JOSÉ VAGNER CHIRÉIA

RELATO DE EXPERIÊNCIA

A estratégia da Resolução de Problemas nas aulas

de Matemática: Regra de Três e Porcentagem

Londrina 2007

Secretaria de Estado da Educação – SEED Superintendência da Educação - SUED

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais – DPPE Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE

1

JOSÉ VAGNER CHIRÉIA

RELATO DE EXPERIÊNCIA

A estratégia da Resolução de Problemas nas aulas

de Matemática: Regra de Três e Porcentagem

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL

ORIENTADORA: PROFª. DRª.REGINA LUZIA CORIO DE BURIASCO

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

Londrina 2007

2

SUMÁRIO

1 - Introdução......................................................................... 03

2 - A Resolução de Problemas como Estratégia.............................. 05

3 - Proposta Inicial.................................................................... 10

4 - Relatos............................................................................... 12

4.1 - 1ª Oficina.............................................................. 12

4.2 - 2ª Oficina.............................................................. 31

4.3 - 3ª Oficina.............................................................. 45

5 - Algumas Considerações......................................................... 57

6 - Referências.......................................................................... 61

7 - Bibliografia Consultada.......................................................... 62

8 - Sugestão de Leitura............................................................... 63

9 - Anexos................................................................................ 64

9.1 - Anexo 1................................................................. 65

9.2 - Anexo 2................................................................. 68

3

INTRODUÇÃO

No dia a dia das aulas de matemática é bastante comum a utilização

de exercícios repetitivos, o que usualmente é chamado de “fazer a fixação

do conteúdo”. Com isso, pode-se provocar nos alunos uma falsa idéia de

que a mera repetição de técnicas e algoritmos proporciona o aprendizado.

Também é comum a utilização de “problemas”1 nas aulas de

matemática, mas que muitas vezes não despertam curiosidade nos

alunos, nem mesmo provocam algum desafio. Isso porque quase sempre

são problemas “tipo”, ou seja, problemas muito semelhantes aos

exemplos que o próprio professor resolve no quadro de giz, como modelo,

em aulas organizadas, segundo Buriasco (1995) no esquema:

§ exposição do conteúdo;

§ exemplos;

§ exercícios simples de fixação;

§ exercícios um pouco mais “complicados”;

§ problemas.

Em geral as dificuldades apontadas como as mais comuns na

resolução de problemas, dizem respeito à compreensão de textos dos

enunciados, à interpretação de informações, à tradução do enunciado para

uma linguagem matemática adequada e à associação entre conteúdos.

A estratégia da Resolução de Problemas surge como uma

possibilidade para reverter o quadro citado, uma vez que pode

proporcionar condições para que o aluno enfrente novas situações e, de

forma gradativa amplie seu conhecimento, encarando a aprendizagem

como um “problema” para o qual se tem que encontrar respostas. É nessa

perspectiva que se apresenta este trabalho, e nela, um problema é uma

situação na qual um indivíduo precisa ou quer fazer algo, mas desconhece

como desenvolver o curso da ação necessária para conseguir fazer o que

precisa ou quer.

1 A palavra problema aparece entre aspas porque na maioria das vezes, o que se apresenta aos alunos não são problemas de fato, e sim exercícios de fixação.

4

Por conseguinte, o presente trabalho é composto por cinco partes: a

introdução, a apresentação da Resolução de Problemas como estratégia

para o ensino de matemática, uma proposta para o desenvolvimento de

oficina, o relato da experiência de realizá-las, e, algumas considerações.

5

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO ESTRATÉGIA

Segundo Stanic e Kilpatrick(1989) os problemas ocupam um lugar

central nos currículos desde a antiguidade, mas só recentemente

apareceram educadores matemáticos aceitando a idéia de que o

desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas merece

especial atenção.

Nessa perspectiva, o principal objetivo do ensino de Matemática é

que os alunos sejam capazes de pensar matematicamente e de resolver

problemas. Além disso, a aprendizagem matemática requer um processo

de reflexão contínua, até o momento em que as respostas passem a ter

sentido, e com isso, entender Matemática não significa reproduzir modelos

previamente estabelecidos.

Brito (2005, p.60) ao considerar “os objetivos cognitivos que levam

ao desenvolvimento das habilidades básicas”, selecionadas pelo NCTM2,

em 1978, aponta a solução de problemas como uma das habilidades a ser

desenvolvida no estudante.

Para Onuchic (1999, p.216), ao utilizar a estratégia da Resolução de

Problemas nas suas aulas, “o papel do professor muda de comunicador de

conhecimento para o de observador, organizador, consultor, mediador,

interventor, controlador e incentivador da aprendizagem”. Assim, um

problema pode, de acordo com o contexto e os alunos envolvidos, ter

diferentes formas de ser resolvido.

A Resolução de Problemas como estratégia pode tornar as aulas

mais atraentes, cooperativas, mais dinâmicas, fazendo com que os

estudantes se relacionem com uma maior freqüência com os conteúdos

matemáticos. Nessas aulas, o professor tem fundamental importância na

escolha dos problemas ou na aceitação dos problemas propostos pelo

aluno, para que despertem o interesse e desafiem a curiosidade. Como diz

Butts (1997, p.48) “Estudar matemática é resolver problemas.

Consequentemente cabe aos professores de matemática, em todos os 2 National Council of Supervisors of Mathematics.

6

níveis, ensinar a arte de resolver problemas”. Um problema é visto aqui

como sendo “uma situação que se enfrenta sem contar com um algoritmo

que garanta uma solução” (Kantowski, 1997, p.270). Ou ainda, como diz

Polya (1997) resolver

[...] um problema é encontrar um caminho onde nenhum outro é conhecido de antemão, encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, encontrar um caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas alcançável imediatamente, por meios adequados. (p.01)

A Resolução de Problemas pode se tornar ainda mais eficiente

quando a dinâmica da aula envolve o trabalho com pequenos grupos de

alunos. O trabalho em grupo pode trazer uma série de vantagens, como

por exemplo, a possibilidade de observar as diferentes estratégias

adotadas pelos parceiros ao enfrentarem um mesmo problema.

Segundo Buriasco (2007a), a resolução de problemas, tomada como

a capacidade de compreender a informação dada, identificar suas

características e suas inter-relações, construir ou aplicar alguma

representação externa, resolver o problema, avaliar, justificar e comunicar

as suas soluções providencia uma base para a continuidade da

aprendizagem futura.

Durante o tempo que estiver sendo utilizada essa estratégia, a

análise dos procedimentos utilizados e a das atitudes tomadas pelos

alunos, se constitui em vasto material para a avaliação da aprendizagem.

A observação atenta do professor apontará para o quanto o aluno

compreendeu o problema e o quanto a resposta dada é adequada. Por

conseguinte as respostas dos alunos deixam de ser consideradas apenas

como certas ou erradas, uma vez que podem surgir da utilização de

diferentes procedimentos e não faz sentido destacá-las deles.

A Resolução de Problemas envolve, segundo Polya (2006), quatro

fases:

7

· a compreensão do problema - na qual é de fundamental

importância que o aluno seja capaz de identificar o que o

problema está solicitando.

· o estabelecimento de um plano - baseado no que já conhece e

nas experiências já vivenciadas, o aluno escolhe o que acredita

ser o ideal para resolução do problema. Caso o plano não surta o

efeito esperado, reformula-se a idéia inicial e muda-se o plano

de resolução.

· a execução do plano - esta etapa consiste em colocar em prática

o(s) procedimento(s) escolhido(s) no estabelecimento do plano e

que leva(m) a uma resposta para o problema proposto.

· o retrospecto ou reflexão sobre a resolução - na reflexão o aluno

faz uma revisão dos procedimentos e cálculos efetuados,

buscando possíveis erros na resolução e também dando validade

ao resultado encontrado.

Butts (1997) considera cinco categorias de problemas: exercícios de

reconhecimento, exercícios algorítmicos, problemas de aplicação,

problemas de pesquisa aberta e situações-problema.

· Exercícios de reconhecimento: “Este tipo de exercício

normalmente pede ao resolvedor para reconhecer ou recordar

um fato específico, uma definição ou enunciado” (BUTTS, 1997,

p.33);

· Exercícios algorítmicos: “[...] trata-se de exercícios que podem

ser resolvidos com um procedimento passo-a-passo,

frequentemente um algoritmo numérico” (BUTTS, 1997, p.34);

· Problemas de aplicação: “[...] envolvem algoritmos aplicativos.

Os problemas tradicionais caem nesta categoria, exigindo sua

resolução: (a) formulação do problema simbolicamente e depois

(b) manipulação dos símbolos mediante algoritmos diversos”

(BUTTS, 1997, p.34);

8

· Problemas de pesquisa aberta: “[...] aqueles em cujo enunciado

não há uma estratégia para resolvê-los” (BUTTS, 1997, p.35);

· Situações-problema: “[...] neste subconjunto não estão incluídos

problemas propriamente ditos, mas situações nas quais uma das

etapas decisivas é identificar o(s) problema(s) inerente(s) a

situação, cuja solução irá melhorá-la” (BUTTS, 1997, p.36).

Para resolver um problema, o aluno precisa utilizar suas

competências para interpretá-lo, identificar os conceitos matemáticos

presentes. Depois disso, é preciso lidar com esses conceitos de modo que

seja possível realizar operações matemáticas para que, enfim, possam

construir alguma solução lógica para a situação em que cada problema foi

apresentado. Esse é um processo de pensar matematicamente. Segundo a

perspectiva de Schoenfeld (1996),

[...] pensar matematicamente significa (a) ver o mundo de um ponto de vista matemático (tendo predileção por matematizar: modelar, simbolizar, abstrair e aplicar idéias matemáticas a uma larga gama de situações) [...] (p.69).

Num processo de resolução de problemas podem-se mobilizar diferentes tipos de raciocínio.

“O raciocínio analítico é caracterizado por situações em que o indivíduo em aprendizagem tem de aplicar princípios da lógica formal quando determina as condições necessárias e as suficientes ou quando determina se a implicação de causalidade ocorre no âmbito dos constrangimentos e das condições fornecidas no estímulo do problema. O raciocínio quantitativo é caracterizado por situações em que o indivíduo em aprendizagem tem de aplicar propriedades e procedimentos relacionados com a percepção do número e com as operações numéricas da disciplina de Matemática, para resolver determinado problema. O raciocínio analógico é caracterizado por situações em que o indivíduo em aprendizagem tem de resolver um problema inserido num contexto semelhante ao contexto de um problema que lhe é familiar ou que inclui uma base problemática que o mesmo tenha resolvido no passado. Os parâmetros ou o contexto do novo material de estímulo foram modificados, mas os factores de condução ou o

9

mecanismo causal são os mesmos. O indivíduo deve ser capaz de resolver o novo problema, interpretando-o à luz da experiência passada, relativamente à situação análoga. O raciocínio combinatório é caracterizado por situações em que o indivíduo em aprendizagem tem de examinar vários factores, considerar todas as combinações em que estes podem ocorrer, avaliar cada uma destas combinações individuais, em relação a um constrangimento objectivo, e depois seleccionar ou ordenar hierarquicamente as combinações”(OCDE, 2004, p. 13).

De um modo geral,

[...] os problemas devem oportunizar aprendizagens, de modo que alunos e professor, assumam uma atitude investigativa, de sorte que o professor pode questionar-se a respeito de qual matemática os seus alunos estão aprendendo, que entendimentos estão tendo do que está sendo trabalhado em sala de aula, o que sabem, no que ainda encontram dificuldades, e o que pode ser feito para auxiliá-los na superação destas (BURIASCO, 2007b).

A estratégia de Resolução de Problemas, apesar de ser tratada aqui

dentro do campo da matemática, procura despertar nos alunos o interesse

por problemas em geral, desenvolvendo a capacidade de resolver

problemas em qualquer área de conhecimento e nos mais diversos

momentos de sua vida.

10

PROPOSTA INICIAL

A partir do momento que iniciamos a participação no PDE, tínhamos

a incumbência e o compromisso de produzir um material que ficasse à

disposição dos professores da rede pública estadual para colaborar na

melhoria da Educação Básica.

Após definição do tema de estudos decidimos pela produção de um

relato de experiência tendo como objetivos:

§ utilizar procedimentos didáticos compatíveis com a estratégia da

Resolução de Problemas que pudessem ser utilizados por todo(a)

professor(a) em seu trabalho;

§ desenvolver nos alunos a capacidade de resolver problemas.

Esse relato apresenta a estratégia de Resolução de Problemas, em

sala de aula, mediante o desenvolvimento de três oficinas, assim

organizadas:

§ 1ª oficina – apresentação de um problema gerador. Esse problema

fez parte de uma das provas de matemática do PISA3, e possibilita

trabalhar com os alunos a identificação e a compreensão de

informações, com o conteúdo de porcentagem;

§ 2º oficina – por meio de uma seqüência de atividades retomar o

conteúdo de “regra de três” no cálculo de porcentagem;

§ 3º oficina – construção de gráficos a partir de uma coleta de dados

junto aos alunos participantes, utilizando os conteúdos

desenvolvidos nas oficinas anteriores.

Cada oficina terá duração de 4 horas e será desenvolvida com

alunos da 8ª série do Ensino Fundamental de um colégio estadual da

cidade de Londrina, nos dias 11, 18 e 25 de agosto de 2007, no período

matutino, com um total de 41 alunos inscritos.

3 Programa Internacional de Avaliação de Estudantes, programa criado pela Organização para Cooperação e

Desenvolvimento Econômico - OCDE, com o objetivo de avaliar o desempenho de estudantes que estão próximos de concluir a escolarização obrigatória definida no seu país de origem.

11

Sempre que se fizer necessário farei referência aos alunos com a

seguinte nomenclatura:

§ “A01; A02; A03;...;A40 e A41”,quando a referência for para algum

aluno especificamente;

§ “P”, quanto a referência for para o professor;

§ “GA”, quando vários alunos estiverem sendo citados.

12

RELATOS

1ª OFICINA – 11/08/2007

1ª etapa – Apresentação

Os alunos entraram na sala de aula e se acomodaram. Apresentei-

me dizendo meu nome, cidade onde moro, e com uma lista dos alunos em

mãos passei a chamá-los um a um para que se apresentassem. Quando

chamados a grande maioria apresentou-se dizendo nome e idade, alguns

informaram para qual time de futebol torciam o que era motivo de vaias

para os outros. Nesse momento constatei a presença de 31 alunos.

2ª etapa – Contrato Didático4

Propus que esclarecêssemos, discutíssemos e acordássemos as

regras que seriam observadas e respeitadas por todos durante nossos

encontros. Quando questionados das normas para um bom andamento

dos encontros, não houve sugestões por parte dos alunos. Nesse

momento lembrei-os de algumas regras já existentes na escola, por

exemplo, a permanência em sala, a pontualidade na chegada e saída, a

disciplina e o respeito com todos os envolvidos. Solicitei sugestões de

atitudes que seriam discutidas nesse momento e depois respeitadas por

todos, alunos e professor. Como não houve manifestação por parte dos

alunos, questionei-os sobre o que os motivou a estarem na escola num

sábado, depois de uma semana inteira de aulas. De forma quase que

unânime, a resposta em coro foi “por causa da nota”. Percebendo que a

preocupação era melhorar suas notas, observei à turma, que tínhamos

que fazer um acordo de como seria a avaliação da participação deles nas

oficinas. Nesse momento um dos alunos faz a sugestão de que não

houvesse prova. Como a sugestão pareceu-me compartilhada por todos,

concordei, entretanto informei que outro tipo de avaliação teria de ser

4 Tomado aqui como um conjunto de regras e atitudes negociadas entre professor e alunos e respeitado por todos. Esse instrumento pode ser modificado em qualquer momento durante os encontros, desde que em comum acordo com todos os envolvidos, e tem finalidade de estabelecer o que cada membro do grupo deverá fazer e o que será válido nessa relação.

13

feita. Minha sugestão foi de que a nota “tão esperada”, seria composta

pelas observações que o professor faria sobre o rendimento de cada um

dos alunos durante os encontros e pela análise da produção escrita

recolhida durante as oficinas. Alguns alunos demonstraram interesse,

entretanto deixei claro que a avaliação5 seria feita a todo o momento e,

portanto o interesse e o envolvimento com as atividades seriam as formas

de alcançar uma melhor “nota” ou um melhor “conceito”.

Informei-os que as atividades seriam desenvolvidas tanto de forma

individual como em grupo6 e que a distribuição7 dos alunos nos grupos

seria feita por mim. Ao propor trabalho em grupo, pretendi proporcionar

uma interação entre os diversos alunos da sala e seus respectivos

entendimentos das questões a serem trabalhadas.

Aparentemente não existindo mais sugestões ou mudanças nos

temas discutidos, passei a escrever no quadro de giz os itens que deverão

ser respeitados por todos os presentes:

· cumprir horários; (chegada, saída, intervalo);

· manter disciplina durante as oficinas;

· respeitar todos os envolvidos;

· participar efetivamente no desenvolvimento das tarefas

propostas;

· a avaliação será feita por meio de observações sobre a

qualidade da participação dos alunos nas atividades

desenvolvidas em sala, e da análise do material produzido

pelos alunos;

· é responsabilidade do professor a formação dos grupos para a

realização das atividades.

Terminada a colocação das “regras” no quadro de giz solicitei que

fizessem uma leitura, e lembrei-os que mudanças ou acréscimos poderiam 5 Aqui utilizada como um processo contínuo de recolha de informações sobre acertos, dificuldades de cada aluno, que envolve ações na busca da aprendizagem de todos. 6 A relação entre professor e aluno não é a única que auxilia a construção do conhecimento, o trabalho cooperativo, produz questionamentos e debates, entre os alunos, que normalmente não acontece com a participação do professor. 7 A formação de grupos é uma oportunidade para que ‘todos possam trabalhar com todos’, evitando assim tanto a exclusão de alguns alunos quanto a manutenção das chamadas ‘panelinhas’.

14

ser feitas, desde que todos estivessem de acordo. Como não houve

manifestação, considerei que o contrato didático foi aprovado por todos

para o desenvolvimento das oficinas.

3ª etapa – Problema Gerador8

A primeira tarefa foi elaborada a partir de questões de uma prova de

matemática do PISA do ano de 2000, na qual fizemos algumas alterações,

como por exemplo, retirar alguns valores numéricos e porcentagens que

completavam um diagrama para que dessa forma fosse possível explorar

o tema porcentagem.

Tarefa 1

O diagrama abaixo mostra a estrutura da população ativa ou “população em idade produtiva” de um país. A população total do país em 1995 era de cerca de 3,4 milhões.

Levantamento anual da população ativa em 31 de março de 1995 (000s)1

8 É um problema introdutório com o qual se pretende despertar o interesse dos alunos.

15

Notas: 1.Os números de pessoas são dados em milhares (000s). 2.A população em idade produtiva é formada pelas pessoas com idade entre 15

e 65 anos. 3.As pessoas “economicamente inativas” são aquelas que não estão procurando

ou não estão disponíveis para o trabalho.

Questão 1:

Quais são os dois principais grupos nos quais a população em idade produtiva está dividida?

A Empregados e desempregados. B Pessoas em idade produtiva e em idade não-produtiva. C Trabalhadores em tempo integral e meio período. D População ativa e inativa.

Questão 2:

Quantas pessoas em idade produtiva estavam inativas? (Escreva o número de pessoas, não a percentagem.)

Questão 3: Em que categoria do diagrama, se houver uma categoria apropriada, seria incluída cada uma das pessoas listadas na tabela abaixo?

Dê a resposta marcando um “X” na tabela.

16

Questão 4:

Suponha que as informações sobre a força de trabalho fossem apresentadas em um diagrama como este todos os anos. Listados abaixo estão quatro elementos do diagrama. Indique em quais destes elementos você esperaria que houvesse mudança de um ano para outro, fazendo um círculo na resposta “muda” ou “não muda”.

Dados do diagrama Respostas

A legenda de cada quadro (ex.”economicamente ativo”) Muda / Não muda

As percentagens (ex. “64,2%”) Muda / Não muda

Os números (ex. “2656,5”) Muda / Não muda

As notas embaixo do diagrama Muda / Não muda

Questão 5:

As informações sobre a estrutura da força de trabalho são apresentadas na forma de um diagrama em árvore, mas poderiam ter sido apresentadas de várias outras formas, tais como uma descrição escrita, um diagrama de pizza, um gráfico ou uma tabela. O diagrama em árvore provavelmente foi escolhido porque é especialmente útil para mostrar

A a evolução ao longo do tempo. B o tamanho da população total do país. C as categorias pertencentes a cada grupo. D o tamanho de cada grupo.

Num primeiro momento a tarefa 1 foi entregue a todos os alunos,

que deveriam fazer primeiramente uma leitura e posteriormente

responder as cinco questões propostas. A tarefa apresenta um diagrama

com a distribuição de determinada população em várias parcelas,

classificadas da seguinte maneira: em idade produtiva, economicamente

ativa e inativa, empregados e desempregados, trabalhadores em tempo

integral e também em meio período, à procura de trabalho em tempo

integral ou meio período.

A tarefa solicita que os alunos, por exemplo,

§ reconheçam que 949,9 milhões de trabalhadores, economicamente

inativos correspondem a 35,8% da população em idade produtiva;

17

§ observem que a parcela da população produtiva que é

economicamente inativa não tem sua taxa de porcentagem

conhecida;

§ verifiquem o número de desempregados que estão entre os

economicamente ativos e desconhecidos;

§ compreendam informações apresentadas por meio de diagrama.

Individualmente todos dedicaram atenção à leitura.

Durante a escolha das alternativas presentes em cada uma das

questões notamos que parte dos alunos tinha a preocupação de buscar as

respostas de colegas. Penso que buscavam um respaldo, um

fortalecimento junto ao grupo. Durante a leitura e resolução das questões

os alunos alegaram que não entendiam o que deveriam fazer e desviavam

a atenção para conversas paralelas. Nesse instante insisti, estimulando a

participação, para uma nova leitura na busca de informações presentes no

enunciado. Com isso, depois de algum tempo, surgiram perguntas que

demonstravam maior atenção à atividade proposta, exemplo:

A18: “Falta dados na grade?”

A20: “Pode ser mais que uma resposta?”

Passados aproximadamente 30 minutos, conduzi a formação de

duplas para que confrontassem9 as respostas dadas, discutissem os

procedimentos e chegassem a um acordo. Solicitei que sempre que

possível registrassem por escrito10 no verso das folhas da tarefa o que os

levou a dar aquela resposta, se havia alterado sua resposta por causa da

discussão com o colega do grupo e, em caso afirmativo, justificar a

alteração. Essas justificativas não foram registradas pela maioria dos

alunos que argumentaram:

A06: “Não sei por que escolhi!” 9 O confronto entre as resoluções do problema proporciona debate e análise dos procedimentos utilizados e das respostas encontradas. 10 O registro escrito é importante para posterior análise das estratégias e procedimentos utilizados.

18

A14: “Porque achei que era a melhor resposta para a pergunta!”

Alguns fizeram referência à escolha por terem entendido o

enunciado das questões:

A17: “Porque perto do começo tá escrito!.”

A33: “Porque falou lá em cima sobre isso!”

Durante essa etapa dos trabalhos minhas intervenções11 nos grupos

visavam estimular e discutir as resoluções ou encaminhamentos dados.

Sem fornecer respostas, procurei provocar reflexões sobre as questões.

Concluí que uma grande parcela dos alunos apresentava dificuldades de

interpretação das informações contidas no enunciado e no diagrama.

4ª etapa - Análise das Questões Resolvidas Pelos Alunos.

Questão 1

Quais são os dois principais grupos nos quais a população em idade produtiva está dividida? A Empregados e desempregados. B Pessoas em idade produtiva e em idade não-produtiva. C Trabalhadores em tempo integral e meio período. D População ativa e inativa.

A questão buscava a compreensão das informações apresentadas no

texto, constatei que:

41% dos alunos optaram corretamente;

55% dos alunos optaram incorretamente;

4% não apresentaram opção.

Justificativa dos alunos que acertaram:

A26 – “Porque são os principais grupos nos quais a população em

idade produtiva esta dividida.”

11 A conversa informal do professor, nos grupos, proporciona uma avaliação dos alunos e das sugestões que os membros do grupo oferecem.

19

A09 – “Porque é que me chamou a atenção.”

A25 – “Porque está no diagrama.”

A14 – “Porque no gráfico mostra isso.”

A seguir as justificativas dos alunos que erraram.

A19 – “Porque tem mais pessoas nesse.”

A16 – “Porque perto do cabeçalho tá escrito.”

A13 – “Porque eu achei que era a melhor resposta para essa

pergunta.”

A11 – “Porque a maioria está desempregada.”

A questão pedia que o aluno localiza-se informações no texto

apresentado. Nela,

75% dos alunos optaram corretamente;

21% dos alunos optaram incorretamente;

4% não apresentaram opção.

Justificativas dos alunos que acertaram:

A30 – “Eu respondi a pergunta olhando e reparando no diagrama.”

A23 – “Porque na folha anterior falava.”

A01 - “Porque é a certa, é uma pegadinha.”

A05 –“Porque a própria pergunta já falou inativas por isso que

chegamos a uma conclusão.”

Justificativa dos alunos que erraram:

A10 – “66% o número de pessoas e mais ou menos 7345.”

Questão 2

Quantas pessoas em idade produtiva estavam inativas? (Escreva o número de pessoas, não a percentagem.)

20

Todas as respostas consideradas corretas foram apresentadas na

forma 949,9. Não houve aluno algum que tenha feito referência à palavra

milhões ou apresentado a resposta considerando a observação da nota 1

(000s), o que faria a resposta ser apresentada da forma 949900000.

Esperava-se que os alunos fossem capazes de classificar seis

supostos personagens nas parcelas da população indicadas no diagrama.

Nessa questão os resultados foram:

§ não houve aluno(s) com todas as opções erradas;

§ número de acerto igual a um – 7% dos alunos;

§ número de acerto igual a dois – 7% dos alunos;

§ número de acerto igual a três – 31% dos alunos;

§ número de acerto igual a quatro – 34% dos alunos;

§ número de acerto igual a cinco – 21% dos alunos;

§ não houve aluno com 100% de aproveitamento.

Questão 3

Em que categoria do diagrama, se houver uma categoria apropriada, seria incluída cada uma das pessoas listadas na tabela abaixo? Dê a resposta marcando um “X” no quadrado correto da tabela.

21

Uma questão relevante que surgiu foi o fato de que apenas 14% dos

alunos classificaram corretamente a opção “Um estudante, tempo integral, 21

anos”.

Para resolver a questão os alunos deveriam identificar:

Para resolver a questão os alunos deveriam identificar:

- elementos do texto que são obrigatórios para a construção

de gráficos que poderão ser construídos para comparação com o diagrama

apresentado nessa atividade;

- 4 elementos do diagrama e as possíveis variações para

construção de tabelas futuras.

Os resultados nesta questão foram:

§ nenhum acerto – 17%;

§ número de acerto igual a um – 7%;

§ número de acerto igual a dois – 20%;

§ número de acerto igual a três – 38%;

§ número de acerto igual a quatro (100% de acertos) – 8%.

Questão 4

Suponha que as informações sobre a força de trabalho fossem apresentadas em um diagrama como estes todos os anos. Listados abaixo estão quatro elementos do diagrama. Indique em quais destes elementos você esperaria que houvesse mudança de um ano para outro, fazendo um círculo na resposta “muda” ou “não muda”.

Questão 5

As informações sobre a estrutura da força de trabalho são apresentadas na forma de um diagrama em árvore, mas poderiam ter sido apresentadas de várias outras formas, tais como uma descrição escrita, um diagrama de pizza, um gráfico ou uma tabela. O diagrama em árvore provavelmente foi escolhido porque é especialmente útil para mostrar A a evolução ao longo do tempo. B o tamanho da população total do país. C as categorias pertencentes a cada grupo. D o tamanho de cada grupo.

22

A questão pedia ao aluno a identificação do diagrama como o melhor

instrumento para mostrar as diversas informações a que se dispõe. O

resultado foi:

59% dos alunos - resposta correta;

38% dos alunos - resposta incorreta;

3% dos alunos - sem resposta.

Justificativa mais comum entre os alunos que acertaram:

A02 – “Porque no diagrama entendemos melhor do que num gráfico

ou tabela esse assunto. Tipo você pode ver o tamanho do

grupo dos desempregados, mas também os que estão

procurando emprego.”

Justificativa mais comum entre os alunos que erraram:

A30 –“A questão foi resolvida porque era fácil perceber a resposta.”

5ª etapa – Complemento do Diagrama

Como todos já tinham tido tempo suficiente para responder as

questões anteriores, mudei o foco do trabalho e passei a questioná-los.

P - O que teria chamado mais a atenção na atividade anterior?

GA - “O gráfico professor.”

P - Tem certeza se o que viram era realmente um gráfico!

Rapidamente alguns alunos passaram a olhar na 1ª página do

problema gerador.

GA - “É um diagrama.”

A07 - “Diagrama de árvore.”

23

Questionados o que mais teria chamado a atenção, um dos alunos

pede a palavra é diz:

A12 - “Professor porque tem aquele 000s?”

Era nota informativa da forma de escrita para as quantidades.

P - Leiam novamente o enunciado!

A12 - “Esses números tem de ser somados 3 zeros?”

P - Somar 3 zeros?

A23 - “Se os números estão na casa dos milhões e na tabela não

está, acho que deve ser multiplicado por 3 zeros.”

P - Multiplicar por zero?

A23 - “Quero dizer multiplicar por mil, que tem 3 zeros.”

Nesse momento foi visível a falta de atenção para as notas

informativas. Ficou evidente que as cinco questões foram respondidas

com base no diagrama sem que o enunciado inicial tivesse importância.

Observei também que vários alunos desviavam a atenção para o

caderno ou para conversas paralelas. Novamente questionei.

P - Já que vocês deram grande atenção ao diagrama, o que

despertou atenção nele?

Alguns instantes e surge a resposta esperada.

A15 - “Essa porcentagem!”

Com essa resposta pedi a observação dos alunos para o fato do

diagrama estar incompleto. Com isso o trabalho passou a ser o de

completar o diagrama de forma que cada seguimento da população

tivesse um número absoluto e outro em porcentagem. Para essa atividade

24

redefinimos os grupos, passando de dois para três elementos e

distribuímos máquinas calculadoras12. Alguns minutos depois, andando

pela sala, notei que entre os alunos que se dispuseram a executar a

tarefa, existia dificuldade em lidar com os cálculos de porcentagem.

Questionados sobre o conhecimento do assunto porcentagem, uma das

alunas justifica não ter lembrança13 porque “estavam estudando função”.

Apresentada essa situação, tomei a decisão de discutir o conceito de

porcentagem em conjunto com a sala toda.

P - Qual é o entendimento de porcentagem que vocês possuem?

A15 - “Exemplo professor. Se na sala de aula tem 100 alunos e uma

parte, 40 alunos saem da sala, então 40% é esse alunos.”

P - Então a turma de 40 alunos é o que em relação à sala toda?

A15 - “É parte da sala.”

P - E se na sala tivéssemos 200 alunos?

A15 - “Então seria 40 alunos de 200.”

P - Como seria chamada essa situação? “Ducentagem” ?

Surgem risos.

GA - “Continuaria porcentagem.”

P - Qual a conclusão que tiramos dessa conversa?

A05 - “A porcentagem é sempre trabalhada com 100 partes.”

Durante o tempo que a conversa foi se desenrolando ficava evidente

a irritação de alguns alunos quando eu (o professor) não fornecia14 a

resposta e deixava a pergunta em aberto.

Com o intuito de verificar e auxiliar no desenvolvimento iniciei o

atendimento aos grupos. Alguns minutos depois constatei que dois grupos 12 O uso da máquina calculadora proporciona uma maior concentração no processo utilizado para a resolução. Não há preocupação em observar os procedimentos utilizados nas operações básicas. 13 A estratégia da Resolução de Problemas possibilita a retomada de conteúdos já estudados em séries anteriores. 14 A importância maior deve ser dada no processo de resolução, a resposta não deve ser a mais importante, não fornecer respostas favorece a busca, a descoberta.

25

não se dispuseram a executar o proposto, porém a maioria estava no

caminho da resolução do primeiro valor a ser obtido, que era a

porcentagem da população economicamente ativa e da economicamente

inativa em relação à população em idade produtiva.

Em um dos grupos aconteceu o seguinte diálogo:

P - Como vocês estão fazendo?

A16 - “Eu fiz na calculadora %23865,64%5,2656:5,1706 = .”

P - Resposta correta, mas tente melhorar a escrita.

Em outro grupo:

P - O que temos aqui?

A19 - “Fizemos 2656,5 de %5,1706 x= .”

P - E agora, o que vão fazer?

A19 - “Não sabemos como continuar.”

P - O que lembra essa forma de escrita em que aparece uma

incógnita “ x ” e o sinal de igualdade?

Silêncio no grupo.

A19 -“Tenho de encontrar o “ x ”.

P - Então, se é o x que queremos o que pode ser feito?

A19 -“Não sei.”

26

P - Vocês reconhecem essa sentença 2656,5 de %x5,1706 = como

uma equação?15

GA - “Sim.”

P - Qual o objetivo na equação?

GA - “Encontrar valor para “ x ”.

P - O que fazer com o valor 5,2656 para alcançar o objetivo?

A19 -“Passa para o outro lado!”

Depois dessa resposta vou para outro grupo.

Andando entre as carteiras observei diversos alunos cometendo

erros no momento de operacionalizar os elementos contidos nos membros

de uma equação. Aproveitei para relembrar as propriedades da igualdade,

já que uma equação representa uma igualdade. Resolvi alguns exemplos

de equações, enfatizando que adicionando, subtraindo, multiplicando ou

dividindo ambos os membros por um mesmo valor obtemos equações

equivalentes, o que significa que o resultado não se altera. Ao terminar

relembrei-os do palavreado utilizado pelos alunos nas aulas, “elementos

que estão somando passam para o outro lado subtraindo”, ou ainda “se

um elemento está em determinado membro multiplicando, passamos para

o outro lado dividindo”. Nesse momento um dos grupos me chamou e fui

até ele.

P - O que temos aqui? Não saiu nada? Vamos lá!

P - O número 5,1706 é o quê?

A16 - “É um pedaço de 5,2656 .”

P - Se é parte, ele representa o quê?

A16 - “Uma porcentagem desconhecida”.

P - “Se é desconhecida como é possível representá-la?”

GA - “Com o “ x ”.”

15 Um bom momento para apresentar um problema secundário, ou seja, o professor com a sugestão dada, não revela a resolução do problema, mas faz uso do papel de mediador de conhecimento para que os alunos utilizem um problema correlato que vai auxiliar na solução do problema principal.

27

P - Não temos a obrigatoriedade de usar o “ x ”. Pode ser qualquer

letra que represente um valor desconhecido. Comece

escrevendo uma frase que representa essa situação.

A31 - “Sugeri que seja escrito isso aqui (aponta para 5,1796 ) é

quantos por cento disso (aponta para 5,2656 ).”

A22 - “Esse 5,1706 é o x% de 5,2656 .”

Solicitando a atenção de todos, informei aos alunos a possibilidade

de transcrever o problema da língua materna (português), para o

“matematiquês” (linguagem matemática). Isso fez com que várias equipes

que estavam bloqueadas voltassem a atenção para a continuidade da

tarefa. Voltei a andar entre as carteiras.

A26 - “Professor, por favor.”

Vou até o grupo.

A26 - “ 2656,5 de %5,1796 x= .”

A26 -“ x é parte do total, se é parte então deve dividir.”

Observei que o artigo “de” era a pedra no sapato do grupo. Como

traduzi-lo para uma operação matemática?

P - O símbolo % quer dizer o quê?

A26 - “Que o x é divido em 100 partes.”

P - Então você pode escrevê-lo por meio de uma fração.

Na folha de papel do aluno escrevi 100x

.

P - Se colocamos a fração no lugar de %x , qual a operação

produzirá partes do todo?

28

Todos em silêncio no grupo e segundos depois:

A26 - “Deve ser a de vezes, porque fazer vezes essa fração é igual

que fazer a divisão por 100.”

Depois desta resposta, afasto-me do grupo. Minutos depois solicitei

a A6 que fosse ao quadro de giz e apresentasse16 sua solução aos colegas.

A6 vai até a frente com seu caderno em mãos e escreve no quadro:

2656,5 de %5,1706 x=

2656,5 . %5,1706 x=

64,02656,5 : 5,1706 =

64,0=x %

Com a resolução de A6 um outro aluno observa:

A25 - “O número estaria escrito no formato centesimal?”

Solicitei que transformassem em fração, com isso alguns alunos

respondem:

GA – “10064

.”

Questionei-os do significado disso. Nesse momento a aluna

responde:

A26 – “É 64 por cento”.

16 No quadro de giz o professor faz uso da palavra para sintetizar os conteúdos ali envolvidos, identificar propriedades e termos próprios da matemática.

29

Apesar de surgirem comentários do tipo “é difícil” ou ainda

“matemática não é para mim”, os alunos voltaram a atenção para o

complemento de mais um quadro do diagrama.

O segundo quadro trazia as taxas em porcentagens, e pretendia-se

transformá-los em números absolutos, para tanto seria levado em

consideração o valor total anterior que era de 5,1706 . Com o auxílio da

máquina calculadora, diversos grupos apresentaram o resultado esperado

rapidamente. Solicitado um dos alunos descreveu o que fez da seguinte

forma:

A09 - “Eu tenho que ter 92,5 por cento de 5,1706 . Então fiz na

calculadora, 5,1706 vezes 92,5 (pressiona botão de % ).”

Nesse momento muitos já demonstravam vontade de sair da sala,

lembrei-os do contrato didático que tinham ajudado a formular e então

recolhi as folhas com o problema gerador e passei a entregar tiras de

papel com problemas variados de porcentagem sem que fizessem parte de

um contexto maior. As equipes receberam problemas diferenciados para

dificultar a possibilidade de cópias.

Foi resolvido de forma rápida. Solicitado um dos alunos descreveu o

que fez:

Um carro que custava R$ 12500,00 teve um aumento de 4%. Quanto ele passou a custar?.

30

A16 – “Fiz assim, peguei 12500 e somei com 4 por cento (aperta o

botão de % na calculadora), e o resultado foi 3000,001

(mostra o visor). O aumento foi de 500 .”

Esse problema criou maior dificuldade nas equipes. Na grande

maioria era adotado o valor de 560 como o novo salário, quando na

verdade é o valor que foi acrescido para chegar ao novo salário. A

resolução que chamou a atenção foi exposta pelo aluno A23:

A23 - “Se 20 por cento é 560 , então 560 dividido por 2 representa

10 por cento. Esse valor é 280 Daí fiz 280 vezes 10 e o

resultado foi igual a 2800 .”

Observei que um dos grupos não buscava resolver e questionado

uma das alunas responde:

A07 -“Não tem como resolver porque não sei que número é, pois

está escrito no problema que o reajuste foi inferior a 7% ,

mas não diz quanto foi.”

Quando ia distribuir mais alguns problemas entre as equipes, o sinal

de saída foi acionado. Passei a recolher as folhas com os problemas

trabalhados além das calculadoras que foram emprestadas aos alunos e

dessa forma terminamos o primeiro encontro.

Rosângela disse a uma amiga: “Eu fui promovida. Tive um aumento de 20% e passei a ganhar mais R$ 560,00”. Qual era o salário de Rosângela antes da promoção?

Exercendo a função de caixa em um banco, Carlos recebia um salário de R$ 1120,00. Ele teve um reajuste inferior a 7%. O seu novo salário será de:

31

2ª OFICINA – 18.08.2007

1ª etapa - Introdução

Iniciei com a entrega da atividade da oficina anterior aos alunos.

Com esse material em mãos solicitei que observassem a questão 3 da

tarefa 1, estando presentes 28 alunos.

Questionei aos alunos o que aconteceria se o personagem - garçom

de 30 anos - aumentasse seu tempo de trabalho de meio período para um

dia inteiro.

GA - “Melhoraria o salário” ou “trabalharia mais.”

P - O aumento de salário é uma conseqüência do maior tempo

dedicado ao trabalho. Para que esse tempo seria ampliado?

Questão 3:

Em que categoria do diagrama, se houver uma categoria apropriada, seria incluída cada uma das pessoas listadas na tabela abaixo?

Dê a resposta marcando um “X” na tabela.

32

Durante minha insistência para que fornecessem a resposta

esperada, alguns se mantinham calados e outros apresentavam respostas

evasivas. Mais alguns instantes e surge a resposta:

GA - “Atendimento de mais pessoas.”

P - Pelo que percebemos o aumento de atendimento a clientes está

vinculado ao aumento do tempo de trabalho.

Com essa conclusão pedi que observassem outro personagem da

questão 3 (a avó de 80 anos).

P - Qual a relação que podemos estabelecer, se é que existe, entre a

idade de uma pessoa e sua estatura?

GA - “Não existe essa relação.”

Insisti dizendo que pelo menos na fase inicial da vida do ser humano

existe sim. Com o avanço da idade a tendência é que o ser humano cresça

em estatura, porém, isso não é contínuo por toda a vida. Nesse momento

um aluno diz:

A15 - “Quando a pessoa é muito idosa ela passa a encolher.”

P - Penso que encolher não é possível, mas a postura dos idosos é

que sofre certo relaxamento o que passa a impressão de

redução na estatura.

Quando concordaram que o crescimento não é para toda a vida,

lancei uma terceira questão.

P - Como vocês chegaram hoje ao colégio, qual foi o meio de

locomoção?

GA – “Bicicleta, a pé, andando.”

33

O que despertou minha atenção foi o fato de que todos moravam

próximos ao colégio, não havia a necessidade de utilizar ônibus escolar,

ou ônibus urbano.

P - Supondo que utilizassem ônibus, o que aconteceria se a

velocidade de ônibus fosse aumentada no percurso para o

colégio?

GA - “Chegaríamos mais rápido!”

Solicitei que observassem as três situações colocadas, esperando

que as diferenciassem:

1ª – o garçom aumentou seu tempo de serviço para que fosse

aumentado o número de clientes atendimento;

2ª - avó idosa não tem seu crescimento constante com o passar da

idade;

3ª – o ônibus tem um aumento de velocidade para que o tempo de

viagem seja reduzido.

Questionados que nome seria dado às informações: tempo, número

de pessoas atendidas, estatura, idade, velocidade e tempo de viagem,

nenhum dos alunos se manifestou. Quando solicitados a buscar na

‘memória’ algo parecido com o que estávamos trabalhando, todos se

mantiveram calados, então resolvi dar seqüência ao planejamento e só

depois voltar a perguntar.

2ª etapa – Atividade em Dupla

Por meio de sorteio com números da lista dos participantes

presentes, formei duplas para o trabalho, entreguei a tarefa abaixo e

solicitei dedicação integral para a resolução.

1 - Uma mulher de negócios, com 43 anos, que trabalha sessenta horas por semana comercializa 50 camisas. Pergunta-se o que ela deve fazer para comercializar o dobro de camisas.

34

2 - Uma mulher de negócios, com 43 anos, que trabalha sessenta horas por semana comercializa 50 camisas. Trabalhando no mesmo ritmo e não sofrendo influências externas quanto tempo demorará a comercializar 75 camisas?

3 - Para as brincadeiras de uma festa junina, serão compradas bolas idênticas.

Com o dinheiro disponível, pode-se comprar 24 bolas de R$ 6,00 cada uma. Existem bolas com outros preços, conforme a tabela abaixo. Preencha a tabela.

Preço de uma bola (por tipo) Número de bolas adquiridas

6,00 24 12,00 4,00

48 18,00

72 24,00

144 4 - Parte da população economicamente ativa depende de transporte público.

Um estudante percebeu que quando o ônibus andava a uma velocidade de 60 Km/h, ele chegava ao colégio em 30 minutos, porém quando o trânsito estava mais congestionado isso ocorria em 40 minutos. Explique o que acontece?

5 - Para produzir 1000 metros de um cabo telefônico, 24 operários trabalham

regularmente durante 6 dias. Preencha a tabela abaixo, sabendo que, todos os operários envolvidos têm o mesmo rendimento:

Metros de cabo Número de operários Número de dias 1000 24 6 2000 24 2000 6 500 6 500 24

6 12 250 3

3 6 1250 6

1250 18

6 - Uma construtora pretende contratar seis pedreiros, que estavam em busca

de emprego, para construírem um muro de 45 metros de extensão e 90 cm de altura em 9 dias. Antes do início da obra houve mudança no projeto e foram contratados 10 pedreiros para que, trabalhando no mesmo ritmo dos primeiros, construíssem um muro de 50 metros de extensão e180 centímetros de altura. Em quantos dias o novo muro estará pronto?

Durante o tempo que os alunos ficaram debruçados na resolução das

questões eu, como professor, passei a ser um acompanhante dos alunos,

questionando seus escritos.

35

As duplas mostraram-se bastante interessadas nas questões, porém

na sua maioria não conseguia explicar como chegaram às respostas

(corretas ou não). Quando questionados os alunos diziam:

GA – “Fizemos de cabeça!”

P - Explique como fizeram.

Nesse momento ficavam calados e não forneciam uma resposta

satisfatória. Percebi que uma grande dificuldade estava localizada na

interpretação dos dados do problema para um registro correto.

Como as duplas estavam envolvidas na busca da resolução, o

professor tinha sua presença bastante solicitada, o que criava algum

desconforto para mim (professor), que não conseguia conversar com

todas as duplas ao mesmo tempo, e, para os alunos que não tinham suas

ansiedades reduzidas. Nesse instante passei a usar um mecanismo

auxiliar, trata-se de pedir a um dos alunos que já tinha o entendimento do

exercício que ajudasse a um dos colegas. Duas situações ficaram

evidentes:

1ª) quando o aluno recebedor da ajuda era interessado, existia uma

troca de experiências e um bom debate sobre o exercício era produzido;

2ª) quando o aluno recebedor não tinha interesse, ele simplesmente

pedia a resolução e não queria saber qual o caminho para chegar até ela.

Nesse exercício os alunos observaram a necessidade do aumento do

tempo para satisfação das condições. Cerca de %20 dos alunos

produziram cálculos e chegaram à resposta. A grande maioria das

respostas foi do tipo:

GA - “Ela deve trabalhar 120 horas para comercializar o dobro das

camisas.”

1 - Uma mulher de negócios, com 43 anos, que trabalha sessenta horas por semana comercializa 50 camisas. Pergunta-se o que ela deve fazer para comercializar o dobro de camisas?

36

Apenas um dos alunos, A24, fez comentários sobre a agilidade da

vendedora, ou seja, essa condição deveria ser mantida constante:

A24 - “Poderia ter um atendimento mais rápido.”

A aluna A29 observou que o problema apresentava17 a idade da

mulher de negócio, mas que essa informação não interferia na resolução.

Diferente da questão 1, essa solicitava obrigatoriamente uma

resposta numérica. Apenas %12 dos alunos não conseguiram responder

corretamente. Do total de alunos %62 justificaram sua resposta de forma

correta e semelhante à:

A29 – “Ela aumentará de 50 para 75 camisas, 25 camisas a mais,

então a metade de 60 e 30 e somando 3060 + teremos 90

horas.”

Outros %26 acertaram a resposta, entretanto a justificativa não

apontava para um entendimento da resolução. Acredito que são aqueles

que ouviram a resposta ou copiaram de colegas. Exemplo disso:

A09 - “Por que a diferença entre 60 horas e 75 camisas é 15 e esses

15 somados com 75 e que dá o tempo que demora a

comercializa 75camisas que é 90 horas.”

Em dois dos grupos quando me aproximei a preocupação não era

mais encontrar a solução, isso eles já possuíam, mas sim distribuir as 90

horas em uma semana.

17 Os problemas não necessitam ser econômicos na apresentação de informações, pois apresentar dados mesmo que não sejam utilizados podem produzir conjecturas matematicamente interessantes.

2 - Uma mulher de negócios, com 43 anos, que trabalha sessenta horas por semana comercializa 50 camisas. Trabalhando no mesmo ritmo e não sofrendo influências externas, quanto tempo demorará a comercializar 75 camisas?

37

P - O que estão calculando?

A23 - “Distribuindo entre os dias professor!”

P - E é possível?

A23 - “Sim, a opção seria trabalhar todos os sete dias da semana

durante 12 horas e 50 minutos mais ou menos.”

Em outro grupo:

P - O que são esses cálculos?

A15 - “Estamos vendo o tempo de trabalho em cada dia. Uma opção

seria trabalhar 5dias de 24 horas.”

P - Mas é praticamente impossível para um ser humano.

A15 - “Então podemos fazer 6 dias de 20 horas.”

P - Já é uma alternativa mais viável!

Um dos procedimentos mais utilizados foi apresentado pela aluna A07.

20,15060

= por camisa

255075 =-

3020,1.25 =

903060 =+ horas”

P – Explique o que fez.

A07 - “Dividi 60 horas por 50 camisas, o que deu 20,1 horas por

camisa, então peguei 25 e fiz vezes 20,1 , o que deu 30 .

Esses 30 somei a 60 chegando a 90 .”

P - Legal, mas de onde saiu o 25 ?

A07 - “É a diferença entre as quantidades de camisas.”

P - Esse número 20,1 que dizer o que?

38

A07 - “1 hora e 20 minutos.”

P - Você fez a divisão das 60 horas na calculadora. A calculadora

usa o mesmo sistema que nós usamos o sistema decimal,

entretanto o relógio usa outro sistema. Qual é esse sistema?”

A07 - “Minutos.”

P - Quantos minutos em uma hora?

A07 -“60 minutos.”

P - Quando fez a divisão de 60 na calculadora e encontrou 20,1 , você

na realidade tem 1 hora + 20,0 hora. Esses 20,0 são parte de 1

hora inteira, ou seja, de 60 minutos. Se você multiplicar 20,0

por 60 encontra18 12 . Esse número sim representa os minutos,

não é?

A07 - “Mas deu certo!”

P - Sim, mas se a sua conta tivesse lhe fornecido uma resposta do

tipo 86,1 . O que faria? Uma hora e oitenta e seis minutos?

Nesse momento afastei-me do grupo enquanto discutiam o ocorrido.

Nessa questão a idéia principal era que os alunos estabelecessem

uma relação entre o preço e o número de bolas, ou seja, com o aumento

ou redução do preço de cada bola haveria mudanças na quantidade de 18 - O professor deve evitar solucionar uma situação gerada pelo problema e desenvolver o hábito de instigar os alunos a verificarem a coerência da resposta encontrada.

3 - Para as brincadeiras de uma festa junina, serão compradas bolas idênticas. Com o dinheiro disponível, pode-se comprar 24 bolas de R$ 6,00 cada uma. Existem bolas com outros preços, conforme a tabela abaixo. Preencha a tabela

Preço de uma bola (por tipo) Número de bolas adquiridas

6,00 24 12,00 4,00

48 18,00

72 24,00

144

39

bolas. Essa relação foi observada pela maioria dos grupos, entretanto um

deles apresentava certa inquietação porque não conseguia resolver. Então

fui até o grupo.

P – Vamos lá. Quando uma bola custa 6 reais, conseguimos

comprar 24 bolas. Muito bem, quanto maior o preço de cada

bola o que acontece com o número de bolas? O valor total da

compra não sofre alteração?

A17 – “É maior.”

P - Agora o preço de cada bola foi de 6 reais para 12 reais, e o valor

total das bolas não pode passar do total da compra que é de

quanto?

A17 – “Não sei.”

P – Pense comigo: a primeira situação apresenta 24 bolas a 6 reais

cada, como você faria para descobrir o total a ser pago pelas

bolas?

A17 – “Faria 6 vezes 24 que dá...’

Alguns instantes fazendo o cálculo e responde.

A17 – “144 reais.”

P – Jóia! Agora observe a segunda linha. Cada bola custa 12 reais,

você tem um total em dinheiro que é de 144 reais, como fazer

para descobrir o novo número de bolas?

A17 – “Dividindo 144 reais por 12 reais.”

Nesse momento o professor afasta-se pedindo que continuem a

tarefa. Cerca de %66 dos alunos completaram corretamente a tarefa,

enquanto %12 completaram parcialmente e %22 não completaram ou

erraram.

40

Aproximadamente %88 dos alunos justificaram o aumento do tempo

de viagem por conta da redução de velocidade que ocorreu causado pelo

trânsito. Esses alunos demonstraram entendimento da inversão das

grandezas. Exemplo:

A33 - “Ele diminui a velocidade e atrasa um pouco.”

Na tentativa de calcular a velocidade, apenas %11 do total de alunos

fizeram corretamente os cálculos, %57 do total de alunos erraram os

cálculos, mas justificaram corretamente, %20 aproximadamente

justificaram corretamente, mas não apresentaram cálculo algum e %12

dos alunos não justificaram ou fizeram tentativa de responder.

Apesar da tarefa apenas solicitar a justificativa, vários alunos

tentaram produzir uma resposta numérica, uma delas foi:

min10min30min40 =-

202.min10 =

horapor 402060 km=-

3ª etapa - Formalização19:

Aproximadamente 2 horas depois do início do trabalho em duplas,

solicitei atenção. Questionei se alguém podia me informar o que é que

estávamos trabalhando com aqueles exercícios? Ninguém respondeu.

P - O que aconteceu com a velocidade do ônibus e o tempo de

viagem?

A11 - “O tempo aumento porque a velocidade diminuiu.”

19 Por meio de um trabalho conjunto, professor e alunos, fazem uma sistematização do conteúdo trabalhado e que se objetivava aprendido.

4 - Parte da população economicamente ativa depende de transporte público para chegar ao local de trabalho. Um estudante percebeu que quando o ônibus andava a uma velocidade de 60 Km/h, ele chegava ao colégio em 30 minutos, porém quando o trânsito estava mais congestionado ocorria em 40 minutos. Explique o que acontece?

41

P - E no outro exercício das bolas?

A11 - “A quantidade de bolas é maior quando o preço é menor.”

P - Isso. E no caso das camisas?

GA: “Para ter mais camisas vendidas precisamos de maior tempo de

trabalho.”

P - Então, vocês têm algumas informações, tipo: tempo de trabalho,

horas de viagem, velocidade e número de bolas, que recebem

um nome específico dentro dessas situações. É possível que

alguém diga qual é?

Silêncio na classe.

P - Como ninguém se lembra, vamos atribuir um nome para as

informações citadas.

Em tom de brincadeira os alunos atribuem o nome de “puff”. Isso

para brincarem com o colega A17 que tem esse apelido.

P - Pois bem, reparem que o “puff” número de bolas diminui quando

o “puff” preço da bola é aumentado. Observem também que o

“puff” velocidade aumenta enquanto o “puff” tempo de viagem

diminui. Essas situações são características de qual assunto que

vocês já estudaram em séries anteriores?

O silêncio impera, insisto na pergunta e novamente não obtenho

resposta. Nesse momento decidi informá-los do que estávamos falando, já

que durante todo o tempo de trabalho não houve aluno que apresentasse

o termo correto.

P – Vejam, isso que nos chamamos de “puff” na realidade recebe o

nome de grandeza. Essas grandezas quando se relacionam

determinam uma razão, quando igualadas duas razões surge

42

uma proporção. Quando nessa proporção conhecemos dois

valores para uma das grandezas e um único valor para a outra

grandeza, temos então um quarto valor que nos é

desconhecido. Para determiná-lo podemos utilizar um

procedimento chamado “regra de três”. Este procedimento

consiste em encontrar o valor desconhecido por meio da

igualdade entre razões, vejam o esquema abaixo:

=grandezadavalorgrandezadavalor

ª2..º1ª1..º1

grandezadadodesconhecivalorgrandezadavalor

ª2...ª1..º2

Nesse momento percebo que os rostos mudam de expressão, junto

com a mudança vem os comentários em baixo tom de voz, parece que

algo vem à lembrança. Quando questiono a diferença entre o problema

das camisas e o problema das bolas os alunos respondem:

GA–“No problema das camisas as duas grandezas crescem enquanto

no problema das bolas, uma grandeza aumenta enquanto a

outra diminui.”

Até esse momento, não foram mencionadas as palavras diretamente

ou inversamente proporcionais. Decidi então apresentar essas palavras

dizendo que, quando um aumento ou uma redução entre os dois valores

de uma mesma grandeza implica, simultaneamente, em aumento ou

redução entre os valores da outra grandeza damos o nome de grandezas

diretamente proporcionais. Quando não ocorre esse fato, ou seja, um

aumento entre os dois valores de uma mesma grandeza acontece

enquanto os outros valores da outra grandeza diminuem damos o nome

de grandezas inversamente proporcionais.

Vejamos a questão de número 2:

Uma mulher de negócios, com 43 anos, que trabalha sessenta horas comercializa 50 camisas por semana. Trabalhando no mesmo ritmo e não sofrendo influências externas, quanto tempo demorará a comercializar 75 camisas?

43

camisas

xcamisas

trabalhodehoras 75 50

60=

Para que a grandeza “quantidade de camisas” tenha um aumento de

50 para 75, obrigatoriamente a grandeza “quantidade de horas” de

trabalho sofrerá um aumento. Isso caracteriza as grandezas diretamente

proporcionais.

Para trabalhar com o conceito de grandezas diretamente

proporcionais solicitei que todos completassem a tabela da questão 5.

Mais alguns minutos para que completassem a tabela acima e o

resultado apresentado foi que %27 dos alunos erraram todos os valores

com os quais completaram a tabela, %27 acertaram um número igual ou

inferior a três valores e, %42 ficaram acima da metade do número de

acertos e nenhum aluno completou integral e corretamente a tabela.

O fato de a tabela apresentar três colunas, cada uma delas com

vários valores para uma mesma grandeza causava certas dúvidas. Os

alunos pareciam não entender que o preenchimento se daria com a

comparação entre dois valores, não havendo a necessidade de envolver os

três valores de uma mesma linha ou vários valores de uma mesma

coluna. A situação foi se tranqüilizando quando, intervindo nos grupos fui

orientando o trabalho partindo de dois valores.

A11 – “Não sei usar três valores!”

5 - Para produzir 1000 metros de um cabo telefônico, 24 operários trabalham regularmente durante 6 dias. Preencha a tabela abaixo, sabendo que, todos os operários envolvidos têm o mesmo rendimento:

Metros de cabo Número de operários Número de dias 1000 24 6 2000 24 2000 6 500 6 500 24

6 12 250 3

3 6 1250 6

1250 18

44

P – Quantos valores vocês utiliza para resolver?

A11 – “Com dois.”

P – Mas será que existe a obrigatoriedade de usar os três de uma só

vez? Tente com duas colunas, depois com a terceira.

Essa conversa foi repetida diversas vezes, até que os grupos se

‘firmaram’. Alguns minutos depois novos questionamentos surgiram.

GA – “E agora, já completamos a primeira e a segunda coluna, a

terceira será misturada com qual?”

P – Divida o trabalho. Você compara a primeira com a terceira

grandeza e seu companheiro compara a segunda com a

terceira, vamos ver se a reposta é a mesma.

4ª etapa - Aprofundamento:

Quando me preparava para oferecer alguns exercícios desafios fora

das atividades previstas e que já causavam inquietação, o sinal do final da

aula toca e todos juntam suas coisas, se levantam e saem da sala.

45

3ª OFICINA – 25.08.2007

1ª etapa – Justificativa da Mudança de Encaminhamento

Observando o desenvolvimento das duas primeiras oficinas e não

estando contente com os resultados apresentados decidi alterar o

planejamento para esse terceiro encontro. Como seria o último dos

encontros abandonei o planejamento inicial, que era trabalhar a

construção de gráficos estatísticos, e retomei, com os 28 alunos presentes

os assuntos de porcentagem e regra de três das oficinas anteriores que,

em meu entendimento, não apresentavam um aproveitamento

satisfatório.

2ª etapa – Exposições e Esclarecimentos

Iniciamos o encontro retomando as tarefas dos encontros anteriores

de forma expositiva para que, quando questionados, os alunos, pudessem

recordar alguns conceitos. A primeira questão que retomei foi:

Questionei aquilo que chamava a atenção na tarefa, mas os alunos

mantiveram-se calados. Depois de alguns minutos insistindo um dos

alunos responde:

A23 – “A porcentagem.”

Prossegui perguntando como resolveríamos esse problema. Mais

alguns instantes e a resposta foi:

A34 - “1º devemos calcular quanto e %7 de 1120 .”

Chamei a atenção para o fato de que o aumento salarial não era de

%7 , mas menor que %7 , o que não proporcionava um valor exato para o

salário, mas sim um valor máximo que poderia alcançar.

Exercendo a função de caixa em um banco, Carlos recebia salário de R$

1120,00. Ele teve um reajuste inferior a 7%. O seu novo salário será de:

46

Nesse momento voltei-me para o quadro de giz e resolvi o exercício

de duas formas: a

1ª forma - equação/inequação

x1120 de %7 =

x1120 . 100

7=

x=1120 . 07,0

x=4,78

78,4 1120 +<Salário

1198,40 <Salário

2ª forma – regra de três

1120---------------- %100

x --------------- 107%

107100

. 1120

=x

107 . 1120 x. 100 =

119840100x =

100

119840x =

1198,40 x =

1198,40 <Salário

Essa exposição da resolução tinha o propósito de despertar nos

alunos a comparação entre as duas formas de resolver o problema. Como

os conteúdos foram trabalhados de forma separados, sem um

relacionamento, os alunos não pareciam conhecer a ligação entre ambos.

Durante a resolução pela regra de três foram questionados:

P - Que tipo de informações o problema fornece?

GA - “Valor em dinheiro e a porcentagem.”

47

P - Que nome damos a essas duas “informações” ─ valor em

dinheiro e porcentagem?

Silêncio, ninguém responde. Instantes depois a questão foi

retomada, entretanto a resposta continuou sem surgir.

P - São as grandezas!

P - O que acontece com a grandeza salário?

A19 - “Vai aumentar”

P - Pensando em porcentagem, como representaria o salário?

GA - “100% .”

P - Agora, se o novo salário é o antigo mais um valor que será

acrescido, podemos concluir que esse aumento será

representado por quem, em porcentagem?

A34 - “7% .”

P - Pois bem, como ficaria representado o novo salário?

A23 - “107% .”

Nesse momento questionei o nome que receberia essa situação na

qual as duas grandezas crescem de forma proporcional, mas não houve

resposta.

Uma segunda questão foi proposta aos alunos com as mesmas

características.

Durante alguns minutos participei de discussões junto aos alunos

nas carteiras. Um dos alunos apresentou a seguinte solução:

P – Qual a resposta que você encontrou?

A20 – “2046 segundos.”

P – Como resolveu?

Uma torneira, completamente aberta, leva 33 segundos para encher um balde de 20 litros. Quanto tempo seria necessário para essa torneira encher um recipiente com a capacidade para 1240 litros?

48

A20 – “Dividi 1240 livros por 20 , o resultado que é 62 . Multipliquei

por 33 , e encontrei 2046 .”

P – 2046 o quê?

Ele pensa alguns instantes e responde

A20 – “Segundos.”

P – E em minutos, quanto seria?

Nesse momento me afasto do grupo e percebo que muitos alunos

tinham desviado a atenção do problema. Solicito então a atenção de todos

para uma resolução conjunta.

P - O que acontece com as grandezas?

GA - “A quantidade de água aumenta.”

P - Esse aumento dos litros de água é seguido por quem?

GA - “Pelo aumento do tempo.”

P - Tem certeza, observe. Quanto maior a quantidade de água que

será despejada dentro no balde o tempo estará?

A20 - “Demorando mais.”

P - Então, se a grandeza tempo tem aumentado a grandeza litros

também aumentará!

Instantes depois os alunos apresentaram o resultado de 34,1.

P - O que significa esse número

GA – “ segundos 10 e minutos 34 .”

Solicitei que separassem a parte inteira da parte decimal, ou seja,

minutos 0,10 34 + , e que multiplicassem 34 por 60 obtendo segundos 2040 .

49

P – Por que a diferença para com a resolução de seu colega?

GA - “Tem uma diferença de 6 .”

P - Alguém pode dizer a causa dessa diferença de 6 segundos? Ou

ainda o que significa . 0,10 segundos?

Sem respostas.

P - Qual o sistema numérico que utilizamos nas calculadoras?

Ninguém responde.

P - Vamos melhorar a pergunta: quantos algarismos utilizamos?

Continua sem resposta.

P - Quantos símbolos utilizamos para representar números na

matemática ou para escrever quantidades?

GA - “ 9 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; ”

P - Está faltando?

A01 - “O zero professor.”

P - Com isso concluímos que nosso sistema numérico utiliza 10

símbolos, chamados algarismos.

P - Outra coisa, entre os números 2 e 3 , quantos valores numéricos

temos?

GA - “Vários! Um monte!”

P - Quantos números temos com uma casa depois da vírgula?

GA - “ 1,9 ; ... 1,3; 1,2; 1,1; . Dez professor.”

P - Agora quantos números com duas casas teremos entre os

números 1,3 e 1,2 ?

A23 - “1,15”

50

P - Não só o 1,15 , mas também 1,19 ; ... 1,13; 1,12; 1,11; . Todos eles com

2 casas depois da vírgula. Esses números que chamados de

centesimais são num total de 10 também.

P - Novamente pergunto. Qual o sistema numérico que utilizamos?

GA - “Decimal professor.”

P - Por outro lado, o relógio, apesar de utilizar os mesmos

algarismos tem uma subdivisão diferente. Ele é dividido de

que forma?

GA - “12 horas.”

P - Vamos pensar. O dia é dividido em 24 horas e cada hora em

quantas partes?

GA - “ 60 minutos e cada minuto em 60 segundos.”

P - Então o fato de dividir a hora em 60 partes faz com que o

sistema do relógio, chamado de sexagesimal, seja diferente do

nosso decimal. Portanto aqueles 6 segundos que apareciam

como diferença corresponde a 0,10 décimos em nosso sistema.

A34 - “Dividindo 60 minutos em 10 encontramos os 6 minutos.”

4ª etapa – Trabalho em Duplas

Dei andamento à oficina agrupando os alunos em duplas e

distribuindo tarefas para trabalho. Durante o tempo de trabalho o

professor passa, de dupla em dupla, auxiliando.

A primeira questão era

Essa tarefa foi resolvida pelos alunos sem dificuldades, apenas duas

duplas que durante todo o tempo de esclarecimentos ficaram brincando

não resolveram. A dificuldade apresentada de forma geral foi na

transformação. O resultado final é uma dízima infinita ( ..1,4285714. hora), o

Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 1190 m2?

51

que causava certo incômodo para sua conversão. Isso foi rapidamente

superado quando informei da possibilidade de utilizarem duas casas após

a vírgula, ou seja, chegaríamos a um resultado aproximado.

A segunda tarefa era:

A resolução dessa questão, como já era esperado, apresentou maior

dificuldade. As duplas resolveram o exercício, porém em alguns casos não

observaram que a resposta encontrada ( 45 ) era incompatível. Essa

questão apresentava grandezas inversamente proporcionais, o que causou

certa dúvida.

Alguns minutos analisando a resposta encontrada e surge a

pergunta:

A11 - “Mas o que tem que fazer?

P - Observe o que aconteceu com as grandezas?

A11 - “Os operários aumentaram na quantidade enquanto os dias de

serviço vão diminuir.”

P - Então, as grandezas não crescem simultaneamente como nos

exercícios anteriores?

A11 - “Enquanto uma grandeza cresce a outra diminui.”

P - Essa situação será resolvida quando uma das razões for invertida

para resolução.

A11 - “Como?”

P – Mostre sua resolução.

A11 – “ 128

= x

30 ”

P – Inverta uma das frações.

A11 – “Não sei.”

P – Veja, inverta a posição de seu lápis.

Um muro foi construído por 8 operários em 30 dias. Quantos dias seriam necessários para a construção desse mesmo muro se fossem utilizados 12 operários?

52

Após alguns risos, o aluno troca o lápis de posição.

P – Então, o que fez?

A11 – “Virei o lápis.”

P – Então, escolha uma das razões e vire-a!

Alguns instantes e apresenta o seguinte:

A11 - “ 8

12=

x30

”

P – Refaça as contas e compare os resultados.

Alguns minutos e a resposta correta ( 20 dias) começa a surgir.

Enquanto algumas duplas discutiam a respeito da resposta encontrada

outras copiavam de colegas. Solicitei ao aluno A30 que apresente sua

resolução no quadro de giz.

8 ------------ x

12 ---------- 30

128

= 30x

240 12x =

dias 20 x =

Apesar de nenhum aluno ter questionado retomei a questão do

“inverter” uma das razões para resolver situações que envolvem

grandezas inversamente proporcionais.

P – Veja bem, na 2ª oficina concluímos que a regra de três é uma

representação de uma proporção em que desconhecemos o

quarto elemento, ou seja, o segundo valor para uma segunda

grandeza. Sendo uma proporção, trabalhamos com a igualdade

das duas razões de igual valor, para isso acontecer um

53

procedimento é inverter a posição dos elementos de uma das

duas razões.

P – Vejamos:

operários 12operários 8

, simplificando temos 32

Agora se temos

xdias 30

esse x sendo igual a 20 , podemos escrever

2030

que invertida dá 3020

e que simplificada chega a 32

.

Começamos a distribuir outra tarefa, a terceira, uma regra de três

composta onde uma das grandezas é classificada como inversa em relação

as outras duas.

Durante o tempo que deixei livre para que fizessem a tarefa notei

que a estrutura da regra de três era montada, mas que a análise das

grandezas ainda causava dúvidas.

GA – “Montamos assim”

40 ------- 9 -------- 6

24 ------- 5 -------- x

GA – “E agora?”

P – Compare de duas em duas.

Mesmo com esse tipo de auxilio não estavam conseguindo entender.

então me dirigi ao quadro de giz e perguntei:

Uma casa é construída por 40 operários trabalhando 9 horas por dia durante 6 dias. Em quantos dias 24 operários poderiam construir a mesma casa trabalhando 5 horas por dia?

54

P – 40 operários trabalhando 9 horas, se reduzirmos para 24

operários, o que deve acontecer para o serviço ficar pronto na

mesma quantidade de dias?

GA – “Mais horas por dia.”

P – Então, menos operários, mais horas por dia.

P – Quando diminuiu a quantidade dos operários a quantidade de

dias aumentou?

GA –“Não, diminuiu para 5.”

P – Isso caracteriza grandezas inversas! Vejamos agora os operários

em relação aos dias.

P – A quantidade de operários foi reduzida de 40 para 24, em

compensação o que acontecerá com a quantidade de dias para

que o trabalho seja terminado?

GA – “Mais do que 6 dias.”

P – Novamente diminuiu-se a quantidade de operários, entretanto a

quantidade de dias deverá ser aumentada. Redução em uma

grandeza e aumento em outra caracteriza grandeza

inversamente proporcionais.

Alguns minutos depois já era possível observar o problema

estruturado nas carteiras. Porém novas dúvidas ainda surgiam:

GA- “Onde vai o sinal de igualdade? Pode somar as frações?

Novamente dirijo-me ao quadro e escrevo

operários24 ------- horas5 -------- dias6

operários40 ------- horas9 -------- x

x6

= 4024

. 95

Minutos depois o resultado surge para a grande maioria das duplas.

55

5ª etapa – Atividade Pendente do 2ª Oficina

Nesse momento devolvi para os alunos a atividade de nº 6 da 2ª

oficina Nesse material encontrava-se um problema que poderia ser

resolvido com uma regra de três composta e que não tivemos tempo de

abordar.

Durante a resolução um dos alunos questiona se outra razão poderia

ficar isolada ao invés daquela que continha a incógnita. Pedi que tentasse

resolver das duas formas para ver o que acontecia. Também observei

certa dificuldade na multiplicação das frações restantes. Alguns alunos

tiveram de ser orientados para não multiplicar cruzado quando entre as

frações tínhamos apenas a operação de multiplicação.

Faltando poucos minutos para o término da oficina, deixei a tarefa

em aberto e solicitei que cada aluno escrevesse suas considerações sobre

a matemática e fizesse uma avaliação da sua participação nas oficinas que

desenvolvemos juntos.

Não pedi que se identificassem e o quadro abaixo apresenta os

comentários dos alunos.

Considerações sobre matemática Considerações sobre a participação nas oficinas

Eu gosto do que eu aprendi sobre porcentagem e regra de 3. E eu não gosto de estudar sobre funções que é mais difícil.

Eu entendi melhor aqui por que o professor explica bem certinho e ensino muito bem os alunos, só que alguns não entendem o que ele explica.

Eu gosto da matemática por que a nossa vida é a matemática, tudo o que nos fazemos nos temos que usar a matemática, cálculos, contas etc. Mas de

Eu na oficina aprendi alguns cálculos que eu não sabia como a porcentagem e regra de 3 e muitas coisas. Na oficina eu baguncei, mas eu sempre estava

Uma construtora pretende contratar seis pedreiros, que estavam em

busca de emprego, para construírem um muro de 45 metros de

extensão e 90 cm de altura em 9 dias. Antes do início da obra houve

mudança no projeto e foram contratados 10 pedreiros para que,

trabalhando, no mesmo ritmo dos primeiros, construíssem um muro de

50 metros de extensão e 180 centímetros de altura. Em quantos dias o

novo muro estará pronto?

56

vez enquanto a matemática enche o saco. Mas tudo bem.

prestando a atenção nas aulas.

Tem algumas coisas que me agrada na matemática, eu gosto de prestar atenção em todas as atividades quando o professor sabe explicar e que não me agrada são aquelas contas muito extensas.

Minha avaliação é que eu achei que ficou mais claro a regra de 3 e a porcentagem e nesses três sábados eu acho que aprendi muito.

Eu gosto de matemática só por causa de gráficos e porcentagem. Então gosto por causa dos outros conteúdos.

O professor explica melhor do que os outros que já tive aula. Eu me avalio como um aluno que faz e copia dos outros brinco um pouco nas aulas.

Eu não gosto porque é muito complicado e muito chato.

Eu mi avaliaria que fiz bagunça, conversei mais também prestei atenção.

Eu achei ruim por que todo ano tem 2 professores e esse ano, só teve 1 e quando terminávamos os exercícios era muita gente pra ele atender ou explicar.

Fiz bagunça, alguns exercícios eu posso ter enrolado, alguns copiado mas 2 eu fiz sozinho. Eu acho que eu devia ter prestado mais atenção.

Eu não gosto de matemática porque é uma matéria muito cansativa, mas de vez enquanto é legal.

Eu acho que não me esforcei muito, mais mesmo assim eu fiz todos os exercícios com quase todos certos e eu tirei um bom proveito com os 2 dias que eu vim. Isso me ajudou aprender mais um pouco de matemática.

Acho muito difícil de entender a matemática, até a 6º série eu era muito boa em matemática mais desde o ano passado meu rendimento nesta disciplina está baixo, o motivo deste caimento das minhas notas eu acho que é pela mudança muito rápida dos conteúdos. Ex. quando estou começando a aprender uma coisa surgem novas complicações.

Eu e meu parceiro fizemos, participamos, discutimos o assunto e aprendemos um pouco mais sobre regra de três.

Quadro 1: Considerações sobre matemática e sobre a participação nas oficinas.

57

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES

Iniciando um trabalho no qual utilizei como estratégia a Resolução

de Problemas, antevi que teria alguma dificuldade em intermediar o

conhecimento teórico com a prática de sala de aula. Essa dificuldade

existente entre a teoria posta nos livros pelos pesquisadores e a prática

diária vivida pelo professor foi confirmada no decorrer das oficinas que

deram suporte para produção desse trabalho.

Uma constatação que fiz diz respeito ao cuidado que devemos ter

quando da escolha de problemas. Apresento a seguir, algumas das falhas

que percebi ao refletir sobre minha prática no desenvolvimento das

oficinas e alguma consideração sobre elas:

1º-Um dos problemas de regra de três que forneci aos alunos

apresentava uma resposta fora de contexto real. A resposta indicava que

um trabalhador deveria permanecer por mais de 20 horas no trabalho

durante todos os dias da semana. O grande desafio para o professor é

fornecer problemas que motivem os alunos a resolvê-los, que gerem

discussões matematicamente ricas, principalmente, se acontecer de a

resposta encontrada, mesmo correta, ser visivelmente incoerente.

2º- Na 1ª tarefa da atividade da 2ª oficina que era

não aparece a informação de qual o tempo gasto para a comercialização

das 50 camisas. Supõe-se que seja nas 60 horas de trabalho da semana,

porém o enunciado deveria ser claro o suficiente para que o aluno não

precisasse supor. Essa falta de precisão nos enunciados é muito comum

inclusive nos livros didáticos, que foi o que aconteceu neste caso. Assim,

ao buscar atividades em livros didáticos é preciso ficar atento.

3º-Outra falha que constatei foi na 3ª questão da 2ª oficina,

que era:

Uma mulher de negócios, com 43 anos, que trabalha sessenta horas por semana comercializa 50 camisas. Trabalhando no mesmo ritmo e não sofrendo influencias externas, quanto tempo demorará a comercializar 75 camisas?

58

O quadro apresenta na primeira linha e primeira coluna os dizeres

“Número de bolas adquiridas” quando deveria apresentar “Número total

de bolas que podem ser adquiridas”.

Durante o tempo em que o professor fica à disposição dos alunos é

comum receber perguntas, no ímpeto de auxiliar os alunos em alguns

momentos forneci auxílio demasiado. Em alguns momentos em que existia

a possibilidade de os alunos se aprofundarem numa discussão, acabei

assumindo um papel de “fazedor” a ponto de solicitar o lápis do aluno e

fazer junto com os alunos, na carteira de um deles. O autocontrole por

parte do professor, é fundamental para que o trabalho com Resolução de

Problemas tenha êxito.

Aconteceu também de não responder as questões dos alunos

adequadamente. Não que forneci uma resposta errônea, mas uma

resposta explicativa, uma descrição do procedimento a ser adotado. As

respostas do professor devem levar os alunos a refletirem a respeito de

suas dúvidas, que muitas vezes são respondidas pelos próprios alunos.

Quando do 1ª oficina trabalhávamos o conceito de equações fiz uso

de termos corretos para descrever uma equação, entretanto na seqüência

frisei o palavreado usado pelos alunos “elementos que estão somando

passam para o outro lado subtraindo”. Isso foi um erro, pois aqueles

alunos que ainda não compreendem o conceito em discussão, adotam o

Para as brincadeiras de uma festa junina, serão compradas bolas idênticas. Com o dinheiro disponível, pode-se comprar 24 bolas de R$ 6,00 cada uma. Existem bolas com outros preços, conforme a tabela abaixo. Preencha a tabela

Preço de uma bola (por tipo)

Número de bolas adquiridas

6,00 24 12,00 4,00

48 18,00

72 24,00

144

59

palavreado inadequado como sendo o verdadeiro, ficando mais difícil a

sua correção no futuro.

O trabalho em grupo foi mais proveitoso quando os grupos foram

formados com 3 ou mais alunos. Quando o andamento era dado em

duplas, existia um excesso de conversa por conta de que cada um dos

alunos, que por vezes, apontavam respostas diferentes, mas não

acontecia um trabalho de esclarecimento de um para com o outro. Outras

vezes, acontecia também de um dos alunos apresentar uma resolução e o

outro concordar sem que houvesse um debate. Quando o trabalho era

feito com três ou mais alunos no grupo sempre uma opinião divergente

era combatida pelos alunos que apresentavam opiniões semelhantes, com

isso o debate entre alunos era mais comum.

As plenárias poucas vezes aconteceram. Elas possibilitam momentos

de crescimento conjunto da turma, uma vez que os alunos que

apresentam suas idéias e suas resoluções prendem a atenção dos demais

que ficam torcendo, a favor ou contra, para aquele que está na função de

“explicador”.

A intervenção do professor faz-se necessária, seja nos grupos ou em

momentos de exposição para a turma, ele deve ficar atento para quais os

termos matemáticos estão sendo utilizados e de que forma isso ocorre.

Esse mesmo procedimento, a intervenção do professor, deve ser utilizado

para introduzir conceitos que não são conhecidos pelos alunos e que por

conta disso não conseguem transpor uma dificuldade para chegarem às

soluções esperadas.

Observei a necessidade de retomar conceitos de conteúdos básicos

utilizados para o ensino da porcentagem e regra de três. Por vezes nomes

e palavras são reconhecidos pelos alunos, mas não conseguem utilizar o

conceito envolvido na resolução das tarefas propostas.

Em duas das oficinas fomos, os alunos e eu, pegos de surpresa pelo

sinal utilizado pela escola para indicar o encerramento do período de aula.

Isso mostra que a Resolução de Problemas proporciona ao professor e,

principalmente aos alunos, grande envolvimento com as tarefas. O relógio

60

deixa de ser constantemente consultado, e, com isso, o envolvimento com

a tarefa é maior.

A utilização da Resolução de Problemas como estratégia possibilitou

dar sentido às atividades desenvolvidas com a matemática, uma vez que

oportunizou o envolvimento dos alunos em etapas importantes da

atividade matemática, por exemplo, na observação, na identificação e

formulação de questões ou problemas, na validação do resultado

encontrado. Acredito que a Resolução de Problemas, como estratégia

tornou as aulas mais atraentes, mais espontâneas, mais cooperativas,

fazendo com que os estudantes se relacionassem com a matemática. Por

conseguinte, por meio do desenvolvimento dessas oficinas aqui relatadas,

pude constatar que a Resolução de Problemas é, de fato, uma estratégia

possível de se utilizar em qualquer sala de aula e em qualquer nível de

escolarização na busca da aprendizagem da matemática escolar.

61

REFERÊNCIAS

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62

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63

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64

ANEXOS

65

Anexo 1

O diagrama abaixo mostra a estrutura da população ativa ou “população em idade produtiva” de um país. A população total do país em 1995 era de cerca de 3,4 milhões.

Levantamento anual da população ativa em 31 de março de 1995

(000s)1

Notas:

1. Os números de pessoas são dados em milhares (000s).

2. A população em idade produtiva é formada pelas pessoas com idade entre 15 e 65 anos.

3. As pessoas “economicamente inativas” são aquelas que não estão procurando ou não estão

disponíveis para o trabalho.

66

Questão 1:

Quais são os dois principais grupos nos quais a população em idade produtiva está dividida? A Empregados e desempregados. B Pessoas em idade produtiva e em idade não-produtiva. C Trabalhadores em tempo integral e meio período. D População ativa e inativa.

Questão 2:

Quantas pessoas em idade produtiva estavam inativas? (Escreva o número de pessoas, não a percentagem.)

Questão 3: Em que categoria do diagrama, se houver uma categoria apropriada, seria incluída cada uma das pessoas listadas na tabela abaixo?

Dê a resposta marcando um “X” no quadrado correto da tabela.

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Questão 4:

Suponha que as informações sobre a força de trabalho fossem apresentadas em um diagrama como este todos os anos. Listados abaixo estão quatro elementos do diagrama. Indique em quais destes elementos você esperaria que houvesse mudança de um ano para outro, fazendo um círculo na resposta “muda” ou “não muda”.

Dados do diagrama Respostas

A legenda de cada quadro (ex.”economicamente ativo”) Muda / Não muda

As percentagens (ex. “64,2%”) Muda / Não muda

Os números (ex. “2656,5”) Muda / Não muda

As notas embaixo do diagrama Muda / Não muda

Questão 5:

As informações sobre a estrutura da força de trabalho são apresentadas na forma de um diagrama em árvore, mas poderiam ter sido apresentadas de várias outras formas, tais como uma descrição escrita, um diagrama de pizza, um gráfico ou uma tabela. O diagrama em árvore provavelmente foi escolhido porque é especialmente útil para mostrar A a evolução ao longo do tempo. B o tamanho da população total do país. C as categorias pertencentes a cada grupo. D o tamanho de cada grupo.

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Anexo 2

1 - Uma mulher de negócios, com 43 anos, que trabalha sessenta horas por semana comercializa 50 camisas. Pergunta-se o que ela deve fazer para comercializar o dobro de camisas?

2 - Uma mulher de negócios, com 43 anos, que trabalha sessenta horas por semana

comercializa 50 camisas. Trabalhando no mesmo ritmo e não sofrendo influencias externas, quanto tempo demorará a comercializar 75 camisas?

3 - Para as brincadeiras de uma festa junina, serão compradas bolas idênticas. Com o

dinheiro disponível, pode-se comprar 24 bolas de R$ 6,00 cada uma. Existem bolas com outros preços, conforme a tabela abaixo. Preencha a tabela.

Preço de uma bola (por tipo) Número de bolas adquiridas

6,00 24 12,00 4,00

48 18,00

72 24,00

144 4 - Parte da população economicamente ativa depende de transporte público para chegar

ao local de trabalho. Um estudante percebeu que quando o ônibus andava a uma velocidade de 60 Km/h, ele chegava ao colégio em 30 minutos, porém quando o transito estava mais congestionado isso ocorria em 40 minutos. Explique o que acontece?

5 - Para produzir 1000 metros de um cabo telefônico, 24 operários trabalham

regularmente durante 6 dias. Preencha a tabela abaixo, sabendo que, todos os operários envolvidos tem o mesmo rendimento:

Metros de cabo Número de operários Número de dias 1000 24 6 2000 24 2000 6 500 6 500 24

6 12 250 3

3 6 1250 6

1250 18

6 - Uma construtora pretende contratar seis pedreiros, que estavam em busca de emprego, para construírem um muro de 45 metros de extensão e 90 cm de altura em 9 dias. Antes do início da obra houve mudança no projeto e foram contratados 10 pedreiros para que trabalhando, no mesmo ritmo dos primeiros, construíssem um muro de 50 metros de extensão e180 centímetros de altura. Em quantos dias o novo muro estará pronto?