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matematica objetivo
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FRENTE 1 lgebra
MDULO 22 Propriedades dos Logaritmos
MDULO 21 Logaritmos: Definio
1. DEFINIO
Dados os nmeros reais estrita men te positivos a eN, com a 1, chama-se logaritmo de N na base a oexpoente a que se deve elevar a para que a potnciaobtida seja igual a N.
Simbolicamente
Nomenclatura
N o logaritmando ou antilogaritmo
a a base.
o logaritmo.
Condies de existncia
logaN existe se, e somente se:
Consequncias da definioSendo a > 0, a 1, N > 0 e n real, decorre da
definio que:
Cologaritmo
Chama-se cologaritmo do nmero N na base a o
logaritmo de na base a.
Em smbolos:
Observao
AntilogaritmoDa nomenclatura apresentada
, decorre que N (logaritmando) o antilo -
garitmo de na base a.
Em smbolos:
antiloga = N a = N
logaN =
1cologaN = loga = logaNN
1cologaN = logaN
1N
logaa = 1
alogaN = N
loga1 = 0
logaan = n
a 1a > 0N > 0
logaN = a = N
1. PROPRIEDADES
Sendo M > 0, N > 0, a > 0 e a 1, valem, para os
logaritmos, as seguin tes propriedades:
Observe que:
az = M . N = ax . ay az = ax + y z = x + y
Portanto,
loga(M . N) = logaM + logaN
2. MUDANA DE BASE
Sendo N > 0, a > 0, b > 0, a 1 e b 1, temos:
loga(M . N) = logaM + logaN
M loga = logaM logaNN
loga(Nm) = m . logaN,m
m loga
nNm = . logaN, m ,n *n
logaM = x
logaN = y
loga(M . N) = z
ax = M
ay = N
az = M . N
logbNlogaN =
logba
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MDULO 23 Funo Logartmica
Observe que:
bzx = by z . x = y x = .
Portanto, logaN =
Consequncias
e
satisfeitas as condies de existn cia.
logaN = x
logbN = y
logba = z
ax = N
by = N (bz)x = N = by
bz = a
yz
logbNlogba
1logba =
logab
xlogby
ax = . logbay
2
1. DEFINIO
a funo f : *+ , tal que f(x) = logax, com 0 < a 1.
Domnio = *+ Contradomnio = Imagem =
Exemplos Esboar o grfico da funo de finida em *+ por
f(x) = log2x.Resoluo
A funo logartmica de base a > 1 estritamente
crescente e con tnua em *+. Assim, para f(x) = log2x,
temos o esboo:
Esboar o grfico da funo de finida em *+ porf(x) = log1/2x.
Resoluo
A funo logartmica de base a, 0 < a < 1, es -tritamente de crescente e contnua em *+. Assim, para f(x) = log1/2x, temos o esboo:
ResumoA funo logartmica, assim defi nida, :
x log2x
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 1
4 2
8 3
x log1/2x
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 1
4 2
8 3
Injetora e Sobrejetora (Bijetora)
Estritamente crescente, se a >1
Estritamente decrescente, se 0 < a < 1
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Concluses
Grficos
Sinal do logaritmo
Observao
De fato:
Seja f: *+ a funo bijetora, tal que f(x) = logax,
com a > 0 e a 1.
Utilizando a regra prtica para a determinao de
sua inversa, temos:
1) y = logax;
2) x = logay (trocando x por y e y por x);
3) y = ax (isolando y).
Logo, a inversa da funo f: *+ , tal que
f(x) = logax, f1: *+, definida por
f 1(x) = g(x) = ax.
Os grficos de f e f 1 so, por tanto, simtricos em
relao reta de equao y = x (bissetriz dos quadran -
tes mpares).
Considerando f(x) = log2x e f 1(x) = 2x, temos para
alguns valores de x:
f(1) = log21 = 0 e f1(0) = 20 = 1
f(2) = log22 = 1 e f1(1) = 21 = 2
f(4) = log24 = 2 e f1(2) = 22 = 4
f(8) = log28 = 3 e f1(3) = 23 = 8
f( ) = log2 = 1 e f 1(1) = 21 = f( ) = log2 = 2 e f 1(2) = 22 = f( ) = log2 = 3 e f1(3) = 23 =
logax1 = logax2 x1 = x2 > 0, se 0 < a 1
logax1 < logax2 0 < x1 < x2, se a > 1
logax1 < logax2 x1 > x2 > 0, se 0 < a < 1
Para a > 1
logax > 0 x > 1
logax < 0 0 < x < 1
Para 0 < a < 1
logax > 0 0 < x < 1
logax < 0 x > 1
Sendo 0 < a 1, a funo f: *+ , tal que
f(x) = logax, a inversa da funo g : *+,
definida por g(x) = ax.
12
12
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3
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Exerccios Resolvidos1. Resolver, em , a equao 25x 6 . 5x + 5 = 0.
Resoluo
25x 6 . 5x + 5 = 0 (52)x 6 .(5x) + 5 = 0
(5x)2 6 . (5x) + 5 = 0
Substituindo-se 5x por y, resulta:
y2 6y + 5 = 0 y = 1 ou y = 5
y = 1 5x = 50 x = 0
y = 5 5x = 51 x = 1
Logo, o conjunto-verdade da e qua o V = {0; 1}.
Resposta: V = {0; 1}
2. Resolver, em , a equao 3x + 3x 1 = 4x.
Resoluo
3x + 3x 1 = 4x 3x + = 4x
3x. 1 + = 4x 3x . = 4x =
x
= 1
x = 1 V = {1}
Resposta: V = {1}
3. Resolver, em , a inequao
log1/2(x1) log1/2(x+3) log1/2 .
Resoluo
a) Condies de existncia
x > 1
b) log1/2 (x 1) log1/2 (x + 3)
log1/2 log1/2 log1/2
0
0 0
(2x 22) . 7 . (x + 3) 0 e
x 3 3 < x 11
De a e b, temos: 1 < x 11
Resposta: V = {x | 1< x 11}
4. Resolver, em , a inequao
( )2 . log2(x
2 3x 10)
> ( )log1
2
(x2 + 4x + 4)
Resoluo
a) Condies de existncia
x < 2 ou x > 5
b) ( )2 . log2(x
2 3x 10)
> ( )log1
2
(x2 + 4x + 4)
( )2 . log2(x
2 3x 10)
> ( ) log1
2
(x2 + 4x + 4)
Notando que log1aN = logaN, temos:
( )log2[(x + 2) (x 5)]
2
>( )log2(x + 2)
2
(x + 2)2 . (x 5)2 > (x + 2)2
(x 5)2 > 1 e x 2
x2 10x + 24 > 0 e x 2
x < 4 ou x > 6 e x 2
De a e b, resulta x < 2 ou x > 6.
Resposta: V = {x | x < 2 ou x > 6}
x 1 > 0x + 3 > 0 x > 1x > 3
57
x 1x + 3
57
x 1x + 3
57
x 1x + 3
57
7x 7 5x 15
7(x + 3)2x 22
7(x + 3)
x > 1 3 < x 11
32
23
x2 3x 10 > 0x2 + 4x + 4 > 0 x < 2 ou x > 5x 2
32
23
32
32
32
32
3x3
34
3x4x
43)13(
)34()34(
57
MDULOS 24 e 25 Equaes e Inequaes Exponenciais e Logartmicas
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N101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354N
0000004140792113914611761204123042553278830103222342436173802397941504314447246244771491450515185531554415563568257985911602161286232633564356532662867216812690269907076716072437324
0
2008604920864120615231818209523552601283330543263346436553838401441834346450246544800494250795211534054655587570558215933604261496253635564546551664667396830692070077093717772597340
2
3012805310899123915531847212223802625285630753284348336743856403142004362451846694814495550925224535354785599571758325944605361606263636564646561665667496839692870167101718572677348
3
4017005690934127115841875214824052648287830963304350236923874404842164378453346834829496951055237536654905611572958435955606461706274637564746571666567586848693770247110719372757356
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5021206070969130316141903217524302672290031183324352237113892406542324393454846984843498351195250537855025623574058555966607561806284638564846580667567676857694670337118720272847364
5
6025306451004133516441931220124552695292331393345354137293909408242494409456447134857499751325263539155145635575258665977608561916294639564936590668467766866695570427126721072927372
6
7029406821038136716731959222724802718294531603365356037473927409942654425457947284871501151455276540355275647576358775988609662016304640565036599669367856875696470507135721873007380
7
8033407191072139917031987225325042742296731813385357937663945411642814440459447424886502451595289541655395658577558885999610762126314641565136609670267946884697270597143722673087388
8
9037407551106143017322014227925292765298932013404359837843962413342984456460947574900503851725302542855515670578658996010611762226325642565226618671268036893698170677152723573167396
9
1004304530828117314921790206823302577281030323243344436363820399741664330448746394786492850655198532854535575569458095922603161386243634564446542663767306821691169987084716872517332
1
TBUA DE LOGARITMOS
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N555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899N
0740474827559763477097782785379247993806281298195826183258388845185138573863386928751880888658921897690319085913891919243929493459395944594949542959096389685973197779823986899129956
0
2741974977574764977237796786879388007807581428209827483388401846385258585864587048762882088768932898790429096914992019253930493559405945595049552960096479694974197869832987799219965
2
3742775057582765777317803787579458014808281498215828083448407847085318591865187108768882588828938899390479101915492069258930993609410946095099557960596529699974597919836988199269969
3
4743575137589766477387810788279528021808981568222828783518414847685378597865787168774883188878943899890539106915992129263931593659415946595139562960996579703975097959841988699309974
4
5744375207597767277457818788979598028809681628228829383578420848285438603866387228779883788938949900490589112916592179269932093709420946995189566961496619708975498009845989099349978
5
6745175287604767977527825789679668035810281698235829983638426848885498609866987278785884288998954900990639117917092229274932593759425947495239571961996669713975998059850989499399983
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7745975367612768677607832790379738041810981768241830683708432849485558615867587338791884889048960901590699122917592279279933093809430947995289576962496719717976398099854989999439987
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8746675437619769477677839791079808048811681828248831283768439850085618621868187398797885489108965902090749128918092329284933593859435948495339581962896759722976898149859990399489991
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TBUA DE LOGARITMOS
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1. INTRODUO
Os logaritmos dos nmeros reais positivos na base
10 denominam-se logaritmos decimais ou vul ga -
res ou de Briggs.
Notao
O logaritmo decimal do nmero N > 0 ser indicado
por log10N ou log N.
Propriedades
Alm das propriedades dos loga ritmos, j estuda -
das, bom lembrar que:
N > 1 log N > 0
0 < N < 1 log N < 0
log10k = k, k e, assim, podemos construir as
tabelas a seguir.
Observaes Os logaritmos das potncias de 10, com expoen -
tes inteiros, so iguais aos respectivos expoentes.
Se o nmero real N > 0 estiver compreendido entre
duas dessas po tn cias consecutivas, o log N esta r entre
dois inteiros consecutivos.
Assim, para c , temos:
10c N < 10c+1 log 10c log N < log 10c+1 c log N < c + 1
2. CARACTERSTICA
Desta forma, podemos afirmar que:
, com c e 0 m < 1
O logaritmo decimal de N , pois, a soma de um
inteiro (c) com um nmero decimal (m) no negativo e
menor que 1.
O nmero c , por definio, a caracterstica dolog N.
O nmero decimal m , por defini o, a mantissado log N.
Determinao da caracterstica Regra 1A caracterstica do logaritmo de cimal de um nmero
N > 1 igual ao nmero de algarismos da sua parte
inteira menos 1.
ExemplosSendo c a caracterstica de log N, temos:log 5,213 c = 0
log 52,13 c = 1
log 3592,39 c = 3
Regra 2A caracterstica do logaritmo de cimal de um nmero
0 < N < 1 igual ao oposto do nmero de zeros que
precedem o primeiro algarismo dife ren te de zero.
ExemplosSendo c a caracterstica do log N, temos:
log 0,753 c = 1
log 0,0947 c = 2
log 0,00502 c = 3
log N = c + m
0 < N < 1 log N
0,0001 4
0,001 3
0,01 2
0,1 1
N 1 log N
1 0
10 1
100 2
1000 3
10000 4
MDULO 26 Logaritmos Decimais
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3. MANTISSA
A mantissa do log N pode ser encontrada em tabelas
chamadas TBUAS DE LOGARITMOS.
Vale a seguinte propriedade:
Os logaritmos decimais de dois nmeros, cujas
representaes deci mais diferem apenas pela posio
da vrgula, tm mantissas iguais.
De fato, em log N = c + m, temos caracterstica c e
mantissa m.
Sendo p , decorre:
log(10p . N) = log 10p + log N = p + (c + m) = (p + c) + m, em
que a ca rac terstica (p + c) e a mantissa m.
Exemploslog 2 = 0 + 0,3010 = 0,3010
log 20 = 1 + 0,3010 = 1,3010
log 2000 = 3 + 0,3010 = 3,3010
log 0,2 = 1 + 0,3010 = 1,3010 = 0,6990
log 0,02 = 2 + 0,3010 = 2,3010 = 1,6990
ObservaoPara passar um logaritmo nega tivo para a forma
mista (caracterstica negativa e mantissa positiva), basta
somar 1 sua parte decimal e subtrair 1 da sua parte
inteira.
Exemplo
log 0,02 = 1,6690 = 1 0,6990
1 + 1
2 + 0,3010 = 2,3010
(forma mista)
8
MDULO 27 Mdulo de um Nmero Real
1. DEFINIO
O mdulo de um nmero real x indicado por |x| eassim definido:
Observaes
a) x 0, x b) Na reta real, o mdulo de um nmero real a
distncia da abscissa desse nmero origem.
AplicaesPara avaliar qual o conjunto de valores assumidos
por uma expresso, que apresenta mdulo em pelomenos um de seus termos, frequente estud-la supri -mindo os sinais de mdulo, usando a definio. Assim, aanlise feita em intervalos.
Como exemplo, vamos esboar o grfico da funo
f: , tal que f(x) = x + 3 x 2.Marquemos na reta numrica os valores x = 3 e
x = 2, que so as razes de x + 3 = 0 e x 2 = 0,respectivamente.
Desse modo, a reta foi subdividida nos intervalos ] ; 3], [ 3; 2] e [2; + [.
a) Para x 3, temos |x + 3| = x 3 e |x 2| = x + 2.Logo, f(x) = ( x 3) ( x + 2) = x 3 + x 2 = 5,
cujo grfico :
b) Para 3 x 2, temos x + 3 = x + 3 ex 2 = x + 2.Logo, f(x) = (x + 3) ( x + 2) = x + 3 + x 2 = 2x + 1,
cujo grfico :
x = x, se x 0 x = x, se x 0
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1. DEFINIO
a funo f: , tal que f(x) = x, sendo:
Domnio = Conjunto imagem = + Grfico
PropriedadesDado a > 0, temos:
1. x = a x = a ou x = a
2. x < a a < x < a
3. x > a x < a ou x > a
ObservaesSendo x e n *, ento:
1.nxn = x, se n for mpar;
2.nxn = x, se n for par;
3. x . y = x . y;
4. | | = , y 0;5. x + y = x + y , se x e y tiverem o mesmo sinal;
6. x + y < x + y , se x e y forem de sinais contrrios;
7. x + y x + y e x y x y .
2. GRFICOS
Exemplos
1. Consideremos a funo f: , definida por:
f(x) =
cujo grfico dado a seguir.
x = x, se x 0 x = x, se x 0xy
x
y
x + 8, se x < 5
x 2, se 5 x < 01
x (x 6), se x 03
c) Para x 2, temos x + 3 = x + 3 e x 2 = x 2.Logo, f(x) = (x + 3) (x 2) = x + 3 x + 2 = 5,
cujo grfico :
Portanto, o grfico de f :
MDULO 28 Propriedades e Grficos da Funo Modular
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A partir do grfico de f, vamos obter os grficos de:
a) f(x ) b) f (x) c) f(x )
Re soluo
a) 1) x = x f ( |x | ) uma funo par (o seu
grfico simtrico em relao ao eixo y).
2) x = x para x 0 o grfi co de f(x ) igual aode f(x) para x 0.
De 1 e 2, conclumos que, para obter o grfico de
f( x ), basta repe tir o grfico de f (x) para x 0 e
reba t-lo em torno do eixo y, resultando:
b) 1) f(x) = f(x) para f(x) 0
2) f(x) = f(x) para f(x) 0
De 1 e 2, conclumos que, para obter o grfico def(x), basta repetir o de f(x) para f(x) 0 e "rebater" o def(x), para f(x) < 0, em torno do eixo x, resultando:
c) Utilizando os resultados dos itens a e b, obtm-se:
2. Esboce o grfico da funo f:[ 2, 2] , definidapor f(x) = sen x + 1.
Resoluo
Para x [ 2; 2], temos:
a) o grfico de g(x) = sen x:
b) o grfico de g(x) = sen x:
c) o grfico de f(x) = sen x + 1:
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NMEROS NATURAIS
O Conjunto Os nmeros naturais so 0, 1, 2, 3, ... , n, ... e o con -
junto formado por esses nmeros chamado conjun todos nmeros naturais. indica do por .
Diviso Euclidiana em Teorema
Se a e b *, ento existe um nico par (q, r)de nmeros natu rais, tais que
Dispositivo prtico
Se , diz-se que a diviso exata.
Se , ento: q = 0 e r = a
NMEROS INTEIROS
O Conjunto Os nmeros inteiros so ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...
O conjunto formado por esses n me ros chamadoconjunto dos n me ros inteiros. indicado por .
= {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}
* = {..., 3, 2, 1, 1, 2, 3, ...} = {0}
+ = {0, 1, 2, 3, ... } =
+* = {1, 2, 3, ...} = *
* = { 1, 2, 3, ... }
Mltiplo e divisor em Definio
Sejam a e b dois nmeros intei ros. Diz-se que b
divisor (ou fator) de a e que a mltiplo de b se, e
somente se, existe c inteiro, tal que
Assim, sendo a, b, c nmeros inteiros, temos
Nmero par e nmero mparUm nmero inteiro a par se, e somente se, a for
mltiplo de 2.Um nmero inteiro a mpar se, e somente se, a
no for mltiplo de 2.
Em smbolos
Os nmeros pares so, portanto, 0, 2, 4, 6, ... .Os nmeros mpares so, por tanto, 1, 3, 5,
7, ...
NMERO PRIMO
Um nmero inteiro p, com p 0, p 1 e p 1, primo se ele pos sui exatamente 4 divisores inteiros, queso 1, 1, p e p.
Em smbolos:
NMERO COMPOSTO
Um nmero inteiro a, com a 0, a 1 e a 1, composto se ele tem mais de 4 divisores inteiros.
Em smbolos:
DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS,TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA
TODO nmero composto pode ser decomposto (oufatorado) num produto de fatores primos. A menos daordem dos fatores e do sinal, tal decomposio nica.
= {0, 1, 2, 3, ... , n, ... }
* = {1, 2, 3, 4, ... , n, ... } = {0}
a = b . q + r e r < b
r = 0
a < b
a = b . c
a mltiplo de b e c.a = b . c b e c so ambos divi sores (ou fatores) de a.
a PAR a M(2) k a = 2k
a MPAR a M(2) k a = 2k +1
p 0, p 1, p 1p primo D (p) = { 1, 1, p, p}
a 0, a 1, a 1a composto n[D(a)] > 4
a
r
b 0
q a = b . q + rr < b
MDULO 29Diviso em , Mltiplos e
Divisores em , Nmero Primo e Composto
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NMEROS PRIMOS ENTRE SI
DefinioDois nmeros inteiros a e b, no nulos, so chama -
dos primos entre si se, e somente se, os nicos divi -sores comuns de a e b so 1 e 1 e, consequen temente,se, e so men te se, mdc(a, b) = 1.
Em smbolos:
Propriedades Dois nmeros consecutivos quaisquer so pri mos
entre si. Se p e q so primos e p q e p q, ento p e q
so primos entre si.
a e b so primos entre si mmc(a, b) = a . b, a, b *.
Teoremas importantesSe x divide a e x divide b, ento x divide a b.
Simbolicamente
Se x divide a e x divide a b, ento x divide b.Simbolicamente
Os pares de nmeros inteiros (a, b); (a; a b) e (b; a b) tm o mesmo mximo divisor comum.
a *e b *so primos entre si D(a) D(b) = {1, 1} mdc(a, b) = 1
x D(a) } x D(a b)x D(b)
x D(a) } x D(b)x D(a b)
MXIMO DIVISOR COMUM
DefinioSejam a e b dois inteiros no simultaneamente
nulos. O mxi mo divisor comum de a e b o mximoelemento do conjunto [D(a) D(b)].
Representa-se mdc(a, b).Assim sendo:
MNIMO MLTIPLO COMUM
DefinioSejam a e b dois inteiros no nulos. O mnimo
mltiplo comum de a e b o menor elemento do conjun -
to [M*+(a) M*+(b)].
Representa-se mmc(a, b).
Assim sendo:
ObservaesSe a e b so dois inteiros no nulos, ento,
a) Os divisores comuns de a e b so os divisores domximo divisor comum de a e b.
Em smbolos:
b) Os mltiplos comuns, estrita mente positivos, de ae b so os mltiplos, estritamente positivos, do mnimomltiplo comum de a e b.
Em smbolos:
c)
mdc (a, b) = mx [D(a) D(b)]
mmc (a, b) = mn [M*+(a) M*+(b)]
D(a) D(b) = D[mdc (a; b)]
M*+(a) M*+(b) = M*+[mmc(a; b)]
mdc(a; b) .mmc(a; b) = a . b, a, b *
NMERO DE ELEMENTOS DE D(a)
Indicando por D(a) o conjunto dos divisores in -teiros e por D+ (a) o conjunto dos divisores naturaisdo nmero inteiro a, temos:1. D(a) = D( a), a 2. D(0) = e D(1) = D( 1) = { 1; 1}
3. Se a *, o nmero de elemen tos de D(a) finito.
Alm disso, se a * e se a = p .p .p ...p , em
que os inteiros p1, p2, p3, ..., pn so os divisores primos
naturais de a e os na turais k1, k2, k3, ..., kn os respec tivos
expoentes, ento
k11
k22
k33
knn
n [D+(a)] = (k1 + 1)(k2 + 1)(k3 + 1)...(kn +1)
n [D (a)] = 2. (k1 + 1)(k2 + 1)(k3 + 1)...(kn +1)
MDULO 30Mximo Divisor Comum,
Mnimo Mltiplo Comum e Propriedades
MDULO 31Nmeros Primos entre Si,
Critrios de Divisibilidade e Nmeros Reais
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Simbolicamente
Se p primo e p divide a . b, ento p divide a ou pdivide b.
Simbolicamente
Se a divide x, b divide x e, alm disso, a e b soprimos entre si, ento a . b divide x.
Simbolicamente
CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE
Divisibilidade por 2Um nmero inteiro a divisvel por 2 se, e somente
se, o algarismo das unidades for 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
Divisibilidade por 3Um nmero inteiro a divisvel por 3 se, e somente
se, a soma de seus algarismos for divisvel por 3.
Divisibilidade por 5Um nmero inteiro a divisvel por 5 se, e somente
se, o algarismo das unidades for 0 ou 5.
Divisibilidade por 7Um nmero inteiro a divisvel por 7 se, e somente
se, a diferena entre o nmero que se obtm de asuprimindo-se o algarismo das unida des e o dobro desteltimo (algaris mo das unidades) for divisvel por 7.
Divisibilidade por 11Um nmero inteiro a divisvel por 11 se, e somente
se, sendo x a soma dos algarismos de ordem mpar e ya soma dos algarismos de ordem par, ento x y divisvel por 11.
Divisibilidade por 4Um nmero inteiro a divisvel por 4 se, e somente
se, o nmero formado pelos algarismos das dezenas edas unidades de a (na ordem) for divisvel por 4.
Divisibilidade por 6Um nmero inteiro a divisvel por 6 se, e somente
se, a for divisvel por 2 e tambm por 3.
Divisibilidade por 10Um nmero inteiro a divisvel por 10 se, e somente
se, for divisvel por 2 e tambm por 5.
Assim sendo, a divisvel por 10 se, e somente se,o algarismo das unidades de a for zero.
Divisibilidade por 15Um nmero inteiro a divisvel por 15 se, e somente
se, a for divisvel por 3 e tambm por 5.
NMEROS DECIMAIS EXATOS
So os que apresentam um nmero finito de casasdecimais no nulas.
Exemplos2357
2,357 = 100075
0,75 = 100
NMEROS DECIMAIS NO EXATOS
So os que apresentam um nmero infinito decasas decimais no nulas.
Podem ser
Peridicos (dzimas)Exemplos2,333 ...
0,424242 ...
3, 52626262 ...
0, 73444 ...
no peridicos
Exemplos
2,252552555255552
= 3,1415926535
e = 2,71822818284590453
2 = 1,4142
3 = 1,7320Exemplos
Obter as fraes geratrizes das dzimasperidicas
a) 0,424242 b) 3,5262626
Resoluo
a) 0,424242 ... = =
b) 3,5262626= =
26 35 +
99= =
10
mdc(a; b) = mdc(a; a b) = mdc(b; a b)
p primo } p D(a) ou p D(b)p D(a.b)
a D(x) } ab D(x)b D(x)mdc (a, b) = 1
4299
1433
35,262626...
10
3491990
13
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Ao escrevermos 2495, estamos representando cincounidades mais nove dezenas mais quatro centenas emais dois milhares.
Dessa forma, 2495 uma abreviao para
5 . 100 + 9 . 101 + 4 . 102 + 2 . 103.
Em cada nmero, alm do seu prprio valor (valorabsoluto), cada algarismo possui um peso (valorrelativo) que depende da sua posi o no nmero.
No nmero 2495, tem-se:
algarismo valor absoluto valor relativo
5 5 5 . 100 = 5
9 9 9 . 101 = 90
4 4 4 . 102 = 400
2 2 2 . 103 = 2000
NMEROS REAIS
O Conjunto Um nmero chamado real quan do inteiro ou
decimal. O con junto formado por todos os nme rosreais chamado conjunto dos n meros reais e representado por .
NOTAES* = {0}
+ = {x x 0}*+ = {x x > 0} = {x x 0}
* = {x x < 0}
NMEROS RACIONAIS ENMEROS IRRACIONAIS
O Conjunto Diz-se que um nmero real x racional se, e somente
se, existem n meros inteiros a e b, com b 0, tais que
x = .
O conjunto formado por todos os nmeros racionais
chamado conjunto dos nmeros reais racionais e
representado por .
= {x | x = , a , b *}Notar que
TeoremaSejam a e b *. O quociente (nmero racional)
da diviso de a por b, ou inteiro, ou deci mal exatoou decimal no exato peridico.
Consequncia do TeoremaOs nicos nmeros reais que no so racionais so os
nmeros deci mais no exatos e no peridi cos.
O Conjunto Diz-se que um nmero real irracional se, e
somente se, no racional. O conjunto formado portodos os nmeros irracionais cha ma do conjunto dosnmeros irracio nais e representado por .
= {x | x }Notar que
( ) =
( ) =
Propriedades do fechamento fechado em relao adi o (r + s), sub -
trao (r s), multi pli ca o (r . s) e diviso , s 0. Assim, a soma, a diferena, o produto e o quo ciente
, s 0 de dois n me ros racionais so sempre racio -nais.
no fechado em re la o adio,subtrao, multiplica o e diviso. Assim, a soma, a dife -ren a, o produto e o quociente de dois nmeros irracio -nais nem sempre so irracionais.
ConclusoDo exposto, sendo r e s nmeros racionais e e
nmeros irracionais, temos
Radical duploSe os nmeros naturais a e b so tais que
a b + e c = a2 b , ento
a b =
ab
ab
rs
rs
a + c
2
a c
2
r + s r + + r s r r . s r . (r 0) . r
(s 0) s
r (r 0)
MDULO 32 Sistemas de Numerao
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Esse tipo de sistema chamado posicional. Opeso de cada algarismo depender do lugar, da posi-o que ele ocupa no nmero.
O sistema de numerao posicional preponderante o decimal, cujos algarismos so 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8e 9.
OUTROS SISTEMAS
No sistema de base sete, os algarismos so 0, 1, 2,
3, 4, 5 e 6. Num sistema de base b maior que 1, osalgarismos vo de 0 a b1, inclusive (0, 1, ..., b1).
Ao escrevermos (1425)7 =1425(7), estamos, abrevia -
damente, representando
5 . 70 + 2 . 71 + 4 . 72 + 1 . 73.
costume indicar a base quan do o sistema no
decimal.No nmero 1425(7), tem-se:
Assim sendo,1425(7) = 5 + 14 + 196 + 343 = 558
Se a base maior que dez, torna-se necessriorepresentar os naturais maiores que nove e menores que abase por novos smbolos. Uma con ven o utilizar as letrasdo alfabeto latino a, b, c, ... para indicar o 10, 11, 12, respectivamente. Outra nota o exis ten te (10), (11),(12), ..., que subs ti tuem 10, 11, 12, ..., respec tiva mente.
No sistema duodecimal, base doze, os algarismosso 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a e b, estes dois ltimospodendo ser substitudos, na ordem, por (10) e (11).
Representando 15a3b(12) = 15(10)3(11)(12),
estamos abreviando a soma
b . 120 + 3 . 121 + a . 122 + 5 . 123 + 1 . 124.No nmero 15a3b(12), tem-se
Assim sendo,15a3b(12) = 11 + 36 + 1440 + 8640 + 20736 = 30863
MUDANA DE BASE
Como exemplo, vamos examinar a representao donmero N = 558 = 1425(7) = 5 . 7
0 + 2 . 71 + 4 . 72 + 1 . 73
Todas as parcelas da soma in dicada, com exceoda primeira, so divisveis por 7 e, portanto, o pri meirocoeficiente (o algarismo 5) o resto da diviso de 558por 7.
De modo anlogo, pode-se con cluir que, dividindo,sucessivamente, por 7 cada quociente da diviso an te -rior, os restos so (na ordem inver sa) os algarismos donmero na base 7.
No caso, tem-se
Exemplos
1. Escrever o nmero 2134(5) no sis tema decimal.Resoluo
2134(5) = 4 . 50 + 3 . 51 + 1 . 52 + 2 . 53 =
= 4 + 15 + 25 + 250 = 294
2. Representar o nmero 44687 no sistema de base 12.Resoluo
Resposta: 44687 = 21(10)3(11)(12) = 21a3b(12)
3. Representar o nmero 425(7) na base 3.
Resoluo
a) 425(7) = 5 . 70 + 2 . 71 + 4 . 72 = 5 + 14 + 196 = 215
Resposta: 425(7) = 215 = 21122(3)
algarismo valor absoluto valor relativo
5 5 5 . 70 = 5
2 2 2 . 71 = 14
4 4 4 . 72 = 196
1 1 1 . 73 = 343
algarismo valor absoluto valor relativo
b b (onze) 11 . 120 = 11
3 3 3 . 121 = 36
a a (dez) 10 . 122 = 1 440
5 5 5 . 123 = 8 640
1 1 1 . 124 = 20 736
b) 215 3 2 71 3 2 23 3 1 7 3 1 2
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16
Nmero complexo um par orde nado (x, y) de
nmeros reais.
Representando por o conjunto dos nmeros
complexos, temos
Sendo (a, b) e (c, d) , definimos em :
Adio(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)Multiplicao(a, b) . (c, d) = (ac bd, ad + bc)(C, +, ) o corpo dos nmeros complexos.
FORMA ALGBRICA
Decorre da definio que(x, 0) = x, isto , (x, 0) e x so isomorfos.
Se i = (0, 1), ento i2 = 1(0, y) = (y, 0) (0, 1) = yi(x, y) = (x, 0) + (0, y)(x, y) = x + yi
Nomenclaturaz a notao usual de um elemento de C.x a parte real de z : x = Re(z).yi a parte imaginria de z.y o coeficiente da parte imaginria: y = Im(z).
i = (0, 1) a unidade imaginria.y = 0 z = x + yi = x z real.x = 0 z = x + yi = yi z imaginrio puro.z = a bi chamado conjugado de z.
OPERAES NA FORMA ALGBRICA
Adio: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) . i
Subtrao: (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d) . i
Multiplicao: (a + bi)(c + di) == ac + adi + bci + bdi2 = (ac bd) + (ad + bc) i
a+bi a+bi cdiDiviso: = =
c+di c+di cdi
(...) + (...)i (...) (...)= = + i
c2 + d2 c2 + d2 c2 + d2
com c + di 0
POTNCIAS DE i
sendo n e r {0, 1, 2, 3} o resto da diviso de n
por 4.
Observe que
in + in + 1 + in + 2 + in + 3 = 0, n .
= {(x, y) x e y }
i0 =1 i1=i i2=1 i3= i in = ir
MDULOS 33 e 34Definio de Nmero Complexo
e Operaes na Forma Algbrica
Sendo z = x + yi, com x, y , um nmerocomplexo, temos
Mdulo de z
Indica-se z ou
Define-se
Argumento de z 0Indica-se arg z ou Define-se
FORMA TRIGONOMTRICA
Se z = x + yi um nmero complexo diferente dezero, ento a forma trigonomtrica de z
Observe que
z = cos + isen
z = (cos + i sen )
z = = x2 + y2
0 < 2
xarg z = cos = ysen =
z = (cos + i sen )
z = x + yix = cos y = sen
MDULO 35 Forma Trigonomtrica
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17
Sejam z, z1 e z2 trs nmeros complexos diferentesde zero, tais que:
Multiplicao
Diviso
Potenciao com expoente inteiro
Observe que:
z1 .z2 = [1(cos 1 + i sen 1)] .
. [2(cos 2 + i sen 2)] =
= (1 . 2) . (cos 1 . cos 2 + i .
. cos 1 . sen 2 + i sen 1 . cos 2 +
+ i2 sen 1 . sen 2) =
= (1 . 2) [(cos 1 . cos 2 sen 1 . sen 2) +
+ i . (cos 1 . sen 2 + sen 1 . cos 2)] =
= (1 . 2) [cos(1 + 2) + i sen(1 + 2)]
z = (cos + i sen )z1 = 1(cos 1 + i sen 1)z2 = 2(cos 2 + i sen 2)
z1 . z2 = (1 . 2) . [cos (1 + 2) ++ i . sen (1 + 2)] (z1,z2 *)
z1 1 = [cos (1 2) + i . sen (1 2)]z2 2
(z1,z2 *)
zn = n . [cos (n) + i . sen (n)](Frmula de Moivre) (n )
REPRESENTAO GEOMTRICA
Consideremos num plano, cha ma do Plano deArgand-Gauss ou Plano Complexo, um sistema de coordenadas cartesianas ortogo nais xOy e nele, um ponto P de coorde nadas x e y. Lembrando que z = (x, y) = x + yi, conclumos que existe umacorrespondncia biunvo ca entre os pontos do plano e os
n me ros complexos. Em outras palavras, o conjunto dosnmeros com plexos pode ser representado geometrica -mente pelos pontos do plano. O ponto P a imagemgeomtrica de z ou o afixo de z.
z = (x, y) = x+ yi = (cos + i . sen)
forma de par
ordenado
forma algbrica
forma trigonomtrica
P (x, y)
O x
y
y
x
MDULO 36Operaes na Forma Trigonomtrica:Multiplicao, Diviso e Potenciao
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18
FRENTE 2 lgebra
MDULO 11 Progresses Aritmticas
1. DEFINIO DE SEQUNCIAS
Chama-se SEQUNCIA DE N ME ROS REAIS, ou,
simplesmente, se quncia real, a qualquer funo f de
* em .
f : *
n f(n) = an
Notaes
f = (an) = (a1, a2, a3, , an, )
Os nmeros reais a1, a2, a3, , an, so chama dos
TERMOS da sequn cia.
2. LEIS DE FORMAO
Termo em funo da posioExpressa an em funo de n.
Exemplo
Determine o domnio, o contra do mnio e a imagem
da sequncia f : * , tal que f(n) = an = (1)n+1.
Se (an) = (a1,a2,a3,,an,) = (1; 1; 1;(1)n+1,),
ento: D(f) = *, CD(f) = , lm(f) = {1, 1}.
Lei de recorrnciaFornece o 1o. termo a1 e expressa um termo qualquer
an+1 em funo do seu antecedente an.
Exemplo
Determine o domnio, o contra do m nio e a imagem
da sequncia f : * , tal que a1 = 2 e an+1 = an+ 2n.
Se (an) = (a1, a2, a3, , an,) = (2, 4, 8, 14, 22, ),
ento:D(f) = *, CD(f) = ,
lm(f) = {2, 4, 8, 14, 22,}.
3. CLASSIFICAO DAS SEQUNCIAS
Sequncias monotnicas
1. (an) ESTRITAMENTE CRES CENTE se, e somente
se, an < an+1, n *.
2. (an) CRESCENTE se, e so mente se, an an+1,
n *.
3. (an) ESTRITAMENTE DE CRES CENTE se, e
somente se, an > an+1, n *.
4. (an) DECRESCENTE se, e so mente se, an an+1,
n *.
5. (an) CONSTANTE se, e so men te se, an = an+1,
n *.
Sequncias alternantesUma sequncia (an) ALTERNANTE se, e somente
se, (an) NO MONOTNICA.
4. DEFINIO DE PA
Sejam a e r dois nmeros reais. Chama-se PRO -
GRESSO ARITM TICA (PA) SEQUNCIA f = (an), tal
que:
ou seja, (an) = (a, a + r, a + 2r, a + 3r, ...).
O nmero real r chama-se RAZO da PA
Segue da definio que:
Assim, r = a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = ...
a1 = aan + 1 = an + r, n *,
r = an + 1 an, n *
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Exemplos
(an) = ( 10, 8, 6, 4, ...) uma PA de razo 2.
(an) = (10, 8, 6, 4,...) uma PA de razo 2.
(an) = (10, 10, 10, 10, ...) uma PA de razo 0.
5. CLASSIFICAO
Se (an) uma PA, ento:
(an) estritamente crescente r > 0
(an) estritamente decrescen te r < 0
(an) constante r = 0
6. TERMO GERAL DE UMA PA
Pela definio de PA, podemos concluir que:
Se an e am so dois termos quais quer de uma PA
ento:
ExemploNa progresso aritmtica (an) = (5, 8, 11, ...), o
dcimo termo pode ser obtido por:
a10 = 5 + 9 . 3 = 32
ou
a10 = 11 + 7 . 3 = 32an = a1 + (n 1) . r
an = am + (n m) . r
a10 = a1 + (10 1) . ra1 = 5 e r = 3
a10 = a3 + (10 3) . ra3 = 11 e r = 3
MDULOS 12 e 13 Propriedade e Soma dos Termos de uma PA
1. TERMOS EQUIDISTANTES DOS EXTREMOS
DefinioDois termos so chamados equidistantes dos ex -
tremos se o nmero de termos que precede um deles
igual ao nmero que sucede o outro.
a1,............, ap,............,ak,..........., an
(p 1) termos (n k) termos
Se ap e ak so termos equidistantes, ento:
p 1 = n k
TeoremaA soma de dois termos equidistantes dos extre -
mos igual soma dos extremos, isto ,
2. PROPRIEDADE DA PROGRESSO ARITMTICA
Cada termo de uma PA a MDIA ARITMTICA
entre o termo anterior e o posterior.
Seja a PA: (a1, a2, a3, ..., ap1, ap, ap+1, ...), ento:
3. SOMA DOS PRIMEIROS n TERMOS DE UMA PA
TeoremaSe (an) uma PA e Sn a SOMA DOS PRIMEIROS n
termos de (an), ento:
ExemploObter a soma dos n primeiros nmeros naturais
mpares:
Resoluo
Na PA (an) = (1, 3, 5, 7, ), tem-se:
an = 1 + (n 1) . 2 an = 2n 1
p + k = 1 + n
ap + ak = a1 + an
ap 1 + ap + 1ap =
2
(a1 + an) . nSn =
2
an = a1 + (n 1). r
a1 = 1 e r = 2
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MDULO 14 Progresses Geomtricas
1. DEFINIO
Sejam a e q dois nmeros reais. Chama-se PRO -
GRESSO GEO M TRICA (PG) SEQUNCIA
f = (an), tal que:
{a1 = aan + 1 = an . q, n *Portanto:
(an) = (a, aq, aq2, aq3,...)
O nmero real q chama-se RAZO DA PG
Segue da definio que, se a1 0 e q 0, ento:
an + 1q = , n *
an
a2 a3 a4Assim, q = = = = ...
a1 a2 a3
2. CLASSIFICAO
Se (an) uma PG, ento:
(an) ESTRITAMENTE CRESCENTE
a1 > 0 e q > 1{ ou
a1 < 0 e 0 < q < 1
(an) ESTRITAMENTE DE CRES CENTE
a1 > 0 e 0 < q < 1{ oua1 < 0 e q > 1
(an) CONSTANTE q = 1 e a1 0
(an) SINGULAR a1 = 0 ou q = 0
(an) ALTERNANTE a1 0 e q < 0
3. TERMO GERAL DE UMA PG
Pela definio de PG, podemos concluir que:
Se an e am so dois termos quaisquer de uma PG
NO SINGULAR, ento:
Exemplo
Na PG (an) = (1, 2, 4, 8, ...), o dcimo termo pode ser
obtido por:
a10 = a1.q10 1 } a10 = 1 . 29 = 512a1 = 1 e q = 2
ou
a10 = a4.q10 4 } a10 = 8 . 26 = 512a4 = 8 e q = 2
Assim: (a1 + an) . nSn = 2
a1 = 1 e an = 2n 1 (1 + 2n 1) . nSn = = n22
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1. TERMOS EQUIDISTANTES
O produto de dois termos equidistantes dos extre -mos igual ao produto dos extremos.
, com p + k = 1 + n
2. MDIA GEOMTRICA
Cada termo de uma P.G., a partir do segundo, a
MDIA GEOM TRICA entre o termo anterior e o posterior.
Seja a P.G.: (a1, a2, ..., ap 1, ap, ap + 1...)
Ento:
Exemplo
Se (an) = (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...) uma
P.G., ento
a1 . a9 = a2 . a8 = a3 . a7 = a4 . a6 = a52 ,
pois 1 . 256 = 2 . 128 = 4 . 64 = 8 . 32 = 162
3. PRODUTO DOS nPRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.
TeoremaSe (an) uma P.G. e Pn PRO DUTO DOS n PRI MEI -
ROS TERMOS, ento:
ObservaoA frmula acima nos permite calcular o mdulo do
produto; para obter o sinal de Pn, basta analisar o sinaldos termos.
ExemploNa P.G. (an) = (1, 3, 9, 27, 81 ), o produto dos 8
primeiros termos 328, pois:
q = = = 3
a8 = a1 . q7 a8 = 1.(3)
7 = (1) . 37
|P8| = (a1 . a8)8 = (1. (1).37)8 = 356 |P8| = 328
Dos 8 termos, 4 so estrita mente positivos e 4 so
estritamente negativos.
Assim, como a quantidade dos negativos par (4),
o produto ser positivo.
Logo, P8 = 328
4. SOMA DOS nPRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.
Teorema
Se (an) uma P.G. de razo q e Sn a soma dos n
primeiros termos de (an), ento:
, se q = 1
ou
, se q 1
Exemplo
A soma dos 10 primeiros termos da P.G.
(an) = (1, 3, 9, 27, 81, ) 29524, pois:
q = = = 3
S10 =
S10= = S10 = 29524
ap . ak = a1 . an
ap2 = ap 1 . ap + 1
|Pn| = (a1 . an)n
a2a1
3
1
Sn = n . a1
a1 . (1 qn )
Sn = 1 q
a1. (qn 1)
Sn = q 1
a2a1
31
a1 . (q10 1)
q 1
1 . (310 1)
3 1310 1
2
MDULO 15Progresso Geomtrica:
Propriedades e Frmula do Produto
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1. SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DEUMA P.G.
Se (an) uma P.G. de razo q 1 e Sn a soma dosn primeiros termos de (an), ento:
Exemplo
A soma dos dez primeiros ter mos da P.G.
(an) = (1, , , , ...) , pois
S10 = = =
2. PROGRESSO HARMNICA (P.H.)
Seja (an) uma sequncia de termos no nulos. A
sequncia (an) uma PROGRESSO HARMNICA (P.H.)
se, e somente se, a sequncia uma PRO -
GRESSO ARIT MTI CA (P.A). Isto , a sequncia (a1, a2,
..., an ...) uma P.H. se, e somente se, a sequncia:
( ; ; ; ; ) uma P.A.Exemplo
O nono termo da P.H.
(an) =( , , , ) , pois: Se ( , , , ) P.H., ento (9, 7, 5 ) P.A. Na P.A. (9, 7, 5, ...), o nono ter mo :
a9 = a1 + 8r a9 = 9 + 8 . ( 2) a9 = 7
O nono termo da P.H. =
3. O LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA P.G.
Seja (an) uma P.G. de razo q tal que .
A soma S dos infinitos termos da P.G. existe, finita
e pode ser obtida calculando-se Sn.
De fato
1 < q < 1 (qn) = 0, portanto,
S = a1 + a2 + a3 + ... = Sn =
= = =
Assim sendo, a soma dos infinitos termos de uma
P.G. de razo q, com 1 < q < 1,
O limite da soma dos infinitos termos da P.G.
(an) = (1, , , , ) 2, pois
S = a1 + a2 + a3 + ... = 1 + + + ... o limite
de Sn quando n tende a infinito com a1 = 1 e q = .
Assim,
S = = =
= = = 2
a1 . (1 qn) a1 . (q
n 1)Sn = = 1 q q 1
12
14
18
1023512
a1 . (1 q10)
1 q
11 . (1 ()10)2
11
2
1023
512
1an
1a1
1a2
1a3
1an
19
17
15
17
19
17
15
1
7
1
7
1 < q < 1
limn +
limn +
limn +
limn +
a1 . (1 qn)
1 q
a1 . (1 0)1 q
a11 q
a1S = 1 q
12
14
18
12
14
12
lim Snn +
limn +
a1(1 qn)
1 q
a11 q
1
1 1
2
MDULOS 16 e 17Soma dos Termos de uma
Progresso Geomtrica e Progresso Harmnica
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1. DEFINIES
Definio de matriz m x n
a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n
M = ......am1 am2 ... amn
ou M = (aij)mxn
m = nmero de linhas
n = nmero de colunas
m n matriz retangular
m = n matriz quadrada
m = 1 matriz linha
n = 1 matriz coluna
Exemplo
M = [aij]2x3 tal que aij = i + j a matriz retangular de
ordem 2x3 com
a11 = 1 + 1 = 2;
a12= 1 + 2 = 3;
a13= 1 + 3 = 4
a21 = 2 + 1 = 3;
a22= 2 + 2 = 4;
a23= 2 + 3 = 5
Logo:
2 3 4 M =
3 4 5
Matriz nula de ordem m x n
0 = (xij)mxn tal que xij = 0
0 ... 0 ...... 0 0 ... 0 ...... 0
0mxn = ....0 ... 0 ...... 0 m x n
Matriz unidade (ou identidade de ordem n)
In = (xij)nxn tal que:
xij = 1 se i = j
xij = 0 se i j
1 0 0 .......... 0 0 1 0 .......... 0
In = ................... 0 ................... 1 00 0 .............. 1 n x n
Exemplo
1 0 0 I3 = 0 1 0
0 0 1
a matriz identidade de ordem 3.
Matriz oposta
Sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, define-se
B = ( A) bij = aij.
a11 a12 ............. a1n....................................
A =....................................
am1 am2 .......... amn
a11 a12 ....... a1n......................................
A =...................................... am1 am2 ....... amn
Matriz transposta
Sendo A = (aij)mxn, define-se a matriz transposta de
A como sendo a matriz
At = (a'ji)nxm tal que a'ji = aij
a11 a12 ......... a1na21 a22 ......... a2nA =..............................
am1 am2 ........ amn m x n
a11 a21 ......... am1a12 a22 ......... am2. . .
At = . . .. . .
a1n a2n ......... amn n x m
MDULO 18 Matrizes: Definies e Operaes
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Exemplo
A matriz linha Mt = (1 2 3) a matriz transposta da
matriz coluna
1 M = 2( 3 )
2. IGUALDADE
Sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, define-se
A = B aij = bij
a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n... = .. am1 am2 ... amn bm1 bm2 ... bmn
3. OPERAES
Adio
Sendo A = (aij)mxn, B = (bij)mxn e C = (cij)mxn, defi -
ne-se
C = A + B cij = aij + bij
a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n............................ + ............................... =am1 am2 ... amn bm1 bm2 ... bmn
(a11 + b11) (a12 + b12) ... (a1n + b1n)= .......................................................
(am1 + bm1) (am2 + bm2) ... (amn + bmn)
Exemplo
1 2 c d + =
a b 3 4
1 + c 2 + d =
a + 3 b + 4
Subtrao
A B = A + ( B)
Multiplicao escalar (de nmero real por matriz)
Sendo A = (aij)mxn, B = (bij)mxn e um nmero real
qualquer, define-se:
B = . A bij = . aij
a11 a12 ... a1n . .......................... =
am1 am2 ... amn
( . a11) ( . a12)( . a1n)
= ...........................................
( . am1)( . am2)( . amn)
Exemplo
a b c 5a 5b 5c5 . =
1 2 3 5 10 15
a11 = b11a12 = b12....................
a1n = b1n....................
amn = bmn
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25
A partir das frmulas de adio de arcos: cos (a + b) = cos a . cos b sen a . sen b
sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b
tg a + tg b tg (a + b) =
1 tg a . tg bpodemos obter as frmulas do arco duplo.
Frmulas do arco duploSo as expresses das funes trigonomtricas de
arcos da forma 2.a. um caso particular de adio de
arcos. suficiente fazer b = a nas frmulas acima.
Clculo de cos (2.a)cos (2. a) = cos (a + a) = cos a . cos a sen a . sen a Assim,
ou ainda
a) cos (2.a)=cos2a (1 cos2a) = cos2a 1 + cos2a
cos (2 . a) = cos2a sen2a
cos (2 . a) = 2 . cos2a 1
FRENTE 3 Trigonometria e Geometria Analtica
MDULO 11 Adio e Subtrao de Arcos
Se a e b so as determinaes de dois arcos,verifica-se que: Cosseno de (a + b)
Cosseno de (a b)cos(a b) = cos[a + ( b)] == cos a . cos( b) sen a . sen ( b) Como cos ( b) = cos b e sen ( b) = sen b, temos:
Seno de (a + b)
sen (a + b ) = cos (a + b) =
= cos a b =
= cos a . cos b + sen a . sen b
Como cos a = sen a
e
sen a = cos a, temos:
Seno de (a b)sen(a b) = sen[a + ( b)] == sen a. cos( b)+cosa . sen( b)Como cos ( b) = cos b e
sen ( b) = sen b, temos:
Tangente de (a + b)
tg(a + b) = =
=
Dividindo o numerador e o deno minador por
cos a . cos b 0, temos
tg(a + b) =
Portanto:
Observao
a, b e (a + b) devem ser dife ren tes de + n .
(n ).
Tangente de (a b)
tg (a b) = tg [a + ( b)] =
Como: tg( b) = tg b, temos:
Observao
a, b e (a b) devem ser diferen tes de + n .
(n ).
cos(a + b) = cos a . cos b sen a . sen b
cos(a b) = cos a . cos b + sen a . sen b
2
2
2
2
2
2 sen(a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b
sen(a b) = sen a . cos b cos a . sen b
sen(a + b)
cos(a + b)
sen a . cos b + cos a . sen b
cos a . cos b sen a . sen b
sen a sen b + cos a cos b
sen a sen b
1 . cos a cos b
tg a + tg btg(a + b) =
1 tg a . tg b
2
tg a + tg ( b)
1 tg a . tg ( b)
tg a tg btg(a b) =
1 + tg a . tg b
2
MDULOS 12 e 13 Frmulas do Arco Duplo
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b) cos (2.a) = (1 sen2a) sen2a
Clculo de sen (2.a)sen (2.a) = sen (a + a) = sen a . cos a + cos a . sen a
Assim,
Clculo de tg (2.a)
tg(2.a) = tg (a + a) =
Assim,
com a + n . e a + n . (n )
cos (2 . a) = 1 2 . sen2a
sen (2 . a) = 2 . sen a . cos a
tg a + tg a
1 tg a . tg a
2 . tg atg (2 . a) =
1 tg2a
2
4
2
1. FRMULAS DO ARCO TRIPLO
So as expresses das funes trigonomtricas dearcos da forma 3 . a.
Clculo de cos (3 . a)cos (3a) = cos (2a + a) cos (3a) = cos (2a) . cos a sen (2a) . sen a cos (3a) = (2 . cos2a 1) . cos a (2 . sen a . cos a) . sen acos (3a) = 2 . cos3a cos a 2 . cos a . (1 cos2a) cos (3a) = 2 . cos3 a cos a 2 . cos a + 2 . cos3aAssim,
Clculo do sen (3 . a)sen (3a) = sen (2a + a) sen (3a) = sen (2a) . cos a + cos (2a) . sen a sen (3a) = 2 . sen a . cos a . cos a ++ (1 2 . sen2a) . sen a sen (3a) = 2 . sen a . (1 sen2a) + sen a 2 . sen3a sen (3a) = 2 . sen a 2 . sen3a + sen a 2 . sen3aAssim,
2. FRMULAS DE TRANSFORMAO EM PRODUTO
O problema consiste em transformar certas expres -ses em que aparecem soma de funes trigonom tri -cas de um ou mais arcos em expresses em queaparecem apenas produtos de funes trigono m tri -cas dos mesmos arcos ou de outros arcos com eles rela -cionados.
Foi visto que:cos (a + b) = cos a . cos b sen a . sen b (I)cos (a b) = cos a . cos b + sen a . sen b (II)sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b (III)sen (a b) = sen a . cos b cos a . sen b (IV)Somando-se (ou subtraindo-se) convenientemente
estas ex presses, e fazendo-se
, obtm-se:
I + II:
I II:
III + IV:
III IV:
que so chamadas Frmulas de Transformaoem Produto ou Frmulas de Prostafrese.
3. APLICAO
Transformar em produto a expresso: cos 5x + cos 3x
Resoluo
cos 5x + cos 3x = 2.cos .cos =
= 2 . cos (4x) . cos x
Simplificar a expresso: E =
Resoluo
E = =
= = tg (5x)
cos(3 . a) = 4 . cos3a 3 . cos a
sen (3 . a) = 3 . sen a 4 . sen3a
a + b = pa b = q p + q
a = 2
p qb =
2
p + q p qcos p + cos q = 2 . cos (). cos ()2 2
p + q p qcos p cos q = 2 . sen (). sen ()2 2
p + q p qsen p + sen q = 2 . sen (). cos ()2 2
p + q p qsen p sen q = 2 . cos (). sen ()2 2
( 5x + 3x2 ) ( 5x 3x2 )sen 7x + sen 3x
cos 7x + cos 3x
sen 7x + sen 3x
cos 7x + cos 3x
=
7x + 3x 7x 3x2.sen().cos()2 2
7x + 3x 7x 3x2.cos().cos()2 2
=
2 . sen (5x) . cos (2x)2 . cos (5x) . cos (2x)
MDULO 14Frmulas do Arco Triplo e
Transformao em Produto
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27
A trigonometria permite deter minar elementos (la dosou ngulos) no dados de um tringulo.
A obteno desses elementos, em um tringulo qual -quer, fundamen ta-se em relaes existentes entre oselementos (lados e ngulos) do trin gulo. As relaesmais impor tantes so conhecidas como Lei dos Se nose Lei dos Cossenos.
Lei dos SenosEm todo tringulo, as medidas dos lados so pro -
porcionais aos senos dos ngulos opostos e a razo deproporcionalidade a medida do dimetro da cir cun -ferncia circuns crita ao tringulo.
Consideremos o tringulo ABC, inscrito na circunfe -rncia de raio R. Verifica-se que:
Demonstrao:Seja o tringulo ABC (da figura abaixo), inscrito na
circunferncia de raio R:
I) Se BD__
= 2 . R dimetro da circunferncia, ento
C^
= 90 e, portanto,
sen D =
sen D = 2R =
II) Como BA^C BD^C (so ngulos inscritos deter mi -
nan do o mesmo arco BC), ento sen D= sen A.
De I e II, resulta que:
2 . R = 2 . R =
Analogamente se demonstra que:
2 . R = e 2 . R =
Lei dos Cossenos"Em todo tringulo, o quadrado da medida de um
lado igual soma dos quadrados das medidas dos ou -tros lados, menos o dobro do produto dessas me di daspelo cosseno do ngulo que eles formam."
Seja o tringulo ABC, da figura. Verifica-se que:
Demonstrao:
a b c = = = 2 . RsenA sen B sen C
B
A
R
b
a
c
O
C
OB
A
a
C
D
BCBD
BC2 . R
BCsen D
BCsen A
asen A
bsen B
csen C
A
B Ca
c b
a2 = b2 + c2 2 . b . c . cos A
b2 = a2 + c2 2 . a . c . cos B
c2 = a2 + b2 2 . a . b . cos C
A CD
b
ch
a
B
MDULO 15Relaes Trigonomtricas em um Tringulo Qualquer
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28
INTRODUO
Considere dois eixos, Ox
(eixo das abscissas) e Oy
(eixo das ordenadas), perpendiculares no ponto O. Oplano determinado pelos 2 eixos fica dividido em 4 qua -drantes, numerados conforme a figura.
Tomemos um ponto P do plano e por ele con duza -
mos as paralelas aos eixos, que cor taro Ox
e Oy
, res -
pectivamente em P1 e P2.
NOMENCLATURA
Abscissa de P o nmero real x = OP1 Ordenada de P o nmero real y = OP2 Coordenadas de P so os nmeros reais x e y,
indicados na forma de par ordenado P (x; y)
Observe que:
Sinais dos pontos nos quadrantes
y
O
P2
P1
P
x
II I
IVIII
II I
IVIII
;( +)
( ; )
(+ ; +)
(+ ; )
y
xO
P Ox
y = 0
y
0
P (x; 0)
x
P Oy
x = 0
y
0 x
P (0; y)
AB
paralelo a Ox
yA = yB
y
A B
xA xB X
y = yA B
O
AB
paralelo a Oy
xA = xB
y
Xx = xA B
yA
yB
0
A
B
Seja o tringulo ABC (da figura anterior) e h a altura
relativa ao lado AC:
I) No ABD, temos:
cos A = AD = c . cos A
II)CD = b AD CD = b c . cos A
De I e II e como h2 = c2 AD2 = = a2 CD2 (Teoremade Pitgoras), resulta que:
a2 (b c . cos A)2 = c2 (c . cos A)2
a2 b2 + 2 . b . c . cos A c2 . cos2A =
= c2 c2 . cos2A
a2 = b2 + c2 2 . b . c . cos A.
Tomando-se as outras alturas do tringulo, de modoanlogo, obtm-se:
b2 = a2 + c2 2 . a . c . cos B
c2 = a2 + b2 2 . a . b . cos C
ADAB
MDULO 16 Coordenadas Cartesianas Ortogonais
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29
1. REA DE UM TRINGULO
Dados trs pontos distintos, A(xA; yA), B(xB; yB)
e C(xC; yC), temos duas posies a considerar:
os trs pontos esto alinhados;
os trs pontos constituem um tringulo.
Considerando-se o determinante
xA yA 1D = xB yB 1|xC yC 1| ,
constitudo pelos pontos A, B e C, verifica-se que:
a condio necessria e suficiente para que A, B
e C sejam colineares ;
a condio necessria e suficiente para que A, B
e C formem um tringulo ;
se A, B e C formam um tringulo, sua rea ser
igual a
Exemplos1) Obter a rea do tringulo com vrtices A ( 2; 3),
B (4; 0) e C (1; 5).Resoluo
2 3 1D = 4 0 1 | 1 5 1 | = 3 + 20 12 + 10 = 21SABC = = = 10,5 u.a.
2) Determinar k, para que os pontos A(k; 2), B(1; 3)e (1; 0) sejam colineares.
Resoluok 2 1
A, B, C alinhados D = 0 1 3 1 = 0 | 1 0 1 | 3 . k + 2 3 + 2 = 0 k =
D = 0
D 0
|D|SABC = 2
|D|2
212
13
1. PONTO MDIO DE UM SEGMENTO
Sejam A(xA; yA), B(xB; yB) e o ponto M(xM; yM),
mdio de AB__
.
Pelo Teorema de Tales, conclui-se que:
xM =
e
yM =
Portanto, as coordenadas do ponto M so
2. DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Sejam A (xA; yA) e B (xB; yB). Pelo Teorema de
Pitgoras, temos:
y
yB
yM
yA
O xAx
Mx
Bx
A
M
B
xA + xB
2
yA + yB
2
xA + xB yA + yBM ( ; )2 2
y
yB
yA
A
B
dy - yB A
xBxA xO
x - xB A
d = (xB xA)2 + (yB yA)2
MDULO 17 Ponto Mdio Distncia entre Dois Pontos
MDULO 18 Alinhamento de 3 Pontos Curvas
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2. CURVAS
Seja s uma curva num sistema de coordenadas car te -sianas ortogonais e f (x; y) = 0 a sua equao. Note que
todos os pontos da curva s satisfazem equa o; todas as solues da equao representam pon -
tos da curva s.
Obs.: Dentre as principais curvas, estudaremos comdetalhes a reta e a circunferncia.
No estudo das curvas, dois problemas devem serdestacados.
1o. ) Interceptos (interseco da curva com oseixos coordena dos).
Lembrando que, para se obter pon tos de uma cur va,
basta atribuir valores a x ou y na equao da curva, adeterminao dos intercep tos feita da seguinte
maneira:
interceptos no eixo x: faz-se y = 0, na equao dacurva, calculando-se o valor de x.
interceptos no eixo y: faz-se x = 0, na equao dacurva, calculando-se o valor de y.
Na figura, A(xA; 0) o intercepto no eixo x e B(0; yB)
o intercepto no eixo y.
2 o. ) Interseco de duas curvas
As interseces de duas curvas so os pontos de
encontro entre elas.
As coordenadas dos pontos de interseco so
as solues reais, obtidas na resoluo do sistema
determinado pelas equa es das duas curvas.
Na figura, P(xP; yP) o ponto de interseco entre
as curvas s1 e s2.
y
x
P (x; y)
s
f (x; y) = 0
y
B (0; y )B
A (x ; 0)A
s
x
y
Py
P
s2
x
s1
x P
30
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31
Elementos
BC__
a hipotenusa
AB__
e AC__
so os catetos
AH__
a altura relativa hipotenusa
BH__
e CH__
so, respectivamente, as projees dos
catetos AB__
e AC__
sobre a hipotenusa BC__
.
Relaes
No tringulo retngulo ABC da figura, sendo BC = a,
AC = b, AB = c, AH = h, BH = m e CH = n, ento valem as
seguintes relaes:
1) b2 = a . n (Relaes de Euclides)
2) c2 = a . m }3) a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitgoras)
4) h2 = m . n
5) b . c = a . h
Demonstraes
1) Os tringulos HCA e ACB so semelhantes pelo
critrio (AA ~).
Assim:
= =
2) Os tringulos HBA e ABC so semelhantes pelo
critrio (AA ~ ).
Assim:
= =
3) Somando membro a membro as relaes demons -
tradas nos itens 1 e 2, tem-se:
an + am = b2 + c2 a(n + m) = b2 + c2
a . a = b2 + c2
4) Os tringulos HBA e HAC so semelhantes pelo
critrio (AA ~).
Assim:
= =
5) Os tringulos HBA e ABC so semelhantes pelo
critrio (AA ~).
Assim:
= =
HCAC
CACB
nb
ba
b2 = a . n
HBAB
BABC
mc
ca
c2 = a . m
a2 = b2 + c2
HBHA
HAHC
mh
hn
h2 = m . n
HAAC
BABC
hb
ca
b . c = a . h
FRENTE 4 Geometria Plana
MDULO 11 Relaes Mtricas nos Tringulos Retngulos
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32
1. TRINGULO ACUTNGULO
Em todo tringulo acutngulo, o quadrado da
medida do lado oposto a um n gu lo agudo igual
soma dos qua drados das medidas dos outros dois lados,
MENOS duas vezes o produto da medida de um deles
pela medida da projeo do outro sobre ele.
Assim, no tringulo acutngulo ABC da figura,
tem-se:
Demonstrao
1) c2 = h2 + m2 h2 = c2 m2 h2 = c2 (a n)2
2) b2 = h2 + n2 h2 = b2 n2
De (1) e (2), tem-se:
c2 (a n)2 = b2 n2
2. TRINGULO OBTUSNGULO
Em todo tringulo obtusngulo, o quadrado damedida do lado opos to ao ngulo obtuso igual somados quadrados das medidas dos ou tros dois, MAIS duasvezes o pro du to da medida de um deles pela me dida daprojeo do outro sobre ele.
Assim, no tringulo obtusngulo ABC da figura,
tem-se:
Demonstrao
1) c2 = h2 + m2 h2 = c2 m2 h2 = c2 (a + n)2
2) b2 = h2 + n2 h2 = b2 n2
De (1) e (2), tem-se:
c2 (a + n)2 = b2 n2
Exemplo
Com os dados da figura seguin te, na qual a = BC,
b = AC, c = AB, m = BD, n = DC e x = AD, prove que:
b2m + c2n = ax2 + amn
Resoluo
Seja z a medida da projeo de AD__
sobre BC__
.
No tringulo obtusngulo ADC, tem-se:
b2 = x2 + n2 + 2nz
b2m = mx2 + mn2 + 2mnz (I)
No tringulo acutngulo ABD, tem-se:
c2 = x2 + m2 2mz c2n = nx2 + m2n 2mnz (II)
Somando-se (I) e (II), membro a mem bro, tem-se:
b2m + c2n = mx2 + nx2 + mn2 + m2n
b2m + c2n = (m + n)x2 + (m + n)mn
b2m + c2n = ax2 + amn
3. NATUREZA DE TRINGULOS
Sendo a, b e c as medidas dos lados de um trin -gulo e a a maior delas, tm-se:
a2 < b2 + c2 tringulo acutngulo
a2 = b2 + c2 tringulo retngulo
a2 > b2 + c2 tringulo obtusngulo
c2 = a2 + b2 2 an
c2 = a2 + b2 2 an
c2 = a2 + b2 + 2 an
c2 = a2 + b2 + 2 an
MDULO 12 Relaes Mtricas nos Tringulos Quaisquer
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1. DEFINIO
Entende-se como lugar geom trico dos pontos quepossuem a pro priedade P um conjunto de pontos taisque eles, e somente eles, pos suem a propriedade P.
Assim, se uma figura um lugar geo mtrico, entotodos os seus pon tos possuem uma certa proprie dade etodos os pontos que pos suem essa propriedadepertencem figura.
2. PRINCIPAIS LUGARES GEOMTRICOS PLANOS
Circunferncia (LG-1)Circunferncia o lugar geom trico dos pontos de um
plano, cujas distncias a um ponto fixo desse pla no so
uma constante (e igual ao raio).
C o centro da circunferncia.R o raio da circunferncia.
Par de paralelas (LG-2) O lugar geomtrico dos pontos de um plano que
distam K de uma reta desse plano um par de retas
paralelas a esta, situadas no plano e a uma distncia K
desta reta.
Observe que qualquer ponto de r1 ou r2 est a uma
distncia K de r e vice-versa.
Mediatriz (LG-3)Mediatriz de um segmento a reta perpendicular ao
segmento dado no seu ponto mdio.
Exemplo
Na figura, como AM
BM e MAB
AB, tem-se
que MAB me dia triz do segmento AB.
Pode-se ainda definir mediatriz como o lugargeomtrico dos pontos de um plano que equidistam dedois pontos (distintos) dados des se plano.
Assim, se MAB__ a mediatriz do segmento AB
__da
figura, ento qual quer ponto de MAB__ equidista de A e B,
e qualquer ponto do plano que equidiste de A e B
pertence a MAB__.
Notao
X MAB__ AX
__ BX
__
Bissetriz (LG-4)Bissetriz o lugar geomtrico dos pontos de um
plano que equi dis tam dos lados de um ngulo desseplano.
Exemplo
Ox
a bissetriz do ngulo rO^
s da figura. P Ox
se,
e somente se, as distncias de P a Or
e Os
forem iguais.
MDULO 13 Lugares Geomtricos
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ConsequnciaAs bissetrizes dos ngulos for mados por duas retas
concorrentes formam um par de retas chamado PAR DE
BISSETRIZES. Qualquer pon to situado em uma reta do
PAR equidistar das duas retas concor rentes e
qualquer ponto do plano que equidiste das duas retas
concor rentes, pertencer ao PAR DE BIS SETRIZES.
MDULO 14 Pontos e Segmentos Notveis no Tringulo
1. MEDIANA
o segmento com extremos num vr tice e no ponto mdio
do lado oposto.
Todo tringulo tem trs medianas, que se inter cep -
tam num ponto cha ma do "BARICENTRO".
O baricentro divide cada media na na razo 2:1.
Exemplo
AM
A, BM
B e CM
C so as media nas do tringulo ABC.
G o BARICENTRO.
2. BISSETRIZ NO TRINGULO
o segmento com extremos num vr tice e na reta
suporte do lado opos to, contido na bissetriz do ngulo
do vrtice.
As bissetrizes internas inter cep tam-se num ponto
chamado "INCEN TRO" que o centro da circun ferncia
tangente internamente aos lados do tringulo (circun -
ferncia inscrita).
ExemploASA,
BSB e
CSC so as bissetrizes internas do
tringulo ABC.
I o INCENTRO.
Observao
As bissetrizes externas intercep tam-se duas a duas
em trs pontos denominados EX-INCENTROS e estes so
centros das circunferncias que tangenciam as retas
suportes dos lados do tringulo.
AG BG CG 2 = = = GMA GMB GMC 1
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35
3. MEDIATRIZ NO TRINGULO
a reta perpendicular ao lado no ponto mdio.
Todo tringulo tem trs media trizes que se inter -ceptam num ponto chamado "CIRCUNCENTRO".
O circuncentro o centro da cir cun ferncia quecontm os vr tices do tringulo (circunferncia cir cuns - crita).
Exemplo
MAB, MBC e M
AC so, respec ti va mente, as media -
trizes dos lados AB,
BC e
AC.
O o CIRCUNCENTRO.
Observao
O circuncentro de um tringulo interno, ponto
mdio da hipotenusa ou externo ao tringulo, conforme
este seja acutngulo, retngulo ou obtu sn gulo,
respectivamente.
4. ALTURA
o segmento com extremos num vrtice e na reta
suporte do lado opos to, sendo perpendicular a esta.
Todo tringulo tem trs alturas, cujas retas suportes
interceptam-se num ponto chamado "ORTOCEN TRO".
Exemplo
AHA,
BHB e
CHC so, respectiva-mente, as alturas
relativas aos lados BC
, AC
e AB
.
O o ORTOCENTRO.
O tringulo HAHBHC denomi na do tringulo rtico.
Observao
O ortocentro de um tringulo in ter no, vrtice do
ngulo reto ou exter no ao tringulo, conforme este seja
acu tn gulo, retngulo ou obtusngulo, respec tiva mente.
5. PARTICULARIDADES
Os pontos notveis do trin gulo tm nomes cujas
iniciais formam a sigla "BICO".
Em todo tringulo issceles, os pontos notveis so
alinhados.
Em todo tringulo equiltero, os pontos notveis
so coincidentes.
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1. NGULO CENTRAL
ngulo que tem o vrtice no cen -tro da circunferncia.
AB o arco correspondente ao
ngulo central A^OB.
Tomando-se para unidade de arco
(arco unitrio) o arco definido na cir cun -
ferncia por um ngulo central unitrio
(unidade de ngulo), temos que
"A medida de um arco de circun -
ferncia igual medida do ngulo
central correspondente."
Assim, na figura acima:
2. NGULO INSCRITO
ngulo que tem o vrtice na cir -cun ferncia e os lados so secan tes aela.
AB o arco na circunferncia,
determinado pelos lados do ngulo
inscrito A^PB.
A medida do ngulo inscrito a
metade da medida do arco que ele
determina sobre a circunferncia.
Assim, na figura anterior, tem-se
3. NGULO EXCNTRICO INTERIOR
ngulo de vrtice num ponto inte -rior circunferncia, distinto do cen -tro.
AB e
CD so arcos deter mina dos
pelos lados dos ngulos e prolon ga -
mentos destes sobre a cir cun ferncia.
A medida do ngulo excntrico
interior da figura anterior dada por
ExemploCalcular a medida x do ngulo
agudo determinado pelas retas r e s
da figura seguinte.
ResoluoO ngulo em questo do tipo
excntrico interior e determina na
circunferncia arcos de 60 e 90.
Assim: x = x = 75
4. NGULO EXCNTRICO EXTERIOR
ngulo de vrtice num ponto ex -
terior circunferncia e lados sobre
semirretas secantes ou tan gentes a ela.
AB e
CD so arcos deter mina dos
pelos lados do ngulo sobre a circun -ferncia.
A medida do ngulo excntricoexterior da figura acima dada por
ExemploCalcular a medida y do ngulo
agudo formado pelas retas r e s da
figura seguinte.
Resoluo
O ngulo em questo do tipo
excntrico exterior e determina na
circunferncia arcos de 40 e 100.
O
A
B
= AB
A
B
P
AB
= 2
A
B
P
C
D
AB +
CD
= 2
60s
r
x
90
60 + 90
2
A
C
D
B
P
AB
CD
= 2
40
100
r
s
y
MDULO 15 ngulos na Circunferncia
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1. DEFINIO
Vamos considerar uma circun -fern cia , um ponto P e vamos cons -truir vrias secantes , que passampelo ponto P.
Em qualquer secante, cons tanteo produto dos dois segmentos quetm uma extremidade no ponto P e aoutra na circunferncia .
Assim:PA . PB = PC . PD == PM . PN == PT . PT = (PT)2 = p2
A constante p2 denominada"potn cia do ponto P em relao circunferncia ".
ExemploCom os dados das figuras a
seguir, prove que, em ambos oscasos, vale a relao
Demonstrao
De acordo com o critrio (AA~),em ambos os casos tem-se que ostringulos PAD e PCB so semelhan -tes.
Assim:
= PA . PB = PC. PD
Observaes1. Na figura seguinte, em que T
ponto de tangncia, tem-se
Demonstrao
Os tringulos PTA e PBT sosemelhantes pelo critrio (AA~).
Assim: =
PA . PB = (PT)2
2. Na figura seguinte, em que A e Bso pontos de tangncia, tem-se
Assim pode-se afirmar que, porum ponto exterior a um crculo,podem-se traar duas tangentes circun ferncia desse crculo e esseponto equidista dos pontos detangncia.
ExemploNo quadriltero circunscritvel
ABCD da figura seguinte, tem-se
Pois: AF = EA, FB =
= BG, CH = GC e HD = DE
Assim: AF + FB + CH + HD =
= BG + GC + DE + EA
Logo: AB + CD = BC + DA
B A
CP
M
T
N
D
PA . PB = PC . PD
DB
A
C
P
AB
C
D
P
A
B
C
D
P
D B
A C
P
PAPC
PDPB
PA . PB = (PT)2
A
B
P
T
B
A
P
T
PTPB
PAPT
PA = PB
A
B
P
AB + CD = BC + DA
D H C
GE
A F B
MDULO 16Potncia de um Ponto em
Relao a uma Circunferncia
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38
MDULO 17 rea das Figuras Planas
1. DEFINIO
rea de uma figura um nmeroassociado sua superfcie, que ex -prime a relao existente entre esta ea superfcie de um quadrado de ladounitrio.
Dizemos que duas superfciesso equivalentes, quando possuem amesma rea.
2. REA DO TRINGULO
Em funo da base e da altura
Em funo dos lados
Sendo a, b e c as medidas dos
lados de um tringulo qualquer, sua
rea dada por
(Frmula de Hiero)
em que p =
(semipermetro)
Se o tringulo equiltero de lado, ento sua rea dada por
Em funo de dois ladose do ngulo entre eles
Sendo a e b as medidas de doisdos lados de um tringulo e amedida do ngulo entre eles, a suarea dada por
Em funo do raio da circunferncia inscrita
(p o semipermetro)
Em funo do raio da circunfernciacircunscrita
3. REA DOSQUADRILTEROS
A superfcie de qualquer quadri -ltero pode ser "dividida" em duasregies triangulares, quando se con -sidera qualquer uma de suas dia-gonais.
Assim, a rea de um quadriltero sempre igual soma das reas dedois tringulos.
Exemplo
A rea S do quadriltero da fi gura
dada por , em que
S1 a rea do tringulo ABC e S2 a
rea do tringulo CDA.
O clculo das reas dos qua dril -teros notveis pode ser execu tado demaneira mais simples, pelo em pregodas seguintes frmulas:
h h
b b b
b . hS =
2
A
B Ca
bc
S = p (p a) (p b) (p c)
a + b + c
2
2 3S =
4
A
b
C aB
a . b sen S =
2
c b
r
aC
A
B
O
r
r
S = p . r
a + b + cp =
2
B Ca
R
c b
A
a . b . cS =
4R
S = S1 + S2
A
D
B
C
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39
Trapzio
Paralelogramo
Retngulo
Losango
Quadrado
ou
4. RAZO ENTRE REAS DE FIGURAS SEMELHANTES
A razo entre as reas de duas
superfcies semelhantes igual ao
quadrado da razo de semelhana.
Exemplo
Se os tringulos ABC e MNP da fi -
gu ra forem semelhantes e tiverem
reas S1 e S2, respectivamente, ento
(razo de semelhana)e
Demonstrao
Da semelhana dos tringulos
ABC e MNP, tem-se
= = k
Por outro lado,
S1 = e S2 =
Assim,
=
=
= .
= k . k
Exerccio
Calcular a rea S de um tringulo
equiltero de lado .
1a. Resoluo
S = = =
2a. Resoluo
S = =
= =
3 Resoluo
p = =
S = p(p ) (p ) (p )
Assim,
S = =
= =
b
B
h
(B + b) . hS =
2
h
b
b
S = b . h
a
a
b b
S = a . b
D
d
D . dS =
2
d
S = 2d2
S = 2
b1
h1
A
B
C
h2
P
N
b2M
b1 h1 = = kb2 h2
S1 = k2S2
b1b2
h1h2
b1. h12
b2. h22
S1S2
b1 . h12
b2 . h2
2
S1S2
b1 . h1b2 . h2
S1S2
b1b2
h1h2
S1S2
S1 = k2S2
h
h = 32
. h
2
3 .
2
223
4
60
. . sen 60
2
32 .
2
223
4
. .
232
3 . . . 2 2 2 2
3416
23
4
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40
1. REA DO CRCULO
A rea de um crculo de raio R expressa por
Observao
O comprimento da circunfern cia
de raio R dado por C = 2 R, em
que 3,1416.
2. REA DA COROA CIRCULAR
Sendo S a rea da coroa circularde raios R e r, tem-se
3. REA DO SETOR CIRCULAR
A rea do setor circular de raio R,limitado por um arco de comprimento
, dada por
ObservaoA rea do setor circular sempre
uma "frao" da rea do crculo noqual o setor est "contido".
ExemploA rea do setor circular da figura
abaixo dada por
4. REA DO SEGMENTO CIRCULAR
Sendo S a rea do segmento cir-
cular limitado pela corda AB e pelo
arco AB da figura, tem-se
Exemplo
A rea do segmento circular da
figura abaixo dada por
ObservaoOutra maneira de calcular mos a
rea do segmento circular da figuraacima a seguinte:
Calculamos a rea do setor cir -cular de 60 com raio r = 6 e delasubtramos a rea de um tringuloequiltero de lado = 6.
Assim,
S = . . 62
S = 6 93
S = 3(2 33)
R
S = R2
R
r
S = (R2 r2)
R
0
B
A
. RS =
2
5
5
72
72S = . . 52 = 5
360
0R A
B
h
RS = ( h)2
6
60
6S = (2 3 3) = 3 (2 33)2
60360
6234
MDULO 18 rea das Figuras Circulares
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