Algebra Linear IITransformacoes Lineares

Exerccios

1. Defina Tranformacao Linear.

2. Sejam V e W espacos vetoriais e T : V W uma transformacao linear. Mostre que T (0) = 0e T (v) = T (v) para todo v V .

3. Quais das transformacoes abaixo sao lineares? Justifique sua resposta.

(a) T : R R, T (x) = ax, onde a R;(b) T : R2 R, T (x, y) = x + y;(c) T : R3 R3, T (x, y, z) = (x, 2y, 0);(d) T : R R3, T (x) = (x, 0);(e) T : R4 R3, T (x, y, z, w) = (x w, y w, x + z);(f) T : M22(R) R, T (

(a bc d

)) = a + d;

(g) T : M22(R)M22(R), T ((a bc d

)) = ad bd;

(h) T : M22(R) R4, T ((a bc d

)) = (a, b, c, d);

(i) T : M22(R) P3, T ((a bc d

)) = ax3 + bx2 + cx + d;

(j) T : P2 P3, T (ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx.4. Defina transformacao linear injetiva, sobrejetiva e bijetiva.

5. Verifique quais das aplicacoes lineares da questao 3 sao injetivas, sobrejetivas e bijetivas.

6. Sejam V e W espacos vetoriais e T : V W uma transformacao linear. Defina o nucleo e aimagem de T e mostre que ambos sao subespacos de V e W respectivamente.

7. Encontre o nucleo e a imagem de cada uma das transformacoes lineares da questao 3 e obtenhabases para tais subespacos.

8. Sejam V e W espacos vetoriais e T : V W uma transformacao linear. Mostre que T e injetivase, e somente se, ker(T ) = 0.

9. Sejam V e W espacos vetoriais e T : V W uma transformacao linear. Mostre que T einjetiva se, e somente se, T leva vetores linearmente independentes em vetores linearmenteindependentes.

10. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita n. Mostre que V e isomorfo ao Rn.

11. Enuncie e demonstre o Teorema do Nucleo e da Imagem.

12. Sejam V e W espacos vetoriais de mesma dimensao finita n. Mostre que uma transformacaolinear T : V W e injetiva se, e somente se, e sobrejetiva e portanto um isomorfismo.

13. Sejam V e W espacos vetoriais, {v1, . . . , vn} uma base de V e w1, . . . , wn W . Mostre queexiste uma unica transformacao linear T : V W tal que T (v1) = w1, T (v2) = w2, . . .,T (vn) = wn.

14. Encontre uma transformcao linear T : R2 R3 tal que T (1, 0) = (2,1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).