3 - Apresentacao Oficina Corte 2015

8/19/2019 3 - Apresentacao Oficina Corte 2015

1/70

IMECC - UNICAMP

Métodos de Soma Ponderada e ε−Restrito no

Problema do Corte Unidimensional Bi-objetivo

Angelo Aliano

Antonio Moretti

UNICAMP

11 de junho de 2015

Angelo Aliano Antonio Moretti (UNICAMP) SP e ε−Restrito no PCUIB 11 de junho de 2015 1 / 35


2/70

IMECC - UNICAMP

Sumário

1 Definição e motivação

2 Modelo matemático

3 Métodos de soluçãoε−RestritoSoma Ponderada

4

Resultados preliminares

5 Conclusões preliminares



3/70

IMECC - UNICAMP

Definição e motivação

Definição do problema e motivação

1 O PCUI é um dos problemas mais estudados dentro da

otimização combinatória, devido a sua vasta aplicabilidade em

indústrias que cortam diversos materiais

2 Problema mono-objetivo: cortar, de um rolo mestre maior, itensmenores de modo a atender à demanda e minimizar o

desperdı́cio ou o número de peças cortadas

3 Este problema é N P -difı́cil

4 Além disso, sua formulação envolve um número muito grande devariáveis inteiras, mesmo para pequenas instâncias



4/70

IMECC - UNICAMP












5/70

IMECC - UNICAMP












6/70

IMECC - UNICAMP












7/70

IMECC - UNICAMP



Abordagem bi-objetiva:

1 Considerar outro objetivo a ser concomitantemente minimizado: o

setup2 Esse objetivo é conflitante com o primeiro, i.e., sua minimização

acarreta a piora do outro, e vice-e-versa

3 Ambos possuem igual importância para o problema

4

A quest˜ao

´e estabelecer um trade off entre esses objetivos


D fi i ˜ i ˜


8/70

IMECC - UNICAMP








4

A quest˜ao

´e estabelecer um trade off entre esses objetivos


D fi i ˜ ti ˜


9/70

IMECC - UNICAMP

Definiçao e motivaçao







4 A questão é estabelecer um trade off entre esses objetivos


Definicão e motivacão


10/70

IMECC - UNICAMP








4 A questão é estabelecer um trade off entre esses objetivos


Definicão e motivacão


11/70

IMECC - UNICAMP



L

j = 2

j = 1

i = 1

i = 1

i = 2

i = 3

i = 1

i = 1

i = 3

i = 4

i = 2

i = 3

a1 = (3, 1, 1, 0)T

a2 = (1, 1, 2, 1)T

rolo mestre


Modelo matemático


12/70

IMECC - UNICAMP

Modelo matematico

Modelo matemático

Sejam os seguintes parâmetros

b : número de rolos mestres disponı́vel

Lk : largura do rolo mestre k = 1, ..., b

m : número de itens demandados

l i


13/70

IMECC - UNICAMP

Modelo matematico

Modelo matemático

Definição: padrão de corte factı́vel

Um padrão de corte factı́vel a jk ∈ Nm é factı́vel se satisfaz as

seguintes condições:

m

i =1

l i ·

a ij ≤

Lk ,

(1)

m i =1

l i · a ij ≥ Lk − ∆, (2)

m i =1

a ij ≤ F , (3)

onde ∆ = min1≤i ≤m

{l i } e F o no de facas máximo permitido por padrão


Modelo matemático


14/70

IMECC - UNICAMP

Modelo matematico

Modelo matemático

Variáveis

x jk : frequência do padrão de corte j retirado da bobina mestre k , j = 1, ..., p e k = 1, ..., b

y jk =

1, se x jk > 00, caso contrário

para j = 1, ..., p e k = 1, ..., b


Modelo matemático


15/70

IMECC - UNICAMP

Modelo matemático

O modelo inteiro para o PCUIB é apresentado a seguir:

Minimize z 1 =b

k =1

p

j =1

x jk

Minimize z 2 =

b

k =1

p

j =1

y jk

sujeito a

b

k =1

p

j =1

a ijk · x jk ≥ d i , i = 1, ...,m ,

x jk ≤ N · y jk , j = 1, ...,p , k = 1, ..., b ,

x jk ≥ y jk , j = 1, ...,p , k = 1, ..., b ,y jk ∈ B, x jk ∈ N, j = 1, ...,p , k = 1, ..., b ,

(4)

onde N é um limitante superior para x jk


Modelo matemático


16/70

IMECC - UNICAMP

Modelo matemático

O modelo anterior têm vários fatores complicadores:

1 Se a jk não for fornecido a priori , o problema é não-linear

2

Se a jk é fornecido, não há garantia de se obter a fronteira dePareto ótima global

3 Sua versão linear (fornecendo os padrões a jk ) possui uma

relaxação linear muito fraca

4 Bi-dimensionalidade da função objetivo


Modelo matemático


17/70

IMECC - UNICAMP

Modelo matemático



2






Modelo matemático


18/70

IMECC - UNICAMP

Modelo matemático



2






Modelo matemático


19/70

IMECC - UNICAMP

Modelo matemático



2






Métodos de solução


20/70

IMECC - UNICAMP


1 Fornecer os p padrões de Gilmore-Gomory para a formulação (4)

2 Obtemos, assim, uma versão linear para o mesmo3 Duas abordagens distintas foram utilizadas e comparadas:

Utilizar x jk inteiro: obtenção de uma fronteira de Pareto Z ∗

Relaxar as condições de integralidade destas. Sucessivamentefazer o arredondamento de cada solução eficiente, obtendo-seuma fronteira heurı́stica Z̄

4 Utilizar e comparar como técnicas de escalarização Soma

Ponderada (SP) e ε−Restrito (ε−R) em cada abordagem




21/70

IMECC - UNICAMP











22/70

IMECC - UNICAMP











23/70

IMECC - UNICAMP











24/70

IMECC - UNICAMP











25/70

IMECC - UNICAMP









Métodos de solução ε−Restrito


26/70

IMECC - UNICAMP

Método do ε−Restrito

1 Adotamos como função objetivo z 1 para o problema escalar P ε e

z 2 como restrição, pois a amplitude de variação desta função é

muito menor se comparada com z 12 Então P ε com a imposição de um setup de até ε é definido a

seguir, onde ρ > 0




27/70

IMECC - UNICAMP


1 Adotamos como função objetivo z 1 para o problema escalar P ε e

z 2 como restrição, pois a amplitude de variação desta função é

muito menor se comparada com z 12 Então P ε com a imposição de um setup de até ε é definido a

seguir, onde ρ > 0




28/70

IMECC - UNICAMP


P ε

Minimize z ε =b

k =1

p

j =1

x jk + ρ ·b

k =1

p

j =1

y jk

sujeito a

b

k =1

p

j =1

a ∗ijk ·

x jk ≥

d i , i

= 1, ...,m ,

x jk ≤ N · y jk , j = 1, ...,p , k = 1, ...,b ,x jk ≥ y jk , j = 1, ...,p , k = 1, ...,b ,

p

j =1

b

j =1

y jk ≤ ε,

y jk ∈ B, x jk ∈ Z+, j = 1, ...,p , k = 1, ...,b .

onde a ∗ jk são fornecidos pelo método de GG. Agora vamos definir um intervalo para ε




29/70

IMECC - UNICAMP


É razoável considerar os valores inteiros de ε variando no intervalo I = [z −2 , z

+2 ], onde z

−2

é obtido resolvendo-se

P −ε

Minimize z ε =b

k =1

p

j =1

y jk + ρ ·b

k =1

p

j =1

x jk

sujeito a

b

k =1

p

j =1

a ∗ijk · x jk ≥ d i , i = 1, ...,m ,

x jk ≤ N · y jk , j = 1, ...,p , k = 1, ...,b ,x jk ≥ y jk , j = 1, ...,p , k = 1, ...,b ,y

jk ∈ B, x

jk ∈ Z

+, j

= 1, ...,p , k

= 1, ...,b ,

e calculando-se o setup da solução resultante.




30/70

IMECC - UNICAMP


É razoável considerar os valores inteiros de ε variando no intervalo I = [z −2 , z

+2 ], onde z

−2

é obtido resolvendo-se

P −ε

Minimize z ε =b

k =1

p

j =1

y jk + ρ ·b

k =1

p

j =1

x jk

sujeito a

b

k =1

p

j =1

a ∗ijk · x jk ≥ d i , i = 1, ...,m ,

x jk ≤ N · y jk , j = 1, ...,p , k = 1, ...,b ,x jk ≥ y jk , j = 1, ...,p , k = 1, ...,b ,y

jk ∈ B, x

jk ∈ Z

+, j = 1, ...,p , k = 1, ...,b ,

e calculando-se o setup da solução resultante.




31/70

IMECC - UNICAMP


Analogamente, z +2 é obtido resolvendo-se

P +ε

Minimize z ε =b

k =1

p

j =1

x jk + ρ ·b

k =1

p

j =1

y jk

sujeito ab

k =1

p

j =1

a ∗ijk · x jk ≥ d i , i = 1, ...,m ,

x jk ≤ N · y jk , j = 1, ...,p , k = 1, ..., b ,x jk ≥ y jk , j = 1, ...,p , k = 1, ..., b ,y jk ∈ B, x jk ∈ Z+, j = 1, ...,p , k = 1, ..., b ,

e calculando-se o setup da solução resultante




32/70

IMECC - UNICAMP


Analogamente, z +2 é obtido resolvendo-se

P +ε

Minimize z ε =b

k =1

p

j =1

x jk + ρ ·b

k =1

p

j =1

y jk

sujeito ab

k =1

p

j =1

a ∗ijk · x jk ≥ d i , i = 1, ...,m ,


e calculando-se o setup da solução resultante



´


33/70

IMECC - UNICAMP


Algorithm 1 ε− Restrito para o Problema do Corte Bi-objetivo1: Entrada: dados do problema do corte e ∆2: X ∗ = {x 1, x 2}3: Z ∗ = {(z −1 , z

+2 )

T , (z +1 , z −2 )

T }4: ε = z −2 + ∆5: while ε ≤ z +2 − ∆ do6: Resolva o problema P ε7: Seja x ε a solução ótima de PR ε8: X ∗ = X ∗ ∪ {x ε}9: Z ∗ = Z ∗ ∪ {((z ε1 , z

ε2 )

T }10: ε

← ε + ∆

11: end while12: Saı́da: X ∗ e Z ∗


Métodos de solução Soma Ponderada

M ´ d d S P d d


34/70

IMECC - UNICAMP

Método da Soma Ponderada

Primeiramente, utilizando-se os pontos lexicográficos, normaliza-se osobjetivos e considera-se o problema ponderado (P w ) no pesow =]0, 1[ a seguir:

P w

Minimize z w = w · β 1 ·b

k =1

p

j =1

x jk +

+(1 − w ) · β 2 ·b

k =1

p

j =1

y jk

sujeito a

b

k =1

p

j =1

a ∗ijk · x jk ≥ d i , i = 1, ...,m ,


onde β 1 e β 2 são constantes que normalizam z 1 e z 2



M ´ t d d S P d d


35/70

IMECC - UNICAMP

Método da Soma Ponderada

Primeiramente, utilizando-se os pontos lexicográficos, normaliza-se osobjetivos e considera-se o problema ponderado (P w ) no pesow =]0, 1[ a seguir:

P w

Minimize z w = w · β 1 ·b

k =1

p

j =1

x jk +

+(1 − w ) · β 2 ·b

k =1

p

j =1

y jk

sujeito a

b

k =1

p

j =1

a ∗ijk · x jk ≥ d i , i = 1, ...,m ,


onde β 1 e β 2 são constantes que normalizam z 1 e z 2



M ´ t d d S P d d


36/70

IMECC - UNICAMP

Metodo da Soma Ponderada

Algorithm 2 Soma Ponderada para o Problema do Corte Bi-objetivo1: Entrada: dados do problema do corte ∆2: X̃ = {x 1, x 2}3: Z̃ = {(z −1 , z

+2 )

T , (z +1 , z −2 )

T }4: Normalize os objetivos z 1 e z 2

5: w = ∆6: while w ≤ 1 − ∆ do7: Resolva o problema P w 8: Seja x w a solução ótima de (P w )

9: X̃ = X̃ ∪ {x w }10: Z̃ = Z̃ ∪ {(z w 1 , z

w 2 )

T }

11: w ← w + ∆12: end while

13: Saı́da: X̃ e Z̃



Ab d d d d t


37/70

IMECC - UNICAMP

Abordagem de arredondamento

Idéia: obter uma fronteira de Pareto heurı́stica, Z̄ ≈ Z ∗, demaneira mais acelerada

Nesta segunda abordagem, em vez de resolver os sub-problemas P εe P w considerando-se x jk inteiro, relaxamos esta condição e

posteriormente arredondamos cada solução eficiente utilizando-se a

heurı́stica melhorativa a seguir





38/70

IMECC - UNICAMP










39/70

IMECC - UNICAMP








Arredondamento com melhoramento gradual


40/70

IMECC - UNICAMP

Arredondamento com melhoramento gradual

Algorithm 3 Arredondamento com melhoramento gradual

1: Entrada: x̃ , A∗, d e v j = {i : A∗ij > 0} para todo j = 1, ..., m

2: x̄ ← x̃ 3: r = A∗x̄ − d 4: while r ≥ 0 do5: for j = 1, ...,m do

6: if x j > 0 then7: x̄ j ← x̄ j − 18: r j = r j − A

∗ j para todo j ∈ v j

9: if r j


41/70

IMECC - UNICAMP

Problemas testes

Simulações realizadas num core i3 Quad com 4GB de memória,

usando o CPLEX 12.6 para resolver os sub-problemas

1

Nestes experimentos foram geradas 18 classes2 Cada classe, 40 problemas testes

3 Para problema e para cada método, foram obtidas duas fronteiras

de Pareto e as comparamos entre si



Problemas testes


42/70

IMECC - UNICAMP

Problemas testes

As 18 classes contemplam combinações entre itens pequenos,

médios e grandes, quantidade de itens e bobinas mestres

Os valores para l i foram gerados entre [v 1L̄, v 2L̄], ondeLk = [300, 2000] foi aleatoriamente gerado e L̄ é a média de Lk

Além disso, a demanda d i = [100, 2000] aleatoriamente gerada



Problemas teste


43/70

IMECC - UNICAMP

Problemas teste

As classes estão dispostas a seguir

Table: Classes para o PCUIB

Classe m Tipo do item b

1 20 P 12 20 P 33 20 P 5

4 20 M 15 20 M 36 20 M 57 20 G 18 20 G 39 20 G 5

10 40 P 111 40 P 312 40 P 5

13 40 M 114 40 M 315 40 M 516 40 G 117 40 G 318 40 G 5





44/70

IMECC - UNICAMP


Calculamos, tanto para Z ∗, quanto para Z :

t ε−R e t SP denotam os tempos computacionais (em segundos)

demandados

|Z ε−R | e |Z SP | o número de soluções não-dominadasencontradas por cada método

A∗ε−R e A

∗SP as áreas delimitadas pelas fronteiras de Pareto

(×10−4)

αSP

e αε−R proporção de soluções não-dominadas não

coincidentes entre as duas fronteiras





45/70

IMECC - UNICAMP




demandados


A∗ε−R e A


(×10−4)

αSP e αε−R proporção de soluções não-dominadas nãocoincidentes entre as duas fronteiras





46/70

IMECC - UNICAMP




demandados


A∗ε−R e A


(×10−4)






47/70

IMECC - UNICAMP




demandados


A∗ε−R e A


(×10−4)




Resultados preliminares para Z∗


48/70

IMECC - UNICAMP

Resultados preliminares para Z

Table: Resultados computacionais médios do ε−R e SP no PCUIM para afronteira Z ∗

Classe t ∗ε−R t

∗

SP |Z ∗

ε−R | |Z ∗

SP | A∗

ε−R A∗

SP

1 0,92 0,82 10,70 6,80 1,21 0,802 1,04 0,84 10,30 6,20 1,08 0,593 1,13 1,00 10,70 6,60 1,45 0,884 0,32 0,27 6,70 4,45 0,33 0,185 0,55 0,50 8,05 5,50 0,47 0,30

6 1,08 0,53 7,70 5,15 0,47 0,247 0,15 0,16 5,10 3,35 0,06 0,088 0,34 0,32 7,75 5,50 0,13 0,249 0,33 0,30 6,80 4,60 0,34 0,15

Média 0,59 0,52 8,21 5,35 0,63 0,3910 6,46 3,83 18,30 10,15 7,15 4,3411 7,25 3,36 18,80 9,65 7,89 4,2512 9,24 4,07 17,95 9,55 6,70 3,6813 4,50 2,57 14,80 7,75 3,29 1,74

14 6,28 3,28 16,85 8,65 4,41 2,4615 7,73 3,97 15,70 8,60 3,68 2,1416 0,91 0,70 11,75 7,05 1,58 0,9117 0,76 0,63 11,95 7,60 1,68 1,0718 3,18 2,15 15,40 8,40 3,02 1,68

Média 5,14 2,73 15,72 8,60 4,38 2,48

Média Geral 1,97 1,15 9,48 5,81 1,70 0,98



Resultados preliminares para Z̄


49/70

IMECC - UNICAMP

p p

Table: Resultados computacionais médios do ε−R e SP no PCUIM para afronteira Z̄

Classe ¯t ε−R

¯t SP | ¯Z ε−R | ¯|Z SP |

¯Aε−R

¯ASP 1 0,91 0,86 10,60 6,91 1,20 0,792 0,65 0,60 10,30 6,53 1,08 0,633 0,85 0,83 10,30 6,67 1,43 0,894 0,24 0,25 6,62 4,61 0,33 0,185 0,33 0,35 7,81 5,53 0,46 0,30

6 0,40 0,41 7,73 5,02 0,41 0,237 0,13 0,16 5,13 3,50 0,13 0,088 0,26 0,27 7,72 5,31 0,34 0,239 0,24 0,23 6,64 4,42 0,23 0,14

Média 0,45 0,44 8,12 5,42 0,62 0,39

10 5,59 3,22 18,01 10,11 7,03 4,2611 5,83 3,34 18,32 9,92 7,76 4,3712 6,43 3,40 17,24 9,83 6,57 3,7513 3,00 2,73 14,56 9,75 3,27 1,74

14 3,82 3,05 16,52 7,72 4,38 2,4615 4,43 3,49 15,21 8,70 3,61 2,1216 1,16 0,92 11,80 7,23 1,58 0,9317 0,90 0,72 11,92 7,64 1,67 1,0518 2,49 2,02 15,23 8,32 3,00 1,65

Média 3,74 2,54 15,42 8,6 4,32 2,47Média Geral 1,44 1,05 9,31 5,82 1,68 0,97



Resultados preliminares para α


50/70

IMECC - UNICAMP

p p

Table: Resultados computacionais médios para αClasse α

ε−R αSP 1 0,05 0,162 0,09 0,173 0,07 0,184 0,06 0,125 0,03 0,136 0,06 0,09

7 0,00 0,068 0,07 0,099 0,13 0,15

Média 0,09 0,1310 0,21 0,3011 0,15 0,2112 0,20 0,2713 0,15 0,1914 0,17 0,25

15 0,18 0,2016 0,04 0,0617 0,03 0,1218 0,17 0,2

Média 0,16 0,18

Média Geral 0,08 0,13



Exemplo tı́pico de uma fronteira


51/70

IMECC - UNICAMP

p p

1,000 1,200 1,400 1,600 1,80050

60

70

80

90

z 1

z 2

Z̃

Z ∗

Z̄

Figure: Ilustração das possı́veis fronteiras de Pareto para um problema-teste

com m = 100 itens

Para encontrar a fronteira Z ∗ foram necessários 93 segundos, ao passo que

para obter a fronteira Z̃ e fazer seu arredondamento foram necessários

apenas 37 segundos, isto é, quase 1/3 do tempo computacional



Exemplo tı́pico de uma fronteira


52/70

IMECC - UNICAMP

p p

1,000 1,200 1,400 1,600 1,80050

60

70

80

90

z 1

z 2

Z̃

Z ∗

Z̄

Figure: Ilustração das possı́veis fronteiras de Pareto para um problema-teste

com m = 100 itens

Para encontrar a fronteira Z ∗ foram necessários 93 segundos, ao passo que

para obter a fronteira Z̃ e fazer seu arredondamento foram necessários

apenas 37 segundos, isto é, quase 1/3 do tempo computacional


Conclusões preliminares



53/70

IMECC - UNICAMP

Algumas conclusões deste estudo:Vantagem de se utilizar o modelo parcialmente relaxado

Por um lado, perde-se 1,8% s (no ε−R) e 0,01% (na SP) dassoluções eficientes

A área média de Z̄ foi de 98,8% da área da fronteira ocupada porZ ∗

Por outro lado, economizou-se 27% do tempo computacional.

Essa diferença fica ainda maior para problemas com mais itens

Larga vantagem do ε−

R em relação à SP: esta conseguiu apenas

61,2% das soluções eficientes usando-se 58% do tempo

computacional





54/70

IMECC - UNICAMP









computacional





55/70

IMECC - UNICAMP









computacional





56/70

IMECC - UNICAMP






Larga vantagem do ε−R em relação à SP: esta conseguiu apenas61,2% das soluções eficientes usando-se 58% do tempo

computacional





57/70

IMECC - UNICAMP







computacional





58/70

IMECC - UNICAMP







computacional





59/70

IMECC - UNICAMP

Direções imediatas de pesquisa:

Implementação de outras técnicas de escalarização: NISE,

Tchebycheff, Benson, etc...

Uso de outras heurı́sticas de arredondamento

Uso de um modelo não-linear (com uma possı́vel linearização)que implicitamente fornece os padrões de corte

Consideração de mais objetivos

Levar em conta o PCUIM com datas de entregas e considerar

múltiplos perı́odosAplicação em problemas de cortes bi-dimensionais





60/70

IMECC - UNICAMP

Direções imediatas de pesquisa:

Implementação de outras técnicas de escalarização: NISE,








Conclus˜oes preliminares



61/70

IMECC - UNICAMP

Direções imediatas de pesquisa:Implementação de outras técnicas de escalarização: NISE,











62/70

IMECC - UNICAMP












63/70

IMECC - UNICAMP












64/70

IMECC - UNICAMP












65/70

IMECC - UNICAMP










Modelo linearizado

O d l li i d ´ t d i


66/70

IMECC - UNICAMP

O modelo linearizado e apresentado a seguir:

Minimize z 1 =b

k =1

p

j =1

κ

h =1

2h −1 · α jkh

Minimize z 2 =b

k =1

p

j =1

y jk

sujeito a

b

k =1

p

j =1

κ

h =1

2h −1

· r ijkh ≥ d i , i ∈ I ,

r ijkh ≤ M · α jkh , i ∈ I , j ∈ P , k ∈ K , h ∈ H ,

r ijkh ≤

a ijk , i

∈ I , j

∈ P , k

∈ K , h

∈ H ,

a ijk − M · (1 − α jkh ) ≤ r ijkh , i ∈ I , j ∈ P , k ∈ K , h ∈ H ,m

i =1

i · a ijk ≤ Lk , j ∈ P , k ∈ K ,

m

i =1

i · a ijk ≥ Lk − ∆, j ∈ P , k ∈ K ,

m

i =1

a ijk ≤ q , j ∈ P , k ∈ K ,

κ

h =1

2h −1 · α jkh ≤ N · y jk , j ∈ P , k ∈ K ,

κ

h =1

2h −1 · α jkh ≥ y jk , j ∈ P , k ∈ K ,

α jkh , y jk ∈ B, a ijk ∈ N, r ijkh ∈ R+, i ∈ I , j ∈ P , k ∈ K , h ∈ H ,



Agradecimentos


67/70

IMECC - UNICAMP

Queremos agradecer à

pelo apoio técnico e financeiro, sob o processo 2013/06035-0



References


68/70

IMECC - UNICAMP

P. C. Gilmore and R. E Gomory. A Linear Programming Approachto the Cutting-Stock Problem. Oper Res, 9:848-859, 1961.

G. Wascher and T. Gau. Heuristic for the Integer One-dimensional

Cutting Stock Problem: a Computational Study. OR Spektrum,

18:131-144, 1996.K. C. Poldi and M. N. Arenales. Heuristicas para o Problema do

Corte Unidimensional Inteiro. Pesquisa Operacional, 26:473-492,

2006.

R. R. Golfeto, A. C. Moretti, and L. L. N. Sales. A GraspMetaheuristic for the Ordered Cutting Stock Problem. Revista

Chilena de Ingenieria (En linea), 16:421-427, 2008.



References


69/70

IMECC - UNICAMP

F. Vanderbeck. An Exact Algorithm for ip Column Generation.

Operations Research Letters, 19:151-159, 1996.

S. Kirkpatrick & D. C. Gellat & M. P. Vecchi. Optimization by

Simulated Annealing. Science, 220:671-680, 1983.

J. M. V. Carvalho. Exact Solution of Bin-packing Problems Using

Column Generation and Branch-and-bound. Annals of Operations

Research, 86:629-659, 1999.



Métodos de Soma Ponderada e ε−Restrito no


70/70

IMECC - UNICAMP

Metodos de Soma Ponderada e ε−Restrito noProblema do Corte Unidimensional Bi-objetivo

Angelo Aliano

Antonio Moretti

UNICAMP

11 de junho de 2015


Documents

3 - Apresentacao Oficina Corte 2015