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Estabilidade
(C. T. Chen, Capítulo 5)
Sistemas Lineares
Introdução• Sistemas são projetados para cumprir certas tarefas ou processar
sinais. Se um sistema não é estável, ele pode queimar, desintegrar-se ou saturar quando um sinal, não importa quão pequeno, é aplicado. Portanto, um sistema instável é inútil na prática, e estabilidade é uma exigência básica para todos os sistemas. Além da estabilidade, sistemas devem atender outros requisitos, tais como rastrear sinais desejados e suprimir ruído, para ser útil na prática.
• A resposta de sistemas lineares pode sempre ser decomposta na resposta ao estado zero e na resposta à entrada zero. É costume estudar as estabilidades dessas duas respostas separadamente. Nós introduziremos a estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output) para a resposta ao estado zero e as estabilidades marginal e assintótica para a resposta à entrada zero.
Pêndulo invertido
Ver capítulo 2, para sua descrição linearizada (haste em posição bem próxima à vertical)
Sistema originalmente instável.
Efeitos da instabilidade
A ponte pênsil Tacoma Narrows, em Tacoma, Washington, USA, com 1600 m, colapsou em 7 de novembro de 1940, alguns meses depois de ser inaugurada. O colapso ocorreu após um vento de 65 km/h fazê-la vibrar e entrar em ressonância.
Acesso a vídeo: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/Tacoma_Narrows_Bridge_destruction.ogg
Ponte Tacoma Narrows
Estabilidade entrada-saída (BIBO stability)
Teorema 5.1
Um sistema SISO descrito por (5.1) é estável no sentido BIBO se, e somente se, é absolutamente integrável em , ou
para alguma constante .
Provaa) suficiência: se é absolutamente integrável, toda entrada limitada excita uma saída limitada (o sistema é BIBO estável)
a) necessidade: se o sistema é BIBO estável é absolutamente integrável
Prova por contradição: se não é absolutamente integrável, alguma entrada limitada gerará uma saída ilimitada
Em geral, porém, uma função absolutamente integrável é limitada e se aproxima de zero quando
Teorema 5.2
�̂� (0 )=∫0
∞
𝑔 (𝜏 )𝑒− 0.𝜏𝑑𝜏=∫0
∞
𝑔 (𝜏 )𝑑𝜏
Caso discreto
Teorema 5.D3
Tabela de Routh
Tabela de Routh-Hurwitz
Exemplo
Estabilidade interna
(ver Capítulo 4)
Polinômio mínimo: . No caso acima, , ou seja, o polinômio mínimo é mesmo .
Caso discreto
A demonstração é similar ao caso de tempo contínuo, usando a forma de Jordan de .
Teorema de Lyapunov
Prova do teorema
Caso discreto da Equação de Lyapunov
Estabilidade de sistemas LTV