7. BETÃO II (UPL)_LajesFungiformes_Acetato - Paulo Fernandes & João Veludo

Escola Superior de Tecnologia e Gestão

Lajes fungiformes Betão Armado II

8. Lajes fungiformes ............................................................................................. 45

8.1 Generalidades ............................................................................................ 45

8.2 Dimensões dos elementos ......................................................................... 45

8.3 Modelos de análise..................................................................................... 48

8.4 Análise qualitativa do cálculo de esforços .................................................. 51

8.5 Método dos pórticos equivalentes (ou virtuais)........................................... 52

8.5.1 Definição de pórtico equivalente (ou virtual) ..................................... 52

8.5.2 Determinação de esforços ................................................................ 53

8.6 Estado limite último de punçoamento......................................................... 54

8.6.1 Generalidades................................................................................... 54

8.6.2 Mecanismo de rotura por punçoamento ........................................... 55

8.6.3 Verificação da segurança de acordo com o REBAP......................... 57

8.6.3.1 Domínio de aplicação .............................................................. 57

8.6.3.2 Modelo de cálculo ................................................................... 59

8.6.3.3 Contorno crítico (µ).................................................................. 59

8.6.3.4 Método de verificação ao punçoamento.................................. 61

8.6.3.5 Resistência ao punçoamento .................................................. 63

8.6.4 Verificação da segurança de acordo com o EC2:1992 ..................... 64

8.6.4.1 Domínio de aplicação .............................................................. 64

8.6.4.2 Modelo de cálculo ................................................................... 65

8.6.4.3 Contorno crítico ....................................................................... 66

8.6.4.4 Método de verificação ao punçoamento.................................. 67

8.6.4.5 Lajes de espessura variável .................................................... 69

8.6.4.6 Resistência ao punçoamento .................................................. 70

8.6.4.6.1 Lajes ou sapatas de fundação sem armadura específica... 70 8.6.4.6.2 Lajes com armadura de punçoamento ............................... 71

8.6.4.7 Cargas excêntricas na ligação laje-pilar .................................. 72

8.6.5 Disposições construtivas................................................................... 74

página 45



8. Lajes fungiformes 8.1 Generalidades

As lajes fungiformes são lajes que apoiam directamente nos pilares

ou em vigas de bordadura e são dimensionadas quer para acções

verticais quer para acções.

8.2 Dimensões dos elementos

a) Os pilares não devem afastar-se dos alinhamentos de uma malha

ortogonal mais de 10% do vão na direcção em que se verifica

esse desvio.

Figura 50 - Malha sensivelmente ortogonal

página 45



b) Dimensão dos pilares.

π π.

Figura 51 - Dimensões dos pilares

c) Espessuras

Para sobrecargas correntes em edifícios (sc<5 kN/m2), a espessura das

lajes fungiformes pode ser determinada a partir dos seguinte quadros

(EC2 quadro 4.14 – versão em português):

Quadro 2 - Relação vão/altura útil para lajes fungiformes (indicativos)

Sistema Estrutural Betão fortemente solicitado ρ=1,5%

Betão fracamente solicitado ρ=0,5%

Laje apoiada em pilares (laje fungiforme) 21 30

Consola 7 10

página 46



Quadro 3 - Valores da esbelteza l/h a adoptar

h (m) L (m) Tipo

Esbelteza L/h

4 5 6 7 8 9 10

Laje maciça 25-30 0,15→mínimo

≈0,20 ≈0,25

Laje maciça com capitel 35-40 0,15 → ≈0,20 ≈0,25

Laje aligeirada 20-25 0,225→ ≈0,25 ≈0,30 ≈0,35

Laje aligeirada

com capitel 25-30 0,225→ ≈0,25 ≈0,30 ≈0,35

Os valores apresentados nos quadros anteriores têm em conta o

controlo indirecto da deformação e o nível de esforços na laje.

d) Lajes fungiformes aligeiradas

Os maciçamentos junto aos pilares devem ter, em planta, as dimensões

correspondentes às zonas de intersecção das faixas centrais das

travessas do sistema de pórticos ortogonais.

Figura 52 - Geometria de lajes fungiformes aligeiradas

página 47



Figura 53 - Laje

fungiforme aligeirada com blocos de leca

Figura 54 - Laje

fungiforme aligeirada com

cocos

8.3 Modelos de análise

A análise e dimensionamento destas lajes pode ser realizado pelos

seguintes métodos:

Análise por elementos finitos;

Figura 55 - Modelação por elementos finitos

página 48



Métodos simplificados:

Modelo de grelha – Só é possível determinar o efeito das acções

verticais. Difícil de simular a rigidez à torção

Figura 56 - Modelação por modelo de grelha

Método dos pórticos equivalentes (REBAP art.º 119) – É possível

determinar o efeito das acções verticais e horizontais, através da

consideração de pórticos em duas direcções ortogonais.

Figura 57 - Pórticos equivalentes

página 50



8.4 Análise qualitativa do cálculo de esforços

Nas lajes fungiformes os maiores esforços, devido às acções

verticais, surgem segundo a direcção do maior vão (direcção

principal de flexão).

Figura 58 - Deformação da laje

Figura 59 - Caminho das cargas

página 51



Quadro 4 - Cargas transmitidas segundo cada direcção

Direcção X Direcção Y Vão α.q.Ly (1-α).q.Lx

Bandas 2.(1-α).q.Ly/2 2.α.q.Lx/2 Total q.Ly q.Lx

8.5 Método dos pórticos equivalentes (ou virtuais)

8.5.1 Definição de pórtico equivalente (ou virtual)

A estrutura deve ser dividida em dois conjuntos independentes de

pórticos em direcções ortogonais.

Figura 60 - Definição de pórtico equivalente (ou virtual)

página 52



8.5.2 Determinação de esforços

Figura 61 - Pórticos em duas direcções ortogonais

Quadro 5 - Distribuição dos momentos nas lajes fungiformes (em percentagem do momento total)

Momentos flectores Faixa central da travessa

a1+a2 ou a2 (1)

Faixas laterais da travessa

b1+b2 ou b2 (1) Momentos positivos

Momentos negativos

55%

75%

45%

25% (1) a1+a2 e b1+b2 – para pórticos intermédios

a2 e b2 – para pórticos extremos

A figura 63 representa a distribuição de momentos my ao longo de

um alinhamento de pilares, obtido por uma solução de elementos

finitos e a distribuição simplificada de acordo com o método dos

pórticos equivalentes. página 53



Figura 62 - Distribuição real (elementos finitos) e simplificada dos momentos

negativos segundo um alinhamento de pilares

8.6 Estado limite último de punçoamento

8.6.1 Generalidades

O punçoamento é um problema associado a cargas concentradas:

zona de apoio dos pilares em lajes fungiformes, cargas

concentradas em lajes e em fundações.

Figura 63 - Esforços de punçoamento

página 54



8.6.2 Mecanismo de rotura por punçoamento

O estado limite de punçoamento está associado a um cone de

rotura que se desenvolve em torno da área carregada.

Figura 64 - Mecanismo de rotura por punçoamento de pavimento de laje

Figura 65 - Mecanismo de rotura por punçoamento de uma fundação flexível

página 55



As figura seguintes ilustram o comportamento de uma laje circular

suportada no seu centro e carregada na periferia:

Fendilhação radial que se forma relativamente cedo, devido aos

esforços de flexão circunferenciais;

Uma fenda de punçoamento em torno do pilar, que se forma para 2/3

da carga última, e que se inclina em direcção aquele;

Uma casca cónica em torno da base do pilar que liga estas duas

partes da laje separadas pela fenda cincunferencial de punçoamento.

Figura 66 - Esquema de fendilhação devido ao punçoamento

página 56



Figura 67 - Esforços devido ao punçoamento

Equilíbrio das forças de punçoamento

Componente vertical da compressão radial;

Componente vertical da força de atrito entre os inertes na fenda;

Componente vertical da força do efeito de ferrolho.

8.6.3 Verificação da segurança de acordo com o REBAP

8.6.3.1 Domínio de aplicação

Os princípios e as regras definidas no artigo 53 do REBAP para o

punçoamento são aplicáveis, atendendo às seguintes situações:

As forças de punçoamento não podem actuar junto de outras cargas

concentradas importantes;

A área carregada deve distar 5d de um bordo livre (ou do bordo de

uma abertura.

página 57



Além das condições anteriores o problema de punçoamento só

deverá ser considerado nos seguintes casos:

a) se a área carregada é circular, o seu diâmetro não

excede 3,5d;

b) se a área carregada é rectangular, o seu perímetro não excede

11d ( u=2a+2b≤11d ), nem excede 2 a

relação entre o seu comprimento e a sua

largura ( a≤2b );

c) se a área carregada tem outra formas, as suas dimensões não

excedem limites obtidos por analogia com os casos anteriores.

d) No caso de áreas carregadas com outra forma da indicada em a)

e b) a verificação ao punçoamento será efectuada com o

perímetro de contorno crítico indicado na figura 68.

Figura 68 - Perímetro de contorno crítico para áreas carregadas alongadas

página 58



8.6.3.2 Modelo de cálculo

Figura 69 - Modelo de cálculo para o punçoamento

8.6.3.3 Contorno crítico (µ)

Figura 70 - Perímetro de contorno crítico para áreas carregadas afastada de

bordos livres e aberturas

página 59



Figura 71 - Perímetro de contorno crítico para áreas carregadas junto de

bordos livres (c ≤ 5d)

Figura 72 - Perímetro de contorno crítico para áreas carregadas junto a

aberturas

α

Figura 73 - Perímetro crítico para capiteis de forma cónica

página 60



8.6.3.4 Método de verificação ao punçoamento

A verificação em relação ao punçoamento baseia-se em três

valores de esforço transverso resistente no contorno crítico:

1Rdv - valor de cálculo do esforço transverso resistente sem armadura

específica;

2Rdv - valor de cálculo máximo do esforço transverso resistente com

armadura específica;

3Rdv - valor de cálculo do esforço transverso resistente com armadura

específica;

rdsd vv ≤ ou rdsd VV ≤

O valor de cálculo do esforço actuante

Cargas centradas

uVv Sd

Sd =

Sdv - valor de cálculo do esforço actuante de punçoamento por unidade

de comprimento do contorno crítico de punçoamento;

SdV - valor de cálculo do esforço actuante de punçoamento;

u - perímetro do contorno crítico de punçoamento;

página 61



Cargas excêntricas

SdSd

Sd vuVv ′+=

- excentricidade devido à área carregada

Figura 74 - Perímetro de contorno crítico para áreas carregadas para pilares

de canto e de bordo

- excentricidade devido à carga

⋅⋅=′

0

2de

uVv Sd

Sd

área carregada de contorno circular

⋅

+⋅⋅=′

yx

yxSdSd bb

eeuVv 5,1

área carregada de contorno rectangular

página 62



8.6.3.5 Resistência ao punçoamento

- Sem armadura específica

ddvRd ⋅⋅−= 11 )6,1( τ

- Com armadura específica

12 6,1 RdRd vv ⋅≤

usenfA

v sydswRd

α⋅⋅⋅=

3/43

em que:

αsenfA sydsw ⋅⋅ - componente, normal ao plano da laje, da força

resistente de cálculo da armadura (correspondente à tensão fsyd, mas

não excedendo o valor de 350 MPa)

página 63



8.6.4 Verificação da segurança de acordo com o EC2:1992

8.6.4.1 Domínio de aplicação

Os princípios e as regras definidas no artigo 53 do REBAP para o

punçoamento são aplicáveis, atendendo às seguintes situações:

Lajes com armadura de flexão superior a 0,5% em duas direcções

ortogonais %5,0, ≥lylx ρρ ;

Para lajes de fundação com relações ; Ha 2≥

Lajes aligeiradas com secção maciça em torno

da área carregada, estendendo-se esta zona

maciça pelo menos 1,5d para além do contorno

crítico.

Além das condições anteriores o problema de punçoamento só

deverá ser considerado nos seguintes casos:

a) se a área carregada é circular, o seu diâmetro não

excede 3,5d;

b) se a área carregada é rectangular, o seu perímetro não excede

11d ( u=2a+2b≤11d ), nem excede 2 a

relação entre o seu comprimento e a sua

largura ( a≤2b );

página 64



c) se a área carregada tem outra formas, as suas dimensões não

excedem limites obtidos por analogia com os casos anteriores.

d) No caso de áreas carregadas com outra forma da indicada em a)

e b) a verificação ao punçoamento será efectuada com o

perímetro de contorno crítico indicado na figura 76.

Figura 75 - Perímetro de contorno crítico para áreas carregadas alongadas

8.6.4.2 Modelo de cálculo

ββ

ββ

β

Figura 76 - Modelo de cálculo para o punçoamento (estado limite último)

página 65



8.6.4.3 Contorno crítico

Figura 77 - Contorno crítico de áreas carregadas afastadas de bordos livres

Figura 78 - Contorno crítico de uma área carregada junto de uma abertura

Figura 79 - Contorno crítico junto de bordos livres

página 66



8.6.4.4 Método de verificação ao punçoamento

A verificação em relação ao punçoamento baseia-se em três

valores de esforço transverso resistente no contorno crítico:

1Rdv - valor de cálculo do esforço transverso resistente sem armadura

específica;

2Rdv - valor de cálculo máximo do esforço transverso resistente com

armadura específica;

3Rdv - valor de cálculo do esforço transverso resistente com armadura

específica;

rdsd vv ≤ ou rdsd VV ≤

O valor de cálculo do esforço actuante

uVv Sd

Sd⋅

=β

β - coeficiente que tem em conta os efeitos de excentricidades das

cargas;

página 67



Cargas centradas

1=β

Cargas excêntricas

β=1,4

β=1,5

β=1,15

Figura 80 - Valores aproximados de β

página 68



8.6.4.5 Lajes de espessura variável

a) Lajes com capiteis em que lc≤1,5hc

Pilar circular com capitel circular 2/5,1 Dldd ccrit ++=

Pilar rectangular (axb) com capitel rectangular (l1xl2; l1=a+2lc1 e l2=b+2lc2)

⋅+

⋅+=

1

21

69,05,156,05,1

minldlld

dcrit

β

β

ββ

β

Figura 81 - Lajes com capiteis em que lc≤1,5hc

b) Lajes com capiteis em que lc>1,5(d+hc)

adld cexcrit 5,05,1, ++= ;d ahd ccrit 5,0)(5,1int, ++=

β

β β

β

Figura 82 - Lajes com capitel aumentado em que lh>1,5(d+hc)

página 69



8.6.4.6 Resistência ao punçoamento

8.6.4.6.1 Lajes ou sapatas de fundação sem armadura específica

dkv lRdRd ⋅⋅+⋅⋅= )402,1(1 ρτ

Quadro 6 - Valores de τRd (MPa)

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

τRd 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34 0,37 0,41 0,44 0,48

1)6,1( ≥−= dk

lylxl ρρρ ⋅=

ρlx e ρly percentagem de armadura de tracção nas direcções x e y

yx ddd ⋅=

dx e dy altura útil nas direcções x e y

página 70



8.6.4.6.2 Lajes com armadura de punçoamento

12 6,1 RdRd vv ⋅=

usenfAvv ydswRdRd /13 α⋅∑ ⋅+=

A armadura de punçoamento deve ser colocada no interior do contorno

crítico;

As lajes fungiformes com armadura de punçoamento devem ter uma

espessura mínima de 200 mm.

Armadura mínima de punçoamento:

)( carregadacrit

sww AA

senA−

⋅∑=αρ

Acrit – área definida pelo contorno crítico;

Acarregada – área carregada.

Quadro 7 - Valores mínimos de ρmím

S220 S400 S500 C12/15 a C20/25 ρw≥0,00096 ρw≥0,00054 ρw≥0,00042 C25/30 a C35/45 ρw≥0,00144 ρw≥0,00078 ρw≥0,00066 C40/50 a C50/60 ρw≥0,00180 ρw≥0,00096 ρw≥0,00078

página 71



8.6.4.7 Cargas excêntricas na ligação laje-pilar

Para considerar a resistência ao punçoamento definida

anteriormente devem ser considerados valores mínimos de

momentos flectores:

SdSdySdx Vmm ⋅≥η,

em que:

Vsd – esforço transverso actuante;

η - coeficiente de momentos indicado no quadro 7

Quadro 8 - Coeficiente de momentos η

η para mSdx η para mSdx Posição do pilar Face

superior Face

inferior Larg.

efectiva byFace

superior Face

inferior Larg.

efectiva bxPilar

interior -0,125 0 0,3ly -0,125 0 0,3lx

Pilares de bordo,

bordo da laje // a x

-0,25 0 0,15ly -0,125 +0,125 (por m)

Pilares de bordo,

bordo da laje // a y

-0,125 +0,125 (por m) -0,25 0 0,15lx

Pilar de canto -0,5 +0,5 (por m) +0,5 -0,5 (por m)

página 72



Figura 83 - Momentos flectores msdx e msdy em ligações laje-pilar sujeitas a

cargas excêntricas, e larguras efectivas de laje para suportar estes momentos

As armaduras resistentes aos momentos acima indicados devem

ser convenientemente amarradas.

Figura 84 - Pormenorização das armaduras junto dos pilares

página 73



8.6.5 Disposições construtivas

Artigo 111 do REBAP e clausula 5.4.3.3 do EC2:

Figura 85 - Armaduras de punçoamento junto a um apoio

página 74

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