6979634-Engenhariacivilapostilaconcretoarmado

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Julho - 2002

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples

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ÍNDICE 1.1 - INTRODUÇÃO....................................................................................................3 1.2 – TIPOS DE ESTRUTURAS .................................................................................3 1.3 – ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............................................4 1.4 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............5 1.5 – COEFICIENTE DE SEGURANÇA (k) ..............................................................6 1.6 – EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO ....................................................................6 1.7 – TENSÃO ADMISSÍVEL ....................................................................................6 1.8 – MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO ......................................................6 1.9 – DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL...................................7 1.9.1 – INTRODUÇÃO ................................................................................................7 1.9.2 – TIPOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL .............................................................8 1.9.2.1 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA .................................8 1.9.2.2 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR....................................9 1.9.2.3 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR.............................9 1.9.2.4 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR...................................11 1.9.2.5 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO ......................................12 1.9.2.6 – VIGAS DE SÇÃO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS INDUSTRIAIS ...........................................................................................................14 1.10 – CÁLCULO DA MÁXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA EM UMA ESTRUTURA SUJEITA À FLEXÃO .............................................................14 1.10.1 – INTRODUÇÃO ............................................................................................14 1.10.2 – CÁLCULO DO MÁXIMO VALOR DE P ..................................................15 1.10.2.1 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA .............................................................................................................15 1.10.2.2 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR ................................................................................................................16 1.10.1.3 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR .........................................................................................................16 1.10.2.4 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR .................................................................................................................17 1.10.2.5 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO.....................................................................................................................17 1.10.2.6 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO PERFIL INDUSTRIAL ..............................................................................................18 1.11 – TABELAS PARA SELEÇÃO DE PERFIS INDUSTRIAIS ..........................20 1.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS........................................................................29 1.13 – EXERCÍCIOS PRÁTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS ...........................39 1.14 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ..........................................................................51 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS.....................................................91 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................92


3

DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS SUJEITAS A ESFORÇOS DE FLEXÃO

1.1 -INTRODUÇÃO

Neste capítulo é estudado o dimensionamento de estruturas sujeitas a esforço de

flexão, considerando-se para tal estudo, diversos tipos de estruturas e seções transversais.

1.2 – TIPOS DE ESTRUTURAS

A) VIGAS ENGASTADAS: São vigas que possuem uma de suas extremidades

livre e a outra fixa.

Figura 1.1 – Exemplo de viga engastada.

B) VIGAS SIMPLESMENTE APOIADAS: Possuem apoios em suas extremidades,

sendo um dos apoios fixo e o outro móvel, para garantir a estaticidade da estrutura.

Figura 1.2 – Exemplo de viga simplesmente apoiada.

Equações da estática:

3 Equações - ∑ = 0VF , ∑ 0HF e ∑ = 0M .

3 Incógnitas – RAV, RAH e RB .

P

B A

P


4

C) VIGAS SIMPLES COM BALANÇO NAS EXTREMIDADES: São vigas

simplesmente apoiadas, porém com suas extremidades deslocadas em relação aos apoios.

Figura 1.3 – Exemplo de viga simples com balanços.

1.3 – ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR

A) ESFORÇO CORTANTE: Carga que tende a provocar cisalhamento da

estrutura e conseqüente flexão da mesma pois o comprimento da barra não é desprezado. O

esforço cortante é representado neste curso por Q, e, pode ser, positivo ou negativo,

dependendo da convenção de sinais adotada.

Figura 1.4 – Convenção de sinais para o esforço cortante.

Quando a carga é aplicada de cima para baixo, o esforço cortante é negativo.

Quando a carga é aplicada de baixo para cima, o esforço cortante é positivo.

B) MOMENTO FLETOR: Pode ser definido como o momento resultante de todas

as forças que são aplicadas na estrutura. Quando se trata de flexão, é possível conhecer o

valor do momento fletor em cada ponto da estrutura. O momento fletor também pode ser

positivo ou negativo.

Q-

B A

Q+ Q-

Q+

Viga Horizontal Viga Vertical

P

B A

P P


5

Figura 1.5 – momento fletor positivo ou negativo.

Quando as fibras inferiores da estrutura são comprimidas, o momento fletor é

negativo.

Quando as fibras inferiores da estrutura são tracionadas, o momento fletor é

positivo.

1.4 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR

Os diagramas de esforço cortante e momento fletor permitem ao projetista analisar

qual é o ponto crítico da estrutura, ou seja, qual é a região que a viga pode se romper.

Figura 1.6 – Exemplo de diagramas de esforço cortante e momento fletor.

P

L

-P

0

0

-P.L

Ponto crítico

Tração Compressão


6

1.5 – COEFICIENTE DE SEGURANÇA (k)

Fator de correção com a finalidade de aumentar as dimensões da estrutura

garantindo desse modo maior segurança ao projeto.

1.6 – EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO

A equação matemática que dimensiona uma estrutura sujeita a esforço de flexão é

dada por:

x

Fmáx

wM

=σ . (1.1)

1.7 – TENSÃO ADMISSÍVEL

A tensão admissível é obtida dividindo-se a tensão de escoamento do material

utilizado no projeto pelo coeficiente de segurança empregado, pode ser calculada do

seguinte modo:

keσ

σ = . (1.2)

1.8 – MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (wX)

Representa em termos numéricos como determinado tipo de seção reage ao esforço,

ou seja, representa a resistência da seção em relação ao esforço de flexão. Para cada tipo de

seção transversal estudada tem-se uma equação diferente para se calcular o valor de wx.


7

Tabela 1.1 – Módulo de resistência à flexão em relação ao eixo x.

TIPO DA SEÇÃO TRANSVERSAL MÓDULO DE RESISTÊNCIA (WX)

QUADRADA

6

3lwx = (1.3)

RETANGULAR

CIRCULAR

TUBULAR

BALCÃO OU CAIXÃO

1.9 – DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL

1.9.1 – INTRODUÇÃO

O objetivo desta seção é apresentar a formulação matemática utilizada para o

dimensionamento da seção transversal de alguns tipos de vigas mais utilizadas na

construção de estruturas mecânicas.

b b

a

a

h

b

d

l

D

d

)4.1(6

2bhwX =

)5.1(32

3dwX

π=

)7.1(6

44

aba

wX−

=

)6.1(32

)( 44

DdD

wX−

=π


8

1.9.2 – TIPOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL

Os principais tipos de seção transversal estudadas na presente seção são: quadrada,

circular, retangular, tubular e caixão, também são estudados os perfis industriais tipo I, U,

L (abas iguais) e L (abas desiguais).

1.9.2.1 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA

A partir das Equações (1.1), (1.2) e (1.3), pode-se chegar a uma equação geral que

fornece como resultado o valor numérico do comprimento l que representa a dimensão do

lado da seção transversal quadrada.

Substituindo-se a Equação (1.2) na Equação (1.1), tem-se que:

wxMf

kmáxe =

σ. (1.8)

A Equação (1.8) é utilizada para todos os tipos de seção transversal utilizadas na

presente seção.

Para vigas de seção quadrada, basta substituir a Equação (1.3) na Equação (1.8),

chegando-se a:

6

3lMf

kmáxe =

σ. (1.9)

Rearranjando-se os termos, a Equação (1.9) pode ser escrita do seguinte modo:

3

6l

Mfk

máxe =σ

. (1.10)

Resolvendo-se a Equação (1.10) com relação a l, chega-se a uma solução geral

representada pela Equação (1.11), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção

transversal quadrada.

36

e

máxkMfl

σ= . (1.11)


9

1.9.2.2 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR

A partir das Equações (1.4) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que

fornece como resultado o valor numérico do comprimento d que representa a dimensão do

diâmetro da circunferência que forma a viga.

Substituindo-se a Equação (1.4) na Equação (1.8),pode-se escrever que:

32

3dMf

kmáxe

πσ

= . (1.12)


3

32d

Mfk

máxe

πσ

= . (1.13)

Resolvendo-se a Equação (1.13) com relação a d, chega-se a uma solução geral


transversal circular.

332

e

máxkMfd

πσ= . (1.14)

1.9.2.3 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR


fornece como resultado numérico os valores de b e h, que representam as dimensões de

base e altura da viga de seção retangular.

Substituindo-se a Equação (1.5) na Equação (1.8), pode-se escrever que:

6

2bhMf

kmáxe =

σ. (1.15)

Pode-se notar claramente na análise da Equação (1.15), que na solução de vigas de

seção transversal retangular, existem duas incógnitas, b e h, portanto, é interessante

assumir uma nova equação que forneça a relação entre b e h, fazendo desse modo com que


10

uma das incógnitas seja camuflada em meio a solução do problema. Assim, define-se a

variável x como a relação entre h e b, como pode-se observar na Equação (1.16):

bh

x = . (1.16)

Daí pode-se escrever que:

xbh = . (1.17)


6)( 2xbb

Mfk

máxe =σ

. (1.18)


22

6bbx

Mfk

máxe =σ

. (1.19)

Resolvendo-se a Equação (1.19) com relação a b, chega-se a uma solução geral


transversal retangular.

32

6

e

máx

xkMf

bσ

= , (1.20)

onde x representa a relação entre h e b fornecida no problema.

Uma vez conhecido o valor de b, o valor numérico de h pode ser calculado a partir

da Equação (1.17) como citado anteriormente.

Portanto, as Equações (1.20) e (1.17) são utilizadas para o dimensionamento de

vigas de seção transversal retangular.


11

1.9.2.4 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR


fornece como resultado numérico os valores de D e d, que representam as dimensões de

diâmetro externo e diâmetro interno de uma viga de seção transversal tubular.


DdD

Mfk

máxe

32)( 44 −

=π

σ. (1.21)

Novamente pode-se perceber que se tem na solução do problema duas incógnitas D

e d, portanto, a variável y é definida como a relação entre d e D, como pode-se observar na

Equação (1.22):

Dd

y = . (1.22)


yDd = . (1.23)


DyDD

Mfk

máxe

32)( 4−

=π

σ. (1.24)


444

32DyD

DMfk

máxe

ππσ

−= . (1.25)


)1(32

44 yDDMf

kmáxe

−=

πσ

. (1.26)

Assim:

)1(32

43 yDMf

kmáxe

−=

πσ

. (1.27)


12

Resolvendo-se a Equação (1.27) com relação a D, chega-se a uma solução geral


transversal tubular.

34 )1(

32ykMf

De

máx

−=

πσ, (1.28)

onde y representa a relação entre d e D fornecida no problema.

Uma vez conhecido o valor de D, o valor numérico de d pode ser calculado a partir



vigas de seção transversal tubular.

1.9.2.5 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO


fornece como resultado numérico os valores de a e b, que representam as dimensões de

diâmetro dos lados, externo e interno, de uma viga de seção transversal caixão.


aba

Mfk

máxe

6

44 −=

σ. (1.29)

Novamente pode-se perceber que se tem na solução do problema duas incógnitas a

e b, portanto, a variável z é definida como a relação entre b e a, como pode-se observar na

Equação (1.30):

ab

z = . (1.30)


zab = . (1.31)


13


azaa

Mfk

máxe

6)( 44 −

=σ

. (1.32)


44 )(6

zaaaMf

kmáxe

−=

σ. (1.33)


)1(6

44 zaaMf

kmáxe

−=

σ. (1.34)

Assim:

)1(6

43 zaaMf

kmáxe

−=

σ. (1.35)

Resolvendo-se a Equação (1.35) com relação a a, chega-se a uma solução geral


transversal caixão.

34 )1(

6zkMf

ae

máx

−=

σ, (1.36)

onde z representa a relação entre b e a fornecida no problema.

Uma vez conhecido o valor de a, o valor numérico de b pode ser calculado a partir



vigas de seção transversal caixão.


14

1.9.2.6 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS

INDUSTRIAIS

Ao contrário do se possa parecer, a solução de problemas de dimensionamento de

vigas com seção transversal formada por perfis industriais é mais simples que a solução

apresentada para os casos anteriores.

A partir da Equação (1.8), pode-se determinar o valor do módulo de resistência em

relação ao eixo x (wx), resultando em:

e

máxx

kMfw

σ= . (1.37)

A Equação (1.37) pode ser utilizada sempre que se necessitar selecionar um perfil

industrial.

Para perfis dos tipos I, U, L (abas iguais) e L (abas desiguais), uma vez calculado o

valor de (wx) através da Equação (1.37), o perfil pode ser selecionado na tabela

correspondente ao perfil desejado. Vale ressaltar que se não for utilizado fator de

segurança, ou seja, valor de k igual a 1 (k=1), a seleção do perfil deve ser realizada

considerando-se um valor maior que o (wx) que foi calculado, ou seja, na tabela seleciona-

se o valor de (wx) imediatamente superior ao calculado, uma vez que o mesmo representa a

condição limite para o dimensionamento da estrutura.

1.10– CÁLCULO DA MÁXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA

EM UMA ESTRUTURA SUJEITA À FLEXÃO

1.10.1 – INTRODUÇÃO

O objetivo desta seção é apresentar a formulação matemática utilizada para o

cálculo da máxima carga P que pode ser aplicada em uma estrutura sujeita à flexão,

constituída por uma seção transversal equivalente às estudadas na seção anterior.


15

1.10.2 – CÁLCULO DO MÁXIMO VALOR DE P

A seguir são apresentadas as equações gerais para o cálculo do máximo valor de P

para alguns tipos de seção transversal já estudadas.

1.10.2.1 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL

QUADRADA

A partir da Equação (1.10), isola-se a variável Mfmáx, resultando em:

kl

Mf emáx 6

3σ= . (1.38)

Como se desconhece o valor de P, não é possível se conhecer o valor numérico de

Mfmáx, portanto, é conveniente que para o valor de Mfmáx seja adotada a relação apresentada

na Equação (1.39):

PnMf máx= , (1.39)

onde n é o valor numérico obtido no diagrama de momento fletor para a estrutura.

Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.38), tem-se:

kl

Pn e

6

3σ= . (1.40)

Resolvendo-se a Equação (1.40) com relação a P, chega-se a uma Equação geral

que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir

seção transversal quadrada.

knl

P e

6

3σ= . (1.41)

Portanto, a Equação (1.41) é geral para vigas de seção transversal quadrada.


16


CIRCULAR


kd

Mf emáx 32

3πσ= . (1.42)


kd

Pn e

32

3πσ= . (1.43)



seção transversal circular.

knd

P e

32

3πσ= . (1.44)

Portanto, a Equação (1.44) é geral para vigas de seção transversal circular.


RETANGULAR


khb

Mf emáx 6

2σ= . (1.45)


khb

Pn e

6

2σ= . (1.46)



seção transversal retangular.


17

knhb

P e

6

2σ= . (1.47)

Portanto, a Equação (1.47) é geral para vigas de seção transversal retangular.


TUBULAR


DkdD

Mf emáx 32

)( 44 −=

πσ. (1.48)


DkdD

Pn e

32)( 44 −

=πσ

. (1.49)



seção transversal tubular.

DkndD

P e

32)( 44 −

=πσ

. (1.50)

Portanto, a Equação (1.50) é geral para vigas de seção transversal tubular.


CAIXÃO


kaba

Mf emáx 6

)( 44 −=

σ. (1.51)


kaba

Pn e

6)( 44 −

=σ

. (1.52)


18



seção transversal caixão.

nkaba

P e

6)( 44 −

=σ

. (1.53)

Portanto, a Equação (1.53) é geral para vigas de seção transversal caixão.

1.10.2.5 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO

PERFIL INDUSTRIAL


kW

Mf Xemáx

σ= . (1.54)


kW

Pn Xeσ= . (1.55)



seção transversal tipo perfil industrial.

nkw

P xeσ= . (1.56)

Portanto, a Equação (1.56) é utilizada para a determinação do valor de P em vigas

com seção de perfil industrial, lembrando-se que o valor de (wx) é obtido em tabelas, de

acordo com o perfil utilizado.


19

Tabela 1.2 – Formulário para dimensionamento à flexão.

SEÇÃO DIMENSIONAMENTO CÁLCULO DE P

QUADRADA 3

6

e

máxkMfl

σ=

knl

P e

6

3σ=

CIRCULAR 3

32

e

máxkMfd

πσ=

knd

P e

32

3πσ=

RETANGULAR 3

2

6

e

máx

xkMf

bσ

=

xbh =

knhb

P e

6

2σ=

TUBULAR 3

4 )1(32

ykMf

De

máx

−=

πσ

yDd =

DkndD

P e

32)( 44 −

=πσ

CAIXÃO 3

4 )1(6

zkMf

ae

máx

−=

σ

zab =

nkaba

P e

6)( 44 −

=σ

PERFIL INDUSTRIAL

e

máxx

kMfw

σ=

nkw

P xeσ=


20

1.11 - TABELAS PARA SELEÇÃO DE PERFIS INDUSTRIAIS

Tabela 1.3 – Perfis H – Padrão Americano.


21

Tabela 1.4 – Perfis I – Padrão Americano.


22

Tabela 1.5 – Perfis I – Padrão Americano.


23

Tabela 1.6 – Perfis U Padrão Americano.


24

Tabela 1.7 – Perfis U Padrão Americano.


25

Tabela 1.8 – Perfis L (Abas Iguais) - Padrão Americano.


26

Tabela 1.9 – Perfis L (Abas Desiguais) - Padrão Americano.


27

Tabela 1.10 – Perfis L (Abas Desiguais).


28

Tabela 1.11 – Propriedades dos Materiais.

TENSÕES

Material Tensão de Escoamento [MPa] Tensão de Ruptura

[MPa]

Aço Carbono

ABNT 1010 – L 220 320

ABNT 1010 – T 380 420

ABNT 1020 – L 280 360

ABNT 1020 – T 480 500

ABNT 1030 –L 300 480

ABNT 1030 – T 500 550

ABNT 1040 – L 360 600

ABNT 1040 – T 600 700

ABNT 1050 – L 400 650

ABNT 1050 – T 700 750

Aço Liga

ABNT 4140 – L 650 780

ABNT 4140 – T 700 1000

ABNT 8620 - L 440 700

ABNT 8620 – T 700 780

Materiais não Ferrosos

Alumínio 30-120 70-230

Duralumínio 14 100-420 200-500

Cobre Telúrio 60-320 230-350

Bronze de Níquel 120-650 300-750

Magnésio 140-200 210-300

Titânio 520 60

Zinco - 290


29

3

220

=

=

k

MPaeσ

1.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão,

considerando que a mesma possui seção transversal quadrada.

Dados:

4m

3kN

l

l

Mf

Q

-3 kN

-12 kNm

mm,lm,l

:totanPor

l

:Assim

kMfl

:queescreversepodeDaí

NmkNmMf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

3999099390

102203120006

6

1200012

10220220

36

3

26

==

⋅⋅⋅

=

=

−

==

⋅==

σ

σ


30

2

360

=

=

k

MPaeσ

mm,dm,d

:totanPor

d

:Assim

kMfd


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

0478078040

103602840032

32

840048

10360360

36

3

26

==

⋅⋅⋅

=

⋅=

−

==

⋅==

σπ

σ


considerando que a mesma possui seção transversal circular.

Dados:

1m

7kN

d

Mf

Q

4kN

0,7m 0,4m

5kN 6kN

-7,4 kNm

-8,4 kNm

-6,8 kNm

-2 kN

-7 kN


31


considerando que a mesma possui seção transversal retangular.

Dados:

0,5m 1m

4kN 3kN

0,5m

b

h

Q

-3,75kN

0,25kN 3,25kN

Mf

1,875 kN.m 1,625 kN.m

mm,h,h

bxh:pordadoéhdevalorO

mm,bm,b

:totanPor

d

:Assim

xkMf

b


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

265542183

4218018420

103603318756

6

18758751

10360360

362

32

26

=⋅=⋅=

==

⋅⋅⋅⋅

=

⋅=

−

==

⋅==

σ

σ

3

3360

==

==

bh

x

kMPaeσ


32

80

3360

,Dd

y

kMPae

==

==σ


considerando que a mesma possui seção transversal tubular.

Dados:

2m

15kN/m

Q

-15kN

15kN

Mf

mm,D,,D

dyD:pordadoéDdevalorO

mm,dm,d

:totanPor

),(d

:Assim

)y(kMf

d


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

03825410280

54102102540

801103603750032

132

750057

10360360

346

34

26

=⋅=

⋅=

==

−⋅⋅⋅⋅⋅

=

−⋅⋅=

−

==

⋅==

π

σπ

σ

D

d

,5kN.m


33


considerando que a mesma possui seção transversal caixão.

Dados:

b b

a

a 1m

7kN

Q

-9,6kN

6,4kN

Mf

5kN/m 5kN/m

1m 1m 1m

5kNm

2,4kN

-4,6kN

11,7kNm

mm,b,,b

azb:pordadoébdevalorO

mm,am,a

:totanPor

),(a

:Assim

)z(kMf

a


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

8555089360

0893093080

601103003117006

16

11700711

10300300

346

34

26

=⋅=

⋅=

==

−⋅⋅⋅⋅

=

−⋅=

−

==

⋅==

σ

σ

60

3300

,ab

z

kMPae

==

==σ


34

mmx,I:oselecionadPerfil

cm,w

:assim,calculado

aoeriorsupnteimediatamewseescolhe

segurançadefatorutilizousenãoComo

adequadoperfiloseencontratabelaNa

cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw


NmkNm,Mf:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

x

x

x

x

x

e

máxx

máx

e

716101

958

8655

000055860

10180100561

1005605610

10180180

3

3

3

6

26

−

=

−

−

=

=

⋅⋅

=

⋅=

−

==

⋅==

σ

σ

6) Selecionar o perfil industrial tipo I adequado para atuar com segurança na

estrutura representada a seguir.

Dados:

MPae 180=σ

1,2m 0,9m 0,8m

3kNm 7kN

7kN

Mf

Q

-8,38kN

1,62kN

7kN

-10,056kNm -8,598kNm

-3kNm


35

7) Selecionar o perfil industrial tipo U adequado para atuar com segurança na

estrutura representada a seguir.

Dados:

MPae 180=σ

mm,xU:oselecionadPerfil

cm,w

:assim,calculado




cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw



m/NMPa

:Solução

x

x

x

x

x

e

máxx

máx

e

848152

771

443

00004340

1018078251

782581257

10180180

3

3

3

6

26

−

=

−

−

=

=

⋅⋅

=

⋅=

−

==

⋅==

σ

σ

0,75m 1,25m

5kNm

10kN

3,75kN

-6,25kN

Mf

Q

2,8125kNm

8,8125kNm


36

8) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas iguais adequado para atuar com

segurança na estrutura representada a seguir.

Dados:

MPae 180=σ

Q

Mf

7kN

2,5kNm

1m 0,5m 0,5m

4kN 8kN

3,5kNm

-1kN

-5kN

mm,x,L:oselecionadPerfil

cm,w

:assim,calculado




cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw



m/NMPa

:Solução

x

x

x

x

x

e

máxx

máx

e

61016101

958

4419

000019440

1018035001

350053

10180180

3

3

3

6

26

−

=

−

−

=

=

⋅⋅

=

⋅=

−

==

⋅==

σ

σ


37

9) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas desiguais adequado para atuar com

segurança na estrutura representada a seguir.

Dados:

MPae 180=σ

Q

Mf

0,5m

-3kNm

23kN

15kNm

-8kN -3kN

13kN

1m 7kNm

8kN

3kN 10kN

0,5m 1m

8,5kNm

desiguaisabasmm,x,L

:oselecionadPerfil

cmw

:assim,calculado




cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw


NmkNmMf:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

x

x

x

x

x

e

máxx

máx

e

61014152

102

3383

000083330

10180150001

1500015

10180180

3

3

3

6

26

−

=

−

−

=

=

⋅⋅

=

⋅=

−

==

⋅==

σ

σ


38

10) Para a estrutura representada a seguir, determine qual é o máximo valor de P

que pode ser aplicado.

Dados:

3P

1,5m 1,5m

Q

Mf

1,5P

-1,5P

2,25P

mmdmmD

tubularSeção

,kMPae

85100

61280

==

==σ

N,P:totanPor

,,,),,(

P

:Assim

knD)dD(

P


P,Mf:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

e

973649

61252103208501010280

32

252

10280280

446

44

26

=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅−⋅⋅

=

−

=

⋅==

π

πσ

σ


39

mm,x,I:oselecionadPerfil

cm,w

:Assim,calculado


,segurançadefatorutilizousenãoComo


cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

x

x

x

x

x

e

máxx

máx

e

6676101

449

1136

000036110

1018065001

650056

10180180

3

3

3

6

26

−

=

−

−

=

⋅⋅

=

⋅=

−

==

⋅==

σ

σ

1.13 – EXERCÍCIOS PRÁTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS

11) Para a estrutura representada abaixo, dimensionar a viga superior quanto a

flexão, sabendo-se que a mesma possui perfil industrial I com tensão de escoamento igual

a:

1,3m

1,3m

10KN

MPae 180=σ

10kN

Mf

Q

5kN

-5kN

6,5kNm


40

12) Dimensionar a viga da empilhadeira para que suporte com segurança o

carregamento representado na figura.

Dados: Material Aço Liga ABNT 4140-L; MPae 650=σ ; k = 1,5; h = 0,2916b.

25KN

Q

Mf

9,375KN.m

12,5KN

8,33KN/m

Diagramas

Seção retangular

h

b

1,5m


41

mm,h,,h

bxh:pordadoéhdevalorO

mm,bm,b:totanPor

,,

b

:Assim

xkMf

b


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

5633111529160

111511510

10650291605193756

6

93753759

10650650

362

3 2

26

=⋅=

⋅=

==

⋅⋅⋅⋅

=

⋅=

−

==

⋅==

σ

σ


42

13) Para a estrutura representada a seguir, dimensionar a viga superior quanto à

flexão, sabendo-se que a mesma possui seção transversal caixão.

Dados:

mm,b,,b

azb:pordadoébdevalorO

mm,am,a

:totanPor

),(,

a

:Assim

)z(kMf

a


NmkNmMf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

81874412570

44125125440

1030070152300006

16

3000030

10300300

364

34

26

=⋅=

⋅=

==

⋅⋅−⋅⋅

=

⋅−=

−

==

⋅==

σ

σ1,5m 2m

15kN

Cilindro hidráulico

-30kNm

15kN

1,5m 2m

15kN

-20kN

Mf

Q

70

52300

,ab

z

,kMPae

==

==σ


43

14) O robô industrial mostrado na figura é mantido na posição estacionária

indicada, considerando que ele seja rotulado em A e conectado a um cilindro hidráulico

BD, dimensione a viga ABC admitindo que o braço e a garra tenham um peso uniforme

de 0,3 kN/m e suportam uma carga de 3 kN em C. Considerar seção tubular.

Dados:

mm,d,,d

Dyd:pordadoéddevalorO

mm,Dm,D

:totanPor

),(D

:Assim

)y(kMf

D


NmkNmMf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

390811280

811211280

101208012500032

132

50005

10120120

364

34

26

=⋅=

⋅=

==

⋅⋅−⋅⋅⋅

=

⋅−⋅=

−

==

⋅==

π

σπ

σ

80

2120

,Dd

y

kMPae

==

==σ

1,25m 0,25m 0,1m

4kN 0,48kN

0,8m 0,25m 0,1m 0,45m

-3kNm -5kNm

-20,86kN

4,48kN 4kN

Mf

Q


44

15) A ferramenta representada a seguir é utilizada para a fixação de elementos

de cabeça sextavada. Dimensionar a haste da ferramenta considerando que a mesma

possui seção transversal circular.

Dados:

mm,dm,d

:totanPor

d

:Assim

kMfd


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

2720020270

1022029032

32

90090

10220220

36

3

26

==

⋅⋅⋅⋅

=

⋅=

−

==

⋅==

π

σπ

σ

2

220

=

=

k

MPaeσ

0,3m

0,3kN

0,3m

0,3kN

Mf

Q

-0,09kN

-0,3kN


45

16) A viga mostrada na figura é utilizada na linha de produção de uma fábrica

para elevação de carga da esteira inferior para a esteira superior. Selecionar o perfil tipo

I adequado para operar com segurança no sistema representado.

Dados:

MPae 180=σ

mmx,I:oselecionadPerfil

cm,w

:assim,calculado


,segurançadefatorutilizousenãoComo


cm,w

m,w

:totanPor

w

:Assim

Mfkw


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

x

x

x

x

x

e

máxx

máx

e

716101

958

4154

000054410

1018099751

99759759

10180180

3

3

3

6

26

−

=

−

−

=

=

⋅⋅

=

⋅=

−

==

⋅==

σ

σ

1,5m 2 m 3,5m

4kN 4kN

3,5m 2 m 1,5m

4kN 4kN

2,85kN

-1,15kN

-5,15kN

Q

9,975kNm 7,675kNm

Mf


46

17) Dimensionar o eixo representado na figura com relação à flexão,

considerando que o mesmo possui seção circular.

Dados:

mm,dm,d

:totanPor

d

:Assim

kMfd


NmkNmMf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

8575075850

102802600032

32

60006

10280280

36

3

26

==

⋅⋅⋅⋅

=

⋅=

−

==

⋅==

π

σπ

σ

2

280

=

=

k

MPaeσ

0,8m 0,25 m

24kN

24kN

0,25 m 0,8m d

Q

Mf

6kNm

7,5kN

-24kN


47

18) Dimensionar o eixo representado na figura com relação à flexão,

considerando que o mesmo possui seção tubular.

Dados:

mm,d,,d

Dyd:pordadoéddevalorO

mm,Dm,D

:totanPor

),(,

D

:Assim

)y(kMf

D


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

12211628750

1628028160

1030075015130032

132

30030

10300300

364

34

26

=⋅=

⋅=

==

⋅⋅−⋅⋅⋅

=

⋅−⋅=

−

==

⋅==

π

σπ

σ0,35m 0,35m 0,2m 0,6 m

0,35kN 0,5kN 0,15kN

0,3674kN

0,0174kN

-0,4826kN

0,15kN

0,13903kNm

-0,3kNm

Mf

Q

D

d 0,35m 0,35m 0,6 m 0,2m

0,35kN 0,5kN 0,15kN

0,1286kNm

750

51300

,Dd

y

,kMPae

==

==σ


48

19) O mecanismo representado a seguir é acionado hidraulicamente e utilizado

para elevação de cargas em uma industria. Dimensionar a viga ABCD considerando que

a mesma possui seção transversal quadrada.

Dados:

52360,k

MPae

==σ

mm,lm,l

:totanPor

,l

:Assim

kMfl


NmkNm,Mf

:MfdediagramaDo

m/NMPa

:Solução

e

máx

máx

e

7442042740

103605218756

6

18758751

10360360

36

3

26

==

⋅⋅⋅

=

=

−

==

⋅==

σ

σ

Vista superior

Cilindro hidráulico 30kN

5kN/m

2m 0,5m 0,5m

-0,625kNm

1,875kNm

-2,5kN

2,5kN

-5kN

5kN

Q

Mf

-0,625kNm

A B C

D


49

20) O eixo mostrado na figura a seguir é apoiado em mancais radiais lisos nos

pontos A e B. Devido à transmissão de potência para o eixo, as correias das polias estão

sujeitas às tensões indicadas. Determinar o diâmetro do eixo.

Dados:

52220,k

MPae

==σ

0,95kN

Mf

0,15m

Q

0,475kN

-0,475kN

0,075kNm

-0,5kN

0,15kN

0,25m 0,25m 0,5m 0,15m

0,5kN

Q

Mf

0,11875kNm

0,55kN 0,4kN 0,2kN

0,3kN

Plano vertical

Plano horizontal

A

B


50

mm,dm,d

:totanPor

,,d

:Assim

kMfd


Nm,Mf

,Mf

:MftetanresulfletorMomento

m/NMPa

:Solução

e

máx

R

R

R

e

3325025330

10220524514032

32

145140

7575118

10220220

36

3

22

26

==

⋅⋅⋅⋅

=

⋅=

−

=

+=

⋅==

π

σπ

σ


51

1.14 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção


Dados:

5KN

1m

Mf

Q

-5KNm

-5KN

l

l ,

2

280

==

k

MPaeσ


52



Dados:

1m 1m

2KN 4KN

Q

-4KN -6KN

-6KNm

-10KNm

l

l

3

300

==

k

MPaeσ


53



Dados:

Mf

Q

l

2m

3KN

-3kN

-6kNm

l

3

360

==

k

MPaeσ


54



Dados:

8KN

5KN

1m 1m l

-2KNm

-5KNm

-5KN

3KN

Mf

Q

l

2

220

==

k

MPaeσ


55



Dados:

d

2130

==

kMPaeσ

1m

10kN/m

Q

Mf

-7,5kN

10,31kNm

7,5kN

1m

1,5m


56



Dados:

d

12kN

5110,k

MPae

==σ

10kN

4,66kN

-7,34kN

2,66kN

-2,66kNm

4,66kNm

Q

Mf

1m 1m 1m


57



Dados:

d 1m

15kN

2,8kNm

Mf

Q

3

650

==

k

MPaeσ

12,2kNm

-15kNm

10kN 20kN

-15kN

17,8kN

7,8kN

-12,2kN

1m 1m 1,2m


58



Dados:

d

1m

2kN

Mf

Q

2

50

==

k

MPaeσ

4kN 2kN

2kN 2kN

-2kN -2kN

-2kNm -2kNm

1m 1m 1m


59



Dados:

h

b

0,5m

-2kN

Mf

Q

81

2360

,bh

x

kMPae

==

==σ

3kNm

6kN

8kN

1,5m


60



Dados:

h

b

2,5m

8,75kN

5,46kNm

Mf

Q

2

31130

==

==

bh

x

,kMPaeσ

-8,75kN

7kN/m


61



Dados:

h

b

1m

20kN/m

-7,5kNm

Mf

Q

2,635kNm

15kN

-9,73kN

10,27kN

15kN

0,8m 0,5m

3

5240

==

==

bh

x

,kMPaeσ


62



Dados:

h

b

1m

15kNm

-7,5kNm

Mf

Q

42

2220

,bh

x

kMPae

==

==σ

-4kNm

8kN/m

-8kN

-1,75kN

15kN

1m 2m


63



Dados:

D

d 1m

5kN

4,5kNm

Mf

Q

50

2250

,Dd

y

,kMPae

==

==σ

0,5kNm

4kNm

0,5kN

-4,5kN

1m


64



Dados:

D

d 1m

6,428kN

2kNm

Mf

Q

550

3130

,Dd

y

kMPae

==

==σ

3kNm

6,57kNm 6,428kNm

-6,57kN

-0,572kN

7kN 6kN

1m 1,5m


65



Dados:

D

d 1m

7kN

3kNm

Mf

Q

70

5280

,Dd

y

,kMPae

==

==σ

4,25kNm

-1,5kNm

1,25kN

-5,75kN

3kN

3kN/m

1m 1m


66



Dados:

D

d 1m

-4kNm

Mf

Q

80

31360

,Dd

y

,kMPae

==

==σ

4kN/m

10kN 10kN

10kN

-10kN

4kN/m

-14kNm

1m 2m


67



Dados:

b b

a

a

2m

20kN

20kNm

Mf

Q

70

51360

,ab

z

,kMPae

==

==σ

10kN

-10kN

2m


68



Dados:

b b

a

a 1m

-7kN

-3,5kNm

Mf

Q

80

2450

,ab

z

kMPae

==

==σ

7kN/m


69



Dados:

b b

a

a 2m

8kN/m

4kNm

Mf

Q

70

52360

,ab

z

,kMPae

==

==σ

8kN

-8kN


70



Dados:

b b

a

a 1m

2kNm

Mf

Q

50

53280

,ab

z

,kMPae

==

==σ

4,5kNm

6,5kNm

-2kNm -2kNm

15kN 4kN/m

-4kN -6,5kN

8,5kN 4kN

4kN/m

1m 1m 1m


71

21) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil I adequado para que a

estrutura suporte o carregamento com segurança.

Dados:

1m

4kN/m

5,625kNm

Mf

Q

MPae 180=σ

5kN/m

-5kN

1kN

1,5m


72

22) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil U adequado para que a

estrutura suporte o carregamento com segurança.

Dados:

1m

8kN

-7kNm

Mf

Q

MPae 180=σ

7kN

1kN

-7kN

1m

-6kNm


73

23) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas iguais adequado

para que a estrutura suporte o carregamento com segurança.

Dados:

1m

3kN

4kNm

Mf

Q

MPae 180=σ

7kN 4kN

-4kN -0,25kN

-7,25kN

3kN

1m 0,4m 0,4m

-4,1kNm -3kNm


74

24) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas desiguais

adequado para que a estrutura suporte o carregamento com segurança.

Dados:

0,8m

8kN

5kNm

Mf

Q

MPae 180=σ

-5kNm -11,4kNm

0,12kNm

7kN/m

-8kN

12,7kN

-1,3kN

2m


75

25) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode

ser aplicado.

Dados:

1m

4P

Mf

Q

mmlquadradaSeção

k

MPae

85

2

280

=

=

=σ

3P

-1,8P -0,8P

2,2P

1,8P

-0,4P

1m 0,5m


76


ser aplicado.

Dados:

1m

Mf

Q

mmdcircularSeção

k

MPae

70

2

300

=

=

=σ

-P

-P

P


77


ser aplicado.

Dados:

1m

Mf

Q

mmhmmb

gulartanreSeção

,kMPae

12090

52360

==

==σ

-3P

-4P

-P

-P

P 2P

1m


78


ser aplicado.

Dados:

1m

3P

Mf

Q

mmdmmDtubularSeção

,kMPae

6580

51280

==

==σ

3P

-3P

3P 3P

1m 3m


79


ser aplicado.

Dados:

1m

P

Mf

Q

mmbmmacaixãoSeção

kMPae

6080

3450

==

==σ

2P 3P

6P

P 3P

1,5P

4,5P

10,5P

1m 1,5m


80


ser aplicado.

Dados:

1m

2P

Mf

Q

3452

2180

cm,w

ItipoPerfil

kMPa

x

e

=

==σ

2P

2P

-2P

2P

1m 1m


81


ser aplicado.

Dados:

0,7m

1,3P

Mf

Q

3982

51180

cm,w

UtipoPerfil

,kMPa

x

e

=

==σ

2,1P

3P

-2P

-P

P

3P

0,8m 0,6m


82


ser aplicado.

Dados:

3P

Mf

Q

338

2180

cmw

desiguaisabasLtipoPerfil

kMPa

x

e

=

==σ

1m 1m 0,5m

4P

2,2P

-0,8P -1,8P

1,8P

-0,4P


83

33) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui

seção transversal retangular.

Dados:

1,5m

3kN

4,5kNm

Mf

Q

2

300

==

k

MPaeσ

?materialmenosconsomeQual)C

,bh

x)B

bh

x)A

:Calcular

50

2

==

==

-3kN

6kN

1,5m


84

MPae 180=σ

34) A viga mostra na figura é utilizada no pátio de uma estrada de ferro para

carregar e descarregar vagões. Se a carga máxima de elevação é P=15kN, selecione o perfil

I para suportar com segurança esta carga.

Dados:

5m

-7,5kN

37,5kNm

Mf

Q

7,5kN

15kN

5m

15kN

10m


85

35) A viga de aço mostrada na figura tem uma tensão de flexão admissível

MPaadm 140=σ . Determine a carga máxima que a viga pode suportar com segurança.

Dados:

2m

P

Mf

Q

mmaquadradaSeção

60=

-2P

P

-P

2m


86

36) Determine o menor diâmetro admissível para o eixo que está sujeito às forças

concentradas mostradas na figura. Os mancais A e B suportam apenas forças verticais, e a

tensão de escoamento é MPae 280=σ , com k=2.

0,1m

0,5kN

0,0033kNm

Mf

Q

-0,05kNm

0,3kN

0,033kN

-0,267kN

0,5kN

0,2m 0,1m

0,5kN

0,3kN


87


seção transversal tubular.

Dados:

1m

-5kN

7kNm

Mf

Q

80

52300

,Dd

y

,kMPae

==

==σ

7kN

7kN

12kN

-0,5kNm

1,5m


88


seção transversal circular.

Dados:

2m

12kN

-12kNm

Mf

Q

751360,k

MPae

==σ

6kN

-6kN

2m


89


seção transversal caixão.

Dados:

1m 8kN

-8kNm

Mf

Q

650

2280

,ab

z

kMPae

==

==σ

8kN

8kN

-8kN

1m 3m


90


seção transversal quadrada.

Dados:

1m

10kN

-7kNm

Mf

Q

3

450

==

k

MPaeσ

-41kNm

7kN

-17kN

-7kN

2m


91

Respostas dos Exercícios Propostos

1) l = 59,84mm 2) l = 84,34mm 3) l = 66,94mm 4) l = 64,84mm 5) d = 117,36mm 6) d = 192,47mm 7) d = 89,02mm 8) d = 93,41mm 9) b = 31,36mm, h = 56,46mm 10) b = 43,42mm, h = 86,85mm 11) b = 67,86mm, h = 203,58mm 12) b = 41,41mm, h = 99,39mm 13) D = 129mm, d = 64,5mm 14) D = 119mm, d = 65,45mm 15) D = 121mm, d = 84,7mm 16) D = 95,54mm, d = 76,43mm 17) a = 89,97mm, b = 60,88mm 18) a = 54,07mm, b = 43,25mm 19) a = 60,30mm, b = 42,21mm 20) a = 80,41mm, b = 40,20mm 21) Perfil I – 101,6 x 67,6mm 22) Perfil U – 152,4 x 48,8mm 23) Perfil L abas iguais - 101,6 x 101,6mm 24) Perfil L abas desiguais – 152,4 x 101,6mm 25) P = 7960N 26) P = 5050N 27) P = 7776N 28) P = 1765N 29) P = 7960N 30) P = 833N 31) P = 2358N 32) P = 1900N 33) A) b = 35,56mm, h = 71,12mm; B) b = 44,81mm, h = 89,62mm; C) A 34) Perfil I – 203,2 x 101,6mm 35) P = 2520N 36) d = 15,37mm 37) D = 100,21mm, d = 80,17mm 38) d = 84,06mm 39) a = 74,73mm, b = 48,57mm 40) l = 117,92mm


92

Referências Bibliográficas

1 – Beer. Ferdinand. P, Johnston. Russel. E, “Resistência dos Materiais” McGraw-

Hill – New York 1992.

2 – Hall. Allen. S, Holowenko. Alfred. R, “Machine Design” Shaum´s Outlines,

McGraw Hill – New York 1962.

3 – Hibbeler. R. C, “Resistência dos Materiais”, Livros Técnicos e Científicos

Editora S.A, Rio de Janeiro 1997.

4 – Hibbeler. R. C, “Mecânica Estática”, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A,

Rio de Janeiro 1998.

5 – Jackson. J. J, Wirtz. H. G, “Statics and Strength of Materials ”, Shaum´s

Outlines, McGraw Hill – New York 1983.

6 – Meriam. J. L, Kraige. L. G, “Mecânica Estática”, Livros Técnicos e Científicos

Editora S.A, Rio de Janeiro 1997.

7 – Melconian. S, “Mecânica Técnica e Resistência dos materiais”, Editora Érica,

São Paulo 1999.

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