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3 ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E A ARMADURA. FISSURAÇÃO
3.1 Introdução
Na compressão e na tração antes da fissuração, a armadura e o
concreto vizinho possuem iguais deformações. Tão logo haja fissuração do concreto,
essas deformações, nas proximidades da fissura, passam a ser diferentes: a
armadura alonga-se mais do que o concreto. A diferença de alongamentos entre
ambos os materiais implica na existência de deslizamento da armadura em relação
ao concreto. A quantidade de deslizamento, proveniente de cada lado da e medida
na fissura, é igual à própria abertura da fissura. No primeiro caso, em que há
igualdade de deformações, tem-se a chamada aderência rígida, pois não há
deslizamento; no segundo caso em que os alongamentos diferem entre si, esta
aderência é chamada deslizante ou móvel.
O estudo da aderência deslizante entre as barras da armadura e o
concreto que as envolve está, portanto, intimamente relacionado com a fissuração.
Sobre este tema há na literatura específica muitos trabalhos, com diferenças de
abordagem do problema. Pode-se distinguir duas formas de tratamento do problema.
Na primeira, devida a pesquisadores canadenses e norte-americanos ( Collins e
Mitchell (1986), Hsu e Belarbi (1994), entre outros), não se faz uma consideração
direta da lei tensão de aderência em função do deslizamento, mas antes
estabelecem-se leis constitutivas do aço e do concreto em termos de deformações
médias. Na deformação média do concreto, igual à da armadura, incluem-se o seu
efetivo alongamento médio entre fissuras e as aberturas destas, transformadas em
deformação, dividindo-as pela distância entre fissuras, as quais são, assim,
espalhadas ao longo da peça fissurada. Novamente, transforma-se o descontínuo
num contínuo equivalente. Na segunda forma, devida a pesquisadores europeus, o
problema é tratado por meio da definição de uma lei tensão de aderência em função
63
do deslizamento. Desta decorre, como simplificação, uma lei tensão da armadura na
fissura associada à sua deformação média. Em qualquer uma dessas formas de
tratamento do problema, fica considerado o chamado efeito de enrijecimento das
barras da armadura na tração (tension stiffening), em contraposição à barra nua.
Este fenômeno precisa ser considerado na determinação das deformações dos
elementos estruturais, não só antes, mas também após o escoamento do aço.
Procura-se, a seguir, mostrar alguns aspectos da segunda forma de
tratamento através da lei tensão de aderência-deslizamento, ou da lei tensão da
armadura na fissura associada à sua deformação média, ambas dadas no MC-90, e
derivadas do trabalho de Eligehausen, Popov e Bertero. Além desta, menciona-se
também o modelo de Sigrist (1995). No primeiro caso, tem-se uma lei
aparentemente bastante complexa, a qual procura abarcar o maior número de
influências possível; ao passo que no segundo tem-se uma lei tensão de aderência-
deslizamento bem mais simples, do tipo rígido-plástica, com dois níveis de tensão
(média) de aderência: o maior ocorre para deformações na armadura inferiores à de
escoamento, o menor em caso contrário. O argumento destes dois modelos é, como
não pode deixar de ser, a concordância com os respectivos resultados experimentais
considerados. Entretanto, como se afirma nos diferentes trabalhos, nenhum deles
pode ser considerado como totalmente definitivo. Apesar disso, estas diferenças
tendem a diminuir quando se considera o elemento estrutural propriamente,
subordinado a condições de equilíbrio, compatibilidade e demais leis constitutivas.
3.2 Lei Tensão de Aderência-Deslizamento do MC-90
Seja o tirante armado da Fig. 3.1 sujeito à ação de uma carga F,
monotônica e crescente. No tirante seja também a seção B onde já existe uma
fissura. Nela o concreto terá deslocado cu e a armadura su , em cada lado desta
seção. No caso de uma única fissura os respectivos deslocamentos de cada
material, à esquerda e à direita de B, são iguais. No que segue admite-se que a
seção permaneça plana após deformar-se.
64
Fig. 3.1: Tirante com uma fissura, deslizamento entre a armadura e o concreto, deformações nos dois materiais, equilíbrio da barra da armadura.
O deslizamento entre os dois materiais numa determinada seção
próxima de B é igual a:
)()()( xuxuxs cs −= (3.1)
e sua variação ao longo da barra é dada por:
)()( xxdxdu
dxdu
dxds
cscs εε −=−= (3.2)
Esta variação ocorre no chamado comprimento de transmissão tl ,
onde há deslizamento. Nele a força da armadura na fissura, a mesma aplicada no
tirante, é transmitida, por aderência ao concreto e pela própria armadura, à seção
F F
A B
FF
bτ
dx
sF (x) + (x)s F- FFs(x) = F c(x) d
(x)
φs
x
ε
εc = sεεs(x)
(x)cε
ltuse
ceues sd
ucd
usd
PDN
sφ
65
composta, quando então as deformações nos dois materiais são iguais (aderência
rígida).
Na seção B tem-se uma fissura cuja abertura w resulta da soma dos
deslizamentos es e ds , respectivamente à esquerda e à direita desta seção, i. e.:
decdsdcese ssuuuuw +=−+−= )()( (3.3)
À força )(xFs da armadura ao longo do comprimento de transmissão
correspondem as deformações no aço e no concreto, )(xsε e )(xcε . Por equilíbrio no
elemento de comprimento dx , Fig. 3.1, tem-se, indicando-se por sφ o diâmetro da
barra e por bτ a tensão de aderência atuante na superfície lateral da barra:
)(xdxdF
dxdF
bscs τπφ=−= (3.4)
ou:
)()()(
4
2
xdx
xdAdx
xdbs
cc
ss τπφσσπφ=−=
donde resulta, pondo-se css A42πφρ = , onde cA é a área da seção de concreto:
)(4)(1)(x
dxxd
dxxd
bs
c
s
s τφ
σρ
σ=−= (3.5)
Observe-se que a variação da tensão no concreto é, em módulo e a menos de uma
constante, igual à do aço.
Dadas as leis constitutivas dos materiais, as derivadas das tensões
em (3.5) podem ser postas em função das deformações do aço e do concreto.
Considerando-se que o aço pode estar plastificado, define-se stE como o módulo de
66
deformação tangente do aço, admitido simplificadamente como constante e não
nulo. Logo:
)(4)()(x
dxxdE
dxxdE b
s
c
s
csst τ
φε
ρε
=−= (3.6)
Derivando-se (3.2) e considerando-se (3.6), resulta a equação diferencial que une o
deslizamento e a tensão de aderência:
)1()(4)(
2
2
sstst
b
s Ex
dxxsd ρα
τφ
+= (3.7)
onde cstst EE=α .
Não há maior interesse aqui em considerar o módulo de deformação
tangente do aço como variável, pois após a plastificação da armadura esta equação
tem, em geral, de ser resolvida por integração numérica. Antes do escoamento este
módulo é o próprio módulo de elasticidade do aço sE . Observe-se que a expressão
do parênteses de (3.7) é igual a 1, se o alongamento do concreto for desprezado em
face do alongamento do aço. Adiante mostra-se uma solução desta equação para a
fase elástica da armadura. A solução da equação diferencial que une o deslizamento
e a tensão de aderência pressupõe o conhecimento da lei constitutiva )(sbτ , bem
como das condições de contorno de cada problema. Esta lei, representada na Fig.
3.2, assume a seguinte forma, cf. o MC-90, item 3.1.1:
αττ )(1
max ss
bb = 10 ss ≤≤ (3.8a)
maxbb ττ = 21 sss ≤≤ (3.8b)
))((23
2maxmax ss
ssbfbbb −
−−−= ττττ 32 sss ≤≤ (3.8c)
67
bfb ττ = 3ss ≥ (3.8d)
Fig. 3.2: Lei tensão de aderência-deslizamento, cf. o MC-90.
Os seis parâmetros destas quatro equações estão resumidos na
Tabela 3.1. Nesta tabela tem-se ckf em MPa e o expoente α constante. Os
parâmetros aí indicados são valores médios e pressupõem barras nervuradas, cuja
área relativa Rf é aproximadamente igual ao seu valor mínimo. As grandezas
referentes ao deslizamento, 1s , 2s e 3s , e as referentes à resistência, maxbτ e bfτ ,
devem ainda ser multiplicadas pelo fator:
12,0 ≤=s
xd
dφ
β (3.9)
onde xd é a distância ( sφ5≤ ) medida a partir da fissura até o ponto considerado,
onde se calculam as grandezas que interferem no problema (Fig. 3.3).
Conforme mencionado no item 3.1 do MC-90, o ramo ascendente da
curva )(sbτ refere-se ao estágio em que as nervuras penetram na matriz da
argamassa, caracterizado por esmagamento local e microfissuração do concreto
envolvente. O ramo horizontal só ocorre para concreto confinado, e deve-se a
esmagamento em fase avançada e a corte do concreto entre as nervuras. O ramo
linear descendente deve-se à redução da resistência de aderência por fissura de
separação ao longo da barra da armadura, e o ramo horizontal subseqüente
s
ττbmax
bfτ
s1 2s 3s
68
representa a capacidade residual de aderência, mantida pela existência de uma
armadura transversal mínima. Para maiores detalhes, ver o MC-90, item 3.1.1.
Tabela 3.1: Parâmetros para a definição da lei tensão de aderência-deslizamento, cf. o MC-90.
1 2 3 4 Concreto não-confinado, ruptura por
fissuração longitudinal à barra Concreto confinado, ruptura por corte
do concreto entre nervuras
Zonas de boa aderência
Todas as demais zonas
Zonas de boa aderência
Todas as demais zonas
1s (mm) 0,6 0,6 1 1
2s (mm) 0,6 0,6 3 3
3s (mm) 1 2,5 Espaçamento entre nervuras
Idem
α 0,4 0,4 0,4 0,4
maxbτ ckf2 ckf ckf5,2 ckf25,1
bfτ max15,0 bτ max15,0 bτ max4,0 bτ max4,0 bτ
Considere-se agora o ramo ascendente dado pela Equação (3.8a).
Embora exista um trecho inicial próximo à fissura no qual a aderência é destruída,
considera-se válido este ramo ascendente também para distâncias próximas da
fissura. Ver a Fig. 3.3, onde se indica por ss φ20 ≅ o trecho sem aderência próximo à
fissura. Para considerar este fato, o valor médio da tensão de aderência, no trecho
onde há deslizamento, é reduzido no MC-90 em 10%. Observe-se também que a
tensão de aderência é máxima onde o deslizamento o for, quando na realidade
aquela deve ser nula na fissura. Esta correção é realizada pelo coeficiente dβ ,
Equação (3.9). Nas soluções que seguem estes dois fatos não estão considerados.
Com estas considerações, é possível integrar analiticamente a
Equação (3.7), para estágios do carregamento anteriores ou próximos do
escoamento da armadura. Pondo-se nesta equação sst EE = e css EE=α , resulta
para a fase elástica:
69
Fig. 3.3: Distribuição das deformações e tensão de aderência no comprimento de transmissão.
)1()(4)(
2
2
sss
b
s Ex
dxxsd ρα
τφ
+= (3.10)
De (3.8a) obtém-se )(xs em função de )(xbτ :
α
ττ 1
max1 ]
)([)(
b
b xsxs = (3.11)
Para integrar a equação diferencial (3.10) põe-se:
p
ckbb xfKx 3/2)( =τ (3.12)
onde bK e p são constantes a serem determinadas identificando-se, na seção
genérica distante x do ponto de deslizamento nulo (PDN), os deslizamentos )(xs
obtidos das equações (3.10) e (3.11), nelas já se inserindo a (3.12). Assim, resultam:
=
ε
cε
εc x
εs
(x)
sε (x)
F
tl
PDNφs
φs≈2
x
5 sφ
τbm
τb(x)
fissura
(II)(I)
70
pss
s
ckb
s
xEfK
dxxsd )1(4)( 3/2
2
2
ραφ
+= (3.13)
1
13/2
)1()1(4)( C
px
EfK
dxxds p
sss
ckb
s
++
+=+
ραφ
(3.14)
α
τρα
φ1
max
3/2
121
23/2
][)2)(1(
)1(4)(b
pckb
p
sss
ckb
s
xfKsCxC
ppx
EfK
xs ≡++++
+=+
(3.15)
A constante de integração 2C é sempre nula, uma vez que no PDN
tem-se 0)0( =s , mas a constante 1C não é necessariamente sempre nula, pois ela é
igual à diferença de deformações do aço e do concreto no PDN, cf. Equação (3.2).
Por esta razão, a presente integração é limitada aos casos em que
0)0()0( == dxdss , com o que ambas constantes são nulas. Isso ocorre no problema
da Fig. 3.3. De (3.15) resultam:
αα
−=
12p (3.16)
ααα
αα
φρατ −
−
+−+
= 12
13/2
11
max ])1(
)1()1(2[
)(
ss
ss
ck
bb Esf
K (3.17)
A tensão de aderência ao longo da abscissa x é dada por:
αα
τ −= 12
3/2)( xfKx ckbb (3.18)
O deslizamento correspondente resulta igual a:
α−= 12
)( xKxs s (3.19)
onde
71
α
τ1
max
3/2
1 ][b
ckbs
fKsK = (3.20)
As tensões na armadura e no concreto decorrem de (3.5):
αα
σσσ −+
+== 11
)0()( xKxxsss (3.21a)
αα
φσ +−=
114 3/2
ckbs
fKKs
(3.21b)
e
αα
σσσ −+
−== 11
)0()( xKxxccc (3.22)
com
scKK s σσ ρ= (3.23)
Considere-se como uma primeira aplicação destas equações o
ensaio de arrancamento de uma barra de armadura (Fig. 3.4), através do qual
obtém-se o comprimento de ancoragem reta bl , e, neste comprimento, a tensão
média de aderência bmτ e a relação entre as deformações do aço média e na borda
do corpo onde se aplica a força F . Na borda oposta são nulas as tensões no aço e
no concreto, a tensão de aderência e o deslizamento.
De (3.21a) resulta o comprimento de ancoragem:
αα
σ
+−
= 11
)(s
Kf
l yb (3.24)
Neste comprimento a tensão média de aderência é igual a:
72
b
ysbm l
f4
φτ = (3.25)
Fig. 3.4: Ensaio de arrancamento.
A deformação média na armadura resulta de sua tensão média
dividida pelo módulo de elasticidade do aço. A integral de (3.21a) dividida por bl e
por sE é:
αα
σαε −+−= 1
1
)(2
1b
ssm l
EK
s (3.26)
Considerando-se as condições da Tabela 3.1, coluna 1, zona de boa
aderência, concreto não-confinado, e os dados adicionais seguintes:
GPaEs 200= , MPaf y 500= e 0≅sssρα , obtém-se a Fig. 3.5, onde estão indicadas
as relações ctmbm fτ e sbl φ em função do diâmetro da barra, para três valores de
ckf , sendo 3/23,0 ckctm ff = , em MPa. Na Fig. 3.5a observa-se que a tensão média de
aderência cresce com o diâmetro da barra e está no intervalo (1 a 75,1 ) ctmf . Na Fig.
3.5b vê-se que o quociente sbl φ decresce com a mesma variável. A relação entre
as deformações média e de escoamento, sysm εε , é constante e igual a 3,0 . Se for
τbm
sφ=
l
Fπ sφ
4
2fy
b
x
73
considerada zona de má aderência, este último quociente é o mesmo, sbl φ é cerca
de 64,1 vezes maior, e a tensão média de aderência é 62,0 )64,11(= vezes menor.
O deslizamento máximo que se dá na extremidade carregada é igual ao produto da
deformação média do aço pelo comprimento de ancoragem, desprezando-se a
deformação do concreto:
bsmb llxss ε=== )(max (3.27)
e varia de mm32,0 a mm61,0 para MPafck 20= .
(a) Tensão média de aderência (b) Comprimento de ancoragem
Fig. 3.5: Ensaio de arrancamento, boa aderência, concreto não-confinado.
Sigrist (1995) utiliza a equação tensão de aderência-deslizamento
proposta por Noakowski (1985), a saber:
N
cbb sfK 3/2=τ (3.28)
onde as unidades são mm e MPa , as constantes valem 8,0=bK e 15,0=N , e cf é
a resistência à compressão do concreto (20 a 40 MPa) observada no ensaio. Com
estes dados o valor da tensão média de aderência varia de 3/249,0 cbm f=τ a
3/257,0 cbm f=τ , para diâmetros respectivamente iguais a 10 e 30 mm. De outra forma
0
0,5
1
1,5
2
0 10 20 30
Diâmetro da barra (mm)
Tau-
bm/fc
tm fck=20 MPafck=35 MPafck=50 MPa
01020304050
0 10 20 30
Diâmetro da barra (mm)
lb/d
s fck=20 MPafck=35 MPafck=50 MPa
74
tem-se 63,1)3,0( 3/2 =cbm fτ a 90,1 , valores que se aproximam dos obtidos na Fig.
3.5a para MPafck 20= e diâmetros grandes.
Fig. 3.6: Fissura isolada.
A segunda aplicação das equações (3.17) a (3.21) refere-se à
determinação do comprimento de transmissão tl , da tensão média de aderência
relativa à resistência média à tração do concreto, do quociente entre as deformações
do aço, a média ao longo deste comprimento e a na fissura, bem como da abertura
da fissura, no tirante da Fig. 3.6. Este tirante está sujeito à força F que produz no
concreto, no Estádio I, a tensão ctmf . Esta aplicação refere-se ao estado de
formação de fissuras, a ser mais bem detalhado adiante. A força aplicada no tirante
é igual a:
2)( ssctmssctmc AfAfAF σα =+= (3.29)
Desta equação de equilíbrio obtém-se a tensão da armadura na fissura:
)1(2 sss
ctms
f ραρ
σ += (3.30)
onde css EE=α , css AA=ρ . De (3.21a) resulta:
F F
w
sα ctffct
lt lt
x
PDN
75
3/72)( tctmssts lKflx
sσασσ +=== (3.31)
Logo:
73)(s
Kfls
ctmt
σρ= (3.32)
onde s
Kσ decorre de (3.21b) usando-se a (3.17).
Conhecido o comprimento de transmissão de (3.32), os valores
médios das tensões de aderência e da armadura, e a correspondente deformação
média nesse comprimento são respectivamente iguais a:
s
ctm
t
sbm
fl ρφ
τ41= (3.33)
3/73,0 tctmssmssm lKfE
sσαεσ +== (3.34)
O deslizamento máximo decorre de (3.19), com sK de (3.20):
3/10
max ts lKs = (3.35)
A abertura w da fissura é o dobro deste valor. Estas equações são
aplicadas com os seguintes dados: Concreto: MPafck 35= , MPafctm 21,3= ,
MPafE ckc 35030)8(10 314 =+×= , Aço: MPaf y 500= ; 71,5=sα . A tensão da
armadura na fissura varia de 100 a MPa500 , e para cada valor desta tensão fica
definida uma taxa geométrica da armadura através de (3.30), de modo a manter-se a
tensão no concreto constante e igual a ctmf . Também fica determinada a fração dada
pela Equação (3.37), a ser usada adiante.
76
(a) (b)
(c) (d)
Fig. 3.7: Fase de formação de fissuras para diferentes diâmetros, MPafck 35= , boa aderência. (a)
Tensão média de aderência; (b) Comprimento de transmissão; (c) Abertura da fissura; (d) Quociente
entre as deformações do aço média e na fissura, 2ssm εε .
Na Fig. 3.7 estão representadas as soluções do problema descrito,
para a fase de formação de fissura (fissuras isoladas, sem interferência mútua), em
função da tensão da armadura na fissura, 2sσ . Na Fig. 3.7a vê-se que a tensão
média de aderência ativada no segmento de comprimento tl cresce com a tensão
2sσ , de 5,0( a )5,1 ctmf , e é tanto maior quanto maior for o diâmetro da barra. O
quociente stl φ , Fig. 3.7b, entre o comprimento de transmissão e o diâmetro da
barra também cresce com a mesma variável, mas a influência do diâmetro é inversa
00,5
1
1,52
0 200 400 600
Tensão na armadura na fissura (MPa)
Tau-
bm /
fctm
ds=25 mmds=16 mmds=10 mm
0
10
20
30
40
0 200 400 600
Tensão na armadura na fissura (MPa)
lt / d
s ds=10 mmds=16 mmds=25 mm
00,20,40,60,8
11,2
0 200 400 600
Tensão na armadura na fissura (MPa)
Abe
rtur
a da
fiss
ura
(mm
) ds=25 mmds=16 mmds=10 mm
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 200 400 600
Tensão na armadura na fissura (MPa)
Def
. méd
ia d
o aç
o/de
f.do
aço
na
fissu
ra qualquerdiâmetro
77
do caso anterior. Na Fig. 3.7c tem-se a abertura da fissura w , a qual varia de 13,0 a
46,0 mm , para tensões na faixa 200 a 300 MPa (em serviço), conforme o diâmetro
da barra, e é maior para diâmetros maiores, em igualdade de tensões 2sσ . Na Fig.
3.7d está representada a fração entre as deformações do aço, a média e a na
fissura, 2ssm εε . Excluindo-se tensões muito baixas (<200MPa), esta grandeza pode
ser considerada constante, pois varia pouco, de 0,36 a 0,33. Se neste problema for
considerada a condição de má aderência, este último quociente é o mesmo, como
no primeiro problema. A relação entre ctmbm fτ das zonas de má e de boa aderência
é constante e igual a 0,61. O mesmo ocorre com stl φ , mas a fração inverte-se
( 61,0164,1 = ), i. e., stl φ das zonas de má aderência é 64,1 vezes maior que stl φ
das zonas de boa aderência. A mesma fração existe entre as respectivas aberturas
de fissura, independentemente do diâmetro da barra. Todos estes números são
praticamente iguais aos do primeiro problema.
O MC-90, item 3.2.2, define um coeficiente β , que é um fator de
integração da deformação da armadura ao longo do comprimento de transmissão,
dado por:
)1(
)1(
2
1
2
2
2
12
2
sr
sr
s
sm
sr
s
srsr
sms
εεεε
εε
εεεεβ
−
−=
−−
= (3.36)
onde 2srε é a deformação da armadura na fissura quando se tem no concreto a
tensão ctmf , e 1srε é a deformação na armadura no PDN, para a mesma tensão.
Sendo:
ss
ss
sss
ctm
c
ctm
sr
sr
EfEf
ραρα
αρ
εε
+=
+=
1)1(
12
1 (3.37)
78
esta relação independe de ctf , não importa o quantil desta resistência.
Considerando-se a determinação de β para a fase de formação de fissuras
( 22 srs εε = ), obtém-se dos resultados anteriores o valor de β constante e igual a 7,0 .
Note-se, na Fig. 3.9, que este fator seria igual a 5,0 se sε variasse linearmente. No
MC-90 este valor é igual a 6,0 . A diferença deve-se, possivelmente, à
desconsideração do coeficiente dado pela Equação (3.9) e ao fato de não estar
sendo considerada a fissuração estabilizada.
No capítulo 5 dá-se a solução numérica da Equação (3.7) para o
caso específico do banzo tracionado de peças fletidas, com o que fica considerado o
enrijecimento da armadura na tração, para um quadro de fissuração estabilizada,
incluída a eventual plastificação da armadura.
3.3 Fissuração do Concreto e Espaçamento Médio das Fissuras
A fissuração do concreto origina-se de deformações impostas e/ou
impedidas e das cargas aplicadas na estrutura. No que segue dá-se precedência à
fissuração originada por cargas, pois tem-se em vista estudar os estágios avançados
do carregamento, em que a armadura está próxima do escoamento ou encontra-se
já plastificada. Nestes estágios a influência de deformações impostas ou impedidas
é relativamente pequena. No estudo da fissuração é usual definir duas fases
distintas:
(1) Formação de fissuras: é a fase em que se iniciam e se formam novas
fissuras naquelas seções de menor quociente Resistência/Solicitação, e
geralmente não há interferência mútua entre as fissuras;
(2) Estabilização das fissuras: é a fase em que já se formaram praticamente
todas as fissuras, e para aumento subseqüente da carga só há aumento
das aberturas das fissuras.
79
Fig. 3.8: Ações do estribo na indução da fissuração do concreto.
Outra causa de indução de fissuras são os estribos (Fig. 3.8), pois,
de um lado, reduzem a área da seção transversal de concreto (Fig. 3.8a), e, de
outro, a sua tração induz no concreto, junto ao canto do estribo, tensões de
fendilhamento, através de alongamentos longitudinais que se somam àqueles
originados pela carga (Figs. 3.8b e c). É freqüente encontrar na literatura específica
o espaçamento médio das fissuras identificado com o espaçamento dos estribos.
Entretanto, estes espaçamentos não são necessariamente iguais. Adiante mostra-se
a determinação do espaçamento médio das fissuras considerando-se a influência do
estribo, cf. Kreller (1989).
Para melhor entendimento, a descrição que segue pressupõe um
tirante de concreto armado, como o da Fig. 3.9. Uma grandeza que desempenha um
papel importante no espaçamento das fissuras, na fase de formação de fissuras, é o
comprimento de transmissão, tl , calculado simplificadamente no item anterior.
L Nárea tracionada reduzida pela presençado estribo
DETALHE A DETALHE A
A
A
VISTA A
τb
εcl
(a) Redução da área tracionada de concreto
(b) Concentração de tensões nos cantos do estribo
(c) Alongamento longitudinal no concreto
80
Fig. 3.9
Considerando-se a dispersão da resistência à tração do concreto,
para os quantis de %95 e %5 , tem-se uma variação de %30± em relação à
resistência média ctmf . A variação correspondente em tl , conforme Equação (3.32),
é bem menor e aproximadamente igual a %15± . Isso quer dizer que se erra pouco
na determinação do espaçamento médio das fissuras, se for admitida para o cálculo
do comprimento de transmissão a resistência média à tração do concreto.
No que segue usa-se o valor médio da tensão de aderência bmτ .
(Este deve ser substituído pelo valor característico, bkτ , na determinação da abertura
máxima da fissura em serviço). Na fase de formação de fissuras, como se indica na
Fig. 3.9, o tirante tem trechos no Estádio I, onde são iguais as deformações no aço e
no concreto, e trechos onde há deslizamento entre o concreto e a armadura. A
deformação média do aço, onde há deslizamento, é dada por:
)( 1222 srsrssrssm εεβεεβεε −−=∆−= (3.38)
onde:
PDN
xtltl
ctf
fct
α s
w
FF
=
ε
cmε x βε sr1
sε
cε
∆εsrβ∆εsr
smεc =ε εsr1
A B
81
6,0=β é o já mencionado fator de integração da deformação do aço entre a
fissura e o PDN.
2sε é a deformação da armadura na fissura, inferior ou igual à de
escoamento.
2srε é a deformação da armadura na fissura para a força F tal que a tensão
no concreto seja igual a ctmf . Seu valor decorre da correspondente tensão
da armadura na fissura, Equação (3.30), dividida por sE .
1srε é a deformação da armadura no PDN, e igual à do concreto, para a
mesma força F, i. e., sctmscctmsr EfEf αε ==1 .
12 srsrsr εεε −=∆ é o aumento da deformação da armadura entre o PDN e a
fissura.
O comprimento de transmissão tl é obtido igualando-se a força de
aderência bF , transmitida ao concreto ao longo deste comprimento, com a diferença
de forças da armadura na fissura e no PDN:
srss
sss
tbmsb ElF επφσσπφτπφ ∆=−==4
)(4
2
12
2
(3.39)
Mas 1sσ é a tensão da armadura resultante da aplicação da força 422
ss σπφ na
seção de área ideal )1( sscA ρα+ , onde cA é a área da seção de concreto e
css A42πφρ = é a taxa geométrica da armadura. Logo:
21 1 sss
sss σ
ραρασ
+= (3.40)
e
ss
sss ρα
σσσ+
=−1
212 (3.41)
82
Fig. 3.10
Portanto:
)1(42
ssbm
sstl ρατ
σφ+
= (3.42)
Observe-se que, cf. a Fig. 3.9:
(1) para a dada força F que causou a fissura na seção B de menor
resistência,
(2) se na seção A, distante tl de B, existir a mesma resistência da seção B,
ter-se-ia, somente aí, não antes, formado também outra fissura, simultaneamente
com a primeira. Disso decorre que o menor espaçamento das fissuras é igual ao
próprio comprimento de transmissão tl . Por outro lado, para aumento subseqüente
da força F, a fissura mais próxima de B não poderá distar desta seção mais do que o
dobro deste comprimento, pois do contrário seria possível transmitir ao concreto, por
tensões de aderência, uma força maior do que a de fissuração. Com mais rigor
pode-se dizer que a menor distância das fissuras é igual ao comprimento de
ε
rmS rmS lt43=
tml tml
εs
εc
t32 l=
ε s2ε sm
s1ε
∆εsr2 3
2 3
β∆εsr
83
transmissão calculado com %5,ctf , e a maior distância é igual ao dobro do
comprimento de transmissão calculado com %95,ctf .
Considerando-se concluída a formação de fissuras, existirão no
tirante fissuras com espaçamentos variando aleatoriamente entre tl e tl2 ,
desaparecem todos os trechos no Estádio I, e há diferença de deformações dos dois
materiais em toda parte. O término da formação de fissuras pode ser admitido
quando a força F for tal que corresponda à tensão no concreto igual a %95,ctf , um
valor, portanto, 33,13,04,0%95, ==ctmct ff vezes maior que a força )1( ssctmc fA ρα+ .
A teoria clássica da fissuração assume como espaçamento médio
das fissuras, rms , a média aritmética das distâncias extremas entre fissuras, tl e tl2 ,
supondo a resistência à tração do concreto como uma grandeza determinística. Este
valor do espaçamento médio só seria verdadeiro se o tirante fosse muito longo, pois
neste caso seriam iguais os números de espaçamentos rmrm ss ∆− e rmrm ss ∆+ dentro
daquele intervalo. De fato, comprova-se teórica e experimentalmente que a distância
média das fissuras é %33 maior que o comprimento de transmissão tl . A dispersão
da resistência à tração do concreto foi considerada por Kreller (1989) na
determinação do espaçamento médio das fissuras. Este espaçamento, cf. Equação
(3.60), é igual a tl31,1 , sendo o comprimento de transmissão tl (variável com o
quantil tomado para a resistência do concreto) calculado com o valor médio da
resistência à tração do concreto, ctmf . Assim, pode-se pôr:
)2(32
34
ttrm lls == (3.43)
Mantido o valor médio da tensão de aderência, a força de aderência
reduz-se em 31 , conforme a redução no comprimento de transmissão, agora igual a
322 trm ls = . Ver a Fig. 3.10. Logo, de acordo com a Equação (3.39), resulta:
srssbbm AEFF ε∆==32
32 (3.44)
84
Nesta equação srε∆ é, como já definido, o salto na deformação da armadura na
formação de fissuras isoladas, calculado com ctmc f=σ , donde:
])1([11212 ctmsss
s
ctm
ss
srsrsrsrsr ff
EEαρα
ρσσεεε −+=
−=−=∆
ou
ss
ctmsr E
fρ
ε =∆ (3.45)
Usando-se as equações (3.41), (3.42) e (3.45) obtém-se:
bm
ctm
s
st
flτρ
φ4
=
De (3.43) resulta a expressão do espaçamento médio das fissuras, após a conclusão
da fase de formação de fissuras:
bm
ctm
s
srm
fsτρ
φ31= (3.46)
Pondo ctmbm f25,2=τ ( %10 menor que o valor usual, ctmf5,2 , para considerar a
mencionada destruição da aderência junto à fissura), o espaçamento médio das
fissuras é igual a:
s
srms
ρφ
15,0= (3.47)
e esta expressão coincide com a deduzida por Kupfer et al. (1983). Entretanto, o
MC-90 utiliza no cálculo da abertura característica da fissura o quantil inferior da
resistência média de aderência, bkτ , 20% menor do que o valor de bmτ e igual a
85
ctmf8,1 para fissuração estabilizada. Disto resulta para o cálculo da abertura máxima
da fissura:
s
srms
ρφ
185,0= (3.48)
Todas estas equações relacionadas com o tirante da Fig. 3.9 podem
ser usadas para outras peças, trocando-se a taxa geométrica sρ pela taxa
geométrica efetiva, sefρ , definida adiante.
O EC-2 dá a seguinte equação semi-empírica do espaçamento
médio das fissuras:
sef
srms
ρφ
10,050 += (3.49)
com rms e sφ em mm . Esta equação tem a vantagem de impor no cálculo numérico
um limite inferior para este espaçamento.
(a) (b)
Fig. 3.11: Comparação dos espaçamentos médios das fissuras, cf. o MC-90 e o EC-2.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 1 2 3 4 5 6 7
Taxa geométrica efetiva (%)
Epaç
amen
to m
édio
das
fiss
uras
(m
m)
Equação (3.47), ds = 6,3 mm Equação (3.49), ds = 6,3 mm
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 1 2 3 4 5 6 7
Taxa geométrica efetiva (%)
Espa
çam
ento
méd
io d
as
fissu
ras
(mm
)
Equação (3.47), ds = 25 mm Equação (3.49), ds = 25 mm
86
Mostra-se na Fig. 3.11 a comparação entre as equações (3.49) e
(3.47), para dois valores extremos do diâmetro: 3,6=sφ e mm25 . É visível nestas
figuras que as diferenças entre os valores de rms destas duas equações diminuem
com o aumento do diâmetro da armadura, e são razoavelmente concordantes para
taxas sefρ médias e altas, no caso de diâmetros não muito baixos. Nos dois
exemplos dados adiante (Figs. 3.14 e 3.15) supõe-se válida a Equação (3.43) para o
espaçamento médio do EC-2.
Na fissuração estabilizada, a redução da deformação no aço entre a
fissura e o ponto médio entre fissuras é, cf. Equação (3.44), igual a:
srsm εε ∆=∆32 (3.50)
Com isto a deformação média do aço, igual à deformação média do tirante, cf. a Fig.
3.10, passa a ser, com 6,0=β :
)()(32
1221222 srsrtssrsrssmssm εεβεεεβεεβεε −−=−−=∆−= (3.51)
onde 40,032 == ββ t para cargas instantâneas. Para cargas de longa duração ou
repetidas este valor é alterado para 25,0=tβ . Note-se que a relação 62,040,025,0 =
é a mesma obtida no item anterior, comparando-se grandezas em zonas de boa e de
má aderência.
Na fissuração estabilizada, a força média de aderência transmitida
ao concreto entre a fissura e o ponto de deslizamento nulo é também igual a:
2/rmbmsbm sF τπφ=
Considerando as equações (3.44), (3.50), (3.51) e 6,0=β resulta:
87
s
rm
s
bmsms
sE φτ
εε 2,12 =− (3.52)
com a tensão média de aderência, em MPa, igual a:
32675,025,2 ckctmbm ff ==τ (3.53)
O fator 2,1 em (3.52) pode possivelmente ser explicado pelo fato de
a resistência média à tração do concreto estar em função da resistência
característica ckf , ao invés do valor médio cmf . Para efeito de comparação, no
mencionado modelo de Sigrist não aparece o fator 2,1 de (3.52), e tem-se, antes do
escoamento da armadura, a tensão média de aderência dada em função da
resistência à tração:
326,02 cctbm ff ==τ (3.54)
onde cf é a resistência do concreto na compressão uniaxial, observada no ensaio.
Nesse mesmo modelo a tensão de aderência é reduzida à metade, i. e., ctf , no
segmento da barra em escoamento.
Na determinação da máxima abertura da fissura em serviço o MC-
90, item 7.4.3.1.1, trunca as duas fases mencionadas através da condição seguinte.
Se ocorrer
)1(2 sefsctmssef f ρασρ +> (3.55)
tem-se fissuração estabilizada, do contrário tem-se a fase de formação de fissuras.
Nesta desigualdade:
cef
ssef A
A=ρ é a taxa geométrica efetiva do banzo tracionado.
88
cefA é a área efetiva do banzo tracionado (Fig. 3.12).
Fig. 3.12: Área efetiva do banzo tracionado nas vigas e nas lajes.
A comprovação teórica da Equação (3.43), onde se lê que o
espaçamento médio das fissuras é %33 maior que o comprimento de transmissão,
está dada no trabalho de Kreller, a partir do trabalho de Meier. Nela são necessárias
considerações probabilísticas, como se mostra a seguir.
Sejam dois estados iniciais a partir dos quais é determinada a
distância média entre fissuras (Fig. 3.13):
(1) A distância inicial rs entre fissuras está no intervalo )3,2( tt ll .
(2) A distância inicial rs entre fissuras está no intervalo )4,3( tt ll .
Outros intervalos subseqüentes reduzem-se a estes dois casos, cf. Kreller.
No primeiro caso, entre as duas fissuras já existentes só é possível
formar-se uma única nova fissura, de modo que a distância média entre elas é:
tttrm llls 25,1)5,11(21
1, =×+×= (3.56)
No segundo caso, pode-se igualar a distância entre as duas fissuras já existentes a
tlk )2( + , onde k é uma variável no intervalo )2,1( . Nos dois trechos extremos, de
L N
(a) Viga
h
x
d
hef = 2,5(h-d) ≤ h-x/3h
φs
x
sc + 0,5 φ efh ≤ h-x/3= 2,5(c + 0,5 φ )s
(b) Laje
L N
c = cobrimento
89
Fig. 3.13: Determinação do espaçamento médio das fissuras, cf. Meier, apud Kreller (1989).
comprimento tl e adjacentes às duas fissuras já existentes, não é possível a
formação de novas fissuras. Se ocorrer uma nova fissura no trecho central (I), então
não é possível formar outra fissura. Mas se uma fissura ocorrer num dos trechos (II),
é possível a ocorrência de outra fissura. A distância média entre fissuras deste
segundo caso decorre das probabilidades de ocorrência de uma fissura nos trechos
(I) e (II), e esta distância é uma função de k :
IIrmIIIrmIrm PsPss +=2, (3.57)
onde:
2)2( trmI lks += : distância média das fissuras, se a nova fissura ocorrer na
zona (I).
kkPI )2( −= : probabilidade de ocorrer uma nova fissura só na zona (I).
3)2( trmII lks += : distância média das fissuras, para duas novas fissuras
ocorrendo nas zonas (II).
F F
(I)(II) (II)
tl tltltl
klt
(k+2)lt
(k-1)lt t(k-1)l
t(2-k)lσc
90
kkPII )1(2 −= : probabilidade de ocorrência de duas novas fissuras nas
zonas (II).
Logo, a Equação (3.57) passa a ser:
kkklks t
rm)44(
6)(
2
2,++= (3.58)
Variando-se k entre 1 e 2 obtém-se a distância média através da seguinte integral:
dkk
kl
s trm )14(
6)12(
2
12, ∫ ++=−×
ou
trm ls 38,12, = (3.59)
Admitindo-se igual probabilidade de ocorrência em ambos os casos, a distância
média final será:
ttrmrm
rm llss
s 31,12
38,125,12
2,1, =+=+
= (3.60)
sendo tr ls =min e tr ls 2max = .
Esta é a dedução de Meier, descrita no trabalho de Kreller. Seu
resultado praticamente coincide com o dado no item 3.2.2 do MC-90, trm ls 33,1= , que
por sua vez decorre de resultados experimentais. Nesta demonstração não foi
considerada a dispersão da resistência à tração do concreto. Kreller considera isto,
através do conceito de grau de formação de fissuras, associado à resistência à
tração qctf , correspondente ao quantil q , com %95%5 ≤≤ q , e mostra que a
Equação (3.60) é válida no fim da fase de formação de fissuras, com o comprimento
91
de transmissão tl calculado com a resistência ctmf , i. e., %50=q . E isto é o que foi
considerado antes, na dedução de (3.46) e nos dois exemplos do item 3.2.
Com esta dedução pode-se levar em conta a influência dos estribos
no espaçamento médio das fissuras. Para isto, Kreller faz as seguintes hipóteses:
(1) O estribo é considerado como uma coação na formação de fissuras, e
não se leva em consideração a redução da área de concreto decorrente
da presença do estribo na seção transversal.
(2) Num trecho do elemento estrutural de igual probabilidade para a posição
das primeiras fissuras, estas ocorrem sempre em um estribo.
(3) Toma-se como base o comprimento de transmissão correspondente à
resistência ctmf , e isto quer dizer fissuração estabilizada.
Os seguintes casos podem ocorrer (indica-se por estrs o
espaçamento dos estribos, e por estrrms , o espaçamento médio das fissuras
considerada a influência dos estribos):
Caso I: O espaçamento dos estribos é inferior ao comprimento de
transmissão, i. e., testr ls < .
Na conclusão da formação de fissuras, a distância média entre
fissuras é:
]1)([, +=estr
testrestrrm s
lINTss (3.61)
onde )( estrt slINT é a parte inteira da fração estrt sl . Seu valor mínimo é igual a 1, e
tem-se, então, uma fissura a cada dois estribos. Se este inteiro for igual a 2 tem-se
uma fissura a cada três estribos, e assim por diante.
92
Caso II: O espaçamento dos estribos é inferior ao dobro do
comprimento de transmissão, i. e., testrt lsl 2<≤ .
Neste caso faz-se:
estrestrrm ss =, (3.62)
ou seja, uma fissura a cada estribo. Observe-se que este é o caso mais
freqüentemente admitido em diferentes trabalhos da área.
Caso III: O espaçamento dos estribos é inferior ao triplo do
comprimento de transmissão, i. e., testrt lsl 32 <≤ .
Para este caso põe-se:
2,estr
estrrmss = (3.63)
quer dizer, uma fissura a cada estribo e outra entre dois estribos sucessivos.
Caso IV: O espaçamento dos estribos é inferior ao quádruplo do
comprimento de transmissão, i. e., testrt lsl 43 <≤ .
De acordo com a Fig. 3.13, neste caso a distância tlk )2( + entre as
duas fissuras já existentes, e coincidentes ali com os estribos, é igualada à distância
entre estes, ao invés de ser considerada variável:
testr lks )2( += (3.64)
Com o valor de k desta equação posto em (3.58), resulta:
93
tt
estr
estrestrrm
ll
ss
s)2(6
2
,
−= (3.65)
Os intervalos subseqüentes, na afirmação de Kreller, não têm
significado prático. Como uma tentativa de obter estrrms , por outro caminho, altera-se
a Equação (3.65) com base no seguinte:
(1) Na fase de fissuração estabilizada, com a distância dos estribos superior
a três vezes o comprimento de transmissão, existem já duas fissuras,
uma em cada estribo, como nos segundo e terceiro casos.
(2) O número de espaçamentos das fissuras que se formam entre as duas
coincidentes com os estribos é, evidentemente, inteiro. Este fato não
está considerado pela Equação (3.65).
(3) O espaçamento entre as fissuras no intervalo de dois estribos tanto pode
se aproximar de tl quanto de tl2 , mas o mais provável é que este
espaçamento esteja próximo do espaçamento médio rms que não
contém a influência dos estribos. Supõe-se, no que segue, que o número
de fissuras entre dois estribos quaisquer e sucessivos repita-se nos
demais intervalos entre estribos sucessivos.
Com base nestas considerações propõe-se, nos casos em que
testr ls 3≥ , escolher o espaçamento médio das fissuras como um submúltiplo da
distância entre estribos, de modo que seja mínimo o afastamento entre este
espaçamento e o obtido sem a consideração da influência dos estribos, i. e., com rms
de uma das Equações (3.47) e (3.49). A Equação (3.65) tem como alternativa as
duas seguintes:
1)(,
+=
rm
estr
estrestrrm
ssINT
ss ou
)(,
rm
estr
estrestrrm
ssINT
ss = (3.66a) ou (3.66b)
94
valendo o resultado mais próximo de rms . Na segunda equação, se estrs for um
múltiplo de rms tem-se a igualdade rmestrrm ss =, . Do contrário, a primeira equação leva
a valores de estrrms , abaixo de rms , e a segunda a valores de estrrms , acima de rms .
Deve-se lembrar que estrrms , não pode ser inferior a tl , nem superior a tl2 .
Mostra-se a seguir a comparação entre os resultados teóricos aqui
descritos e os experimentais de Rizkalla, Hwang e El Shahawi, relatados no livro de
Collins e Mitchell (1987). Ver a Fig. 3.14. Estes experimentos evidenciam, em parte,
a influência da armadura transversal sobre o espaçamento das fissuras. Com os
dados da Fig. 3.14 tem-se:
Cobrimento: mmc 19=
Diâmetro nominal das barras: mms 3,11=φ
Área da armadura longitudinal: 2800mmAs =
Área de concreto: 253490800305178 mmAc =−×=
Taxa geométrica da armadura: %5,153490800 ==sρ
Área efetiva de concreto: 237591305)]23,1119(5,2[2 mmAcef =×+××=
Taxa geométrica efetiva da armadura: %13,237591800 ==sefρ
Comparam-se, neste exemplo, somente os espaçamentos médios
teórico e experimental das fissuras. No primeiro caso não há armadura transversal, e
de (3.49) e (3.43) obtém-se mmsrm 103= e mmlt 3,7710375,0 =×= . O espaçamento
médio observado experimentalmente é igual a mm104 , %1 maior.
No segundo caso a armadura transversal tem espaçamento
mmsestr 216= , e sendo:
mmlmmsmml testrt 23232166,1542 =<=≤=
resulta mms estrrm 108, = da Equação (3.63). O resultado experimental é mm96 , %11
menor.
95
Fig. 3.14: Influência da armadura transversal sobre o espaçamento das fissuras, cf. Rizkalla, Hwang e
El Shahawi, apud Collins e Mitchell (1987).
No terceiro caso tem-se mmsestr 102= , e portanto:
mmlmmsmml testrt 6,15421023,77 =<=≤=
donde, cf. Equação (3.62), mms estrrm 102, = , valor coincidente com o medido
experimentalmente.
Desta comparação fica evidente a concordância muito boa entre os
resultados teóricos e experimentais.
Como exemplo no qual pode ocorrer a condição testr ls 3≥ , seja a
viga da Fig. 3.15, de largura mmb 200= e estribos com espaçamentos iguais a
100=estrs , 200 e mm300 . Os resultados estão dados na Tabela 3.2.
96
Fig. 3.15
Tabela 3.2: Espaçamento médio das fissuras com influência dos estribos.
)(, mms estrrm Espaçamento médio das fissuras com
influência dos estribos (%)/ sefs ρφ
)(mmlt Equação
(3.43)
)(mmsrm
Equação (3.49) mmsestr 100= mm200 mm300
10 / 1,77
80 106,5 100
Eq. (3.62) 100
Eq. (3.63) 100
Eq. (3.66a)
10 / 3,28 60,4 80,5 100
Eq. (3.62) 66,7
Eq. (3.66a)
75 Eq. (3.66a)
16 / 2,33 89 119 100
Eq. (3.62) 100
Eq. (3.63)
100 Eq. (3.66a)
16 / 2,92 78,6 105,8 100
Eq. (3.62) 100
Eq. (3.63)
100 Eq. (3.66a)
Nesta tabela observa-se que os espaçamentos médios das fissuras
incluindo-se a influência dos estribos, estrrms , , diferem pouco do espaçamento médio
das fissuras, rms , sem esta influência, e há um número inteiro de espaçamentos
entre os estribos. Se fosse aplicada a Equação (3.65) para 16=sφ , %33,2=sefρ e
mmsestr 300= , resultaria mms estrrm 123, = , que não é submúltiplo de mm300 .
Concluída a determinação do espaçamento médio das fissuras,
pode-se definir o subelemento estrutural cujo comprimento é exatamente igual a este
(a) (b) (c) (d)
45,3mm 34,3mm 48,8mm 54,8mm
= 5Ø10 = 400 mm2As 2Ø16 = 400 mm2 10Ø10 = 800 mm2 4Ø16 = 800 mm2Acef = 22650 mm2 17150 mm2 24400 mm2 27400 mm2
ρsef = 1,77% 2,33% 3,28% 2,92%
c+Ø = 26,3mmt
e = 25mmv
97
espaçamento, e que servirá de base para as análises subseqüentes, na fase de
fissuração estabilizada, com ou sem plastificação da armadura.
3.4 Lei Tensão da Armadura na Fissura Associada à Sua Deformação Média
No item anterior mostrou-se que, na fissuração estabilizada e
armadura com tensão na fissura inferior à de escoamento, a diferença entre as
deformações da armadura na fissura e média é igual a uma constante, Equações
(3.51) e (3.52). Conforme o MC-90, item 3.2.3, a deformabilidade global do banzo
tracionado pode ser descrita pelo valor médio da deformação na armadura, com o
que fica considerado o seu enrijecimento na tração, proveniente da aderência com o
concreto circundante. No que segue, descreve-se resumidamente a lei tensão da
armadura na fissura em função da sua deformação média, )( sms εσ , incluindo-se a
fase pós-escoamento do aço. Esta lei será usada nos capítulos seguintes, na
determinação da rigidez à flexão (capítulo 4) e no cálculo simplificado da capacidade
de rotação plástica (capítulo 5).
Supõe-se que a barra nua tenha uma lei constitutiva, )( ss εσ , bilinear
com encruamento. No Estádio I a deformação média do aço coincide com a sua
deformação na seção não fissurada. O fim desta fase anterior à fissuração é
estabelecido no MC-90 conforme a finalidade da análise, decorrendo daí diferentes
valores da resistência à tração do concreto, conforme o quantil considerado. Na
determinação de deslocamentos são sugeridos os valores médio e característico
inferior desta resistência. No que segue usa-se (principalmente) o valor médio ctmf ,
Equação (2.24). Definida a tensão no concreto com a qual se inicia a fissuração,
obtém-se a tensão correspondente no aço na (primeira) fissura, 1srσ . A conclusão da
fase de formação de fissuras dá-se para um valor da tensão na armadura %33
superior a 1srσ (no MC-90, 13,1 srσ ), conforme mostrado antes. A fase de fissuração
estabilizada ocorre para tensões da armadura na fissura acima deste valor, e é
98
caracterizada por uma reta )( sms εσ paralela à do aço nu, pois o recuo na
deformação, igual à diferença entre a deformação do aço na fissura e a
correspondente deformação média, ou seja, srtsms εβεε ∆=− , é constante. O
coeficiente tβ é igual a 4,0 para cargas de curta duração e 25,0 para cargas
repetidas ou de longa duração, como se viu. E o salto na deformação do aço, srε∆ ,
na passagem do Estádio I para o II decorre de (3.45), usando-se para peças fletidas
sefρ no lugar de sρ .
A fase pós-escoamento é representada pela seguinte equação,
decorrente do trabalho de Kreller (1989):
))(1( 21
sysyk
srsmysm f
εεσδεε −−+= se sussy εεε ≤≤ 2 (3.67)
onde:
shykssys Ef )( 22 −+= σεε é a deformação da armadura na fissura. Ver a Fig.
2.25b.
smyε é a deformação média da armadura no início do escoamento na fissura.
É uma constante e decorre de (3.51) ou (3.52) com sys εε =2 .
8,0=δ é um coeficiente válido para aços de ductilidade tipo A do MC-90 e
MPaf yk 500= . Admite-se, como aproximação, que este coeficiente seja o
mesmo para os aços nacionais CA-50 e CA-60.
1srσ é a tensão da armadura na fissura ao formar-se a primeira fissura. Esta
tensão é função do momento de fissuração e da força normal atuante,
),(1 NM crsrσ . Considera-se, neste texto, a força normal aplicada primeiro e o
momento fletor crescente até atingir a fissuração do banzo tracionado.
99
Observe-se nesta equação que a qualidade da aderência,
representada pelo fator tβ , só aparece em smyε , e está, portanto, excluída na
diferença smysm εε − . Isto terá influência no cálculo da rotação plástica (capítulo 5).
O momento de fissuração que serve de base para a determinação
do salto na deformação entre os Estádios I e II tem aqui uma definição um pouco
diferente da usual, mas coerente com o modelo de tirante adotado para o banzo
tracionado. Este momento, considerada a força normal já atuante, é definido como
aquele necessário para causar a deformação cictmctm Ef=ε na camada mais
alongada da armadura (primeira camada). Esta definição tem em vista evitar os
casos de flexo-compressão em que há fissuração (i. e., a borda tracionada atinge o
alongamento de ruptura do concreto), mas a armadura ainda está comprimida.
Deve-se, é claro, aplicá-la somente aos casos usuais de disposição da armadura
próxima à borda da seção. Tenha-se em mente que:
(1) de um lado, não está considerado o aumento da resistência à tração na
flexão pela ação da fissura coesiva, e que no projeto estima-se a
resistência média do concreto à tração através da Equação (2.24), onde
se tem 3/2ckf , e não através da Equação (2.60), onde se tem 3/2
cmf ,
(2) e, de outro lado, o momento de fissuração, assim definido, é ligeiramente
maior do que o convencional, e com isto é também maior a tensão 1srσ .
Assim, após o escoamento o efeito do enrijecimento da armadura é
ligeiramente maior, pois a deformação média da armadura decai.
No capítulo 5, quando da determinação simplificada da capacidade
de rotação plástica em vigas, retoma-se a definição usual do momento de fissuração
(e ainda com %5,ctf , cf. o MC-90), para efeito de comparação com uma solução mais
rigorosa e independente do momento de fissuração. Mas é evidente que um
enrijecimento maior corresponde a uma melhor qualidade da aderência, com o que
se tem menor deformabilidade (i. e., menor capacidade de rotação plástica, a favor
da segurança no projeto).
Resume-se na Fig. 3.16 a lei simplificada tensão da armadura na
fissura associada à sua deformação média, tirada do MC-90, item 3.2.3, conforme
100
explicado neste item. Deve-se notar que nesta figura sσ é a tensão da armadura na
fissura, aqui indicada por 2sσ , e que srnσ é a tensão da armadura na fissura no fim
da fase de formação de fissuras, igual a 133,1 srσ .
Fig. 3.16: Lei tensão-deformação média da armadura do banzo tracionado (Indica-se também a lei
tensão-deformação da barra nua), cf. o MC-90, item 3.2.3.
A linha cheia entre 1srσ e srnσ pode ser substituída pela linha
tracejada, quando se calculam os efeitos das deformações impostas, conforme dito
no mesmo item do MC-90. Como estas estão sempre presentes, este segmento será
substituído, nos capítulos seguintes, pela linha tracejada.
1
εsy
Es
εsm
fyk
σs
1 Esh
tkf
εsu∆εsr
β ∆εsrt
εs,
εsεsm
σsr1
srnσ
= F / As σs s= F / Aσs
