8/18/2019 A Geometria Analítica Foi Criada Por René Descartes

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A Geometria Analítica foi criada por René

Descartes (1596 – 1650), no intuito de

relacionar a l!e"ra com a Geometria,

possi"ilitando um estudo mais aprofundado

de o"#etos !eométricos$ %om o au&ílio da

Geometria Analítica (GA) podemos, atra'és

de métodos al!é"ricos, estudar as

propriedades do ponto, da reta e de !uras$

o estudo da GA tra"al*aremos

constantemente com o +lano %artesiano$

Distncia entre dois pontos

-"ser'e os pontos A e . no plano

cartesiano, iremos esta"elecer atra'és de

métodos al!é"ricos uma f/rmula !eral para

calcular a distncia entre pontos$

Ao analisarmos a construo acima

podemos o"ser'ar o trin!ulo retn!ulo

A.%, sendo 2ue a distncia entre os pontos

A e . nada mais é 2ue a *ipotenusa do

trin!ulo$ 3a"emos 2ue o trin!ulo

retn!ulo admite a relao de +it!oras

*ip4 cat4 cat4$

Ao aplicarmos +it!oras teremos a se!uinte

situao7

%ateto7 se!mento A% &. – &A

%ateto7 se!mento .% 8. – 8A

ipotenusa7 se!mento A. (distncia entre

os pontos)

d4A. (&. – &A)4 (8. – 8A)4

Ponto Médio de um Segmento e Condição

de alinhamento de três pontos

Dados os pontos A e . 'amos analisar a

ilustrao a"ai&o e demonstrar o ponto

médio entre eles, su!erindo uma f/rmula

!eral para esse tipo de clculo$

+odemos notar 2ue no ei&o & a distncia

entre &A7&: e &:7&. so i!uais e no ei&o 8 a

distncia entre 8A78: e 8:78. so i!uais$

+odemos concluir 2ue7

Alin*amento de tr;s pontos$

+ara constatarmos se tr;s pontos esto

alin*ados, podemos montar a se!uinte

matri< dos coecientes7

&1  81 1

&=  8=  1

&>  8>  1

  0

%alculando o determinante e o"tendoi!ualdade 0, podemos armar 2ue ospontos esto alin*ados$.aricentro de um trin!ulo

3a"emos da Geometria plana , 2ue o"aricentro de um trin!ulo A.% é o pontode encontro das > medianas $ 3endo G o

"aricentro , temos 2ue AG = $ G: onde :é o ponto médio do lado oposto ao 'érticeA (A: é uma das > medianas do trin!ulo)$estas condi?es , as coordenadas do

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"aricentro G(&! , 8!) do trin!ulo A.% ondeA(&a , 8a) , .(&" , 8") e %(&c , 8c) é dado por 7

%onclui@se pois 2ue as coordenadas dobaricentro do triângulo ABC, são iguaisàs médias aritméticas dascoordenadas dos pontos A , B e C$

2uao da reta

&ercícios7

1@Bual a distncia entre os pontos +(>, –>)

e B(–6, =)C

=@Determine a distncia entre os pontos

A(10, =0) e .(15, 6), locali) e.(1,5)$) (EFRG3) 3e um ponto + do ei&o das a"scissas ée2uidistante dos pontos A(1,) e .( @6,>), aa"scissa de + 'ale7a) @=") @1c) 0

d) 1e) >5) (EFRG3) A distancia entre os pontos A( @=,8) e.(6,) é 10$ - 'alor de 8 éa) @1") 0c) 1 ou 1>d) @1 ou 10e) = ou 1=

6@%alcule a distncia entre os pontos7 A

(,5) e .(1,1) e represente@os

!eometricamente$@%alcule a distncia entre os se!uintespares de pontos7

  a) (=,>) e (=,5) c) (0,6) e (1,5)

  ") (=,1) e (@=,) d) (6,>) e (=,)

+onto :édio e .aricentro

1) %alcule o ponto médio dose!mento A. nos se!uintes casos7

  a) A(=,6) .(,10) c) A(>,1) .(,>)

") A(=,6) .(,=) d) A(=,>) .(,@=)

 =@Determine as coordenadas do "aricentrodo trin!ulo de 'értices7

  a) A(>,1)H .(=,6)H %(,=) ") A(1,0)H.(@=,)H %(>,@5)

%ondio de Alin*amento e rea de umtrin!ulo

1) Ieri2ue se os pontos A, . e % a"ai&oso colineares (esto alin*ados) nosse!uintes casos7

  a) A(0,>) .(,0) %(5,0)

  ") A(=,=) .(5,5) %(@>,@>)

=@Jrea de um Krin!ulo

Determine a rea do trin!ulo A.% noscasos7

  a) A(1,@1) .(=,1) %(=,=)

  ") A(>,) .(@=,>) %(1,1)

  c) A(>,1)H .(=,6)H %(,=)

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 d) A(1,0)H .(@=,)H %(>,@5)

2uao da reta

1@ %alcule a e2uao da reta nos se!uintescasos7

  a) A(=,6) .(,10) c) A(>,1) .(,>)") A(=,6) .(,=) d) A(=,>) .(,@=)

=@ %alcule a e2uao da reta 2ue passapelos pontos a)A(@=,>) e .(1,5)

") A(10, =0) e .(15, 6)

c) A(1,) e .( @6,>),

>@ncontre +onto médio, distncia entre os pontose a e2uao da reta

a@A(1,) e .( @6,>),

@ Bual é o coeciente an!ular (ta&a de'ariao) da funo de 1L !rau A(0,@=) e .(1 ,@1M)C

o @= 0 > 9

=

5@ Analisando o coeciente an!ular dafuno am f(&) @5& 10, podemos di