3º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 22/11/18 Ensino Médio 2º ano classe:___ Prof. Maurício Nome:______________________________________ nº___

. .

1. (Espcex (Aman) 2018) O valor da altura de um

cilindro reto de raio R, cujo volume é a soma dos

volumes dos sólidos 1 e 2 é

a) 13

a.12

b) 7

a.6

c) 5

a.4

d) 4

a.3

e) 17

a.12

2. (G1 - ifpe 2018) Milena é aluna do curso de Saneamento no campus Afogados da Ingazeira e convenceu seu pai a construir um tanque de tratamento da água do esgoto no quintal de sua casa. Como o espaço disponível não é tão grande, o tanque tem por base um setor circular de um quarto de volta

com 1 metro de raio e 2,5 metros de profundidade.

Se o tratamento utilizado por Milena consegue reaproveitar 80% da água, estando o tanque completamente cheio, quantos litros de água poderão

ser reaproveitados? 3,14).π a) 6.280 litros. b) 7.850 litros. c) 2.000 litros. d) 2.512 litros. e) 1.570 litros. 3. (Ufrgs 2018) Um tanque no formato de um cilindro

circular reto, cujo raio da base mede 2 m, tem o nível

da água aumentado em 25 cm após uma forte chuva.

Essa quantidade de água corresponde a 5% do volume total de água que cabe no tanque. Assinale a alternativa que melhor aproxima o volume

total de água que cabe no tanque, em 3m . a) 57 b) 60 c) 63 d) 66 e) 69 4. (Ufu 2018) Um recipiente, no formato de um cilindro circular reto de raio de base r cm, possui um

líquido solvente em seu interior. A altura h desse

solvente presente no recipiente é igual a 16

cm,3

conforme ilustra a Figura 1.

Quando uma peça maciça, no formato de uma esfera

de raio igual a 3 cm, é mergulhada nesse recipiente

até encostar no fundo, observa-se que o solvente cobre exatamente a esfera, conforme ilustra a Figura 2. Segundo as condições apresentadas, o raio r, em cm,

é igual a

a) 4 3. b) 2 7.

c) 5 2. d) 3 6. 5. (G1 - ifsc 2017) Diante dos frequentes períodos de estiagem na cidade onde está sediada, a empresa MESOC decidiu construir um reservatório para armazenar água.

Considerando que esse reservatório deva ser cilíndrico e ter 10 metros de diâmetro interno e 10 metros de altura, assinale a alternativa CORRETA. A capacidade do reservatório a ser construído, em litros, será:

Obs.: (Use 3,1)π

a) 3.100 b) 7.750 c) 155.000 d) 310.000 e) 775.000 6. (Espm 2017) O designer de uma empresa precisa criar uma embalagem que atenda a dois requisitos: - Caber, em seu interior, uma fina haste retilínea de

10 cm de comprimento.

- Ter o menor espaço interno possível. Entre os modelos apresentados abaixo, apenas um atende aos requisitos necessários. Assinale a alternativa correspondente a ele. Obs.: as medidas estão dadas em centímetros. Para os

cálculos, use 3,14.π

a)

b)

c)

d)

e)

7. (G1 - ifpe 2017) O setor de criação de uma fábrica de tintas está desenvolvendo um novo recipiente em

formato de cilindro reto com 10 cm de raio da base e

25 cm de altura. Qual o volume de tinta (em

mililitros) que comporta um desses recipientes? (Use

3,14).π

a) 2.500 b) 785 c) 7,85 d) 7.850 e) 2,5 8. (Eear 2016) Um cilindro de 18 cm de altura e raio

da base igual a 5 cm contém água até a metade de

sua altura. Por algum motivo, houve necessidade de

despejar essa água em outro cilindro com 40 cm de

altura, cujo raio da base mede 4 cm.

Considerando 3,π o valor que mais se aproxima da

altura atingida pela água no segundo cilindro é a) 14 cm b) 16 cm

c) 20 cm d) 24 cm

9. (Mackenzie 2018) Se um cone reto tem altura igual

a 12 cm e seu volume é 364 cm ,π então sua

geratriz, em cm, mede a) 20 b) 10 2

c) 4 10 d) 4 2

e) 2 10 10. (G1 - ifal 2018) Certo tanque de combustível tem o formato de um cone invertido com profundidade de 5 metros e com raio máximo de 4 metros. Quantos litros de combustível cabem, aproximadamente, nesse

tanque? Considere 3,14.π

a) 20.000 .

b) 50.240 . c) 83.733,33 .

d) 104.666,67 . e) 150.000 .

11. (Uefs 2017) Se um cone circular reto tem altura

igual a 4 cm e base circunscrita a um hexágono

regular de lado medindo 2 cm, então a sua área

lateral, em 2cm , mede, aproximadamente,

a) 4 6π b) 4 5π c) 4π d) 3π

e) 2π 12. (Epcar (Afa) 2017) Se uma pirâmide hexagonal regular está inscrita num cone equilátero cujo volume

é igual a 310 3cm ,

7π então o volume dessa

pirâmide, em 3cm , é igual a

a) 45

7

b) 15 3

7

c) 30 3

7

d) 135

7

13. (Upe-ssa 2 2017) Um cone reto está inscrito num

cubo de aresta 8 cm. Se a altura do cone e o

diâmetro de sua base têm medidas iguais, qual é a diferença entre as medidas dos seus volumes?

Considere 3,0.π

a) 3128 cm

b) 3256 cm

c) 3384 cm

d) 3424 cm

e) 3512 cm

14. (G1 - ifpe 2014) Um silo para armazenamento de cereais é formado pela junção de um cilindro e um cone com o mesmo raio da base e dimensões internas indicadas na figura a seguir. Determine quantos metros cúbicos de cereais podem ser armazenados

neste silo. (Adote 3,14)π

a) 3.140 b) 3.346

c) 3.454 d) 3.512 e) 3.816 15. (Uemg 2014) Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra a figura a seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a 7 cm e altura do trapézio igual a 3 cm.

Considerando-se 3,π o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a a) 0,212. b) 0,333. c) 0,478. d) 0,536. 16. (Insper 2016) No filme “Enrolados”, os estúdios Disney recriaram a torre onde vivia a famosa personagem dos contos de fadas Rapunzel (figura 1). Nesta recriação, podemos aproximar o sólido onde se apoiava a sua morada por um cilindro circular reto conectado a um tronco de cone, com as dimensões indicadas na figura 2, feita fora de escala.

Para que o príncipe subisse até a torre, Rapunzel lançava suas longas tranças para baixo. Nesta operação, suponha que uma das extremidades da

trança ficasse no ponto A e a outra no ponto C,

onde se encontrava o rapaz. Considerando que a trança ficasse esticada e perfeitamente sobreposta à linha poligonal formada

pelos segmentos AB e BC, destacada em linha

grossa na figura 2, o comprimento da trança de Rapunzel, em metros, é igual a a) 35. b) 38. c) 40. d) 42. e) 45. 17. (Upf 2016) Um reservatório de água tem formato

de um cilindro circular reto de 3 m de altura e base

com 1,2 m de raio, seguido de um tronco de cone

reto cujas bases são círculos paralelos, de raios

medindo 1,2 m e 0,6 m respectivamente, e altura

1m, como representado na figura a seguir.

Nesse reservatório, há um vazamento que desperdiça

1

3 do seu volume por semana.

Considerando a aproximação 3π e sabendo que

31dcm 1 , esse vazamento é de:

a) 4.320 litros. b) 15,48 litros. c) 15.480 litros. d) 12.960 litros. e) 5.160 litros. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Utilize o fragmento e as imagens abaixo como auxílio para responder à(s) quest(ões) a seguir. Existem variados tipos de blocos de concreto para o uso de contenção às ondas marinhas, em especial o Tetrápode – bloco criado na década de 1950 e utilizado no molhe leste da Barra Cassino (Rio Grande – RS). Constituído em concreto maciço, o bloco é disposto de um eixo central, no qual são tangentes quatro cones alongados (patas) e arredondados, distribuídos igualmente a 120 no espaço. Essas “patas” facilitam a conexão entre os blocos, tornando a estrutura mais estável. O centro de gravidade do Tetrápode encontra-se na união das quatro “patas”, o que dificulta o balanço e o rolamento da carcaça.

Imagens e Fragmento extraído de “Tipos de blocos de

concreto para estrutura hidráulica de proteção às ondas marinhas e análise visual dos Tetrápodes da

Barra de Rio Grande” (Adaptado). Disponível em: http://www.semengo.furg.br/2008/45.pdf Acesso: 10

abr. 2015.

18. (Ifsul 2015) Suponha que cada “pata” do tetrápode tenha o formato ao abaixo.

Considere também que se gasta 10% a mais do concreto utilizado nas 4 patas para “colar” as mesmas. Qual é o volume total de concreto, aproximado,

necessário para fazer esse tetrápode? (Use 3,1)π

a) 34 m

b) 36 m

c) 310 m

d) 312 m

19. (Espcex (Aman) 2011) A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz. A medida da altura desse tronco de cone é

a) 13 cm b) 12 cm c) 11 cm d) 10 cm e) 9 cm 20. (Ueg 2018) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico circular reto com 8 metros de diâmetro e teto no formato de hemisfério. Sabendo-se que a empresa responsável por construir o teto cobra

R$ 300,00 por 2m , o valor para construir esse teto

esférico será de

Use 3,1π

a) R$ 22.150,00

b) R$ 32.190,00 c) R$ 38.600,00

d) R$ 40.100,00 e) R$ 29.760,00

21. (Ufrgs 2018) Fundindo três esferas idênticas e

maciças de diâmetro 2 cm, obtém-se uma única

esfera maciça de raio

a) 3 3.

b) 3 4.

c) 3 6. d) 3. e) 6. 22. (Unesp 2018) Observe a figura da representação

dos pontos M e N sobre a superfície da Terra.

Considerando a Terra uma esfera de raio 6.400 km e

adotando 3,π para ir do ponto M ao ponto N,

pela superfície da Terra e no sentido indicado pelas setas vermelhas, a distância percorrida sobre o paralelo 60 Norte será igual a a) 2.100 km. b) 1.600 km.

c) 2.700 km. d) 1.800 km.

e) 1.200 km.

23. (Ufrgs 2016) Se um jarro com capacidade para 2 litros está completamente cheio de água, a menor medida inteira, em cm, que o raio de uma bacia com

a forma semiesférica deve ter para comportar toda a água do jarro é a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 16.

24. (Ufrgs 2014) Considere um cilindro reto de altura 32 e raio da base 3, e uma esfera com volume igual ao do cilindro. Com essas condições, o raio da esfera é a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 12. 25. (Pucrs 2014) Uma esfera de raio 1 cm está

inscrita em um cubo cujo volume, em 3cm , é a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

Gabarito: Resposta da questão 1: [E]

1V : volume do sólido 1

2V : volume do sólido 2

2 21

21

2 22

22

a 1 aV R R

2 2 2

3V R a

4

a 1 aV R R

2 3 2

2V R a

3

π π

π

π π

π

Sendo h a medida da altura do cilindro reto de raio R e volume 1 2V V , temos:

2 2 2

2 2

3 2R h R a R a

4 3

17R h R a

12

17h a

12

π π π

π π

Resposta da questão 2: [E]

Considerando que é possível aproveitar apenas 80% da água, o volume de água que será aproveitado é dado por:

231 2,5

V 0,80 0,20 3,14 2,5 1,57 m 1570 L4

π

Resposta da questão 3: [C] Do enunciado, temos:

V : volume total de água que cabe no tanque

2

3

3

1 52 V

4 100

V 20 m

V 63 m

π

π

Resposta da questão 4: [D] O volume de solvente deslocado corresponde ao volume do cilindro de raio rcm e altura igual a

16 22 3 cm.

3 3 Logo, temos

2 32 4r 3 r 3 6 cm.

3 3π π

Resposta da questão 5: [E] Calculando o volume (produto entre área da base e altura) do cilindro temos:

2 2 3V r 10 V 3,1 5 10 775 m V 775.000 litrosπ

Resposta da questão 6: [A] [A] A haste cabe neste modelo, pois sua diagonal mede

2 2 25 6 7 110 100 10cm. Ademais, seu espaço interno mede

35 6 7 210cm .

[B] A haste não cabe neste modelo, pois a maior

distância entre dois pontos das bases inferior e superior mede

2 27 7 98 100 10cm. [C] A haste não cabe neste modelo, pois a medida de sua diagonal é

2 2 24 4 8 96 100 10cm.

[D] A haste cabe neste modelo, pois a maior distância entre dois pontos das bases inferior e superior é igual a

2 26 8 100 10cm. Porém, seu espaço interno corresponde a, aproximadamente,

2 3 33,14 4 6 301cm 210cm .

[E] A haste cabe neste modelo, pois a maior distância

entre dois pontos das bases inferior e superior é igual a

2 28 6 100 10cm. Contudo, seu espaço interno corresponde a, aproximadamente,

2 3 33,14 3 8 226cm 210cm .

Resposta da questão 7: [D] Sabendo que o volume de um cilindro é dado pelo produto entre a área da base e sua altura, temos:

2

2

3

V ( r ) 25

V 3,14 10 25

V 7.850 cm 7.850 m

π

Resposta da questão 8: [A]

Calculando, inicialmente, o volume do líquido L(V ) :

2 3LV 5 9 225 cmπ π

Determinando a altura x que este líquido ocupará no segundo cilindro:

2 225225 4 x x x 14 cm

16π π

Resposta da questão 9: [C] Considerando R a medida do raio da base do cone e g a medida de sua geratriz, obtemos:

2 2

2 2 2

1R 12 64 R 16 R 4 cm

3

g 12 4 g 160 g 4 10 cm

π π

Resposta da questão 10: [C] Basta calcularmos o volume do cone admitindo sua altura igual a 5 metros. Logo:

2 2(Área da Base) Altura r 5 3,14 4 5A 83.733,33 .

3 3 3

π

Resposta da questão 11: [B] Considerando que a medida do raio da circunferência, circunscrita em um hexágono regular, tem a mesma medida de seu lado, temos:

2 2 2b 2 4 g 20 g 2 5

Logo, sua área lateral será dada por:

L

L

L

A r g

A 2 2 5

A 4 5

π

π

π

Resposta da questão 12: [A] Calculando:

3 3 3

2

10 3 1 10 1 30Cone R 3 R R

7 3 7 3 7

R (hexágono regular)

Pirâmide h R 3 (cone equilátero)

1V B h

3

1 1 R 3 18 30 3 30 90 45V B h 6 R 3 V

3 3 4 12 7 2 7 14 7

ππ

Resposta da questão 13: [C]

A diferença entre os volumes será dada por:

3 2 3cubo cone

1 1V V 8 4 8 512 3 128 384 cm

3 3π

Resposta da questão 14: [C] Para obter quantos metros cúbicos de cereais podem ser armazenados basta somar os volumes do cilindro e do cone. Sabendo que o volume do cilindro é dado pela área da base (ab) multiplicada pela altura (h) e, sabendo que

o raio da base é a metade dos 20 metros de diâmetros da base, temos:

2cilindro

2 3cilindro

V ab h r h

V 3,14 10 10 3140 m

π

Já o volume do cone é análogo, porém, dividido por três. Logo:

2 23

coneab h r h 3,14 10 3

V 314 m3 3 3

π

Somando, temos:

33140 314 3454 m

Resposta da questão 15: [B] Volume da embalagem em cm3:

cilindro coneV V 2V

2 2 31V 3 15 2 3 4 135 24 111 333cm 0,333L

3π π π π π

Resposta da questão 16: [A] Considerando que a medida da trança será dada por:

AB BC x 30, temos:

2 2 2x 3 4 x 5 m

Logo, o tamanho da trança de Rapunzel será dado por: 5 30 35 m.

Resposta da questão 17: [E] O volume do reservatório, em decímetros cúbicos, é dado por

2 2 21012 30 (12 12 6 6 ) 12960 2520

3

15480.

ππ

Assim, tem-se que a resposta é 1

15480 5.160 L.3

Resposta da questão 18: [D] Calcularemos o volume de cada um dos trocos de cone, fazendo a diferença entre o volume do cone maior e o volume do cone menor, conforme nos mostra a figura abaixo:

Os triângulo VPA e VOB são semelhantes, podemos então escrever que:

1x x 12 x 1,5

x 1,5 1 x 1,5 2

Então o volume do tronco de cone será dado por:

331 1 1 3

V 1 33 3 2 2

V8

7V

8

π π

ππ

π

Logo, o volume de concreto usado para a fabricação do tetrápode será dado por:

7 10V 4 1 3,5 1,1 3,5 3,1 1,1 11,935

8 100

ππ

Ou seja, V 12. Resposta da questão 19: [B] Considere a figura abaixo.

Sabemos que e

Logo, como segue que

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo

encontramos

que é a altura procurada. Resposta da questão 20: [E]

Calculando a área A do teto do reservatório, temos: 2

24 4A 32 32 3,1 99,2 m

2

ππ

Portanto, o valor pedido para a construção deste teto será:

valor 99,2 R$ 300 R$ 29.760,00

Resposta da questão 21: [A] Seja r a medida do raio da esfera obtida após a fundição de três esferas idênticas e maciças de

diâmetro 2 cm.

Daí,

3 3

3

3

4 4r 3 1

3 3

r 3

r 3 cm

π π

Observação: Tanto o enunciado quanto as alternativas não garantem que a medida do raio da nova esfera é dado em cm. Resposta da questão 22: [B]

Considere a figura, em que O é o centro da Terra e P

é o pé da perpendicular baixada de N sobre OB.

Sabendo que AON 60 , temos NOP 30 e,

portanto, vem

OP 6cm, O'Q 11cm

PQ 13cm.

OP O'P',

P'Q O'Q O'P' 11 6 5cm.

P'PQ,

2 2 2 2 2PP' PQ P'Q PP' 13 5 12cm,

NP 1 NPsenNOP

2 6400ON

NP 3200km

Ademais, como MPN 2 15 rad,6

π encontramos

MN MPN NP

32006

1600km.

π

Resposta da questão 23: [B]

Volume da semiesfera: 32 R

3

π

32L 2000cm

Portanto:

33 32 R

2000 R 3000 R 1000 R 10cm3

ππ

Resposta da questão 24: [B]

Volume do cilindro: 2CV 3 32 288π

Volume da esfera de raio r: 3

e4 r

V3

π

Fazendo e CV V , temos:

334 r

288 r 216 r 63

π

Resposta da questão 25: [D]

A aresta do cubo será a = 2cm. Portanto, o volume V do cubo será dado por: V = 23 = 8 cm3