2008TCC_Analogia de Grelha - ANSYS.pdf

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ANALOGIA DE GRELHA: A INFLUÊNCIA DA MALHA E DA INÉRCIAÀ TORÇÃO NO CÁLCULO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO

Por

Cristiana Aparecida Schons

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso deGraduação em Engenharia Civil, da Universidade Federal de Santa

Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para a obtenção do grau deEngenheira Civil.

ORIENTADOR: Prof. Dr. JOÃO KAMINSKI JR

Santa Maria, RS, Brasil2008

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

CENTRO DE TECNLOGIACURSO DE ENGENHARIA CIVIL

A Comissão Examinadora, abaixo assinadaaprova o Trabalho de Conclusão de Curso


elaborado porCristiana Aparecida Schons

como requisito parcial para obtenção do grau deEngenheira Civil

COMISSÃO EXAMINADORA

_________________________________Prof. Dr. João Kaminski Jr

(Orientador)

_________________________________

_________________________________

Santa Maria, 01 de dezembro de 2008

3

Dedico este trabalho à minha mãe,guerreira e amiga de todas as horas,

meu porto seguro.

4

AGRADECIMENTOS

Agradeço à minha mãe, que sempre me apoiou durante todos estes anos de

faculdade, e que não mediu esforços para me ajudar. E aos meus irmãos pela força

e amizade.

Agradeço ao meu namorado Giuliano, que durante todos os anos de curso

esteve sempre presente dando forças quando eu precisava, agradeço pelo amor e

compreensão a mim dedicados.

Agradeço aos meus amigos e meus colegas pela amizade, pelas festas, pelos

momentos de alegria, e pelos momentos de angústias em vésperas de provas, que

passamos juntos. Agradeço especialmente às minhas amigas Juliana, Priscila e

Thaís, pelas horas de estudo, trabalhos, conversas, risadas e festas que fizemos

juntas, às minhas amigas Patrícia e Letícia que sempre me ajudaram lá em casa, e

minha amiga Vivian pela amizade incondicional. Queria que soubessem que todos

são insubstituíveis para mim.

Agradeço também aos meus professores e mestres por todos os

ensinamentos transmitidos a nós.

Agradeço especialmente ao Professor Kaminski, pela orientação, ajuda, e

ensinamentos a mim transmitidos.

E por fim, agradeço a Deus, pois sem ele sei que nada seria possível.

5

RESUMO

Trabalho de Conclusão de CursoCurso de Graduação em Engenharia Civil

Universidade Federal de Santa Maria


AUTORA: CRISTIANA APARECIDA SCHONS

ORIENTADOR: PROF. JOÃO KAMINSKI JR

Data e Local da Defesa: Santa Maria, dezembro de 2008.

Este trabalho aborda o tema da Analogia de Grelha, considerando a influência

da malha utilizada na grelha equivalente à laje de concreto armado e da inércia à

torção.

Considera-se a inércia à torção proporcional à inércia à flexão das barras da

grelha equivalente, em uma relação IT / IF (inércia à torção / inércia à flexão da seção

transversal das barras da grelha equivalente).

Compara-se os valores obtidos pela Analogia de Grelha aos das Tabelas

Clássicas. Este estudo espera obter a relação IT / IF e a malha que deve ser usada

na grelha equivalente a fim de obter resultados mais próximos aos obtidos nas

Tabelas Clássicas.

Palavras chave: analogia de grelha, laje de concreto, inércia à flexão, inércia

à torção, malha.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - (a) Laje maciça; (b) Grelha equivalente ......................................... 13

Figura 2 – Carga concentrada P aplicada no nó; Carga distribuída q aplicada

na barra. ................................................................................................................... 15

Figura 3 - Interface do programa Ansys ......................................................... 18

Figura 4 - Deslocamentos Nodais no Programa Ansys.................................. 19

Figura 5 – Grelha equivalente a laje com as quatro bordas apoiadas; .......... 25

Figura 6 - Deformação na grelha equivalente a laje apoiada nas quatro

bordas, com malha de 1 m x 1 m.............................................................................. 26

Figura 7 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a laje

com as quatro bordas apoiadas................................................................................ 27

Figura 8 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada

para a laje com as quatro bordas apoiadas. ............................................................. 27

Figura 9 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada

para a laje com as quatro bordas apoiadas. ............................................................. 28

Figura 10 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com

as quatro bordas apoiadas. ...................................................................................... 28

Figura 11 – Grelha equivalente a laje com três bordas apoiadas e uma

engastada;................................................................................................................ 29

Figura 12 – Deformação na grelha equivalente a laje com três bordas

apoiadas e uma engastada, com malha de 0,5 m x 0,5 m. ...................................... 30

Figura 13 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a

laje com três bordas apoiadas e uma engastada. .................................................... 31


para a laje com três bordas apoiadas e uma engastada. ......................................... 31


para a laje com três bordas apoiadas e uma engastada. ......................................... 31


três bordas apoiadas e uma engastada.................................................................... 32

Figura 17 – Grelha equivalente a laje com duas bordas apoiadas e duas

engastadas; .............................................................................................................. 33

Figura 18 - Deformação na grelha equivalente a laje com duas bordas

apoiadas e duas engastadas 0,25x0,25. .................................................................. 34

7


laje com duas bordas engastadas e duas apoiadas. ................................................ 35


para a laje com duas bordas engastadas e duas apoiadas...................................... 35


para a laje com duas bordas engastadas e duas apoiadas. ..................................... 36


duas bordas engastadas e duas apoiadas. .............................................................. 36

Figura 23 – Grelha equivalente a laje com uma borda apoiada e três

engastadas; .............................................................................................................. 37

Figura 24 - Deformação na grelha equivalente a laje com uma borda apoiada

e três engastadas 0,25x0,25 3 Bordas Engastadas. ................................................ 38


laje com três bordas engastadas e uma apoiada. .................................................... 39


para a laje com três bordas engastadas e uma apoiada. ......................................... 39


para a laje com três bordas engastadas e uma apoiada. ......................................... 40


três bordas engastadas e uma apoiada.................................................................... 40

Figura 29 – Relação IT / IF em função da vinculação ..................................... 42

Figura 30 - Momentos em uma Grelha Equivalente....................................... 44

8

LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Carregamento das Grelhas Equivalentes....................................... 21

Tabela 2. Inércia à Flexão das Grelhas Equivalentes .................................... 21

Tabela 3. Resultados da Tabela de Marcus................................................... 23

Tabela 4. Resultados da Teoria da Elasticidade ............................................ 23

Tabela 5. Relação entre a Flecha da Teoria de Marcus e Flecha da Teoria da

Elasticidade .............................................................................................................. 24

Tabela 6. Resultados da Analogia de Grelha para o exemplo 1 .................... 26

Tabela 7. Resultados da Analogia de Grelha para uma borda engastada ..... 29

Tabela 8. Resultados da Analogia de Grelha para duas bordas engastadas 33

Tabela 9. Resultados da Analogia de Grelha para três bordas engastadas .. 38

Tabela 10. Relação IT / IF ............................................................................... 41

Tabela 11. Esforços (Mx e My) obtidos.......................................................... 42

Tabela 12. Relação entre valores de Mx........................................................ 43

Tabela 13. Relação entre valores de My........................................................ 43

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Sumário

1. INTRODUÇÃO...................................................................................... 10

2. JUSTIFICATIVA.................................................................................... 11

3. OBJETIVOS.......................................................................................... 12

3.1 Objetivo geral..................................................................................... 12

3.2 Objetivos específicos......................................................................... 12

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA............................................................. 13

4.1 Processo da Analogia de Grelha ....................................................... 13

4.2 Carregamento.................................................................................... 14

4.3 Rigidez à flexão ................................................................................. 16

4.4 Rigidez à torção................................................................................. 16

4.5 Software ANSYS ............................................................................... 17

5. METODOLOGIA ................................................................................... 20

5.1 Carregamento.................................................................................... 21

5.2 Rigidez à flexão ................................................................................. 21

5.3 Rigidez à torção................................................................................. 22

6. RESULTADOS DAS TABELAS CLÁSSICAS ....................................... 23

7. EXEMPLOS ANALISADOS .................................................................. 25

7.1 Exemplo 1.......................................................................................... 25

7.2 Exemplo 2.......................................................................................... 29

7.3 Exemplo 3.......................................................................................... 33

7.4 Exemplo 4.......................................................................................... 37

8. ANÁLISE DOS RESULTADOS............................................................. 41

9. CONCLUSÕES..................................................................................... 46

10. BIBLIOGRAFIA ........................................................................................ 47

10

1. INTRODUÇÃO

Durante muito tempo o cálculo de lajes de concreto armado foi feito utilizando-

se tabelas que se baseiam na teoria de placas delgadas. Assim, os esforços e

deslocamentos em uma placa eram obtidos através de valores tabelados para

diferentes relações Lx / Ly. Este método facilita os cálculos, porém apresenta

resultados simplificados e limitados a poucos modelos de lajes.

Com a evolução da informática, surgem novos recursos que permitem um

avanço no campo do cálculo estrutural. Desenvolvem-se programas sofisticados que

possibilitam o cálculo integrado de um pavimento, podendo-se analisar a estrutura

como um todo. Este recurso demanda, porém, o uso de novos modelos de cálculo,

dentre eles, destaca-se o processo da analogia de grelha.

A analogia de grelha é um método muito utilizado para o cálculo de lajes de

concreto armado. Por ela consegue-se analisar lajes de diferentes geometrias, além

de permitir o cálculo de lajes nervuradas que se comportam como vigas

entrelaçadas, se aproximando da estrutura de uma grelha, o que não era fielmente

representado pela teoria de placas delgadas.

As tabelas clássicas limitavam os projetistas à resolução de lajes

retangulares, com carregamentos uniformemente distribuídos sobre toda sua área,

enquanto que a analogia de grelha permite a resolução de lajes de diferentes

geometrias e com carregamentos variados, podendo-se aplicar cargas concentradas

diretamente nos nós ou linearmente distribuídas em suas barras. Essa condição,

além de representar cargas uniformemente distribuídas de peso próprio e carga

acidental, pode melhor representar casos específicos como, por exemplo,

equipamentos pesados ou paredes sobre lajes.

Assim, além de representar com mais fidelidade as condições de carga e

geometrias de lajes, a analogia de grelha propicia aos projetistas maior agilidade e

rapidez no cálculo de estruturas de concreto, proporciona maior flexibilidade na hora

de dimensionar a estrutura e ainda possui a vantagem de ser de fácil compreensão,

uma vez que não envolve a teoria de placas e sim a análise de elementos de barra

através do método da rigidez ou do método dos elementos finitos.

11

2. JUSTIFICATIVA

Este estudo justifica-se pela necessidade de avaliar a precisão do processo

da analogia de grelha no cálculo de lajes de concreto armado, uma vez que esta

vem sendo muito utilizada nos programas computacionais para análise de estruturas

de edificações, visando avaliar a influência de diferentes propriedades envolvidas

nesse processo, tais como a discretização da malha, a inércia à torção da seção

transversal das barras da grelha equivalente e a vinculação dos contornos da laje.

12

3. OBJETIVOS

3.1 Objetivo geral

Comparar os resultados obtidos pela teoria de placas delgadas aos obtidos

pela analogia de grelha, utilizando o método dos elementos finitos com elementos de

barra (programa ANSYS versão 10) para modelar tais estruturas, com o propósito de

encontrar a grelha equivalente que melhor represente uma laje maciça.

3.2 Objetivos específicos

- Avaliar a influência da discretização da malha e as condições de contorno da

grelha equivalente e comparar com os resultados obtidos pela teoria de placas

delgadas;

- Estudar diversas relações IT / IF (inércia à torção / inércia à flexão da seção

transversal das barras da grelha equivalente) para diferentes modelos de lajes, para

definir qual a relação que melhor aproxima os resultados aos obtidos pelas tabelas

clássicas.

13

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

4.1 Processo da Analogia de Grelha

O método da analogia de grelha consiste na substituição da laje do pavimento

por uma grelha equivalente, onde seus elementos (barras) representam os

elementos estruturais do pavimento (laje), conforme Figura 1.

Figura 1 - (a) Laje maciça; (b) Grelha equivalente

Para analisar um pavimento pelo método da analogia de grelha, deve-se

dividir a laje que o compõe em um número adequado de faixas nas duas direções, e

estas por sua vez, devem ser substituídas por barras com comprimento e rigidez

equivalente, compondo assim a grelha equivalente.

O carregamento da grelha pode ser uniformemente distribuído nas barras ou

concentrado nos nós, e representa o carregamento correspondente a cada faixa das

barras que compõe a grelha equivalente.

As rigidezes à torção e à flexão em cada região da laje são tomadas, para

efeito de cálculo, como concentradas na barra mais próxima. Esses valores devem

ser tais de forma que, se submetidas às mesmas condições de carregamento e

14

vinculação, a laje e a grelha equivalente devem apresentar os mesmos esforços e

deslocamentos em seções correspondentes. No entanto, segundo HAMBLY (1976

apud STRAMANDINOLI, J. S. B.; LORIGGIO, D. D., 2003), isto se dá somente de

forma aproximada devido às diferentes características desses dois modelos. Isso

porque, em uma grelha não se tem garantia de que os momentos de torção e as

distorções angulares sejam iguais nas duas direções, condição básica para o

equilíbrio de qualquer elemento de uma laje.

Ainda, segundo CARVALHO (1994 apud STRAMANDINOLI, J. S. B.,

LORIGGIO, D. D., 2003), o coeficiente de Poisson ν interfere diferentemente nos

elementos de placa e de lajes. Isso se deve ao fato de que a rigidez à flexão de uma

viga de seção retangular, com base “b” e altura “h”, se dá pela Eq. (1):

12

3bhED ((1)

enquanto que na placa, para uma faixa de largura b, é dada pela Eq. (2):

)1(12 2

3

bhED ((2)

indicando que a placa é mais rígida que a grelha.

Os valores do módulo de elasticidade longitudinal a compressão, do módulo

de elasticidade transversal e do coeficiente de Poisson do concreto, relativos às

deformações elásticas, devem ser determinados a partir das recomendações da

ABNT NBR 6118 (2003).

4.2 Carregamento

A grelha equivalente está contida num plano horizontal XY, enquanto que o

carregamento que atua nesta estrutura atua perpendicularmente a este plano

(paralelo ao eixo Z).

15

Este carregamento proveniente de peso próprio, revestimentos, paredes,

cargas acidentais e outras que possam existir, deve ser aplicado na grelha

equivalente, uniformemente distribuído nas barras ou concentrado nos nós, e

representa o carregamento correspondente a cada faixa das barras que compõe a

grelha equivalente, como pode ser observado na Figura 2.

Figura 2 – Carga concentrada P aplicada no nó; Carga distribuída q aplicada na barra.

Quando o carregamento é aplicado nas barras, seu valor é determinado

conforme a Eq. (3) para as barras de contorno e Eq. (4) para as barras de centro.

d

2

b

p4

p((3)

d

2

b

p2

p((4)

onde: pd é a carga de projeto em kN/m2;

é a largura da faixa em metros.

16

4.3 Rigidez à flexão

Cada barra da grelha representa uma faixa da placa, com altura igual a altura

da laje e largura que irá depender do espaçamento da malha da grelha e será dado

pela soma da metade dos espaços entre os elementos vizinhos.

Desta forma, a rigidez a flexão da barra da grelha, será dada pela expressão:

12

3bhI ((5)

onde: b = largura da barra

h = espessura da laje.

4.4 Rigidez à torção

Segundo HAMBLY (1976 apud STRAMANDINOLI, J. S. B., LORIGGIO, D. D.,

2003) o momento de inércia a torção não é simplesmente uma propriedade

geométrica da seção transversal da peça como o momento de inércia à flexão. Não

há uma regra exata para o cálculo da inércia à torção, como se pode observar

verificando os casos de um cilindro, onde a rigidez à torção é igual à rigidez à flexão,

e o de retângulo, em que o momento de inércia à torção pode ser calculado pela

expressão:

3bhJ ((6)

onde: b = maior dimensão da seção transversal

h = menor dimensão da seção transversal

4

4

12121,0

3

1

b

h

b

h ((7)

17

Conforme COELHO & LORIGGIO (2000 apud STRAMANDINOLI, J. S. B.,

LORIGGIO, D. D., 2003) a rigidez à torção das barras da grelha são muito

influenciadas pela malha utilizada, isso porque a rigidez à torção é proporcional ao

cubo da altura das faixas (h). Uma alternativa é adotar a inércia à torção

proporcional a inércia à flexão.

Esta idéia já havia sido proposta por HAMBLY (1976), que sugere que se use

uma inércia a torção proporcional ao dobro da inércia à flexão (IT = 2 . IF). Entretanto,

neste trabalho, será estudada a relação na qual os esforços e deslocamentos da

grelha equivalente mais se aproximem aos das tabelas clássicas.

4.5 Software ANSYS

O ANSYS é um software de elementos finitos que pode ser utilizado nos mais

diversos tipos de problemas de engenharia, desde o eletromagnetismo e a

transferência de calor até problemas estáticos e dinâmicos de mecânica dos fluídos

e estruturas.

O software ANSYS é capaz de resolver diversos tipos de análises estruturais,

tais como: análise estática, modal, harmônica, dinâmica transiente, espectral, de

flambagem e dinâmica explícita. Os primeiros parâmetros desconhecidos (graus de

liberdade nodais) calculados em uma análise de estruturas são os deslocamentos.

Outras quantidades, como deformações, tensões e força de reação, são derivadas

dos deslocamentos nodais.

Para a análise de uma estrutura o ANSYS divide o procedimento em três

etapas: “Preprocessor”, “Solution” e “Postprocessor”.

Na primeira etapa é feita a modelagem da estrutura, ou seja, a definição do

tipo de elemento estrutural (barra, placa, sólido, etc), das constantes características

do elemento e do tipo de material. Ainda nessa etapa, são numerados os nós e as

barras.

18

Na segunda etapa é feita a definição dos tipos de forças atuantes na

estrutura, das condições de contorno (vinculações) e do tipo de análise escolhido,

como ilustrado na Figura 3.

Feita a análise da estrutura inicia-se a terceira etapa, na qual são

apresentados os resultados da análise da etapa anterior, como ilustrado na Figura X

para os deslocamentos nodais.

Figura 3 - Interface do programa Ansys

19

Figura 4 - Deslocamentos Nodais no Programa Ansys

20

5. METODOLOGIA

Neste estudo foi analisada uma laje retangular de concreto armado, de

6 m x 4 m, com 10 cm de espessura, com diferentes discretizações da malha e

condições de contorno.

As lajes foram dividas em faixas e estas substituídas por barras com rigidez

equivalente, formando assim a grelha equivalente.

As malhas utilizadas para as grelhas equivalentes foram 1 m x 1 m,

0,5 m x 0,5 m e 0,25 m x 0,25 m. Em cada caso, foram calculados os carregamentos

distribuídos em cada barra que compõe a grelha equivalente, e os momentos de

inércia à flexão.

Cada uma das grelhas equivalentes foi analisada com diferentes condições

de contorno, toda apoiada, uma borda engastada, duas bordas engastadas e três

bordas engastadas.

Primeiramente foram analisados os esforços e deslocamentos da laje para

cada condição de contorno, a partir de tabelas baseadas na Teoria de Placas

Delgadas. Foram utilizadas as tabelas de Marcus e Teoria de Placas para encontrar

os momentos e a flecha no centro da laje.

Em seguida, as grelhas equivalentes foram montadas no programa ANSYS,

com os valores já calculados de carregamento e inércia à flexão e adotando uma

aproximação inicial para a inércia à torção. Inicialmente adotou-se a relação

IT / IF = 2.

Então foram calculados os deslocamentos nas grelhas equivalentes, variando

a relação IT / IF, a fim de obter um mesmo valor de flecha entre os dois modelos.

Conhecida essa relação, foram determinados os momentos no centro de cada uma

das grelhas equivalentes.

Esses valores foram então comparados aos obtidos com a teoria de placas, a

fim de verificar a influência da malha, da vinculação e da inércia à torção no

processo da Analogia de Grelha.

21

5.1 Carregamento

Para a laje em estudo foi utilizado o seguinte carregamento:

Carga permanente: g = 3 KN/m²;

Carga acidental: q = 3 KN/m²;

Carga total: p = g + q = 6 KN/m²;

Carga de projeto: pd = 1,4 . p = 8,4 KN/m².

Para a grelha equivalente utilizou-se o carregamento uniformemente

distribuído nas barras das grelhas equivalentes segundo Eq. (3) e Eq. (4) para as

barras de contorno e de centro respectivamente, conforme Tabela 1.

Tabela 1. Carregamento das Grelhas Equivalentes

CARREGAMENTOMALHA Barras de

CentroBarras deContorno

1 m x 1 m 4,10KN/m 2,10KN/m0,5 m x 0,5 m 2,10KN/m 1,05KN/m

0,25 m x 0,25 m 1,05KN/m 0,525KN/m

5.2 Rigidez à flexão

A rigidez à flexão das barras da grelha equivalente foi calculada segundo a

Eq.(5), e os valores obtidos para cada malha estão apresentados na Tabela 2.

Tabela 2. Inércia à Flexão das Grelhas Equivalentes

INÉRCIA À FLEXÃOMALHA Barras de

CentroBarras deContorno

1x1 8,33333E-05m4 4,16667E-05m4

22

0,5x0,5 4,16667E-05m4 2,08333E-05m40,25x0,25 2,08333E-05m4 1,04167E-05m4

5.3 Rigidez à torção

As grelhas equivalentes foram analisadas através do programa ANSYS,

variando-se a relação IT / IF até obter valores de flecha iguais aos obtidos nas

tabelas clássicas.

Foi utilizado como aproximação inicial a relação IT / IF = 2.

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6. RESULTADOS DAS TABELAS CLÁSSICAS

Para a laje de concreto armado em estudo, de 6 m x 4 m e 10 cm de

espessura, foram calculados os esforços (momentos em torno de x e de y) e os

deslocamentos verticais através das tabelas de Marcus e da Teoria da Elasticidade.

Os respectivos resultados estão apresentados nas Tabelas 3 e 4.

Tabela 3. Resultados da Tabela de Marcus

TABELA DE MARCUSVINCULAÇÃOMx My Flecha

APOIADA 9,669KNm 4,307KNm 0,00814m1 BORDA

ENGASTADA 8,453KNm 4,571KNm 0,00711m2 BORDAS

ENGASTADAS 6,524KNm 2,896KNm 0,00389m3 BORDAS

ENGASTADAS 5,768KNm 2,934KNm 0,00345m

Tabela 4. Resultados da Teoria da Elasticidade

TEORIA DA ELASTICIDADEVINCULAÇÃOMx My Flecha

APOIADA 9,811KNm 3,749KNm 0,00836m1 BORDA

ENGASTADA 8,074KNm 3,992KNm 0,00699m2 BORDAS

ENGASTADAS 6,048KNm 2,137KNm 0,00416m3 BORDAS

ENGASTADAS 5,322KNm 2,479KNm 0,00370m

As flechas obtidas através das Tabelas de Marcus e da Teoria da Elasticidade

apresentam pouca variação para os casos analisados, como pode ser observado

pelas relações entre estes valores, apresentadas na Tabela 5. Portanto, a análise

para obter a melhor relação IT / IF será baseada em apenas uma destas tabelas.

24

Tabela 5. Relação entre a Flecha da Teoria de Marcus e Flecha da Teoria da

Elasticidade

VINCULAÇÃO Flecha TE/FlechaMarcus

APOIADA 1,0271 LADO

ENGASTADO 0,9832 LADOS

ENGASTADOS 1,0693 LADOS

ENGASTADOS 1,072

Para analisar as grelhas equivalentes e chegar à melhor relação IT / IF das

barras foram escolhidos os resultados (flechas) encontrados na Teoria da

Elasticidade para comparação com os resultados numéricos.

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7. EXEMPLOS ANALISADOS

7.1 Exemplo 1

Laje maciça de concreto armado 6 m x 4 m, com 10 cm de espessura;

Concreto com fck = 25 MPa e módulo de Elasticidade E = 23800 GPa;

Carga uniformemente distribuída pd = 8,4 KN/m²;

Laje simplesmente apoiada nas 4 bordas;

Espaçamento da malha: 1 m x 1 m, 0,5 m x 0,5 m e 0,25 m x 0,25 m,

como ilustrado na Figura 5.

Figura 5 – Grelha equivalente a laje com as quatro bordas apoiadas;(a) malha 1 m x 1 m; (b) malha 0,5 m x 0,5 m; (c) malha 0,25 m x 0,25 m.

26

As relações IT / IF das barras da grelha equivalente, as quais resultam em

flechas no centro da laje (obtidas no programa ANSYS) iguais a das tabelas da

Teoria da Elasticidade, para os casos analisados, estão apresentadas na Tabela 6.

Tabela 6. Resultados da Analogia de Grelha para o exemplo 1

Vinculaçao Malha IT / IF Flecha1x1 2,70 0,00837m

0,5x0,5 2,55 0,00837mAPOIADA0,25x0,25 2,48 0,00836m

Figura 6 - Deformação na grelha equivalente a laje apoiada nas quatro bordas, com malha de

1 m x 1 m.

Os valores obtidos estão apresentados nos gráficos a seguir.

27

Figura 7 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a laje com asquatro bordas apoiadas.

Os momentos obtidos podem ser verificados nas Figuras 8 e 9.

Figura 8 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada para a lajecom as quatro bordas apoiadas.

28

Figura 9 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada para a lajecom as quatro bordas apoiadas.

Figura 10 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com as quatrobordas apoiadas.

29

7.2 Exemplo 2

Mesma laje do exemplo 1, porém com uma borda engastada e as outras três

apoiadas, como ilustrado na Figura 11.

Figura 11 – Grelha equivalente a laje com três bordas apoiadas e uma engastada;

(a) malha 1 m x 1 m; (b) malha 0,5 m x 0,5 m; (c) malha 0,25 m x 0,25 m.

Para este caso, os resultados obtidos para o centro da laje foram:

Tabela 7. Resultados da Analogia de Grelha para uma borda engastada

Vinculação Malha IT / IF Flecha1x1 2,71 0,006991m

0,5x0,5 2,53 0,006994m1 BORDA ENGASTADA0,25x0,25 2,46 0,006991m

30

Figura 12 – Deformação na grelha equivalente a laje com três bordas apoiadas e umaengastada, com malha de 0,5 m x 0,5 m.

31

Figura 13 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a laje com três

bordas apoiadas e uma engastada.

Figura 14 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada para a

laje com três bordas apoiadas e uma engastada.

Figura 15 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada para a

laje com três bordas apoiadas e uma engastada.

32

Figura 16 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com três bordasapoiadas e uma engastada.

33

7.3 Exemplo 3

Mesma laje do exemplo 1, porém com duas bordas engastadas e duas

apoiadas, como ilustrado na Figura 17.

Figura 17 – Grelha equivalente a laje com duas bordas apoiadas e duas engastadas;


Neste caso os resultados obtidos para o centro da laje foram os seguintes:

Tabela 8. Resultados da Analogia de Grelha para duas bordas engastadas

Vinculação Malha IT / IF Flecha1x1 2,70 0,00416m

0,5x0,5 2,50 0,00416m2 BORDAS

ENGASTADAS0,25x0,25 2,42 0,00416m

34

Figura 18 - Deformação na grelha equivalente a laje com duas bordas apoiadas e duasengastadas 0,25x0,25.

35

Figura 19 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a laje com duas bordas

engastadas e duas apoiadas.

Figura 20 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada para a

laje com duas bordas engastadas e duas apoiadas.

36

Figura 21 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada para a

laje com duas bordas engastadas e duas apoiadas.

Figura 22 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com duas bordas

engastadas e duas apoiadas.

37

7.4 Exemplo 4

Mesma laje do exemplo 1, porém com três bordas engastadas e uma

apoiada, como ilustrado na Figura 22.

Figura 23 – Grelha equivalente a laje com uma borda apoiada e três engastadas;


Para este caso os resultados obtidos no centro da laje estão apresentados a

seguir:

38

Tabela 9. Resultados da Analogia de Grelha para três bordas engastadas

Vinculaçao Malha IT / IF Flecha1x1 2,78 0,003704m

0,5x0,5 2,51 0,003704m3

BORDASENGASTADAS0,25x0,25 2,43 0,0037045m

Figura 24 - Deformação na grelha equivalente a laje com uma borda apoiada e três

engastadas 0,25x0,25 3 Bordas Engastadas.

39

Figura 25 – Variação da relação IT / IF em função da malha utilizada para a laje com três bordasengastadas e uma apoiada.

Figura 26 – Variação do momento em torno de x em função da malha utilizada para a laje com

três bordas engastadas e uma apoiada.

40

Figura 27 – Variação do momento em torno de y em função da malha utilizada para a laje com

três bordas engastadas e uma apoiada.

Figura 28 – Variação da flecha em função da malha utilizada para a laje com três bordasengastadas e uma apoiada.

41

8. ANÁLISE DOS RESULTADOS

Os exemplos apresentados neste trabalho permitem fazer as seguintes

análises:

Primeiramente, pode-se observar que a relação IT / IF diminui com o

refinamento da malha utilizada em todos os casos analisados, conforme valores

apresentados na Tabela 10.

Tabela 10. Relação IT / IF

Vinculação Malha IT / IF1x1 2,70

0,5x0,5 2,55APOIADA0,25x0,25 2,48

1x1 2,710,5x0,5 2,531 BORDA

ENGASTADA0,25x0,25 2,46

1x1 2,700,5x0,5 2,502 BORDAS

ENGASTADAS0,25x0,25 2,42

1x1 2,780,5x0,5 2,513 BORDAS

ENGASTADAS0,25x0,25 2,43

Ainda, a variação da relação IT / IF em função da vinculação da laje, para uma

mesma malha, é menor do que 3%. Estes resultados podem ser observados na

Figura 29.

42

Figura 29 – Relação IT / IF em função da vinculação

Em seguida, tendo estabelecida a relação IT / IF que resultou numa flecha

igual à obtida pela Teoria da Elasticidade, obtemos os esforços gerados nas grelhas

equivalentes para cada situação analisada.

Tabela 11. Esforços (Mx e My) obtidos

Analogia de GrelhaTeoria de

Elasticidade Tabela de MarcusVinculação Malha

Mx My Mx My Mx My

1x110,210KN

m 3,654KNm 9,811KNm 3,749KNm9,669KN

m 4,307KNm

0,5x0,5 9,841KNm 3,715KNm 9,811KNm 3,749KNm9,669KN

m 4,307KNmAPOIADA


m 4,307KNm

1x1 8,449KNm 4,419KNm 8,074KNm 3,992KNm8,453KN

m 4,571KNm


m 4,571KNm

1 BORDAENGASTAD

A


m 4,571KNm


m 2,896KNm


m 2,896KNm

2 BORDASENGASTAD

AS


m 2,896KNm

43


m 2,934KNm


m 2,934KNm

3 BORDASENGASTAD

AS


m 2,934KNm

A partir desses resultados pode-se observar a relação que existe entre os

valores dos esforços (Mx e My) obtidos pela análise numérica da Analogia de Grelha

com a Teoria da Elasticidade e com as Tabelas de Marcus. Os resultados destas

relações estão apresentados nas Tabelas 12 e 13.

Tabela 12. Relação entre valores de Mx

Vinculação MalhaAnalogia de Grelha /

Teoria daElasticidade

Analogia de Grelha /Tabela de Marcus

1x1 1,041 1,0560,5x0,5 1,003 1,018APOIADA

0,25x0,25 0,995 1,0101x1 1,046 1,000

0,5x0,5 1,009 0,9641 BORDA ENGASTADA0,25x0,25 1,002 0,957

1x1 1,028 0,9530,5x0,5 0,995 0,922

2BORDASENGASTADAS

0,25x0,25 0,994 0,9221x1 1,022 0,943

0,5x0,5 0,994 0,9173 BORDAS

ENGASTADAS0,25x0,25 0,995 0,918

Tabela 13. Relação entre valores de My

Vinculação MalhaAnalogia de Grelha /

Teoria daElasticidade

Analogia de Grelha /Tabela de Marcus

1x1 0,975 0,8480,5x0,5 0,991 0,862APOIADA

0,25x0,25 0,996 0,8671 BORDA ENGASTADA 1x1 1,107 0,967

44

0,5x0,5 1,053 0,9190,25x0,25 1,025 0,895

1x1 1,035 0,7630,5x0,5 1,039 0,767

2BORDASENGASTADAS

0,25x0,25 1,022 0,7541x1 0,954 0,806

0,5x0,5 0,982 0,8303 BORDAS

ENGASTADAS0,25x0,25 0,988 0,834

Figura 30 - Momentos em uma Grelha Equivalente

Pode-se verificar que à medida que aumenta o refinamento da malha os

valores de momentos encontrados na grelha equivalente se aproximam aos

encontrados nas tabelas. Percebe-se que para a teoria da elasticidade estes valores

são mais próximos, o que é perfeitamente compreensível, uma vez que foram

utilizados os valores da flecha encontrados nesta tabela para a aproximação IT / IF.

45

46

9. CONCLUSÕES

Através da análise dos resultados pode-se concluir que aumentado o número

de divisões da malha os momentos obtidos pela analogia de grelha aproximam-se

aos obtidos pelas tabelas clássicas.

Também se pode concluir que a malha utilizada na grelha equivalente

influencia na inércia à torção utilizada na analogia de grelha, pois diminuindo o

espaçamento da malha, a relação IT / IF diminui. E pelas análises realizadas, para

um espaçamento de 0,25 m x 0,25 m, o qual resultou em momentos mais

aproximados, esta relação fica em torno de 2,4.

A vinculação não influencia na relação IT / IF, pois para uma mesma malha,

esta relação mantém-se praticamente constante.

Desta forma, pode-se dizer que a analogia de grelha é influenciada pela

malha e pela inércia e torção, e não sofre interferência da vinculação.

Assim, a analogia de grelha apresenta resultados satisfatórios para o cálculo

de lajes de concreto armado, com a vantagem de ser um método ágil e flexível.

47

10. BIBLIOGRAFIA

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118:projeto de estruturas de concreto – procedimento. Rio de Janeiro, 2003.

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Engenharia Civil) – Universidade Federal de Santa Catarina. Florianópolis, SC,

2002.

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Federal de Santa Catarina. Florianópolis, SC, 2003.

SCHONS, C. A.; ANTONIAZZI, J. P.; GIONGO, P. C.; FOLETTO, T. B.;

ALVA, G. M. S.; KAMINSKI Jr., J. Aplicação da Analogia de Grelha para Cálculode Lajes de Concreto Armado, XXII CONGRESSO REGIONAL DE INICIAÇÃO

CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA EM ENGENHARIA. Passo Fundo, RS, 2007.

SILVA, M.A.F; FIGUEIREDO FILHO, J.R.; CARVALHO, R.C. A utilização daanalogia de grelha para a análise de pavimentos de edifícios em concretoarmado, V SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO. São Paulo,

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STRAMANDINOLI, J. S. B.; LORIGGIO, D. D. Estudo da rigidez à torçãopara a aplicação do processo de analogia de grelha em lajes maciças,

V SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO. São Paulo, 2003.

Análise de Estruturas via ANSYS, disponível em:

<http://www.maxwell.lambda.ele.puc-rio.br>. Acesso em 10/11/2008.

48

POLILLO, A. Dimensionamento de Concreto Armado, Volume 2, Rio de

Janeiro, 1997.

TABELAS DE MARCUS, derivadas de tabelas desenvolvidas e utilizadas na

PUC-Rio.

http://www.maxwell.lambda.ele.puc-rio.br

Documents

2008TCC_Analogia de Grelha - ANSYS.pdf