OS FRACTAISOS FRACTAIS

MatemMatemáática, beleza e aplicatica, beleza e aplicaçções: ões: ““ A ordem na desordemA ordem na desordem””

Prof. Ilydio Pereira de SProf. Ilydio Pereira de Sáá (USS / UERJ)(USS / UERJ)

"A Geometria dos Fractais não "A Geometria dos Fractais não éé apenas um apenas um capcap íítulo da Matemtulo da Matem áática, mas tambtica, mas tamb éém uma m uma

forma de ajudar os Homens a verem o forma de ajudar os Homens a verem o mesmo velho Mundo diferentementemesmo velho Mundo diferentemente ““

"O mundo que nos cerca "O mundo que nos cerca éé cacaóótico mas tico mas podemos tentar limitpodemos tentar limit áá--lo no computador. lo no computador. A geometria fractal A geometria fractal éé uma imagem muito uma imagem muito

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BenoBeno îît Mandelbrott Mandelbrot

Nas últimas décadas aconteceram investigações cujo tema central foi a construção e o estudo de novos o bjetos geométricos, denominados FRACTAIS pelo seu iniciado r, Benoit Mandelbrot. Esses objetos constituem uma imagem de si, própria em cada uma de suas partes. Segue que suas partes lhe são semelhantes; propried ade conhecida como auto-similaridade ou auto-semelhança.

A Geometria dos Fractais está intimamente ligada à um a ciência chamada CAOS. Essa ciência trouxe consigo o ver ordem e padrões, onde anteriormente só se observava o irregular, o aleatório, o imprevisível, digamos mesmo o caótico.

Entretanto, nota-se que o Caos colocou elos entre temas não relacionados, justamente pelas suas irregularidades. Temas como desordem na atmosfera, turbulência nos fluidos, variação populacional de espécies, oscilações do coração e cérebro, interlig ações microscópicas de vasos sanguíneos, ramificações alveolares, cotações da bolsa, forma das nuvens, relâmpagos, aglomerações estelares etc. foram estudados buscando-se então ligações entre diferent es tipos de irregularidades; e surpreendentes ordens n o caos foram descobertas.

A Geometria Euclidiana clássica, com as suas formas perfeitas e simétricas não foi suficiente para dar conta dessa complexidade. As ferramentas da geometria fractal c om suas formas foram elementos insubstituíveis de muitos ci entistas, pois permitiram reformular antigos problemas.

Em particular, os fractais revolucionaram a geração e a reprodução de imagens. Na constituição de nosso mun do, da natureza em geral, por mares e oceanos, separando o s continentes e ilhas, com suas costas, suas montanha s e rios, rochas, plantas e animais, e acima as nuvens etc., temos componentes com suas formas nas quais dominam a irregularidade e o caos; tentar simplificá-las, emp regando formas usuais da clássica geometria euclidiana, com o triângulos, círculos, esferas, cones etc., seria ab surdamente inadequado. A geometria dos fractais pode fornecer aproximações melhores para essas formas.

� Benoît Mandelbrot nasceu em Varsóvia (Polônia) em 1924, a sua família emigrou para França, devido à 2ªguerra mundial. Tinha um tio, Szolem Mandelbrot, que era professor de Matemática no “Collège de France” e era o responsável pela sua educação.

� Benoît freqüentou o “Lycze Rolin” em Paris, depois estudou em Lyon, e, mais tarde, foi para os Estados Unidos da América. Por fim estudou na École Polytechnique e na Sorbonne, em Paris e no Instituto Californiano de Tecnologia. A sua carreir a acadêmica dividiu-se principalmente entre França e os EUA.

BenoBenoBenoBenoîîîît Mandelbrott Mandelbrott Mandelbrott Mandelbrot

� Mandelbrot, começou a ficar insatisfeito em relação à Geometria Clássica, uma vez, que ao explorar e resolver diversos problemas, os pontos, as linhas retas, os círculos, entre outros, não demonstraram ser abstrações adequadas para compreender a complexidade da natureza.

� A pesquisa de Mandelbrot forneceu teorias matemáticas para o fenômeno da probabilidade errática e métodos de auto-semelhanças em probabilidades. Levou a cabo uma pesquisa sobre processos esporádicos, termodinâmica, linguagens naturais, astronomia, geomorfologia, gráficos e art e com a ajuda do computador e criou e desenvolveu a geometria fractal.

� Este prodigioso e ilustre matemático contemporâneo, é conhecido mundialmente como sendo o único responsável pelo enorme interesse nos chamados objetos fractais. Hoje em dia a sua geometria é conhecida através de bonitas gravuras coloridas que, enriqueceram tanto a matemática moderna como a arte e cujas aplicações já se estendem aos mais distintos ramos da ciência.

“Nuvens não são esferas,montanhas não são

círculos, um latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta“

Benoit Mandelbrot

O que são os fractais?O que são os fractais?� Nos últimos anos, diferentes definições de fractais têm

surgido. No entanto, a noção que serviu de fio cond utor a todas as definições foi introduzida por Mandelbro t através do neologismo "Fractal", que surgiu do lati no fractus, que significa irregular ou quebrado.

� Os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repet em infinitamente, mesmo limitados a uma área finita. Mandelbrot, constatou ainda que todas estas formas e padrões, possuíam algumas características comuns e que havia uma curiosa e interessante relação entre estes objetos e aqueles encontrados na natureza.

Um fractal é gerado a partir de uma fórmula matemáti ca, muitas vezes simples, mas que aplicada de forma ite rativa, produz resultados fascinantes e impressionantes.

Além de se apresentarem como formas geométricas, os fractais representam funções reais ou complexas e apresentam determinadas características: auto-semel hança, a dimensionalidade e a complexidade infinita.

Uma figura é auto-semelhante se cada parte dela é sem elhante a toda a figura, ou seja, é uma forma irregular que p ode ser subdividida em partes, e cada parte será uma cópia r eduzida da forma toda.Podemos ainda dizer que os fractais são figuras ger adas por processos iterativos “infinitos” providos, entre outras coisas, de rotações, translações e semelhanças de figuras geométricas.

AUTO-SEMELHANÇA

Cada porção pequena do fractal pode ser vista como uma réplica reduzida do todo.

�� Sucessivas iteraSucessivas iteraçções de uma funões de uma funçção sobre ão sobre cada ponto.cada ponto.

Gerando FractaisGerando Fractais

),...P(P),P(P),,,(P 12010000 FFzyx ===

Consideremos o seguinte fractal

Dimensão Fractal dos Sistemas Auto-Semelhantes

Os fractais são caracterizados em termos de sua dimensão, ou seja, de sua complexidade. As dimensões fractais apresentam valores quebrados, entre os valores das dimensões Euclidianas.

Substitui o segmento original por três segmentos

com metade do comprimento anterior .

Construção

Substitui o segmento original por três segmentos

com metade do comprimento anterior .

Construção

Substitui o segmento original por três segmentos

com metade do comprimento anterior .

Construção

Substitui o segmento original por três segmentos

com metade do comprimento anterior .

Construção

Cálculo da Dimensão fractal log(1/L)

logNd =

A cada geração substituímos um segmento por N segmentos de tamanho L.

No nosso exemplo, cada segmento é sempre substituído por 3 segmentos de tamanho ½, logo, a dimensão desse fractal será:

1,58 2log

3log ≅=d

1,26 log3

log4d ≅=

Curva de Koch

DIMENSÃO FRACTAL – OUTROS EXEMPLOS

Cada segmento é substituído por 4 segmentos de tamanh o 1/3

0,79 4log

3log ≅=d

Cada triângulo é substituído por 3 triângulos de tamanh o 1/4

Triângulo de Sierpinsky

EXEMPLO DE GERAEXEMPLO DE GERAEXEMPLO DE GERAEXEMPLO DE GERAÇÇÇÇÃO DE UM FRACTAL: ÃO DE UM FRACTAL: ÃO DE UM FRACTAL: ÃO DE UM FRACTAL: O FLOCO DE NEVE DE KOCHO FLOCO DE NEVE DE KOCHO FLOCO DE NEVE DE KOCHO FLOCO DE NEVE DE KOCH

1 2

3 4

SUGESTÃO PARA SALA DE AULA: INVESTIGANDO O TRIÂNGULO DE SIERPINSKY COM O GEOPLANO

ATIVIDADE: O TRIÂNGULO DE SIERPINSKY

1) Supondo que a área do triângulo inicial é 1 unidad e, prove que, à medida o número de transformações aumenta, a área do triângulo de Sierpinsky tende para 0.

2) Exprima, em função da iteração ( n), a área An do menor triângulo colorido da iteração n da construção do triângulo de Sierpinsky.

3) Mostre que, apesar da área do triângulo de Sierp inskytender para 0, o perímetro total dos triângulos ten de para ∞∞∞∞ .

SOLUÇÃOÁrea total dos buracos: 0Área total do triângulo de Sierpinski: 1

Número de novos buracos: 1Área de cada novo buraco: ¼Área total dos novos buracos : 1 x ¼ = ¼Área total dos buracos: ¼Área total do triângulo de Sierpinski: 1- ¼

Número de novos buracos: 3Área de cada novo buraco: 1/16Área total dos novos buracos: 3 x 1/16 = 3/16Área total dos buracos: 1/4 + 3/16Área total do triângulo de Sierpinski: 1 - 1/4 - 3/16

Número de novos buracos: 9Área de cada novo buraco: 1/64Área total dos novos buracos: 9 x 1/64 = 9/64Área total dos buracos: 1/4 + 3/16 + 9/64Área total do triângulo de Sierpinski: 1 - 1/4 - 3/16 - 9/64

1) Portanto a área dos buracos é assim dada por:

PG, ilimitada, de razão igual a ¾

Calculando-se o limite dessa soma, quando o número de parcelas tende ao infinito, teremos:

n → ∞

∞→

=

n

q - 1

a S lim 1

n

LEMBRETE

A área dos buracos tende de fato para 1 .

Tendo em conta que : Área do triângulo de Sierpinsky = 1 - Área dos buracos, conclui-se que a área do triângulo de Sierp inskytende para zero.

2) Facilmente se observa que a área do menor triângulo colorido éigual à área do menor buraco da iteração n, portanto, pelo que vimos anteriormente, a área do menor triângulo colorido da iteração n é (1/4)n

3) Se chamarmos o perímetro do primeiro triângulo de 3 L , teremos que na primeira interação, o perímetro passará a ser igual a (3 L + L/2 + L/2 + L/2 = 4,5 L ou 3L x 1,5.

Analogamente, na segunda interação, teremos que o perímetro será igual ao anterior (4,5 L) + 3 x (L/4 + L/4 + L/4) = 4,5 L + 9L/4 = 27L/4 = 6,75 L.

Acontece que 6,75 L é igual a 4,5 L (perímetro anterio r) multiplicado por 1,5. ... Logo ...

Conclusão: temos que a seqüência dos perímetros é tam bém uma PG, só que crescente (razão 1,5) e que, quando n tende r ao infinito, o perímetro (1,5) n - 1 x 3L, tenderá também a infinito.

Essa atividade nos mostra uma propriedade importante qu e ocorre nos fractais: Uma curva com perímetro tendendo ao infi nito, mas com área finita.

EXEMPLOS DE FRACTAIS ANIMADOSEXEMPLOS DE FRACTAIS ANIMADOSEXEMPLOS DE FRACTAIS ANIMADOSEXEMPLOS DE FRACTAIS ANIMADOS

APLICAAPLICA ÇÇÕES DOS FRACTAISÕES DOS FRACTAISNos últimos 20 anos, a geometria fractal e seus

conceitos têm se tornado uma ferramenta central em muitas ciências, como: geologia, medicina, meteorologia, entre outros.

Ao mesmo tempo, fractais são do interesse de designers gráficos e cineastas pela sua habilidade de criar formas novas e mundos artificiais mais realistas.

Na Computação Gráfica, fractais, entre outras coisas, são utilizados para representar elementos d a Natureza como crateras, planetas, costas, superfícies lunares, plantas, ondulações em águas, representação de nuvens; também são de grande importância para a criação de efeitos especiais em filmes, como por exemplo a criação do planeta Gênesis no filme Jornada nas Estrelas 2.

Os fractais auxiliam na criação de novas formas e mundos artificiais mais realistas, e na representação de elementos da natureza que a geometria tradicional não pode representar.

A geometria fractal ajuda a aproximar as ciências n aturais e a computação da pesquisa matemática, e é utilizada como instrumento principal em várias ciências:

Na biologia - Estudo da influência da superfície irr egular das proteínas nas iterações moleculares;

Na geografia - A descrição e caracterização de falha s sísmicas e, por conseguinte, terremotos são obtidos através do estudo de sua estrutura fractal. Além de terremotos, outros fenômenos geológicos podem ser estudados como, por exemplo, a dinâmica dos vulcões . Os fractais ainda podem ser usados na criação de mode los de crescimento demográficos.

Na computação - Geração de terrenos e atmosfera com modeladores gráficos; criação de softwares de compactação de imagens (zipadores); criptografia, codificação e decodificação de áudio e vídeo.

Hoje em dia a compactação fractal de imagens disputa a preferência das empresas através do processo JPEG, uma da s mais usadas atualmente. A compressão fractal de imag ens vai ganhando espaço (a Microsoft, por exemplo, adotou es se método na sua enciclopédia Encarta) .

Na Medicina - Várias patologias cardíacas nada mais são que a falta de regularidade nas batidas do coração. Taquicar dia e fibrilação, entre elas. Pesquisadores têm estudado a d inâmica do coração, bem como condições de suspensão e indução d a fibrilação. Isto tem permitido a criação de equipament os desfibriladores mais eficientes.

O câncer ainda é uma moléstia a ser vencida. Além de no vas terapias, os cientistas estudam novas formas de diagn óstico para que a identificação de tumores seja precisa e cada ve z mais prematura. Uma das diferenças entre células sadias e d oentes estános diferentes padrões de crescimento de cada tipo. O exame destes padrões, utilizando recursos de geometria fract al, pode ser a chave para a criação de um sistema de detecção do câncer por computador ( Ciência Hoje, ago. 1998 ).

Análise fractal do crescimento de tumores cerebrais in vitro.

Por que a Geometria Fractal nas Por que a Geometria Fractal nas Por que a Geometria Fractal nas Por que a Geometria Fractal nas salas de aula?salas de aula?salas de aula?salas de aula?

�Conexões com várias ciências e com situações do coti diano.�Deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo de formas da natureza. Os objetos naturais são com freqüência mais complicados e exigem uma geometria mais rica, que os modela com fractais. �Difusão e acesso aos computadores e a tecnologias da informática nos vários níveis de escolarização;�Existência do belo nos fractais e possibilidade do despertar e desenvolver o senso estético com o estudo e arte ap licada àconstrução de fractais, entendendo-se arte como toda ação que envolve simultaneamente emoção, habilidade e criativ idade;�Sensação de surpresa diante da ordem na desordem.�Possibilitar momentos de investigação e envolviment o na elaboração de conjecturas e aprendizagens significati vas.

AMPLIANDO OS CONHECIMENTOS

REFERÊNCIAS

BARBOSA , R M, Descobrindo a Geometria Fractal. Autência Editora, BH: 2002.MANDELBROT, B – Objetos Fractais. Coleção Ciência Aberta, Gradiva, 1992. Site: http://www.caa.uff.br/~aconci/Fractais.htmlSite: http://www.inf.ufsc.br/~visao/fractais.htmlSite: www.apm.pt/mt/jogos/fractal/

ANEXO: ALGUNS FRACTAIS NATURAIS

ANEXO: ALGUNS FRACTAIS CONSTRUÍDOS