a 2 Unidade 1 Capitulo 1 Triangulos

Captulo

1

Trigonometria em tringulos quaisquer

Neste captulo1. Reviso

detrigonometria notringulo retngulo 2.Senoecosseno dengulos obtusos 3.Leidossenos 4.Leidoscossenos

Comece pelo que j sabePretende-secortarasfatiasdeumpodeformaparafazerpequenos sanduchesconformeoesquemaaseguir.

10 cm 2 cm 10 cm

10 cm

10 cm

Depoisdeprontospretende-secoloc-losemumabandejaretangular,detal maneiraqueamaiorfacedecadasanduche,ouseja,suafaceretangularde maiorrea,fiqueemcontatocomabandeja.

10cm

15cm

1.Considerando-seaformaquesepretendecolocarossanduchesnabandeja apresentada,dequantasmaneirasissopoderserfeito?Faaumesquemapara representarcadaumadessasmaneiras. 2.Determinequaldessasmaneirasdeveserutilizadaparaquesetenhaomelhor aproveitamentodoespao. 3.Existemoutrasformasdesecolocarossanduchesnessabandeja? Descrevaalgumasdelaseidentifiqueaquepermitecolocaramaior quantidadedesanduchesnessabandejasemquehajasobreposio.10

1. Reviso de trigonometria nos tringulos retngulosA seguir so apresentadas de modo conciso, e para efeito de reviso, algumas relaes vlidas para os tringulos retngulos. Dado um tringulo retngulo ABC de hipotenusa a e catetos b e c possvel escrever as seguintes relaes.Teorema de PitgorasO quadrado da medida da hipotenusa igual soma dos quadrados das medidas dos catetos.A

Saiba mais

Projeo ortogonal de um segmento de reta` Em um plano, considere umponto P e uma reta r que no passa por P. Chama-se projeoortogonal do ponto P sobre a reta r o ponto P, que o p da perpendicular reta r a partir de P.P

r c P b a2 b2 c2

B

a

C

Relaes mtricasSendo n e m respectivamente as projees dos catetos b e c sobre a hipotenusa, e h a altura relativa hipotenusa, so vlidas as seguintes relaes:A

A projeo ortogonal de um segmento de reta em uma reta r o conjunto das projees de todos os pontos do segmento, ou seja, um segmento. Observe que, se o segmento de reta for perpendicular reta r, sua projeo resultar em um nico ponto sobre r.C B A r projCD projAB

c h

b

b an c2 a m bcah h2 m n2

D

B m

H a

C n

Relaes trigonomtricasA cateto oposto a e cateto adjacente a a

c

b

cateto oposto a e cateto adjacente a C

A aplicao mais frequente da trigonometria o clculo da medida da projeo ortogonal. ___ Se o segmento ABtem comprimento k, e o ngulo formado com a sua projeo a, pode-se demonstrar que a medida da projeo ortogonal igual a k? cos a.B k projAB r

B

catetooposto a a b sen a 5 ____________ __ 5a hipotenusa catetoadjacente a a c cos a 5 _____________ __ 5a hipotenusa catetooposto a a b tg a 5 ______________ 5 __ catetoadjacente a a c

catetooposto a b c senb 5 ____________ __ 5a hipotenusa catetoadjacente a b b cosb 5 _____________ __ 5a hipotenusa catetooposto a b c tgb 5 _____________ 5 __ catetoadjacente a b b

A

Como a e b so ngulos complementares, ou seja, a 1 b 5 90, valem as seguintes relaes: b c sen a 5 cos b 5 __ e sen b 5 cos a 5 __ a a 1 1 tg a 5 ____ e tg b 5 ____ tg b tg a sen b sen a tg a 5 ______ e tg b 5 ______ cos a cos b

De fato, considerando o tringulo retngulo formado ao projetar-se o ___ segmento AB e chamando , de a o ngulo formado pelo segmento e sua projeo, tem-se que projAB cos a 5 ______ k projAB 5 k ? cos a

11

1


Tabela de razes trigonomtricasA tabela a seguir apresenta os valores aproximados, com quatro casas decimais, do seno, do cosseno e da tangente de ngulos entre 0 e 90.ngulo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 sen 0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071 cos 1,0000 0,9998 0,9994 0,9986 0,9976 0,9962 0,9945 0,9925 0,9903 0,9877 0,9848 0,9816 0,9781 0,9744 0,9703 0,9659 0,9613 0,9563 0,9511 0,9455 0,9397 0,9336 0,9272 0,9205 0,9135 0,9063 0,8988 0,8910 0,8829 0,8746 0,8660 0,8572 0,8480 0,8387 0,8290 0,8192 0,8090 0,7986 0,7880 0,7771 0,7660 0,7547 0,7431 0,7314 0,7193 0,7071 tg 0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000 ngulo 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 sen 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998 1,0000 cos 0,6947 0,6820 0,6691 0,6561 0,6428 0,6293 0,6157 0,6018 0,5878 0,5736 0,5592 0,5446 0,5299 0,5150 0,5000 0,4848 0,4695 0,4540 0,4384 0,4226 0,4067 0,3907 0,3746 0,3584 0,3420 0,3256 0,3090 0,2924 0,2756 0,2588 0,2419 0,2250 0,2079 0,1908 0,1736 0,1564 0,1392 0,1219 0,1045 0,0872 0,0698 0,0523 0,0349 0,0175 0,0000 tg 1,0355 1,0724 1,1106 1,1504 1,1918 1,2349 1,2799 1,3270 1,3764 1,4281 1,4826 1,5399 1,6003 1,6643 1,7321 1,8040 1,8807 1,9626 2,0503 2,1445 2,2460 2,3559 2,4751 2,6051 2,7475 2,9042 3,0777 3,2709 3,4874 3,7321 4,0108 4,3315 4,7046 5,1446 5,6713 6,3138 7,1154 8,1443 9,5144 11,4301 14,3007 19,0811 28,6363 57,2900

12

Exerccios resolvidos1. Determinar os valores de x, y e z referentes s medidas do tringulo retngulo representado pela figura abaixo.A

sabendo que so necessrios 5 dm para fazer as amarraes? Resoluo Pode-se representar essa situao pela figura abaixo. Pelo teorema de Pitgoras:24 dm 25 dm

60

z

80

252 5 242 1 x2 625 5 576 1 x2 625 2 576 5 x2 x2 5 49

B

y 100

x

C

Resoluo Classificam-se os elementos do tringulo ABC.cateto do ABC projeo do 60 ___ cateto AB sobre ___ a hipotenusa BC B y 100 A cateto do ABC 80 projeo do ___ cateto AC sobre a ___ hipotenusa BC C

x 5 7 dm. Portanto, so necessrios 7 1 5 5 12 dm de corda para amarrar o p da escada no muro, pois x . 0. 3. Na figura a seguir, determinar os valores de seno, cosseno e tangente para os ngulos a e b.C 15 cm A 25 cm 20 cm B

x

z altura

x

Aplicando a relao mtrica referente ao cateto AC: 6 400 802 5 10 ? x x 5 ______ x 5 64. 100 Como x 1 y 5 100 y 5 100 2 64 y 5 36. Aplicando a relao mtrica referente altura: 36 ?64 z2 5 36 ? 64 z 5 dXXXXXXX 5 48, pois z . 0. Logo x 5 64, y 5 36 e z 5 48. 2. Uma escada de 25 dm est apoiada, na vertical, em um muro, e a parte mais alta da escada est a 24 dm do cho. Deseja-se amarrar com uma corda o p da escada no muro, para evitar que ela escorregue. Qual deve ser o comprimento da corda,

Resoluo catetooposto a a 20 4 sen a 5 ____________ ___ 5 __ 5 25 5 hipotenusa catetoadjacente a a 15 3 cos a 5 _____________ ___ 5 __ 5 25 5 hipotenusa catetooposto a a 20 4 tg a 5 _____________ 5 ___ 5 __ 15 3 catetoadjacente a a 4 Como a 1 b 5 90, cos b 5 sen a 5 __, 5 3 3 1 sen b 5 cos a 5 __ e tg b 5 ____ 5 __. 5 tga 4

Exerccios propostos4. Na figura abaixo, determine as medidas x, y, t e z. 6. Calcule o valor das expresses: sen 47 1 cos 32 sen 18 1 cos 72 a) _________________ b) ________________ cos 43 1 sen 58 sen 18 7. O losango ABCD da figura ao lado tem a medida da diagonal menor igual a 4 cm. Determine o permetro desse losango, em centmetros, sabendo que sen 30 5 0,5.A 2 B D

6

x

z

4 t

y

5. No tringulo ao lado determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ngulos a e b.

24 cm 26 cm

10 cm

C

13

1


2. Seno e cosseno de ngulos obtusosPararecordar

nguloagudo` um ngulo cuja medida estcompreendida entre 0 e 90.

Utilizando as relaes trigonomtricas possvel resolver problemas que envolvem qualquer tringulo. Quando se trabalha com tringulos que no so retngulos, porm, pode acontecer de um de seus ngulos internos ser obtuso, ou seja, a medida desse ngulo ser maior que 90. De fato: Seja ABC um tringulo, com ngulos internos de medidas a, b e g.B

nguloreto` um ngulo cuja medida 90.

a 1 b 1 g 5 180

nguloobtuso` um ngulo cuja medidaest compreendida entre 90 e 180.A C

nguloscomplementares` Dois ngulos socomplementares se, e somente se, a soma de suas medidas igual a 90. Neste caso, diz-se que um o complemento do outro.

Como a soma dos ngulos internos de qualquer tringulo 180, quando a soma das medidas de dois ngulos for menor que 90, isto , (b 1 g) , 90, a medida do outro ngulo ser dada por a 5 180 2 (b 1 g), ou seja, a . 90. Mas, como se trata de um tringulo, 90 , a , 180, ou seja, o ngulo a um ngulo obtuso.SenoecossenodengulosobtusosSeno Cosseno cos x 5 2cos (180 2 x) O cosseno de um ngulo obtuso oposto ao cosseno do suplemento desse ngulo. Exemplo O cos 135 determinado pela relao cos x 5 2cos (180 2 x), pois 135 um ngulo obtuso. O suplemento de 135 dado por 180 2 135 5 45.dXX 2 Portanto, cos 135 5 2cos 45 5 2___. 2

90

sen x 5 sen (180 2 x) O seno de um ngulo obtuso igual ao seno do suplemento desse ngulo. Exemplo O sen 120 determinado pela relao sen x 5 sen (180 2 x), pois 120 um ngulo obtuso. O suplemento de 120 dado por 180 2 120 5 60.dXX 3 Portanto, sen 120 5 sen 60 5 ___. 2

ngulossuplementares` Dois ngulos sosuplementares se, e somente se, a soma de suas medidas igual a 180o. Neste caso, diz-se que um o suplemento do outro.180

Observao Essas relaes sero estudadas no captulo sobre ciclo trigonomtrico.

Exerccios propostos8. Determine os valores de seno e cosseno, conforme indicado, dos seguintes ngulos obtusos. a) sen 170 b) sen 125 c) cos 175 d) sen 140 e) cos 145 f) cos 165 10. Determine os valores das seguintes expresses: sen 20 1 sen 160 a) __________________ sen 20 cos 50 1 cos 130 b) __________________ cos 0 c) sen 30 1 sen 45 1 sen 90 1 sen 150 1 sen 135 d) cos 0 1 cos 60 1 cos 45 1 cos 120 1 cos 135 (sen 135 1 sen 45)2 1 sen 0 1 (sen 150 1 sen 30)2 e) __________________________________________________ sen2 45 1 sen4 45 (cos 0 1 cos 30)2 1 cos 135 1 (cos 160 1 cos 20)2 f) ___________________________________________ sen2 45 1 cos2 45

9. Julgue as sentenas abaixo como verdadeiras ou falsas, justificando. a) sen 135 . sen 45 b) sen 170 , sen 10 c) sen 165 5 sen 15 d) cos 120 5 cos 60 e) cos 130 , cos 50 f) cos 150 . sen 30 g) cos 30 . sen 60 h) sen 45 5 cos 135

14

3. Lei dos senosEm geral, os problemas de geometria que envolvem tringulos esto relacionados com a determinao das medidas de seus lados e ngulos. Na maioria dos casos, esses problemas podero ser resolvidos aplicando a lei dos senos e a lei dos cossenos, que sero apresentadas a seguir. Nesses casos ser necessrio dispor de apenas uma destas trs informaes: trs lados; dois lados e um ngulo; ou dois ngulos e um lado.Teorema

Para recordar

ngulos inscritos` Se, em uma mesmacircunferncia, dois ngulos inscritos tm o mesmo arco correspondente, ento esses ngulos so congruentes.M

Em um tringulo qualquer, as medidas dos lados so proporcionais aos senos dos ngulos opostos, e essas razes so iguais medida do dimetro da circunferncia circunscrita a esse tringulo.

Demonstrao Considere um tringulo ABC, com lados de medidas a, b e c e ngulos ^ ^ ^ internos de medidas A, B e C, inscrito em uma circunferncia de centro O e raio R.A A c O B B a C C B b r c O a A A r D b E C C D

NN P

P

Q

Portanto, de acordo com a ^ ^ figura N> P .

Tringulos inscritos` Todo tringulo inscritoem uma circunferncia, tal que um de seus lados corresponde ao dimetro, ser um tringulo retngulo.A D r r B C O

A partir do vrtice B, constri-se o dimetro BD. Dessa maneira ficam determinados os tringulos retngulos ABD e BCD. Observe que: ^ ^ ^ ^ A > E e C > D, pois so ngulos inscritos que tm o mesmo arco correspondente; BD 5 2r, pois representa um dimetro da circunferncia. ^ ^ ^ ^ a a Como A > E, segue que sen E 5 sen A 5 ___ _____ 5 2r. ^ 2r sen A Analogamente, como C > D, ento ^ ^ c c sen C 5 sen D 5 ___ _____ 5 2r. ^ 2r sen C A Em seguida constri-se, a partir do vrtice A, o ___ dimetro AE. Assim, determina-se o tringulo retngulo ACE. Observe que: r ^ ^ c b B > F , pois so ngulos inscritos que tm o mesO mo arco correspondente; B r AE 5 2r, pois representa um dimetro da circunB C F ferncia. ^ ^ E Portanto, como B > F, ento ^ ^ b b sen B 5 sen F 5 ___ _____ 5 2r. ^ 2r sen B Assim, fica provada a lei dos senos, que pode ser resumida pela seguinte expresso. b a c _____ 5 _____ 5 _____ 5 2r ^ ^ ^ sen B sen C sen A^ ^

___

Na figura, os tringulos ABD e BCD so retngulos, pois ___ um de seus lados (o lado BD ) corresponde ao dimetro da circunferncia.

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1


Exerccios resolvidos11. Considerar o tringulo ABC inscrito na circunferncia de centro O. De acordo com as informaes da figura, determinar o raio R da circunferncia.A x2 B R 45 O C 30 cm N 60

12. Em um tringulo MNP, MN5 30 cm, M 5 60 e N P ^ P M N 5 30. Determinar a medida do lado MP. Resoluo De acordo com o enunciado, tem-se a seguinte situao:M x 30 P

^

Resoluo AB Pela lei dos senos, tem-se que _________ 5 2R ^ sen (A ) C B dXX dXX 2 2 ________ 5 2R ___ 5 2R R 5 1. sen 45 dXX 2 ___ 2

Pela lei dos senos, verifica-se que: MP MN 30 x __________ 5 __________ ________ 5 ________ ^ ^ sen 30 sen 60 sen (M ) sen (M ) P N N P 30 x ___ 5 ___ x 5 30dXX cm. 3 1 dXX __ 3 ___ 2 2

Exerccios propostos13. O tringulo XYZ est inscrito em uma circunferncia de centro O e raio R. De acordo com os dados da figura, determine a medida do raio da circunferncia.X

17. Um avio est voando a 5 000 m de altura. Um passageiro avista o topo de dois prdios A e B a sua frente sob ngulos de depresso de 30 e de 75, respectivamente, conforme mostra a figura. Sabendo que os prdios tm 100 m de altura, determine a distncia entre esses prdios.30

O 60 Y R

2 3 75

Z

14. Um tringulo KLM est inscrito em uma circunfe ^ M rncia de raio 4. ___ L 5 30, determine a mediSe K . da do segmento LM 15. Na figura, AB 5 12 cm, AC 5 9 cm e A B 5 30. De C ^ . termine o seno do ngulo BA 12 ^ B 9 30 C ^

A

B

18. No tringulo RST abaixo determine a medida ST 5 x, dXX 1 dXX 6 2 sabendo que sen 105 5 ________. 4R 2m 45 S x 30 T

B

16. O quadriltero ABCD da ___ figura um retngulo. Sabe-se que a medida de BD igual a 12 cm e que ^ D medida do ngulo AB 5 30. Chamando de a a___ ^ E D , A e x a medida do segmento BE determine o valor de x, quando a 5 60.D C

A

E

B

19. Investigao. Em dupla, deve-se construir um tringulo com varetas que possuam medidas iguais a 20 cm, 24 cm e 30 cm. Cada integrante deve medir um dos ngulos com um transferidor e em seguida utilizar essa medida para calcular a dos outros dois ngulos pela lei dos senos. Durante os clculos, os integrantes no devem trocar informaes. Aps os clculos, os integrantes devero comparar os resultados. a) Os resultados so exatamente iguais? b) Discutam quais etapas do processo de clculo devem ter contribudo para eventuais diferenas e discutam o que pode ser feito para minimiz-las.

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4. Lei dos cossenosO teorema de Pitgoras se mostra muito eficiente na determinao das medidas dos lados de tringulos. Entretanto, sua utilizao limitada aos tringulos retngulos. Ser estudado a seguir outro teorema importante, chamado de lei dos cossenos, que ser utilizado com a mesma finalidade do teorema de Pitgoras, porm valer para quaisquer tringulos. Considere para a construo de um tringulo os seguintes elementos.

Duas varetas de comprimentos a e b, fixadas em uma de suas extremidades (ponto O) de modo que seja possvel apenas a rotao em torno desse ponto. Um barbante, de comprimento c, fixado na outra extremidade de cada vareta.^

O

o ngulo entre as varetas a e b.

O quadro a seguir ilustra todas as possveis situaes para a construo de um tringulo.a 5 90 a , 90 a . 90

a

c

a

c a

c

O

b

O

b

O

b

Teorema de Pitgoras c2 5 a2 1 b2

c2 , a2 1 b2ou c 5 a 1 b 2algo2 2 2 2

c2 . a2 1 b2ou c 5 a2 1 b2 1algoSe o ngulo formado pelas varetas for maior que 90, ou seja, se for um ngulo obtuso, verifica-se que c2 ser maior que a soma de a2 com b2. Mas, se for adicionado um nmero apropriado soma de a2 com b2, o valor restante poder ser igual a c2.

Se o ngulo formado pelas varetas igual a 90, verifica-se que c2 igual soma de a2 com b2. Essa relao verificada pelo teorema de Pitgoras.

Se o ngulo formado pelas varetas for menor que 90, ou seja, se for um ngulo agudo, verifica-se que c2 menor que a soma de a2 com b2. Mas, se for subtrado um nmero apropriado da soma de a2 com b2, o valor restante poder ser igual a c2.

A seguir, ser demonstrado que esse algo que dever ser adicionado ou ^ subtrado a expresso 2 ? a ? b ? cos O.Teorema

Em um tringulo qualquer, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ngulo oposto.

A demonstrao do teorema ser feita em duas etapas. Na primeira etapa ser considerado o caso em que o tringulo acutngulo, ou seja, quando todos os ngulos so agudos. Na segunda etapa ser estudado o caso em que o tringulo obtusngulo, ou seja, quando o tringulo tem um ngulo obtuso. Assim, todos os tringulos possveis sero estudados, e o resultado obtido em cada etapa a lei dos cossenos.17

1


Demonstrao da lei dos cossenosTringulo acutnguloA

Tringulo obtusnguloA b h ^ 180 B D p q Para analisar este caso, traa-se a altura do tringulo obtusngulo ABC em relao ao lado BC. Assim, obtm-se dois tringulos retngulos, ACD e ABD, em que so vlidas as seguintes relaes: ACD: b2 5 h2 1 q2 I q 5 p 1 a II c B a C

c B

h

b

B

D m a n

C

Para analisar este caso, traa-se a altura do tringulo acutngulo ABC em relao ao lado BC. Assim, obtm-se dois tringulos retngulos, ACD e ABD, em que so vlidas as seguintes relaes: ACD : b2 5 n2 1 h2 I ABC : c2 5 m2 1 h2 h2 5 c2 2 m2 II Substituindo a equao II em I tem-se b 5n 1c 2m2 2 2 2

Substituindo a equao II em I, tem-se b2 5 h2 1 (p 1 a)2 b2 5 h2 1 p2 1 2pa 1 a2 III No tringulo ABD so vlidas as relaes: p ^ ) __ ACD: cos (180 2 B 5 c ) p 5 c ? cos (180 2 B IV Ento, substituindo as equaes de IV em III, obtm-se b2 5 c2 1 2pa 1 a2 5 5 c2 1 2 ? a?c? cos (180 2 B 1 a2 V ) Como cos (180 2 B 5 2cos B substituindo em Vtem-se: ) ,^ ^ ^

III

Da figura, sabe-se que a 5 m 1 n, ento n5a2m Substituindo na equao III obtm-se b 5 (a 2 m) 1 c 2 m 52 2 2 2

c2 5 h2 1 p2

^

5 a2 2 2am 1 m2 1 c2 2 m2 5 5 a2 2 2am 1 c2 IV^ ^ m Como cos B5 __tem-se m 5 c ? cos B substituindo em IV ; c

conclui-se que b2 5 a2 2 2 ? a ? c ? cos B1 c2^

b2 5 a2 1 c2 2 2 ? a ? c ? cos B

^

b2 5 a2 1 c2 2 2 ? a ? c ? cos B

^

Observao Para os tringulos retngulos aplica-se a lei dos cossenos sobre o ngulo de 90. Ser mostrado nos captulos seguintes que cos 90 igual a zero. Assumindo essa informao e aplicando a lei dos cossenos, verifica-se que:50

c 5 a 1 b 2 2 ? a ? b ? cos 90 c2 5 a2 1 b2 Portanto c 5 a2 1 b2. Note que o resultado obtido exatamente o teorema de Pitgoras. Com isso prova-se a veracidade da lei dos cossenos tambm para tringulos retngulos.2 2 2 2

Exerccio resolvido20. De acordo com a figura abaixo, determinar o valor da medida do lado BC.A 8 120 12 (BC)2 5 (AB)2 1 (AC)2 2 2 ? (AB) ? (AC) ? cos (B C) 5 A 5 (8)2 1 (12)2 2 2 ? (8) ? (12) ? cos (120) Como 120 um ngulo obtuso, o seu cosseno determinado por: cos x 5 2cos (180 2 x) cos 120 5 1 5 2cos (180 2 120) 5 2cos (60) 5 2__ 2 Substituindo o valor do cosseno de 120 na expresso encontrada, conclui-se que 1 (BC)2 5 64 1 144 2 192 ? 2__ 5 304 2 BC 5 dXXXX 5 4dXXX 304 19 ^

B

C

Resoluo Como so conhecidas as medidas dos lados AB e AC e do ngulo entre eles, possvel determinar a medida de BC utilizando a lei dos cossenos. Ento:

( )

18

Exerccios propostos21. Em um tringulo ABC, sabe-se que AC 5 8 cm e BC 5 6 cm. Alm disso, conhecida a medida do ^ C B ngulo A , que vale 60. Nessas condies, de___ . termine a medida de AB 22. De acordo com a figura, determine cos a.A 4 B 5

26. Na figura, ABCD um quadriltero qualquer. Utilizando os dados da figura, determine a me___ . dida BCD 8 6 3 60 A 8 3 30 C 45 B

4 3

C

23. O tringulo a seguir representa um ___ ___ delimicanteiro ___ tado pelas ruas representadas por AB BCe AC , .C

27. Construa, utilizando um compasso, um tringulo com lados de medidas iguais a 3 cm, 4 cm e 5 cm. a) Indique qual o menor ngulo desse tringulo. b) Calcule o valor do cosseno do ngulo indicado no item anterior. 28. A figura representa um mapa em escala 1 : 1 000, indicando trs pontos em uma selva. Os lados do tringulo representam os possveis caminhos para deslocar-se entre esses pontos. Um grupo de amigos est na posio representada pelo ponto A. Quanto eles iro percorrer para chegar posio representada pelo ponto C, sabendo que utilizaro o caminho mais curto?C

x

200 m

60 A 100 m B

De acordo com os dados da figura, qual o compri___ ? mento da rua representada por AC 24. O quadriltero ABCD representa uma praa na forma de um trapzio.D C

4 3 cm

30 8m A 4 cm B

60 A 15 m B

Deseja-se___ construir uma cerca representada pela a . diagonal BD O responsvel pela compra do material se equivocou e comprou 50% de material a mais do que o necessrio para a construo da cerca. Ele comprou material para quantos metros de cerca? 25. O quadriltero RSTV abaixo um paralelogramo. Utilizando as informaes fornecidas na figura, de___ . termine a medida da diagonal VSR 8 12 S

V

45

T

29. Investigao. Em duplas, providencie seis varetas com 32 cm de comprimento, um transferidor e uma rgua. Um integrante da dupla dever cortar trs das varetas nos seguintes comprimentos: 20 cm, 28 cm e 32 cm. O outro integrante dever cortar as outras trs varetas nas medidas: 12 cm, 28 cm e 32 cm de comprimento. Em seguida, cada um dever juntar suas respectivas varetas e formar um tringulo. a) Com o transferidor, mea os trs ngulos internos do tringulo formado. b) Utilizando a lei dos cossenos, calcule os trs ngulos internos desse tringulo. c) Verifique se os resultados obtidos nos itens anteriores so os mesmos. d) Compare os seus resultados com os do colega da dupla. Os tringulos formados tm ngulos em comum?

19

1


Exerccios complementaresAlgumas relaes em tringulos retngulos30. Uma reta r tangencia duas circunferncias de raios 6 dm e 4 dm, nos pontos P e Q. As distncias entre os centros A e B de 14 dm, como mostra a figura.

Lei dos senos e lei dos cossenos35. Em um tringulo ABC, sabe-se que os lados AB e ___ BCmedem, respectivamente, 4 cm e 6 cm. O ngulo entre esses dois segmentos mede 35. Determi___ . ne a medida do lado AC 36. No mapa abaixo, est representado o quarteiro ABCD. Deseja-se construir um calado retilneo para pedestres ligando os vrtices A e C. Sabendo que ^ D C AD 5 400 m, DC 5 300 m e que a medida de A 130, determine o comprimento desse calado.R.ite Le

___

A 14 dm 6 dm P Q B 4 dm r

R. B

Praa Jos Alves NendoR. R. R Me. Anglica Resende aul Ad alb os ert mp o de Ca

Com base nessas informaes, determine: a) a distncia entre P e Q. ^ P Q b) cos B . ^ Q P c) sen A . 31. O dimetro da circunferncia da figura abaixo mede 5 m. O ponto O centro da circunferncia, o ponto T o ponto de tangncia e P um ponto da circunferncia. Nessas condies, determine a distncia PQ 5 d.

R. Nazar Paulista

A

B

R. E n

g.Mario

R. Be rn

ard

aL uis

D C

O

P

d

Q

6m T

37. Em um tringulo ABC so conhecidas as medidas de dois de seus lados, AC 5 3 m e BC 5 4 m. Cha ^ A mando de a o ngulo B C, formado pelos lados AC e AB, responda. a) Se AB 5 3 calcule o valor de cos a. m, ^ 1 B b) Se sen (A C) 5 __, calcule o valor de sen a. 4 38. Joo possui um terreno quadrangular MNPQ e deseja construir ___ ___ ___ um jardim limitado pelos segmentos MQ QNe MN cujas medidas esto indicadas na fi, , gura, em metros. Para que seu cachorro no destrua as suas plantas, Joo ir construir uma cerca em torno do jardim. Determine quantos metros de cerca Joo dever construir.M 120 x x1 N

32. Na figura, as medida do tringulo ABC esto dadas em centmetros. De acordo com a figura, qual o valor de y?A y 6 B C

R.Livi

3

x2 P

Seno e cosseno de ngulos obtusos33. Calcule o valor do seno e do cosseno dos seguintes ngulos. a) 110 c) 137 e) 160 b) 105 d) 142 f) 95 34. Qual o valor da expresso abaixo? sen 135 1 cos 120 2 sen 150 2 cos 135 _______________________________________ cos 60 1 cos 45 2 sen 3020

Q

39. Calcule, ___ acordo com a figura abaixo, a medida de ^ C do lado ACe o seno do ngulo B A.A 4 B 60 8 C

40. Os tringulos ABC e DEF abaixo so semelhantes. ___ , Determine a medida do segmento DE sabendo que as dimenses dos tringulos ABC e DEF esto na razo de 1 : 2.A 50 B 37 D 30 C

46. A NASA (Agncia Espacial Norte-Americana) utiliza braos mecnicos para ajudar nos reparos externos da espaonave, como mostra a fotografia abaixo.

E

37

30

F

41. Um tringulo equiltero est inscrito em uma circunferncia de raio 3. Determine a medida do lado desse tringulo. 42. O tringulo abaixo foi construdo em uma malha quadriculada, onde cada quadrado mede 1 cm de ^ . lado. Determine o cosseno do ngulo AA

A figura abaixo esquematiza uma determinada posio do brao mecnico.C 5m B 20 25 2m A 140 D

B

C

43. Na figura a seguir, o tringuloPQR est inscrito na circunferncia de centro O e raio 4. Com base nos ___ . dados da figura, determine a medida do lado PQP 75 4 Q 45 O R

a) De acordo com os dados da figura, determine a distncia entre os pontos A e D. b) Mantendo fixas as posies de B, C e D, analise o que ocorre com a medida da distncia entre A e ^ B D quando alteramos o ngulo A D.

Desafios de lgica 47. Um tringulo formado por dez botes e est apontando para cima. Mova apenas trs botes para fazer o tringulo apontar para baixo.

44. No tringulo a seguir determine o valor de x.M 6 N 15 x 6 15 P

45. Os lados de um tringulo tm como medidas nmeros inteiros consecutivos cuja soma 15. a) Calcule a medida do maior ngulo desse tringulo. b) Calcule a medida do menor ngulo desse tringulo. dXX 7 c) Se o seno do menor ngulo mede ___, determine 4 o seno do maior ngulo.

48. Mexa apenas um palito para obter uma expresso correta. a)

b)

21

1


Integre o aprendizado49.Algumas grandezas da Fsica, para ficarem completamente definidas, requerem trs atributos: mdulo, direo e sentido. Essas grandezas so chamadas de grandezas vetoriais. O smbolo que representa uma ___ ___ grandeza vetorial chamado de vetor. Sejam V e V dois vetores. A soma desses ve1 2 tores ___um terceiro___vetor chamado de vetor resul___ ___ tante (V ), ou seja, V 5 V 1 V . R R 1 2 Para determinar o vetor resultante, utiliza-se a regra do paralelogramo, que consiste em colocar as origens dos dois vetores em um mesmo ponto e construir um paralelogramo, com segmentos paralelos a esses vetores. O vetor soma (ou vetor resultante) ser representado pela diagonal do paralelogramo, cuja origem tambm coincide com a dos dois vetores. a) Sabendo que o custo de construo da pista de || cooper de RS 150,00 para cada metro de comprimento da pista, determine o valor total a ser gasto nessa construo. b) Responda sem fazer contas: se o ngulo medir 145, o custo da pista deve ser maior ou menor que a do item anterior? Por qu? 51. A figura a seguir representa um balo preso por meio de dois cabos, nos pontos A e C.

B V1 VR 100 m 75 m

A V2

C

a) Com base nessas informaes, desenhe em seu caderno o vetor resultante da soma dos vetores representados abaixo e determine o valor de seu mdulo.

8

a) Se o ngulo formado pelos dois cabos de 138, determine a distncia entre os pontos A e C. b) O que aconteceria com o ngulo entre os cabos se, mantendo a distncia entre os pontos A e C, fossem reduzidos seus comprimentos? c) Se a distncia entre os pontos A e C for reduzida, o que acontece com o valor do ngulo formado pelos cabos? Justifique. 52.Um trator ficou atolado em uma estrada de terra. Para retir-lo, foram amarradas duas cordas para que dois nibus pudessem pux-lo para fora da estrada, como ilustra a figura.

60 10

b) Forme um grupo de cinco alunos. Utilizando vetores de mesmo mdulo do item anterior, cada um dever representar em uma folha separada a resultante das foras para um dos seguintes ngulos: 50, 40, 30, 20 e 10. Compare os resultados. O que acontece com o comprimento das resultantes? c) Determine os valores das resultantes e verifique se os resultados obtidos so coerentes com as concluses do item anterior. 50.Em uma cidade h uma praa em forma de um crculo de centro C e raio 2 km. O prefeito mandou construir uma pista de cooper, representada na fi___ . gura abaixo pelo segmento AB

F1 5 10 N

20

F2 5 10 N

B 135 C

A

a) Determine a fora resultante (o vetor resultante) equivalente a essas duas foras. b) Para desatolar o trator necessrio que a fora resultante seja maior do que 23 N. Conforme o esquema representado, os nibus conseguiro desatol-lo? Em caso negativo, fornea um novo ngulo entre as foras com que os nibus possam desatolar o trator. c) Em que situao se obtm a melhor concentrao de foras? Justifique.

22

53.Considere um relgio circular de ponteiros. Do centro s extremidades, o ponteiro dos minutos mede 20 cm, e o das horas mede 10 cm. a) Determine a distncia entre as extremidades dos ponteiros quando o relgio marca 5 horas. b) Indique um horrio em que a distncia entre as 3 extremidades dos ponteiros seja de 10dXX cm. 54.A pirmide regular representada abaixo tem base quadrada de lado 5dXX cm e altura 12 cm. 2A

55.As figuras abaixo representam um tringulo acutngulo ABC e um tringulo obtusngulo DEF, sendo a um ngulo obtuso. Sabe-se ainda que AB 5 AC 5 ED 5 EF 5 10 e que a e b so ngulos suplementares. Com base nessas informaes responda s seguintes questes.F E C

B

D A

C B a) Determine o cosseno de B C, ngulo formado A por duas arestas laterais consecutivas. b) Para que o ngulo do item anterior seja maior, o que deve acontecer com a altura da pirmide? ^

a) O que se pode aplicar para determinar as medi___ ___ ? das dos segmentos BCe DF b) Para qual intervalo de valores de b o tringulo ABC acutngulo? c) Na figura ao lado, tem-se P uma circunferncia de raio 10 e centro O. Associe os tringulos representados com M 10 O 10 N os tringulos ABC e DEF. d) Qual a medida do ngulo ^ P N M ? e) Se BC 5 x e DF 5 y, qual o valor de x2 1 y2?

Expressoelinguagemmatemtica1. Observe4 Acrescenta-se 1 unidade 5 4

2. Reflita Simule mentalmente outras trans-

4 3 5

a2 ? b2 c2

4 a b c2 2 2

formaes geomtricas no tringulo retngulo, sempre acrescentando ou subtraindo 1 unidade de apenas um de seus lados. Que relao voc imagina que possa existir entre a transformao da medida do lado e a transformao do ngulo reto? A mesma transformao geomtrica acima pode ser interpretada tambm algebricamente. Como fica a sentena algbrica a2 5 b2 1 c2 aps a transformao geomtrica?2

Subtrai-se 1 unidade 5

3. Investigue Teste o fato geomtrico acima com

a2 ? b2 c2

O esquema acima mostra que, ao variar em 1 unidade a medida de um dos lados do tringulo retngulo, mantendo as medidas dos outros lados, obtm-se outro tringulo diferente do primeiro. Observe que houve uma transformao geomtrica do seguinte modo: a transformao da medida de um nico lado implica na transformao do ngulo reto.

outros tringulos retngulos sempre utilizando a simulao mental. Verifique se em todas as simulaes feitas por voc a validade das sentenas algbricas se confirmam.

23

Estratgias e solues Quemestfalandoaverdade?

Andr, Bruno e Cludia estavam jogando futebol quando um deles deu um chute forte e a bola acertou a vidraa...

Alguma das crianas est falando a verdade? Qual?

Identificaoeregistrodeinformaes Considere as falas das personagens na segunda cena para responder s prximas quatro questes.

1. Quais possibilidades de resposta para esse problema voc imagina que possam ocorrer? 2.Se o Andr estiver mentindo, o que se pode concluir de imediato? 3. E se o Bruno estiver mentindo, qual a concluso imediata? 4. Se a Cludia estiver mentindo, isso significa que o Andr e o Bruno esto falando a verdade?

Elaboraodehipteseseestratgiasderesoluo1. Considerando suas respostas anteriores, elabore todas as hipteses para a resposta do problema, registrando-as em seu caderno. 2.Teste as hipteses que voc elaborou, confrontando cada uma com a fala das trs crianas na segunda cena. 3. Alguma das trs crianas est falando a verdade? Quem? Justifique sua resposta. 4.Qual das trs crianas chutou a bola?

Reflexo1. possvel obter a soluo do problema utilizando outra estratgia? Descreva-a. 2.Voc j conhecia problemas como este? Descreva-os. 3. Um problema semelhante a este pode ser obtido considerando um nico personagem que acusa a si prprio de mentiroso, como no quadro ao lado. Nesse caso, Andr est mentindo ou falando a verdade? 4. A simplificao da situao apresentada tornou o problema mais simples? Justifique. 5. possvel resolv-lo? Explique.

Resolva os problemas 1 e 8 das pginas 366 e 367.24

Roteiro de estudosSeno e cosseno de ngulos obtusos Considere x um ngulo obtuso qualquer. Para determi-

nar senos e cossenos de ngulos obtusos, podem-se utilizar as seguintes relaes. sen x 5 sen (180 2 x) cos x 5 2cos (180 2 x) Retome os contedos com os exerccios propostos 8 e 9 e com os exerccios complementares 30 a 34. Resolva o exerccio 30 de Vestibular e Enem.

Desafio1 Determine o valor de x para que as seguintes expresses sejam verdadeiras: a) sen (180 2 x) 5 cos (180 2 x) b) |sen (180 2 x)| 5 |cos (180 2 x)| Desafio2 Coloque os valores indicados abaixo em ordem crescente. sen 120 sen 150 sen 135 sen 100

cos 120

cos 135

cos 150

Lei dos senos Em um tringulo qualquer, as medidas dos lados so

proporcionais aos senos dos ngulos opostos, e essas razes so iguais medida do dimetro da circunferncia circunscrita a esse tringulo.A A c R O B B a^ ^

Desafio3 Uma bijuteria moldada na forma de uma estrela regular de quatro pontas. Para ajudar a moldar essa bijuteria, so utilizadas duas circunferncias, de modo que a maior tem raio igual a 4 cm. Com base nessas informaes e conforme a figura abaixo, determine o permetro da estrela.

b 30 C^

C

a b c ______ 5 _____ 5 _____ 5 2R ^ ^ ^ sen A sen B sen C Retome os contedos com os exerccios propostos 13, 15, 16 e 18 e com os exerccios complementares 40 e 43. Resolva o exerccio 38 de Vestibular e Enem.

Lei dos cossenos Em um tringulo qualquer, o quadrado da medida de

Desafio4 Considere o tringulo abaixo.

um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ngulo oposto.A b c B B2 2 2

a

b

c

^

a

b 5 a 1 c 2 2 ?a ? c ? cos B Retome os contedos com os exerccios propostos 21 ao 29 e com os exerccios complementares 35, 37 e 38. Resolva os exerccios 21, 33 e 39 de Vestibular e Enem.

^

C

Sabe-se que os lados do tringulo esto em centmetros e que so vlidas as relaes a seguir. 3 ? a 5 8 ? c 3 ? b 5 10 ? c Qual o valor aproximado do ngulo interno oposto ao lado que mede a centmetros?

25

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a 2 Unidade 1 Capitulo 1 Triangulos