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6. Equilíbrio do Corpo Rígido

6.1 Generalidades

Um corpo rígido está em equilíbrio sob a acção das forças (aplicadas e reactivas) quando este sistema de forças é equivalente a zero, ou seja (vectorialmente):

0=ROM0=R

ou, na sua forma escalar

∑ == 0MM oxRox∑ == 0FR xx

∑ == 0MM oyRoy∑ == 0FR yy

∑ == 0MM ozRoz∑ == 0FR zz

Devem ser considerados os efeitos das forças aplicadas no corpo, assim como as reacções de apoio (que funcionam, na generalidade dos casos como incógnitas). 6.2 Sistemas de Apoio

O efeito dos apoios exteriores pode ser considerado segundo duas perspectivas diferentes e complementares: • Restrição ao movimento do corpo – bloqueando um ou mais

dos movimentos independentes (de translação e de rotação) que o corpo pode apresentar;

• Incógnitas estáticas (forças e momentos) que podem ser parcial ou totalmente determinadas através da solução das equações de equilíbrio.

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6.3 Diagrama de Corpo Livre

A solução das equações de equilíbrio deve ser formulada considerando diagramas de corpo livre nos quais se representam as forças aplicadas (peso – no centro de gravidade, e outras), assim como as forças de reacção. No seu formato habitual, conhecem-se as forças aplicadas (cargas concentradas e/ou distribuídas) e determinam-se as incógnitas que consistem nas forças (e momentos) que traduzem as ligações entre as várias partes do corpo, assim como entre o corpo e o exterior. As equações resultantes de se considerar que o sistema de forças total (forças aplicadas+incógnitas/reacções) é equivalente a zero permitem assim o cálculo das forças de ligação (interiores e exteriores).

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7. Estatia e Equilíbrio

7.1 Generalidades

A classificação duma estrutura em termos de estatia resulta dum balanço entre o número de equações de equilíbrio disponíveis e o número de incógnitas estáticas que surgem na sequência das suas ligações (exteriores e interiores). Assim, define-se o grau de hiperestatia α duma estrutura através de: α = número de incógnitas estáticas – número de equações de equilíbrio disponíveis Quando este número é nulo a estrutura diz-se isostática, quando é negativo a estrutura diz-se hipoestática. Numa estrutura hiperestática, o grau de hiperestatia dá-nos o grau de indeterminação das equações de equilíbrio. Torna-se então necessário formular equações adicionais (do âmbito da Resistência de Materiais, por exemplo). O grau de hiperestatia traduz também o número de ligações a mais relativamente ao número de ligações estritamente necessário para impedir o movimento da estrutura. Numa estrutura hipoestática, o grau de hipoestatia dá-nos o número de deslocamentos independentes que a estrutura pode apresentar – a estrutura é um mecanismo –. O grau de hipoestatia traduz também o número de ligações em falta relativamente ao número de ligações estritamente necessário para impedir o movimento da estrutura. Numa estrutura isostática as equações de equilíbrio (estáticas) têm uma e uma só solução. O número de ligações é o estritamente necessário para impedir a ocorrência de movimentos.

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7.2 Sistemas de Ligações Exteriores – Estatia exterior αE

Sistemas de ligações exteriores: Figuras extraídas de Engineering Mechanics: Statics. RILEY, William F.; STURGES, Leroy. John Wiley and Sons, 1996.

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Figuras extraídas de Engineering Mechanics: Statics. RILEY, William F.; STURGES, Leroy. John Wiley and Sons, 1996.

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Cálculo da estatia exterior: A estatia exterior αE é determinada subtraindo ao número de incógnitas (reacções exteriores) o número de equações de equilíbrio global disponíveis (3 ou 6 consoante se tratem de estruturas planas ou espaciais).

⎩⎨⎧

−=espacial6

plano3REα

Casos particulares: pode acontecer que as ligações exteriores são em número suficiente, ou até mais do que suficiente, e a estrutura apresenta movimentos de corpo rígido. Diz-se então que a estrutura apresenta as ligações exteriores mal distribuídas – LEMD. Exemplos (2D): Ligações concorrentes ligações paralelas Exercício: Problema 14 (Mecânica 1, Civil, Enunciados de problemas)

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7.3 Sistemas de Ligações Interiores – Estatia interior αI

Ligações interiores (tipificação): Ligação contínua entre duas ou mais barras Ligação articulada entre duas ou mais barras A classificação duma estrutura em termos da sua estatia interior traduz a indeterminação das equações de equilíbrio referentes aos diversos corpos que constituem a estrutura, assumindo que as forças de ligação exterior (reacções) são conhecidas. Uma forma alternativa consiste em assimilar o grau de hipostatia à diferença entre o número de graus de liberdade 3(C-1) e o número L de ligações interiores:

( )1C3LI −×−=α

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Casos particulares: também nas ligações interiores pode acontecer que, a despeito do número de ligações ser suficiente (ou até mais do que suficiente), a estrutura apresente movimentos internos. Diz-se então que a estrutura apresenta as ligações internas mal distribuídas – LIMD. Estes casos estão habitualmente associados a estruturas com uma concentração de ligações em determinadas regiões, e um défice destas em outras regiões. Procedimento proposto: abstrair a estrutura das suas ligações ao exterior; aplicar um número estritamente necessário de ligações ao exterior (3); se persistirem movimentos trata-se de uma estrutura com ligações interiores mal distribuídas (LIMD). Aplicável apenas quando pelos cálculos a estrutura é isostática ou hiperestática interior (αΙ>=0). Exercício: Problema 15 h) e r) (Mecânica 1, Civil, Enunciados de problemas).

7.4 Estatia global αG

A estatia global obtem-se, na generalidade dos casos, através da soma algébrica da estatia interior com a estatia exterior. Observe-

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se, no entanto, que a hiperestatia interior nunca pode compensar a hipoestatia exterior. Exercício: Problema 15 (Mecânica 1, Civil, Enunciados de problemas) diversos 7.5 Outros Métodos

Método das estruturas arborescentes Consiste em, tendo por base uma estrutura sem libertações interiores, introduzir um determinado número C de cortes por forma a transformá-la num conjunto de estruturas arborescentes (isostáticas). Nestas condições o grau de hiperestia é αi=3C. Método misto Derivação do método das estruturas arborescentes em que há que previamente bloquear um número L de libertações interiores ou exteriores pré-existentes. Nestes casos tem-se αg=3C-L. Exercício: Problema 15 p) e q) (Mecânica 1, Civil, Enunciados de problemas)

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Método das Estruturas Trianguladas Qualquer estrutura que seja construída a partir duma estrutura triangular básica através da adição, por fases, de conjuntos de duas barras e uma articulação é uma estrutura triangulada. Uma estrutura triangulada é interiormente isostática. Este método pode ainda ser utilizado para, através da comparação do número de barras em excesso/defeito relativamente a uma estrutura triangulada análoga, nos dar o grau de hiperestatia/hipoestatia interior. Exercício: Problema 15 g), i) e j) (Mecânica 1, Civil, Enunciados de problemas)

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8. Estática de Estruturas

8.1 Generalidades

O objectivo da Estática de Estruturas consiste na determinação das forças de ligação – interiores, entre as várias partes (barras) e exteriores, reacções de apoio – em estruturas. Numa fase posterior pretende-se determinar os esforços internos (forças de ligação medidas num referencial solidário com a barra) ao longo das mesmas barras. No formato convencional conhecem-se as acções (cargas concentradas, cargas distribuídas, etc.) e pretende-se determinar as forças de ligação (incógnitas).

8.2 Forças de ligação interiores e exteriores

As forças de ligação exteriores são as reacções de apoio e a sua natureza (componentes) depende do tipo de apoio. As forças de ligação interiores são exercidas entre as várias partes da estrutura. No caso mais geral da ligação entre barras, podemos ter ligações articuladas ou ligações contínuas. As ligações articuladas pressupõem duas forças independentes e as ligações contínuas têm em acréscimo um momento. Ligação articulada Ligação contínua

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8.3 Estruturas articuladas – métodos dos nós e das secções

Treliças – estruturas articuladas com barras rectas e com as cargas aplicadas nos nós. Há, genericamente, dois métodos de análise: • Método dos nós – impor progressivamente o equilíbrio dos

nós sob acção das forças transmitidas pelas barras e aplicadas nos nós (em cada passo há que garantir que o número de incógnitas não é superior a 2, no caso plano).

• Método das secções – seccionar a estrutura e impor o equilíbrio de uma das sub-estruturas seccionada (3 equações de equilíbrio no caso plano.

Ponte

Cobertura

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Exercício: Problema 22 (Mecânica 1, Civil, Enunciados de problemas)

Exercício: Problema 24 (Mecânica 1, Civil, Enunciados de problemas)

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8.4 Estruturas reticuladas – reacções de apoio

Estrutura reticulada – estrutura constituída por barras rectas (por exemplo pórtico). As ligações interiores entre as barras podem ser contínuas ou articuladas. As forças (ou cargas distribuídas podem estar aplicadas nas barras ou nos nós). Cálculo de reacções Estrutura exteriormente isostática (αE=0) Impor as 3 (plano) equações de equilíbrio exterior e determinar as reacções e apoio. Exemplos:

A B

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Estrutura exteriormente hiperestática (αE>0) Impor as 3 (plano) equações de equilíbrio exterior. Torna-se necessário escrever αE equações de equilíbrio interiores. Exemplos:

A B CD

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8.5 Estruturas reticuladas – forças de ligação interiores

Estrutura reticulada – estrutura constituída por barras rectas (por exemplo pórtico). As ligações interiores entre as barras podem ser contínuas ou articuladas. As forças (ou cargas distribuídas podem estar aplicadas nas barras ou nos nós). Exercício: Exame 25/07/2003

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Procedimento sugerido: 1. Classificar a estrutura do ponto de vista da sua estatia exterior

(+1), interior (-1) e global (0). 2. Substituir cargas distribuídas pelas suas resultantes (carga de

10 kN/m na barra BI é substituída por uma carga concentrada de 20 kN a ½ altura).

3. Impor as 3 equações de equilíbrio exterior (insuficientes para calcular as reacções porque a estrutura é exteriormente hiperestática do 1º grau).

4. Impor uma equação de equilíbrio interior expressa em termos das reacções exteriores (por exemplo, equilíbrio de momentos à esquerda de E).

5. Resolver o sistema de 4 equações a 4 incógnitas e determinar reacções exteriores.

6. Traçar os diagramas de corpo livre das várias sub-estruturas. 7. Impor para cada sub-estrutura as equações de equilíbrio e

determinar as forças de ligação interiores.

A

B

5 kN

20 kN 20 kN

H

F

EC

D

I

G

20 kN

E

HAVA

HEVE

HEVE VF

HF

MF

VFHF

MF

VBHB

MB

20 kN