2ELE030 – Circuitos Elétricos I – Prof. Ernesto – Gabarito da 1ª prova – 18/04/2013 – Pág. 1

OBS: Prova sem consulta; Permitido uso de calculadora; Respostas sem os cálculos ou justificativas serão desconsideradas.

Questão 1: Para o circuito ao lado, encontre as três correntes de malha j1, j2 e j3 [3,6 pontos]. Em seguida, encontre as correntes (mostre o sentido) em todos os bipolos do circuito [1,6 pontos].

Questão 2: No circuito ao lado, formule as matrizes do método de nós. [1,2 pontos]

Use a forma CBA ====⋅⋅⋅⋅ , onde:

A = matriz dos coeficientes;

C = vetor das fontes;

B = vetor das variáveis = [e1 e2 e3]T.

Questão 3: No circuito ao lado, use as leis de Kirchoff e as definições para calcular em relação à carga de 25Ω:

(a) a tensão de Thévenin Vth; [1,2 pontos] (b) a corrente de Norton In. [1,2 pontos]

Use os resultados encontrados anteriormente e as leis de Kirchoff para encontrar a potência fornecida pela fonte controlada. [1,2 pontos]

Consultas para a prova

+-

VTH

RTH

IN RTH

A A

B B

(a) Thévenin (b) Norton

Definições:

VTH = VAB (aberto)

RTH = RAB (aberto com fontes nulas)

IN = IAB (curto)

Propriedade: VTH = RTH ⋅ IN

2ELE030 – Circuitos Elétricos I – Prof. Ernesto – Gabarito da 1ª prova – 18/04/2013 – Pág. 2

Questão 1:

Na malha 1:

j1 = iX (por inspeção)

10 j1 + 5 (j1 - j3) + 15 (j1 - j2) = 0

30 j1 - 15 j2 - 5 j3 = 0

6 j1 - 3 j2 - j3 = 0

j3 = 6 j1 - 3 j2 [Eq. 1.1]

Na malha 2:

15 (j2 - j1) + 5 (j2 - j3) + 5 j2 = 40

- 15 j1 + 25 j2 - 5 j3 = 40

- 3 j1 + 5 j2 - j3 = 8

Usando a Eq. 1.1, teremos:

- 3 j1 + 5 j2 - 6 j1 + 3 j2 = 8

- 9 j1 + 8 j2 = 8 [Eq. 1.2]

Na malha 3:

5 (j3 - j2) + 5 (j3 - j1) + 2 j3 = - 15 iX

Como iX = j1, teremos:

12 j3 - 5 j2 - 5 j1 = - 15 j1

12 j3 - 5 j2 + 10 j1 = 0

Usando a Eq. 1.1, teremos:

12(6 j1 - 3 j2 ) - 5 j2 + 10 j1 = 0

82 j1 - 41 j2 = 0

j2 = 2 j1

Substituindo na Eq. 1.2, teremos:

- 9 j1 + 8 (2 j1 ) = 8

j1 = 8 / 7 = 1,1429 A

Disto:

j2 = 2 j1 = 16 / 7 = 2,2857 A

j3 = 6 j1 - 3 j2 = 0 A

Figura 1.1 – Correntes nos bipolos.

Relacionando as correntes nos bipolos (vide Figura

1.1) com as correntes de malha, teremos:

iX = j1 = 8 / 7 = 1,1429 A

i1 = j2 - j1 = 1,1429 A

i2 = j1 - j3 = 1,1429 A

i3 = j2 - j3 = 16 / 7 = 2,2857 A

i4 = j2 = 2,2857 A

i5 = - j3 = 0 A

Questão 2:

Usando as regras do método de nós:

• aii = soma das condutâncias ligadas ao nó i;

• aij = -(soma das condutâncias entre os nós i e j);

• ci1= (fontes de corrente que entram no nó i) -(fontes de

corrente que saem do nó i),

teremos:

====

⋅⋅⋅⋅

++++++++−−−−−−−−

−−−−++++++++−−−−

−−−−−−−−++++++++

0

15

0

3

2

1

111

71

21

71

21

71

71

51

31

51

21

51

51

21

11

e

e

e

2ELE030 – Circuitos Elétricos I – Prof. Ernesto – Gabarito da 1ª prova – 18/04/2013 – Pág. 3

Questão 3:

(a) Cálculo de VTH: Inserindo uma variável iX

(corrente no resistor de 15 Ω) e fazendo a análise

de nós, usando as leis das correntes de Kirchoff,

encontramos a Figura 3.1.

Figura 3.1 – Cálculo de VTH.

Observamos que: VTH = 15 iX + 50 iΦ

Na malha externa temos:

15 iX + 50 iΦ - 20 iΦ - 660 + 5 iX = 0

iX = 33 - 1,5 iΦ [Eq. 3.1]

Na malha 1:

-20 iΦ + 10 (iΦ - iX) + 50 iΦ = 0

40 iΦ - 10 iX = 0

iX = 4 iΦ

Substituindo na Eq. 3.1, teremos:

4 iΦ = 33 - 1,5 iΦ

5,5 iΦ = 33

iΦ = 6 A

iX = 4 iΦ = 24 A

Disto: VTH = 15 iX + 50 iΦ = 660 V

(b) Cálculo de IN: Inserindo uma variável iX

(corrente no resistor de 15 Ω) e fazendo a análise

de nós, usando as leis das correntes de Kirchoff,

encontramos a Figura 3.2.

Figura 3.2 – Cálculo de IN.

Na malha 1:

-20 iΦ + 10 (iΦ - iX) + 50 iΦ = 0

40 iΦ - 10 iX = 0

iX = 4 iΦ

Na malha 2:

-50 iΦ -15 iX = 0

Usando o resultado da malha 1, temos:

-50 iΦ -15 (4 iΦ ) = 0

-110 iΦ = 0

Logo:

iΦ = 0

iX = 4 iΦ = 0

Usando estes resultados na malha externa, teremos:

- 20 iΦ - 660 + 5 ( iX + IN ) = 0

2ELE030 – Circuitos Elétricos I – Prof. Ernesto – Gabarito da 1ª prova – 18/04/2013 – Pág. 4

0 - 660 + 5 ( 0 + IN ) = 0

5 IN = 660

Disto: IN = 132 A

Cálculo da Potência na fonte controlada:

O RTH do circuito em relação à carga de 25 Ω será

dado por: RTH = VTH / IN = 660 / 132 = 5 Ω.

Disto, o equivalente Thévenin do circuito com a

carga de 25 Ω é mostrado na Figura 3.3.

Figura 3.3 – Equivalente Thévenin com a carga.

A corrente i25 no resistor de 25 Ω será dada por:

i25 = 660 / (5 + 25) = 22 A

Fazendo a análise de nós, usando leis das correntes

de Kirchoff, encontramos a Figura 3.4.

Figura 3.4 – Circuito com a carga de 25 Ω.

Na malha 1:

-20 iΦ + 10 (iΦ - iX) + 50 iΦ = 0

40 iΦ - 10 iX = 0

iX = 4 iΦ

Na malha 2:

-50 iΦ -15 iX + 25 i25 = 0

-50 iΦ -15 iX + 25 (22) = 0

-10 iΦ -3 iX + 5 (22) = 0

Usando o resultado da malha 1, temos:

-10 iΦ -3 (4 iΦ )+ 5 (22) = 0

-22 iΦ = -110

Logo:

iΦ = 5 A

Assim, a corrente que passa na fonte controlada

será: iΦ + i25 = 5 + 22 = 27 A.

A tensão nessa fonte será: 20 iΦ = 100 V.

Finalmente, a Potência na fonte controlada (usando

a convenção gerador) será dada por:

Potência = 100 V · 27 A = 2.700 W