67831875-fisica

v.20 n.3

2009

Mecnica dos Fluidos: Uma Abordagem HistricaLuciano Denardin de Oliveira Paulo Machado Mors

Programa de Ps-Graduao em Ensino de FsicaUFRGS

Textos de Apoio ao Professor de Fsica, v.20 n.3, 2009 Instituto de Fsica UFRGS Programa de Ps Graduao em Ensino de Fsica Mestrado Profissional em Ensino de Fsica

Editores: Marco Antonio Moreira Eliane Angela Veit

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP) Biblioteca Professora Ruth de Souza Schneider Instituto de Fsica/UFRGS

O48m Oliveira, Luciano Denardin Mecnica dos fluidos : uma abordagem histrica / Luciano Denardin Oliveira, Paulo Machado Mors Porto Alegre: UFRGS, Instituto de Fsica, 2009. 101 p.; il. (Textos de apoio ao professor de fsica / Marco Antonio Moreira, Eliane Angela Veit, ISSN 1807-2763; v. 20 , n. 3) Produto do trabalho de concluso do Curso de Mestrado Profissional, do Programa de Ps-Graduao em Ensino de Fsica, da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 1. Mecnica de fluidos 2. Ensino de Fsica 3. Ensino mdio I. Mors, Paulo Machado. II. Ttulo III. Srie. PACS: 01.40.E

Impresso: Waldomiro da Silva Olivo Intercalao: Joo Batista C. da Silva

TEXTOS DE APOIO AO PROFESSOR DE FSICA IF-UFRGS

OLIVEIRA, L. D. & MORS, P.M.

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APRESENTAO

O texto Mecnica dos Fluidos: Uma Abordagem Histrica o produto do trabalho de Mestrado de um dos autores (LDO) junto ao Programa de Ps-graduao em Ensino de Fsica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. A idia o uso de elementos histricos como agente facilitador do aprendizado da Mecnica dos Fluidos no Nvel Mdio. O material instrucional est alicerado nas idias da teoria da aprendizagem significativa de Ausubel e Novak. Alm de tpicos histricos, o texto apresenta associaes com o cotidiano do aluno. Complementam a aplicao da proposta a realizao de atividades experimentais e o uso de vdeos que representam os fenmenos fsicos discutidos em aula. Inclumos, tambm, o Roteiro do Professor, com sugestes elaboradas visando auxiliar os professores que se dispuserem a utilizar o material. A estes, desejamos sucesso e que nosso trabalho lhes seja proveitoso.

Porto Alegre, outubro de 2009

Luciano Denardin de Oliveira

Paulo Machado Mors



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SUMRIO

CAPTULO 1: PRIMEIROS CONCEITOS .............................................................................................. 7 1.1 O que um fluido? .......................................................................................................................... 7 1.2 Densidade ........................................................................................................................................ 7 1.2.1 Exemplos Resolvidos em Aula........................................................................................................9 1.3 Presso............................................................................................................................................. 9 1.3.1 Exemplos Resolvidos em Aula......................................................................................................10 1.3.2 Exerccios Propostos.....................................................................................................................11 CAPTULO 2: TORRICELLI E A PRESSO ATMOSFRICA ............................................................ 15 2.1 Experimento de Torricelli ............................................................................................................. 16 2.2 Presso Atmosfrica..................................................................................................................... 19 2.3 Experimento de Von Guericke (Hemisfrios de Magdeburgo) ................................................ 21 2.3.1 Exemplo Resolvido em Aula .........................................................................................................22 2.3.2 A Fsica Nossa de Cada Dia: presso atmosfrica, bebendo de canudinho, furos na lata de leite condensado e abrindo o requeijo. ................................................................................................22 2.3.3 Exerccios Propostos.....................................................................................................................23 CAPTULO 3: STEVIN E OS VASOS COMUNICANTES .................................................................... 27 3.1 Teorema Fundamental da Hidrosttica (Teorema de Stevin), Vasos Comunicantes e Paradoxo Hidrosttico ........................................................................................................................ 27 3.1.1 Exemplos Resolvidos em Aula......................................................................................................32 3.1.2 A Fsica Nossa de Cada Dia: presso sangnea. .......................................................................33 3.2 Variao da Presso com a Profundidade ................................................................................. 33 3.2.1 Exemplos Resolvidos em Aula......................................................................................................34 3.3 Lquidos Que No Se Misturam ................................................................................................... 34 3.3.1 Exemplos Resolvidos em Aula......................................................................................................35 3.3.2 Exerccios Propostos.....................................................................................................................36 CAPTULO 4: PASCAL E A PRENSA HIDRULICA ......................................................................... 43 4.1 Princpio de Pascal........................................................................................................................ 43 4.1.1 A Fsica Nossa de Cada Dia: freio hidrulico................................................................................46 4.1.2 Exemplos Resolvidos em Aula......................................................................................................47 4.1.3 Exerccios Propostos.....................................................................................................................47 CAPTULO 5: ARQUIMEDES E A COROA DO REI HIERON ............................................................ 51 5.1 Princpio de Arquimedes (Empuxo) ............................................................................................ 53 5.1.1 Exemplo Resolvido em Aula .........................................................................................................54 5.1.2 Anlise Qualitativa do Empuxo .....................................................................................................54 5.1.3 Expresso Matemtica do Empuxo...............................................................................................55

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5.1.4 A Fsica Nossa de Cada Dia: Mar Morto.......................................................................................57 5.1.5 A Fsica Nossa de Cada Dia: navios e submarinos. .....................................................................58 5.1.6 Exemplos Resolvidos em Aula......................................................................................................59 5.2 Peso Aparente ............................................................................................................................... 60 5.2.1 Exemplos Resolvidos em Aula......................................................................................................61 5.2.2 Exerccios Propostos.....................................................................................................................62 CAPTULO 6: BERNOULLI E A HIDRODINMICA ............................................................................ 73 6.1 Escoamento e Vazo..................................................................................................................... 74 6.2 Equao da continuidade ............................................................................................................. 76 6.2.1 Exemplos Resolvidos em Aula......................................................................................................77 6.2.2 A Fsica Nossa de Cada Dia: colapso arterial...............................................................................78 6.3 Equao de Bernoulli.................................................................................................................... 78 6.3.1 Exemplo Resolvido em Aula .........................................................................................................80 6.3.2 A Fsica Nossa de Cada Dia: destelhamento. ..............................................................................80 6.4 Equao de Torricelli .................................................................................................................... 80 6.5 Efeito Magnus ................................................................................................................................ 81 6.5.1 Exerccios Propostos.....................................................................................................................82 ROTEIRO DO PROFESSOR ................................................................................................................ 85

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CAPTULO 1: PRIMEIROS CONCEITOS

1.1 O que um fluido?

Os corpos no estado slido tm como caracterstica principal o fato de possurem uma forma e volume bem definidos. Isto advm do fato das interaes entre as molculas serem muito intensas, no lhes permitindo uma grande mobilidade. J nos lquidos, as interaes intermoleculares so um pouco mais tnues, o que resulta numa maior distncia entre as molculas, mas mesmo assim a coeso entre elas ainda significativa. Sendo assim, os lquidos tendem a possuir uma forma esfrica e um volume bem definido. Todavia, esta propriedade fica mais evidente quando a ao gravitacional sobre os lquidos pode ser desprezada, quando dizemos que eles se encontram em situao de imponderabilidade; ou, quando este no for o caso, para lquidos em que as foras intermoleculares sejam intensas (o mercrio um exemplo). Caso contrrio, um lquido continuar a possuir um volume definido, mas no uma forma definida, de maneira que, mantendo seu volume, o lquido se acomoda ao recipiente onde colocado, tomando a forma deste. As molculas que constituem um material no estado gasoso tm por caracterstica estarem muito afastadas umas das outras, o que resulta numa fraca interao entre elas; logo, um gs no possui nem forma, nem volume definidos, ou seja, um gs tende sempre a ocupar todo o volume de que dispe. Por esta razo, quando algum quebra um frasco de perfume em um ponto de um aposento, a fragrncia logo percebida por indivduos nos diversos outros pontos do aposento. Conclumos, ento, que lquidos e gases podem fluir; logo, so chamados de fluidos. Um fluido tudo aquilo que possui a propriedade de escoar.

1.2 Densidade

Um corpo de massa m, independente de suas caractersticas, ocupa um volume V no espao, de forma que se define a grandeza escalar densidade () como:

=

m . V

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Desta forma, quanto maior for a massa ocupando uma unidade de volume, maior ser a densidade do corpo, ou seja, mais denso ele ser. A densidade depende basicamente da massa dos tomos do corpo e do espao entre eles. Imagine duas garrafas PET de 2 litros. Enchemos uma delas com chumbo, e a outra com isopor. Pelo fato do isopor ser menos denso que o chumbo, a garrafa com isopor ser mais leve que aquela com chumbo, j que os volumes so iguais. A unidade do sistema internacional de unidades (SI) para a densidade o kg/m3, mas muitas vezes conveniente expressarmos a densidade em g/cm . A converso de unidades, neste caso, : 1 g/cm3= 1x103 kg/m3 (verifique isto!). A densidade do alumnio 2,7 g/cm ; porm, uma esfera oca feita de alumnio apresenta uma densidade diferente (e menor), j que o seu volume engloba uma quantidade de outra substncia, o ar. A tabela 1 apresenta as densidades de algumas substncias.3 3

Tabela 1: Densidades de diversas substncias.Substncia Densidade (g/cm ) gua Gelo lcool Mercrio Alumnio Ferro Chumbo Platina 1,00 0,92 0,80 13,6 2,7 7,9 11,3 21,53

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1.2.1 Exemplos Resolvidos em Aula

1. Um dado material de 40 g ocupa um volume de 2 cm . Qual a densidade desse material, em kg/m3?

3

2. O que pesa mais, um litro de gelo ou um litro de gua?

3. No nvel do mar o volume de 1 litro contm 1,3 g de ar. Estime a massa de ar da sua sala de aula.

4. Um cilindro tem 5 cm como rea da base e 20 cm de altura, sendo sua massa total igual a 540 g. Este cilindro oco, tendo a parte oca a forma de um cubo de 64 cm3 de volume. Determine: a) a densidade do objeto; b) a densidade da substncia de que ele feito.

2

1.3 Presso

Por que as mulheres, ao andarem de salto alto na praia, vem seus ps afundarem? Por que isto no ocorre quando andamos descalos? Por que os trilhos de uma ferrovia so apoiados sobre dormentes? Como o faquir pode se deitar numa cama cheia de pregos? Todos estes fatos esto relacionados com a grandeza fsica presso. Imagine o corpo abaixo (figura 1), colocado nas trs posies indicadas. Em qual delas a presso sobre a superfcie horizontal maior?

1

2

3

Figura 1: O mesmo corpo apoiado sobre uma superfcie horizontal de trs maneiras diferentes.

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A fora peso exercida sobre o corpo nos trs casos a mesma (pois a massa e o campo gravitacional so os mesmos). Como os corpos esto em equilbrio, a reao fora normal (exercida pelo corpo sobre a superfcie) a mesma nos trs casos e igual, em mdulo, fora peso. Todavia, como no caso 3 a rea de contato do corpo com a superfcie menor, a presso exercida maior. Voc consegue agora compreender por que uma taxinha tem a ponta bem fina e a cabea larga? A presso pode ser determinada atravs da seguinte relao:

P=onde:

F , A

P presso [N/m2 = pascal = Pa] F componente perpendicular da fora aplicada sobre uma superfcie [N] A rea de contato [m ]* As unidades apresentadas correspondem s utilizadas no SI. Se uma moa caminha descala na areia da praia, deixa pegadas sutis pelo caminho. Agora, se esta tarefa realizada com salto alto, o salto afunda na areia, pois mesmo que a fora que a intrpida aventureira exerce sobre o cho seja a mesma nos dois casos (em mdulo, igual ao peso), a rea de contato no segundo caso menor, logo a presso exercida sobre a areia maior.2


1. Qual a presso exercida por um corpo de 3 kg quando apoiado sobre uma rea de 1 m2?

2. Um cubo de 2 m de aresta tem massa de 10 kg. Qual a presso exercida por este corpo quando colocado sobre uma superfcie horizontal?

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3. Uma caixa de 10 kg de massa possui dimenses 1 m x 3 m x 4 m. Determine a presso exercida pela caixa quando apoiada sobre: a) sua maior face; b) sua menor face.

1.3.2 Exerccios Propostos

1. Qual a massa de ouro ( = 19,3 g/cm3) contido num recipiente de 2 cm3 de volume?

2. Um cubo de chumbo ( = 11,3 g/cm3) possui aresta de 2 cm. Determine: a) a massa de chumbo; b) qual deveria ser seu volume, se este corpo fosse constitudo de ar ( = 0,0013 g/cm ).3

3. Sabendo que o volume de uma gota de gua ( = 1 g/cm ) aproximadamente 0,05 x 10 estime a massa de uma gota de gua.

3

-6

m,

3

4. O smio, um material metlico branco-azulado, a substncia mais densa existente na Terra. Qual seria a massa de smio ( = 22,6 g/cm ) depositada num recipiente de 2 litros?3

5. Qual a presso exercida por um corpo de 2 kg de massa, sabendo que sua rea de contato 1m ?2

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6. Assinale verdadeiro ou falso: ( ( ) Dois corpos de mesma densidade tm necessariamente a mesma massa. ) Dois corpos macios de mesmo volume e constitudos da mesma substncia possuem

necessariamente a mesma massa. ( ) Dois corpos macios de mesma massa e mesmo volume tm necessariamente a mesma

densidade.

7. Dados dois paraleleppedos macios de alumnio, sendo um deles de dimenses quatro vezes maiores que as dimenses homlogas do outro, determine a razo entre as massas do maior e do menor.

8. A figura apresenta dois cubos macios e homogneos constitudos de um mesmo material. Sabendo que a densidade e a massa do cubo menor so, respectivamente d e m, determine, em funo destes parmetros, a densidade e a massa do cubo maior.

a

2a

9. (UFRGS) Trs cubos, A, B e C, macios e homogneos, tm o mesmo volume de 1 cm3. As massas desses cubos so, respectivamente, 5 g, 2 g e 0,5 g. Em qual das alternativas os cubos aparecem em ordem crescente de densidade? a) b) c) d) e) A, B e C C, B e A A, C e B C, A e B B, A e C

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10. (UFRGS) Um estudante tem um basto de alumnio de 25 cm de comprimento cuja massa 300 g e um basto de cobre, de mesmo dimetro e comprimento, cuja massa 996 g. Desses bastes, ele corta uma pea de 100 g de alumnio e uma pea de cobre com exatamente o mesmo comprimento. Qual a massa da pea de cobre? a) b) c) d) e) 100 g 250 g 300 g 332 g 498 g

11. Um sujeito resolve equilibrar uma moto (150 kg) na ponta do nariz (rea estimada de 2 cm ). Qual a presso mdia exercida pela moto sobre o seu nariz?

2

12. Um elefante tem uma massa de 6 toneladas e cada uma de suas patas possui uma rea de 750 cm2. Uma bailarina de 50 kg de massa apia-se sobre a ponta de um p onde a superfcie de apoio de 5 cm . Compare a presso exercida sobre o solo nos dois casos.2

13. A figura representa um tijolo apoiado sobre uma superfcie de duas maneiras distintas, 1 e 2. Na situao 1 o tijolo exerce sobre a mesa uma fora F1 e uma presso P1 e na situao 2 uma fora F2 e uma presso P2. Pode-se afirmar que: a) b) c) d) e)

F1 = F2 e P1 = P2 F1 = F2 e P1 > P2 F1 = F2 e P1 < P2 F1 > F2 e P1 > P2

b a c c a>b>c a b

F1 > F2 e P1 = P2

14. Uma faca est cega. Quando a afiamos, ela passa a cortar com maior facilidade, devido a um aumento de: a) rea de contato; b) esforo; c)fora; d) presso; e)sensibilidade.

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15. Uma charmosa senhorita possui duas bolsas, A e B, com alas, onde coloca sempre os mesmos objetos, e observou que sempre que utiliza a bolsa A seus ombros ficam marcados. Sabendo que a bolsa A possui alas menos largas que a bolsa B, d uma explicao para o fato verificado pela senhorita.

16. Um paraleleppedo de 10 kg de massa possui dimenses de 1 m x 2 m x 4 m. Determine a presso exercida por cada uma das faces deste corpo quando apoiado sobre uma superfcie horizontal.

17. Uma cadeira tem massa de 5 kg e a rea da seo reta de cada perna 2 cm2. Qual a presso exercida pela cadeira sobre o cho quando uma pessoa de 70 kg: a) b) senta-se na cadeira; ajoelha-se na cadeira.

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CAPTULO 2: TORRICELLI E A PRESSO ATMOSFRICA

A natureza tem horror ao vcuo. Esta idia perdurou sculos, da antiguidade grega at o incio do sculo XVII. Alguns pr-socrticos acreditavam que o espao vazio era uma premissa para que ocorresse o movimento. Outros pensadores, como Plato e Aristteles, foram totalmente contra essa idia e acreditavam num universo onde todo o espao deve estar preenchido por algum tipo de matria. Aps essa poca alguns pensadores defendiam a idia do vcuo (como Lucretius), porm a maioria dos pensadores compartilhava das idias de Plato e Aristteles. No incio do sculo XVII alguns eventos observados motivariam uma revoluo na idia de vcuo e de presso atmosfrica. Em 1615, Salomon de Caus verificou que bombas aspirantes so capazes de elevar gua at um limite mximo de altura. Em 1630 Baliani tentou, utilizando um sifo, passar gua de um vale para outro, separados por uma colina de 20 m de altura. Baliani verificou que isso no era possvel, mesmo com o vale onde estava a fonte de gua encontrandose num nvel mais elevado. Ele trocou correspondncia com Galileu que, j conhecendo a altura limite de bombas aspirantes, estabeleceu que a fora do vcuo s podia produzir efeitos at um certo ponto. Essa idia foi apresentada em seu livro Discursos sobre duas novas cincias. As idias expostas na obra de Galileu motivaram algumas pessoas a realizarem experimentos sobre o vcuo. Entre 1640 e 1644 Gasparo Berti realizou algumas experincias como, por exemplo, a instalao, na fachada de sua casa em Roma, de um tubo de 11m de altura cheio de gua emborcado num recipiente de vidro (figura 2). Berti constatou que o nvel da gua era o mesmo do obtido com bombas aspirantes, ou seja, 10 m. Em 1644 Evangelista Torricelli, discpulo de Galileu e possivelmente estimulado por ele, reproduziu o experimento de Berti, utilizando mercrio em vez de gua. Torricelli acreditava que o mercrio, por ser mais denso, pararia numa altura menor. Torricelli nasceu em 15 de outubro de 1608 em Faenza. Como sua famlia era de origem humilde, seu pai responsabilizou um tio, que era de uma ordem eclesistica, pela educao do pequeno Evangelista. Ele estudou com o tio at atingir idade para ser aceito numa escola de jesutas e, em 1627, iniciou estudos em Matemtica na Universidade de Roma. Foi indicado por seu professor para se tornar secretrio de Galileu, que passava os ltimos anos de sua vida em priso domiciliar. Posteriormente, foi nomeado matemtico da corte pelo gro-duque de Toscana e assumiu a ctedra de Matemtica na Universidade de Florena.

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Figura 2: Experimento instalado na fachada da residncia de Berti, em Roma.

2.1 Experimento de Torricelli

Torricelli, para realizar seu experimento (figura 3), utilizou um tubo com uma extremidade fechada, de aproximadamente 1 m de comprimento, completamente cheio de mercrio. Obstruiu a extremidade aberta (figura 4a), mergulhando-a num recipiente com mercrio (figura 4b). Com a extremidade mergulhada no lquido, Torricelli destampou a boca do tubo, observando que a coluna de mercrio descia at um certo ponto, parando a 76 cm do nvel de lquido na bacia (figura 4c). A explicao para esta observao foi que a fora que equilibrara 76 cm de mercrio era exercida pelo ar, ou seja, que a presso atmosfrica suportava uma coluna de 76 cm de Hg e no que a causa fosse o horror ao vcuo, ou seja, que a natureza repugna o vcuo e que este seria o responsvel por segurar o mercrio. A fora do vcuo teria um valor limite, suportando apenas uma coluna de 76 cm de Hg ou 10 m de gua. Torricelli verificou que a altura medida na vertical se mantinha, mesmo inclinando o tubo (figura 5), ou mergulhando-o mais no recipiente; j o espao vazio poderia diminuir, e at mesmo sumir. Mudando as dimenses do tubo (figura 6) verificou que a coluna de mercrio atingia sempre a mesma altura. Com esta observao, Torricelli possua um forte argumento para no acreditar na explicao do horror ao vcuo. Se a natureza realmente repugna o vcuo, ela deveria ter um horror maior na situao em que o tubo possui um volume grande, e assim puxaria a coluna de mercrio mais para cima.

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Figura 3: Torricelli e seu

experimento.

Tampa Presso atmosfrica

Vcuo

76 cm de Hg

(a)

(b)

(c)

Figura 4: (a) Um tubo de aproximadamente um metro totalmente preenchido de mercrio e tampado. (b) O tubo mergulhado num recipiente contendo mercrio. (c) Ao se retirar a tampa, observa-se que o mercrio contido no tubo desce at uma altura de 76 cm medidos em relao ao nvel de mercrio no recipiente. Acima do mercrio no tubo existe vcuo e a explicao de Torricelli para o evento foi que a presso atmosfrica era a responsvel por equilibrar uma coluna de mercrio daquela altura.

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Figura 5: Inclinando o tubo, a coluna de mercrio mantm-se mesma altura, porm o espao vazio do nvel do lquido at o topo do tubo sofre variaes.

Figura 6: O nvel de mercrio sempre o mesmo, independente do volume do tubo. Esta mais uma evidncia da presso atmosfrica.

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Outra discusso da poca dizia respeito ao vazio formado na parte superior do tubo. Alguns, como Mersenne, acreditavam que vcuo de fato era ali formado e realizavam experimentos para provar isso. Alguns experimentos estapafrdios empregavam pssaros, moscas e outros insetos, afirmando-se que no sobreviveriam com a falta de ar. At um barmetro gigante foi imaginado, onde uma pessoa munida de um martelo seria l inserida, e em caso de perigo iminente o vidro seria quebrado. Os resultados eram variveis; um pssaro morreu asfixiado, mas uma mosca, aparentemente morta, saiu voando. Esses resultados confusos se davam pela pssima qualidade dos dispositivos empregados. Torricelli estava convencido de suas concluses, e o mais importante que as explicaes para seus experimentos davam conta de uma cincia moderna, ou seja, o vcuo existe e a presso atmosfrica a responsvel por equilibrar o mercrio, limitar o funcionamento de bombas aspirantes e no permitir que o sifo de Baliani funcionasse. Mais importante ainda observar que sempre que h uma diferena de presso entre duas regies de um lquido, este no puxado pela regio de baixa presso (como os defensores do horror ao vcuo afirmavam) e sim empurrado pela regio de alta presso. Esta mudana de perspectiva muito importante e nos permitir entender questes dos captulos seguintes. As atividades de Torricelli abriram precedente para uma srie de novas investigaes. Alm da inveno do barmetro e da medida da presso atmosfrica, Torricelli contribuiu em outros aspectos da Mecnica dos Fluidos como, por exemplo, a determinao da velocidade com que um fluido escapa por um orifcio (Captulo 6). Torricelli faleceu em outubro de 1647 devido a uma febre tifide.

2.2 Presso Atmosfrica

Em 1645, aps retornar de visita feita a Torricelli, Mersenne reproduziu alguns experimentos em Paris. Pierre Petit, que havia assistido a uma apresentao de Mersenne, repetiu-os em Rouen em 1646 na presena do jovem Blaise Pascal (e de seu pai, tienne. Pascal), que ficou entusiasmado com os experimentos e comeou tambm a realizar demonstraes pblicas, fato muito comum naquela poca. Em 1647, recebeu a visita de Descartes, fervoroso opositor das idias do vcuo, que eram defendidas por Pascal e seu amigo Roberval, que tambm participou do encontro. Meses depois dessa reunio, possivelmente motivado pelas discusses com Descartes e Roberval, Pascal props a execuo de um experimento a fim de provar que a presso atmosfrica era a responsvel pelos resultados obtidos por Torricelli. Ele solicitou que seu cunhado, Florin Perrier, organizasse uma experincia numa montanha (Puy de Dme) prxima sua cidade. Pascal pediu que seu cunhado reproduzisse o experimento de Torricelli em um mesmo dia, na plancie e no topo da montanha, para verificar uma possvel diferena no nvel de mercrio. Ele acreditava que no alto da montanha a altura de mercrio seria menor, mostrando assim que a presso atmosfrica seria de fato o nico elemento responsvel pelo equilbrio da coluna de mercrio. Pascal tinha essa convico, uma vez que em

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pontos de maior altitude a camada atmosfrica menor, produzindo uma menor presso atmosfrica. A carta de Pascal a seu cunhado data de novembro de 1647, porm o experimento s foi realizado em setembro do ano seguinte, uma vez que Perrier era conselheiro da corte e viajava constantemente. Quando o experimento foi realizado verificou-se uma diferena de aproximadamente 8 cm entre o nvel da coluna de mercrio na plancie e no topo do Puy de Dme, mostrando que de fato a presso menor em altitudes elevadas. Esta a diferena de presso que gera aquela sensao esquisita em nossos ouvidos ao subirmos a serra. Como sabemos, a atmosfera terrestre atinge uma altura da ordem de dezenas de quilmetros; sendo assim, a quantidade de ar muito grande, e como o ar tem massa e atrado pela fora gravitacional da Terra, podemos dizer que o ar exerce uma presso sobre a superfcie da Terra (e dos corpos que se encontram nela). A presso exercida pelo ar chamada de presso atmosfrica. Observe que, medida que subimos, a camada de ar residual diminui; logo, a presso atmosfrica tambm se reduz, enquanto o ar vai se tornando rarefeito (figura7).

.2 .1

Figura 7: A figura representa a Terra, com a sua camada atmosfrica e uma montanha hipottica e completamente fora de escala. Num ponto situado no nvel do mar (1) a presso atmosfrica tem um certo valor (100.000 N / m2); a camada de ar acima deste ponto sendo mxima. Em pontos de maior altitude, como no topo de uma montanha (2), a camada de ar acima do ponto menor, exercendo assim uma presso atmosfrica menor.

O dispositivo inventado por Torricelli e utilizado por Pascal e tantos outros foi posteriormente denominado de barmetro, instrumento que mede a presso atmosfrica, responsvel pelos 76 cm de Hg no nvel do mar. Estes 76 cm de Hg correspondem unidade atmosfera. Outras unidades de presso so apresentadas na tabela 2.

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Tabela 2: Presso atmosfrica no nvel do mar em diversas unidades. Nome da unidade Smbolo da unidade atmosfera pascal libra por polegada quadrada bar torr bar torr atm Pa ou N/m2

Valor da presso atmosfrica no nvel do mar 1 atm 10 Pa 14,7 psi5

psi ou lb/in2

1,01 bar 760 torr

2.3 Expeimento de Von Guericke (Hemisfrios de Magdeburgo)

Outro experimento muito importante para comprovar a existncia da presso atmosfrica foi realizado por Otto Von Guericke em 1657. Em uma demonstrao pblica, Von Guericke apresentou, em Magdeburgo (Alemanha), uma experincia que se constitua de dois hemisfrios de cobre com aproximadamente 50 cm de dimetro, que quando unidos eram facilmente separados. Von Guericke, utilizando sua bomba de vcuo (que havia inventado dois anos antes), retirou o ar de dentro dos hemisfrios (quando estes estavam unidos), fazendo com que a presso interna se tornasse muito pequena (praticamente zero). A presso atmosfrica, sendo muito maior que a presso interna, mantinha os hemisfrios unidos, de forma que Von Guericke prendeu 8 cavalos em cada hemisfrio e mesmo assim no teve sucesso em desuni-los (figura 8).

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Figura 8: Ilustrao retirada da obra de Otto Von Guericke (Experimenta nova (ut vocantur)

Magdeburgica de vacuo spatio), que mostra os 16 cavalos tentando separar os hemisfrios que ficampresos pela diferena de presso entre interior e exterior.

2.3.1 Exemplo Resolvido em Aula

1. Estime a fora que cada cavalo exerceu sobre os hemisfrios na clssica experincia de Von Guericke.

2.3.2 A Fsica Nossa de Cada Dia: presso atmosfrica, bebendo de canudinho, furos na lata de leite condensado e abrindo o requeijo. Como foi visto, um fluido sempre tende a se deslocar de uma regio de maior presso para outra de menor presso. Sendo assim, quando voc bebe de canudinho, inicialmente suga o ar do seu interior. Assim, a presso na parte interna do canudo torna-se menor que a presso externa (presso atmosfrica); com isto, a presso atmosfrica empurra o lquido para dentro do canudo. Agora, seria possvel beber de canudinho na Lua? Voc j deve ter verificado que so necessrios dois furos numa lata de leite condensado para conseguir retir-lo do recipiente. Se voc fizer apenas um furo, o leite condensado, que hipoteticamente deveria sair pelo orifcio, causaria uma diminuio na presso interna da lata; logo, a presso externa (atmosfrica) seria maior que a interna, gerando uma fora resultante de fora para

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dentro que evitaria dessa forma a sada do leite condensado. Ao fazer dois furos, o fluido sai por um e o ar entra pelo outro, fazendo com que no exista diferena de presso. As embalagens fechadas a vcuo mostram um princpio semelhante. Na fbrica, o requeijo tampado de forma que no seu interior a presso seja menor que a atmosfrica, sendo difcil de ser aberto. Ao retirar o lacre, entra ar no recipiente, igualando as presses interna e externa e tornando fcil a tarefa de abrir o recipiente.


1. Assinale verdadeiro ou falso: ( ( ( ( ) A presso atmosfrica diminui com a altitude. ) A presso atmosfrica no depende da altitude. ) A presso atmosfrica menor no p de um morro do que no seu cume. ) Se voc subir uma montanha com um barmetro na mo observar que a indicao da

presso atmosfrica diminui. ( ) A presso atmosfrica no fundo de um poo maior que na boca do poo.

2. Quando voc toma guaran em um copo utilizando um canudo, o lquido sobe pelo canudo porque: a) a presso atmosfrica cresce com a altura, ao longo do canudo; b) a presso no interior de sua boca menor que a presso atmosfrica; c) a densidade do guaran menor que a densidade do ar.

3. Por que um desentupidor de pia fica "grudado" quando o empurramos contra uma parede?

4. Se voc encher um balo no nvel do mar e depois lev-lo para o alto de uma montanha, o que ocorrer com o volume do balo? 5. As figuras mostram um conta-gotas sendo abastecido. a) Por que aparecem bolhas, como mostra a figura 2? b) Por que a gua entra no conta-gotas, como mostram as figuras 3 e 4?

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6. (UFRJ) Considere um avio comercial em vo de cruzeiro. Sabendo que a presso externa a uma janela de dimenses 0,30 m 0,20 m um quarto da presso interna, que por sua vez igual a 1atm: a) indique a direo e o sentido da fora sobre a janela em razo da diferena de presso; b) calcule o seu mdulo.

7. Para realizar a experincia que leva seu nome, Torricelli tomou um tubo de vidro, com cerca de 1 metro de comprimento, fechou uma de suas extremidades e encheu-o completamente com mercrio (figura I). Tapando a extremidade livre e invertendo o tubo, mergulhou essa extremidade em um recipiente que tambm continha mercrio. Ao destapar o tubo, Torricelli verificou que o nvel da coluna lquida descia, at estacionar a uma altura de cerca de 76 cm acima do nvel do mercrio no recipiente (figura II). Concluiu, ento, que a presso atmosfrica, Patm, atuando na superfcie do lquido no recipiente, equilibrava a coluna de mercrio e, portanto, que a presso atmosfrica equivalia presso exercida pelo peso de uma coluna de mercrio de 76 cm. Se essa experincia fosse realizada na Lua, em condies tais que o mercrio no se solidificasse, qual seria o resultado obtido? Explique.

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8. (UFRGS) A atmosfera terrestre uma imensa camada de ar, com dezenas de quilmetros de altura, que exerce uma presso sobre os corpos nela mergulhados: a presso atmosfrica. O fsico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647), usando um tubo de vidro com cerca de 1 m de comprimento completamente cheio de mercrio, demonstrou que a presso atmosfrica no nvel do mar equivale presso exercida por uma coluna de mercrio de 76 cm de altura. O dispositivo utilizado por Torricelli era, portanto, um tipo de barmetro, isto , um aparelho capaz de medir a presso atmosfrica. A esse respeito, considere as seguintes afirmaes. I - Se a experincia de Torricelli for realizada no cume de uma montanha muito alta, a altura da coluna de mercrio ser maior que no nvel do mar. II - Se a experincia de Torricelli for realizada no nvel do mar, porm com gua, cuja densidade cerca de 13,6 vezes menor que a do mercrio, a altura da coluna de gua ser aproximadamente igual a 10,3 m. III - Barmetros como o de Torricelli permitem, atravs da medida da presso atmosfrica, determinar a altitude de um lugar. Quais esto corretas? a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas I e II. d) Apenas II e III. e) I, II e III.

9. (UFRGS) A idia da existncia da presso atmosfrica surgiu no sculo XVII. At ento, o comportamento dos fluidos era explicado com base na teoria aristotlica, segundo a qual a natureza tem horror ao vcuo. Por exemplo, de acordo com essa teoria, um lquido no escorre do recipiente, a menos que entre ar no lugar do lquido que sai. Se o ar no puder entrar e, por hiptese, o lquido sair, vai formar-se vcuo no interior do recipiente; portanto, como a natureza tem horror ao vcuo, o lquido no sai. Torricelli duvidou dessa teoria e a refutou atravs de um clebre experimento com o qual demonstrou, entre outras coisas, que a natureza no tem horror ao vcuo, como bem sabemos nos dias de hoje. Partindo da idia de que existe uma presso atmosfrica, ele lanou uma nova teoria que implicava, entre outras, as seguintes afirmaes. I - A camada de ar que envolve a Terra exerce peso sobre ela.

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II - Devido ao efeito da gravidade, a densidade do ar maior no nvel do mar do que a grandes altitudes. III - A presso atmosfrica maior no nvel do mar do que a grandes altitudes. Quais dessas afirmaes so hoje aceitas como corretas? a) b) c) d) e) Apenas I. Apenas II. Apenas I e III. Apenas II e III. I, II e III.

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CAPTULO 3: STEVIN E OS VASOS COMUNICANTES

Pascal, Torricelli e outros j tinham conhecimento que qualquer variao de presso verificada num ponto de um fluido em equilbrio era transmitida integralmente para todos os pontos desse fluido. Na figura 9 vemos que uma fora F aplicada sobre um dos mbolos do recipiente. Como esta fora aplicada sobre uma dada rea, uma presso exercida no mbolo e, por conseguinte, no lquido. Essa presso integralmente transmitida para todos os pontos do lquido, causando o deslocamento dos demais mbolos. Veremos, no prximo captulo, que a presso transmitida integralmente, ao passo que a fora pode ser maior ou menor que a fora inicialmente aplicada, dependendo da rea do mbolo em questo. vlido salientar ainda que um fluido s suporta, estaticamente, foras normais.

F

Figura 9: No mbolo superior aplicada uma fora que induz uma variao de presso no fluido. Esta presso transmitida integralmente para todos os outros pontos do fluido, ocasionando o deslocamento dos demais mbolos.

3.1 Teorema Fundamental da Hidrosttica (Teorema de Stevin), Vasos Comunicantes e Paradoxo Hidrosttico

Simon Stevin, cientista flamengo que nasceu em Bruges em 1548, constatou que a presso no fundo de um recipiente no depende do volume de lquido l contido. Stevin, buscando fundamentar as concluses de Arquimedes (que estudaremos no Captulo 5), acabou enunciando o

princpio da solidificao. Este princpio prope que um slido de qualquer forma fica em equilbrionum lquido, independente da posio em que seja depositado, desde que as densidades do corpo e

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do lquido sejam iguais, bem como que a imerso deste corpo no altere a presso no restante do lquido. Utilizando o princpio da solidificao, Stevin buscava investigar do que dependia a presso exercida por um fluido no fundo de um recipiente. A figura 10 representa recipientes cilndricos contendo um lquido qualquer. Pelo princpio da solidificao, podemos imaginar o lquido substitudo por um corpo slido de mesma densidade (e que, desta forma, ocupa o mesmo volume e tem a mesma massa do lquido, exercendo sobre o fundo do recipiente a mesma presso que o lquido exercia). A presso (P) exercida por este corpo a razo entre a fora que ele aplica no fundo (em mdulo igual fora peso, ou seja, m.g) e a rea do fundo (A), isto :

P=

m.g . A

A figura 10a apresenta um recipiente cilndrico parcialmente preenchido com um lquido qualquer. Para aumentarmos a presso no fundo do recipiente sem alterar a rea da base, faz-se necessrio aumentar a massa do corpo. Como a densidade constante, um aumento de massa implica, obrigatoriamente, num aumento de volume. Este aumento de volume ser obtido aumentando-se a coluna de lquido (figura 10b), que acarretar no aumento da presso no fundo do recipiente, uma vez que a fora sobre esta rea tambm aumenta. Se porventura a altura do corpo fosse mantida constante (figura 10c) (isto , a altura da coluna de lquido mantida fixa) e modificssemos a rea do fundo, a massa aumentaria na mesma proporo, de forma que a presso no sofreria alterao. Podemos concluir, desta maneira, que a presso exercida por lquidos iguais no fundo de um recipiente depende da altura da coluna de lquido, ao passo que o volume do lquido e a forma do recipiente no influem na presso no fundo do recipiente. Stevin concluiu ento que a presso no fundo de um recipiente contendo um determinado fluido depende da coluna do lquido. A figura 11 apresenta um recipiente contendo dois ramos de volumes diferentes e interligados por um canal. A presso no fundo do ramo A a mesma que no fundo do ramo B, pois se trata do mesmo lquido. Isto conhecido como o paradoxo hidrosttico e geralmente atribudo a Stevin. Porm, antes dele, o fsico italiano Benedetti j havia verificado que, nos vasos comunicantes, a gua fica necessariamente no mesmo nvel, independente dos volumes dos vasos. Stevin no tinha conhecimento dos trabalhos de Benedetti, por isso podemos considerar sua obra independente e original, bem como o formalismo matemtico que foi todo desenvolvido por ele.

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(a)

(b)

(c)

h

Figura 10: (a) Um lquido encontra-se depositado num recipiente cilndrico, em um nvel h. (b) A presso exercida por este lquido sobre o fundo do recipiente pode ser variada, mudando-se a altura

h do lquido. (c) Mantendo-se inalterada a coluna de lquido h e variando-se a rea da base do cilindro(alterando-se, assim, o volume e a massa do lquido), a presso exercida pelo lquido no fundo do recipiente no varia, uma vez que a fora normal aplicada pelo lquido sobre a base aumenta na mesma razo que a rea de contato.

Patm

A

B

h

Figura 11: O aparato, conhecido como vasos comunicantes, consiste de dois ramos, A e B, de volumes diferentes, ligados por um canal. Quando um lquido depositado neste recipiente, o nvel alcanado por ele nos dois ramos sempre o mesmo. A presso no fundo do recipiente (ou em qualquer horizontal) sempre a mesma, independente da forma e do volume dos ramos.

h

Figura 12: Independente da forma e do volume dos recipientes, a presso exercida pelo lquido no fundo deles (ou em qualquer plano horizontal) a mesma, pois o mesmo lquido foi colocado nos trs recipientes com a mesma altura h.

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Seguindo a mesma linha de raciocnio, a figura 12 apresenta trs recipientes contendo um mesmo lquido. Como em todos os recipientes o lquido alcanou uma mesma altura h, a presso no fundo dos recipientes (ou em qualquer plano horizontal) a mesma. A figura 13 apresenta um corpo em equilbrio submerso num lquido de densidade (pelo princpio da solidificao podemos concluir que a densidade do corpo tambm ). Observe que as foras que mantm o corpo em equilbrio so F 1 (a fora associada presso do lquido na face superior do cilindro), F 2 (a fora associada presso do lquido na face inferior do cilindro) e a fora peso ( mg ). As foras aplicadas lateralmente no corpo se anulam; logo, como a fora resultante nula, temos, em mdulo:F2 = F1 + mg . (1)

Como, para a presso P, vale P = F/A , fica:P2.A = P1.A + m.g .

Como = m /V, temos:P2.A = P1.A + .V.g .

Como V = A.h, temos:P2.A = P1.A + .A.h.g .

Logo:P2= P1 + .g.h , (2)

onde:P2 presso na base do cilindro (ponto 2) P1 presso no topo do cilindro (ponto 1)

densidadeg acelerao gravitacional h profundidade

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F1h

mg

F2

Figura 13: Trs foras mantm o corpo cilndrico em equilbrio.

Supondo, agora, que o ponto 1 se encontre na superfcie do lquido (figura 14), ento P1 =Psup. Logo, a equao (2) fica: P2 = Psup + .g.h , (3)

onde:P2 presso no ponto 2 (presso total) Psup presso na superfcie do lquido

Esta equao permite calcular a presso em um ponto a qualquer profundidade.

Psup

h

.2Figura 14: A presso total no ponto 2 depende da presso na superfcie do lquido (Psup) e da presso associada coluna de lquido acima desse ponto (.g.h).

A presso P2 em um ponto situado a uma profundidade h no interior de um lquido em equilbrio denominada presso total e obtida pela presso na superfcie (Psup) somada presso exercida pela coluna do fluido situada sobre esse ponto (.g.h), denominada presso hidrosttica. Desta forma, a presso num ponto mais profundo a presso no ponto mais raso, somada presso exercida pela coluna de lquido entre os dois pontos. Na maioria dos casos a presso na superfcie coincide com a presso atmosfrica.

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Possivelmente o princpio da solidificao e as explicaes fornecidas por ele tenham sido as maiores contribuies de Stevin Hidrosttica. Ele tambm investigou as propriedades de equilbrio dos pesos e os centros de gravidade de figuras planas e corpos slidos (tendo sido muito influenciado por Arquimedes). Realizou um estudo detalhado da alavanca, reduzindo as condies de equilbrio de uma alavanca qualquer ao caso mais simples, o de uma balana de braos iguais. Discutiu tambm o problema do plano inclinado e verificou que o moto perptuo um absurdo. Em 1593, por indicao do prncipe Maurcio de Nassau ele foi incorporado ao exrcito holands, tornando-se um hbil engenheiro militar e escrevendo tratados associando os princpios fsicos conhecidos na poca com situaes militares, como por exemplo, acampamentos, barragens, eclusas e a fora dos ventos. Sobre a fora dos ventos vlido salientar que Stevin construiu, em 1600, um carro a vela para Nassau, com lugar para 28 pessoas e que nenhum cavalo podia alcanar.

Figura 15: Simon Stevin


1. Um tanque cheio de lcool (densidade 0,80 g/cm ) encontra-se no nvel do mar (presso atmosfrica 1,0 105 N/m2), em local no qual a acelerao da gravidade 10 m/s2. Determine: a) A profundidade, em metros, na qual a presso total no interior deste tanque de 1,4 atmosferas. b) A presso total numa profundidade de 20 m.

3

2. O experimento pensado por Pascal e executado pelo seu cunhado consistiu em verificar a variao da altura de mercrio num barmetro quando colocado no p e no topo do monte Puy de Dme. Esta variao foi de 8 cm. Qual a altura desse monte?

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3. O recipiente em forma de U, mostrado na figura, tem o ramo A fechado e o ramo B aberto para a atmosfera. A presso do ar contido no ramo A P. determinar a presso P em pascal, sabendo que h = 3 m.

A ar

B h

gua

4. Determinar a presso P do gs aprisionado no recipiente, sabendo-se que a presso atmosfrica local 750 mm de Hg.

200 mm gs Hg

3.1.2 A Fsica Nossa de Cada Dia: presso sangnea

Quando algum verifica a presso sangnea, uma bolsa enrolada no brao, na altura do corao, para garantir que as presses medidas sejam prximas da aorta. Inflando a bolsa, chegase a um ponto onde o fluxo sanguneo no brao interrompido. Liberando lentamente o ar da bolsa, o sangue volta a fluir pelo brao e com o auxlio de um estetoscpio pode-se observar o retorno das pulsaes no membro. O primeiro som ocorre quando a presso do ar na bolsa se iguala presso sistlica (mxima presso sangnea) sendo que este o instante em que o sangue comea a fluir pelo brao. Continuando a diminuir a presso no interior da bolsa, o sangue segue a fluir pelo brao e o ltimo som que se escuta corresponde presso diastlica, ou seja, a menor presso sangnea no fluxo pela artria livre.

3.2 Variao da Presso com a Profundidade

Como j foi visto, quanto maior a profundidade, maior a presso sobre um dado ponto. Isto fica claro se observamos que quanto mais fundo mergulhamos maior a camada de liquido sobre ns e, conseqentemente, maior a presso. Voc pode verificar isso quando mergulha. Quanto maior

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a sua profundidade, maior a presso sobre seus tmpanos. Essa presso exercida pelos fluidos que esto acima de voc, o ar contribui com a presso atmosfrica e o lquido contribui com a presso hidrosttica. Na prtica, a cada 10 m de profundidade, a presso aumenta cerca de 1atm. Observe que a presso depende da profundidade; logo, recipientes contendo o mesmo liquido apresentaro o mesmo valor de presso, numa mesma profundidade, independente da forma do recipiente. Isso significa que mergulhando um metro de profundidade numa piscina ou na praia a presso sobre voc ser a mesma (sendo rigoroso, as densidades da gua doce e da gua salgada so diferentes, logo a presso seria ligeiramente maior na gua salgada).


1. Prove que, na gua, a cada 10 m de profundidade a presso aumenta 1 atm.

2. Quanto se deve cavar para variar a presso em 1 atm?

3. Um mergulhador encontra-se a 30 m de profundidade. Em atmosferas, qual a presso total exercida sobre ele, aproximadamente?

3.3 Lquidos Que No Se Misturam

A figura 16 apresenta dois lquidos, A e B, imiscveis. Pelo fato deles possurem densidades diferentes (A > B) no esto equilibrados com as superfcies em uma mesma altura. Porm, ambos esto submetidos presso atmosfrica e, numa mesma profundidade (no caso, os pontos x e y) esto submetidos a uma mesma presso. Lembre-se que a presso em qualquer ponto do lquido pode ser determinada por:P2 = Patm + .g.h .

Neste caso, teremos: # para o lquido A: # para o lquido B: Observe que Px = Py; logo:Px = Patm + A.g.hA ; Py = Patm + B.g.hB

.

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Patm + A.g.hA = Patm + B.g.hB

.

Ento:

A.hA = B.hB ,onde:

A densidade do lquido AhA profundidade do lquido A

B densidade do lquido BhB profundidade do lquido B

Esta equao permite relacionar as densidades dos lquidos em funo das alturas de suas superfcies em relao horizontal traada na fronteira que separa os dois lquidos.

A

hA

B

hB

.xpresso.

y

.

Figura 16: Os pontos x e y esto numa mesma horizontal; logo, esto submetidos a uma mesma


1. Um tubo em U contm um lquido de densidade D1, desconhecida. Uma pequena quantidade de3

um

segundo lquido, de densidade D2 = 1,5 g/cm , no miscvel com o primeiro, colocada em um dos ramos do tubo. A situao de equilbrio mostrada na figura. A densidade D1, em g/cm3, vale: a) 4,0 b) 3,0 c) 2,4 d) 2,0 e) 1,8

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2. Um tubo em U de seo uniforme 4 cm2 contm gua at metade de sua altura. Determinar de quanto sobe a gua num dos ramos se no outro for colocada uma poro de 16 g de leo de densidade 0,8 g/cm .3

leo

gua


1. Um submarino encontra-se a uma profundidade de 50 m. Para que a tripulao sobreviva, um descompressor mantm o seu interior a uma presso constante igual presso atmosfrica no nvel do mar. A diferena entre a presso, junto a suas paredes, fora e dentro do submarino, da ordem de ____ atm. 2. Qual a presso exercida sobre um mergulhador que se encontra a 20 m de profundidade num lago?

3.O casco de um submarino suporta uma presso externa de at 12,0 atm sem se romper. Se, por acidente, o submarino afundar no mar, a que profundidade, em metros, o casco se romper? a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 140

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4. A figura ilustra um sistema de vasos comunicantes contendo gua, que se encontra em repouso. Podemos assegurar que as presses (P) nos pontos A, B e C obedecem relao: a) PA = PB > PC b) PA > PB = PC c) PA = PB = PC d) PA < PB = PC e) PA < PC < PB

A B C

5. Uma mangueira de plstico transparente, contendo um pouco d'gua, suspensa por duas extremidades, junto a uma parede vertical, ficando sua parte central apoiada em um prego (P). As figuras mostram trs situaes para a mangueira, com diferentes configuraes para a gua em seu interior. Das situaes apresentadas, (so) possvel (eis): a) apenas a I. b) apenas a II. c) apenas a I e a II. d) apenas a I e a III. e) a I, a II e a III.

6. Ao projetar uma represa, um engenheiro precisou aprovar o perfil de uma barragem sugerido pelo projetista da construtora. Admitindo que ele se baseou na lei de Stevin, da hidrosttica, segundo a qual a presso de um lquido aumenta linearmente com a profundidade, assinale a opo que o engenheiro deve ter feito.

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7. Um certo volume de gua colocado num tubo em U, aberto nas extremidades. Num dos ramos do tubo, adicionase um lquido de densidade menor do que a da gua, o qual no se mistura com ela. Aps o equilbrio, a posio dos dois lquidos no tubo est corretamente representada pela figura:

8. Na figura h trs bules abertos, que devero ser cheios lentamente com gua at o nvel correspondente linha tracejada:

O objetivo, com toda certeza, no ser atingido: a) no bule A. b) no bule B. c) no bule C. d) nos bules A e B. e) nos bules B e C.

9. Os trs recipientes mostrados na figura esto cheios de gua at o nvel h acima de sua base e so apresentados na ordem crescente de volumes (V1 > V2 > V3). As massas (m) em cada recipiente e as presses (p) na base de cada um deles satisfazem: a) m1 > m2 > m3 ; p1 = p2 = p3 b) m1 > m2 > m3 ; p1 > p2 > p3 c) m1 < m2 < m3 ; p1 < p2 < p3 d) m1 < m2 < m3 ; p1 > p2 > p3 e) m1 < m2 < m3 ; p1 = p2 = p3

(1)

(2)

(3) h

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10. Voc tem um recipiente cilndrico, cujo dimetro da base D, contendo um lquido de densidade d at uma altura h. Variando apenas a medida de uma destas grandezas de cada vez, como voc pode aumentar a presso hidrosttica no fundo do recipiente? a) Aumentado D. b) Diminuindo D. c) Aumentando h. d) Diminuindo h. e) Diminuindo d.

h

11. Tem-se um reservatrio cilndrico, de base circular, cheio de um certo lquido. A presso que este lquido exerce no fundo do reservatrio s depende, alm da gravidade local: a) do peso do lquido e da sua altura; b) da natureza do lquido e do seu volume; c) da natureza do lquido e da altura da coluna do lquido; d) do volume total do lquido e tambm de seu peso; e) da natureza do lquido e da rea da base do reservatrio.

12. (UFRGS) O recipiente representado na figura est em repouso e encontra-se cheio de gua. Sendo g a acelerao da gravidade e a densidade da gua, a presso hidrosttica no nvel C, isto , na base do recipiente, igual a: a) g (h1 + h2) b) g (2h1 + h2) c) 2g (h1 + h2) d) 2gh1 e) 2gh2

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13. (UFRGS) Qual seria a altura da atmosfera terrestre se o ar, independentemente da altitude, tivesse sempre a mesma densidade de 1,25 g/dm3? (Considere g = 10 m/s2 e a presso atmosfrica igual a 10 N/m . a) 1250 km b) 800 km c) 8 km d) 1,25 km e) 0,8 km5 2

Instruo: As questes 14 e 15 referem-se ao enunciado que segue. Um recipiente de paredes de espessura e peso desprezveis se encontra sobre o prato de uma balana, mantida em equilbrio para medir a massa da gua nele contida. 0 recipiente consiste em um cilindro, com 100 cm de rea da base e 10 cm de altura, provido de um gargalo em forma de tubo com 1 cm de seo reta, conforme indica a figura abaixo. Considere ainda os seguintes dados. - Uma coluna de 10 cm de gua exerce uma pres so de 0,1 N/cm sobre a base que a sustenta. - O peso de 1 litro de gua de 10 N.2 2 2

14. (UFRGS) Selecione a alternativa que preenche corretamente as lacunas do pargrafo abaixo, na ordem em que elas aparecem. Quando o recipiente contm gua at o nvel B, o mdulo da fora que a gua exerce sobre a base do recipiente de ____, e o peso da gua nele contida de ____. a) 0,1 N - 1,0 N b) 1,0 N - 1,0 N c) 1,0 N - 10,0 N d) 10,0 N - 1,0 N e) 10,0 N - 10,0 N

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15. (UFRGS) Selecione a alternativa que preenche corretamente as lacunas do pargrafo abaixo, na ordem em que elas aparecem. Quando o recipiente contm gua at o nvel C, o mdulo da fora que a gua exerce sobre a base do recipiente de ____, e o peso da gua nele contida de ____. a) 10,0 N - 11,1 N b) 10,0 N - 19,9 N c) 20,0 N - 10,1 N d) 20,0 N - 19,9 N e) 20,0 N - 20,0 N

16. (UFRGS) A figura representa cinco recipientes cheios de gua e abertos na parte superior. Em qual deles a presso que a gua exerce sobre a base maior? a) Em 1 b) Em 2 c) Em 3 d) Em 4 e) Em 5

17. (UFRGS) Dois recipientes A e B tm bases circulares com mesmo raio r, sendo A um cone reto e B um cilindro reto. Ambos contm gua e esto cheios at a mesma altura h, conforme representa a figura. Selecione a alternativa que preenche corretamente as lacunas do texto abaixo. O peso da gua contida em A ____ peso da gua contida em B, e a presso exercida pela gua sobre a base de A ____ presso exercida pela gua sobre a base de B. a) o dobro do a metade da b) um tero do igual c) a metade do - a metade da d) um tero do - o dobro da e) igual ao igual

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18. (UFRGS) As figuras mostram cinco situaes diferentes, de equilbrio, de dois lquidos A e B, no-miscveis entre si, colocados em um tubo em U. O comprimento ou altura da coluna do lquido A em cada uma das cinco situaes igual a H. Uma das extremidades do tubo est aberta para a atmosfera e na outra est adaptado um recipiente fechado, contendo um certo gs. A densidade do lquido A a metade da densidade do lquido B. Na situao ____, a presso atmosfrica maior do que a presso do gs. Na situao ____, a presso atmosfrica menor do que a presso do gs. Na situao ____, a presso atmosfrica igual presso do gs. A seqncia que completa as lacunas corretamente, pela ordem, : a) 1 5 3 b) 2 4 5 c) 3 2 1 d) 4 2 3 e) 5 1 - 4

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CAPTULO 4: PASCAL E A PRENSA HIDRULICA

4.1 Princpio de Pascal

O experimento comandado por Pascal, na poca com 25 anos, no monte Puy de Dome, que mostrou que o peso do ar atmosfrico o responsvel por equilibrar a coluna de mercrio de um barmetro, foi o incio de outras contribuies importantes que ele daria Hidrosttica. Pascal generalizou a idia da presso atmosfrica para todos os fluidos, afirmando que os efeitos atribudos presso do ar no passam de um caso particular de uma proposio universal do equilbrio dos fluidos. Verificou que a fora necessria para impedir que a gua contida num recipiente flua por um

orifcio depende da altura da coluna dgua acima desse orifcio e no do volume e forma do recipiente. Observou que essa fora maior quanto maior for a coluna de gua, concluindo que a fora necessria para evitar o vazamento numericamente igual ao peso de um volume de gua cuja rea igual do orifcio e com altura idntica da coluna dgua. Pascal, verificando que ao tampar um pequeno orifcio poderia equilibrar uma grande coluna dgua, concebeu uma mquina que pudesse multiplicar foras, a prensa hidrulica. Como j foi visto no Captulo 3, um fluido transmite integralmente, em todas as direes, uma variao de presso ocorrida num ponto qualquer do fluido. A figura 17 representa uma prensa hidrulica cheia de um fluido e formada por dois ramos de dimetros diferentes. Os mbolos possuem reas retas A1 e A2. Ao se aplicar uma fora F1 na rea A1 uma variao de presso P provocada. O mbolo transmite essa variao para o fluido, que por sua vez a comunica integralmente para todos os pontos do fluido, at alcanar o outro ramo, onde o mbolo de rea A2 sofre um deslocamento, submetido a uma fora F2.

F1A1 A2

F2

Figura 17: Como os mbolos encontram-se num mesmo plano horizontal, a variao de presso a mesma nos dois ramos. Como

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P = P1 = P2 eP = F/A ,

temos:

F1 F2 = . A1 A2Portanto, as foras exercidas nos mbolos so diretamente proporcionais s reas de suas sees retas. Como o volume de fluido deslocado o mesmo, o mbolo de menor rea sofre um maior deslocamento, ou seja, se A1 < A2 ento h1 > h2 (figura 18). Como V1 = V2 eV = h.A,

temos:h1.A1 = h2.A2 .

A2h2

h1A1

Figura 18: O deslocamento sofrido pelo mbolo inversamente proporcional rea de sua seo reta.

A obra Tratados sobre o equilbrio dos lquidos e sobre o peso da massa de ar, possivelmente redigida em 1654, mas publicada somente depois da morte de Pascal, sintetiza muitas

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idias da Hidrosttica, revisitando, por exemplo, as concluses de Arquimedes e Stevin, dando explicaes convincentes de que a natureza no tem horror ao vazio e corroborando as idias de Torricelli. Alm disso, nesta obra que Pascal descreve o funcionamento da prensa hidrulica, que, como j foi visto no captulo anterior, j havia sido proposta por Benedetti, sem o conhecimento de Pascal. A figura 19, de autoria do prprio Pascal, ilustra suas explicaes sobre muitos temas da Hidrosttica. As ilustraes I at V referem-se sua explicao sobre o teorema de Stevin, enquanto as ilustraes VI at VIII apresentam a mquina para multiplicar as foras, ou seja, a prensa hidrulica. Nas ilustraes IX at XVII ele trata de variadas situaes utilizando tubos submersos em gua. A ilustrao XV remete ao princpio de Arquimedes (que ser estudado no Captulo 5).

Figura 19: Ilustraes do prprio Pascal que explicam muitas situaes da Hidrosttica.

Pascal nasceu em 1623 e aps a morte da me teve uma educao muito rgida por parte do pai. As irms Gilberte e Jacqueline amenizavam a dureza do pai e foram as responsveis por darem acesso a Pascal s obras de Euclides. Mais tarde Blaise Pascal foi ajudar o pai tienne que havia sido nomeado comissrio para a cobrana de impostos em Rouen, cargo administrativo que envolvia clculos longos e enfadonhos. Pascal, procurando facilitar os trabalhos do pai, construiu a primeira calculadora. Em 1652 conheceu Antoine Gombaud, do qual se tornou muito amigo. Gombaud era um grande jogador e exps para Pascal questes relativas aos jogos de dados. Pascal desenvolveu ento o clculo de probabilidades (por ele chamado de Geometria do acaso).

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Figura 20: Blaise Pascal.

Em 1654, com a sade debilitada, abandonou as questes cientficas e se retirou para o mosteiro Port Royal, onde sua irm Jacqueline havia entrado como freira anos antes. L, comeou a escrever trabalhos de cunho filosfico-religioso. Essa mudana correspondia a uma tendncia dos pensamentos de sua poca: tentar encontrar uma ligao entre a tradio crist e as novas descobertas cientficas. Quanto sua escolha, ele mesmo justifica: existem razes que a prpria razo desconhece. Nesse perodo escreveu As Provinciais, conjunto de 18 cartas que defendiam fortemente o movimento jansenista (para o qual havia se convertido no perodo em que seu pai estava doente) e que gerou grande impacto no cristianismo. Pascal passou os ltimos anos de sua vida muito debilitado e trabalhava apenas nos intervalos de sua doena, que lhe causavam insnia e dores de cabea. Faleceu prematuramente com 39 anos em 1662.

4.1.1 A Fsica Nossa de Cada Dia: freio hidrulico

O freio hidrulico (figura 21) funciona baseado no princpio de Pascal. Ao pressionar o freio (1) o mbolo (2) deslocado, comprimindo o leo. Como um fluido transmite integralmente variaes de presses em todos os sentidos, ele acaba por deslocar o mbolo (3). Com esse deslocamento o freio (4) entra em contato com o disco de freio (5) diminuindo a velocidade de rotao da roda. Como a rea do mbolo (3) maior que a do (2), a fora l aplicada tambm o ser.

Figura 21: Esquema do freio hidrulico.

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1. (FUVEST) Considere o arranjo da figura a seguir, onde um lquido est confinado na regio delimitada pelos mbolos A e B, de reas A = 80 cm2 e B = 20 cm2, respectivamente. O sistema est em equilbrio. Despreze os pesos dos mbolos e os atritos. Se mA = 4,0 kg, qual o valor de mB? a) 4 kg, b) 16 kg, c) 1 kg, d) 8 kg, e) 2 kg.

2. (MACKENZIE) Dispe-se de uma prensa hidrulica conforme o esquema a seguir, na qual os mbolos A e B, de pesos desprezveis, tm dimetros respectivamente iguais a 40 cm e 10 cm. Se desejarmos equilibrar um corpo de 80 kg que repousa sobre o mbolo A, deveremos aplicar em B a fora perpendicular F, de intensidade: a) 5,0 N, b) 10 N, c) 20 N, d) 25 N, e) 50 N.


1. (CESGRANRIO) O esquema a seguir apresenta uma prensa hidrulica composta de dois reservatrios cilndricos de raios R1 e R2. Os mbolos desta prensa so extremamente leves e podem mover-se praticamente sem atrito e perfeitamente ajustados a seus respectivos cilindros. O fluido que enche os reservatrios da prensa de baixa densidade e pode ser considerado incompressvel. Quando em equilbrio, a fora F2 suportada pelo mbolo maior 100 vezes superior fora F1 suportada pelo menor. Assim, a razo R2/R1 entre os raios dos mbolos vale, aproximadamente: a) 10 b) 50 c) 100 d) 200 e) 1000

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2. (FEI) No macaco hidrulico representado na figura a seguir, sabe-se que as reas das sees transversais dos vasos verticais so A1 = 20 cm2 e A2 = 0,04 m2. Qual o peso mximo que o macaco pode levantar, quando fazemos uma fora de 50 N em A1? a) 100 N b) 1000 N c) 2000 N d) 10000 N e) 100000 N

3. O princpio de Pascal afirma que: a) A presso no interior de um lquido independe da profundidade; b) As molculas de um lquido se atraem fortemente; c) Todos os lquidos possuem mesma presso hidrosttica; d) A presso de um ponto, no fundo de um frasco cheio de lquido, depende da rea do fundo do frasco; e) A presso aplicada a um lquido em equilbrio se transmite integralmente a todos os pontos do lquido e das paredes do frasco que o contm.

4. (UEL) Na prensa hidrulica representada a seguir, os dimetros dos mbolos so d1 e d2, tais qued1 = 2d2. A relao F1/F2 entre as intensidades das foras exercidas nos dois mbolos, quando

situados no mesmo nvel, vale: a) 4 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 1/4

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5. (UFES) A tubulao da figura a seguir contm lquido incompressvel que est retido pelo mbolo 1 (de rea igual a 10,0 cm2) e pelo mbolo 2 (de rea igual a 40,0 cm2). Se a fora F1 tem mdulo igual a 2,00 N, a fora F2, que mantm o sistema em equilbrio, tem mdulo igual a: a) 0,5 N b) 2,0 N c) 8,0 N d) 500,0 N e) 800,0 N

6. (UFF) Uma prensa hidrulica, sendo utilizada como elevador de um carro de peso P, encontra-se em equilbrio, conforme a figura. As sees retas dos pistes so indicadas por S1 e S2, tendo-se S2 = 4S1. A fora exercida sobre o fluido F1 e a fora exercida pelo fluido F2. A situao descrita obedece: a) ao Princpio de Arquimedes e, pelas leis de Newton, conclui-se que F1 = F2 =P;

b) ao Princpio de Pascal e, pelas leis de ao e reao e de conservao da energia mecnica, conclui-se que F2 = 4F1 = P; c) ao Princpio de Pascal e, pela lei da conservao da energia, conclui-se que F2 = F1 = P; d) apenas s leis de Newton e F1 = F2 = P; e) apenas lei de conservao de energia.

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7. (UNIRIO) A figura a seguir mostra uma prensa hidrulica cujos mbolos tm sees S1 = 15 cm2 eS2 = 30 cm .2

Sobre o primeiro mbolo aplica-se uma fora F igual a 10 N e, desta forma, mantm-se em equilbrio um cone de ao de peso P, colocado sobre o segundo mbolo. O peso do cone vale: a) 5 N b) 10 N c) 15 N d) 20 N e) 30 N

8. (UFRGS) A figura mostra trs tubos cilndricos interligados entre si e contendo um lquido em equilbrio fluidoesttico. Cada tubo possui um mbolo, sendo a rea da seo reta do tubo 1 a metade da rea da seo reta do tubo 2 e da do tubo 3; os mbolos se encontram todos no mesmo nvel (conforme a figura). O lquido faz uma fora de 200 N no mbolo 1. As foras que os mbolos 2 e 3, respectivamente, fazem no lquido valem: a) 200 N e 200 N b) 400 N e 400 N c) 100 N e 100 N d) 800 N e 800 N e) 800 N e 400 N

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CAPTULO 5: ARQUIMEDES E A COROA DO REI HIERON

Por que quando estamos numa piscina segurar algum no colo muito mais fcil do que fora dela? Se um navio feito de ao, como ele no afunda? Essas e outras questes so explicadas atravs do conceito de empuxo, desenvolvido por Arquimedes. Arquimedes, filho do astrnomo Fdias, nasceu em 287 a.C. em Siracusa, na Siclia, que ento fazia parte da Grcia ocidental. Estudou em Alexandria, onde conheceu Euclides. Pesquisou o princpio da alavanca e de roldanas, o movimento dos corpos celestes e organizou a mais completa coleo de figuras planas com centros de gravidade corretamente localizados da Antigidade. Conta-se que Arquimedes teria dito a Hieron, tirano de Siracusa; Dem-me um ponto de apoio e levantarei a Terra (figura 22). Claro que Arquimedes no tinha uma fora sobre-humana, mas, sim, quis dizer que isso era matematicamente garantido, ou seja, que o princpio da alavanca teria o recurso prtico de aumentar foras. Sugere-se ainda que Arquimedes teria deslocado sozinho uma embarcao de trs mastros, e que para isso teria usado um sistema de roldanas. De fato Arquimedes utilizou muitos de seus conhecimentos para fins prticos, porm essas e outras histrias podem no ser verdadeiras. Devido segunda guerra Pnica (entre Roma e Cartago) Siracusa era constantemente sitiada pelo exrcito romano, uma vez que Hieron havia se aliado aos cartagineses. A cidade resistiu por trs anos, as contribuies blicas de Arquimedes tendo sido fundamentais para tal sucesso. Entre elas cita-se um sistema de roldanas que, ao ser preso nas embarcaes inimigas, as elevava a uma certa altura. O sistema, ao ser solto, fazia o navio chocar-se com a gua, gerando danos apreciveis. O uso de espelhos ustrios (figura 23), com os quais os defensores de Siracusa queimavam navios romanos que se aproximassem, tambm est associado ao nome de Arquimedes.

Figura 22: Ilustrao mostrando Arquimedes erguendo a Terra.

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Figura 23: Os espelhos ustrios construdos por Arquimedes auxiliavam na defesa da cidade.

Numa das investidas do exrcito romano sobre Siracusa, Arquimedes foi morto em 212 a.C. Conta-se que Arquimedes estava refletindo sobre a resoluo de um problema, quando um soldado romano que tomava a cidade se aproximou, atrapalhando o raciocnio do sbio, que acabou por levar um golpe de espada (figura 24). No seu tmulo, a seu pedido, foi colocada uma coluna com um cilindro circunscrito a uma esfera, a fim de comemorar a forma como calculou a rea de uma superfcie esfrica.

Figura 24: Ilustrao mostrando a morte de Arquimedes.

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5.1 Princpio de Arquimedes (Empuxo)

Outro episdio importante na trajetria de Arquimedes d conta da sua investigao acerca do empuxo. O rei Hieron havia encomendado a um ourives a confeco de uma coroa de ouro a fim de homenagear uma divindade. Aps pronta, o rei recebeu uma denncia de que o ourives teria ficado com uma parte do ouro e confeccionado a coroa em ouro e prata. Arquimedes, que tinha muita credibilidade com o tirano, foi chamado para solucionar a questo. Conta-se que Arquimedes teria encontrado a soluo do problema ao tomar banho. Eufrico com a descoberta teria sado pela cidade, nu, gritando Eureka! Eureka! (Descobri!, Descobri!). Este fato possivelmente no passa de uma anedota inverdica. No se sabe ao certo o mtodo utilizado por Arquimedes para descobrir se houve fraude ou no (na verdade, no se sabe nem se existiu uma coroa). Vitruvius o responsvel por difundir a soluo mais conhecida. Segundo essa idia, Arquimedes teria medido o volume da coroa e de corpos de ouro e prata de mesma massa do ornato. A medida dos volumes teria sido feita mergulhando separadamente esses corpos em gua e analisando o volume de lquido transbordado. Se o volume da coroa fosse o mesmo do ouro puro, a fraude no teria ocorrido; caso contrrio, o ourives seria punido. Este mtodo falho, uma vez que o desnvel gerado por ouro, prata e uma mistura dos dois so muito sutis. Uma outra soluo, proposta por Galileu, menos conhecida, mas mais fidedigna. Esta consiste em utilizar uma balana de comparao (balana hidrosttica) onde numa das extremidades colocada uma tara e na outra o corpo (coroa, ouro ou prata) at atingir o equilbrio. O corpo ento mergulhado na gua e a balana fica desequilibrada. Uma forma de restabelecer o equilbrio aproximando a tara do eixo. Arquimedes, por este mtodo bem mais preciso, teria verificado que o quanto se aproxima a tara, nos trs casos, so valores diferentes, e pde ento determinar a porcentagem de prata misturada ao ouro. Na verdade Arquimedes verificou que a gua exerce uma fora vertical e para cima, sobre corpos nela mergulhados e que essa fora depende do volume do corpo submerso. Como a prata menos densa que o ouro, para uma mesma massa o volume de prata maior do que o de ouro. Sendo assim, a balana ficou mais desequilibrada (a tara se aproximou mais do eixo) quando a prata foi mergulhada na gua do que o ouro. Essa fora vertical e para cima, realizada por um fluido num corpo nele mergulhado que desmascara ourives, deixa as pessoas mais leves na piscina ou ainda no permite que os navios afundem chamada de empuxo.

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Figura 25: Ilustrao mostrando Arquimedes tomando banho, bem como coroas, outros corpos esfricos, representando o ouro e a prata e alguns recipientes. A ilustrao foi certamente baseada na anedota contada por Vitruvius.

5.1.1 Exemplo Resolvido em Aula

1. Considerando uma coroa de 1 kg, demonstre que a descrio de Vitruvius falha.

5.1.2. Anlise Qualitativa do Empuxo

Lembre-se que a presso aumenta com a profundidade. Sendo assim, podemos concluir, observando a figura 26, que a presso sobre o cilindro no ponto B maior que no ponto A (pois o ponto B est a uma profundidade maior que a de A). Logo, a fora associada a essa presso, exercida pelo lquido no ponto B, maior que no ponto A. Justamente esta diferena de presso (e de fora) entre os pontos a diferentes profundidades origina o empuxo. Arquimedes concluiu que o empuxo sofrido por um corpo tem a intensidade do peso do volume de lquido deslocado.

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A h B

Figura 26: O empuxo sobre o corpo surge da diferena de presso existente entre os pontos A e B.

Na figura 27(a) no existe empuxo, pois o corpo no est imerso no lquido. Em (b), (c) e (d), o cilindro aos poucos mergulhado no fluido. Observe que o empuxo aumenta aos poucos, bem como o nvel do lquido tambm aumenta. Devido imerso do corpo ocorre um deslocamento do lquido. O peso deste lquido deslocado numericamente igual ao empuxo. Em (d) o corpo j est totalmente mergulhado, logo, o empuxo mximo, bem como se atinge o maior nvel de lquido deslocado; ento, mesmo continuando a mergulhar o corpo, o empuxo no se altera.

E

E

E

E

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 27: (a) Como o corpo no est mergulhado no lquido, no recebe empuxo deste. (b) Quando o corpo pouco mergulhado, o empuxo ter uma intensidade pequena. (c) Aumentando o volume submerso, aumenta-se o empuxo. (d) Quando o corpo est totalmente submerso, o empuxo atinge seu valor mximo, no variando, independentemente da profundidade.

5.1.3 Expresso Matemtica do Empuxo

Sabemos que o mdulo do empuxo (E) igual ao valor do peso do lquido deslocado (Pld), ou seja:E = Pld = mld.g .

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Sabendo que a densidade do lquido dada por = m/V, e que o volume de liquido deslocado igual ao volume de corpo submerso, temos:E= l.Vld.g

(1),

onde:E empuxo

l densidade do lquidoVld volume de lquido deslocado (ou volume submerso do corpo) g acelerao gravitacional

Observe que o peso do corpo pode ser dado porP= c.Vc.g

(2),

onde:P peso do corpo

c densidade do corpoVc volume do corpo

Se o corpo estiver totalmente mergulhado, Vc= Vld. Ento as equaes (1) e (2) diferem apenas pela densidade do lquido (l) e do corpo (c). Da podemos tirar algumas concluses: Se l < c, temos E < P e o corpo afunda (figura 28, caso1). Se l = c, temos E = P e o corpo fica em equilbrio quando totalmente submerso (figura 28, caso 2). Este o caso de um submarino submerso. Se l > c, o valor do empuxo maior que a intensidade do peso do corpo (figura 28, caso 3A). Neste caso o corpo tende a subir. Quando o corpo atinge a superfcie, a frao submersa do corpo diminui (e o empuxo tambm), at que se atinja uma situao de equilbrio, quando as intensidades do empuxo e do peso so iguais.(figura 28, caso 3B).

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Caso 1

Caso 2

Caso 3(A)

Caso 3(B)

E E N

E

E P

PEP E=P

lquido < corpo

lquido = corpo

lquido > corpo

Figura 28: Relaes entre as densidades do lquido e do corpo e possveis configuraes respectivas.

5.1.4 A Fsica Nossa de Cada Dia: Mar Morto

O Mar Morto (que na verdade um lago, famoso por sua lama) recebe este nome devido inexistncia de vida naquele ambiente. Isto ocorre pelo alto grau de salinidade de sua gua. A gua salgada mais densa que a gua doce; no caso do Mar Morto, a densidade maior ainda. Como o empuxo diretamente proporcional densidade do lquido, no Mar Morto corpos mergulhados ficam submetidos a um grande empuxo e biam facilmente (figura 29).

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Figura 29: Intrpida aventureira (e ex-aluna) boiando facilmente no Mar Morto.

5.1.5 A Fsica Nossa de Cada Dia: navios e submarinos

Um navio, mesmo sendo constitudo de um material de alta densidade, no afunda no mar. Isto ocorre pelo fato de sua massa estar distribuda num grande volume, sendo grande parte deste preenchido pelo ar. Sendo assim, a densidade mdia do navio menor do que a da gua. Pelo grande volume da embarcao, o empuxo aplicado neste corpo tambm elevado. No caso do submarino, existem comportas que permitem a entrada e sada de gua. Quando as comportas so abertas o submarino inundado e sua massa aumenta, de forma que a densidade da embarcao se torna maior que a da gua, afundando. Pode-se chegar num ponto onde a densidade do submarino a mesma da gua e da ele no sobe nem desce. Retirando a gua dos compartimentos, a densidade do submarino se torna menor que a da gua e ele aflora. Em todos os casos o volume de lquido que o submarino desloca o mesmo, ficando submetido ao empuxo de mesma intensidade; porm, colocando-se ou retirando-se gua, a massa (e o peso) do submarino varia, possibilitando que ele mergulhe ou bie.

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1. (FUVEST) Numa experincia de laboratrio, os alunos observaram que uma bola de massa de modelar especial afunda na gua. Arquimedes, um aluno criativo, ps sal na gua e viu que a bola flutuou. Ulisses, por sua vez, conseguiu o mesmo feito modelando a massa sob a forma de um barquinho. Explique, com argumentos de fsica, os efeitos observados pelos dois alunos.

2. (UFPE) Duas esferas de volumes iguais e densidades d1 e d2 so colocadas num recipiente contendo um lquido de densidade d. A esfera 1 flutua e a esfera 2 afunda, como mostra a figura a seguir. Qual das relaes entre as densidades verdadeira? a) d2 > d1 > d b) d1 > d2 > d c) d2 > d > d1 d) d > d2 > d1 e) d1 > d > d2

3. (FUVEST) Uma esfera de volume 0,6 cm3 tem massa m1 = 1,0 g. Ela est completamente mergulhada em gua e presa, por um fio fino, a um dos braos de uma balana de braos iguais, como mostra a figura a seguir. sabido que o volume de 1,0 g de gua de 1,0 cm . Ento a massam2 que deve ser suspensa no outro brao da balana, para mant-la em equilbrio :3

a) 0,2 g b) 0,3 g c) 0,4 g d) 0,5 g e) 0,6 g

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4. Um bloco de madeira, quando posto a flutuar livremente na gua, cuja densidade 1,00 g/cm3, fica com 44% de seu volume fora d'gua. A densidade mdia dessa madeira, em g/cm3, : a) 0,44 b) 0,56 c) 1,00 d) 1,44 e) 1,56

5. Um cubo de gelo flutua sobre gua gelada num copo, com a temperatura prxima de 0 oC. Quando o gelo derrete, sem que haja mudana aprecivel da temperatura, o nvel de gua no copo sobe, desce ou no se altera?

6. Um barquinho flutua numa piscina; dentro dele esto uma pessoa e uma pedra. A pessoa joga a pedra dentro da piscina. O nvel da gua na piscina sobe, desce ou no se altera?

5.2 Peso Aparente

Com o estudo do empuxo, podemos compreender agora porque se torna mais fcil segurar um objeto embaixo dgua, por exemplo. Os pesos de corpos submersos ficam, aparentemente, menores. Este peso aparentemente menor, chamado de peso aparente, advm do fato do empuxo estar aplicado ao corpo. O mdulo do peso aparente obtido pela subtrao do mdulo do empuxo do mdulo do peso do corpo. Na figura 30 um corpo encontra-se mergulhado num lquido e neste caso so aplicados o empuxo, orientado para cima, e a fora peso, para baixo. O mdulo do peso aparente :Pa= P E,

onde:Pa peso aparente P peso do corpo E empuxo

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E P

Figura 30: Foras sobre um corpo submerso.


1. Uma bola de madeira est presa por um fio leve ao fundo de um recipiente cheio com gua, como mostra a figura adiante. Se o volume da bola submersa for 2000 cm e sua densidade 0,6 g/cm3, qual ser a tenso no fio? (Considere a acelerao da gravidade local igual a 10 m/s e a densidade da gua 10 kg/m .)3 3 2 3

2. Uma pedra pesa 6 N. Quando pesada, totalmente mergulhada ngua, encontrou-se o valor de 4 N para seu peso aparente. Determine a densidade da pedra.

3. Quantidades de algodo e chumbo que equilibram os pratos de uma balana tm a mesma massa?

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1. A existncia do empuxo um fenmeno que se verifica: a) apenas na gua. b) apenas no ar. c) apenas nos lquidos. d) apenas nos gases. e) nos gases e lquidos.

2. Um corpo completamente imerso num lquido em equilbrio recebe deste um empuxo, em mdulo, sempre igual: a) ao seu prprio peso. b) sua prpria massa. c) ao seu peso aparente. d) ao peso do volume de lquido deslocado. e) ao volume de lquido deslocado.

3. Voc tem um recipiente aberto, totalmente cheio de gua. Ao colocar um cubo, hermeticamente fechado, dentro do recipiente, parte da gua ir transbordar. A respeito dessa experincia, analise as proposies seguintes: I O volume de gua que transbordou igual ao volume do cubo. II - O peso da gua que transbordou tem intensidade igual do empuxo que o cubo recebe. III - Se a experincia fosse repetida utilizando-se mercrio em vez de gua, o empuxo recebido pelo cubo teria intensidade maior. Dessas proposies, correto afirmar que: a) todas so corretas; b) todas so erradas; c) apenas I correta; d) apenas I e II so corretas; e) apenas III correta.

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4. Assinale V de verdadeiro ou F de falso: ( ) Se um corpo flutua em um lquido, ento o valor do peso do corpo necessariamente igual

intensidade do empuxo. ( ) A densidade da gasolina menor que a densidade do gelo. Sendo assim ao colocarmos

uma pedra de gelo na gasolina, o gelo ir flutuar. ( ) Um corpo imerso num lquido sofre a ao de um empuxo que tanto maior quanto mais

profundo estiver o corpo. ( ) Quanto maior a densidade de um corpo, maior o empuxo que este sofre quando imerso num

fluido qualquer. ( ) A rigor, o peso de um corpo, determinado no ar, diferente do peso real desse corpo.

5. (UFSM) Na superfcie da Terra, um certo corpo flutua dentro de um recipiente com um lquido incompressvel. Se esse sistema for levado Lua, onde a acelerao gravitacional menor, o corpo: a) submerge, atingindo o fundo do recipiente. b) flutua, porm com uma poro maior submersa. c) flutua com a mesma poro submersa. d) flutua, porm com uma poro menor submersa. e) submerge completamente, mas sem atingir o fundo do recipiente.

6. (CESGRANRIO) Um mesmo corpo de massa m colocado sucessivamente em 3 (trs) recipientes cheios de lquidos com densidades diferentes, d1, d2 e d3, respectivamente. Nas posies indicadas nas figuras a seguir, o corpo e o lquido se encontram em equilbrio. Nessas condies, pode-se afirmar que: a) d1 = d2 = d3 b) d1 > d2 > d3 c) d1 = d2 < d3 d) d1 = d2 > d3 e) d1 < d2 < d3

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7. (PUC-RJ) - Duas esferas metlicas, feitas de metais diferentes, com o mesmo dimetro, uma macia e outra oca, esto totalmente imersas e em equilbrio num recipiente que contm gua. A respeito dos empuxos nas esferas, conclui-se que: a) so iguais; b) o empuxo sobre a esfera oca maior que o exercido sobre a macia; c) o empuxo sobre a esfera macia maior que o exercido sobre a oca; d) o empuxo maior sobre a esfera que tem maior densidade; e)

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