4multiritmo

© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20081

SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO I Em muitas aplicações é necessário processar a informação a ritmos de amostragem diferentes. O processamento de sinal multiritmo trata do desenvolvimento e análise de técnicas eficientes de alteração da frequência de amostragemExemplo: nos sistemas de áudio profissionais utiliza-se fs=48kHz mas nos discos compactos (CD) é utilizado fs=44.1kHz pode ser necessário fazer a conversão entre os dois ritmos de amostragemAplicações importantes:1) Formatação de espectro em moduladores digitais2) Aquisição de sinais: se um sinal analógico for amostrado a um ritmo muito superior ao

valor mínimo possível dado pelo teorema da amostragem, então o filtro anti-aliasingnecessário antes do sinal ser amostrado e o filtro anti-imagem (reconstrutor) após a conversão D/A podem ser muito mais simples

3) Armazenamento de informação: a informação contida em certos sinais (por exemplo sinais de voz) pode ser codificada/transmitida de forma eficiente usando frequências de amostragem baixas. A reconstrução do sinal é feita usando técnicas de processamento multiritmo

4) Conversão A/D e D/A de alta resolução: a utilização de sobreamostragem em conversores A/D e D/A permite fazer com que o espectro do ruído de quantificação seja �espalhado� por uma banda de frequências muito superior à ocupada pelo sinal

o nº de bits efectivos aumenta.5) Filtragem de banda estreita: O projecto de filtros de banda estreita (quando

comparada com a frequência de amostragem) é complicado requerendo em geral uma ordem elevada (muitos coeficientes). A utilização de técnicas de multiritmo permite realizar estes filtros a uma frequência de amostragem mais baixa, com uma ordem que é muito inferior

6) Rádio digital: permite o processamento/desmodulação directa de sinais RF, sem estágios de frequência intermédia (software radio)

As operações fundamentais do processamento multiritmo são a decimação e a interpolação


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO IIDecimação: redução da frequência de amostragemRedução da frequência de amostragem de um factor inteiro M ou seja, fs fs/MPara que não exista perda de informação é necessário garantir o teorema da amostragem e portanto utilizar um filtro anti-aliasing para eliminar componentes do sinal com frequência f > fs/(2M)

Filtro digitalanti-aliasing

Decimador(compressor)

A decimação consiste em utilizar apenas uma amostra do sinal à saída do filtro anti-aliasing, por cada produzidas. Matematicamente, w(n) édado pela convolução

e a saída y(m) por

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

w n x n h n h k x n k

( ) ( ) ( ) ( )n mMk

y m w n h k x mM k

Exemplo com M = 3


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO IIIDecimação: redução da frequência de amostragem Representação no domínio da frequência: M=3, fs=6kHz

O espectro de x(n) tem componentes com frequência acima de fs/(2M) = 1kHz

Módulo da resposta em frequência do filtro digital anti-aliasing

Após a filtragem (realizada ao ritmo fs) o espectro fica limitado a f <1kHz

Após a decimação o espectro aparece repetido em todos os múltiplos de fs/M


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO IVInterpolação: aumento da frequência de amostragem. Aumento da frequência de amostragem de um factor inteiro L ou seja, fs LfsPara manter a informação na banda de Nyquist que é agora [0 Lfs/2], é necessário utilizar um filtro anti-imagem para eliminar as componentes resultantes com frequência no intervalo [fs/2 Lfs/2]

Filtro digitalanti-imagemInterpolador

(expansor)

A interpolação consiste em inserir L-1 amostras com o valor zero por cada amostra do sinal original. Matematicamente, w(n) é dado por

e a saída do filtro pela convolução

, 0, 2 ,( )

0, outros

mx m L L

Lw nm

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

y m w m h m h k w m k

Exemplo com L = 3


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO VInterpolação: aumento da frequência de amostragemRepresentação no domínio da frequência: L = 3, fs = 2kHz

O espectro de x(n) tem repetições em todos os múltiplos de fs = 2kHz

Após a interpolação para fs=6kHz, a imagem inicial em torno de fs passa a estar na banda de interesse

Resposta em frequência (módulo) do filtro digitalanti-imagem

Após a filtragem obtém-se o espectro original entre 0 e fsmas agora com a frequência de amostragem Lfs = 6kHz


0x

0

1x2x

3x

0x3x

0x

1x2x

3x

2 sT 3 sT

3

3

20 0 sE x T

3 sT0 sT

sT

20 0 sE x T

20 0 3

sTE x

sT3sT0

snT

snT

snT2 sT 3 sT

( )sx nT

( )D sx nT

( )I sx nT

SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO VI

A conversão de frequência pode afectar a energia do sinalExemplo: Cálculo da energia num intervalo

t = Ts

A decimação mantém a energia do sinal

A interpolação diminui a energia do sinal de um factor L necessário compensar este efeito multiplicando as amostras por L

12

0

1lim ( )

K

x s sK n

E x nT TK

1 2

0

1lim

3D

Ks

x s xK n

nTE x T E

K

12

0

1lim

3 3I

Ks x

x sK n

T EE x nT

K

A interpolação pode ser vista como o equivalente digital de uma conversão D/A em que o sinal analógico é recuperado interpolando as amostras (efeito do filtro anti-imagem ou reconstrutor) A decimação pode levar à perda de informação

A interpolação pode replicar a informação em bandas de frequência de interesse


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO VII

Conversão da frequência de amostragem por um factor não inteiroExemplo: Na passagem de CD para DAT é necessário interpolar as amostras por um factor 48/44.1, que não é inteiro mas é racionalRepresenta-se o factor pelo racional L/M(no exemplo: 48/44.1=160/147) de forma que a conversão corresponde a realizar uma interpolação por um factor L seguida de decimação por um factor MPara evitar perda de informação, a interpolação deve anteceder a decimação

Exemplo com L = 3 e M = 2

Estes dois filtros são operados ao mesmo ritmo de amostragem e

podem ser combinados


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO VIIIAnálise no domínio da frequência: L=3, M=2, fs=2kHzConversão multi-estágio: quando são necessárias variações muito grandes da frequência de amostragem (interpolação ou decimação) éconveniente usar estruturas multi-estágio porque permitem a utilização de filtros menos selectivosExemplo: decimador com M=16

032sf sf

2sf

08sf sf

2sf

16M

1 2 4M M

Difícil

Mais fácil


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO IXInterpoladores: estrutura de cálculo com filtros polifase

Exploram o facto de que à saída do interpolador, em cada L amostras, L-1 são nulas a sua contribuição para a saída do filtro anti-imagem não tem de ser calculada

Exemplo: interpolador com L=3 e filtro FIR anti-imagem de ordem N=9

Cada x(n) origina 3 amostras y(m), cada uma das quais calculada como a saída de um de 3 sub-filtros FIR (em geral: L)com 3 coeficientes (em geral: N/L)

Cada sub-filtro opera ao ritmo mais baixo, pré-interpolação (fs)

(0)x

(0)x

(0)x

(0)x

(0)x

(0)x

(0)x

(0)x

(0)x

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

(1)x

(0)w

(1)x

(1)x

(1)x

(1)x

(1)x

0

0

0

0

0

0 0

0 0

(2)x

(2)x

(2)x

0

0 0

(8)w

(0), (3), (6)w w w

(3)w (5)w(1)w (2)w (4)w (6)w (7)w

(1), (4), (7)w w w

(2), (5), (8)w w w

2

3

{ (0), (3), (6)}

{ (1), (4), (7)}

{ (2), (5), (8)}

h h h

h h h

h h h

1s

s

s


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XO cálculo do interpolador é equivalente a:

Em cada uma das L-1 fases, toma-se a saída do filtro respectivo (daí o nome)Os coeficientes dos filtros polifase são:

Linha de atrasocom N/L amostras

0,1, , - 1( ) ( ),

0,1, , 1k

k Ln h k nL N

nL

Banco de LFiltros

polifase

Estrutura utilizada na realização prática


Decimadores: estrutura de cálculo com filtros polifase

Os filtros operam ao ritmo mais baixo, pós-decimação (fs/M)

Os coeficientes dos filtros polifase são:

SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XI

0 1 8

0 3 6

1 4 7

2 5 8

(0) (1) (8)

(0) (3) (6)

(1) (4) (7) saída de 3 filtros

(2) (5) (8)

x h x h x h

x h x h x h

x h x h x h

x h x h x h

Estrutura utilizada na realização prática

Banco de MFiltros

polifase

0,1, , - 1

( ) ( ), 0,1, , 1

k

k M

n h k nM Nn

M


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XIIAplicações

1) Formatação de espectro em modulador digital

bits

( )R sx nT

Atribuição desímbolo

complexo

( )sg nT

( )I sx nT( )sg nT

( )ss nT

02 cos snT

02 sin snT

Filtros de formatação do espectro

F

Modulador

Constelação

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Tempo normalizado, t /T

Pulsos co-seno elevado com

excesso de banda /(2T ) Hertz

0 35.

0 0.1 0.

G f

1T

0 5.

00 1

2T1

2T12T f

1


Resposta impulsional do filtro contínuo: filtro coseno elevado

Filtro FIR com N coeficientes obtidos por truncatura da resposta impulsional:

Com L = 4 amostras símbolo:

Saída do interpolador pode ser calculada com estrutura polifase (4 filtros)

SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XIII

2sin / cos /

( )/ 1 4 /t T t T

g tt T t T

1

-1

1

1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 1

g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 g12 g13

0

( )R sx nT

Linha de atrasodas amostras

Coeficientes emmemória

1

1

0( ) ( ) ( ), 0,1, , 1

NL

Ri

y k nL g k iL x n iL k L

Só estes interessam

|( ) ( ) 0, , 1ss t nTg nT g t n N


2) Disco compacto de áudio

Para não saturar o amplificador de potência e evitar distorção de intermodulação énecessário filtrar as imagens do espectro em torno dos múltiplos da frequência de amostragem fs=44.1kHz necessário filtros analógicos muito bons (e caros�) pois a banda de transição é muito pequena

Ao fazer interpolação com um factor L=4 consegue-se aumentar a banda entre as imagens e consequentemente o filtro anti-imagem com a mesma especificação de atenuação é muito mais simples (e barato�)

SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XIV

0 20 [kHz]f44.1sf

4LMais fácil

88.2

0 20 [kHz]f

44.1 88.2 132.3 4 176.4sf

Muito difícil


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XV

Novo contexto deprocessamento

0 [kHz]f

interpolação L M

0 [kHz]f

Mais fácildecimação M

Difícil realizareste filtro

0 [kHz]f2sf sf

sf2

sfM

sfM

Obtém-se ofiltro

pretendido

sf2

sfM

sfM

3) Filtragem de banda estreitaNum filtro de banda estreita, a banda de passagem é muito pequena quando comparada com a frequência de amostragem. O filtro FIR resultante tem muitos coeficientes o que é desvantajoso porque:1. Aumenta a susceptibilidade relativamente aos erros inerentes à

representação numérica com precisão finita

2. Aumenta o esforço computacional3. Aumenta os requisitos de memória do filtro

Estes problemas podem ser obviados com recurso ao processamento multiritmo:

Filtragem passa-baixo

Filtragem passa-banda


4) Conversores A/D com sobreamostragemRuído de quantificação: quantificador com intervalos de quantificação

Quantificador com B bit:

Admitindo o erro de quantificação uniformemente distribuído no intervalo [- ], o seu valor médio é zero e a variância é, pela definição

Quando se converte uma sinusóide com amplitude A, a potência de sinal é S=A2/2 pelo que a relação sinal-ruído de quantificação vem, em dB

SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XVI

A 0 A Amplitude2 2

0

1( )p

2 2/22 2 2 21

/2( ) 2

12 3BA

p d d

2 22 1 2B B

A A

2

2 2 2/2

SQNR 10 log 10 log 1.76 6 [dB]2 /3B

S AB

A


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XVIIA banda de frequências onde se pode ter o sinal é [-fs/2, fs/2] com largura fs. A densidade espectral de potência do ruído é constante nesta banda e vale

Se o sinal de interesse ocupar apenas uma banda de frequências [-fmax, fmax] então podemos filtrar esta banda passa-baixo e reduzir a potência do ruído de quantificação

2

( ) , 2 2s s

s

f fS f f

f

22( )

max

max

f max

f s

fP S f df

f

2sf

2sf0

maxfmaxf

2

( )s

S ff

Banda de interesse

f

Inverso do factor de sobreamostragem

Princípio: ao aumentar a frequência de amostragem para um valor acima do necessário para representar o sinal (=2fmax), o ruído de quantificação é espalhadonuma banda de frequência de largura e a sua potência pode ser reduzida do factor de sobreamostragem

Princípio: ao aumentar a frequência de amostragem para um valor acima do necessário para representar o sinal (=2fmax), o ruído de quantificação é espalhadonuma banda de frequência de largura e a sua potência pode ser reduzida do factor de sobreamostragem

22( )

max

max

f max

f s

fP S f df

f

Princípio: ao aumentar a frequência de amostragem para um valor acima do necessário para representar o sinal (=2fmax), o ruído de quantificação é espalhadonuma banda de frequência de largura fs e a sua potência pode ser reduzida do factor de sobreamostragem

Princípio: ao aumentar a frequência de amostragem para um valor acima do necessário para representar o sinal (=2fmax), o ruído de quantificação é espalhadonuma banda de frequência de largura fs e a sua potência pode ser reduzida do factor de sobreamostragem

2s

max

fF

f


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XVIIIExemplo: Considere um sinal de áudio com largura de banda 10kHz (unilateral). Calcule

qual a frequência de amostragem a utilizar num conversor de 1 bit de forma a que a conversão seja equivalente à conseguida com um conversor de 12 bit

A frequência de amostragem mínima com o conversor de 12 bit é fs=2fmax=20kHz e a potência do ruído de quantificação é

Para se ter a mesma potência de ruído de quantificação com um conversor de 1 bit deve verificar-se

e portanto:

Exemplo: Considere um sinal de áudio com largura de banda 10kHz (unilateral). Calcule qual a frequência de amostragem a utilizar num conversor de 1 bit de forma a que a conversão seja equivalente à conseguida com um conversor de 12 bit

A frequência de amostragem mínima com o conversor de 12 bit é fs=2fmax=20kHz e a potência do ruído de quantificação é

Para se ter a mesma potência de ruído de quantificação com um conversor de 1 bit deve verificar-se

e portanto:

2 2 122 2(12 )

3A

bit

2 2 2 12 11

2 2 12(1 ) 2 /3

(12 ) 22 /3

bit Abit F

F A

20kHz 40.96MHzsf F

Podem conseguir-se factores de redução da potência de ruído de quantificação aliando à sobremostragem técnicas de formatação do espectro do ruído (noiseshaping)


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XIXAplicações de electrónica de consumo, principalmente áudio, requerem conversores A/D e D/A de elevado desempenho e muito baratosEstes requisitos são difíceis de conseguir com as técnicas de conversão habituais (aproximações sucessivas, dupla rampa, etc�) devido aos erros no processo de conversão (erros de Sample & Hold, linearidade, monotonicidade, etc)

Conversores de 1 bit: não utilizam S/H e não têm estes erros. Além disso são baratos. O seu desempenho é conseguido à custa de:

Sobreamostragem (oversampling)Formatação da densidade espectral do ruído de quantificação (noise shaping)As palavras de saída obtêm-se com técnicas de decimação

Modelo:

Devido à realimentação negativa, o sistema tende a ter à entrada do filtro um sinal que em média éaproximadamente zero (o ADC de 1 bit é um comparador com ganho muito elevado)Desta forma o sinal de saída é uma sequência de bits com uma densidade de �1�s que representa a amplitude do sinal de entrada


O modelo de processamento de sinal é:

Funções de transferência (integrador de 1ª ordem):

O sinal x(n) passa para a saída sem modificaçãoe o ruído de quantificação é afectado pela funçãode transferência N(z), do tipo passa-altoAs componentes do espectro do ruído na banda de frequências do sinal são fortemente atenuadas

SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XXO ruído de quantificação é

somado neste ponto (comparador)

11

1

( )

1( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )

N z

Y z E z X z z Y zz

X z z E z


Por cada oitava (duplicação da frequência de amostragem) o aumento da SNR devido àsobreamostragem é de 6dB. O restante édevido à acção do filtro de noise-shaping: 3dB para filtro de 1ª ordem, 9dB para 2ª ordem, 15dB para 3ª ordem. Em geral, (-3+6n)dB para filtro de n-ésima ordem

SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XXIResposta do filtro digital. Este filtro é um filtro anti-aliasing para a decimação. Ao rejeitar a maior parte do espectro do ruído de quantificação o número efectivo de bits vem aumentado

Espectro do sinal após filtragem, pré-decimação. Notar que a decimação propriamente dita não altera em nada a SNR.Podem usar-se estruturas de decimação polifase

O filtro pré-decimação introduz um atraso de grupo (que pode ser constante, filtro FIR com fase linear). Isto é um grande inconveniente porque existe um grande atraso entre o sinal analógico e a amostradigital de saída


5) Rádio digital (software radio)Exemplo: Rádio digital de banda larga (Watkins-Johnson Inc.) para estação base

Toda a banda RF de interesse, com largura de banda 14MHz é convertida para banda de base por um único desmodulador

O sinal é depois convertido pelo ADC a um ritmo fs=30.72 MHz, ligeiramente superior a 2 14MHz. Este sinal real tem todos os canais de rádio-frequênciaCada canal é recuperado digitalmente (software) por um desmodulador complexo em quadratura que opera ao ritmo fsApós a desmodulação, o sinal (complexo) de cada canal é decimado por um factor M=384 ficando referido a uma frequência fs2=80kHz

SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XXII

2sf

15.36MHz2sf0

f

2sf

15.36MHz2sf0

f

0( )H fsff

N

2j nNe


Decimadores e interpoladores para rádio digital: filtros CIC (Cascade Integrator Comb)Estruturas de cálculo eficiente que podem ser usadas em qualquer aplicação em que sejam necessários factores de decimação/interpolação elevados

Cascata de N integradores HI(z) com N filtros Comb com função de transferência C(z)

SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XXIII

Integrador Filtro comb

11

1( ) 11 ( )

1( ) 1

NMI

M

H z zz H zzC z z

sin2( )

sin2

Ns

s

M T

H j T zeros em , 1, , 1sk

ff k k M

M


SEPS – PROCESSAMENTO MULTIRITMO XXIVAs bandas de frequência que poderiam provocar aliasing após a decimação são fortemente atenuadasDesvantagens dos filtros CIC:

1) O ganho do filtro em DC é |H(0)|=MN que pode tomar valores muito elevados e requerer registos com muitos bits

2) O controlo das características do filtro épouco versátil: apenas podemos mudar N(versões mais complexas permitem a introdução de outro parâmetro nas secções Comb que aumenta a versatilidade controlando a localização dos zeros da função de transferência)Vantagens dos filtros CIC:

1) Não são necessárias multiplicações2) Não é necessário guardar coeficientes em memória

3) A estrutura do filtro é regular, facilmente replicável

Nota: Deve utilizar-se aritmética em complemento para 2 de forma a que eventuais overflowsintermédios não influenciem o resultado final

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