230820133402_Mat_Basica_Passo_00

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12-4127. CDD: 510CDU: 51

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C119m

Cabral, Luiz CláudioMatemática básica explicada passo a passo / Luiz Cláudio Durão

Cabral, Mauro César de Abreu Nunes. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013.424 p. 24 cm. – (Provas e concursos)

ISBN 978-85-352-6347-3

1. Matemática – Problemas, questões, exercícios. 2. Serviço público – Brasil – Concursos. I. Nunes, Mauro César. II. Título. III. Série.

© 2013, Elsevier Editora Ltda.

Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei no 9.610, de 19/02/1998.Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros.

Copidesque: Adriana KramerRevisão Gráfica: Hugo de Lima CorrêaEditoração Eletrônica: SBNigri Artes e Textos Ltda.

Coordenador da Série: Sylvio Motta

Elsevier Editora Ltda.Conhecimento sem FronteirasRua Sete de Setembro, 111 – 16o andar20050-006 – Centro – Rio de Janeiro – RJ – Brasil

Rua Quintana, 753 – 8o andar04569-011 – Brooklin – São Paulo – SP – Brasil

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ISBN 978-85-352-6347-3

Nota: Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação, impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação ao nosso Serviço de Atendimento ao Cliente, para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão.

Nem a editora nem o autor assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ou perdas a pessoas ou bens, originados do uso desta publicação.

Ded icató r ias

Luiz Cláudio Cabral:

Dedico este livro ao meu filho Bruno Giordano da Mata Cabral e ao meu afilhado Enzo Araújo da Mata. “O amor de um pai por seu filho é diferente de qualquer outra coisa no mundo. Ele não obedece lei ou piedade, ele ousa todas as coisas e extermina sem remorso tudo o que ficar em seu caminho (Agatha Christie).”

Mauro César Nunes:

Dedico este livro a todos os alunos, estudantes e concurseiros que sempre me prestigiaram em minhas aulas fazendo críticas e sugestões para as devidas resoluções dos exercícios que a eles foram propostos, enriquecendo, com isso, cada vez mais o meu singelo trabalho realizado até aqui.

Agradec imentos

Primeiramente a Deus, aos nossos familiares, amigos e alunos que nos incen-tivaram para a realização deste trabalho e que, mesmo nas horas mais difíceis, não esmoreceram em doar ânimo para que concluíssemos este livro.

Os autores

Os Auto res

Luiz Cláudio Durão CabralProfessor de Matemática, Física e Raciocínio Lógico, licenciado pela Univer-

sidade de Brasília – UnB. Atua há mais de 15 anos no Ensino Médio e em cursos preparatórios para Concursos Públicos em Brasília: Curso Fênix, Nota 10, Classe “A”, Apcon, Ágape, Alub Concursos, Fortium, além de GranCursos e Alto Nível.

Mauro César de Abreu NunesProfessor de Matemática há mais de 43 anos. Atuou em diversos cursos preparató-

rios de Concursos Públicos, pré-vestibulares e nos Ensinos Fundamental e Médio. No Rio de Janeiro, nos cursos GPI, Gebê, Soeiro e outros, nas Universidades Gama Filho e Nuno Lisboa, nos Colégios São Fernando e Piedade, em Brasília, nos cursos Obcursos, PhD, Classe “A”, Apcon, Sarmento, Cespro, PROGRESSÃO, VIP, NDA, Nota 10, Ágape, Alub Concursos, Edital, Opção, Fortium, Alto Nível, GranCursos, entre outros, assim como nos Colégios Santo Antônio, Cor Jesu, Rosário, Rogacionista e demais.

Prefácio

Este livro é composto por 451 exercícios resolvidos e mais 500 exercícios propos-tos com as suas devidas respostas, que se encontram como material complementar na página do livro no site www.elsevier.com.br.

Esperamos, assim, que ele seja muito útil aos seus leitores para que possam elucidar uma boa parte de dúvidas sobre a disciplina: Matemática Básica, que ora aparece de uma maneira explicada, passo a passo!

Esses são os nossos sinceros votos.

Os autores

Apresentação

Quando o estudante ou concurseiro percebe o sentido real de uma disciplina, entusiasma-se muito com ela e logo compreende seu valor e a sua importância para a obtenção do seu futuro sucesso. Com isso, passa a dar-lhe maior concentração e atenção aos estudos. Auxilia também na obtenção desse resultado, proporcionando conhecimento das relações de uma disciplina básica com outras que lhe são afins, pelo aumento e, consequentemente, pela ampliação resultante da sua esfera de cognoscibilidades.

Seguimos uma orientação pedagógica realizada de uma maneira “passo a passo” para a solução da parte que contém os exercícios resolvidos. Também procuramos obter e escolher uma gama selecionada de exercícios propostos compatíveis às cobranças realizadas nas mais diferentes provas ou certames de Concursos Públicos.

O referido livro, nos seus diferentes capítulos, ensina-nos primeiramente a apli-cação dos prolegômenos necessários e suficientes para que as questões sejam resolvidas com a máxima clareza, rapidez e precisão, abstraindo-se dos complicados cálculos que implicam para a elucidação dessas questões de provas.

A Matemática, através de seus diferentes ramos como a Aritmética, a Álgebra, a Geometria, a Trigonometria e o Cálculo Infinitesimal etc., segue todas aquelas mani-festações do progresso da civilização humana e serve como instrumento fundamental para o crescimento, o desenvolvimento, o aprimoramento, enfim, o refinamento da nossa cultura. Sem ela toda a nossa humanidade não teria realizado as suas grandes e definitivas conquistas no campo da técnica, porque ela é uma ciência das relações de grandezas, ordem, forma e espaço e, finalmente, continuidade.

Em nossa visão, sinceramente bem humilde, achamos que o presente livro será muito bem recebido pelos estudantes.

Os autores

Sumár io

Capítulo 1 Problemas envolvendo números inteiros e fracionários 1

1.1. Noção de inteiros ..........................................................................................................................1

1.2. Algoritmo da divisão em Z (Divisão Euclidiana em Z) ...............................................................1

1.3. Paridade de um número inteiro ..................................................................................................2

1.4. Representações e sequências notáveis de um número inteiro positivo .................................3

1.5. Noção de fração ............................................................................................................................3

1.6. Nomenclaturas das frações ..........................................................................................................4

1.7. Tipos de frações ............................................................................................................................5

1.7.1. Frações próprias ....................................................................................................................5

1.7.2. Frações impróprias................................................................................................................5

1.7.3. Frações aparentes .................................................................................................................5

1.7.4. Frações particulares ..............................................................................................................5

1.7.5. Números mistos ....................................................................................................................6

1.7.6. Frações equivalentes ............................................................................................................6

1.7.7. Frações irredutíveis ...............................................................................................................6

1.8. Comparação e simplificação de fração .......................................................................................6

1.8.1. Comparação ..........................................................................................................................6

1.8.2. Simplificação .........................................................................................................................7

1.9. Operações com frações ................................................................................................................7

1.9.1. Adição e subtração ...............................................................................................................7

1.9.2. Multiplicação .........................................................................................................................8

1.9.3. Divisão ................................................................................................................................... 8

1.9.4. Números decimais e frações decimais ...............................................................................8

1.10. Transformação de frações ordinárias em decimais e vice-versa ............................................9

1.10.1. Representação fracionária .................................................................................................9

1.10.2. Representação decimal: propriedades .............................................................................9

1.11. Dízimas periódicas simples e compostas .................................................................................9

1.11.1. Decimais exatos ..................................................................................................................9

1.11.2. Dízimas periódicas simples ..............................................................................................10

1.11.3. Dízimas periódicas compostas ........................................................................................10

1.12. Fração geradora da dízima periódica ou geratriz da dízima .................................................10

1.12.1. Obtenção de uma fração geratriz ...................................................................................11

Exercícios resolvidos ..........................................................................................................................11

Capítulo 2 Divisores de um número natural: D(n) 21

2.1. Critérios de divisibilidade ...........................................................................................................21

2.2. Conjunto dos divisores de um número natural ........................................................................27

2.3. Propriedade dos divisores de um número natural ..................................................................30

2.4. Quantidade ou total de divisores naturais de um número natural composto ......................31


Capítulo 3 Máximo Divisor Comum 41

3.1. Processos para determinar o MDC .............................................................................................41

3.2. Algoritmo de Euclides .................................................................................................................42

3.2.1. Propriedades básicas do MDC............................................................................................42

3.2.2. Outras propriedades do MDC .............................................................................................42


Capítulo 4 Números primos 54

4.1. Reconhecimento de um número primo ...................................................................................55

4.2. Decomposição de um número natural em fatores primos .....................................................56


Capítulo 5 Múltiplos de um número natural: D(n) 62


Capítulo 6 Mínimo Múltiplo Comum 65

6.1. Processos para determinar o mmc ............................................................................................65

6.2. Propriedades do mmc ................................................................................................................66


Capítulo 7 Sistema de unidades de medidas 76

7.1. Sistemas decimais ......................................................................................................................76

7.1.1. Unidades de comprimento ................................................................................................76

7.1.2. Unidades de capacidade ....................................................................................................77

7.1.3. Unidades de massa ............................................................................................................77

7.2. Sistemas centesimais .................................................................................................................78

7.2.1. Unidades de área ou de superfície ...................................................................................78

7.2.2. Unidades agrárias ...............................................................................................................79

7.3. Sistema milesimal.......................................................................................................................80

7.4. Sistema sexagesimal ..................................................................................................................81

7.4.1. Unidades de ângulo ...........................................................................................................81

7.4.2. Unidades de tempo ............................................................................................................82

7.5. Sistema Monetário Brasileiro .....................................................................................................82


Capítulo 8 Equação do 1o grau 91

8.1. Definição ......................................................................................................................................918.2. Tipos .............................................................................................................................................918.3. Forma normal ..............................................................................................................................918.4. Classificação de uma equação ...................................................................................................928.5. Equações equivalentes ...............................................................................................................928.6. Equações numéricas ...................................................................................................................928.7. Equações literais ..........................................................................................................................928.8. Equações possíveis e determinadas ..........................................................................................928.9. Equações possíveis e indeterminadas ......................................................................................938.10. Equações impossíveis ...............................................................................................................938.11. Resoluções das equações do 1o grau com uma incógnita ....................................................938.12. Discussão de uma equação do 1o grau ...................................................................................94Exercícios resolvidos ..........................................................................................................................95

Capítulo 9 Sistemas lineares do 1o grau com duas variáveis 108

Exercícios resolvidos ........................................................................................................................111

Capítulo 10 Problemas do 1o grau 138

10.1. Linguagem textual e linguagem matemática ......................................................................138Exercícios resolvidos ........................................................................................................................139

Capítulo 11 Inequações do 1o grau 163

11.1. Propriedades fundamentais das desigualdades ..................................................................16311.2. Estudo do sinal da expressão ax + b, a ≠ 0 ..........................................................................163Exercícios resolvidos ........................................................................................................................165

Capítulo 12 Equação do 2o grau 169

12.1. Resolução das equações incompletas...................................................................................16912.2. Resumo analítico da relação entre os coeficientes..............................................................17012.3. Resolução da equação completa do 2o grau ........................................................................17112.4. Relações entre os coeficientes a, b e c e suas raízes da equação completa do

2o grau (ou relações de Girard) .............................................................................................17212.5. Composição ou determinação da equação do 2o grau completa, conhecendo-se

as suas raízes ..........................................................................................................................17212.6. Forma fatorada da equação completa do 2o grau ...............................................................17212.7. Discussão da existência das raízes de uma equação do 2o grau ........................................17312.8. Toda discussão analítica pode ser resumida no seguinte esquema ..................................173Exercícios resolvidos ........................................................................................................................173

Capítulo 13 Problemas do 2o grau com números naturais, inteiros e racionais 185


Capítulo 14 Equações Irracionais 210

14.1. Método de resolução ..............................................................................................................210


Capítulo 15 Equações Biquadradas 231

15.1. Discussão das raízes ................................................................................................................232


Capítulo 16 Radicais Duplos 243


Capítulo 17 Razões e aplicações notáveis 252

17.1. Razões notáveis: .....................................................................................................................252

17.1.1. Escalas .............................................................................................................................252

17.1.2. Densidade demográfica (ou populacional) ..................................................................253

17.1.3. Velocidade .......................................................................................................................253

17.1.4. Vazão ...............................................................................................................................254


Capítulo 18 Proporção 266

18.1. Proporção simples...................................................................................................................266

18.2. Linguagem corrente ...............................................................................................................267

18.3. Propriedade fundamental das proporções ...........................................................................268

18.4. Recíproca da propriedade fundamental ...............................................................................268

18.5. Aplicações práticas ..................................................................................................................268

18.6. Quarta proporcional ................................................................................................................270

18.7. Proporção contínua .................................................................................................................271

18.8. Cálculo da média e da terceira proporcional ........................................................................272

18.9. Propriedades das proporções ................................................................................................272

18.10. Outras propriedades das proporções ..................................................................................273

18.11. Proporção prolongada (ou continuada) ..............................................................................274

18.12. Propriedade das proporções prolongadas ..........................................................................274


Capítulo 19 Sucessões de números proporcionais – Grandezas proporcionais (diretas e/ou inversas) 292

19.1. Números proporcionais ..........................................................................................................292

19.2. Números inversamente proporcionais ..................................................................................293

19.3. Números diretamente e inversamente proporcionais ........................................................293

19.4. Coeficiente ou constante de proporcionalidade (k) .............................................................293


Capítulo 20 Divisão em partes proporcionais 298

20.1. Divisão em partes diretamente proporcionais .....................................................................298

20.2. Divisão em partes inversamente proporcionais ..................................................................298


Capítulo 21 Regra de sociedade 317

21.1. Regra de sociedade simples ..................................................................................................317

21.1.1. Aplicação prática .............................................................................................................317

21.2. Regra de sociedade composta...............................................................................................318

21.2.1. Aplicação prática .............................................................................................................319


Capítulo 22 Regra de três simples e composta 326

22.1. Regra de três simples .............................................................................................................326


22.2. Regra de três composta .........................................................................................................333


Capítulo 23 Porcentagens 350

23.1. Cálculos percentuais ...............................................................................................................350

23.2. Aumentos percentuais ...........................................................................................................351

23.3. Descontos percentuais ............................................................................................................351

23.4. Aumentos percentuais e sucessivos ......................................................................................351

23.5. Descontos percentuais e sucessivos ......................................................................................352


Capítulo 24 Operações sobre mercadorias 368

24.1. Venda com lucro .....................................................................................................................368

24.2. Venda com Prejuízo ................................................................................................................369

24.3. Quadro sinótico .......................................................................................................................370


Capítulo 25 Juros simples 375

25.1. Montante ou resgate da aplicação ........................................................................................375


Capítulo 26 Descontos simples 389

26.1. Desconto “por fora” ou comercial ou bancário ....................................................................390

26.2. Desconto “por dentro” ou racional ........................................................................................391


23.6. Aumentos e descontos percentuais e sucessivos ................................................................353

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