i jk

i j ki j

r r

r

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

1

1

k k ki s i s i s

ki

k k ki i i

ta a

xr

ta a

x

1 2

1 2

1 0

1 0

ki

ki

se as

se a

com



Note-se que os termos de correcção TVD aqui desenvolvidos dizem

apenas respeito às equações de Saint-Venant 2-D (hidrodinâmico). O

sistema 2-D (morfodinâmico) é mais complexo devido à consideração

de duas camadas de transporte com propriedades distintas e, ainda,

devido à existência de mais uma equação referente à conservação da

massa de sedimentos.

A complexidade das matrizes Jacobianas, assim obtidas, inviabiliza a

determinação das expressões algébricas dos seus valores e vectores

próprios. Consequentemente, o procedimento de linearização do

sistema de equações não linear afigura-se de difícil aplicação.


ESTABILIDADE NUMÉRICAESTABILIDADE NUMÉRICA

O esquema de MacCormack, tal como todos os esquemas explícitos,

tem que verificar a condição de estabilidade de Courant-Friedrichs-

Lewy.

Esta condição impõe o tamanho dos passos de cálculo da seguinte

forma:

2 2max

x yt Cr

x y

Passo de tempo

Número de Courant Valor máximo das características no instante de tempo anterior


ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTESESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTES

Na resolução numérica de sistemas de equações às derivadas parciais

em que a solução apresente descontinuidades (choques) é necessário

ter em atenção que as variáveis dependentes devem ser escolhidas de

forma ao sistema ser fisicamente conservativo.

Note-se que para o sistema ser matematicamente conservativo bastará

escreve-lo na forma conservativa

Porém isso, por si só, não garante que o sistema é fisicamente

conservativo.

t x y

F U G UU

S

Exemplo: Eqs. de Saint-Venant 1D para canais horizontais prismáticos com secção rectangular e sem atrito

0x

q

t

h

vvariáveis ariáveis conservativasconservativas

0

x

2ghhq

t

q 22

vvariáveis ariáveis primitivasprimitivas

0

x

hu

t

h

0

x

gh2u

t

u 2

NOTA: ambos os sistemas são matematicamente conservativos 0

xt

UFU

mas o segundo não é fisicamente conservativo.


Admitindo que a solução dos sistemas contém um choque

UF iS

LRiLR S)()( UUUFUF

com 0

xt

UFU

Si

x

UR

UL

Formulações conservativas VS. não-conservativas

Condições de Rankine-Hugoniot: são aplicáveis a soluções

descontínuas de sistemas de leis de conservação

hiperbólicos



Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema

com com variáveis conservativasvariáveis conservativas

LR

LRcons2

LL2

L2

RR2

R

LR

qq

hhS

2ghhq2ghhq

qq

Lcons R R L

R

ghS u h h

2h



Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema

com com variáveis primitivasvariáveis primitivas

LR

LRncons

L2

LR2

R

LLRR

uu

hhS

gh2ugh2u

uhuh

2L

ncons RR L

hS u 2g

h h



facilmente se demonstra que nconscons SS

Si

x

UR

UL0

1020304050

0 5 10 15 20

Força do choque hR/hL

Vel

oci

dad

e d

o

cho

qu

e S

SconsSncons

CONCLUSÃO:CONCLUSÃO:

Soluções numéricas baseadas nas variáveis primitivas dão velocidades dos choques

erradas (menores do que a real), tanto mais erradas quanto maior for a força do

choque

R Lh h



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12x [m]

Y [

m]

solução de RitterRUBATS - variáveis dependentes h e qRUBATS - variáveis dependentes h e u

Exemplo: Exemplo:

MODELO NUMÉRICOMODELO NUMÉRICO

conservação da massa da conservação da massa da misturamistura

Conservação da quantidade Conservação da quantidade de movimento da mistura nas de movimento da mistura nas direcções direcções xx e e yy

aproximações de Roeaproximações de Roecondição de entropia de Harten e Hymencondição de entropia de Harten e Hymen

Limitador de fluxo de Van LeerLimitador de fluxo de Van Leer

correção TVDcorreção TVD

conservação da massa conservação da massa de sedimentosde sedimentos

viscosidade artificial de Jamesonviscosidade artificial de Jameson



VISCOSIDADE ARTIFICIALVISCOSIDADE ARTIFICIAL

A introdução da viscosidade artificial no esquema de MacCormack

traduz-se, tal como na metodologia TVD, na introdução de um termo de

correcção que pode ser visto como um termo de dissipação artificial,

mas ao contrário do TVD não é auto-adaptativo.

1, , , 1 2, 1 2, , 1 2 , 1 2

1


t t

x y

U U U D D D D

Universidade da Beira Interior VISCOSIDADE ARTIFICIALVISCOSIDADE ARTIFICIAL

2 41 2, 1, , 2, 1, , 1,1 2, 1 2, 3 3n

i j i j i j i j i j i j i ji j i j D U U U U U U

viscosidade artificial de Jameson (1981)viscosidade artificial de Jameson (1981)

2 22, 1,1 2, max ,i j i ji j

1, , 1,

1, , 1,

2 2, ,,

2

2i j i j i j

i j i j i j

s s s

i j i jx i js s s

z z zu c

z z z

21 2,4 4

1 2,1 2,1 2,

max 0,i j

i ji jx i ju c

2 1 4 4 1 256

2 4, 1 2 , 1 , , 2 , 1 , , 1, 1 2 , 1 2 3 3n

i j i j i j i j i j i j i ji j i j D U U U U U U

2 2 2, , 1, 1 2 max ,i j i ji j

, 1 , , 1

, 1 , , 1

2 2, ,,

2

2i j i j i j

i j i j i j

s s s

i j i jy i js s s

z z zu c

z z z

2, 1 24 4

, 1 2, 1 2, 1 2

max 0, i ji j

i jy i ju c


TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTETRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE

O tratamento dos termos de fonte é um aspecto fundamental na

resolução numérica de equações.

Existem duas formas de tratar os termos de fonte: i) aplicação de um

esquema de divisão (“splitting”ou “pointwise approach”); ii) aplicação

de um esquema “upwind”.

No caso do esquema MacCormack a primeira alternativa é mais fácil de

implementar, dado que a segunda é facilmente implementada em

esquemas que usam discretização upwind do vector do fluxo, mas a

sua aplicação a esquemas centrados não é trivial.



Tendo em conta o problema não homogéneo:

aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)

t x y

F U G UU

S

o esquema de divisão é construído considerando a solução de três

problemas homogéneos e de seguida obtendo a solução de uma

equação diferencial ordinária (ver Toro, 1999)

10 t

adv

inicial n

t x

F UUU

U U

2

1

0 tadv

inicial adv

t y

G UU

U

U U

1

2

tn

inicial adv

t

US U

U

U U

23

2

0 tadv

inicial adv

t x

F UUU

U U



Partindo das equações anteriores demonstra-se que:

aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)

1, , 1 2, 1 2, , 1 2 , 1 2 ,

n n si j i j i j i j i j i j i j

t tt

x y

U U F F G G S U

3, , ,1s n adv

i j i j i j U U Uem que 0 1 com

Apesar de alguns autores referirem que = 0 é a pior escolha, ainda

assim dá resultados bons e evita cálculos complicados, já que

, ,s ni j i jU U



Na discretização dos termos de fonte existe ainda outro problema

relacionado com a existência de derivadas parciais, como sejam os

declives do fundo zb/x e zb/y, que necessitam ser discretizadas

Discretização de derivadas no termo de fonteDiscretização de derivadas no termo de fonte

Propõe-se uma discretização “upwind” de acordo com a do vector fluxo

1, , 1, ,

, 1, , 1,

se

se

bi j bi j i j i j

b

bi j bi j i j i j

z z x x xz x

z z x x x

F F F

F F F

, 1 , , 1 ,

, , 1 , , 1

se

se

bi j bi j i j i j

b

bi j bi j i j i j

z z y y yz y

z z y y y

G G G

G G G


CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRACONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA

A resolução de um sistema de equações às derivadas parciais através

da aplicação de um esquema numérico a um domínio de cálculo finito

exige a formulação de condições iniciais e de fronteira, que definem o

contorno desse domínio.

Num problema hiperbólico o número de condições iniciais ou em cada

fronteira deve ser idêntico ao número de características do sistema.

Assim, o sistema de equações 2-D (morfodinâmico) deve ter quatro

condições iniciais e quatro condições em cada uma das fronteiras.


Existem dois tipos de condições: físicas e numéricas.


• As condições físicas são aquelas que podem ser impostas

livremente, e que representam a informação física que se pretende

introduzir no domínio de cálculo.

• As condições numéricas constituem a informação adicional que é

necessária para definir completamente o vector das variáveis

dependentes no contorno do domínio de cálculo. Estas condições

têm que ser consistentes com as propriedades físicas do

escoamento e, ao contrário das condições físicas, têm que ser

também compatíveis com o sistema de equações discretizadas.


O número de condições físicas iniciais ou de fronteira a ser

especificado em cada ponto do contorno do domínio de cálculo deve

ser igual ao número de características que “entram” nesse ponto


O esquema MacCormak-TVD é “upwind” no tempo, pelo que em cada

ponto do contorno referente às condições iniciais entram todas as

características do sistema de equações. Assim, não são necessárias

condições iniciais numéricas, adoptando-se condições iniciais físicas

do tipo:

se 0

, , 0se 0

m

j

h xh x y t

h x

, , 0 0xq x y t

, , 0 0yq x y t se 0

, , 0se 0

mb

j

hs xz x y t

hs x


No que respeita às condições físicas em cada fronteira, a situação não

é tão simples como a das condições iniciais, pois o número de

características que entra em cada ponto do contorno depende do facto

de a fronteira se situar a montante ou a jusante, à esquerda ou à direita.


As condições físicas devem ainda, em cada ponto do contorno, ser

estabelecidas de acordo com o tipo de informação (fase sólida ou fase

líquida) propagada pelas características que entram nesse ponto.

Assim, tem que se ter em conta a variação das características com o

número de Froude



Parede de jusante:

três condições físicas referentes às

características positivas: 1 e 4,

associadas à fase líquida, e 3,

associada à fase sólida

1, , 0xq y t 1, , 0yq y t 1, , 0C y t

uma condição numérica associada a 2

Parede de montante:

uma condição física referentes à

característica negativa: 2,

associada à fase líquida

três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4

3 2, 0, 4 2 ,x x jq m t g h m t h



Parede lateral direita:






Parede lateral esquerda:

uma condição física referentes à

característica negativa: 2,

associada à fase líquida

três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4

,0, , 2,x xq x t q x t

,0, , 2,y yq x t q x t

,0, , 2,C x t C x t

,0, , 2,C x t C x t

, 1, , 1,y yy yq x m t q x m t








Parede que constitui o alargamento:

,0, , 2,C x t C x t

1, , 1, , comc c mx xq m y t q m y t y b

1, , 1, , comc c my yq m y t q m y t y b

1, , 1, , comc c mC m y t C m y t y b

Instalação ExperimentalInstalação Experimental

upstream

downstream

0.2

0.5

2.0

0.5

0.8

video camera pressure tranducer in the lateral wallpressure transducer in the bottom

filming area

LEGEND:

2.02.0 1.01.0 1.00.8 1.0

0.5

0.5

lift-gate

lift mechanism

perspex wall

9.5 9.7

Planta do canal

localizado no LNEClocalizado no LNEC


Condições iniciaisCondições iniciais

Upstream

water

movable bedDownstream

Lift-gate

0.4

0 m

0.0

7 m

foram realizadosforam realizados 2 tipos de 2 tipos de ensaiosensaios: fundo fixo e fundo : fundo fixo e fundo móvel (areia e pedra-pomes)móvel (areia e pedra-pomes)

Fundo de areiaFundo de areia(baixa mobilidade)(baixa mobilidade)

Fundo de pedra-pomesFundo de pedra-pomes(elevada mobilidade)(elevada mobilidade)

diâmetro mediano, diâmetro mediano, dd = 0.8 mm = 0.8 mmdensidade, s = 2.65densidade, s = 2.65

diâmetro mediano, diâmetro mediano, dd = 1.3 mm = 1.3 mmdensidade, s = 1.40densidade, s = 1.40


Resultados experimentaisResultados experimentais

AREIAAREIA

Vista frontal


PEDRA-POMESPEDRA-POMES

Universidade da Beira Interior Resultados experimentaisResultados experimentais

Vista frontal

AREIAAREIA

u(x) u(y)

Planta Planta

Vista lateral

zs

Resultados numéricos:Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zCota da sup. livre, zss

Componentes da velocidade, uComponentes da velocidade, u(x)(x) and and uu(y)(y)


u(x) u(y)

PEDRA-POMESPEDRA-POMES zs

Planta Planta

Vista lateral

Resultados numéricos:Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zCota da sup. livre, zss

Componentes da velocidade, uComponentes da velocidade, u(x)(x) and and uu(y)(y)


Resultados numéricosResultados numéricos

Pedra-pomesPedra-pomes

Cota da sup. livre, zCota da sup. livre, zss

T = 20T = 20

AreiaAreia

Os resultados numéricos ajustam-se bem aos observados experimentalmente:

A reflexão na parede lateral origina um ressalto hidráulico.

O ensaio com pedra-pomes apresenta uma propagação longitudinal mais lenta


Resultados numéricosResultados numéricos

Pedra-pomesPedra-pomesComponentes da velocidade, uComponentes da velocidade, u(x)(x) e e uu(y)(y)

T = 20T = 20AreiaAreia

Existe uma zona de recirculação, mais nítida no ensaio com pedra-pomes.

A propagação transversal é mais rápida no caso da pedra-pomes.

u(x)

u(y)


0.0

0.1

0.2

0.3

0 5 10 15 20 25 30T ( )

Zs

(-)

P1 P4 P7 P10 P12 numerical

a)

0.0

0.1

0.2

0.3

0 5 10 15 20 25 30T ( )

Zs

(-)

P1 P4 P7 P10 P12 numerical

a)

Resultados Experimentais vs. NuméricosResultados Experimentais vs. Numéricos


AreiaAreia

Evolução da cota da sup. livreEvolução da cota da sup. livre

upst

ream

dow

nstr

eam

0.50.8

2.0

2.0

1.0

1.0

1.0

0.5


0.0

0.1

0.2

0.3

0 5 10 15 20 25 30T ( )

Zs

(-)

P3 P6 P9 numerical

c)

0.0

0.1

0.2

0.3

0 5 10 15 20 25 30T ( )

Zs

(-)

P3 P6 P9 numerical

c)

upst

ream

dow

nstr

eam

0.50.8

2.0

2.0

1.0

1.0

1.0

0.5

Resultados Experimentais vs. NuméricosResultados Experimentais vs. Numéricos


AreiaAreia

Evolução da cota da sup. livreEvolução da cota da sup. livre


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2006 MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM FRENTE ABRUPTA IST, Lisboa João Leal (UBI) Universidade da Beira Interior AULA 11