3.6 PRECIPITAÇÃO MÉDIA SOBRE UMA BACIA 3.6.1 …Cap3 - Parte2).pdf · Universidade Federal da Bahia – Departamento de Hidráulica e Saneamento Capítulo 3 Grupo de Recursos Hídricos

Universidade Federal da Bahia – Departamento de Hidráulica e Saneamento Capítulo 3

Grupo de Recursos Hídricos - Apostila de Hidrologia 28

3.6 PRECIPITAÇÃO MÉDIA SOBRE UMA BACIA 3.6.1 MÉTODO ARITMÉTICO A precipitação média , calculada por este método , nada mais é do que a média aritmética dos valores de precipitação medidos na área da bacia, o que implica na admissão de que todos os pluviômetros tem a mesma influência na bacia em estudo. O valor da média calculado por tal método apresenta algumas restrições para ser considerado consistente : os aparelhos de medição de precipitação devem estar distribuídos uniformemente na área da bacia ; o relevo não deve ser acidentado ; a área deve ser plana ; e que os dados observados nos aparelhos não se distanciem do valor da média. Além disso, só poderá ser feita a média aritmética com postos dentro da bacia. Deve ser utilizada a seguinte formula:

n

hh

n

i∑= 1

(3.6)

Onde : h i = altura de precipitação de cada posto n = número de postos

3.6.2 MÉTODO DE THIESSEN

Este método considera a não-uniformidade da distribuição espacial dos postos, delimitando geometricamente a área da bacia em que cada aparelho de medição exerce influência. Essas áreas são determinadas em mapas da bacia contendo as estações, unido-se os postos adjacentes por linhas retas (linha cinza) e, em seguida, traçando-se as mediatrizes dessas retas (linha azul) e prolongando-as até que se encontrem ou que saiam da bacia. Os lados dos polígonos (linha cheia) limitam as áreas de influência de cada estação, como pode-se ver na figura 3.14.

Fig. 3.14 – Mapa do método de Tiessen em uma bacia.

A precipitação média é calculada pela média ponderada, entre a precipitação hi de cada estação e o

peso a ela atribuído Ai, que corresponde a área de influência de cada posto, de acordo com a seguinte fórmula:

( )

T

n

ii

A

hAh

∑ ⋅= 1 (3.13)

onde: Ai = área do polígono interna à bacia h i = precipitação observada em cada aparelho AT = área total da bacia n = número de posto.


Grupo de Recursos Hídricos – Apostila de Hidrologia 29

Os postos pluviométricos trabalhados não têm que estar necessariamente dentro da bacia. Esse método dá bons resultados em terrenos levemente acidentados, quando a localização e exposição dos pluviômetros são semelhantes e as distâncias entre eles não são muito grandes. 3.6.3 MÉTODO DA CURVA HIPSOMÉTRICA Quando se trata de calcular a pluviosidade média referente a um período bastante longo (ano, mês,...), numa bacia montanhosa, esse é um processo muito utilizado, e consiste em estabelecer para todas as frações da bacia, que serão tomada como homogêneas, a lei de variação da altura de precipitação, em função da altitude. Dispondo da curva hipsométrica, já anteriormente estudada, que como vimos nos dá a repartição da bacia por altitude, o cálculo da pluviosidade média é feito então atribuindo-se a cada fatia de altitude a precipitação calculada. Conhecendo-se, então as precipitações em cada cota estabelecida pode-se calcular a média da seguinte maneira:

( )∑

∑ ⋅=

i

ii

AhA

h (3.14)

Sendo: Ai = área parcial da bacia hidrográfica correspondente à determinada altitude; h = precipitação correspondente a uma certa altitude.

3.6.4 MÉTODO DA ISOIETAS

É considerado o método mais preciso no cálculo da precipitação média sobre uma bacia.

Consiste na ponderação das precipitações médias entre as duas isoietas que delimitam cada região utilizando como fator peso as suas respectivas áreas.

De posse do mapa das isoietas da região, podemos calcular a média da seguinte forma:

∑∑ ⋅

⋅

=

+

i

ii

A

Ahh

h1

1

2

(3.15)

Sendo: hi e h i+1 = precipitação das duas isoietas sucessivas que delimitam a região; Ai = área de cada região limitada entre duas isoieta e/ou a linha que delimita à bacia.

3.7 FREQUÊNCIA DE PRECIPITAÇÕES

Em Engenharia o conhecimento das características das precipitações apresenta grande interesse de ordem técnica por sua freqüente aplicação nos projetos hidráulicos. Nos projetos dos vertedores de barragens, no dimensionamento de canais, na definição das obras de desvio dos cursos d'água, na determinação das dimensões de galerias de águas pluviais, no cálculo de bueiros, deve-se conhecer a magnitude das enchentes que poderiam ocorrer com uma determinada freqüência. Nos projetos de irrigação e abastecimento d'água, deve-se conhecer a grandeza das estiagens que adviriam e com que freqüência ocorreriam. Portanto, há a necessidade da determinação das precipitações extremas esperadas.

Nos projetos de obras hidráulicas, as dimensões são determinadas em função de considerações de ordem econômica, portanto corre-se o risco de que a estrutura venha a falhar durante a sua vida útil. É necessário, então, conhecer este risco. Para isso analisam-se estatisticamente as observações realizadas nos postos hidrométricos, verificando-se com que freqüência elas assumiram cada magnitude. Em seguida, pode-se avaliar as probabilidades teóricas.



3.7.1- REVISÃO DE ESTATÍSTICA 3.7.1.1- DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU LEI DE GAUSS

A precipitação, enquanto fenômeno natural, é estudada como uma variável aleatória que precisa ser determinada, para isso recorre-se à ferramentas estatísticas. Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição Normal ou Lei de Gauss. Tem-se verificado que se a série de observações pluviométricas anuais é bastante longa, a repartição das freqüências se adapta bem à Lei de Gauss, em função da sua simetria em torno da média, desde que os elementos da série sejam considerados sem ordem de sucessão.

Seja x uma variável aleatória; chama-se ( x ) ao valor

nx

x i∑= (3.15) sendo: xi as medidas da variável x n o número de medidas

Dá-se o nome de desvio-padrão de x à grandeza ( )

1

2

−

−= ∑

nXX

σ (3.16)

A probabilidade de, ao medir x, se encontrar um valor menor ou igual a um extremo xextr é dada pela função de distribuição da Lei de Gauss:

dXexFX

⋅⋅= ∫∞−

− X

2ext 2

21)(

π (3.17)

Fazendo a seguinte mudança de varáveis σ

XXt −= (3.18)

a nova variável t, chamada de normatizada, terá média zero e desvio padrão unitário.



A tabela 3.1 relaciona valores da variável reduzida t com as variáveis x e FN(x). Através desta pode-se determinar analiticamente chuvas máximas e mínimas, frequências e ocorrência e períodos de retorno.

A inferência de índices pluviométricos com base nos parâmetros da distribuição normal só

deve ser feita para totais anuais. Pois é a única distribuição de índices pluviométricos que apresenta boa aderência à distribuição normal. MÉTODO GRÁFICO O ajuste da série de valores anuais de precipitação segundo a curva normal é muito facilitado pelo uso de papéis de probabilidade, no qual a distribuição normal se apresenta como urna reta que passa por três pontos característicos, µ; µ - σ e µ + σ a cujas funções de distribuição são respectivamente F(µ) = 50%; F(µ - σ) = 15,87% e F(µ + σ) = 84,13%. Os períodos de retorno são definidos por T = 1 / F(X) para F(x) < O,5 e T = 1 / l - F(x) para F(x) > O,5 e apresentam, a repartição de freqüência mostrada na Tabela 3. 2.



TABELA 3.2 - Repartição das Freqüências em Função do Período de Retorno

Probabilidades das Alturas Pluviométricas Esperadas

Período de Retorno

Máximas Mínimas 2 anos 50 % 50 % 5 anos 80 % 20 %

10 anos 90 % 10 % 20 anos 95 % 5 % 50 anos 98 % 2 %

100 anos 99 % 1 % 1.000 anos 99,9 % 0,1 %

10.000 anos 99,99 % 0,01 %

3.7.1.2 - ANÁLISE DE FREQUÊNCIA DE EVENTOS EXTREMOS – MÉTODO DE GUMBEL É necessário saber, com base nos dados observados, utilizando os princípios da probabilidade, as máximas precipitações que possa vir a ocorrer, com determinada frequência. Tratando-se de dados de chuvas diárias a ferramenta estatística utilizada é o método de Gumbel. Geralmente, as distribuições de valores extremos de grandezas hidrológicas se ajustam a distribuição de Gumbel ou distribuição tipo I de Fisher-Tippett, que veremos a seguir.

yeeP−−−=1 (3.19)

Onde: P = probabilidade de um valor extremo da série extremo da série ser maior ou igual a variável X = os valores analisados, Y = variável reduzida ,

( )x

nf S

SXXy −= (3.20)

−=

n

nxf S

YSXX (3.21)

Xf = moda dos valores extremos, Sx = desvio padrão da variável X (valores extremos), x = média da variável x, Yn, Sn = respectivamente média e desvio padrão da variável reduzida Y para uma amostra de n valores extremos.

Os valores de Yn e de Sn são dados pela tabela 3.3.

Tab. 3..3 – Valores esperados da média (Yn) e desvio-padão (Sn) da variável reduzidas (Y) em função do número de dados (n).



Por fim, podemos calcular o período de retorno que será dado por :

YeeT −−−

=1

1 (3.22)

Podendo ser também utilizadas as seguintes relações:

PTr 1

= (3.23) F

Tr 11−= (3.24)

Tab. 3.4 – Variável reduzida, probabilidades e período de retorno.

3.7.2 - ANÁLISE DE FREQUÊNCIA DE TOTAIS PRECIPITADOS

Os dados observados devem ser classificados em ordem decrescente e a cada um atribuir-se o seu número de ordem. A freqüência com que foi igualado ou superado um evento de ordem m é:

nmF = (Método Califórnia) (3.10) ou

1+=

nmF (Método Kimbal) (3.11)

onde n é o número de anos de observação.

Considerando-a como uma boa estimativa da probabilidade teórica (P) e definindo o tempo de

recorrência ou período de retorno como sendo o período de tempo médio (medido em anos) em que um determinado evento deve ser igualado ou superado pelo menos uma vez, tem-se a seguinte relação:

FT 1

= (3.12) ou P

T 1= (3.13)

Para períodos de recorrência bem menores que o número de anos de observação, o valor encontrado para F pode dar uma boa idéia do valor real de P, mas para os grandes períodos de recorrência a repartição de freqüências deve ser ajustada a uma lei probabilística teórica de modo a possibilitar um cálculo mais correto da probabilidade.

Já foi mostrado que a maioria das funções de freqüência aplicáveis na análise hidrológica pode ser resolvida de uma forma geral por:

AKxx σ⋅+= (3.14) onde o fator de freqüência K toma várias formas dependendo da aproximação usada.



3.8- MÉTODO DE TABORGA Este método divide o Brasil em isozonas que mostram as seguintes características:

• As isozonas B e C tipificam a

zona de influência marítima, com coeficientes de intensidade suaves.

• As isozonas E e F tipificam as zonas continental e do nordeste, com coeficientes de intensidade altos.

• A isozona D tipificam as zonas de transição (entre continental e marítima). Esta isozonas se prolonga caracterizando a zona de influência do rio Amazonas.

• As isozonas G e H tipificam a zona da caatinga nordestina, com coeficientes de intensidade muito altos.

• A isozona A coincide com a zona de maior precipitação anual do Brasil, com coeficientes de intensidade baixo.

Fig. 3.16 – Mapa de isozonas de Taborga

Tab. 3.5 – TABELA TEMPOS DE RECORRÊNCIA PARA AS ISOZONAS DE TABORGA

TEMPO DE RECORRÊNCIA

ZONA 1 HORA / 24 HORAS CHUVA 6 min - 24 h

5 10 15 20 25 30 50 100 1000 10000 5-50 100

A 36.2 35.8 35.6 35.5 35.4 35.3 35.0 34.7 33.6 32.5 7.0 6.3 B 38.1 37.8 37.5 37.4 37.3 37.2 36.9 36.6 35.4 34.3 8.4 7.5 C 40.1 39.7 39.5 39.3 39.2 39.1 38.8 38.4 37.2 36.0 9.8 8.8 D 42.0 41.6 41.4 41.2 41.1 41.0 40.7 40.3 39.0 37.8 11.2 10.0 E 44.0 43.6 43.3 43.2 43.0 42.9 42.6 42.2 40.9 39.6 12.6 11.2 F 46.0 45.5 45.3 45.1 44.9 44.8 44.5 44.1 42.7 41.3 13.9 12.4 G 47.9 47.4 47.2 47.0 46.8 46.7 46.4 45.9 44.5 43.1 15.4 13.7 H 49.9 49.4 49.1 48.9 48.8 48.6 48.3 47.8 46.3 44.8 16.7 14.9



Relação 24 horas / 1 dia Para correlacionar as precipitações nas estações pluviométricas, determinou-se a relação 24 horas / 1dia, para o tempo de recorrência de base de um ano. O coeficiente é de 1,095 , com um desvio padrão de +- 6,6%. O tempo de recorrência não tem influência prática nesta relação. Sendo que a diferença entre 1 e 10.000 anos de recorrência representa +0,1% de influência. Relação 1 hora / 24 horas

A tabela de taborga identifica isozonas de igual relação, para diferentes tempos de recorrência.

Relação 6 minutos / 24 horas

A tabela incluída no mapa de isozonas identifica, para cada uma delas, a relação 6 minutos / 24 horas de alturas de precipitação, para tempos de recorrência entre 5 e 50 anos e para um tempo de recorrência de 100 anos, sendo este último de pouco uso na prática. (essa relação é valida somente para tempos de duração entre 6 minutos e 1 hora). METODOLOGIA Para a conversão das máximas chuvas diárias, em chuvas com duração entre 6 minutos e 24 horas, adota-se a seguinte metodologia: - converte-se a chuva de 1 dia em chuva de 24 horas, multiplicando-se a primeira pelo fator 1,095,

como já foi explicado anteriormente. - determina-se na figura 3.15, isozona correspondente ao projeto. - calculam-se, com essas percentagens e a chuva de 24 horas (100%), as alturas de precipitação para 6 minutos e 1 hora. - Determinam-se no papel de probabilidades de taborga, as alturas de chuva para 24 horas, 1 hora e 6 minutos de duração. - traçam-se as retas das precipitações de 6 minutos para 1 hora e 1 hora para 24 horas, no papel de probabilidades. - Para qualquer tempo de duração contido entre 6 minutos e 24 horas, lê-se a altura correspondente no gráfico de papel de probabilidades.

3.9 ANÁLISE DE CHUVAS INTENSAS 3.9.1 INTRODUÇÃO

Várias são as situações em que precisamos conhecer o valor máximo de precipitações como também sua duração e frequência correspondente. Em projetos hidraúlicos, tais com vertedouros de barragens, dimensionamento de canais, coletores de águas pluviais, etc., este valor máximo é de crucial importância, no que diz respeito aos riscos a que estamos expostos ao dimensionarmos tais projetos. 3.9.2 VARIAÇÃO DA INTENSIDADE COM A DURAÇÃO Os valores das precipitações intensas são obtidos em pluviógrafos. São diagramas de precipitações acumulada ao longo do tempo, correspondendo a 24 horas de registro contínuo. Os limites de duração são fixados em 5 minutos e 24 horas, pois este primeiro valor é o menor intervalo que se pode ler no pluviógrafo com precisão adequada e este ultimo valor quando excedido podem ser utilizados dados de pluviômetro.



EQUAÇÃO DE INTENSIDADE — DURAÇÃO Pode-se relacionar as duas grandezas (intensidade e duração), por formulas do tipo:

( )btai+

= (3.25)

onde: i = intensidade (mm/h) t = duração (horas) a e b = constantes dependentes da região considerada

Se t > 2 horas, podemos ter

( )ntci = (3.26)

onde: i = intensidade (mm/h) t = duração (horas) c e n = constantes dependentes da região considerada

3.9.3 RELAÇÃO INTENSIDADE–DURAÇÃO–FREQUÊNCIA Correlacionando intensidades e durações das chuvas verifica-se que quanto mais intensa for uma precipitação, menor será a sua duração. Analisando-se as relações intensidade–duração– frequência nos dados de chuvas observadas, determina-se para os diferentes intervalos de duração da chuva, qual o tipo de equação e qual o número de parâmetros dessa equação que melhor caracterizam aquelas relações.

Em geral, essas equações representativas das relações I-D-F são do tipo.

( )nott

ci−

= (3.24)

Onde i = intensidade t= duração to, C, n = parâmetros a determinar de acordo com o local.

Podendo ainda relacionar o valor de C com o período de retorno, da seguinte forma :

(3.25) Onde: K = fator de frequência. Substituindo o valor de C (eq. 3.25) na equação (3.24), obtem-se da maneira mais completa:

( )n

m

ttKTi

0−= (3.26)

mTKC ⋅=



CURVA INTENSIDADE - DURAÇÃO- FREQUÊNCIA (curvas I-D-F). Para a determinação dos parâmetros da equação ( 3.26) lançam-se em coordenadas logarítmicas as séries das intensidades médias máximas ( i ) em função do intervalo de duração ( t ), unindo-se os valores com o mesmo período de retorno (T), obtém-se uma família de curvas paralelas.

Analisando-se essas curvas verifica-se que para cada período de retorno T determinado, a intensidade decresce quando o intervalo de duração t cresce, e que a família da curvas apresenta curvaturas finitas com concavidade voltada para baixo. Marcando-se como abscissas não as durações, mas estas acrescidas de uma constante convenientemente escolhida, consegue-se em geral transformar essa curva em reta. Por tentativas verifica-se qual a constante to que adicionada à duração t permite a anemorfose. As curvas intensidades duração são assim transformadas em retas paralelas por equação geral:

)log(loglog 0ttnCi −−= os parâmetros angular n e lineares logC, bem como os parâmetros da equação 3.25 podem ser determinados pelo método dos mínimos quadrados.

EQUAÇÕES INTENSIDADE – DURAÇÃO – FREQUÊNCIA PARA CIDADES BRASILEIRAS

As seguintes equações que relacionam a intensidade, a duração e a frequência das precipitações foram determinadas para cidades do Brasil:

São Paulo 025,1

172,0

)22(7,3462

+⋅

=t

Ti (3.27) mm/min

T em anos e t em min

São Paulo 0144,086,0

112,0

)15(96,27

−⋅+⋅

=tt

Ti (3.28) mm/min


Curitiba 74,0

15,0

)20(1239

+⋅

=t

Ti (3.29) mm/min


Rio de Janeiro 15,1

217,0

)26(154,99+

⋅=

tTi (3.30)

mm/min T em anos e t em

min

Belo Horizonte 84,0

1,0

)20(87,1447

+⋅

=t

Ti (3.31) mm/min


Salvador 743,0

163,0

)24(66.1065

+⋅

=t

Ti (3.32) mm/h

T em anos e t em horas



QUESTIONÁRIO

1. Quando deve ser utilizada a distribuição de Gauss ou Normal. Escreva a fórmula. 2. Como obter analiticamente chuvas médias máximas e mínimas para determinado período de retorno? 3. Em que situação é preferível a utilização da distribuição de Gumbel à distribuição Normal? 4. Como é feita a determinação da variável reduzida y em função do período de retorno ? 5. Quem são Sn e Yn, e do que dependem estas variáveis ? 6. .Para o que é utilizado o método de Taborga ? 7. Comente sobre a relação entre intensidade e duração das chuvas para a cidade de Salvador.

Documents

3.6 PRECIPITAÇÃO MÉDIA SOBRE UMA BACIA 3.6.1 …Cap3 - Parte2).pdf · Universidade Federal da Bahia – Departamento de Hidráulica e Saneamento Capítulo 3 Grupo de Recursos Hídricos