A DERIVADA Introdução: derivaçãoademilson.teixeira/Cálculo I... · determinar a taxa de variação de uma função ... a derivada é a taxa de variação ... EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

IFSC / A Derivada Prof. Júlio César TOMIO

Página 1 de 37

A DERIVADA Introdução:

O cálculo é a matemática das variações. O instrumento principal do cálculo para estudar as taxas de variação é um método conhecido como derivação. Neste estudo, vamos descrever esse método e mostrar como ele pode ser usado para determinar a taxa de variação de uma função [em qualquer um de seus pontos] e também a inclinação de qualquer reta tangente a uma curva. Exemplo intuitivo:

Num experimento científico em laboratório, um móvel se desloca sobre uma trajetória retilínea obedecendo à função

horária S(t) = 3t2 – 5t + 2 [sendo S em metros e t em segundos]. Assim:

a) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 4 ] ? b) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 3 ] ? c) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 2,1 ] ? d) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; (2 + h) ], com h ≠ 0? e) Como você interpreta fisicamente a velocidade média da partícula no item anterior, quando “h” tende a zero? f) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 s?

Resolução:

a) A velocidade média mV de um móvel num certo intervalo de tempo é definida

pelo quociente entre o espaço percorrido liniciafinal SSS e o intervalo de

tempo gasto para percorrê-lo inicialfinal ttt . Assim:

132

26

2

430

24

)2()4(

SS

tt

SS

t

S

inicialfinal

liniciafinal

mV

Logo: smVm /13

b) Neste item, temos:

101

10

1

414

23

)2()3(

SS

tt

SS

t

S

inicialfinal

liniciafinal

mV

Logo: smVm /10

c) E neste item, temos:

3,71,0

73,0

1,0

473,4

21,2

)2()1,2(

SS

tt

SS

t

S

inicialfinal

liniciafinal

mV

Logo: smVm /3,7

d) Neste caso, calcularemos primeiramente )2( hS . Ao h denominamos ”incremento”. Então:

253)(2

tttS

2)2(5)2(3)2(2

hhhS

251044(3)2( )2

hhhhS

hhhhS 5831212)2(2

2374)2( hhhS

hh

hh

h

hh

h

hh

h

ShS

tt

SS

t

S

inicialfinal

liniciafinal

mV 37)37(37]4[]374[

22

)2()2( 22

Cálculos auxiliares:

253)(2

tttS

2)2(5)2(3)2(2

S

210)4(3)2( S

812)2( S

4)2( S

253)(2

tttS

2)4(5)4(3)4(2

S

220)16(3)4( S

1848)4( S

30)4( S

253)(2

tttS

2)3(5)3(3)3(2

S

215)9(3)3( S

1327)3( S

14)3( S

253)(2

tttS

2)1,2(5)1,2(3)1,2(2

S

25,1023,13)1,2( S

73,4)1,2( S


Página 2 de 37

Logo: smV hm /[ ]37

Observe que este item com o incremento genérico h na verdade engloba os itens calculados anteriormente. Veja:

No item (a) temos: sh 2 smVm /1367)2.(37

No item (b) temos: sh 1 smVm /1037)1.(37

No item (c) temos: sh 1,0 smVm /3,73,07)1,0.(37

e) No item anterior [d] obtivemos a velocidade média da partícula no intervalo de tempo ])2(,2[ h , com 0h .

Quando h tende a zero ]0[ h , o segundo extremo de intervalo de tempo tende a 2 e o referido intervalo tende para

]2,2[ , que podemos definir como um “intervalo de amplitude nula”, caracterizando exatamente o instante st 2 .

Assim, fisicamente, quando h tende a zero ]0[ h , a velocidade média tenderá para o que chamaremos de velocidade

instantânea da partícula no instante st 2 e esta velocidade poderá ser denotada por )2(V .

f) Considerando o exposto no item [e], concluímos que: smhVh

/7]37[lim)2(0

Nota: O gráfico abaixo representa a função 253)(2

tttS do exemplo intuitivo em questão. Trace a reta secante para

st 2 e st 4 e observe os valores utilizados para calcular a velocidade média nesse intervalo. Trace também a reta

tangente para st 2 e observe que isso resultou no cálculo da velocidade instantânea para esse instante.

Observação:

Taxas de variação normalmente podem ser identificadas através de suas unidades. São exemplos de taxas de variação:

m/s

km/h

ºC/min

m/s2

g/dia

habitantes/m2

litros/h

peças/min

libras/pol2

g/cm3

entre outras.

A velocidade média é uma TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA [TVM], pois indica a variação entre duas grandezas [o espaço

percorrido em relação ao tempo gasto para percorrê-lo] e é definida como: mVt

S

.

Quando calculamos a velocidade no instante st 2 encontramos a velocidade instantânea, e assim, temos neste caso uma

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA [TVI], que chamaremos de derivada de “S” em relação à “t” no instante 2 s, e

podemos denotar por: smVdt

dS

t

/7)2(

2

De maneira análoga, para funções com as variáveis x e y , a derivada é a taxa de variação [instantânea] de y em

relação à x , e podemos denotar por: dx

dy.


Página 3 de 37

Agora podemos formalizar o conceito de derivada: DEFINIÇÃO Derivada de uma função:

A derivada de uma função )(xf em relação à x é a função )(xf [que se lê: “f linha de x”] dada por:

Uma função )(xf é derivável [ou diferenciável] num ponto ax , se )(xf existe, ou seja, se o limite [acima] existe no

ponto em que ax .

Observação: O processo para calcular uma derivada é chamado de derivação.

Notação de derivada [Operadores]:

A derivada )(xf muitas vezes é escrita na forma y , ou ainda, na forma: dx

dy. Nesta última notação, o valor da derivada

da função f no ponto em que ax , ou seja, )(af , é escrito na forma:

axdx

dy

. Assim:

axdx

dyaf

)(

Pronúncias e outras notações:

y [lê-se: “y linha”, ou melhor: derivada de y]

)(xy

[lê-se: “y linha de x”, ou melhor: derivada de y em relação à x]

dx

dy [lê-se: “dê y sobre dê x”, ou melhor: derivada de y em relação à x].

y

[lê-se: “y ponto”, ou melhor: derivada de y]

fDx

[lê-se: “dê-f de x”, ou melhor: derivada de f em relação à x]

dx

df [lê-se: “dê f sobre dê x”, ou melhor: derivada de f em relação à x].

Algumas similaridades de operadores:

Com indicação que a derivada é no ponto ax : )()()()( afDadx

dfay x

axdx

dyaf

Apenas a indicação do operador de derivação:

yfDdx

dfy x

dx

dyxf )(

Notas:

A notação dx

dy é devida a Leibnitz.

A notação )(xf é atribuída a Lagrange.

A notação y é atribuída a Newton.

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

Veja e Reflita:

Na TVM temos: x

y

TVM =

12

12 )()(

xx

xfxf

Na TV temos: dx

dy TV =

11

11

0

)()(lim

xhx

xfhxf

h


Página 4 de 37

Agora, revisitando o exemplo intuitivo visto anteriormente...

Para encontrarmos a velocidade no instante st 2 , calculamos a derivada da função 253)(2

tttS no ponto em

que st 2 . Assim:

smVSdt

dS

t

/7)2()2(

2

Isso implica em dizer que a derivada da função horária da posição nos fornece a função da velocidade, ou seja:

)(tVdt

dS

Veremos a seguir que, a derivada da função horária da velocidade nos fornece a função da aceleração, ou seja:

)(tadt

dV

A derivada como coeficiente angular da reta tangente à curva num determinado ponto

Seja f uma função derivável [qualquer] representada no gráfico abaixo:

Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado ponto, vamos supor o ponto

),( yxP , que representaremos por ),( )(xfxP .

Sabemos que o coeficiente angular de uma reta nos dá a inclinação da mesma. Sendo assim, vamos encontrar o

coeficiente angular da reta tangente à curva [gráfico] no ponto ),( )(xfxP .

Agora, sejam ),( )(xfxP e ),( )( hxfhxQ dois pontos da função f onde h [incremento] representa a diferença

entre as abscissas de P e Q . Já é de nosso conhecimento como determinar o coeficiente angular da reta que passa por

P e Q utilizando os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo PQR . Então:

y

xx

f x( )

y

xx

f x( )

f

P

f

P

s


Página 5 de 37

Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q .

y

x

Q

P

x x + h

f x( )

f x+h( )

f x( )

s

R

Observando o triângulo PQR , sabemos que o coeficiente angular sm da reta secante s é dado por:

PR

QR

adjcat

opcattgms

..

..

xhx

xfhxfms

)()(

h

xfhxfms

)()(

Agora, vamos considerar no gráfico de f os pontos nQQQQ ,...,,, 321

posicionados cada vez mais próximos de P .

Imagine que a reta s permaneça passando pelo ponto P , entretanto, o ponto Q será trocado gradativamente pelos

nQQQQ ,...,,, 321 que se aproximam de P . Isso fará com que a reta s que é secante à curva, “tenda” para a posição

de tangência no ponto P [tornando-se a reta t ] fazendo, consequentemente, o acréscimo [ou incremento] h , tender a

zero.

y

x

Q

P

x x + h

f x( )

f x+h( )

f x( )

s

RQ3

Q2

Q1

Assim, o coeficiente angular tm da reta tangente t à curva no ponto P , será dado por:

h

xfhxfm

ht

)()(lim

0

.

Note que o valor de tm coincide com o valor da derivada de uma função, conceito este visto anteriormente. Assim

concluímos que:

h

xfhxfxfm

ht

)()(lim)(

0

Conclusivamente:

A derivada de uma função f [diferenciável] no ponto ),( )(afaP é:

O coeficiente angular tm da reta tangente à curva da função f nesse ponto P .

ou

A [TV] taxa de variação )(af [da grandeza )(xf em relação à x ] nesse ponto P .

Simbolicamente temos: h

afhafafm

ht

)()(lim)(

0

f

f

t


Página 6 de 37

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Considere o movimento de um corpo ao cair de uma grande altura. De acordo com a física clássica, em t segundos de

queda, o corpo percorre uma distância 2

9,4)( ttS metros. Suponha que estejamos interessados em determinar a

velocidade do corpo após 2 segundos. A menos que o corpo caia equipado por um velocímetro, é difícil medir diretamente a

velocidade. Entretanto podemos determinar a distância percorrida pelo corpo entre o instante 2t e ht 2 e calcular

a velocidade média durante esse intervalo de tempo e, fazendo 0h , teremos a velocidade instantânea em st 2 .

Resolução:

hh

hh

h

hh

h

h

h

ShS

t

SVm 9,46,19

9,46,19)4.(9,4)44.(9,4)2.(9,4)2.(9,4

22

)2()2(2222

Se o intervalo de tempo h é pequeno, a velocidade média está próxima da velocidade instantânea no instante st 2 .

Assim, é razoável determinar a velocidade instantânea tomando o limite da expressão anterior quando h tende a zero:

smhVh

/6,19]9,46,19[lim)2(0

ou, usando a notação de Leibnitz: smdt

dS

t

/6,192

Dessa forma, após 2 segundos de queda, o corpo estará viajando a uma velocidade de sm /6,19 .

2) [FLEMMING] Uma região X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de

pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é,

aproximadamente, dado por:

3

64)(

3t

ttN

Pergunta-se:

a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 4t ?

b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 8t ?

c) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia no º5 dia?

Resolução:

A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação da função )(tN em relação à t .

Aplicaremos a definição de derivada para resolver os itens [a] e [b].

a) Para diast 4 : Aplicando a definição, temos: h

NhN

h

NhNN

hh

)4()4(lim

4)4(

)4()4(lim)4(

00

h

hhhh

h

hh

Nhh

3

704

3

)644812(25664

lim3

)4(4.64

3

)4()4(64

lim)4(

23

0

33

0

483

)12144(lim

3

)12144.(lim

3

12144lim)4(

2

0

2

0

23

0

hh

h

hhh

h

hhhN

hhh

Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos: diaatingidaspessoasdt

dN

t

/484

b) Para diast 8 : Aplicando a definição, temos: h

NhN

h

NhNN

hh

)8()8(lim

8)8(

)8()8(lim)8(

00


Página 7 de 37

h

hhhh

h

hh

Nhh

3

1024

3

)51219224(51264

lim3

)8(8.64

3

)8()8.(64

lim)8(

23

0

33

0

03

)16(lim

3

)16.(lim

3

16lim)8(

2

0

2

0

23

0

hh

h

hhh

h

hhN

hhh

Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos:

diaatingidaspessoasdt

dN

t

/08

Qual o significado deste resultado?

Ao lado, a representação gráfica de 3

64)(

3t

ttN .

Nota: Poderíamos “otimizar” os cálculos das questões [a] e

[b] calculando a derivada da função )(tN genericamente para

ht e somente ao final, substituir os valores de 4t e

8t [Veja o exemplo (2) de sala de aula, indicado a seguir!].

c) Para determinarmos quantas pessoas foram atingidas pela

epidemia no º5 dia, basta calcular )4()5( NN . Assim:

...66,433

131

3

704

3

835

3

)4()4.(64

3

)5()5.(64)4()5(

33

NN

Logo, no º5 dia serão atingidas pela epidemia aproximadamente 44 pessoas.

3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória retilínea de modo que sua velocidade obedece à função 28)( ttV , com

V em m/s e t em segundos. Determine a aceleração da partícula no instante st 4 .

Resolução:

Para obter a aceleração instantânea da partícula no instante st 4 , deve-se inicialmente calcular a aceleração média da

mesma no intervalo de tempo ])4(,4[ h .

A aceleração média ma de um móvel num certo intervalo de tempo é definida pelo quociente entre a variação de velocidade

liniciafinal VVV e o intervalo de tempo correspondente: inicialfinal ttt . Assim:

88]30[]830[]2)4.(8[]2)4.(8[

4)4(

)4()4(

h

h

h

h

h

h

h

VhV

tt

VV

t

V

inicialfinal

liniciafinal

ma

Assim: 2

/8 smma

Para obtermos a aceleração instantânea em st 4 , devemos calcular )4(a fazendo com que 0h . Como 8ma é

uma função independente de h [função constante], quando 0h , a ma continua sendo 8 , ou seja: 2

/8)4( sma .

Veja: 2

0/8]8[lim)4( sma

h

[Quando a aceleração é constante temos um MUV!]

Utilizando a notação de derivada [Leibnitz], temos: 2

/84

smdt

dV

t


Página 8 de 37

Observe que a derivada da velocidade em função do tempo nos fornece a função aceleração: )()( tatVdt

dV .

Notação:

Quando derivamos a função horária da posição encontramos a velocidade. Se a derivarmos novamente encontramos a aceleração. Sendo assim, podemos dizer que a aceleração é a segunda derivada da posição e indicamos por:

)()( tVdt

dStS

e

)()(2

2

tadt

SdtS

Nota: Abordaremos esse conteúdo [derivadas sucessivas] com detalhes mais adiante!

4) Obtenha a equação da reta tangente à curva 2

xy no ponto )1,1(A .

Resolução:

Inicialmente, vamos calcular o coeficiente angular sm da reta secante à parábola dada, que passa pelos seus pontos de

abscissas 1x e hx 1 . Assim:

hh

hh

h

hh

h

hh

h

hms

2

)2.(21)21(

11

)1()1( 2222

O coeficiente angular tm da reta tangente à parábola no seu ponto )1,1(A será obtido a partir de sm , fazendo-se h

tender a zero. Desta forma:

2]2[lim0

hmh

t.

Então, a reta tangente à parábola no ponto )1,1(A tem coeficiente angular 2tm .

Substituindo em )( AA xxmyy temos:

)1.(21 xy 221 xy 12 xy

Logo, a equação da reta tangente à curva 2

xy no ponto )1,1(A é: 12 xy .

EXEMPLOS ADICIONAIS [resolução em sala]:

1) Determine a [fórmula da] derivada da função 65)(2

xxxf , através da definição de derivada e calcule

2

19f .


Página 9 de 37

Observação: Para simplificar o texto, poderemos escrever a questão 2(c) assim:

Determine o coeficiente angular da curva )(xf no ponto 2x .

2) Dada a função 42)(3

xxxf , determine:

a) a TV quando 0x .

b) a equação da reta t tangente à curva )(xf no ponto em que 1x .

c) o coeficiente angular da reta tangente à curva )(xf no ponto em que 2x . [veja observação abaixo]

Nota: O gráfico acima foi plotado no Winplot.


Página 10 de 37

3) Determine a derivada da função cbxaxxf 2

)( aplicando a definição.

EXERCÍCIOS – DEFINIÇÃO DE DERIVADA

1) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer de modo que sua velocidade obedece à função: v(t) = t2 – 4t [sendo: “v” em m/s e “t” em segundos]. Sabe-se que a aceleração média da partícula [am] num certo intervalo de tempo, é dada por am = ∆v/∆t , determine:

a) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 1 ] ?

b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,5 ] ?

c) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,1 ] ?

d) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 , h ] , com h ≠ 0?

e) Como você interpreta fisicamente a aceleração média da partícula no item anterior, quando “h” tende a zero?

f) Qual a aceleração da partícula no instante t = 0 s?

2) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t3 + t2 – 2t + 3 [com S em metros e t em segundos]. Determinar a velocidade no instante t = 5 s.

3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t2 – 7t + 10 [com S em metros e t em segundos]. Assim:

a) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo.

b) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 3 s

c) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo.

d) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 3 s.

4) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo a função horária: S(t) = 4t3 – 5t2 + 8t +1 [sendo S em metros e t em segundos]. Então:

a) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo.

b) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 1 s

c) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo.

d) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 4 s.

5) Encontre a equação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (2 , 1).

6) Determine a equação da reta tangente à curva y = 2x2 +3 no ponto P(2 , 11).

7) Dada a função f(x) = 5x2 + 6x –1, calcule f’(2).


Página 11 de 37

Nota:

Com o objetivo de simplificar o “texto”,

onde escrevemos: “o coeficiente angular

da reta tangente à curva no ponto P”,

escreveremos: “o coeficiente angular da

curva no ponto P”.

8) Dada a função f(x) = 3x2 – 1 e g(x) = 5 – 2x, determinar:

a) f’(1) b) g’(1) c) f’(1) + g’(1)

9) Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:

a) f(x) = 1 – 4x2 b) g(x) = 2x2 – x –1 c) h(x) = 3x + 2 d) y = x3

10) A população inicial de uma colônia de bactérias é 10000. Depois de t horas a colônia terá uma população P(t) que

obedece a lei: P(t) = 10000 + 8600t + 10000t2. Assim:

a) Determine o número de bactérias presentes depois de 10 horas.

b) Encontre a lei que dá a taxa de variação da população P em relação ao tempo t.

c) Determine a taxa de variação [instantânea] da população quando t = 10 horas.

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

1a) –3 m/s2 1b) –3,5 m/s2 1c) –3,9 m/s2 1d) 4h 1e) aceleração instantânea 1f) – 4 m/s2 2) 83 m/s

3a) v(t) = 2t – 7 3b) v(3) = –1 m/s 3c) a(t) = 2 3d) a(3) = 2 m/s2 4a) v(t) = 12t2 – 10t + 8 4b) v(1) = 10 m/s 4c) a(t) = 24t – 10 4d) a(4) = 86 m/s2 5) y = 2x – 3 6) y = 8x – 5 7) f’(2) = 26 8a) f’(1) = 6 8b) g’(1) = –2 8c) 4 9a) f’(x) = –8x 9b) g’(x) = 4x – 1 9c) h’(x) = 3 9d) y’ = 3x2 10a) P(10) = 1.096.000 bactérias 10b) dP/dt = 8600 + 20000t 10c) 208600 bactérias/hora

Para refletir: O maior prazer de um homem inteligente é bancar o idiota diante de um idiota que banca o inteligente.

EXERCÍCIOS EXTRAS – DEFINIÇÃO DE DERIVADA

1. Determine:

a) o coeficiente angular da curva x

y1

no ponto em que 3x .

b) para qual valor de “ x ”, o coeficiente angular da curva x

y1

será

4

1 ?

c) o coeficiente angular da curva x

y1

no ponto em que ax e avalie o seu sinal [quando será positivo e/ou negativo].

Observação: represente graficamente a função x

y1

para avaliar melhor seus resultados.

2. [Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é S = 11,44t2 , com S em metros e t em

segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 500m de altura. Determine a velocidade

[em km/h] e a aceleração dessa esfera [em m/s2], quando t = 2s.

3. [Círculo de área variável] Qual é a taxa de variação da área de um círculo em relação ao raio, quando r = 3?

Lembre-se que a área do círculo é: 2

.)( rrA .

4. Mostre que a reta y = mx + n é sua própria tangente em qualquer um de seus pontos (x0 , mx0 + n).


1a) –1/9 1b) para x = 2 1c) m < 0 para a * 2) v(2) = 164,736 km/h e a(2) = 22,88 m/s2 3) dA/dr = 6

Os exercícios extras acima foram extraídos/adaptados do livro: THOMAS, George B. Cálculo. V. 1. Pearson. São Paulo: 2002.


Página 12 de 37

x

y

REGRAS E TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO [Usando a Tabela de Derivadas] Inicialmente, vamos determinar a derivada de algumas funções “bem elementares”... Nota: você deverá ter em mãos a “nossa” tabela de derivadas [que também está apresentada no final deste material]. Derivada de uma Função Constante:

3)( xf Outras notações:

0dx

fd

0)( xf

0)3( dx

d

Generalizando, temos: ky 0y [ com Rk ] Regra 1 da Tabela!

Derivada de uma Função do 1º Grau:

xxf 2)( 2)( xf 13)( xxg 3)( xg

Nota: “Função Identidade”

xy 1y

Generalizando, temos:

nmxy my [ com *Rm e Rn ]

x

y

x

y

x

y


Página 13 de 37

A Derivação é uma TRANSFORMAÇÃO LINEAR.

Sejam: )(xuu

u é uma função com variável independente )(x .

)(xvv

v é uma função com variável independente )(x .

Rka ,

a e k são constantes reais.

Assim, dada a função genérica:

vkuaxf ..)( , a sua derivada [genérica] será:

)()()..( vdx

dku

dx

davkua

dx

d [Propriedade da Linearidade da Derivação]

Ou simplesmente: vkuaxf ..)(

Nota:

A Regra 2 da Tabela, indica como derivar uma função u que é multiplicada por uma constante k . Veja:

uky . uky .

“para derivar uma função que é multiplicada por uma constante, basta multiplicar a constante pela derivada da função”. Derivada de uma Função Polinomial [de qualquer grau]:

Observe a Regra 3 da Tabela: a

uy uuaya

..1

Exemplos:

a) 4

)( xxf b) 5

3)( xxg

c) 14342)(23

xxxxh

d) 345

2 25

xx

xy

Para concluir, veja:

)(xf x 2

x 3

x 4

x 5

x

)(xf 1 x2 23x

34x

45x


Página 14 de 37

Derivada de Funções Trigonométricas:

Veja na tabela: Regra 11: useny uuy cos.

Regra 12: uy cos usenuy .

Regra 13: utgy uuy2

sec.

Nota: Observe as regras [14 a 20] da nossa tabela de derivadas. Elas envolvem outras funções trigonométricas, inversas de trigonométricas e trigonométricas hiperbólicas. Exemplos:

a) )()( xsenxf Outra notação: xxsendx

dcos)(

b) )13(cos22 xy

Derivada de “Outras” Funções:

Exemplos:

a) 4

)32()( xxA [Aplicaremos a Regra 3]: a

uy uuaya

..1

b) 32

4)(

x

xB [Aplicaremos a Regra 4]: u

ay uaayu ..ln

c) x

xxC4

)32()( [Aplicaremos a Regra 10]:

vuy vuuuuvy

vv

.ln...1

Observação:

As Regras 3 e 4 são casos particulares da Regra 10.


Página 15 de 37

d) 14

)(

x

exD [Aplicaremos a Regra 5]: u

ey ueyu .

e) )4(log)(2

xxE [Aplicaremos a Regra 6]: uy alog u

u

ay

ln

1

Derivada de Funções com Radicais:

Você não encontrará na tabela, funções com “raízes”. Assim, para funções que contenham radicais, faremos inicialmente uma preparação para aplicarmos adequadamente alguma regra, geralmente, a Regra 3 da tabela.

A Regra 3 da Tabela: a

uy uuaya

..1

Lembre-se que: n mn

m

aa

Exemplo:

1310 xy

Nota:

Para: x

ey

Temos: x

ey

Observação:

Note que a Regra 5 é um caso particular da Regra 4.


Página 16 de 37

Derivada de Multiplicação [Produto] de Funções:

Regra 8: vuy vuvuy ..

Exemplos:

a) )42()(23

xxxxf

b) )(.42

xsenxy

Derivada de Divisão [Quociente] de Funções:

Regra 9: v

uy

2

..

v

vuvuy

Exemplos:

a) x

xy

7

13 2

b1) 3 142

4

xy


Página 17 de 37

Nota: Em alguns casos, como este, pode ser “interessante” evitarmos a aplicação da “Regra da Divisão”. Veja:

b2) 3 142

4

xy

Dica do Prof. Tomio! Para encontrar a derivada de funções [utilizando as regras e a tabela], seguiremos basicamente três passos: 1) identificar a(s) função(ões) a ser(em) derivada(s) e observar se é necessário “preparar” a expressão para melhor adaptá-

la à(s) regra(s) de derivação correspondente(s). 2) realizar a operação de derivação através da(s) regra(s), observando atentamente cada procedimento. 3) simplificar e organizar a expressão o máximo possível. Resumidamente, temos: 1) identificar função / prepará-la, se necessário. 2) derivar através da(s) regra(s). 3) simplificar a expressão.

Para descontrair [se puder] com o Calvin...


Página 18 de 37

REGRA DA CADEIA [Para Funções Compostas] Inicialmente, vamos relembrar de forma simples e breve, o conceito de composição de funções através de um exemplo. Veja:

Sejam as funções 6)(5 xxf e 42)(

3 xxg . Vamos encontrar a função composta de f com g , que é indicada

por ))(( xgf . Assim:

Agora...

Em muitas situações, a taxa de variação de uma grandeza pode ser expressa como um produto de outras taxas.

Por exemplo, um automóvel que esteja viajando a 80 hkm / e o consumo de gasolina a esta velocidade seja de 0,1 km/ .

Para calcularmos o consumo de gasolina, em litros por hora, basta multiplicarmos as duas taxas em questão. Veja:

hh

km

km/8801,0

Atente que, na situação acima, multiplicamos duas taxas de variação do problema para encontrar a taxa de variação de interesse. Essa expressão é um caso particular de uma regra importante conhecida como Regra da Cadeia. A partir dessa “ideia”, podemos diferenciar [derivar] funções compostas, aplicando o processo de diferenciação [derivação] separadamente nas funções que compõem essa função composta. Assim:

A Regra da Cadeia:

Se f e g forem diferenciáveis [deriváveis] e a função composta de f com g definida por ))(( xgfy , então y é

diferenciável e y é dada pelo produto:

)())(( xgxgfy

Na notação de Leibniz, se )(ufy e )(xgu forem funções deriváveis, então:

dx

du

du

dy

dx

dy

Reflita: O fracasso quebra as almas pequenas e engrandece as grandes, assim como o vento apaga a vela e atiça o fogo da floresta. [Benjamim Franklin]

Notação:

A função composta ))(( xgf , também pode

ser representada por gf ou ainda por

))(( xgf .

Observação:

Com as funções f e g também podemos

gerar outras funções compostas, tais como:

))(( xfg , ))(( xff , )))((( xfgf , entre

outras.

Como se lê:

))(( xgf f composta com g ou

simplesmente f de )(xg .

gf f composta com g ou

simplesmente f bola g .


Página 19 de 37

Exemplo:

1) Calcule a derivada de 6)42(53 xy utilizando a regra da cadeia.

2) Utilizando a regra da cadeia, determine dt

dy para )]2(5[ tsentgy .

Para descontrair...

Coleção: As Melhores Tiras – Cebolinha / Autor: Maurício de Souza / Editora: Globo


Página 20 de 37

APLICAÇÕES DE DERIVAÇÃO: Taxas de Variação A abordagem deste tema se dará através da resolução e discussão de situações-problema, dadas a seguir.

1) Um copo de limonada a uma temperatura de Fº40 é colocado em uma sala com temperatura constante de Fº70 .

Considerando um princípio da Física, denominado Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, pode-se mostrar que,

se a temperatura da limonada atingir Fº52 em uma hora, então a temperatura T da limonada como função do tempo

decorrido é modelada aproximadamente pela expressão t

etT5,0

.3070)(

, onde T é dado em Fº e t , em horas.

Responda: a) Qual a fórmula que define a taxa de variação [instantânea] da temperatura T em relação ao tempo t ?

b) Qual a taxa de variação quando 1t e 5t

horas? [Explique o significado dos resultados encontrados]

c) Represente graficamente a função )(tT .

2) Analistas de produção verificaram que, em uma determinada fábrica montadora, o número de peças produzidas nas

primeiras x horas diárias de trabalho é dado por:

84,)1.(200

40,).(50)(

2

xparax

xparaxxxf

Pergunta-se:

a) Qual a razão de produção (em peças/hora) ao final de 3 horas de trabalho?

b) E ao final de 7 horas?

c) Quantas peças são produzidas na quarta e na oitava hora de trabalho?


Página 21 de 37

Observação: Para simplificar o texto, poderemos escrever a questão 1(a) assim:

Determine o coeficiente angular da curva )(xf no ponto 5x .

APLICAÇÕES DE DERIVAÇÃO: Problemas de Reta Tangente à Curva Já fizemos uma abordagem deste tema no momento em que estudamos a derivada de uma função através da sua definição. Com o objetivo de relembrar e fixar alguns conceitos, vamos resolver e discutir os problemas dados a seguir.

1) Dada a função 56)(2

xxxf , determine:

a) o coeficiente angular da reta tangente à curva )(xf no ponto em que 5x . [veja observação abaixo]

b) a equação da reta t tangente à curva )(xf no ponto em que 5x .

c) o coeficiente angular da curva )(xf no ponto em que 0x .

d) o ponto de )(xf em que a reta tangente a essa curva é horizontal.

2) Dada a função x

xseny

)( , determine:

a) a derivada dx

dy.

b) o coeficiente angular da curva no ponto em que 0x .

c) o que se pode concluir com o resultado encontrado em (b)?

Nota: Os gráficos acima foram plotados no Maple 13.


Página 22 de 37

EXERCÍCIOS – Regras e Técnicas de Derivação [Usando a Tabela de Derivadas] 1) Determine a derivada das funções dadas a seguir [as respostas estão na coluna da direita].

5 63

2

)1(.5

3

x

xy

4

2 12

23

)12(

5)(

x

x

xxf


Página 23 de 37

Curiosidade: Dizem que nenhum pedaço de papel pode ser dobrado ao meio mais de 7 vezes. Será verdade?

)(xx

eseney

)3()3sec(3 xtgxy


Página 24 de 37

2) Calcule a derivada das funções e encontre a taxa de variação indicada [as respostas estão na coluna da direita].

a) 2.)( rrA ?)10( A rrA ..2)( e 20)10( A

b) )2)(13( 45 xxy ?1

xdx

dy

348 43027 xxxdx

dy e 1

1

xdx

dy

c) xexxf .2)( ?)6( f )1(.2)( xexf x e

6.14)6( ef

d) 32

2)(

x

xxh ?)0( h

2)32(

7)(

xxh e

9

7)0( h

e) 21 x

ey

x

?

1

xdx

dy

22

2

)1(

)1(

x

xe

dx

dy x

e 0

1

xdx

dy

f) 54

53)(

xxxg ?)1( g

65

2512)(

xxxg e 37)1( g

g) )63(2

1)( 2 xx

x

xxy

?)0( y

2

23

)2(

1236276)(

x

xxxxy e 3)0( y

3) Derive as funções dadas a seguir, aplicando a Regra da Cadeia [as respostas estão na coluna da direita].

a) )3(ln)( 2 xxf 3

2)(

2

x

xxf

b) )4()( xsenxg )4(cos4)( xxg

c) )8(cos)( 2tth )8(.16)( 2tsentth

d) )12ln(2 ty 12

4

tdt

dy

e) xey 5

xedx

dy 5.5

f) 42 )3()( ttf

32 )3.(8 ttdt

df

g) 13 xy 13.2

3

xy

4) Em quais pontos do gráfico da função xxxy 22

3

3

1 23 é possível traçarmos uma reta tangente horizontal a

essa curva? Utilize um software gráfico para “visualizar” a resposta.

Resposta: Os pontos procurados são:

6

5,1 e

3

2,2 .


Página 25 de 37

EXERCÍCIOS – Aplicações de Derivação: Taxas de Variação

1) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t3 + t2 – 2t + 3 [com S em metros e t em segundos]. Determinar a velocidade no instante t = 5 s.

2) [Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é S = 11,44t2 , com S em metros e t em segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 300m de altura. Determine a velocidade [em km/h], quando t = 3 s.

3) [FLEMMING / Adaptada] Uma região X é atingida por uma

moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o

número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um

tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia)

é, aproximadamente, dado por:

364)(

3t

ttN

A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado.

Pergunta-se:

a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 4t ?

b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 8t ?

c) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia em 8 dias?

d) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia no º8 dia?

4) A população inicial de uma colônia de bactérias é 000.10 . Depois de t horas, a colônia terá a população )(tP que

obedece a lei: t

tP )2,1(000.10)( .

a) Qual o número de bactérias depois de 10 horas?

b) Encontre a lei que dá a variação da população P em relação ao tempo t .

c) Determine essa variação instantânea da população quando 10t horas.

5) Uma partícula se move segundo a equação S(t) = t3 – 2t2 + 5t – 1, sendo S medido em metros e t em segundos. Em que instante a sua velocidade vale 9 m/s?

6) Mariscos Zebra são mariscos de água doce que se agarram a qualquer coisa que possam achar. Apareceram primeiro no

Rio St. Lawrence no começo da década de 80. Estão subindo o rio e podem se espalhar pelos Grandes Lagos. Suponha que

numa pequena baía o número de mariscos zebra ao tempo t seja dado por 2

300)( ttZ , onde t é medido em meses

desde que esses mariscos apareceram nesse lugar. Assim:

a) Quantos mariscos zebra existirão na baía depois de quatro meses?

b) A que taxa a população está crescendo em quatro meses?

7) Um reservatório de água está sendo esvaziado e a função 2

)30(200)( ttV indica o volume [em litros] de água

presente no reservatório no tempo t [em minutos], com 300 t . Pergunta-se:

a) Qual a quantidade de água existente no reservatório depois de 8 minutos de escoamento?

b) A que taxa o volume de água do reservatório varia após 8 minutos?

c) Qual a taxa média de variação do volume de água durante os primeiros 8 minutos?

8) Sabe-se que o volume V de um cubo é função de seu lado. Assim, determine a taxa de variação do volume em relação ao lado quando este mede 5 uc. [Nota: pense em como você indicará a unidade da taxa de variação]


Página 26 de 37

9) [FLEMMING] Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa, em gramas:

9060,6044,24

600,)4(2

120

)(

2

tpara

tparattw

t

, onde t é medido em dias.

a) Qual a razão do aumento do peso da ave quando t = 50 dias? b) Quanto esta ave aumentará no 51º dia? c) Qual a razão de aumento de peso quando t = 80 dias?

10) [THOMAS] A resposta R do corpo a uma dose de medicamento, às vezes, é representada por uma equação da forma

32

2 MCMR onde C é uma constante positiva e M é a quantidade de medicamento absorvida pelo sangue. Se

a resposta esperada for uma variação na pressão sanguínea, então R deverá ser medida em mmHg; se a resposta for

uma variação da temperatura, R será medido em Cº e assim por diante. Determine dM

dR. Essa derivada [em função de

M ] é chamada “sensibilidade do corpo ao medicamento”.

11) Um paraquedista salta de um avião. Supondo que a distância que ele cai, antes de abrir o paraquedas, é de

tttS 176)1835,0(986)( , onde S está em pés e t em segundos; calcule a velocidade instantânea (em m/s) do

paraquedista quando 15t segundos. Observação: 1 pé = 0,3048 m.

12) De uma pequena comunidade se obteve uma estimativa que, daqui a t anos, a sua população será de

.1

520)( pessoasdemilhares

ttP

Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?

13) Certa imobiliária aluga salas comerciais por R$ 600,00 mensais. Este aluguel sofre um reajuste mensal de 2%. Calcule a taxa de variação do aluguel daqui a 10 meses.


1) 83m/s

2) v(3) = 247,104 km/h

3a) N’(4) = 48 pessoas atingidas/dia 3b) N’(8) = 0 pessoas atingidas/dia 3c) N(8) 341 pessoas 3d) N(8) – N(7) 8 pessoas

4a) P(10) = 61917 bactérias 4b) P’(t) 1823.(1,2)t 4c) P’(10) = 11288 bactérias/hora

5) t = 2 s

6a) Z(4) = 4800 mariscos 6b) Z’(4) = 2400 mariscos/mês

7a) V(8) = 96.800 7b) V’(8) = – 8800 /min 7c) Vm = –10400 /min

8) V’(5) = 75 ua/uc

9a) w’(50) = 54 g/dia 9b) w(51) – w(50) = 54,5 g 9c) w’(80) = 24,4 g/dia

10) dR/dM = M(C – M)

11) v(15) 164,1 pés/s 50 m/s

12) P’(1,5) = 800 pessoas/ano

13) aprox. 14,48 reais/mês


Página 27 de 37

x

y

EXERCÍCIOS – Aplicações de Derivação: Problemas de Reta Tangente à Curva

1) Seja a função 2224 xxy e seu gráfico representado abaixo.

a) Determine dx

dy.

b) Calcule

2/1xdx

dy e

2/3xdx

dy.

c) Qual o significado geométrico dos valores encontrados no item (b)?

d) Encontre os valores de x , para os quais 0dx

dy.

e) O que os valores de x , encontrados no item (d),

representam geometricamente?

2) Determine:

a) o coeficiente angular da curva x

y1

no ponto em que 3x .

b) para qual valor de “ x ”, o coeficiente angular da curva x

y1

será

4

1 ?

c) o coeficiente angular da curva x

y1

no ponto em que ax e avalie o seu sinal [quando será positivo e/ou

negativo].

Observação: represente graficamente a função x

y1

para avaliar melhor seus resultados.

3) Determine a equação da reta tangente à curva 32)(2 xxf no ponto )11,2(P .

4) Determine a equação da reta tangente à curva )()( xsenxf no ponto )0,(Q .

5) As funções baxxxf 2

)( e 2

)( xcxxg têm uma tangente comum em )6,3(T . Encontre as funções em

questão e plote os seus gráficos no mesmo sistema cartesiano para verificar sua solução.

6) Mostre [através do processo de derivação] que a abscissa do vértice de uma parábola qualquer cbxaxy 2

pode

ser encontrada através da fórmula a

bxV

2 .


1a) xxdx

dy44

3 1b)

2

3

2/1

x

dx

dy e

2

15

2/3

x

dx

dy 1d) }1,0,1{ 1c–1e) Resposta teórica

2a) 9

1m 2b) Para 2x ou 2x 2c)

2

1

am e m

será negativo para *Ra

3) 58 xy 4) xy 5) 187)(2

xxxf e xxxg 5)(2

NOTA:

Com o objetivo de simplificar o “texto”, onde

escrevemos: “o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P”, escreveremos: “o coeficiente angular da curva no ponto P”.


Página 28 de 37

DERIVADAS SUCESSIVAS [Derivadas de Ordem Superior] As derivadas sucessivas [ou de ordem superior] têm diversas aplicações. Algumas delas estão na:

Construção e Interpretação de Gráficos;

Otimização de Funções [Máximos e Mínimos]; Cálculo Avançado [Equações Diferenciais, Séries, etc.];

Física Superior, Áreas Aplicadas da Tecnologia/Engenharia, entre outras.

Neste momento, vamos abordar o tema através de alguns exemplos. Veja:

1) Dada a função polinomial de 5º grau: 33)(25 xxxf , determine sua derivada de 6ª ordem.

2) Sendo )ln(2 xy , determine 4

4

dx

yd.

Lembre-se da similaridade das notações: )()()()(

xfDfDdx

fd

dx

ydxfy

nn

xn

n

n

nnn

Notações:

)(xf y

)(xf dx

dy

)(xf 2

2

dx

yd

)(xf 3

3

dx

yd

)()4(

xf 4

4

dx

yd

)()5(

xf 5

5

dx

yd

)()(

xfn

n

n

dx

yd


Página 29 de 37

3) Determine )(cos27

xDx , ou seja, para )(cos xy , encontre )27(

y .

4) Dada a função horária das posições 58102)(23

ttttS de um móvel em certa trajetória [no SI], determine a sua

velocidade, aceleração e arranque, no instante 3t s.

Nota: o arranque [também chamado de arranco ou de sobreaceleração] é a taxa de variação da aceleração em relação ao

tempo. No SI, sua unidade é o m/s3. A letra [símbolo] utilizada para representá-lo é o “j” [Jota], provavelmente oriundo da

palavra inglesa “jerk” que tem significado similar.

Reveja as Notações:

Velocidade: )()( tStv )(tvdt

dS

Aceleração: )()( tSta )()()( tStvta )(2

2

tadt

Sd

Arranque: )()( tStj

)()()()( tStvtatj

)(3

3

tjdt

Sd


Página 30 de 37

Utilizando derivadas para encontrar [calcular] LIMITES

A REGRA DE L'HOPITAL [ou L'Hôspital]

Ocorrendo, em limites, a forma indeterminada 0

0

ou

, então:

)(

)(lim

)(

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

xg

xf

axaxax até que “desapareça” a indeterminação!

Nota: Ra ou a .

Caso ocorra, num limite, uma das outras 5 indeterminações:

1,,0,0,00

, poderemos “transformá-la”

em 0

0 ou

para então aplicarmos a regra de L’Hopital, caso seja de interesse.

Exemplos: Calcule os limites:

a) 1

2lim

0 xx e

x

b) 30

)(lim

x

xsenx

x

c) 23

6lim

2

2

2

xx

xx

x

d) x

x

x 2

lnlim


Página 31 de 37

e) x

xx

1

)93(lim

As Origens da Regra de L'Hopital:

A regra de L'Hopital foi publicada pela primeira vez em 1696, no livro Analyse des Infiniment Petits, do matemático

Guillaume François Antoine, o Marquês de L'Hopital, mas na verdade ela foi descoberta em 1694 pelo matemático

suíço John (Johann) Bernoulli. Uma explicação para esse fato é que esses dois matemáticos fizeram um curioso acordo, que

dava ao Marquês de L'Hopital os direitos das descobertas de Bernoulli. Entretanto, parece não existir um consenso sobre a

história do tal “acordo”.

Baseado num texto de: STEWART, James. Cálculo. v.1. 5. ed. São Paulo: Thomson, 2006.

EXERCÍCIOS – Derivadas Sucessivas [Derivadas de Ordem Superior] + Regra de L'Hopital

1) Encontre as derivadas primeira e segunda das funções dadas a seguir.

a) e)

b) f)

c) g)

d)

h)

2) Determine para .


Página 32 de 37

3) Se , encontre .

4) Se , encontre . Nota: Você poderá optar por utilizar, em algum momento, a relação: .

5) Encontre uma fórmula para sabendo que: .

6) Determine .

7) Encontre um polinômio de 2º grau , tal que: , e .

8) Dois móveis têm seus movimentos sobre uma mesma trajetória retilínea, dados pelas equações

e . Determine as velocidades e as posições desses móveis quando as suas acelerações forem

iguais. Considere em metros e em segundos.

9) Num equipamento automatizado, um dispositivo móvel descreve uma trajetória definida pela equação

[ em

centímetros e em segundos]. Determine a velocidade e a aceleração do dispositivo após se deslocar cm.

10) Seja . Verifique que:

.

11) A equação é chamada equação diferencial pois envolve a função desconhecida e suas derivadas

e . Para que valores de , a função satisfaz a equação diferencial em questão?

12) Um objeto preso a uma mola vertical tem função posição dada por , onde é a amplitude de sua

oscilação e é uma constante. Assim:

a) Encontre a velocidade e a aceleração como função do tempo.

b) Mostre que a aceleração é proporcional ao deslocamento .

c) Mostre que a velocidade é máxima quando a aceleração é zero. 13) Calcule os limites [caso existam] aplicando a regra de L'Hopital, adequadamente.

a)

b)

–

c) d)

e)

f)

g)

– h)

–

i)

j)

k)

l)

Observação: O limite da letra [k]:

pode aparecer, principalmente em livros de origem norte-americana,

na forma:

. Lembre-se que a maioria das calculadoras científicas apresenta a função na

forma . Ambas representam a função inversa de . Fique ligado!


Página 33 de 37

14) Mostre, através da aplicação da regra de L'Hopital, que os limites fundamentais:

a)

b)

–

c)

15) Prove que

para todo inteiro positivo. Note que isso mostra que a função exponencial tende

mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de .

16) Se um montante inicial de dinheiro for investido a uma taxa de juros composta vezes ao ano, o valor do investimento após anos será:

Se fizermos , chamamos isso de juros compostos contínuos. Use a regra de L'Hopital para mostrar que se os juros forem compostos continuamente, então o montante após anos será:

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1a) e 1e) e

1b) e 1f) e

1c) e 1g) e

1d) e 1h) e

2) 3) 4)

5) 6) 7)

8) e com e

9) e 11)

12a) e

13a) 13b) 13c) 13d) 13e) 13f)

13g) 13h) 13i) 13j) 13k) 13l)

Para descontrair com o Calvin…

Para refletir… Namorar alguém de exatas é saber que você vair ter com quem contar. [Recebido de um colega através de mensagem em uma rede social]


Página 34 de 37

APÊNDICE


Página 35 de 37

Nota:

Nem todas as retas podem ser representadas em todas as formas citadas ao lado.

RELEMBRANDO: TIPOS [FORMAS] DE EQUAÇÃO DE UMA RETA [NO PLANO] A equação de uma reta [no plano] pode ser escrita na forma:

↳ Geral

↳ Reduzida

↳ Segmentária

↳ Paramétrica

Detalhando um pouco, temos:

Equação Geral: 0 cbyax Sendo que na equação geral: b

am e

b

cn

Observe que, se na forma geral: 0 cbyax

Isolarmos o termo em y temos: caxby b

caxy

Agora, separando o denominador: b

cx

b

ay

b

cx

b

ay

Assim temos a equação da reta na sua forma reduzida: nmxy

Equação Reduzida: nmxy

↳ Coeficiente angular: tgm ou

AB

AB

xx

yym

Nota: A função polinomial do 1º grau é representada pela equação reduzida da reta.

Equação Segmentária: 1q

y

p

x

↳ Sendo que:

yinterceptoq

xinterceptop

Equações Paramétricas:

)(

)(

tgy

tfx

↳ Sendo que t é um parâmetro comum às equações. Veja um exemplo:

ty

tx

2

74

RELEMBRANDO: COMO ENCONTRAR [CALCULAR] A EQUAÇÃO DE UMA RETA Quando conhecemos:

2 pontos ),( AA yxA e ),( BB yxB : Substitua os pontos em: nmxy ou aplique: 0

1

1

1

BB

AA

yx

yx

yx

1 ponto ),( PP yxP + o coeficiente angular “ m ”: Aplique em: )( PP xxmyy

↳ “Equação Fundamental da Reta”

0

q

p ●

●

y

x

0

n

●

●

y

x

0m

0

n

●

●

y

x

0m


Página 36 de 37

[Relembrando] Exemplo 1: Escreva a equação da reta “s” na forma geral e reduzida, sabendo que ela passa pelo

ponto )2,1(P e tem coeficiente angular igual a 3 .

Resolução:

Aplicando a “equação fundamental da reta”, temos:

)( PP xxmyy Da equação reduzida da reta em questão, fazemos:

)1(32 xy 13 xy

332 xy 130 yx

s: 13 xy s: 013 yx

↳ equação reduzida da reta ↳ equação geral da reta

[Relembrando] Exemplo 2: A reta “ r ” está representada graficamente logo abaixo. Escreva a equação desta reta nas

formas: segmentária, geral e reduzida. Resolução: Observando o gráfico ao lado, temos:

r: 154

yx equação segmentária da reta

20

20

20

45

yx

2045 yx

r: 02045 yx equação geral da reta

2054 xy

4

205

xy r: 5

4

5

xy equação reduzida da reta

Para refletir: Não aprenda a desejar aquilo que não merece. [retirado de um biscoito da sorte chinês]

4

0

5

●

●

y

x


Página 37 de 37

TABELA DE DERIVADAS

Considere: ( ) , ( ) , ' 'dy du

u u x v v x y e udx dx

e ainda “k” e “a” como constantes

Propriedade da Linearidade: ( ) ( ) ( )d d dku v k u v

dx dx dx

Fórmulas:

1) y k

' 0y

11) y senu

' ' cosy u u

2) y ku

' 'y ku

12) cosy u

' 'y u sen u

3) y u

1' 'y u u

13) y tg u

2' 'y u sec u

4) , 1 0uy a a e a

' ln 'uy a a u

14) y cotgu 2' 'y u cosec u

5) uy e

' 'uy e u

15) y secu ' 'y u tgu secu

6) logay u

'1'ln

uy

a u

16) y cosecu ' 'y u cotgu cosecu

7) lny u

''

uy

u

17) y arcsenu 2

1' '

1y u

u

8) .y u v ' . ' . 'y u v v u 18) y arctg u 2

1' '

1y u

u

9) u

yv

2

. ' . ''v u u v

yv

19) y senhu ' 'y u coshu

10) vy u 1' ' 'v vy vu u u lnu v 20) y coshu ' 'y u senhu

Função Composta: Se )(xuu e )(txx , então: dt

dx

dx

du

dt

du [Regra da Cadeia]

Função Paramétrica: Se )(tyy e )(txx , então:

dt

dx

dt

dy

dx

dy

Função Inversa: Se )(xfy admite inversa, então: dydxdx

dy

/

1

Para refletir: A verdadeira viagem de descoberta não está em procurar novas paisagens, mas em adquirir novos olhos. [Marcel Proust, Em busca do tempo perdido]

Documents

A DERIVADA Introdução: derivaçãoademilson.teixeira/Cálculo I... · determinar a taxa de variação de uma função ... a derivada é a taxa de variação ... EXERCÍCIOS RESOLVIDOS