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22/Abr/2016 – Aula 14

Introdução à Física QuânticaRadiação do corpo negro; níveis discretos de energia.

Efeito foto-eléctrico: - descrições clássica e quântica- experimental.

Efeito de Compton.

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A incapacidade da Física clássica em explicar certos fenómenos levou ao desenvolvimento de duas teorias que revolucionaram a Física no início do século XX:

A Teoria da Relatividade de Einstein

A Física Quântica

Em particular, foi a impossibilidade de se conseguir explicar classicamente as 3 experiências seguintes

• radiação do corpo negro

• efeito foto-eléctrico

• efeito de Compton

que levou ao desenvolvimento da Física Quântica .

Introdução à Física Quântica

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Radiação do corpo negro

Qualquer objecto a uma temperatura superior ao zero absoluto (T>0K) emite radiação. Essa radiação é produzida pelas suas cargas eléctricas em movimento acelerado.

Quando a temperatura é elevada (~ 500 ºC), o objecto emite radiação na zona do vermelho e, à medida que a temperatura aumenta, a radiação vai mudando para comprimentos de onda menores(maiores frequências).

O espectro de energia radiada por unidade de tempo é contínuo e depende da temperatura T e do comprimento de onda λλλλ da radiação emitida.

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Radiação do corpo negro (cont.)

O espectro de energia radiada por unidade de tempo é contínuo e depende da temperatura T e do comprimento de onda λλλλ da radiação emitida.

Lei de Wien O comprimento de onda a que corresponde a intensidade máxima(λλλλmáx) varia inversamente com a temperatura.

Lei de StefanA potência radiada por unidade de tempo, pela superfície A de um corpo, aumenta com a quarta potência da temperatura.

Espectro de radiação do corpo negro

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Radiação do corpo negro (cont.)

Intensidade da radiação em função do comprimento de onda, para 4 temperaturas. A quantidade de radiação emitida (a área definida por cada curva) aumenta quando a temperatura aumenta.

En

erg

ia e

mit

ida

po

r cm

2

po

r m

inu

to p

or

µµ µµm

Comprimento de onda

InfravermelhoRadiação

Visível

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Radiação do corpo negro (cont.)

Lei de Stefan-Boltzmann :

e : emissividade da superfície (entre 0 e 1, dependendo da superfície do material)

σσσσ : constante de Stefan-Boltzmann (W/m2K4)

T : temperatura do objecto (em K)

8

2 4

W5,67.10

m Kσ −=

T0 : temp. do ambiente (K)

-3

máx2,898.10 m K

Tλ

⋅=Lei de Wien :

4radiadaP e ATσ=

4absorvida 0P e ATσ= ( )4 4

efectiva 0P e A T Tσ= −

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Um “absorvedor” ideal absorve toda a energia incidente :

1 e =

Corpo negro

Um reflector ideal não absorve qualquer energia incidente :

0 e =

Radiação do corpo negro (cont.)

8

1 e =

Radiação do corpo negro (cont.)

Corpo Negro

�Absorve toda a energia radiante incidente, independentemente do comprimento de onda e da direcção de incidência.

�É um emissor perfeito (radiação máxima): para uma dada temperatura e num dado comprimento de onda, é a superfície que emite mais energia.

�É isótropo: a radiação que emite pode depender da temperatura e do comprimento de onda, mas não depende da direcção (emite igualmente em todas as direcções).

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Radiação do corpo negro (cont.)

Como a radiação também depende das propriedades da superfície do objecto (emissividade) , a melhor maneira de simular um corpo negro é usar um objecto cuja superfície não influencie a radiação, ou seja, um sistema que se aproxime do corpo negro ideal.

Uma boa aproximação é uma cavidade com uma abertura muito pequena: a radiação emitida vai depender apenas da temperaturano interior da cavidade.

Aproximação do corpo negro ideal: a luz (radiação) que entra pela abertura é reflectida pelas paredes interiores. Em cada reflexão, parte dessa luz é também absorvida. Ao fim de algumas reflexões, toda a luz incidente foi absorvida. Então, toda a radiação que for emitida e sair pela abertura é apenas função da temperatura no interior da cavidade.

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Comparação dos resultados experimentais com a curva prevista pelo modelo clássico de Rayleigh-Jeans para a distribuição da radiação emitida por um corpo negro .

Justificação clássica para estaradiação:

-os átomos e moléculas à superfície do objecto vibram mais quando a temperatura aumenta; esta vibração implica a emissão de radiação.

A descrição clássica conduz à lei de Rayleigh-Jeans para a intensidade :

em que c é a velocidade da luz e k a constante de Boltzmann.

Radiação do corpo negro (cont.)

( )4

2 c k T,

πΙ λ Τ

λ=

Comprimento de onda

Inte

nsi

dad

e

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Radiação do corpo negro (cont.)

Problema com a descrição clássica :

• para os λλλλ grandes, a teoria clássica está de acordo com os resultados experimentais

• mas quando λλλλ →→→→ 0, a intensidade da radiação →→→→ ∞∞∞∞ ( catástrofe do ultra-violeta ).

Comprimento de onda

Inte

nsi

dad

e

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Espectro visível

Experimentalmente, verifica-se que o comprimento de onda da radiação emitida porum corpo negro diminui quando a temperaturaaumenta.

O comprimento de onda para o qual se obtém a maior intensidade da radiação obedece à lei de Wien :

-2

máx

0,2898.10 mK

Tλ =

2

Comprimento de onda (µµµµm)

Inte

nsi

dad

e

Radiação do corpo negro (cont.)

Intensidade da radiação em função do comprimento de onda, para 3 temperaturas. A quantidade de radiação emitida (a área definida por cada curva) aumenta quando a temperatura aumenta.

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Em 1900, Max Planck propôs a seguinte relação para a intensidade da radiação do corpo negro:

em que c é a velocidade da luz , k a constante de Boltzmann e h é a constante de Planck ( h = 6,626.10-34 Js ).

Esta expressão já está de acordo com os resultados experimentais para toda a gama de comprimentos de onda.

Radiação do corpo negro (cont.)

( )( )

2

hc k T5

2 h c,

e - 1λ

πΙ λ Τ

λ=

Comprimento de onda

Inte

nsi

dad

e

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Considerações acerca das moléculas à superfície do corpo negro (Planck):

Representação pictórica dos fotões (“pacotes” de luz). Cada fotão possui uma energia discreta dada por h νννν .

As moléculas só podem radiar (emitir radiação) em níveis discretos de energia En, com

En = n h νννν

sendo n um inteiro positivo (número

quântico) e νννν a frequência de vibração das moléculas.

As moléculas emitem (e absorvem) energia em pacotes discretos chamados fotões , cuja energia é igual a h νννν .

Radiação do corpo negro (cont.)

Fotão com energia hνννν

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As moléculas têm energias quantizadas. Uma molécula no estado n = 3 terá uma energia E3 = 3 h νννν .

Se essa molécula emitir um fotão, a molécula passa para o estado n = 2 , que tem uma energia E2 = 2 h νννν ⇒⇒⇒⇒ a energia de um fotão correspondente a diferenças energéticas entre estados quânticos adjacentes é igual a E = h νννν .

A molécula emite (ou absorve) energia apenas quando muda de estado quântico. Se permanecer num dado estado, não existe transferência de energia.

Níveis discretos de energia

Níveis de energia possíveis para uma molécula (exemplo). As transições permitidas com ∆∆∆∆n = 1estão indicadas.

Energia

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A temperatura da pele humana é aproximadamente igual a 35 ºC. Qual é o comprimento de onda para o qual se verifica o máximo da radiação emitida?

Espectro visível

O máximo da radiação é emitida para um comprimento de onda na região dos infra-vermelhos:

-2

máx

0,2898.10 mK

Tλ =

Lei de Wien:

-26

máx

0,2898.10 mK9,6.10 m 960nm

308 Kλ −= = =

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Admitindo que o filamento de tungsténio de uma lâmpada de incandescência se comporta como um corpo negro, determine o comprimento de onda para o qual se verifica o máximo de intensidade da radiação emitida se a temperatura do filamento for igual a 2900 K.

Espectro visível

Embora a lâmpada de incandescência emita luz branca (frequências na banda visível do espectro), o máximo de intensidade emitida acontece para a região dos infra-vermelhos ⇔⇔⇔⇔ a maior parte da radiação é emitida sob a forma de calor.

-2

máx

0,2898.10 mK

Tλ =

Lei de Wien:

-26

máx

0,2898.10 mK1,0.10 m 1000nm

2900 Kλ −= = =

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Considerando a figura ao lado:

• quando não incide luz na célula, não se regista emissão de electrões a partir da superfície E e, portanto, a indicação no amperímetro é A = 0 .

• quando luz monocromática com um comprimento de onda adequado incide naplaca E, verifica-se emissão de electrõesque vão incidir na placa C. A corrente (foto-electrónica) é medida no amperímetro.

No fim do séc. XIX, algumas experiências demonstraram que quando se fazia incidir luz na superfície de alguns metais, estes emitiam electrões (efeito foto-eléctrico ).

Efeito foto-eléctrico

Efeito foto-eléctrico

E

C

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Os foto-electrões saem da placa E com uma certa quantidade de energia. Se a tensão aplicada Vaumentar (note-se que a polarização é inversa), então quando V for igual à energia dos fotoelectrões, a corrente (foto)eléctrica será igual a zero: os foto-electrões não terão energia (cinética) suficiente para atingir a placa C .

Dispositivo para observação do efeito

foto-eléctrico

A tensão aplicada V (multiplicada pela carga do electrão) é igual à energia com que os electrões deixam a superfície E .

Experimentalmente, é possível verificar que o potencial de paragem V0 (que multiplicado pela carga eléctrica é igual à energia dos electrões emitidos) é independente da intensidade da radiação incidente.

Efeito foto-eléctrico (cont.)

Luz

Fonte de tensão variável

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1) Se a frequência da radiação incidente for inferior a um determinado valor, que é característico do metal que estiver a ser iluminado, não há emissão de electrões. Classicamente, os

electrões deveriam ser emitidos para qualquer frequência,

desde que a intensidade luminosa fosse suficiente .

2) A energia cinética máxima dos foto-electrões é independente da intensidade luminosa incidente. Classicamente, quanto

maior fosse a intensidade, maior seria a energia dos electrões.

3) A energia cinética máxima dos foto-electrões aumenta com a frequência da luz incidente.

4) Os electrões são emitidos a partir da superfície quase instantaneamente (atraso < 10-9 s ), mesmo para pequenas intensidades luminosas. Classicamente, os electrões

necessitariam de algum tempo para absorverem a radiação

incidente necessária para atingirem a energia cinética

suficiente para escaparem da superfície do metal.

Efeito foto-eléctrico e descrição clássica

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A luz incidente propaga-se sob a forma de fotões. Cada fotão, ao incidir no metal, transmite toda a sua energia ( E = h νννν ) a um electrão do metal.

No entanto, o electrão necessita de ter uma energia superior a um dado valor ϕϕϕϕ (a função de trabalho) para escapar da superfície do metal.

A energia cinética máxima ( E cin máx ) dos electrões libertados será então igual a

Explicação do efeito foto-eléctrico (por Einstein) a partir do conceito de quantização (de Planck):

ϕϕϕϕ é da ordem de alguns electrões Volt e é característica de cada metal.

Efeito foto-eléctrico e descrição quântica

cin máxE h -ν ϕ=

Fotão com energia hνννν

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Explicação do efeito foto-eléctrico a partir da teoria fotónica da luz:

1) Se a frequência da radiação incidente for inferior a um determinado valor, que é característico do metal que estiver a ser iluminado, não há emissão de electrões. Se a energia dos fotões incidentes for

menor do que a função de trabalho ϕϕϕϕ , então os electrões não terão

energia suficiente para escaparem do metal.

2) A energia cinética máxima dos foto-electrões é independente da intensidade luminosa incidente. Se, por ex., a intensidade luminosa

duplicar, o nº de fotões duplica, o que vai, por sua vez, fazer

duplicar o nº de electrões emitidos e, portanto, a corrente eléctrica.

No entanto, a energia cinética dos electrões mantém-se.

3) A energia cinética máxima dos foto-electrões aumenta com a frequência da luz incidente. E cin máx = h νννν - ϕϕϕϕ .

4) Os electrões são emitidos quase instantaneamente. A transferência

de energia (por colisão) entre um fotão e um electrão é muito rápida.

Efeito foto-eléctrico e descrição quântica (cont.)

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Graficamente, o declive da E cin máx em função da frequência νννν da luz incidente é igual à constante de Planck, h , e a intersecção da curva com o eixo horizontal é igual à frequência mínima, a partir da qual se verifica o efeito foto-eléctrico:

Experimentalmente, a E cin máx

varia linearmente com a frequência da luz incidente

Observações experimentais :

Fotões com frequência inferior a νννν c não têm energia suficiente para arrancar electrões ao metal.

Comprimentos de onda maiores do que λλλλ c incidindo num metal com função de trabalho ϕϕϕϕ não conseguem arrancar electrões ao metal.

Efeito foto-eléctrico - experimental

-cin máxE hν ϕ=

cc

c hcλ

ν ϕ= =

ch

ϕν =

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a) A energia dos fotões incidentes é igual a E = hνννν = hc/ λλλλ

E = (6,626 . 10-34 Js) (3,0 . 108 m/s) / 300 . 10-9 m

= 6,626 . 10 -19 J = 6,626 x 10 -19 J / 1,60 . 10 -19 J/eV = 4,14 eV

Uma superfície de sódio é iluminada com radiação com um comprimento de onda de 300 nm. A função de trabalho para o sódio é de 2,46 eV. Calcule:

a) a energia cinética dos foto-electrões emitidos;b) o comprimento de onda crítico ( λλλλ c ) para o sódio.

Usando Emáx = h νννν - ϕϕϕϕ temos Emáx = 4,14 – 2,46 = 1,68 eV

25Espectro visível

b) O comprimento de onda crítico pode ser calculado a partir de λλλλc = hc/ ϕϕϕϕ

Como ϕϕϕϕ = 2,46 eV = (2,46eV) (1,60 . 10 -19 J/eV) = 3,94 . 10 -19 J

vem λλλλc = h c/ ϕϕϕϕ = (6,626.10-34 Js) (3,0.108 m/s) / 3, 94.10-19 J

= 5,05 . 10 -7 m = 505 nm

Uma superfície de sódio é iluminada com radiação com um comprimento de onda de 300 nm. A função de trabalho para o sódio é de 2,46 eV. Calcule:

a) a energia cinética dos foto-electrões emitidos;b) o comprimento de onda crítico ( λλλλ c ) para o sódio.

Este comprimento de onda corresponde a uma radiação na região verde do espectro visível:

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• A câmara de ionização permite medir a intensidade dos raios X em função do ângulo.

A difracção de raios X por electrões (efeito de Compton) não é explicável classicamente.

Diagrama de um dispositivo para estudar o efeito de Compton.

• Raios X (λλλλ0 = 0,071nm) incidem num alvo de grafite.

• Os raios X são difractados pela grafite e são detectados por um espectrómetro de comprimento de onda que pode rodar em torno do alvo ( ⇔⇔⇔⇔ os vários λλλλ dos raios X

difractados podem ser medidos para

vários ângulos de difracção).

• O cristal mostrado na figura vai separar angularmente os raios X difractados, proporcionalmente ao seu comprimento de onda.

Efeito de Compton

27Estes resultados não são explicáveis classicamente.

Observações experimentais : intensidade dos raios X em função do comprimento de onda para vários ângulos de difracção (θθθθ = 0º, 45º, 90º e 135º )

Os resultados experimentais mostram dois picos no espectro de difracção: um para λλλλ = λλλλ0 (c. de onda do feixe incidente) e outro para λλλλ’ > λλλλ0 .

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1) a pressão da radiação acelera os electrões na direcção da onda;

2) o campo eléctrico oscilante incidente induz uma vibração nos electrões com uma frequência νννν’, que é ligeiramente diferente de νννν0 devido ao efeito Doppler.

Classicamente, a onda electromagnética incidente pode provocar 2 efeitos:

Os electrões emitem radiação electromagnética cuja frequência depende do ângulo de difracção θθθθ e da quantidade de radiação absorvida (a quantidade de radiação muda a velocidade do electrão e, portanto, a frequência devido ao efeito Doppler).

Assim, a frequência da onda difractada deveria apresentar uma

distribuição de valores praticamente contínua devido ao efeito

Doppler, diferente da observada experimentalmente.

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Cada fotão é tratado como uma partícula livre, de energia E = h νννν = h c/ λλλλ , e massa nula, que colide com um electrão inicialmente em repouso.

Explicação do efeito de Compton a partir do conceito de quantização:

em que Ee é a energia do electrão difractado.

Usando a conservação do momento (para ambas as componentes x e y ), notando que a velocidade do electrão << c (⇔⇔⇔⇔ sem correcções relativistas) e sabendo que p = E /c = h / λλλλ para os fotões e p = m v para os electrões, tem-se:

Aplicando a conservação da energia tem-se:e

0

h c h c E'λ λ

= +

componente segundo x : h / λλλλ0 = h /λλλλ’ cosθθθθ + m v cosϕϕϕϕcomponente segundo y : 0 = h/ λλλλ’ senθθθθ - m v senϕϕϕϕ

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Eliminando v e ϕϕϕϕ das (3) equações anteriores, obtém-se uma expressão que relaciona as 3 variáveis restantes (λλλλ’, λλλλ 0 e θθθθ ) :

Esta equação (eq. de difracção de Compton) já prevê a variação no comprimento de onda dos raios X difractados por electrões livres observado experimentalmente.

em que me é a massa do electrão e h/ me c é o chamado comprimento de onda de Compton do electrão.

( )0e

' h- 1- cosm c

λ λ θ=

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• A explicação para os raios X difractados que mantêm λλλλ0 é a seguinte:

os raios X são difractados por um electrão que está fortemente ligado ao átomo, pelo que a massa efectiva do electrão é a massa do átomo. Se se substituir a massa do carbono (cerca de 23.103 vezes a massa do electrão) nesta equação, então a variação

no comprimento de onda (λλλλ/ - λλλλ0) é muito

pequena.

Intensidade