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MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA 2018
3O ANO EM
Matemática I
Lista 1 1. (Enem PPL 2012) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da década de 1980. A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura 2, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra.
Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B. deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocando- se pela aresta que contém esses dois pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) deslocar se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos. A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por
a)
b)
c)
d)
e)
RAPHAEL LIMA
MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015
2. (Enem 2ª aplicação 2016) Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da cidade onde moram, montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas.
Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo
do vértice A em direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do
vértice E ao C. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor
distância entre os pontos.
A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por
a)
b)
c)
d)
e)
MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015
3. (Enem 2016) A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os
pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo
meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de
forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C
se dê sobre o meridiano que passa por B e C.
Considere que o plano α é paralelo à linha do equador na figura.
A projeção ortogonal, no plano ,α do caminho traçado no globo pode ser representada por
a)
b)
c)
d)
e)
MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015
4. (Enem 2014) O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular
(escada caracol), representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão
igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa
caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até o ponto D.
A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é:
a)
b)
c)
d)
e) 5. (Enem 2013) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô:
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é:
MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015
a)
b)
c)
d)
e) 6. (G1 - epcar (Cpcar) 2018) Com a intenção de padronizar as barracas dos vendedores ambulantes, a prefeitura da cidade de Eulerópolis solicitou a uma empresa especializada no ramo que fizesse um orçamento do material a ser empregado e do custo para finalização das barracas. Segue um esboço do que foi apresentado pela empresa:
O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a base hexagonal regular da barraca.
Considere: 7 2,6 e 2 1,4.
No modelo apresentado, a parte hachurada indica onde existe tecido, ou seja, no telhado e na parte de
baixo da lateral, ao custo de R$ 2,00 o metro quadrado.
Além disso, em cada aresta está uma barra de alumínio ao custo de R$ 4,00 o metro linear.
Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equivalente a 30% do custo de todo o material gasto,
então é correto afirmar que o custo total de uma barraca padrão, em reais, é um número compreendido entre
a) 390 e 400 b) 401 e 410 c) 411 e 420 d) 421 e 430
MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015
7. (Ufu 2017) Um designer de jogos virtuais está simulando alguns deslocamentos associados com
uma pirâmide quadrangular regular, em que o lado do quadrado da base mede 40 cm.
Ele simula a trajetória de um lagarto pelas faces da pirâmide. Inicialmente o lagarto desloca-se de A
até E e, posteriormente, de E até F, em que F é o ponto médio de CD. Cada um desses dois trechos
da trajetória ocorre em linha reta.
A projeção perpendicular dessa trajetória em ABCD, presente no plano da base da pirâmide, descreve
uma curva R, a qual é a união de dois segmentos.
Nessas condições, o comprimento de R, em cm, é igual a
a) 20 2
b) 40 2
c) 40(1 2)
d) 20(1 2)
8. (Ime 2015) Em um prisma oblíquo ABCDEFA 'B'C'D'E'F', cuja base ABCDEF é um hexágono
regular de lado a, a face lateral EFF'E' está inclinada 45 em relação à base, e a projeção ortogonal
da aresta F'E' sobre a base ABCDEF coincide com a aresta BC. O volume do prisma é:
a) 33 3
a2
b) 39a
4
c) 35 3
a3
d) 39a
2
e) 35a
2
MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015
9. (Enem 2012) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é
a)
b)
c)
d)
e)
MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015
10. (Enem 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções.
Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma
inclinação de um ângulo ,α e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura
medindo 1,80 metro, conforme mostra a figura.
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada.
Ângulo α
(Grau) Seno
0,0 0,0
1,0 0,017
1,5 0,026
1,8 0,031
2,0 0,034
3,0 0,052
Uma estimativa para o ângulo de inclinação ,α quando dado em grau, é tal que
a) 0 1,0α
b) 1,0 1,5α
c) 1,5 1,8α
d) 1,8 2,0α
e) 2,0 3,0α
MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015
GABARITO Resposta da questão 1:
[C]
A figura abaixo mostra a projeção do caminho feito sobre a pirâmide no plano de sua base.
Portanto, alternativa [C] está correta.
Resposta da questão 2:
[E]
Sabendo que o caminho de comprimento mínimo corresponde à linha poligonal ABEC, e que a face EBC é
perpendicular ao plano ABCD, podemos concluir que a resposta é a figura apresentada na alternativa [E].
Resposta da questão 3:
[E]
Desde que o arco »AB pertence a um plano paralelo a ,α sua projeção ortogonal sobre α também é um arco.
Ademais, como B e C não são simétricos em relação ao plano que contém o equador e o arco »BC pertence a
um plano perpendicular a ,α sua projeção ortogonal sobre α é um segmento de reta. Em consequência, a
melhor representação é a da alternativa [E]. Resposta da questão 4:
[C]
A projeção ortogonal sobre o piso da casa, do caminho percorrido pela mão da pessoa, do ponto A até o ponto
E, corresponde a uma circunferência. Logo, do ponto A ao ponto D, temos aproximadamente 3
4 de uma
circunferência, o que corresponde à figura da alternativa [C]. Resposta da questão 5:
[B]
Considere a figura.
MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015
De acordo com a figura, segue que a projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão
da gangorra, corresponde aos segmentos AC e B'D.
Resposta da questão 6:
[B]
Calculando:
2lateral
22 2
2telhado
área lateral debaixo S 6 2 1 12 m
Triângulo VMO':
h 3 2 h 7
2 7área do telhado S 6 6 7 15,6 m
2
arestas 6 2 6 1 6 2 6 1 6 2 6 2 2 48 12 2 52,8 m
Custo (12 15,6) 2 64,8 4 1,3 408,72 reais
Resposta da questão 7:
[D]
Do enunciado e da figura, temos:
MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015
G é ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD, pois EABCD é uma pirâmide quadrangular regular.
O comprimento de R é dado por AG GF, pois AG é a projeção perpendicular de AE sobre ABCD e GF é
a projeção perpendicular de EF sobre ABCD.
Note que 1
AG AC2
e 1
GF AD.2
No triângulo ACD,
2 2 2
2 2
2 2
AC 40 40
2AG 2 40
4 AG 2 40
Como AG 0,
2 24 AG 2 40
2AG 40 2
AG 20 2 cm
Como AD 40 cm,
1GF 40
2
GF 20 cm
Assim,
AG GF 20 2 20 cm
AG GF 20 1 2 cm
Resposta da questão 8:
[D]
MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015
Calculando , inicialmente, a medida HM :
a 32 a
2H x 3M
No triângulo MHN, temos:
h htg45 1 h a 3
a 3 a 3
.
Portanto o volume será dado por:
23a 3 9
V 6 a 3 a4 2
Resposta da questão 9:
[C]
Supondo que a pirâmide é regular, temos que a projeção ortogonal do deslocamento no plano da base da
pirâmide está corretamente descrita na figura da alternativa [C]. Resposta da questão 10:
[C]
Segue de imediato que
1,8sen sen 0,03.
60α α
Portanto, de acordo com as informações da tabela, podemos afirmar que [1,5;1,8[.α