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EME 311Mecânica dos Sólidos- CAPÍTULO 2 -- CAPÍTULO 2 -

Profa. PatriciaEmail: [email protected]

IEM – Instituto de Engenharia MecânicaUNIFEI – Universidade Federal de Itajubá

2 – ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS

� 2.1 – Vetores Posição e Deslocamento� 2.2 – Momento de uma Força� 2.3 – Momento de uma Força em relação a um

Eixo2.4 – Momento de um Conjugado

Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 2

� 2.4 – Momento de um Conjugado� 2.5 – Sistema de Forças Equivalentes

� 2.5.1 – Translação de uma Força para uma PosiçãoParalela

� 2.5.2 – Redução de um Sistema de Forças a uma Força eum Conjugado

2 – ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS

� 2.5 – Sistema de Forças Equivalentes� 2.5.1 – Translação de uma Força para uma Posição

Paralela� 2.5.2 – Redução de um Sistema de Forças a uma Força e

um Conjugado

� 2.6 – Equilíbrio de um corpo rígido


� 2.6 – Equilíbrio de um corpo rígido� 2.6.1 – Condições de equilíbrio para um corpo rígido;� 2.6.2 – Equações de equilíbrio� 2.6.3 – Diagrama de corpo livre� 2.6.4 – Vínculos ou apoios� 2.6.5 – Restrições para um corpo rígido

2.1 – Vetores Posição e Deslocamento

� Vetor posição r – é um vetor fixo que localizaum ponto do espaço em relação a outro;


x y z= + +r i j k


� Módulo - é adistância entre aorigem do sistemacoordenado e o


x y z= + +r i j k

coordenado e oponto P.


� A adição vetorialda origem para aextremidade dos 3componentes dá o


x y z= + +r i j k

componentes dá ovetor r.


Observação:

� Em manuscritos o vetor posição r érepresentado por uma letra com uma flechaem cima ( ).r

�


em cima ( ).

� Então, na forma do vetor cartesiano:

ˆ ˆ ˆr x i y j zk= + +�

r


� Se r é o vetorposição orientado doponto A ao ponto B,então:

+ =r r r


A B

AB B A

+ == = −r r r

r r r r

( ) ( )( ) ( ) ( )

B B B A A A

B A B A B A

x y z x y z

x x y y z z

= + + − + +

= − + − + −

r i j k i j k

i j k


� O vetor r que vai deum ponto no espaçoa outro pontoqualquer também éconhecido como vetor


conhecido como vetordeslocamento.

( ) ( ) ( )AB B A B A B Ax x y y z z= = − + − + −r r i j k

Exemplo 1 – (Hibbeler pág. 50)

O homem mostrado nafigura puxa a corda comuma força de 70 lb.Represente essa força, queatua sobre o suporteA,como vetor cartesiano e


como vetor cartesiano edetermine sua direção.

2.2 – Momento de uma Força

� Tendência da força de provocar a rotação deum corpo em torno do ponto ou de um eixo.

Seja Fx que ageperpendicularmente ao


perpendicularmente aocabo da chave inglesae está localizada auma distância dy doponto O.


� Fx tende a provocar um giro do tubo em tornodo eixo z.

Essa tendência derotação é chamada detorque, ou momento de


torque, ou momento deuma força ou momento(MO)z.

Fx e dy estão no plano xyque é perpendicular aoeixo do momento (z).


� Fz tende a provocar rotação no tubo em tornodo eixo z?

Não, a tendência de giro é em torno do

eixo x, produzindo o


eixo x, produzindo o momento (MO)x

Fz e dy estão no plano yzque é perpendicular aoeixo (x).


� Se uma força Fy é aplicada à chave, nenhummomento é produzido em relação ao ponto O.

Haverá ausência total


de giro do tubo, pois a linha de ação da força passa pelo ponto O.


Direção - perpendicular aoplano formado pela distância d

oM Fd dF= =


plano formado pela distância de a força.

Sentido - ‘regra da mãodireita’.


� Seja um sistema deforças no plano xy, omomento resultante MRO

éa soma dos momentos decada força:


cada força:

ROM Fd+ =∑


Determine o momento resultante das quatro forças queatuam na haste, em relação ao pontoO.



Produto escalar

cosAB θ⋅ =A B


� O resultado é um escalar!

cosAB θ⋅ =A B


Produto vetorial

( )AB senθ× =A B u


� O resultado é um vetor!

( ) CAB senθ× =A B u


Propriedades :

� Não-comutativo

× ≠ ×A B B A


ou

× = − ×A B B A


Propriedades :

� Multiplicação por escalar

( ) ( ) ( )a a a× = × = ×A B A B A B


� Lei distributiva

( ) ( ) ( )( )

a a a

a

× = × = ×

= ×

A B A B A B

A B

( ) ( ) ( )× + = × + ×A B D A B A D


Produto vetorial de um par de vetores unitários cartesianos :

0

0

× = × = − × =× = × = − × =

i j k i k j i i

j k i j i k j j


0

0

× = × = − × =× = × = − × =

j k i j i k j j

k i j k j i k k


� Produto vetorial como vetores cartesianos

( ) ( )( ) ( ) ( )

x y z x y z

y z z y x z z x x y y x

A A A B B B

A B A B A B A B A B A B

× = + + × + +

= − − − + −

A B i j k i j k

i j k


que pode ser escrito como

x y z

x y z

A A A

B B B

× =i j k

A B


� O momento de uma força pode ser expressona forma de produto vetorial:

= ×OM r F


r é o vetor posição traçado de O até

qualquer ponto sobre a linha de ação de F


� Do cálculo vetorial:


( )OM rF sen F r sen Fdθ θ= × = = =r F


� Princípio da Transmissibilidade

F aplicada no ponto A

F deslizante e pode agir

A= ×OM r F


F deslizante e pode agirem qualquer ponto sobresua linha de ação,produzindo o mesmomomento

B C= × = ×OM r F r F


Finalmente, o momento MO pode ser resolvidopor meio de um determinante:

i j k


x y z

x y z

r r r

F F F

= × =O

i j k

M r F


E como seria determinado o momento resultantede um sistema de forças?


( )R = ×∑OM r F


O poste da figura está sujeito a uma força de 60 N na direçãode C paraB. Determine a intensidade do momento criadopela força em relação ao suporte emA.



O momento de uma força emrelação a um ponto é igual àsoma dos momentos doscomponentes da força em

Princípio dos Momentos (teorema de Varignon )


componentes da força emrelação ao mesmo ponto.

( )1 2

1 2

O = × + ×= × + = ×

M r F r F

r F F r F

2.3 – Momento de uma Força em relação a um Eixo

� Seja a tubulação espacial livre em A eengastada no plano xz.


� O momento da força F em relação ao ponto Otende a girar a tubulação em relação ao eixoOb.



� Como obter o momento da força F em relaçãoao eixo y?



� É obtido por meio de duas etapas:

1 - Encontrar o momentoem relação a um pontolocalizado no eixo desejado;



localizado no eixo desejado;

( ) ( )( )

0,3 0,4 20

8 6 N.m

O A= × = + × −

= − +

M r F i j k

i j

� É obtido por meio de duas etapas:

2 - A componente (projeção)desse momento sobre oeixo desejado é dado por



eixo desejado é dado por

( )8 6 6 N.m

y O a OM = ⋅ = ⋅

= − + ⋅ =

M u M j

i j j

Generalizando:

))

1

2

O

a O O aM M cosθ= ×

= = ⋅

M r F

M u



Combinando:

)2 a O O aM M cosθ= = ⋅M u

( )a aM = × ⋅r F u

( )a aM = ⋅ ×u r F COMUTATIVOCOMUTATIVO

( )x y za a a

a a x y z

x y z

u u u

M r r r

F F F

= ⋅ × =u r F



O resultado pode ser um escalar positivo ou negativo.

Positivo - Ma com o mesmo sentido de ua;Negativo - Ma com o sentido oposto de ua .

Na forma de um vetor cartesiano

( )a a a a aM = = ⋅ × M u u r F u



Momento resultante de uma série de forças,calculado em relação ao eixo aa’, é dado por

( ) ( )a a aM = ⋅ × = ⋅ × ∑ ∑u r F u r F


A barra mostrada na figura ésustentada por dois gramposem A e B. Determine omomento MAB produzidopor

F = (-600i + 200j -300k) N,


F = (-600i + 200j -300k) N,que tende a girar a barra emtorno do eixoAB.

2.4 – Momento de um Conjugado

Um conjugado ou binário é formado por duasforças paralelas de mesma intensidade, sentidosopostos e separadas por uma distânciaperpendicular d.

Como a força resultante é


Como a força resultante é nula, o único efeito de um

conjugado é produzir rotação ou tendência de rotação em determinada

direção.


( )( )( )

A B

A B

= × − + ×

= − + ×

= − ×

M r F r F

M r r F

� Momento conjugado sobre a origem:


( )

( ) ( )

B A= − ×

= ×= − × −

M r r F

M r F

M r F


� Logo, o momento de um conjugado é umvetor livre ;

� Depende apenas do vetor posição r, que éorientado entre as forças, não se encontrandoligado ao ponto arbitrário O;


ligado ao ponto arbitrário O;

� Isso não acontece com osvetores posição rA e rB,que têm origem no pontoO.


� M está na direção normal aoplano do conjugado;

� O sentido pode ser vistopela figura.


pela figura.


Como lembrar da equação do momento conjugado?

� Tome o momento em relação ao ponto A ou ao ponto B.

Com relação ao ponto A:


Com relação ao ponto A:

- O momento de (-F) é nulo;

- O momento de F é

= ×M r F


� Conjugados equivalentes:� Se produzem o mesmo momento;� É necessário que as forças de conjugados iguais

estejam ou no mesmo plano ou em planosparalelos entre si.


paralelos entre si.

� Momento conjugado resultante:� Como os momentos conjugados são vetores

livres, podem ser aplicados em qualquer pontode um corpo e somados vetorialmente.


Exemplo:�Substitua os conjugados queestão em planos diferentes porseus momentos conjugados;Mova-os (vetor livre) até um


�Mova-os (vetor livre) até umponto P e os soma para obtero momento conjugadoresultante.

( )= ×∑M r F




Determine o momentoconjugado que atuasobre a estrutura detubos mostrada nafigura.


O segmento AB estáorientado em 30o abaixodo planoxy.

Exemplo 6

Uma força F1 = 10i + 6j + 3k age na posição (3,0,2). No ponto (0,2,-3) age uma força igual e oposta -F1.

a) Qual o momento conjugado?


b) Quais são os cossenos diretores da normal ao plano do conjugado?

c) Qual é a distância perpendicular entre essas forças?

2.5 – Sistema de Forças Equivalentes

Quando um sistema de força e momento conjugado produz o mesmo efeito “externo”

de translação e rotação do corpo que sua resultante, os dois conjuntos de cargas são


resultante, os dois conjuntos de cargas são ditos ser equivalentes.

( ) ( )1 2

1 1

n n

i iI IIi i

n m n m

= =

=∑ ∑F F

2.5 – Sistema de Forças Equivalentes

� Condições necessárias e suficientes para quedois sistemas sejam equivalentes:


� P - qualquer ponto sobre o qual o momento étomado;

� Mi - momento conjugado.

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

1 1 1 1

n m n m

i i i i i iP I P III IIi i i i= = = =

× + = × + ∑ ∑ ∑ ∑r F M r F M

Exemplo 7

Dados dois sistemas de forças

(I) F1 = (5i + 10j – 4k) kgf aplicada no ponto (0,0,0)

F2 = (2i + 2j + 3k) kgf aplicada no ponto (1,2,0) m

M1 = (5i + 10j + 12k) kgf.m

M2 = (2i + 3j + 7k) kgf.m


M2 = (2i + 3j + 7k) kgf.m

(II) F3 = (4i + 8j + 2k) kgf aplicada no ponto (2,0,0) mF4 = ? aplicada no ponto (3,1,0) mM3 = (16i - 2j – 3k) kgf.mM4 = ?

Encontrar F4 e M4 para que os dois sistemas sejamequivalentes.

2.5.1 – Translação de uma Força para uma Posição Paralela

� Consideremos uma força F atuante sobre umponto A.


� Suponha que poralguma razão a força Ftivesse que atuar noponto O.

� Pelo princípio datransmissibilidade podemosmover F ao longo de sualinha de ação;



linha de ação;

� Mas movê-la para o ponto O,muda a ação original de Fsobre o corpo rígido.

� Sem modificar a açãooriginal, aplica-se duasforças no ponto O (F e –F);



� As forças indicadas por umtraço formam um binário,cujo momento é M = r ×××× F.

� Logo, além do momento conjugado M (vetorlivre) que pode atuar em qualquer ponto P docorpo, F atua agora no ponto O



2.5.2 – Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Conjugado

� Usando o mesmo conceito para substituir umsistema de forças e momentos conjugados poruma única força resultante equivalente, atuandoem um dado ponto O, e um momento resultante.


Vetor livre


R

R C O

=

= +∑

∑ ∑

F F

M M M


Vetor livre

Exemplo 8(Hibbeler pág. 140)

Um elemento estruturalestá sujeito a um momentoM e as forçasF1 e F2,como mostrado na figura.Substitua este sistema poruma força resultantee um


uma força resultantee ummomento equivalente queatuam em sua base nopontoO.


� Simplificação a uma única força resultante:� quando a força e o momento resultantes são

perpendiculares entre si.



� Em geral, um dado sistemade forças e momentosatuantes são reduzidos auma força resultante e a ummomento resultante em O


momento resultante em Oque não são perpendicularesentre si.


� MRO pode serdecomposto emdois componentes,um perpendicular eoutro paralelo em


outro paralelo emrelação à linha deação da força FR ;


� Redução a um torsor:� Eliminar o momento perpendicular pelo deslocamento

da força até o ponto P;� O momento paralelo é um vetor livre. O resultado é

uma combinação de força e momento colineares.


uma combinação de força e momento colineares.chamado TORSOR.


� Redução a um torsor:� O torsor está na mesma linha de ação das

forças, então, ele tende a provocar tanto umatranslação ao longo do eixo quanto umarotação em torno dele.


rotação em torno dele.

� Torsor positivo - momento paralelo e forçaresultante no mesmo sentido;

� Torsor negativo - momento paralelo e forçaresultante sentidos opostos.


A viga AE da figura está sujeita a um sistema de forçascoplanares. Determine a intensidade, a direção, o sentido ealocalização na viga de uma força resultante equivalente aosistema de forças dado em relação ao pontoE.


Exemplo 10Um bloco é carregado pelas cinco forças mostradas nafigura. Reduzir o sistema de forças em:

a) Um sistema força-conjugado na origem;

b) Um torçor, especificando o eixo central.y


5 kgf

10 kgf 5 kgf

6 cm

10 kgf

8 cm5 kgf

x

z

2.6.1 - Condições de equilíbrio para um corpo rígido

� Considere um corporígido que está emrepouso ou movendo-se com velocidadeconstante.


constante.

No diagrama de corpo livre da i-ésima partículado corpo, há duas forças:� força interna (fi);� força externa (Fi).



� força externa (Fi).

fi - provocada pela interaçãodas partículas adjacentes;

Fi - representando os efeitos



Fi - representando os efeitosexternos (força gravitacional,elétrica, magnética ou dasforças de contato entre a i-ésima partícula e os corpos oupartículas vizinhos não incluídosno corpo).

Se a partícula está em equilíbrio, da primeira leide Newton

Para cada uma das outras partículas do corpo,

0i i+ =F f



Para cada uma das outras partículas do corpo,equações similares são obtidas, que sãosomadas vetorialmente

0i i+ =∑ ∑F f

O somatório das forças internas é igual a zero,pois essas forças entre as partículas do própriocorpo ocorrem aos pares, são opostas e demesma intensidade. Portanto,



mesma intensidade. Portanto,

De modo análogo,

0i = =∑ ∑F F

0O =∑M

2.6.2 – Equações de equilíbrio

� Para cada diagrama de corpo livre é possívelsubstituir o sistema de forças e conjugadosagindo sobre o corpo por um sistema único,força-conjugado, agindo sobre um pontoarbitrário do corpo.


arbitrário do corpo.� As condições necessárias e suficientes para

um corpo rígido estar em equilíbrio são

0=∑F

0O =∑M

� Num sistema coplanar (forças no plano xy), ascondições de equilíbrio em duas dimensõessão:

0x =∑F Ponto O

2.6.2 – Equações de equilíbrio


0x =∑F

0O =∑M

0y =∑F

Ponto Opode

pertencer ao corpo ou

estar fora dele!

2.6.3 – Diagrama de corpo livre

� Esboço da forma do corpo ‘livre’ doselementos vizinhos;

� Para estudar o equilíbrio de um corpoimpedido de mover-se livremente, imagina-se


impedido de mover-se livremente, imagina-sesempre que os apoios ou vínculos foramretirados e que, em seus lugares,permanecem as reações que exercem sobre ocorpo.

No caso de uma viga, pode-se ter as seguintesreações:

2.6.3 – Diagrama de corpo livre


2.6.4 – Vínculos ou apoios

� Um corpo geralmente é fixo, ou seja, éimpedido de mover-se devido aos vínculos ouapoios que conectamos neste corpo.


A seguir, veremos os tipos de vínculos mais comuns.

Roletes Superfície Lisa

Apoio ou Ligação Reação Nº Incógnitas

Força com linha de ação conhecidaBalancim



Cabo curto

Força com linha de ação conhecida

Força com linha de ação conhecidaBiela curta

Cursor sobre haste lisa Pino deslizante sem atrito


Articulação sem atrito Força com linha de


Pino sem atrito Força com linha de



Articulação sem atrito

ou apoio fixo Superfície rugosa

Engaste

Força com linha de ação desconhecida

Força e Momento

Pino sem atrito

ou articulação Superfície rugosa

Engaste

Força com linha de ação desconhecida

Força e Momento

Representações

Rolete



Articulação

Engastamento

� Por que as forças internas ao corpo nãodevem ser representadas no diagrama decorpo livre?



Porque essas forças são iguais em intensidade, sempre ocorrem aos pares colineares e

opostos.Logo, sua resultante sobre o corpo é nula.


Determine os componentes horizontal e vertical da reação paraa viga carregada, como mostrado na figura. Despreze o pesoda viga em seus cálculos.



A corda mostrada na figurasuporta uma força de 100 lbapoiando-se numa polia sematrito. Determine a força detração na corda emC e noscomponentes horizontal e


componentes horizontal evertical da reação no pino emA.

Exemplo 12 – (Hibbeler pág. 180) – Continuação...

Diagramas isolados:



A haste mostrada na figura é conectada por um pino emA esua extremidadeB tem movimento limitado pelo apoio lisoemB. Calcule os componentes horizontal e vertical da reaçãono pinoA.



A chave de boca mostrada na figura é utilizada para apertar o parafuso em A. Se a chave não gira quando a carga é aplicada ao seu cabo, determine o torque ou momento e a força da chave aplicados ao parafuso.


2.6.5 – Restrições para um corpo rígido.

� Quando um corpo tem apoios redundantes(mais apoios do que o necessário), seuestado de equilíbrio se torna estaticamenteindeterminado, pois haverá mais incógnitasdo que equações para resolver o problema.


do que equações para resolver o problema.

Estaticamente indeterminado

2.6.5 – Restrições para um corpo rígido.


5 incógnitas

Proposto

A viga AB é apoiada sobre suportesA e B. Determine asreações nos apoios, sendo a forçaP = 2000 (kgf). Desprezaro peso próprio da viga.


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